• В голям брой случаи познаването на средните стойности на физическите величини само по себе си не е достатъчно. Например, познаването на средния ръст на хората не ни позволява да планираме производството на дрехи с различни размери. Трябва да знаете приблизителния брой хора, чиято височина е в определен интервал.

    По същия начин е важно да знаете броя на молекулите, които имат скорости, различни от средната стойност. Максуел е първият, който открива как могат да бъдат определени тези числа.

Вероятност за случайно събитие

В § 4.1 вече споменахме, че за да опише поведението на голяма колекция от молекули, Дж. Максуел въвежда концепцията за вероятност.

Както многократно е подчертавано, по принцип е невъзможно да се наблюдава промяната в скоростта (или импулса) на една молекула за голям интервал от време. Също така е невъзможно да се определят точно скоростите на всички газови молекули в моментавреме. От макроскопичните условия, в които се намира газ (определен обем и температура), не е задължително да следват определени стойности на молекулните скорости. Скоростта на една молекула може да се разглежда като случайна променлива, която при дадени макроскопични условия може да вземе различни значения, точно както при хвърляне на зар може да се появи произволен брой точки от 1 до 6 (броят на страните на зара е шест). Невъзможно е да се предвиди броят на точките, които ще излязат при хвърляне на зар. Но вероятността да се хвърлят, да речем, пет точки е определима.

Каква е вероятността да се случи случайно събитие? Нека се извърши много голям брой N тестове (N е броят на хвърлените зарове). Освен това в N" случая е имало благоприятен изход от тестовете (т.е. отпаднала е петица). Тогава вероятността за това събитие е равна на отношението на броя на случаите с благоприятен изход към общия брой тестове, при условие, че това число е толкова голямо, колкото желаете:

За симетричен зар вероятността за всеки избран брой точки от 1 до 6 е равна на .

Виждаме, че на фона на много случайни събития се разкрива определена количествена закономерност, появява се число. Това число - вероятността - ви позволява да изчислявате средни стойности. И така, ако хвърлите 300 зара, тогава средният брой петици, както следва от формула (4.6.1), ще бъде равен на 300 = 50 и няма абсолютно никаква разлика дали хвърляте едни и същи зарове 300 пъти или 300 еднакви зарове едновременно.

Няма съмнение, че поведението на газовите молекули в съд е много по-сложно от движението на хвърлен зар. Но и тук може да се надяваме да открием определени количествени закономерности, които правят възможно изчисляването на статистически средни стойности, само ако проблемът се постави по същия начин, както в теорията на игрите, а не като в класическата механика. Необходимо е да изоставим неразрешимата задача за определяне на точната стойност на скоростта на молекулата в даден момент и да се опитаме да намерим вероятността скоростта да има определена стойност.

Разпределение на скоростта на молекулите - разпределение на Максуел

Максуел приема, че в газовете в състояние на термично равновесие има определено разпределение на скоростите, което не се променя с течение на времето, с други думи, броят на молекулите със скорости в даден диапазон от стойности остава постоянен. И Максуел намери това разпределение.

Но основната заслуга на Максуел е не толкова в решаването на този проблем, колкото в самата формулировка на новия проблем. Той ясно осъзна, че случайното поведение на отделните молекули при дадени макроскопични условия е подчинено на определен вероятностен или статистически закон. Този статистически закон за разпределението на газовите молекули по скорост се оказа сравнително прост.

Разпределението на скоростта на молекулите може да бъде визуално представено по следния начин. Да изберем правоъгълна системаеталон, по чиито оси ще нанесем проекциите v x , v y , v z на скоростите на частиците. Резултатът ще бъде триизмерно „пространство на скоростта“, всяка точка от което съответства на молекула със строго определена скорост v, равна по големина на дължината на радиус-вектора, начертан от началото на референтната система до тази точка ( Фиг. 4.7).

ориз. 4.7

Обща представа за разпределението на скоростта на молекулите ще се получи, ако скоростта на всяка от N молекули се изобрази като точка в това скоростно пространство (фиг. 4.8). Точките ще бъдат разположени доста хаотично, но средно плътността на точките ще намалява, когато се отдалечават от началото (не всички молекулни скорости се срещат еднакво често).

ориз. 4.8

Картината на разпределението на точките, разбира се, не е замразена. С течение на времето скоростите на молекулите се променят поради сблъсъци и, следователно, моделът на разпределение на точките в скоростното пространство се променя. Промяната му обаче е такава, че средната плътност на точките във всяка област на скоростното пространство няма да се промени с времето, тя остава същата. Именно това означава наличието на определен статистически закон. Средната плътност съответства на най-вероятното разпределение на скоростта.

