Bekanntlich ist es oft wichtiger und schwieriger, ein Problem zu formulieren, als es zu lösen. „In der Wissenschaft“, schrieb der englische Chemiker F. Soddy, „ist ein richtig gestelltes Problem zu mehr als der Hälfte gelöst. Der mentale Vorbereitungsprozess, der erforderlich ist, um herauszufinden, dass es sich um eine bestimmte Aufgabe handelt, nimmt oft mehr Zeit in Anspruch als die Aufgabe selbst.

Die Formen, in denen sich die Problemsituation manifestiert und verwirklicht, sind sehr vielfältig. Nicht immer offenbart sie sich in Form einer direkten Frage, die ganz am Anfang des Studiums auftaucht. Die Welt der Probleme ist so komplex wie der Erkenntnisprozess, der sie hervorbringt. Das Erkennen von Problemen ist der Kern des kreativen Denkens. Paradoxien sind der interessanteste Fall von impliziten, fraglosen Arten, Probleme zu stellen. Paradoxien sind in den frühen Stadien der Entwicklung wissenschaftlicher Theorien üblich, wenn die ersten Schritte in einem noch unerforschten Gebiet unternommen und die allgemeinsten Prinzipien der Herangehensweise ertastet werden.

In einem weiten Sinne paradox - diese Position steht in scharfem Widerspruch zu allgemein akzeptierten, etablierten, orthodoxen Meinungen. „Allgemein akzeptierte Meinungen und das, was als langfristige Entscheidung angesehen wird, verdienen meistens Forschung“ (G. Lichtenberg). Paradox ist der Beginn einer solchen Forschung.

Paradox im engeren und spezielleren Sinne - es sind zwei gegensätzliche, unvereinbare Aussagen, für die es scheinbar überzeugende Argumente gibt.

Die extremste Form des Paradoxons ist Antinomie, ein Argument, das die Äquivalenz zweier Aussagen beweist, von denen die eine die Negation der anderen ist.

Paradoxien sind besonders berühmt in den strengsten und exaktesten Wissenschaften - Mathematik und Logik. Und es ist kein Zufall.

Logik ist eine abstrakte Spinne. Da sind keine Experimente drin, nicht einmal Fakten im üblichen Sinne des Wortes. Beim Aufbau ihrer Systeme geht die Logik letztlich von der Analyse realen Denkens aus. Entsprechend sind die Ergebnisse dieser Analyse synthetisch, undifferenziert. Sie sind keine Aussagen über irgendwelche separaten Prozesse oder Ereignisse, die die Theorie erklären sollte. Offensichtlich kann eine solche Analyse nicht als Beobachtung bezeichnet werden: Es wird immer ein konkretes Phänomen beobachtet.

Bei der Konstruktion einer neuen Theorie geht der Wissenschaftler normalerweise von den Fakten aus, von dem, was im Experiment beobachtet werden kann. So frei seine schöpferische Vorstellungskraft auch sein mag, sie muss mit einem unabdingbaren Umstand rechnen: Eine Theorie hat nur dann Sinn, wenn sie mit den sie betreffenden Tatsachen übereinstimmt. Eine Theorie, die Fakten und Beobachtungen widerspricht, ist weit hergeholt und hat keinen Wert.

Aber wenn es keine logischen Experimente, keine Tatsachen und keine Beobachtung selbst gibt, was hält dann die logische Fantasie zurück? Welche Faktoren, wenn nicht Fakten, werden bei der Erstellung neuer logischer Theorien berücksichtigt?

Die Diskrepanz zwischen logischer Theorie und der Praxis des realen Denkens zeigt sich oft in Form eines mehr oder weniger scharfen logischen Paradoxons, manchmal sogar in Form einer logischen Antinomie, die von der inneren Widersprüchlichkeit der Theorie spricht. Dies erklärt nur die Bedeutung, die Paradoxien in der Logik beigemessen wird, und die große Aufmerksamkeit, die sie darin genießen.

"König der logischen Paradoxien"

Das berühmteste und vielleicht interessanteste aller logischen Paradoxe ist das Lügner-Paradoxon. Er war es, der den Namen Eubulides von Milet verherrlichte, der ihn entdeckte.

Es gibt Varianten dieses Paradoxons oder dieser Antinomie, von denen viele nur scheinbar paradox sind.

In der einfachsten Version von "Lügner" sagt eine Person nur einen Satz: "Ich lüge." Oder er sagt: "Die Aussage, die ich jetzt mache, ist falsch." Oder: "Diese Aussage ist falsch."

Wenn die Aussage falsch ist, hat der Sprecher die Wahrheit gesagt, und daher ist das, was er gesagt hat, keine Lüge. Wenn die Aussage nicht falsch ist und der Sprecher behauptet, dass sie falsch ist, dann ist diese Aussage falsch. Es stellt sich also heraus, dass wenn der Sprecher lügt, er die Wahrheit sagt und umgekehrt.

Im Mittelalter war folgende Formulierung üblich:

- Was Platon gesagt hat, ist falsch, sagt Sokrates.
„Was Sokrates gesagt hat, ist die Wahrheit“, sagt Platon. Es stellt sich die Frage, welche von ihnen die Wahrheit ausdrückt und welche eine Lüge ist?

Und hier ist ein modernes Paradoxon dieses Paradoxons. Nehmen wir an, dass nur die Worte auf der Vorderseite der Karte stehen: "Eine wahre Aussage steht auf der anderen Seite dieser Karte." Es ist klar, dass diese Worte eine sinnvolle Aussage darstellen. Wenn wir die Karte umdrehen, müssen wir entweder die versprochene Aussage finden, oder sie ist nicht da. Wenn es auf der Rückseite steht, dann ist es entweder wahr oder nicht. Auf der Rückseite steht jedoch: „Auf der anderen Seite dieser Karte steht eine falsche Aussage“ – mehr nicht. Nehmen Sie an, dass die Aussage auf der Vorderseite wahr ist. Dann muss die Aussage auf der Rückseite wahr sein, und daher muss die Aussage auf der Vorderseite falsch sein. Aber wenn die Aussage auf der Vorderseite falsch ist, dann muss auch die Aussage auf der Rückseite falsch sein, und daher muss die Aussage auf der Vorderseite wahr sein. Das Ergebnis ist ein Paradoxon.

Das Lügner-Paradoxon machte einen großen Eindruck auf die Griechen. Und es ist leicht zu verstehen, warum. Die Frage, die sich auf den ersten Blick stellt, scheint ganz einfach: Ist er ein Lügner, der nur sagt, dass er lügt? Aber die Antwort „ja“ führt zu der Antwort „nein“ und umgekehrt. Und Reflexion klärt die Situation überhaupt nicht. Hinter der Einfachheit und sogar Routine der Frage offenbart sie eine dunkle und unermessliche Tiefe.

Es gibt sogar eine Legende, dass ein gewisser Filit Kossky, der verzweifelt versuchte, dieses Paradox zu lösen, Selbstmord begangen hat. Es wird auch gesagt, dass einer der berühmten antiken griechischen Logiker, Diodorus Kronos, bereits in seinen letzten Jahren ein Gelübde abgelegt hat, nicht zu essen, bis er die Lösung des „Lügners“ gefunden hatte, und bald starb, ohne etwas erreicht zu haben.

Im Mittelalter wurde dieses Paradoxon mit den sogenannten unentscheidbaren Sätzen bezeichnet und zum Gegenstand systematischer Analysen.

Und lange Zeit erregte "Lügner" keine Aufmerksamkeit. Sie sahen keine, auch nur geringfügige, Schwierigkeiten im Umgang mit der Sprache. Und erst in unserer sogenannten Neuzeit hat die Entwicklung der Logik endlich das Niveau erreicht, auf dem es möglich wurde, die Probleme, die hinter diesem Paradoxon zu stecken scheinen, bereits streng zu formulieren.

Nun wird „Lügner“ – dieser typische ehemalige Sophismus – oft als der König der logischen Paradoxien bezeichnet. Ihm ist eine umfangreiche wissenschaftliche Literatur gewidmet. Und dennoch bleibt, wie bei vielen anderen Paradoxien, nicht ganz klar, welche Probleme dahinter stecken und wie man sie loswird.

