Задачи за определяне на стойности в различни системичисла и техните бази

Упражнение 1.За кодиране на знаците @, $, &, % се използват двуцифрени последователни двоични числа. Първият знак съответства на числото 00. С помощта на тези знаци е кодирана следната последователност: $%&&@$. Декодирайте тази последователност и преобразувайте резултата в шестнадесетична бройна система.

Решение.

1. Нека сравним двоичните числа със знаците, които кодират:
00 — @, 01 — $, 10 — &, 11 — %

3. Преобразувайте двоичното число в шестнадесетичната бройна система:
0111 1010 0001 = 7A1

Отговор. 7A1 16.

Задача 2.В градината има 100 х овощни дръвчета, от които 33 х ябълкови, 22 х ...
– круши, 16 х – сливи, 17 х – череши. Каква е основата на бройната система (x).

Решение.

1. Имайте предвид, че всички условия са двойни цифри. Във всяка бройна система те могат да бъдат представени по следния начин:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, където a и b са цифрите на съответните цифри на числото.
За трицифрено числоще бъде така:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. Условието на задачата е:
33 x + 22 x + 16 x + 17 x = 100 x
Нека заместим числата във формулите:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x 2

3. Решете квадратното уравнение:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Корен квадратенот D е 11.
Корени на квадратно уравнение:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 или x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Отрицателно число не може да бъде основа на бройна система. Следователно x може да бъде равно само на 9.

Отговор.Необходимата основа на бройната система е 9.

Задача 3.В бройна система с някаква основа десетичното число 12 се записва като 110. Намерете тази основа.

Решение.

Първо ще запишем числото 110 чрез формулата за запис на числа в позиционни бройни системи, за да намерим стойността в десетичната бройна система, а след това ще намерим основата чрез груба сила.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

Трябва да получим 12. Нека опитаме 2: 2 2 + 2 = 6. Опитайте 3: 3 2 + 3 = 12.

Това означава, че основата на бройната система е 3.

Отговор.Необходимата основа на бройната система е 3.

Шестнадесетични и осмични бройни системи

Упражнение 1.Кое число в шестнадесетичната бройна система отговаря на числото 11000101?

Решение.

При преобразуване на двоично число в шестнадесетично, първото се разделя на групи от четири цифри, като се започне от края. Ако броят на цифрите не се дели на четири, тогава първите четири се предхождат от нули. Всяка четворка има уникално съответствие с една цифра в шестнадесетичната бройна система.

11000101 = 1100 0101 = C5 16

Няма нужда да имате таблица за кореспонденция пред очите си. Двоичното броене на първите 15 числа може да се направи наум или да се запишат последователно. Не трябва да се забравя, че 10 в десетичната система съответства на A в шестнадесетична, 11 - B, 12 - C, 13 - D, 14 - E, 15 - F.

Отговор. 11000101 = C5 16

Задача 2.Изчислете сумата на двоичните числа x и y, като x = 10100 и y = 10101. Изразете резултатите като осмично число.

Решение.

Нека съберем две числа. Правилата на двоичната и десетичната аритметика са еднакви:

При преобразуване на двоично число в осмично, първото се разделя на групи от три цифри, като се започне от края. Ако броят на цифрите не се дели на три, тогава първите три се предхождат от нули:

Отговор.Сборът на двоичните числа 10100 и 10101, представени в осмичната бройна система, е 51.

Преобразуване в двоична бройна система

Упражнение 1.Какво е числото 37 в двоична система?

Решение.

Можете да преобразувате, като разделите на 2 и комбинирате остатъците в обратен ред.

Друг начин е числото да се разложи на сумата от степени на две, като се започне от най-високата, чийто изчислен резултат е по-малък от даденото число. При преобразуване липсващите степени на число трябва да се заменят с нули:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Отговор. 37 10 = 100101 2 .

Задача 2.Колко значими нули има в двоичния запис на десетичното число 73?

Решение.

Нека разложим числото 73 на сумата от степените на две, като започнем от най-високата и впоследствие умножим липсващите степени по нули и съществуващите степени по единица:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Отговор.Двоичното представяне на десетичното число 73 има четири значими нули.

Задача 3.Изчислете сумата от числата x и y за x = D2 16, y = 37 8. Представете резултата в двоичната бройна система.

Решение.

Спомнете си, че всяка цифра на шестнадесетично число се формира от четири двоични цифри, всяка цифра на осмично число от три:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

Нека съберем получените числа:

Отговор.Сумата от числата D2 16 и y = 37 8, представени в двоичната бройна система, е 11110001.

Задача 4.дадени: а= D7 16, b= 331 8 . Кой номер ° С, записана в двоичната бройна система, отговаря на условието а< c < b ?

  1. 11011001
  2. 11011100
  3. 11010111
  4. 11011000

Решение.

Нека преобразуваме числата в двоичната бройна система:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

Първите четири цифри на всички числа са еднакви (1101). Следователно сравнението е опростено до сравняване на долните четири цифри.

Първото число от списъка е равно на числото bследователно не е подходящо.

Второто число е по-голямо от b. Третото число е а.

Само четвъртото число е подходящо: 0111< 1000 < 1001.

Отговор.Четвъртата опция (11011000) отговаря на условието а< c < b .

Преобразуване в десетична бройна система

Упражнение 1.На кое число отговаря 24 16 в десетичната система?