Броят на точките AN в определен малък обем Δv x Δv y Δv z на скоростното пространство очевидно е равен на този обем, умножен по плътността на точките вътре в него. (По подобен начин масата Δm на определен обем ΔV е равна на произведението на плътността на материята ρ от този обем: Δm = ρΔV.) Нека означим с Nf(v x, v y, v z) средната плътност на точките в скоростта пространството, т.е. броят точки на единица обем от космически скорости (N е общият брой на газовите молекули). Тогава

Всъщност ΔN е броят на молекулите, чиито проекции на скоростта лежат в диапазоните от стойности от v x до v x + Δv x, от v y до v y + Δv y и от v z до v z + Δv z (радиус векторите на скоростите от тези молекули завършват вътре в обема на скоростното пространство Δv = Δv x Δv y Δv z, което има формата на куб (виж фиг. 4.8).

Вероятността проекциите на скоростта на една молекула да лежат в даден скоростен диапазон е равна на съотношението на броя на молекулите с дадена стойност на скоростта към общия брой молекули:

Функцията f(v x, v y, v z) се нарича функция на разпределение на скоростта на молекулите и представлява плътността на вероятността, т.е. вероятността за единица обем от скоростното пространство.

Скоростите на молекулите в даден момент от времето могат по принцип да бъдат всякакви. Но вероятността за различни разпределения на скоростта не е еднаква. Сред всички възможни моментни разпределения има едно, чиято вероятност е по-голяма от всички останали - най-вероятното разпределение. Максуел установява, че функцията на разпределение f(v x, v y, v z), даваща това най-вероятно разпределение на скоростта на молекулите (разпределението на Максуел), се определя от съотношението на кинетичната енергия на молекулата

към средната енергия на неговото топлинно движение kT (k е константата на Болцман). Това разпределение има формата

Тук e ≈ 2,718 е основата на естествените логаритми и стойността на A не зависи от скоростта.

По този начин, според Максуел, плътността на точките, представляващи молекули в пространството на скоростта, е максимална близо до началото (v = 0) и намалява с увеличаване на v, и колкото по-бързо, толкова по-ниска е енергията на топлинното движение kT. Фигура 4.9 показва зависимостта на функцията на разпределение f от проекцията v x, при условие че проекциите v y и v z са произволни. Функцията на разпределение има характерна камбанообразна форма, която често се среща в статистическите теории и се нарича крива на Гаус.

ориз. 4.9

Константата А се намира от условието, че вероятността скоростта на една молекула да има някаква стойност от нула до безкрайност трябва да бъде равна на единица. Това състояние се нарича условие за нормализиране. (По същия начин, вероятността да получите произволен брой точки от 1 до 6 за дадено хвърляне на зар е равна на единица.) Общата вероятност се получава чрез добавяне на вероятностите за всички възможни взаимно изключващи се реализации на случайно събитие.

Обобщавайки вероятностите ΔW i на всички възможни стойности на скоростта i, получаваме уравнението

След като изчислим нормализационната константа A с помощта на уравнение (4.6.5), можем да напишем израза за средния брой частици със скорости в даден интервал в следната форма:

Скоростта на всяка молекула в даден момент е случайна променлива. Следователно самото разпределение на молекулите по скорост в даден момент е произволно. Но средното разпределение, определено от статистическия закон, задължително се осъществява при определени макроскопични условия и не се променя във времето. Винаги обаче има отклонения от средното - колебания. Тези отклонения са еднакво вероятно да възникнат както в едната, така и в другата посока. Ето защо средно има известно разпределение на молекулите по скорост.

Разпределението на скоростта на Максуел на молекулите се оказва валидно не само за газове, но и за течности и твърди вещества. Само в случаите, когато е невъзможно да се приложи за описание на движението на частиците класическа механика, разпределението на Максуел вече не е валидно.

Разпределение на модулите на молекулната скорост

Нека намерим средния брой молекули, чиито абсолютни скорости са в диапазона от v до v + Δv.

Разпределението на Максуел (4.6.4) определя броя на молекулите, чиито проекции на скоростта лежат в диапазоните от стойности от v x до v x + Δv x, от v y до v y + Δv y, от v z до v z + Δv z. Векторите на тези скорости завършват вътре в обема Δv x Δu y Δv z (виж фиг. 4.8). По този начин се задава средният брой молекули, които имат определен модул и определена посока на скоростите, дадени от позицията на обема Δv x Δu y Δv z в пространството на скоростите.

Всички молекули, чиито скоростни модули са в диапазона от v до и + Δv, са разположени в скоростното пространство вътре в сферичен слой с радиус v и дебелина Δv (фиг. 4.10). Обемът на сферичния слой е равен на произведението на повърхността на слоя и неговата дебелина: 4πv 2 Δv.

ориз. 4.10

Броят на молекулите, разположени вътре в този слой и, следователно, с дадени стойности на модула на скоростта в диапазона от v до v + Δv, може да се намери от формула (4.6.2), ако заместим обема Δv x Δu y Δv z с обем 4πv 2 Δv .