Die Formen, in denen sich die Problemsituation manifestiert und verwirklicht, sind sehr vielfältig. Nicht immer offenbart sie sich in Form einer direkten Frage, die ganz am Anfang des Studiums auftaucht. Die Welt der Probleme ist so komplex wie der Erkenntnisprozess, der sie hervorbringt. Das Erkennen von Problemen ist der Kern des kreativen Denkens. Paradoxien sind der interessanteste Fall von impliziten, fraglosen Arten, Probleme zu stellen. Paradoxien treten häufig in den frühen Stadien der Entwicklung wissenschaftlicher Theorien auf, wenn die ersten Schritte in einem noch unerforschten Gebiet unternommen und die allgemeinsten Prinzipien der Herangehensweise ertastet werden.

Paradoxien und Logik

Im weitesten Sinne ist ein Paradoxon eine Position, die scharf von allgemein akzeptierten, etablierten, orthodoxen Meinungen abweicht. „Allgemein anerkannte Meinungen und was als längst entschieden gilt, verdienen meistens eine Erforschung“ (G. Lichtenberg). Paradox ist der Beginn einer solchen Forschung.

Ein Paradoxon im engeren und spezielleren Sinne sind zwei gegensätzliche, unvereinbare Aussagen, für die es scheinbar überzeugende Argumente gibt.

Die schärfste Form des Paradoxons ist die Antinomie, eine Argumentation, die die Äquivalenz zweier Aussagen beweist, von denen die eine eine Negation der anderen ist.

Paradoxien sind besonders berühmt in den strengsten und exaktesten Wissenschaften - Mathematik und Logik. Und das ist kein Zufall.

Logik ist eine abstrakte Wissenschaft. Da sind keine Experimente drin, nicht einmal Fakten im üblichen Sinne des Wortes. Beim Aufbau ihrer Systeme geht die Logik letztlich von der Analyse realen Denkens aus. Aber die Ergebnisse dieser Analyse sind synthetisch, undifferenziert. Sie sind keine Aussagen über irgendwelche separaten Prozesse oder Ereignisse, die die Theorie erklären sollte. Offensichtlich kann eine solche Analyse nicht als Beobachtung bezeichnet werden: Es wird immer ein konkretes Phänomen beobachtet.

Varianten des „Lügner“-Paradoxons

Das berühmteste und vielleicht interessanteste aller logischen Paradoxe ist das Lügner-Paradoxon. Er war es, der den Namen Eubulides von Milet verherrlichte, der ihn entdeckte.

Es gibt Varianten dieses Paradoxons oder dieser Antinomie, von denen viele nur scheinbar paradox sind.

In der einfachsten Version von "Lügner" sagt eine Person nur einen Satz: "Ich lüge." Oder er sagt: "Die Aussage, die ich jetzt mache, ist falsch." Oder: "Diese Aussage ist falsch."

Im Mittelalter war folgende Formulierung üblich:

„Was Platon gesagt hat, ist falsch“, sagt Sokrates.

„Was Sokrates gesagt hat, ist die Wahrheit“, sagt Plato.

Es stellt sich die Frage, welche von ihnen die Wahrheit ausdrückt und welche eine Lüge ist?

Und hier ist ein modernes Paradoxon dieses Paradoxons. Nehmen wir an, dass nur die Worte auf der Vorderseite der Karte stehen: "Auf der anderen Seite dieser Karte steht eine wahre Aussage." Es ist klar, dass diese Worte eine sinnvolle Aussage darstellen. Wenn wir die Karte umdrehen, müssen wir entweder die versprochene Aussage finden, oder sie ist nicht da. Wenn es auf der Rückseite steht, dann ist es entweder wahr oder nicht. Auf der Rückseite stehen jedoch die Worte: „Auf der anderen Seite dieser Karte steht eine falsche Aussage“ – und nicht mehr. Nehmen Sie an, dass die Aussage auf der Vorderseite wahr ist. Dann muss die Aussage auf der Rückseite wahr sein, und daher muss die Aussage auf der Vorderseite falsch sein. Aber wenn die Aussage auf der Vorderseite falsch ist, dann muss auch die Aussage auf der Rückseite falsch sein, und daher muss die Aussage auf der Vorderseite wahr sein. Das Ergebnis ist ein Paradoxon.

Das Lügner-Paradoxon machte einen großen Eindruck auf die Griechen. Und es ist leicht zu verstehen, warum. Die Frage, die sich dabei auf den ersten Blick stellt, scheint ganz einfach: lügt, wer nur sagt, dass er lügt? Aber die Antwort „ja“ führt zu der Antwort „nein“ und umgekehrt. Und Reflexion klärt die Situation überhaupt nicht. Hinter der Einfachheit und sogar Routine der Frage offenbart sie eine dunkle und unermessliche Tiefe.

Im Mittelalter wurde dieses Paradoxon mit den sogenannten unentscheidbaren Sätzen bezeichnet und zum Gegenstand systematischer Analysen.

In der Neuzeit erregte der „Lügner“ lange Zeit keine Aufmerksamkeit. Sie sahen keine, auch nur geringfügige, Schwierigkeiten im Umgang mit der Sprache. Und erst in unserer sogenannten Neuzeit erreichte die Entwicklung der Logik endgültig ein Niveau, auf dem es möglich wurde, die Probleme, die hinter diesem Paradoxon zu stecken scheinen, streng zu formulieren.

Nun wird „Lügner“ – dieser typische ehemalige Sophismus – oft als der König der logischen Paradoxien bezeichnet. Ihm ist eine umfangreiche wissenschaftliche Literatur gewidmet. Und doch bleibt, wie bei vielen anderen Paradoxien, nicht ganz klar, welche Probleme dahinter stecken und wie man sie loswird.

Sprache und Metasprache

Nun gilt „Der Lügner“ gemeinhin als charakteristisches Beispiel für die Schwierigkeiten, zu denen die Verwechslung zweier Sprachen führt: der Sprache, in der man von einer Realität spricht, die außerhalb davon liegt, und der Sprache, in der man von der eigentlichen spricht Muttersprache.

In der Alltagssprache gibt es keinen Unterschied zwischen diesen Ebenen: Wir sprechen die gleiche Sprache über die Realität und über die Sprache. Zum Beispiel sieht eine Person, deren Muttersprache Russisch ist, keinen besonderen Unterschied zwischen den Aussagen: "Glas ist transparent" und "Es ist wahr, dass Glas transparent ist", obwohl einer von ihnen von Glas spricht und der andere von einer Aussage über Glas.

Wenn jemand eine Vorstellung von der Notwendigkeit hätte, in einer Sprache über die Welt und in einer anderen über die Eigenschaften dieser Sprache zu sprechen, könnte er zwei verschiedene vorhandene Sprachen verwenden, sagen wir Russisch und Englisch. Anstatt nur zu sagen „Kuh ist ein Substantiv“ würde ich sagen „Kuh ist ein Substantiv“ und statt „Die Aussage ‚Glas ist nicht transparent‘ ist falsch“ würde ich sagen „Die Behauptung ‚Glas ist nicht transparent‘ ist falsch ". Mit dieser Verwendung zweier unterschiedlicher Sprachen würde sich das, was über die Welt gesagt wird, deutlich von dem unterscheiden, was über die Sprache gesagt wird, mit der man über die Welt spricht. In der Tat würden sich die ersten Aussagen auf die russische Sprache beziehen, während sich die zweite auf Englisch beziehen würde.

Wenn sich unser Sprachenexperte weiter über einige Umstände äußern möchte, die bereits die englische Sprache betreffen, könnte er eine andere Sprache verwenden. Sagen wir Deutsch. Um über letzteres zu sprechen, könnte man, sagen wir, auf die spanische Sprache zurückgreifen und so weiter.

Es stellt sich daher eine Art Leiter oder Hierarchie von Sprachen heraus, von denen jede für einen ganz bestimmten Zweck verwendet wird: In der ersten sprechen sie über die objektive Welt, in der zweiten über diese erste Sprache in der dritte - über die zweite Sprache usw. Eine solche Unterscheidung zwischen Sprachen nach ihrem Anwendungsgebiet kommt im Alltag selten vor. Aber in den Wissenschaften, die sich wie die Logik speziell mit Sprachen befassen, erweist es sich manchmal als sehr nützlich. Die Sprache, die verwendet wird, um über die Welt zu sprechen, wird normalerweise als Objektsprache bezeichnet. Die Sprache, die zur Beschreibung der Subjektsprache verwendet wird, wird als Metasprache bezeichnet.