Решение.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Отговор. 24 16 = 36 10

Задача 2.Известно е, че X = 12 4 + 4 5 + 101 2. Каква е стойността на X в десетичната бройна система?

Решение.


12 4 = 1 * 4 1 + 2 * 4 0 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Намерете числото: X = 6 + 4 + 5 = 15

Отговор. X = 15 10

Задача 3.Изчислете стойността на сбора 10 2 + 45 8 + 10 16 в десетичен запис.

Решение.

Нека преобразуваме всеки член в десетичната бройна система:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Сборът е: 2 + 37 + 16 = 55

Отговор. 55 10

Аритметични действия в двоичната бройна система

Бройни системи

Номер на темата:

В двоичната бройна система аритметичните операции се извършват по същите правила, както в десетичната бройна система, т.к. и двете са позиционни (заедно с осмични, шестнадесетични и т.н.).

Допълнение

Събирането на едноцифрени двоични числа се извършва по следните правила:

В последния случай, при добавяне на две единици, младшата цифра се препълва и 1 се прехвърля към старшата цифра. Препълване възниква, ако сумата е равна на основата на бройната система (в случая това е числото 2) или по-голяма от нея (за двоичната бройна система това не е от значение).

Например, нека съберем произволни две двоични числа:

Изваждане

Изваждането на едноцифрени двоични числа се извършва по следните правила:

0 - 1 = (заем от висок ранг) 1

Умножение

Умножението на едноцифрени двоични числа се извършва по следните правила:

дивизия

Делението се извършва по същия начин, както в десетичната бройна система:

Преобразуване на число от двоично в десетично

Преобразуването на число от двоичната система в десетичната система може да се извърши за целите и дробните части на числото, като се използва един алгоритъм чрез изчисляване на сумата от продуктите на цифра на двоично число по теглото на неговата познатост:

11100011 2 =1*2 7 +1*2 6 +1*2 5 +0*2 4 +0*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +1*2 0 =128+64+32+2+1=227 10

0,10100011 2 =1*2 -1 +0*2 -2 +1*2 -3 +0*2 -4 +0*2 -5 ++0*2 -6 +1*2 -7 +1*2 -8 =0.5+0.125+0.0078+0.0039=0.6367

Преобразуване на число от десетична в двоична система

Преобразуването на число от десетичната система в двоичната система се извършва отделно за целите и дробните части на числото по следните алгоритми:

а) цяло десетично числосе разделя равномерно на основата 2, тогава всички частни от целочисленото деление се делят последователно на 2, докато частното стане по-малко от основата. Резултатът включва последното частно и всички остатъци от делението, започвайки от последното. Например:

конвертирайте числото 227 в двоична форма:

227:2=113 (записваме остатъка от деление 1 като резултат), 113:2=56 (записваме остатъка от деление 1 като резултат), 56:2=28 (записваме остатъка от деление 0 като резултатът), 28:2=14 (записваме остатъка от деление 0 като резултат), 14:2=7 (записваме остатъка от деление 0 като резултат), 7:2=3 (записваме остатъка на деление 1 като резултат), 3:2=1 (записваме остатъка като резултат от деление 1), записваме последното частно в резултата - 1. Общо получаваме: 227 10 = 11100011 2. Нека проверим с обратен превод:

1*2 0 +1*2 1 +0*2 2 +0*2 3 +0*2 4 +1*2 5 +1*2 6 +1*2 7 =1+2+32+64+128=227

б) десетичнасе умножава последователно по основа 2 и веднага след всяка операция на умножение полученото цяла частсе записва в резултата и не участва в по-нататъшното умножение (изхвърля се). Броят на операциите за умножение зависи от изискваната точност, например:

Нека преобразуваме числото 0,64 в двоична форма:

0,64*2=1,28 (изхвърлете 1 и запишете 1 в резултата)

0,28*2=0,56 (записваме 0 като резултат)

0,56*2=1,12 (изхвърлете 1 и запишете 1 в резултата)

0,12*2=0,24 (записваме 0 като резултат)

0,24*2=0,48 (записваме 0 като резултат)

0,48*2=0,96 (записваме 0 като резултат)

0,96*2=1,82 (запишете 1 като резултат)

Общо: 0,64 10 =0,1010001 2

Нека проверим с обратен превод:

1*2 -1 +0*2 -2 +1*2 -3 +0*2 -4 +0*2 -5 +0*2 -6 +1*2 -7 = 0.5*0+0.125+0+0+0+0.0078=0.6328

Компютърно представяне на отрицателни числа

Трябва да се има предвид, че в паметта на компютъра двоичните числа се съхраняват в регистри, състоящи се от 8 клетки, т.е. Минималното двоично число, което може да бъде съхранено в паметта, трябва да бъде осем бита. В този случай нулите се записват в незапълнените регистрови клетки (в най-значимите битове).

За разлика от десетичната система, двоичната бройна система няма специални символи за обозначаване на знака на числото: положителен (+) или отрицателен (-), така че следните две форми се използват за представяне на двоични отрицателни числа.

Подписан формуляр за стойност– най-значимата (лявата) цифра е отбелязана със знак и съдържа информация само за знака на числото:

1 е отрицателно число, 0 е положително число.

Останалите цифри се разпределят към абсолютната стойност на числото.

5 10 = 0000 0101 2 ; -5 10 =1000 0101 2 .