По този начин необходимият среден брой молекули е

Тъй като вероятността за определена стойност на модула на скоростта на молекулата е равна на отношението, тогава за плътността на вероятността получаваме

Графика, изразяваща зависимостта на тази функция от скоростта, е показана на фигура 4.11. Виждаме, че функцията f(v) вече няма максимум при нула, като плътността на вероятността f(v x, v y, v z). Причината за това е следната. Плътността на точките, представляващи молекули в пространството на скоростта, все още ще бъде най-голяма близо до v = 0, но поради увеличаването на обема на сферичните слоеве с нарастващи модули на скоростта (~ v 2), функцията f(v) нараства. В този случай броят на точките вътре в сферичния слой расте по-бързо, отколкото функцията f(v x, v y, v z) намалява поради намаляване на плътността на точките.

ориз. 4.11

Можете ли да обясните казаното? ясен пример. Да приемем, че доста точен стрелец стреля по правилна мишена с концентрични кръгове. Попаденията с куршуми са концентрирани около центъра на мишената. Плътността на ударите - броят удари на единица площ - ще бъде максимална близо до центъра на целта. Нека разделим целта на отделни тесни ивици с ширина Δx (фиг. 4.12, а). Тогава съотношението на броя на попаденията на дадена лента към нейната ширина ще бъде максимално близо до центъра на мишената.

ориз. 4.12

Връзката между броя на ударите в дадена лента и нейната ширина има формата, показана на фигура 4.12, b. Тук отново се получава крива на Гаус, както за разпределението f(v x) върху проекциите на скоростта (виж Фиг. 4.9).

Но съвсем различен резултат ще се получи, ако преброите броя на попаденията в различни целеви пръстени. В този случай съотношението на броя на ударите в пръстен с радиус r към неговата ширина ще бъде графично характеризирано от кривата, показана на фигура 4.12c. Въпреки че плътността на ударите намалява с разстоянието от центъра на целта, площите на пръстените се увеличават пропорционално на r, което води до изместване на максимума на кривата от нула.

Най-вероятната скорост на молекулите

Познавайки формулата (4.6.8) за плътността на вероятността на модулите на молекулярната скорост, може да се намери стойността на скоростта, съответстваща на максимума на тази плътност на вероятността (1). Скоростта (тя се нарича най-вероятната) се оказва равна на

Повечето молекули имат скорости, близки до най-вероятните (виж фиг. 4.11).

С увеличаването на абсолютната температура T се увеличава най-вероятната скорост и в същото време кривата на зависимост Do) става все по-изгладена (фиг. 4.13).

ориз. 4.13

Ролята на бързите молекули

При всяка температура има определен брой молекули, чиито скорости и следователно кинетични енергии са значително по-високи от средните.

Известно е, че мнозина химически реакции, например, изгарянето на конвенционалните горива (дърва, въглища и др.) започва само при определена, достатъчно висока температура. Енергията, необходима за започване на процеса на окисляване на горивото, т.е. изгаряне (тя се нарича енергия на активиране), е от порядъка на 10 -19 J. А при температура от 293 K (стайна температура), средната кинетична енергия на топлинно движение на молекули е приблизително 5 10 -21 J Следователно не се получава изгаряне. Въпреки това, повишаване на температурата само 2 пъти (до 586 K) причинява запалване. Средната енергия на молекулите също се увеличава 2 пъти, но броят на молекулите, чиято кинетична енергия надвишава 10 -19 J, се увеличава 10 8 пъти. Това следва от разпределението на Максуел. Следователно при температура от 293 K се чувствате комфортно да четете книга, но при 586 K книгата започва да гори.

Изпарението на течност също се определя от бързите молекули на дясната „опашка“ на разпределението на Максуел. Енергията на свързване на водните молекули при стайна температура е значително по-голяма от kT. Въпреки това изпарението се получава поради малък брой бързи молекули, чиято кинетична енергия надвишава kT.

Максуел откри нов типфизичен закон - статистически - и установи разпределението на молекулите по скорост. Той ясно разбираше значението на своето откритие. В доклад до Философското общество в Кеймбридж Максуел каза: „Вярвам, че най-много важномолекулярните теории са полезни за развитието на нашите методи на мислене, защото ни карат да правим разлика между два метода на познание, които можем да наречем динамичен и статистически.

(1) Това се прави съгласно правилата за намиране на максимума на известна функция. Необходимо е да се изчисли производната на тази функция по отношение на скоростта и да се приравни към нула.

Когато се сблъскат, газовите молекули променят скоростта си. Скоростта на молекулите се променя на случаен принцип. Невъзможно е да се предвиди предварително каква числена скорост ще има дадена молекула: тази скорост е произволна.

Разпределението на молекулите по скоростни модули се описва с помощта на функцията на разпределение f(v):

където съотношението е равно на частта от молекули, чиито скорости са в диапазона от vкъм v+dv. dv-ширина на интервала (фиг. 2).

ориз. 2. Интервал на скоростта

Познавайки гледката f(v),можете да намерите броя на молекулите Δ N Vот тези молекули Н,чиито скорости попадат в скоростния интервал от vкъм v + Δv. Отношение

(14)

дава вероятността скоростта на една молекула да има стойност в рамките на даден скоростен интервал дв.

функция f(v)трябва да отговаря на условието за нормализиране, т.е. условието трябва да бъде изпълнено:

(15)

Лявата страна на израз (17.3) дава вероятността молекулата да има скорост в диапазона от 0 до ∞. Тъй като скоростта на една молекула задължително има някакво значение, посочената вероятност е вероятността за определено събитие и следователно е равна на 1.