Klar ist, dass bei einer solchen Abgrenzung von Sprache und Metasprache die Aussage „Ich lüge“ nicht mehr formuliert werden kann. Es spricht von der Falschheit dessen, was auf Russisch gesagt wird, und gehört daher zur Metasprache und muss auf Englisch ausgedrückt werden. Konkret sollte es so klingen: „Alles, was ich auf Russisch spreche, ist falsch“ („Alles, was ich auf Russisch sage, ist falsch“); diese englische Aussage sagt nichts über sich selbst aus, und es entsteht kein Paradoxon.

Die Unterscheidung zwischen Sprache und Metasprache ermöglicht es, das „Lügner“-Paradoxon zu beseitigen. Damit wird es möglich, den klassischen Wahrheitsbegriff widerspruchsfrei korrekt zu definieren: Eine Aussage ist wahr, die der Realität entspricht, die sie beschreibt.

Der Wahrheitsbegriff hat wie alle anderen semantischen Begriffe relativen Charakter: Er kann immer einer bestimmten Sprache zugeordnet werden.

Wie der polnische Logiker A. Tarski gezeigt hat, sollte die klassische Wahrheitsdefinition in einer Sprache formuliert werden, die breiter ist als die Sprache, für die sie bestimmt ist. Mit anderen Worten, wenn wir angeben wollen, was der Ausdruck „eine Aussage wahr in einer bestimmten Sprache“ bedeutet, müssen wir zusätzlich zu den Ausdrücken dieser Sprache auch Ausdrücke verwenden, die nicht darin vorkommen.

Tarski führte das Konzept einer semantisch geschlossenen Sprache ein. Eine solche Sprache enthält neben ihren Ausdrücken auch deren Namen und, was wichtig zu betonen ist, auch Aussagen über die Wahrheit der darin formulierten Sätze.

In einer semantisch geschlossenen Sprache gibt es keine Grenze zwischen Sprache und Metasprache. Seine Mittel sind so reichhaltig, dass sie es nicht nur erlauben, etwas über die außersprachliche Realität zu behaupten, sondern auch, den Wahrheitsgehalt solcher Aussagen zu bewerten. Diese Mittel reichen insbesondere aus, um die Antinomie „Lügner“ sprachlich wiederzugeben. Eine semantisch geschlossene Sprache erweist sich somit als widersprüchlich. Jede natürliche Sprache ist offensichtlich semantisch abgeschlossen.

Der einzig akzeptable Weg, Antinomie und damit interne Inkonsistenz zu beseitigen, besteht laut Tarski darin, auf die Verwendung einer semantisch geschlossenen Sprache zu verzichten. Akzeptabel ist dieser Weg natürlich nur bei künstlichen, formalisierten Sprachen, die eine klare Trennung in Sprache und Metasprache zulassen. In natürlichen Sprachen mit ihrer obskuren Struktur und der Fähigkeit, alles in derselben Sprache zu sprechen, ist dieser Ansatz nicht sehr realistisch. Es macht keinen Sinn, die Frage nach der internen Konsistenz dieser Sprachen zu stellen. Ihre reichen Ausdrucksmöglichkeiten haben auch ihre Kehrseite – Paradoxien.

Andere Lösungen des Paradoxons

Es gibt also Aussagen, die von ihrer eigenen Wahrheit oder Falschheit sprechen. Die Vorstellung, dass solche Aussagen keinen Sinn machen, ist sehr alt. Es wurde vom antiken griechischen Logiker Chrysippus verteidigt.

Im Mittelalter stellte der englische Philosoph und Logiker W. Ockham fest, dass die Aussage „Jede Aussage ist falsch“ bedeutungslos sei, da sie unter anderem von ihrer eigenen Falschheit spreche. Aus dieser Aussage folgt direkt ein Widerspruch. Wenn jeder Satz falsch ist, dann ist es auch der Satz selbst; aber dass es falsch ist, bedeutet, dass nicht jeder Satz falsch ist. Ähnlich verhält es sich mit der Aussage „Jede Aussage ist wahr“. Sie ist zudem als sinnlos einzustufen und führt ebenfalls zu einem Widerspruch: Wenn jede Aussage wahr ist, dann ist auch die Negation dieser Aussage selbst wahr, also die Aussage, dass nicht jede Aussage wahr ist.

Warum aber kann eine Aussage nicht sinnvoll von ihrer eigenen Wahrheit oder Falschheit sprechen?

Bereits ein Zeitgenosse von Ockham, dem französischen Philosophen des 14. Jahrhunderts. J. Buridan war mit seiner Entscheidung nicht einverstanden. Aus der Sicht gewöhnlicher Vorstellungen von Bedeutungslosigkeit sind Ausdrücke wie „Ich lüge“, „Jede Aussage ist wahr (falsch)“ usw. recht aussagekräftig. Was Sie denken können, was Sie sagen können - das ist das allgemeine Prinzip von Buridan. Eine Person kann über die Wahrheit der Aussage nachdenken, die sie äußert, was bedeutet, dass sie darüber sprechen kann. Nicht alle Aussagen über sich selbst sind bedeutungslos. Zum Beispiel ist die Aussage „Dieser Satz ist auf Russisch geschrieben“ wahr, aber die Aussage „Dieser Satz enthält zehn Wörter“ ist falsch. Und beides macht absolut Sinn. Wenn zugegeben wird, dass eine Aussage über sich selbst sprechen kann, warum ist sie dann nicht in der Lage, sinnvoll über eine solche Eigenschaft ihrer selbst als Wahrheit zu sprechen?

Buridan selbst hielt die Aussage „Ich lüge“ nicht für sinnlos, sondern für falsch. Er hat es so begründet. Wenn jemand einen Satz bejaht, behauptet er damit, dass er wahr ist. Wenn der Satz von sich sagt, dass er selbst falsch ist, dann ist er nur eine abgekürzte Formulierung eines komplexeren Ausdrucks, der sowohl seine Wahrheit als auch seine Falschheit behauptet. Dieser Ausdruck ist widersprüchlich und daher falsch. Aber es ist keineswegs bedeutungslos.

Buridans Argument wird manchmal immer noch als überzeugend angesehen.

Es gibt noch weitere Kritikpunkte an der von Tarski ausführlich entwickelten Lösung des „Lügner“-Paradoxons. Gibt es wirklich kein Gegenmittel gegen solche Paradoxien in semantisch geschlossenen Sprachen – und das sind schließlich alle natürlichen Sprachen?

Wenn dies der Fall wäre, dann könnte der Wahrheitsbegriff nur in formalisierten Sprachen streng definiert werden. Nur in ihnen ist es möglich, zwischen der objektiven Sprache, in der Menschen über die Umwelt sprechen, und der Metasprache, in der sie über diese Sprache sprechen, zu unterscheiden. Diese Sprachenhierarchie ist dem Erwerb einer Fremdsprache mit Hilfe einer Muttersprache nachempfunden. Das Studium einer solchen Hierarchie führte zu vielen interessanten Schlussfolgerungen, und in manchen Fällen ist es wesentlich. Aber es existiert nicht in der natürlichen Sprache. Diskreditiert es ihn? Und wenn ja, in welchem Umfang? Immerhin wird darin immer noch der Wahrheitsbegriff verwendet, und das meist ohne Komplikationen. Ist die Einführung einer Hierarchie der einzige Weg, Paradoxien wie Liar zu beseitigen?

In den 1930er Jahren schienen die Antworten auf diese Fragen zweifellos positiv zu sein. Jetzt gibt es jedoch keine frühere Einstimmigkeit, obwohl die Tradition, Paradoxien dieser Art durch „Schichtung“ der Sprache zu beseitigen, weiterhin vorherrscht.

In letzter Zeit haben egozentrische Äußerungen immer mehr Aufmerksamkeit auf sich gezogen. Sie enthalten Wörter wie „ich“, „dies“, „hier“, „jetzt“, und ihre Wahrheit hängt davon ab, wann, von wem, wo sie verwendet werden.