Компютърът е проектиран по такъв начин, че отрицателните числа да се представят в кода на комплемента на две, тъй като това осигурява значителни спестявания на време при извършване на аритметични операции с тях.

Формата на кода на обратното допълнение, преводът в който се извършва от към следния алгоритъм:

1) Изхвърлете знаковия бит;

2) обръщане на всички цифри на число;

3) добавете единица към получения код;

4) възстановете един в знаковия бит.
Например:

Преобразуване на числото -5 10

Записваме го в двоична форма: 1000 0101; изхвърлете знаковия бит: 000 0101; обърнете всички цифри: 111 1010; добавете едно: 111 1010 + 1 = 111 1011; ние възстановяваме едно в знаковия бит: 1111 1011. Общо -5 10 в обратен допълнителен код се записва като 1111 1011.

Правила за извършване на аритметични операции в двоичната система

Допълнение.Операцията на добавяне се извършва по същия начин, както в десетичната система. Препълването на бит води до появата на единица в следващия бит:

0+0=0, 0+1=1, 1+1=10;

+ 111011

Изваждане.Тъй като повечето съвременни компютри имат само един хардуерен суматор, който се използва за изпълнение на всички аритметични операции, изваждането се свежда до събиране с отрицателно число:

Правила за изваждане в двоичната система.Алгоритъм за операцията на изваждане чрез добавяне на допълнителни кодове:

1) преобразувайте отрицателно число от подписана форма в допълнение на две;

2) извършете операцията за двоично събиране на всички цифри,
включително подписани, игнорирайки единица за пренасяне от най-високата
освобождаване от отговорност;

3) когато знаковата цифра на сумата е равна на единица, което означава
получаване на отрицателен резултат под формата на допълнителен код,
необходимо е резултатът да се преобразува в знакова форма (чрез алгоритъм за преобразуване в обратна форма).

Например, нека изпълним действието 13-15=13+(-15)

1. Преобразувайте -15 в допълнителна кодова форма:

1000 1111 –> 000 1111 -> 111 0000 -> 111 0000 +1=111 0001 -> 1111 0001

2. Добавете 13 и -15:

+11110001

3. Преобразувайте в обикновена двоична форма:

1111 1110 -> 111 1110 ->000 0001 -> 000 0001+1=000 0010 -> 1000 0010 = -2 10

По този начин, когато извършва операции за събиране и изваждане, аритметичното логическо устройство на процесора трябва да извършва побитово събиране с пренасяне, инверсия и проверка на знака на двоични числа.

В случаите, когато е необходимо да се извършват аритметични операции с числа, по-големи от 127, те се поставят не в един, а в два или повече байта.

Например, нека изпълним действието: 15-13=15+(-13)

1. Преведете -13 в допълнителен код:

1000 1101 –> 000 1101 -> 111 0010 -> 111 0010 +1=111 0011 -> 1111 0011

2. Добавете 15 и -13:

+11110011

3. Знаковият бит е 0, не се изисква обратна транслация, т.е. резултатът е 0000 0010 = 2 10

Умножение.Ако наред с изброените операции се извършват и операции за смяна, тогава с помощта на суматора можете да извършите и умножение, което се свежда до поредица от повтарящи се добавяния. Ако цифрата в нулевата позиция на множителя е 1, тогава умножаващото се пренаписва под съответните цифри; умножението с последващи води до изместване на добавянето наляво с една позиция. Ако цифрата на множителя е 0, тогава следващият член се измества две позиции наляво.

Например, умножете 6 (0000 0110) по 5 (0000 0101):

*00000101

(умножете по 1) +00000110

(умножете по 0) 1

(умножете по 1) + 0000011011

Да проверим: 0001 1110=0*2 0 +1*2 1 +1*2 2 +1*2 3 +1*2 4 =2+4+8=16=30

Например, умножете 15 (0000 1111) по 13 (0000 1101):

*00001101

(умножете по 1) +00001111

(умножете по 0) 1

(умножете по 1) +0000111111

(умножете по 1) + 00001111111

Да проверим: 1100 0011=1*2 7 +1*2 6 +0*2 5 +0*2 4 +0*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +1*2 0 =1+2+ 64 +128=195

дивизия.При извършване на операция деление няколко пъти се извършва операция изваждане. Следователно първо трябва да намерите допълнителен код на делителя. Делението се извършва чрез многократно изваждане и преместване. Например, нека разделим числото 195 (1100 0011) на 15 (0000 1111). Допълнителен код на числото 0000 1111 -> 11110001. Тъй като според правилата за деление всеки междинен дивидент трябва да е по-голям от делителя, избираме числото 11000 като първи дивидент, т.е. първите пет цифри и добавете три нули отляво, завършвайки дивидента до 8 цифри. След това го добавяме с допълнителния код на дивидента и въвеждаме един в резултата. Ако следващият дивидент след разрушаването на следващата цифра е по-малко от делителя, тогава в резултата се въвежда нула и към дивидента се добавя друга цифра от първоначалния дивидент.