Функцията на разпределение е намерена теоретично от Максуел. Изглежда така:

(16)

Къде t 0 -молекулна маса.

Извиква се израз (16). Функция на разпределение на Максуел.

От (16) следва, че типът на разпределението на молекулната скорост зависи от природата на газа (молекулна маса) и температура Т.Налягането и обемът не влияят на разпределението на скоростта на молекулите.

Фиг.3. Графика на функцията на разпределението на Максуел

Схематична графика на функцията на разпределение на Максуел е дадена на фиг. 3. Нека анализираме графиката.

1. При скорости, клонящи към нула (v ->0) и до безкрайност (v -> ∞) функцията на разпределение също клони към нула. Това означава, че много големи и много малки молекулярни скорости са малко вероятни.

2. Скорост vB,съответстващ на максимума на функцията на разпределение ще бъде най-вероятният. Това означава, че по-голямата част от молекулите имат скорости, близки до вероятните.

Можете да получите формула за изчисляване на най-вероятната скорост:

(17)

където k — константа на Болцман; t 0 -молекулна маса.

3. В съответствие с условието за нормализиране (15), площта, ограничена от кривата f(v)и оста x е равна на едно.

4. Кривата на разпределение е асиметрична. Това означава, че частта от молекули със скорости, по-големи от най-вероятната повече споделянемолекули със скорости, по-малки от най-вероятните.

5. Формата на кривата зависи от температурата и природата на газа. На фиг. Фигура 4 показва функцията на разпределение за същия газ при различни температури. При нагряване максимумът на кривата намалява и се измества надясно, тъй като делът на „бързите“ молекули се увеличава, а делът на „бавните“ молекули намалява. Площта под двете криви остава постоянна и равна на единица.


Установеният от Максуел закон за разпределение на молекулните скорости и произтичащите от него последствия са валидни само за газ в равновесно състояние. Законът на Максуел е статистически, той може да се приложи само към голям брой частици

ориз. 4. Разпределения на Максуел при различни температури

Използване на функцията за разпределение на Максуел f(v), можете да намерите редица средни стойности, характеризиращи състоянието на молекулите.

Средна аритметична скорост -сумата от скоростите на всички молекули, разделена на броя на молекулите:

. (18)

Средна квадратична скорост,което определя средната кинетична енергия на молекулите (виж формула (10)), по дефиниция е равна на

<v HF> = (19)

Функция на разпределение на плътността

Разпределение на Максуел- вероятностно разпределение във физиката и химията. Той е в основата на кинетичната теория на газовете, която обяснява много от основните свойства на газовете, включително налягане и дифузия. Разпределението на Максуел е приложимо и за процеси на електронен трансфер и други явления. Разпределението на Максуел се прилага за много свойства на отделните молекули в газ. Обикновено се смята за разпределение на енергиите на молекулите в газ, но може да се приложи и към разпределението на скоростите, моментите и модулите на молекулите. Може също да се изрази като дискретно разпределение върху много дискретни енергийни нива или като непрекъснато разпределение върху някакъв континуум на енергия.

Разпределението на Максуел може да се получи с помощта на статистическа механика (вижте произхода на функцията на разпределение). Като енергийно разпределение, то съответства на най-вероятното енергийно разпределение в система, доминирана от сблъсък, състояща се от голямо количествоневзаимодействащи частици, в които квантови ефектиса незначителни. Тъй като взаимодействието между молекулите в газ обикновено е доста малко, разпределението на Максуел дава доста добро приближение на ситуацията, съществуваща в газа.

В много други случаи обаче условието за доминиране на еластичните сблъсъци над всички други процеси не е дори приблизително изпълнено. Това е вярно, например, във физиката на йоносферната и космическата плазма, където процесите на рекомбинация и сблъсък на възбуждане (т.е. радиационни процеси) имат голяма стойност, особено за електроните. Предположението за приложимостта на разпределението на Максуел в този случай би дало не само количествено неверни резултати, но дори би попречило на правилното разбиране на физиката на процесите на ниво на качество. Също така, в случай, че квантовата дължина на вълната на де Бройл на газовите частици не е малка в сравнение с разстоянието между частиците, ще се наблюдават отклонения от разпределението на Максуел поради квантови ефекти.

Разпределението на енергията на Максуел може да се изрази като дискретно разпределение на енергията:

,

където е броят на молекулите, притежаващи енергия при температурата на системата, е общият брой на молекулите в системата и е константата на Болцман. (Имайте предвид, че понякога горното уравнение е написано с фактор, показващ степента на израждане енергийни нива. В този случай сумата ще бъде за всички енергии, а не за всички състояния на системата). Тъй като скоростта е свързана с енергията, уравнение (1) може да се използва за извличане на връзката между температурата и скоростите на молекулите в газ. Знаменателят в уравнение (1) е известен като канонична разделителна функция.