In der Aussage „Diese Aussage ist falsch“ kommt das Wort „this“ vor. Auf welches Objekt bezieht es sich? „Lügner“ kann darauf hinweisen, dass sich das Wort „es“ nicht auf die Bedeutung der gegebenen Aussage bezieht. Aber worauf bezieht es sich dann, was bedeutet es? Und warum kann diese Bedeutung nicht immer noch mit dem Wort "dies" bezeichnet werden?

Ohne hier ins Detail zu gehen, sei lediglich angemerkt, dass „Lügner“ im Rahmen der Analyse egozentrischer Äußerungen mit einem ganz anderen Inhalt gefüllt wird als zuvor. Es stellt sich heraus, dass er nicht mehr vor der Verwechslung von Sprache und Metasprache warnt, sondern auf die Gefahren hinweist, die mit dem Missbrauch des Wortes „dies“ und ähnlichen egozentrischen Wörtern verbunden sind.

Die Themen, die sich im Laufe der Jahrhunderte mit „Der Lügner“ verbunden haben, haben sich radikal verändert, je nachdem, ob es als Beispiel für Mehrdeutigkeit angesehen wurde oder als Ausdruck, der nach außen hin als Beispiel für eine Mischung aus Sprache und Metasprache oder schließlich als dargestellt wurde ein typisches Beispiel für den Missbrauch egozentrischer Ausdrücke. Und es gibt keine Gewissheit, dass mit diesem Paradoxon in Zukunft nicht auch andere Probleme verbunden sein werden.

Der bekannte moderne finnische Logiker und Philosoph G. von Wright schrieb in seinem Werk „Der Lügner“, dass dieses Paradox keinesfalls als ein lokales, isoliertes Hindernis verstanden werden sollte, das durch eine erfinderische Denkbewegung beseitigt werden kann. Liar berührt viele der wichtigsten Themen der Logik und Semantik. Dies ist die Definition von Wahrheit und die Interpretation von Widerspruch und Beweis und eine ganze Reihe wichtiger Unterschiede: zwischen einem Satz und dem durch ihn ausgedrückten Gedanken, zwischen der Verwendung eines Ausdrucks und seiner Erwähnung, zwischen der Bedeutung eines Namens und das Objekt, das es bezeichnet.

Ähnlich verhält es sich mit anderen logischen Paradoxien. „Die Antinomien der Logik“, schreibt von Wright, „haben uns seit ihrer Entdeckung verwirrt und werden uns wahrscheinlich immer rätseln. Wir sollten sie meiner Meinung nach nicht so sehr als Probleme betrachten, die gelöst werden müssen, sondern als unerschöpflichen Rohstoff für Gedanken. Sie sind wichtig, weil das Denken über sie die grundlegendsten Fragen aller Logik und damit allen Denkens berührt.“

Zum Abschluss dieses Gesprächs über den „Lügner“ können wir uns an eine kuriose Episode aus der Zeit erinnern, als in der Schule noch formale Logik gelehrt wurde. In einem Logiklehrbuch, das Ende der 1940er-Jahre veröffentlicht wurde, wurden Schüler der achten Klasse als Hausaufgabe – sozusagen zum Aufwärmen – aufgefordert, den Fehler in dieser einfach aussehenden Aussage zu finden: „Ich lüge.“ Und, um es nicht seltsam erscheinen zu lassen, glaubte man, dass die Mehrheit der Schulkinder eine solche Aufgabe erfolgreich bewältigte.

2. Russells Paradoxon

Das berühmteste der bereits in unserem Jahrhundert entdeckten Paradoxien ist die von B. Russell entdeckte und von ihm in einem Brief an G. Ferge mitgeteilte Antinomie. Dieselbe Antinomie wurde gleichzeitig in Göttingen von den deutschen Mathematikern Z. Zermelo und D. Hilbert diskutiert.

Die Idee lag in der Luft, und ihre Veröffentlichung erweckte den Eindruck einer explodierenden Bombe. Dieses Paradoxon bewirkte in der Mathematik, so Hilbert, die Wirkung einer völligen Katastrophe. Die einfachsten und wichtigsten logischen Methoden, die gebräuchlichsten und nützlichsten Konzepte sind bedroht.

Es zeigte sich sofort, dass weder in der Logik noch in der Mathematik in der ganzen langen Geschichte ihres Bestehens irgendetwas entschieden herausgearbeitet wurde, was als Grundlage für die Beseitigung der Antinomie dienen könnte. Offensichtlich war eine Abkehr von gewohnten Denkweisen notwendig. Aber woher und in welche Richtung? Wie radikal sollte die Ablehnung etablierter Theorien sein?

Mit dem weiteren Studium der Antinomie wuchs die Überzeugung von der Notwendigkeit eines grundlegend neuen Ansatzes stetig. Bereits ein halbes Jahrhundert nach ihrer Entdeckung stellten die Logik- und Mathematik-Fachleute L. Frenkel und I. Bar-Hillel vorbehaltlos fest: , bislang stets gescheitert, reichen für diesen Zweck offensichtlich nicht aus.

Der moderne amerikanische Logiker H. Curry schrieb etwas später über dieses Paradoxon: „Nach der im 19. Jahrhundert bekannten Logik widersetzte sich die Situation einfach jeder Erklärung, obwohl es natürlich in unserem gebildeten Zeitalter Menschen geben kann, die sehen (bzw denken, dass sie sehen ), was ist der Fehler?

Russells Paradoxon in seiner ursprünglichen Form ist mit dem Konzept einer Menge oder einer Klasse verbunden.

Wir können von Mengen verschiedener Objekte sprechen, zum Beispiel von der Menge aller Menschen oder von der Menge der natürlichen Zahlen. Ein Element der ersten Menge ist jede einzelne Person, ein Element der zweiten - jede natürliche Zahl. Es ist auch möglich, Mengen selbst als einige Objekte zu betrachten und von Mengen von Mengen zu sprechen. Man kann sogar Begriffe wie die Menge aller Mengen oder die Menge aller Begriffe einführen.

Satz gewöhnlicher Sätze

In Bezug auf jede willkürlich genommene Menge erscheint es vernünftig zu fragen, ob sie ihr eigenes Element ist oder nicht. Mengen, die sich selbst nicht als Element enthalten, werden gewöhnlich genannt. Zum Beispiel ist die Menge aller Menschen keine Person, genauso wie die Menge der Atome kein Atom ist. Mengen, die echte Elemente sind, werden ungewöhnlich sein. Beispielsweise ist eine Menge, die alle Mengen vereint, eine Menge und enthält sich daher selbst als Element.

Betrachten Sie nun die Menge aller gewöhnlichen Mengen. Da es sich um ein Set handelt, kann man auch danach fragen, ob es gewöhnlich oder ungewöhnlich ist. Die Antwort ist jedoch entmutigend. Wenn es gewöhnlich ist, muss es sich per Definition selbst als Element enthalten, da es alle gewöhnlichen Mengen enthält. Dies bedeutet jedoch, dass es sich um ein ungewöhnliches Set handelt. Die Annahme, dass unsere Menge eine gewöhnliche Menge ist, führt also zu einem Widerspruch. Normal kann es also nicht sein. Andererseits kann sie auch nicht ungewöhnlich sein: Eine ungewöhnliche Menge enthält sich selbst als Element, und die Elemente unserer Menge sind nur gewöhnliche Mengen. Als Ergebnis kommen wir zu dem Schluss, dass die Menge aller gewöhnlichen Mengen weder gewöhnlich noch außergewöhnlich sein kann.

Die Menge aller Mengen, die keine echten Elemente sind, ist also genau dann ein echtes Element, wenn sie kein solches Element ist. Das ist ein klarer Widerspruch. Und es wurde auf der Grundlage der plausibelsten Annahmen und mit Hilfe scheinbar unbestreitbarer Schritte erzielt.

Der Widerspruch besagt, dass eine solche Menge einfach nicht existiert. Aber warum kann es das nicht geben? Schließlich besteht es aus Objekten, die eine genau definierte Bedingung erfüllen, und die Bedingung selbst scheint nicht irgendwie außergewöhnlich oder obskur zu sein. Wenn eine so einfach und klar definierte Menge nicht existieren kann, was ist dann eigentlich der Unterschied zwischen möglichen und unmöglichen Mengen? Die Schlussfolgerung über die Nichtexistenz der betrachteten Menge klingt unerwartet und weckt Besorgnis. Es macht unsere allgemeine Vorstellung von einer Menge amorph und chaotisch, und es gibt keine Garantie dafür, dass es nicht zu einigen neuen Paradoxien führen kann.