Пример 1. Намерете X, ако За да преобразуваме лявата страна на равенството, ние използваме последователно закона на Де Морган за логическо събиране и закона за двойното отрицание: Съгласно разпределителния закон за логическо събиране: Съгласно закона за изключване на третото и законът за изключване на константите: Приравняваме получената лява страна към дясната: X = B Накрая получаваме: X = B. Пример 2. Опростете логическия израз Проверете коректността на опростяването, като използвате таблиците на истината за оригинала и резултата логически израз. Според закона за общата инверсия за логическо събиране (първият закон на де Морган) и закона за двойното отрицание: Според закона за разпределение за логическо събиране: Според закона на противоречието: Според закона за идемпотентността Заменяме стойностите ​​и, използвайки комутативния закон и групирайки членовете, получаваме : Съгласно закона за изключване (слепване) Заместете стойностите и ще получите: Съгласно закона за изключване на константите за логическо добавяне и закона за идемпотентност: Заместник стойностите и получаваме: Според закона за разпределение за логическо умножение: Според закона за изключване на третата: Заместваме стойностите и накрая получаваме: 2 Логически основи на компютър Дискретен преобразувател, който след обработка на входни двоични сигнали, произвежда изходен сигнал, който е стойността на една от логическите операции, се нарича логически елемент. По-долу са символи(схеми) от основни логически елементи, които изпълняват логическо умножение (конюнктор), логическо събиране (дизюнктор) и отрицание (инвертор). Ориз. 3.1. Конюнктор, дизюнктор и инвертор Компютърните устройства (суматори в процесора, клетки с памет в RAM и др.) се изграждат на базата на основни логически елементи. Пример 3. За дадена логическа функция F(A, B) = =B&АÚB&A да се построи логическа схема. Строителството трябва да започне с логическа операция, който трябва да се изпълни последен. В този случай такава операция е логическо добавяне, следователно трябва да има дизюнктор на изхода на логическата верига. Към него се подават сигнали от два конектора, които от своя страна се захранват с един нормален и един инверсен входен сигнал (от инвертори). Пример 4. Логическа схема има два входа X и Y. Определете логическите функции F1(X,Y) и F2(X,Y), които са реализирани на двата й изхода. Функцията F1(X,Y) се реализира на изхода на първия конюнктор, тоест F1(X,Y) = X&Y. В същото време сигналът от конектора се подава към входа на инвертора, на изхода на който се реализира сигналът X&Y, който от своя страна се подава към един от входовете на втория конектор. Сигналът Xv Y от дизюнктора се подава към другия вход на втория конюнктор, следователно функцията F2(X,Y) = X&Y&,(XvY). Нека разгледаме схема за събиране на две n-битови двоични числа. При събиране на цифрите на цифрата i-ro се добавят ai и bi, както и Pi-1 - прехвърлянето от цифрата i-1. Резултатът ще бъде st - сумата и Pi - прехвърлянето към най-значимата цифра. По този начин еднобитовият двоичен суматор е устройство с три входа и два изхода. Пример 3.15. Конструирайте таблица на истината за еднобитов двоичен суматор, като използвате таблицата за събиране на двоични числа. Тригер. Тригерите се използват за съхраняване на информация в RAM паметта на компютъра, както и във вътрешните регистри на процесора. Спусъкът може да бъде локализиран по един от двата начина стабилни състояния, което ви позволява да запомните, съхраните и прочетете 1 бит информация. Най-простият тригер е .RS тригерът. Състои се от две NOR gate, които изпълняват логическата функция F9 (вижте таблица 3.1). Входовете и изходите на елементите са свързани с пръстен: изходът на първия е свързан с входа на втория, а изходът на втория е свързан с входа на първия. Тригерът има два входа S (от англ. set - монтаж) и I (от англ. reset - нулиране) и два изхода Q (директен) и Q (инверсен). Ориз. 2 Логическа схема на RS тригер Пример 3.16. Изградете таблица, описваща състоянието на входовете и изходите на RS тригера. Ако входовете получават сигнали R = 0 и S = ​​0, тогава тригерът е в режим на съхранение; предварително зададените стойности се съхраняват на изходите Q и Q. Ако входът за настройка S е подаден към кратко времесигналът е 1, тогава тригерът преминава в състояние 1 и след като сигналът на вход S стане 0, тригерът ще поддържа това състояние, т.е. ще съхранява 1. Когато 1 се приложи към вход R, флипът -flop ще премине в състояние 0. Прилагането към двата входа S и R логика може да доведе до двусмислени резултати, така че тази комбинация от входни сигнали е забранена. Задачи за самостоятелно изпълнение 1. Има 16 логически функции на две променливи (виж таблица 3.1). Конструирайте техните логически схеми, като използвате основни логически портове: конюнктор, дизюнктор и инвертор. 2. Докажете, че логическата схема, разгледана в пример 3.10, е еднобитов двоичен полусуматор (пренасянето от младшия бит не се взема предвид). 3. Докажете чрез конструиране на таблица на истината, че логическата функция P = (A&B)v(A&,P0)v(B&P0) определя прехвърлянето към най-значимата цифра при добавяне на двоични числа (A и B са членове, Po е прехвърляне от най-малката цифра). 