Разпределение на Максуел

Разпределение по импулсен вектор

Представеното по-долу е много различно от извода, предложен от Джеймс Клерк Максуел и по-късно описан с по-малко предположения от Лудвиг Болцман.

В случай идеален газ, състоящ се от невзаимодействащи атоми в основно състояние, цялата енергия е под формата на кинетична енергия. Кинетичната енергия е свързана с импулса на частицата по следния начин

,

където е квадратът на вектора на импулса.

Следователно можем да пренапишем уравнение (1) като:

,

където е разделителната функция, съответстваща на знаменателя в уравнение (1), е молекулната маса на газа, е термодинамичната температура и е константата на Болцман. Това разпределение е пропорционално на функцията на плътността на вероятността за намиране на молекула в състояние с тези стойности на компонентите на импулса. Така:

Нормализационна константа В, се определя от условието, според което вероятността, която молекулите имат всякаквиКато цяло импулсът трябва да бъде равен на единица. Следователно интегралът на уравнение (4) върху всички стойности трябва да бъде равен на единица. Може да се покаже, че:

.

По този начин, за да има интегралът в уравнение (4) стойност 1, е необходимо, че

.

Като заместим израз (6) в уравнение (4) и използваме факта, че , получаваме

.

Разпределение на вектора на скоростта

Като се има предвид, че плътността на разпределение на скоростта е пропорционална на плътността на разпределение на импулса:

и използвайки получаваме:

,

което е разпределението на скоростта на Максуел. Вероятността за откриване на частица в безкрайно малък елемент близо до скоростта е

Разпределение по абсолютна стойност на импулса

Чрез интегриране можем да намерим разпределението по абсолютната стойност на импулса

Разпределение на енергия

Накрая, използвайки отношенията и , получаваме разпределението на кинетичната енергия:

Проектирано разпределение на скоростта

Разпределението на Максуел за вектора на скоростта е произведението на разпределенията за всяка от трите посоки:

,

където разпределението в една посока:

Това разпределение има формата на нормално разпределение. Както може да се очаква за газ в покой, средната скорост във всяка посока е нула.

Разпределение по скоростен модул

Обикновено по-интересно е разпределението по абсолютна стойност, отколкото по проекциите на молекулните скорости. скоростен модул, vдефиниран като:

следователно модулът на скоростта винаги ще бъде по-голям или равен на нула. Тъй като всичко е нормално разпределено, то ще има разпределение хи-квадрат с три степени на свобода. Ако е функцията на плътност на вероятността за модула на скоростта, тогава:

,

по този начин функцията на плътност на вероятността за модула на скоростта е равна на

Характерна скорост

Въпреки че уравнение (11) дава разпределението на скоростта или с други думи фракцията на молекулите, имащи определена скорост, други величини като средните скорости на частиците често са по-интересни. В следващите подраздели ще дефинираме и получим най-вероятно скорост, средна скоростИ RMS скорост.

Най-вероятната скорост

най-вероятната скорост, - вероятността за притежание на която и да е молекула от системата е максимална и която съответства на максималната стойност на . За да го намерите, трябва да изчислите, да го приравните към нула и да решите за:

Средна скорост

RMS скорост

Замествайки и интегрирайки, получаваме

Извеждане на разпределението на Максуел

Нека сега получим формулата за разпределение по същия начин, както направи самият Джеймс Клерк Максуел.
Нека разгледаме пространството на скоростните точки (всяка молекула е представена като точка в координатната система) в стационарно състояние на газа. Нека изберем елемент с безкрайно малък обем. Тъй като газът е неподвижен, броят на точките на скоростта остава непроменен във времето. Пространството на скоростта е изотропно, така че функциите на плътност на вероятността за всички посоки са еднакви.

Максуел приема, че разпределенията на скоростите по посоките са статистически независими, т.е. компонентът на скоростта на молекулата не зависи от компонентите.

- всъщност вероятността да се намери скоростна точка в обема.

Дясната страна не зависи от и , което означава, че лявата страна не зависи от и . Те обаче също са равни, следователно лявата страна също не зависи от . Това означава, че този израз може да бъде равен само на някаква константа.

Сега трябва да направите фундаментална стъпка - въведете температурата. Кинетично определяне на температурата (като мярка за средната кинетична енергия на движението на молекулите).

Молекулите на всеки газ са във вечно хаотично движение. Скоростите на молекулите могат да приемат различни стойности. Молекулите се сблъскват и в резултат на сблъсъците скоростта на молекулите се променя. Във всеки даден момент скоростта на всяка отделна молекула е произволна както по големина, така и по посока.

Но ако газът е оставен сам на себе си, тогава различните скорости на топлинно движение се разпределят между молекулите на дадена маса газ при дадена температура според много специфичен закон, т.е. има разпределение на молекулите по скорост.

Законът за разпределението на молекулната скорост е теоретично изведен от Максуел. Законът на Максуел е изразен следната формула:

където е броят на молекулите, чиито скорости лежат в интервала ; – общият брой молекули на дадена маса газ; – основата на естествения логаритъм; – зададена стойност на скоростта от интервала; – най-вероятната скорост на газовите молекули при дадена температура.