Russells Paradoxon ist wegen seiner extremen Allgemeingültigkeit bemerkenswert. Für seine Konstruktion sind keine komplexen technischen Konzepte erforderlich, da bei einigen anderen Paradoxien die Konzepte "Menge" und "Element der Menge" ausreichen. Aber diese Einfachheit spricht nur von ihrer grundlegenden Natur: Sie berührt die tiefsten Grundlagen unseres Denkens über Mengen, da sie nicht von einigen Sonderfällen spricht, sondern von Mengen im Allgemeinen.

Andere Varianten des Paradoxons

Russells Paradoxon ist nicht spezifisch mathematisch. Es verwendet das Konzept einer Menge, berührt aber keine speziellen Eigenschaften, die speziell mit der Mathematik verbunden sind.

Dies wird deutlich, wenn das Paradoxon rein logisch umformuliert wird.

Bei jeder Eigenschaft kann man aller Wahrscheinlichkeit nach fragen, ob sie auf sich selbst anwendbar ist oder nicht.

Die Eigenschaft, heiß zu sein, gilt beispielsweise nicht für sich selbst, da es selbst nicht heiß ist; auch die Eigenschaft, konkret zu sein, bezieht sich nicht auf sich selbst, denn sie ist eine abstrakte Eigenschaft. Aber die Eigenschaft, abstrakt zu sein, abstrakt zu sein, ist auf einen selbst anwendbar. Nennen wir diese auf sich selbst nicht anwendbaren Eigenschaften nicht anwendbar. Gilt die Eigenschaft, auf sich selbst nicht anwendbar zu sein? Es stellt sich heraus, dass die Unanwendbarkeit nur dann unanwendbar ist, wenn dies nicht der Fall ist. Das ist natürlich paradox.

Die logische, eigenschaftsbezogene Variante von Russells Antinomie ist ebenso paradox wie die mathematische, mengenbezogene Variante.

Russell schlug auch die folgende populäre Version des von ihm entdeckten Paradoxons vor.

Stellen Sie sich vor, dass der Rat eines Dorfes die Pflichten eines Barbiers wie folgt definiert: alle Männer des Dorfes zu rasieren, die sich nicht selbst rasieren, und nur diese Männer. Soll er sich rasieren? Wenn ja, bezieht es sich auf diejenigen, die sich selbst rasieren, und diejenigen, die sich selbst rasieren, er sollte sich nicht rasieren. Wenn nicht, wird er zu denen gehören, die sich nicht rasieren, und deshalb wird er sich selbst rasieren müssen. Wir kommen also zu dem Schluss, dass sich dieser Barbier genau dann rasiert, wenn er sich nicht rasiert. Das ist natürlich unmöglich.

Das Argument über den Barbier basiert auf der Annahme, dass es einen solchen Barbier gibt. Der daraus resultierende Widerspruch bedeutet, dass diese Annahme falsch ist und es keinen Dorfbewohner gibt, der all jene rasieren würde, und nur diejenigen Dorfbewohner, die sich nicht selbst rasieren.

Die Aufgaben eines Friseurs erscheinen auf den ersten Blick nicht widersprüchlich, daher klingt der Schluss, dass es keinen geben kann, etwas unerwartet. Diese Schlussfolgerung ist jedoch nicht paradox. Die Bedingung, die der Dorffriseur erfüllen muss, ist in der Tat widersprüchlich und daher unmöglich. Einen solchen Friseur kann es in einem Dorf aus dem gleichen Grund nicht geben, dass es dort keine Person gibt, die älter als er selbst wäre oder die vor seiner Geburt geboren wäre.

Der Streit um den Friseur kann als Pseudo-Paradoxon bezeichnet werden. In seinem Verlauf ist es streng analog zu Russells Paradox, und das macht es interessant. Aber es ist immer noch kein echtes Paradoxon.

Ein weiteres Beispiel für dasselbe Pseudo-Paradoxon ist das bekannte Katalogargument.

Eine bestimmte Bibliothek beschloss, einen bibliografischen Katalog zu erstellen, der all jene und nur jene bibliografischen Kataloge enthalten würde, die keine Verweise auf sich selbst enthalten. Sollte ein solches Verzeichnis einen Link zu sich selbst enthalten?

Es ist leicht zu zeigen, dass die Idee, einen solchen Katalog zu erstellen, nicht realisierbar ist; es kann einfach nicht existieren, weil es gleichzeitig einen Verweis auf sich selbst enthalten und nicht enthalten muss.

Es ist interessant festzustellen, dass das Katalogisieren aller Verzeichnisse, die keine Verweise auf sich selbst enthalten, als endloser, nie endender Prozess angesehen werden kann. Nehmen wir an, dass irgendwann ein Verzeichnis, sagen wir K1, kompiliert wurde, einschließlich aller anderen Verzeichnisse, die keine Verweise auf sich selbst enthalten. Mit der Erstellung von K1 erschien ein weiteres Verzeichnis, das keinen Link zu sich selbst enthält. Da das Ziel darin besteht, einen vollständigen Katalog aller Verzeichnisse zu erstellen, die sich selbst nicht erwähnen, ist es offensichtlich, dass K1 nicht die Lösung ist. Eines dieser Verzeichnisse erwähnt er nicht - sich selbst. Mit dieser Erwähnung von sich selbst in K1 erhalten wir den K2-Katalog. Es erwähnt K1, aber nicht K2 selbst. Wenn wir eine solche Erwähnung zu K2 hinzufügen, erhalten wir KZ, das wiederum nicht vollständig ist, da es sich selbst nicht erwähnt. Und weiter ohne Ende.

3. Paradoxien von Grelling und Berry

Ein interessantes logisches Paradoxon wurde von den deutschen Logikern K. Grelling und L. Nelson entdeckt (Grellingsches Paradoxon). Dieses Paradoxon lässt sich sehr einfach formulieren.

Autologisch und heterologisch

Einige Wörter, die Eigenschaften bezeichnen, haben genau die Eigenschaft, die sie benennen. Zum Beispiel ist das Adjektiv „Russisch“ selbst russisch, „mehrsilbig“ ist selbst mehrsilbig und „fünfsilbig“ hat selbst fünf Silben. Solche Wörter, die sich auf sich selbst beziehen, werden selbstbedeutend oder autologisch genannt.

Es gibt nicht so viele solcher Wörter, die überwiegende Mehrheit der Adjektive hat nicht die Eigenschaften, die sie benennen. „Neu“ ist natürlich nicht neu, „heiß“ ist heiß, „einsilbig“ ist einsilbig und „englisch“ ist Englisch. Wörter, die nicht die Eigenschaft haben, die sie bezeichnen, werden Aliase oder heterologisch genannt. Offensichtlich sind alle Adjektive, die Eigenschaften bezeichnen, die nicht auf Wörter anwendbar sind, heterologisch.

Diese Einteilung der Adjektive in zwei Gruppen erscheint klar und unbedenklich. Es kann auf Substantive ausgedehnt werden: "Wort" ist ein Wort, "Substantiv" ist ein Substantiv, aber "Uhr" ist keine Uhr und "Verb" ist kein Verb.

Schon bei der Frage stellt sich ein Paradox: Zu welcher der beiden Gruppen gehört das Adjektiv „heterologisch“ selbst? Wenn es autologisch ist, hat es die Eigenschaft, die es bezeichnet, und muss heterologisch sein. Wenn es heterologisch ist, hat es die Eigenschaft, die es nennt, nicht und muss daher autologisch sein. Es gibt ein Paradoxon.

In Analogie zu diesem Paradoxon lassen sich leicht andere Paradoxa derselben Struktur formulieren. Ist zum Beispiel eine suizidgefährdete Person, die jede nicht suizidgefährdete Person tötet und keine suizidgefährdete Person tötet?

Es stellte sich heraus, dass Grelligs Paradoxon im Mittelalter als Antinomie eines Ausdrucks bekannt war, der sich nicht selbst benennt. Man kann sich die Einstellung zu Sophismen und Paradoxien in der Neuzeit vorstellen, wenn das Problem, das eine Antwort verlangte und zu lebhaften Debatten führte, plötzlich vergessen und nur fünfhundert Jahre später wiederentdeckt wurde!