4. Докажете чрез конструиране на таблица на истината, че логическата функция S = (AvBvP0)&Pv(A&.B&P0) определя сумата при добавяне на двоични числа (A и B са членове, Po е пренос от цифрата от по-нисък ред). 5. Конструирайте логическа схема на еднобитов двоичен суматор. Колко основни логически порти са необходими за реализиране на 64-битов суматор на двоични числа? 6. Колко основни логически елемента образуват RAMмодерен компютър с капацитет 64 MB? 1. Запишете в разгънат вид числата: а) A8=143511; d) A10=143,511; 6)A2=100111; д) A8=0,143511; в) A16=143511; e)A1e=1AZ,5C1. 2. Запишете следните числа в свита форма: a) A10=9-101+1*10+5"10-1+3-10~2; b)A16=A-161+1-16°+7- 16" 1+5-16~2. 3. Правилно ли са записани числата в съответните бройни системи: а) A10 = A,234; в) А16=456,46; b) A8 = -5678; г) A2=22,2? 4. Каква минимална основа има бройната система, ако в нея са записани числата 127, 222, 111? Определете десетичния еквивалент на тези числа в намерената бройна система. 5. Какъв е десетичният еквивалент на числата 101012, 101018 1010116? 6. Трицифрено десетично число завършва с цифрата 3. Ако тази цифра се премести две цифри наляво, т.е. записът на ново число започва с нея, то това ново число ще бъде еднократно повече от тройно оригиналното номер. Намерете оригиналния номер. 2.22 Шестцифрено десетично число започва отляво с цифрата 1. Ако тази цифра се премести от първото място вляво до последното място вдясно, тогава стойността образован бройще бъде три пъти по-голям от оригинала. Намерете оригиналния номер. 2.23.Кое от числата 1100112, 1114, 358 и 1B16 е: а) най-голямото; б) най-малката? 2.27 Има ли триъгълник, чиито дължини на страните са изразени с числата 12g, 1116 и 110112? 2.28. Кое е най-голямото десетично число, което може да бъде записано трицифрено в двоична, осмична и шестнадесетична бройна система? 2.29 „Несериозни“ въпроси. Когато 2x2=100? Когато 6x6=44? Когато 4x4=20? 2.30. Запишете целите десетични числа, принадлежащи на следните числови интервали: а) ; б) ; V) . 2.31 В класа има 11 112 момичета и 11 002 момчета. Колко ученици има в класа? 2.32.В класа има 36 ученици, от които 21 момичета и 15 момчета. В каква бройна система са преброени учениците? 2.33 В градината има 100q овощни дървета, от които 33q ябълкови дървета, 22q круши, 16q сливи и 5q череши. В коя бройна система се броят дърветата? 2.34 Имаше 100q ябълки. След като всяка от тях беше разполовена, имаше 1000q половини. В бройната система с каква основа са се броили? 2.35.Имам 100 братя. Най-младата е на 1000 години, а най-старата е на 1111 години. Най-големият е в 1001 клас. Възможно ли е това? 2.36 Имало едно време езерце, в центъра на което растяло едно листо от водна лилия. Всеки ден броят на тези листа се удвояваше и на десетия ден цялата повърхност на езерото вече беше пълна с листа от лилия. Колко дни са били необходими, за да се напълни половината езерце с листа? Колко листа имаше след деветия ден? 2.37.Като изберете степените на числото 2, които дават сбор на дадено число, преобразувайте в двоичната бройна система следните числа: а) 5; на 12; д) 32; б) 7; г) 25; е) 33. Проверете коректността на превода с помощта на програмата Advanced Converter. 2.3. Преобразуване на числа от една бройна система в друга 2.3.1. Превеждане на цели числа от една бройна система в друга Можете да формулирате алгоритъм за преобразуване на цели числа от система с основа p в система с основа q: 1. Изразете основата на новата бройна система в цифри на оригиналната бройна система и изпълнете всички следващи действия в оригиналната бройна система. 2. Разделяме последователно даденото число и получените цяло числа на основата на новата бройна система, докато получим частно, което е по-малко от делителя. 3. Получените остатъци, които са цифри на числата в новата бройна система, се привеждат в съответствие с азбуката на новата бройна система. 4. Съставете числото в нова системаизчисление, като го записвате, започвайки от последния остатък. Пример 2.12 Преобразуваме десетичното число 17310 в осмичната бройна система: ■ Получаваме: 17310=2558. Пример 2.13 Преобразуваме десетичното число 17310 в шестнадесетична бройна система: - Получаваме: 17310=AD16. Пример 2.14 Преобразувайте десетичното число 1110 в двоичната бройна система. Получаваме: 111O=10112. Пример 2.15 Понякога е по-удобно да напишете алгоритъма за превод под формата на таблица. Нека преобразуваме десетичното число 36310 в двоично. 2.3.2. Преобразуване на дробни числа от една бройна система в друга Можете да формулирате алгоритъм за преобразуване на правилна дроб с основа p в дроб с основа q: 1. Изразете основата на новата бройна система в цифри на оригиналната бройна система и изпълнете всички следващи действия в оригиналната бройна система. 2. Последователно умножете даденото число и получените дробни части от произведенията по основата на новата система, докато дробната част на произведението стане равна на нула или се постигне необходимата точност на представяне на числата. 3. Получените цели части от произведенията, които са цифри на числото в новата бройна система, се привеждат в съответствие с азбуката на новата бройна система. 