Най-вероятно скоростсе нарича скоростта, близка до която има най-големият брой молекули от дадена маса газ. Стойността зависи от температурата на газа.

Формула (10.6) дава броя на молекулите, чиито скорости са в даден диапазон на скоростите, независимо от посоката на скоростите.

Ако зададем по-конкретен въпрос, а именно какъв е броят на молекулите в газ, чиито компоненти на скоростта лежат в интервала между и , и , и , тогава

или , (10.8)

където е кинетичната енергия на газова молекула; – маса на молекулата; – константа на Болцман; – абсолютна температурагаз. Формули (10.7) и (10.8) също са Формули за разпределение на Максуел. Кривата на разпределение на скоростта на молекулите, съответстваща на закона за разпределение (10.6), е показана на фиг. 10.1. Оста на абсцисата показва стойностите на скоростта, които може да поеме отделна газова молекула.

Максимумът на кривата съответства на най-вероятната скорост. Кривата е асиметрична спрямо , защото газът съдържа сравнително малък брой молекули с много високи скорости.

Нека разгледаме някакъв интервал , (фиг. 10.1). Ако е малък, тогава площта на защрихованата лента е близо до площта на правоъгълника:

тези. площта на защрихованата лента представлява броя на молекулите, чиито скорости лежат в интервала , . И площта под цялата крива е пропорционална на общия брой молекули на дадена маса газ.

Нека намерим при каква стойност кривата ще има максимум. Намираме максимума, използвайки обичайните правила на математиката, приравнявайки първата производна по отношение на нула:

,

.

От тогава .

Като вземем производната, получаваме това, т.е. максимумът на кривата съответства на най-вероятната скорост.

Максуел теоретично намира формули, които могат да се използват за изчисляване на средната аритметична скорост. Нека изброим скоростите, които могат да характеризират топлинното движение на газовите молекули.

1. Най-вероятната скорост. (10.9)

2. Средна квадратична скорост:

; . (10.10)

3. Средна аритметична скорост. (10.11)

Всички скорости са право пропорционални и обратно пропорционални на , където е масата на мол газ.

На фиг. 10.1, графика I е начертана за температура, а графика II е начертана за температура. Вижда се, че с повишаване на температурата максимумът на кривата се измества надясно, т.к С повишаването на температурата скоростта на молекулите се увеличава. Има повече бързи молекули, десният клон на кривата се издига, има по-малко бавни молекули, левият клон става по-стръмен. И цялата крива намалява, защото площта под кривата трябва да остане същата, защото общият брой молекули на газа остава същият и, разбира се, не може да се промени, когато газът се нагрява.

Законът на Максуел е статистически закон, т.е. закон, който е валиден за много голям брой молекули.

Освен това законът на Максуел не отчита външното влияние върху газа, т.е. няма силови полета, действащи върху газа.

10.4. Идеален газ външно поле.
Барометрична формула. Разпределение на Болцман

Помислете за вертикален стълб от въздух на повърхността на Земята (фиг. 10.2). Ако височината на колоната е относително малка (не надвишава няколкостотин метра), плътността на газа и броят на молекулите на единица обем (концентрация) ще бъдат приблизително еднакви. Въпреки това, ако височината на колоната е около километър или повече, равномерното разпределение на молекулите по височината се нарушава гравитация, който има тенденция да концентрира молекули близо до повърхността на Земята. В резултат на това плътността на въздуха и атмосферно наляганеще намалява с отдалечаване от повърхността на Земята.

Нека определим закона за промяна на налягането с височина (ще намерим барометричната формула).

Барометрична формула показва как зависи атмосферното налягане Пот височина чнад повърхността на Земята. Нека налягането е на височина близо до повърхността на Земята. Натискът е известен. Трябва да намерим промяната в налягането с височината.

При извеждането приемаме, че температурата на газа остава постоянна. Нека изберем цилиндричен стълб от газ (въздух) с напречно сечение над повърхността на Земята. Нека разгледаме слой газ с безкрайно малка дебелина, разположен на височина от основата на колоната.

Разликата в силите, действащи върху горната и долната основа на слоя, е равна на теглото на газа, съдържащ се в този слой, т.е.

Безкрайно малката маса на газа в слоя се изчислява по формулата

,

където е обемът на газовия слой.

Тогава къде е плътността на газа; – ускорение на гравитацията.

Разлика в налягането на двете основи на слоя:

.

И вие също трябва да поставите знак минус

тъй като знакът минус има физически смисъл. Това показва, че налягането на газа намалява с надморската височина. Ако се издигнете на високо, налягането на газа ще намалее с известно количество.

Намираме плътността на газа от уравнението на Менделеев–Клапейрон.

Замествайки израза в (10.12), имаме

това диференциално уравнениес разделими променливи:

.

Нека интегрираме:

.