Eine andere, äußerlich einfache Antinomie wurde ganz am Anfang unseres Jahrhunderts von D. Berry angedeutet.

Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich. Die Menge der Namen dieser Nummern, die beispielsweise in russischer Sprache verfügbar sind und weniger als beispielsweise hundert Wörter enthalten, ist endlich. Das bedeutet, dass es solche natürlichen Zahlen gibt, für die es auf Russisch keine Namen gibt, die aus weniger als hundert Wörtern bestehen. Unter diesen Zahlen gibt es offensichtlich die kleinste Zahl. Es kann nicht mit einem russischen Ausdruck aufgerufen werden, der weniger als hundert Wörter enthält. Aber der Ausdruck: "Die kleinste natürliche Zahl, für die es auf Russisch keinen komplexen Namen gibt, die aus weniger als hundert Wörtern besteht" ist nur der Name dieser Zahl! Dieser Name wurde gerade auf Russisch formuliert und enthält nur neunzehn Wörter. Ein offensichtliches Paradoxon: Es stellte sich heraus, dass die genannte Nummer diejenige war, für die es keinen Namen gibt!

4. Unlösbarer Streit

Im Herzen eines berühmten Paradoxons liegt ein scheinbar kleiner Vorfall, der sich vor mehr als zweitausend Jahren ereignete und bis heute unvergessen ist.

Der berühmte Sophist Protagoras, der im 5. Jahrhundert lebte. BC gab es einen Studenten namens Euathlus, der Jura studierte. Gemäß der zwischen ihnen geschlossenen Vereinbarung musste Euathlus nur dann für die Ausbildung bezahlen, wenn er seinen ersten Prozess gewann. Verliert er diesen Prozess, ist er überhaupt nicht zur Zahlung verpflichtet. Nach Abschluss seines Studiums beteiligte sich Evatl jedoch nicht an den Verfahren. Es dauerte ziemlich lange, die Geduld des Lehrers war am Ende und er reichte eine Klage gegen seinen Schüler ein. Für Euathlus war dies also der erste Prozess. Protagoras begründete seine Forderung wie folgt:

„Egal wie das Gericht entscheidet, Euathlus wird mich bezahlen müssen. Er wird entweder seinen ersten Versuch gewinnen oder verlieren. Wenn er gewinnt, zahlt er gemäß unserem Vertrag. Wenn er verliert, zahlt er gemäß dieser Entscheidung.

Anscheinend war Euathlus ein fähiger Schüler, als er Protagoras antwortete:

- Tatsächlich gewinne ich den Prozess oder verliere ihn. Wenn ich gewinne, entbindet mich der Gerichtsbeschluss von der Zahlungspflicht. Wenn die Gerichtsentscheidung nicht zu meinen Gunsten ausfällt, habe ich meinen ersten Fall verloren und werde aufgrund unseres Vertrags nicht zahlen.

Lösungen für das Protagoras- und Euathlus-Paradoxon

Verblüfft über diese Wendung der Sache, widmete Protagoras diesem Streit mit Euathlus einen besonderen Aufsatz, „Klagen um Zahlung“. Leider hat es uns, wie das meiste, was Protagoras geschrieben hat, nicht erreicht. Dennoch muss man Protagoras Anerkennung zollen, der hinter einem einfachen Gerichtsvorfall sofort ein Problem erkannte, das einer besonderen Untersuchung bedarf.

Auch G. Leibniz, selbst ausgebildeter Jurist, nahm diesen Streit ernst. In seiner Doktorarbeit „A Study of Intricate Cases in Law“ versuchte er zu beweisen, dass alle Fälle, selbst die kompliziertesten, wie der Rechtsstreit von Protagoras und Euathlus, eine korrekte Lösung auf der Grundlage des gesunden Menschenverstandes finden müssen. Laut Leibniz sollte das Gericht Protagoras die verspätete Klageerhebung ablehnen, ihm aber das Recht lassen, später, nämlich nach dem ersten von ihm gewonnenen Prozess, Geldzahlungen von Evatl zu verlangen.

Viele andere Lösungen für dieses Paradoxon wurden vorgeschlagen.

Sie verwiesen insbesondere darauf, dass eine gerichtliche Entscheidung mehr Kraft haben sollte als eine private Vereinbarung zwischen zwei Personen. Man kann entgegnen, dass es ohne dieses Abkommen, so unbedeutend es auch erscheinen mag, weder ein Gericht noch dessen Entscheidung geben würde. Schließlich muss das Gericht seine Entscheidung genau aus Anlass und auf seiner Grundlage treffen.

Sie appellierten auch an den allgemeinen Grundsatz, dass jede Arbeit und damit die Arbeit von Protagoras bezahlt werden muss. Aber es ist bekannt, dass dieses Prinzip immer Ausnahmen hatte, besonders in einer sklavenhaltenden Gesellschaft. Außerdem ist es auf die konkrete Streitsituation einfach nicht anwendbar: Schließlich weigerte sich Protagoras, der ein hohes Bildungsniveau garantierte, selbst, im Falle des Versagens seines Schülers im ersten Verfahren eine Zahlung anzunehmen.

Manchmal reden sie so. Sowohl Protagoras als auch Euathlus haben beide teilweise Recht, und keiner von ihnen im Allgemeinen. Jeder von ihnen berücksichtigt nur die Hälfte der Möglichkeiten, die ihm zugute kommen. Vollständige oder umfassende Betrachtung eröffnet vier Möglichkeiten, von denen nur die Hälfte für einen der Streitenden vorteilhaft ist. Welche dieser Möglichkeiten verwirklicht wird, entscheidet nicht die Logik, sondern das Leben. Wenn das Urteil der Richter mehr Gewicht hat als der Vertrag, muss Euathl nur zahlen, wenn er den Prozess verliert, d.h. aufgrund einer gerichtlichen Entscheidung. Wird jedoch eine private Vereinbarung höher gestellt als die Entscheidung der Richter, erhält Protagoras nur dann eine Zahlung, wenn der Prozess gegen Evatlus verloren geht, d.h. aufgrund einer Vereinbarung mit Protagoras.

Dieser Appell an das Leben bringt schließlich alles durcheinander. Wovon, wenn nicht von Logik, können sich Richter unter Bedingungen leiten lassen, wenn alle relevanten Umstände völlig klar sind? Und welche Art von Führung wird es sein, wenn Protagoras, der die Zahlung vor Gericht fordert, diese nur erreicht, indem er den Prozess verliert?

Allerdings ist Leibniz' zunächst überzeugende Lösung etwas besser als der vage Gegensatz von Logik und Leben. Im Wesentlichen schlägt Leibniz vor, den Vertragstext nachträglich zu ändern und vorzusehen, dass der erste Prozess gegen Euathlus, dessen Ausgang über die Frage der Zahlung entscheiden wird, kein Prozess unter der Klage von Protagoras sein soll. Dieser Gedanke ist tief, aber nicht an ein bestimmtes Gericht gebunden. Hätte es eine solche Klausel im ursprünglichen Vertrag gegeben, wäre ein Rechtsstreit überhaupt nicht erforderlich gewesen.

Wenn wir unter der Lösung dieser Schwierigkeit die Antwort auf die Frage verstehen, ob Euathlus Protagoras bezahlen soll oder nicht, dann sind all diese, wie auch alle anderen denkbaren Lösungen, natürlich unhaltbar. Sie sind nichts anderes als eine Abweichung vom Wesen des Streits, sie sind gleichsam sophistische Tricks und List in einer aussichtslosen und unlösbaren Situation. Denn weder der gesunde Menschenverstand noch irgendwelche allgemeinen Prinzipien der sozialen Beziehungen können den Streit schlichten.

Es ist unmöglich, den Vertrag in seiner ursprünglichen Form und der Entscheidung des Gerichts, wie auch immer letztere lautet, zusammen auszuführen. Um dies zu beweisen, genügen einfache Mittel der Logik. Auf die gleiche Weise lässt sich auch zeigen, dass der Vertrag trotz seines völlig unschuldigen Anscheins in sich widersprüchlich ist. Es erfordert die Verwirklichung eines logisch unmöglichen Satzes: Euathlus muss für die Ausbildung zahlen und gleichzeitig nicht zahlen.