4. Съставете дробната част на числото в новата бройна система, като започнете от цялата част на първото произведение. Пример 2.16. Преобразувайте числото 0,6562510 в осмичната бройна система. Пример 2.17. Преобразувайте числото 0,6562510 в шестнадесетична бройна система. Пример 2.18. Превеждай десетичен знак 0,562510 в двоична бройна система. Пример 2.19 Преобразувайте десетичната дроб 0,710 в двоичната бройна система. Очевидно този процес може да продължи безкрайно, давайки все нови и нови знаци в образа на двоичния еквивалент на числото 0,710. И така, в четири стъпки получаваме числото 0,10112, а в седем стъпки числото 0,10110012, което е по-точно представяне на числото 0,710 в двоична система и т.н. Такъв безкраен процес се прекратява на определена стъпка, когато се смята, че е получена необходимата точност на представяне на числата. 2.3.3. Превод на произволни числа Преводът на произволни числа, т.е. числа, съдържащи цяло число и дробна част, се извършва на два етапа. Цялата част се превежда отделно, а дробната част отделно. При окончателния запис на полученото число цялата част се отделя от дробната. Пример 2.20 Преобразувайте числото 17.2510 в двоичната бройна система. Превеждане на цялата част: Превеждане на дробната част: Пример 2.21. Преобразувайте числото 124.2510 в осмично. 2.3.4. Преобразуване на числа от бройна система с основа 2 в бройна система с основа 2n и обратно Преобразуване на цели числа - Ако основата на q-ичната бройна система е степен на 2, тогава преобразуването на числата от q-ичната бройна система в двоична и обратно може да се извърши с помощта на по-прости методи правила. За да запишете цяло двоично число в бройната система с основа q = 2", трябва: 1. Разделете двоичното число от дясно на ляво на групи от n цифри всяка. 2. Ако последната лява група има по-малко n цифри, тогава към необходимия брой цифри трябва да се добавят нули отляво 3. Разгледайте всяка група като n-битово двоично число и я запишете със съответната цифра в бройната система с основа q = 2p Пример 2.22. Числото 1011000010001100102 се преобразува в осмичната бройна система.Разделяме числото отдясно наляво на триади и под всяка от тях записваме съответната осмична цифра: Получаваме осмичното представяне на оригиналното число: 5410628. Пример 2.23. Преобразуваме числото 10000000001111100001112 в шестнадесетичната бройна система.Разделяме числото отдясно наляво на тетради и под всяка от тях записваме съответната шестнадесетична цифра: Получаваме шестнадесетичното представяне на оригиналното число: 200F8716.Превод на дробни числа.По ред за да напишете дробно двоично число в бройна система с основа q = 2", трябва да: 1. Разделите двоичното число отляво надясно на групи от по n цифри всяка. 2. Ако последната дясна група съдържа по-малко от n цифри, тогава тя трябва да бъде допълнена отдясно с нули до необходимия брой цифри. 3. Разгледайте всяка група като n-битово двоично число и го запишете със съответната цифра в бройната система с основа q = 2n. Пример 2.24 Нека преобразуваме числото 0,101100012 в осмичната бройна система. Разделяме числото отляво надясно на триади и под всяка от тях записваме съответната осмична цифра: Получаваме осмичното представяне на оригиналното число: 0,5428. Пример 2.25. Нека преобразуваме числото 0,1000000000112 в шестнадесетичната бройна система. Разделяме числото отляво надясно на тетради и под всяка от тях записваме съответната шестнадесетична цифра: Получаваме шестнадесетичното представяне на оригиналното число: 0,80316. Превод на произволни числа. За да запишете произволно двоично число в бройната система с основа q - 2n е необходимо: [ 1. Разделете цялата част на дадено двоично число отдясно наляво и дробната част отляво надясно на групи от n всяка цифра. 2. Ако последните лява и/или дясна група съдържат по-малко от n цифри, тогава те трябва да бъдат допълнени отляво и/или отдясно с нули до необходимия брой цифри. 3. Разгледайте всяка група като n-битово двоично число и го запишете със съответната цифра в бройната система с основа q = 2n. Пример 2.26 Нека преобразуваме числото 111100101.01112 в осмичната бройна система. Разделяме цялата и дробната част на числото на триади и под всяка от тях записваме съответната осмична цифра: Получаваме осмичното представяне на оригиналното число: 745.34S. Пример 2.27 Нека преобразуваме числото 11101001000.110100102 в шестнадесетичната бройна система. Разделяме цялата и дробната част на числото на тетради и под всяка от тях записваме съответната шестнадесетична цифра: Получаваме шестнадесетично представяне на оригиналното число: 748,D216. Преобразуване на числа от бройни системи с основа q = 2 в двоична система.. За да произволно число, записано в бройната система с основа q = 2, се преобразува в двоичната бройна система, трябва да замените всяка цифра от това число с нейния n-цифрен еквивалент в двоичната бройна система. Пример 2.28. Нека преобразуваме шестнадесетичното число 4AC351b в двоичната бройна система. В съответствие с алгоритъма: i Получаваме: 10010101100001101012. Задачи за самостоятелно изпълнение 2.38. Попълнете таблицата, във всеки ред от която трябва да бъде записано едно и също число в различни бройни системи. 2.39. Попълнете таблицата, във всеки ред от която трябва да се запише едно и също дробно число в различни бройни системи. 2.40. Попълнете таблицата, във всеки ред от която трябва да се запише едно и също произволно число (числото може да съдържа както цяло число, така и дробна част) в различни бройни системи. 2.4. Аритметични операции в позиционни бройни системи