Нека вземем барометричната формула

На фиг. 10.3 показва графики на налягане спрямо височина за две температурни стойности Т 1 и Т 2 (Т 2 > Т 1). С промяна на температурата на газа, налягането П 0 на повърхността на Земята остава непроменена, т.к то е равно на теглото на разположения отгоре земната повърхноствертикална колона от газ с единица основна площ и неограничена височина. Теглото на газа не зависи от температурата.

От барометричната формула е много лесно да се получи разпределението на Болцман за случая, когато външното влияние върху газа е силата на гравитацията.

Налягането на газа на надморска височина е право пропорционално на броя на молекулите на единица обем на тази надморска височина, , е концентрацията на молекули на надморска височина и , – концентрация на газови молекули на височина .

Или . (10.14)

Формула (10.14) се нарича разпределение на Болцман за молекули в гравитационно поле.

На фиг. 10.4 показва графики на зависимостта на молекулните концентрации от височината за две температурни стойности Т 1 и Т 2 (Т 2 >Т 1) в полето на гравитацията. Молекулярна концентрация п 0 на повърхността на Земята намалява с повишаване на температурата ( п 0 (Т 2) < п 0 (Т 1)) поради преразпределението на молекулите вътре в газовата колона. Молекулите с по-голяма кинетична енергия се издигат по-високо.

Ако , е потенциалната енергия на молекулата на височина , тогава

Формула (10.15) е валидна не само за случая, когато молекулите се движат в гравитационно поле. Тази формула, изразяваща разпределението на Болцман, е валидна за всяко силово поле с потенциална функция:

Опитът на Перин (1870–1942).
Дефиниция на числото на Авогадро

Френският физик Перин използва разпределението на Болцман, за да определи експериментално числото на Авогадро.

Микроскопът беше насочен към горния слой на емулсията (фиг. 10.5), направен през микроскоп незабавна снимка, преброи броя на Брауновите частици на снимката. След това тръбата на микроскопа се спуска с 0,01 mm, отново се правят снимки и броят на брауновите частици във снимката се преброява. Оказа се, че на дъното на съда има повече браунови частици, по-малко на повърхността на емулсията и като цяло разпределението по височина на брауновите частици съответства на разпределението на Болцман. Тъй като топчетата дъвка са в течност (емулсия), тяхната потенциална енергия, като се вземе предвид плаваемостта на Архимед, може да бъде записана , Къде м 0 – маса на топката, м g – масата на обема течност, изместен от топката. Тогава може да се напише разпределението на Болцман .

Ако п 1 и п 2 – измерени концентрации на частици на височини ч 1 и ч 2, тогава ; , А .

Тогава можем да определим И .

Размер

където и са плътностите на материала на топките и емулсията.

Като се определи експериментално Константа на Болцман кПерин се освободи от зависимостта стойност на числото на Авогадро. Точна стойност:

(10.17)

Тема 11
РАБОТА, ВЪТРЕШНА ЕНЕРГИЯ И ТОПЛИНА.
ПЪРВИ ЗАКОН НА ТЕРМОДИНАМИКАТА

Термодинамикае наука, която изучава условията на трансформация различни видовеенергия в топлинна енергия и обратно, както и наблюдаваните в този случай количествени зависимости. Термодинамика покрива голям кръгявления, наблюдавани в природата и техниката. Особено значениеима за топлотехника, т.к дава основата за разработване на отоплителни и хладилни машини. В термодинамиката думата се използва често тяло. В термодинамиката тяло може да се нарече въздух, вода, живак, всеки газ, т.е. всяко вещество, което заема определен обем.

Една термодинамична система може да включва няколко тела, но може да се състои и от едно тяло, много често това тяло е идеален газ.

Термодинамична система е всяка съвкупност от разглеждани тела, които могат да обменят енергия помежду си и с други тела.Например, една термодинамична система може да бъде идеален газ.

Състоянието на една термодинамична система се характеризира с термодинамични параметри. Термодинамичните параметри са величини, характеризиращи състоянието на системата.Термодинамичните параметри включват величини като налягане, обем, температура, плътност на материята и др. Параметрите на състоянието на идеален газ например са налягането П, обем V, температура Т. Уравнението, което свързва параметрите на състоянието на една термодинамична система, се нарича уравнение на състоянието.Например уравнението на Менделеев-Клапейрон: .

Състоянието на термодинамичната система се нарича равновесие, ако всички негови параметри имат определена стойност и не се променят във времето при постоянни външни условия.

Ако една термодинамична система бъде извадена от равновесие и оставена на произвола, тя се връща в първоначалното си състояние. Този процес се нарича релаксация.

В термодинамиката се изучават законите на всички възможни преходи на една система от едно състояние в друго. Преход на система от едно състояние в друго,което е придружено от промяна на поне един параметър на състоянието,наречен процес.Уравнението, което определя промяната на параметрите на системата по време на прехода от едно състояние към друго, се нарича уравнение на процеса.

Термодинамиката изучава само термодинамично равновесни състояния на тела и бавни процеси, които се разглеждат като равновесни състояния, които непрекъснато следват едно друго. Тя учи общи моделипреход на системите към състояния на термодинамично равновесие.