Regeln, die in eine Sackgasse führen

Der menschliche Geist, der nicht nur an seine Stärke, sondern auch an seine Flexibilität und sogar seinen Einfallsreichtum gewöhnt ist, findet es natürlich schwierig, sich mit dieser absoluten Hoffnungslosigkeit abzufinden und zuzugeben, dass er in eine Sackgasse getrieben wurde. Das ist besonders schwierig, wenn die Sackgasse vom Verstand selbst geschaffen wird: Er stolpert sozusagen aus heiterem Himmel und fällt in seine eigenen Netze. Dennoch muss man zugeben, dass manchmal, übrigens gar nicht so selten, spontan gebildete oder bewusst eingeführte Vereinbarungen und Regelsysteme zu unlösbaren, ausweglosen Situationen führen.

Ein Beispiel aus dem jüngsten Schachleben wird diese Idee noch einmal bestätigen.

Internationale Regeln für Schachwettbewerbe verpflichten Schachspieler dazu, das Spiel Zug für Zug klar und leserlich aufzuzeichnen. Bis vor kurzem sahen die Regeln auch vor, dass ein Schachspieler, der die Aufzeichnung mehrerer Züge aus Zeitmangel verpasst hat, "sobald seine Zeitnot endet, sofort sein Formular ausfüllen und die verpassten Züge aufschreiben muss". Auf der Grundlage dieser Anweisung unterbrach ein Richter bei der Schacholympiade 1980 (Malta) das Spiel, das sich in schweren Schwierigkeiten befand, und stoppte die Uhr, indem er erklärte, dass die Kontrollzüge ausgeführt worden seien und es daher Zeit sei zu setzen die Aufzeichnungen der Spiele in Ordnung.

„Aber entschuldigen Sie“, rief der Teilnehmer, der kurz vor dem Verlieren stand und am Ende des Spiels nur auf die Intensität der Leidenschaften zählte, „schließlich ist noch keine einzige Fahne gefallen und niemand kann jemals (wie steht auch in den Regeln) kann sagen, wie viele Züge gemacht wurden.

Der Schiedsrichter wurde jedoch vom Hauptschiedsrichter unterstützt, der sagte, dass es in der Tat nach dem Ende der Zeitnot notwendig sei, den Buchstaben der Regeln zu folgen und mit der Aufzeichnung der verpassten Züge zu beginnen.

Es war sinnlos, in dieser Situation zu argumentieren: Die Regeln selbst führten in eine Sackgasse. Es blieb nur, ihren Wortlaut so zu ändern, dass ähnliche Fälle in Zukunft nicht mehr auftreten können.

Dies geschah auf dem gleichzeitig stattfindenden Kongress der Internationalen Schachföderation: Statt der Worte „sobald die Zeitnot vorbei ist“ heißt es in den Regeln nun: „sobald die Fahne das Ende anzeigt von Zeit".

Dieses Beispiel zeigt deutlich, wie man mit Deadlock-Situationen umgeht. Es ist sinnlos, darüber zu streiten, welche Seite Recht hat: Der Streit ist unlösbar, und es wird keinen Sieger geben. Es bleibt nur, sich mit der Gegenwart auseinanderzusetzen und sich um die Zukunft zu kümmern. Dazu müssen Sie die ursprünglichen Vereinbarungen oder Regeln so umformulieren, dass sie niemanden in dieselbe aussichtslose Situation bringen.

Natürlich ist ein solches Vorgehen keine Lösung eines unlösbaren Streits oder ein Ausweg aus einer aussichtslosen Situation. Es ist eher ein Stopp vor einem unüberwindbaren Hindernis und einer Straße darum herum.

Paradox "Krokodil und Mutter"

Im antiken Griechenland war die Geschichte von einem Krokodil und einer Mutter sehr beliebt, die in ihrem logischen Inhalt mit dem Paradox „Protagoras und Euathlus“ zusammenfiel.

Das Krokodil entriss ihr Kind einer Ägypterin, die am Flussufer stand. Auf ihre Bitte, das Kind zurückzugeben, antwortete das Krokodil, wie immer eine Krokodilsträne vergießend:

„Ihr Unglück hat mich berührt, und ich werde Ihnen die Chance geben, Ihr Kind zurückzubekommen. Rate mal, ob ich es dir gebe oder nicht. Wenn Sie richtig antworten, gebe ich das Kind zurück. Wenn du es nicht errätst, gebe ich es nicht zurück.

Nachdenklich antwortete die Mutter:

Du wirst mir das Baby nicht geben.

„Du wirst es nicht verstehen“, schloss das Krokodil. Entweder du hast die Wahrheit gesagt oder nicht. Wenn es stimmt, dass ich das Kind nicht aufgeben werde, dann werde ich es nicht aufgeben, weil es sonst nicht wahr ist. Wenn das Gesagte nicht stimmt, dann haben Sie es nicht erraten, und ich werde das Kind nicht nach Vereinbarung geben.

Diese Argumentation erschien der Mutter jedoch nicht überzeugend.

- Aber wenn ich die Wahrheit gesagt habe, dann gibst du mir das Kind, wie wir es vereinbart haben. Wenn ich nicht geahnt habe, dass Sie das Kind nicht geben werden, dann müssen Sie es mir geben, sonst ist das, was ich gesagt habe, nicht unwahr.

Wer hat Recht: Mutter oder Krokodil? Wozu verpflichtet das dem Krokodil gegebene Versprechen? Um das Kind zu verschenken, oder im Gegenteil, um es nicht wegzugeben? Und zu beidem gleichzeitig. Dieses Versprechen ist widersprüchlich und kann daher nicht kraft der Gesetze der Logik erfüllt werden.

Der Missionar fand sich bei den Kannibalen wieder und traf gerade rechtzeitig zum Abendessen ein. Sie lassen ihn entscheiden, wie er gegessen wird. Dazu muss er eine Aussage mit der Bedingung machen, dass sie sie kochen, wenn sich diese Aussage als wahr herausstellt, und wenn sie sich als falsch herausstellt, sie rösten.

Was soll der Missionar sagen?

Natürlich sollte er sagen: "Du wirst mich braten."

Wenn er wirklich gebraten ist, wird sich herausstellen, dass er die Wahrheit gesagt hat, und deshalb muss er gekocht werden. Wenn er gekocht wird, ist seine Aussage falsch und er sollte einfach gebraten werden. Die Kannibalen werden keinen Ausweg haben: Aus „braten“ folgt „kochen“ und umgekehrt.

Diese Episode des schlauen Missionars ist natürlich eine weitere Paraphrase des Streits zwischen Protagoras und Euathlus.

Paradox von Sancho Panza

Ein altes Paradoxon, das im antiken Griechenland bekannt ist, wird in Don Quixote von M. Cervantes aufgegriffen. Sancho Panza ist Gouverneur der Insel Barataria geworden und verwaltet das Gericht.

Der erste, der zu ihm kommt, ist ein Besucher und sagt: „Senior, ein gewisses Anwesen ist durch einen tiefen Fluss in zwei Hälften geteilt ... Also wurde eine Brücke über diesen Fluss geschlagen, und genau dort am Rand steht ein Galgen und Es gibt so etwas wie ein Gericht, in dem normalerweise vier Personen sitzen, Richter, und sie urteilen auf der Grundlage eines Gesetzes, das der Eigentümer des Flusses, der Brücke und des gesamten Anwesens erlassen hat, und dieses Gesetz ist so formuliert: und Wer auch immer lügt, schickt sie ohne Nachsicht zum dortigen Galgen und exekutiert sie. Von der Zeit an, als dieses Gesetz in seiner ganzen Strenge verkündet wurde, gelang es vielen, über die Brücke zu kommen, und sobald die Richter überzeugt waren, dass die Passanten die Wahrheit sagten, ließen sie sie durch. Aber dann schwor eines Tages ein Vereidigter und sagte: Er schwört, dass er gekommen ist, um an diesem Galgen aufgehängt zu werden, und für nichts anderes. Dieser Eid verwirrte die Richter, und sie sagten: „Wenn dieser Mann ungehindert vorgehen darf, dann bedeutet dies, dass er den Eid gebrochen hat und nach dem Gesetz mit dem Tod bestraft wird; Wenn wir ihn aufhängen, dann hat er geschworen, dass er nur gekommen ist, um an diesem Galgen aufgehängt zu werden, daher ist sein Eid, wie sich herausstellt, nicht falsch, und auf der Grundlage desselben Gesetzes ist es notwendig, ihn passieren zu lassen. Und deshalb frage ich Sie, Herr Gouverneur, was sollen die Richter mit diesem Mann tun, weil sie immer noch ratlos und zögernd sind ...