Аритметични действия в двоичната бройна система.


Пример 2.29.Нека да разгледаме някои примери за добавяне на двоични числа:

Изваждане. При извършване на операция за изваждане от по-голямото по абсолютна стойност винаги се изважда по-малкото число и се поставя съответният знак. В таблицата за изваждане 1 с черта означава заем с най-висок ранг.


Пример 2.31. Нека да разгледаме някои примери за умножение на двоични числа:

Виждате, че умножението се свежда до изместване на умножаващото и събиране.

дивизия. Операцията деление се извършва по алгоритъм, подобен на алгоритъма за извършване на операция деление в десетичната бройна система.


Събиране в други бройни системи. По-долу е таблица за добавяне в осмичната бройна система:

2.42. Подредете знаците на аритметичните действия така, че да са правилни следните равенствав двоична система:

Запишете отговора за всяко число в посочените и десетичната бройна система. 2.44. Какво число предхожда всяко от следните:

2.45. Запишете целите числа, принадлежащи на следните числови интервали:

а) в двоичната система;

б) в осмичната система;

в) в шестнадесетична система.

Запишете отговора за всяко число в посочените и десетичната бройна система.



2.47. Намерете средното аритметично следните числа:

2.48. Сума от осмични числа 17 8 + 1700 8 + 170000 3 + 17000000 8 +
+ 1700000000 8 преобразувани в шестнадесетична бройна система.
Намерете петата цифра отляво в числото, равно на тази сума.


Възстановете неизвестните числа, обозначени с въпросителен знак в
следните примери за събиране и изваждане, като първо сте определили
Ле, в каква система са изобразени числата.
  1. Място на урока: 9. клас - 3. урок от изучавания раздел
  2. Тема на урока: Аритметични действия в двоичната бройна система.

Тип урок: лекция, разговор, самостоятелна работа.

Цели на урока:

Дидактически: въведе правилата за извършване на аритметични операции (събиране, умножение, изваждане) в двоичната бройна система.

Образователни: внушаване на умения за независимост в работата, внушаване на точност и дисциплина.

Развитие: развитие на вниманието, паметта на учениците, развитие на способността за сравняване на получената информация.

Междупредметни връзки:Математика:

Класове на оборудване за обучение (оборудване):проектор, маса, карти със задачи.

Методическа подкрепа на урока:Презентация на PowerPoint.

План на урока

  1. Организационен момент (2 мин.).
  2. Повторение (10)
  3. Обяснение на нов материал (15 минути)
  4. Консолидиране на преминатия материал (10 мин.)
  5. домашна работа
  6. Размисъл (2 мин.)
  7. Обобщаване (2 мин.)

По време на часовете

  1. Организиране на времето
  2. Актуализиране на знанията.Продължаваме да изучаваме темата за числовата система и целта на нашия урок днес ще бъде да научим как да извършваме аритметични операции в двоичната бройна система, а именно ще разгледаме правилото за извършване на такива операции като добавяне, изваждане, умножение , разделение.
  3. Проверка на знанията (фронтално проучване).

Да си припомним:

  1. Как се нарича бройна система?
  2. Каква е основата на бройната система?
  3. Каква основа има двоичната бройна система?
  4. Посочете кои числа са написани с грешки и аргументирайте отговора си:
    123     8, 3006 2, 12AAS09 20, 13476 10,
  5. Каква минимална основа трябва да има една бройна система, ако в нея могат да се записват числата: 10, 21, 201, 1201
  6. Коя цифра завършва на четно двоично число?
    Коя цифра завършва на нечетно двоично число?

4 . Изучаването на нов материал е придружено с презентация

/ Приложение 1/

Учителят обяснява нова темаВъз основа на презентационните слайдове учениците си водят бележки и изпълняват предложените от учителя задачи в тетрадките си.

От всички позиционни системи, двоичната бройна система е особено проста. Нека да разгледаме извършването на основни аритметични операции с двоични числа.

Всички позиционни бройни системи са „едни и същи“, а именно във всички тях аритметичните операции се извършват по едни и същи правила:

1 . важат едни и същи закони на аритметиката: комутативен, асоциативен, разпределителен;

2. правилата за събиране, изваждане и умножение в колона са справедливи;

3. Правилата за извършване на аритметични действия се основават на таблиците за събиране и умножение.

Допълнение

Нека да разгледаме примери за добавяне.

При добавяне на две цифри в колона отдясно наляво в двоичната бройна система, както във всяка позиционна система, само една може да премине към следващата цифра.

Резултатът от събирането на две положителни числа има или същия брой цифри като максимума от двата члена, или още една цифра, но тази цифра може да бъде само една.

1011022+111112=?

1110112+110112=?

Изваждане

Самостоятелна работа на учениците в тетрадки за консолидиране на материала

101101 2 -11111 2 =?

110011 2 -10101 2 =?
Умножение
Нека да разгледаме примери за умножение.

Операцията за умножение се извършва с помощта на таблица за умножение по обичайната схема (използвана в десетичната бройна система) с последователно умножение на множителя със следващата цифра на множителя.
Нека да разгледаме примери за умножение
При извършване на умножение в пример 2 в съответната цифра се добавят три единици 1+1+1=11, записва се 1, а другата единица се прехвърля в най-значимата цифра.
В двоичната бройна система операцията за умножение се свежда до изместване на умножаващото и добавяне на междинни резултати.
дивизия

Операцията деление се извършва по алгоритъм, подобен на алгоритъма за извършване на операция деление в десетичната бройна система.