Равновесни процеси– процеси, при които скоростта на изменение на термодинамичните параметри е безкрайно малка, т.е. промените в термодинамичните параметри се случват за безкрайно дълги времена. това модел, защото всички реални процеси са неравновесни.

Равновесният процес е процес, който преминава през последователност от равновесни състояния.

Неравновесен процес– процес, при който за крайно време настъпва промяна на термодинамичните параметри с крайна стойност.

Неравновесен процес не може да бъде изобразен графично.

Термодинамиката използва специален метод за изучаване на явленията - термодинамичен метод.Термодинамиката разглежда как протича даден процес.

Термодинамиката се основава на два основни закона, които са обобщение на огромен фактически материал. Тези закони дадоха началото на цялата наука термодинамика и затова получиха името начало.

11.1. Вътрешна енергия на идеален газ.
Брой степени на свобода

Брой степени на свободанаречен най-малкото числонезависими координати, които трябва да бъдат въведени, за да се определи позицията на тялото в пространството. – брой степени на свобода.

Нека помислим едноатомен газ. Молекула на такъв газ може да се счита за материална точка; положението на материалната точка (фиг. 11.1) в пространството се определя от три координати.

Молекулата може да се движи в три посоки (фиг. 11.2).

Следователно, той има три транслационни степени на свобода.

Молекулата е материална точка.

Енергия на въртеливото движение, т.к инерционният момент на материална точка спрямо ос, минаваща през точката, е нула

За едноатомна газова молекула броят на степените на свобода е .

Нека помислим двуатомен газ. В двуатомна молекула всеки атом се приема като материална точка и се смята, че атомите са твърдо свързани помежду си; това е дъмбелен модел на двуатомна молекула. Двуатомна плътно свързана молекула(набор от две материални точки, свързани чрез недеформируема връзка), Фиг. 11.3.

Позицията на центъра на масата на молекулата се дава от три координати, (фиг. 11.4) това са три степени на свобода, те определят движение напредмолекули.Но молекулата може също така да извършва въртеливи движения около осите и това са още две степени на свобода, които определят въртене на молекулата. Въртенето на молекула около ос е невъзможно, т.к материалните точки не могат да се въртят около ос, минаваща през тези точки.

За двуатомна газова молекула броят на степените на свобода е .

Нека помислим триатомен газ.Моделът на молекулата е три атома (материални точки), твърдо свързани помежду си (фиг. 11.5).

Триатомната молекула е тясно свързана молекула.

За триатомна газова молекула броят на степените на свобода е .

Статистически разпределения

По време на топлинно движение позициите на частиците, големината и посоката на техните скорости се променят произволно. Поради гигантския брой частици, случайният характер на тяхното движение се проявява в съществуването на определени статистически закономерности в разпределението на частиците на системата според координатите, стойностите на скоростта и др. Такива разпределения се характеризират със съответните функции на разпределение. Функцията на разпределение (плътност на вероятността) характеризира разпределението на частиците според съответната променлива (координати, скорости и др.). Класическата статистика се основава на следните принципи:

Всички частици на една класическа система са различими (т.е. те могат да бъдат номерирани и всяка частица може да бъде проследена);

Всички динамични променливи, характеризиращи състоянието на частицата, се променят непрекъснато;

В дадено състояние могат да съществуват неограничен брой частици.

В състояние на термично равновесие, без значение как се променя скоростта на молекулите по време на сблъсъци, средната квадратична скорост на молекулите в газа, при T = const, остава постоянна и равна


Това се обяснява с факта, че в газа се установява известно стационарно състояние. статистическо разпределениемолекули според техните стойности на скоростта, наречено разпределение на Максуел. Разпределението на Максуел се описва с някаква функция f(u), наречена функция на разпределение на молекулната скорост.

,

където N е общият брой молекули, dN(u) е броят на молекулите, чиито скорости принадлежат към диапазона на скоростите от u до u + du.

По този начин функцията на Максуел f(u) е равна на вероятността стойността на скоростта на произволно избрана молекула да принадлежи към единичен скоростен интервал близо до стойността u. Или е равна на частта от молекули, чиито скорости принадлежат на единичен скоростен интервал близо до стойността на u.

Явната форма на функцията f(u) е получена теоретично от Максуел:

.

Графиката на функцията на разпределението е показана на фиг. 12. От графиката следва, че функцията на разпределение клони към нула при u®0 и u®¥ и преминава през максимум при определена скорост u B, наречена най-вероятно скорост. Най-голям брой молекули имат тази и близки до нея скорости. Кривата е асиметрична по отношение на u B. Стойността на най-вероятната скорост може да се намери чрез условието за максимум на функцията f(u).

.

На фиг. Фигура 13 показва изместването на u B с промяна на температурата, докато площта под графиката остава постоянна и равна на 1, което следва от условия за нормализиранеФункции на Максуел

Условието за нормализиране следва от смисъла на този интеграл - той определя вероятността скоростта на една молекула да попадне в скоростния диапазон от 0 до ¥. Това е надеждно събитие; неговата вероятност по дефиниция се приема за равна на 1.