Нека да разгледаме пример за разделяне

Затвърдяване (самостоятелната работа на учениците с карти се извършва в тетрадка) /Приложение 2/

За завършилите студенти самостоятелна работав кратък период от време се предлага допълнителна задача.

5. Домашна работа

2. Научете правилата за извършване на аритметични операции в двоичната бройна система, научете таблиците за събиране, изваждане и умножение.

3. Следвай тези стъпки:

110010+111,01

11110000111-110110001

10101,101*111

6 Отражение

Днес в час най-образователното за мен беше...

Бях изненадан, че...

Мога да приложа знанията, които научих днес в час...

7. Обобщение на урока

Днес се научихме да извършваме аритметични действия в двоичната бройна система (оценка за урока).

Надписи на слайдове:

Тема на урока: „Аритметични операции в позиционни бройни системи“ Учител по информатика Марина Валентиновна Федорченко МОУ Березовская гимназия от Березовка Тайшетски район Иркутска област Нека си припомним: Какво се нарича бройна система? Какво се нарича основа на бройна система? Каква основа означава двоична бройна система Посочете кои числа са написани с грешки и обосновете отговора: 1238, 30062, 12ААС0920, 1347610 , Каква минимална основа трябва да има една бройна система, ако в нея могат да се записват числата: 10, 21, 201, 1201 Коя цифра завършва четно двоично число? Коя цифра завършва нечетно двоично число?
Лаплас пише за отношението си към двоичната бройна система на великия математик Лайбниц: „В своята двоична аритметика Лайбниц видя прототип на сътворението. Струваше му се, че единицата представлява божествения принцип, а нулата представлява несъществуването и че Върховното същество създава всичко от несъществуването по точно същия начин, както едно и нула в неговата система изразяват всички числа. Тези думи подчертават гъвкавостта на двузнаковата азбука. Всички позиционни бройни системи са „едни и същи“, а именно във всички тях аритметичните операции се извършват по едни и същи правила:
валидни са същите закони на аритметиката: --комутативна (комутативна) m + n = n + m m · n = n · m асоциативна (комбинативна) (m + n) + k = m + (n + k) = m + n + k (m n) k = m (n k) = m n k разпределителен (m + n) k = m k + n k
важат правилата за събиране, изваждане и умножение в колона;
правилата за извършване на аритметични действия се основават на таблиците за събиране и умножение.
Събиране в позиционни бройни системи От всички позиционни системи, двоичната бройна система е особено проста. Нека да разгледаме извършването на основни аритметични операции с двоични числа. Всички позиционни бройни системи са „едни и същи“, а именно във всички тях аритметичните операции се извършват по едни и същи правила: валидни са едни и същи: комутативни, асоциативни, разпределителни; валидни са правилата за събиране, изваждане и умножение по колона. ; правилата за извършване на аритметични операции се основават на таблици за събиране и умножение.
При добавяне на две цифри в колона отдясно наляво в двоичната бройна система, както във всяка позиционна система, само една може да премине към следващата цифра. Резултатът от събирането на две положителни числа има или същия брой цифри като максимума от двата члена, или още една цифра, но тази цифра може да бъде само една. Нека да разгледаме примерите. Решете примерите сами:
1011012 + 111112
1110112 + 110112
1001100
1010110
При извършване на операция за изваждане по-малкото число винаги се изважда от по-голямото число по абсолютна стойност и на резултата се дава съответният знак.
Изваждане Нека да разгледаме примери Примери:
1011012– 111112
1100112– 101012
1110
11110
Умножение в позиционни бройни системи Операцията за умножение се извършва с помощта на таблица за умножение по обичайната схема (използвана в десетичната бройна система) с последователно умножение на множителя със следващата цифра на множителя.Нека разгледаме примери за умножение. Нека да разгледаме примери Нека да разгледаме пример за деление
Да решим примери:
11012 1112

111102:1102=
1011011
101
Домашна работа 1.&3.1.22.Научете правилата за извършване на аритметични действия в двоичната бройна система, научете таблиците за събиране, изваждане, умножение.3. Следвайте стъпките:110010+111,0111110000111-11011000110101,101*111 Рефлексия Днес в урока най-информативното за мен беше...изненадах се, че...мога да приложа знанията, придобити днес в урока...

Аритметични операции в позиционни бройни системи

Нека разгледаме по-подробно аритметичните операции в двоичната бройна система. Аритметиката на двоичната бройна система се основава на използването на таблици за събиране, изваждане и умножение на цифри. Аритметичните операнди са разположени в горния ред и първата колона на таблиците, а резултатите са в пресечната точка на колони и редове:

Нека разгледаме подробно всяка операция.

Допълнение.Двоичната таблица за добавяне е изключително проста. Само в един случай, когато се извършва добавяне 1+1, има прехвърляне към най-значимата цифра. ,

Изваждане.При извършване на операция за изваждане от по-голямото по абсолютна стойност винаги се изважда по-малкото число и се поставя съответният знак. В таблицата за изваждане 1 с черта означава заем с най-висок ранг.

Умножение.Операцията за умножение се извършва с помощта на таблица за умножение по обичайната схема, използвана в десетичната бройна система с последователно умножение на множителя по следващата цифра на множителя.

дивизия.Операцията деление се извършва по алгоритъм, подобен на алгоритъма за извършване на операция деление в десетичната бройна система.