Sancho schlug, vielleicht nicht ohne Schlauheit, vor, die Hälfte der Person, die die Wahrheit gesagt hatte, durchzulassen und diejenige, die gelogen hatte, aufzuhängen, und auf diese Weise würden die Regeln für das Überqueren der Brücke in allen Formen eingehalten. Diese Passage ist in mehrfacher Hinsicht interessant.

Erstens ist es eine klare Illustration der Tatsache, dass man sich der im Paradoxon beschriebenen ausweglosen Situation durchaus stellen kann - und zwar nicht in der reinen Theorie, sondern in der Praxis - wenn nicht einer realen Person, so doch zumindest einem literarischen Helden.

Der von Sancho Pansa vorgeschlagene Ausweg war natürlich keine Lösung des Paradoxons. Aber dies war nur die Lösung, zu der er an seiner Stelle greifen musste.

Es war einmal Alexander der Große, anstatt den listigen gordischen Knoten zu lösen, was noch niemandem gelungen ist, hat er ihn einfach durchtrennt. Sancho tat dasselbe. Der Versuch, das Rätsel zu seinen eigenen Bedingungen zu lösen, war nutzlos – es war einfach unlösbar. Es blieb übrig, diese Bedingungen zu verwerfen und eigene einzuführen.

Und einen Augenblick. Mit dieser Episode prangert Cervantes das exorbitant formale Ausmaß der mittelalterlichen Justiz, durchdrungen vom Geist der scholastischen Logik, deutlich an. Aber wie weit verbreitet waren zu seiner Zeit - und das war vor etwa vierhundert Jahren - Informationen aus dem Bereich der Logik! Nicht nur Cervantes selbst kennt dieses Paradoxon. Der Schriftsteller findet es möglich, seinem Helden, einem ungebildeten Bauern, die Fähigkeit zuzuschreiben, zu verstehen, dass er vor einer unlösbaren Aufgabe steht!

5. Andere Paradoxien

Die obigen Paradoxien sind Argumente, deren Ergebnis ein Widerspruch ist. Aber es gibt noch andere Arten von Paradoxien in der Logik. Sie weisen auch auf einige Schwierigkeiten und Probleme hin, aber sie tun dies weniger hart und kompromisslos. Dies sind insbesondere die nachstehend diskutierten Paradoxien.

Paradoxien ungenauer Konzepte

Die meisten Konzepte nicht nur der natürlichen Sprache, sondern auch der Wissenschaftssprache sind ungenau oder, wie sie auch genannt werden, verschwommen. Oft ist dies die Ursache für Missverständnisse, Streitigkeiten oder führt sogar einfach zu Blockaden.

Wenn das Konzept ungenau ist, ist die Grenze des Objektbereichs, auf den es anwendbar ist, unscharf und verschwommen. Nehmen Sie zum Beispiel das Konzept des „Haufens“. Ein Korn (ein Sandkorn, ein Stein usw.) ist noch kein Haufen. Tausend Körner sind natürlich schon ein Bündel. Und drei Körner? Und zehn? Wie viele Körner werden zu einem Haufen hinzugefügt? Nicht sehr klar. Ebenso ist nicht klar, mit welcher Körnung der Haufen verschwindet.

Ungenau sind die empirischen Merkmale „groß“, „schwer“, „schmal“ etc. Solche gewöhnlichen Begriffe wie „weiser Mann“, „Pferd“, „Haus“ usw. sind ungenau.

Es gibt kein Sandkorn, von dem wir sagen können, dass nach seiner Entfernung das, was übrig bleibt, nicht mehr Heimat genannt werden kann. Aber immerhin scheint dies zu bedeuten, dass es zu keinem Zeitpunkt des schrittweisen Abbaus des Hauses - bis hin zu seinem vollständigen Verschwinden - einen Grund gibt, zu erklären, dass es kein Haus gibt! Die Schlussfolgerung ist eindeutig paradox und entmutigend.

Es ist leicht einzusehen, dass die Argumentation über die Unmöglichkeit der Bildung eines Haufens mit der bekannten Methode der mathematischen Induktion geführt wird. Ein Korn bildet keinen Haufen. Wenn n Körner keine Haufen bilden, dann bilden n+1 Körner keine Haufen. Daher kann keine Anzahl von Körnern Haufen bilden.

Die Möglichkeit, dass dieser und ähnliche Beweise zu absurden Schlussfolgerungen führen, bedeutet, dass das Prinzip der mathematischen Induktion einen begrenzten Anwendungsbereich hat. Es sollte nicht verwendet werden, um mit ungenauen, vagen Konzepten zu argumentieren.

Ein gutes Beispiel dafür, wie diese Konzepte zu unlösbaren Streitigkeiten führen können, ist ein merkwürdiger Prozess, der 1927 in den Vereinigten Staaten stattfand. Der Bildhauer C. Brancusi ging vor Gericht und forderte die Anerkennung seiner Werke als Kunstwerke. Unter den für die Ausstellung nach New York geschickten Werken war auch die Skulptur „Bird“, die heute als Klassiker des abstrakten Stils gilt. Es handelt sich um eine etwa anderthalb Meter hohe modulierte Säule aus polierter Bronze, die äußerlich keinerlei Ähnlichkeit mit einem Vogel hat. Die Zollbeamten weigerten sich kategorisch, Brancusis abstrakte Schöpfungen als Kunstwerke anzuerkennen. Sie stellten sie unter die Überschrift „Krankenhaus- und Haushaltsgeräte aus Metall“ und belegten sie mit hohen Zöllen. Empört klagte Brancusi.

Customs wurde von Künstlern unterstützt - Mitgliedern der National Academy, die traditionelle Methoden in der Kunst verteidigten. Sie traten im Prozess als Zeugen der Verteidigung auf und beharrten kategorisch darauf, dass der Versuch, den „Vogel“ als Kunstwerk auszugeben, schlicht ein Betrug war.

Dieser Konflikt unterstreicht anschaulich die Schwierigkeit, mit dem Begriff „Kunstwerk“ zu operieren. Die Bildhauerei gilt traditionell als eine Form der bildenden Kunst. Der Grad der Ähnlichkeit des skulpturalen Bildes mit dem Original kann jedoch in sehr weiten Grenzen schwanken. Und wann hört ein skulpturales Bild, das sich immer mehr vom Original entfernt, auf, ein Kunstwerk zu sein, und wird zu einem „metallischen Gebrauchsgegenstand“? Diese Frage ist so schwer zu beantworten wie die Frage, wo die Grenze zwischen einem Haus und seiner Ruine, zwischen einem Pferd mit Schweif und einem Pferd ohne Schweif ist und so weiter. Übrigens sind die Modernisten im Allgemeinen davon überzeugt, dass die Skulptur ein Objekt von expressiver Form ist und überhaupt kein Bild sein muss.

Der Umgang mit ungenauen Begriffen erfordert daher eine gewisse Vorsicht. Wäre es nicht besser, sie ganz zu vermeiden?

Der deutsche Philosoph E. Husserl neigte dazu, vom Wissen eine so extreme Strenge und Genauigkeit zu verlangen, die nicht einmal in der Mathematik zu finden ist. In diesem Zusammenhang erinnern Husserls Biographen mit Ironie an einen Vorfall, der ihm in der Kindheit widerfahren ist. Ihm wurde ein Taschenmesser geschenkt, und er beschloss, die Klinge so scharf wie möglich zu machen, und schärfte sie, bis nichts mehr von der Klinge übrig war.

Genauere Begriffe sind in vielen Situationen ungenauen vorzuziehen. Der übliche Wunsch nach Klärung der verwendeten Begriffe ist durchaus berechtigt. Aber es muss natürlich seine Grenzen haben. Selbst in der Sprache der Wissenschaft ist ein erheblicher Teil der Konzepte ungenau. Und das hängt nicht mit den subjektiven und zufälligen Fehlern einzelner Wissenschaftler zusammen, sondern mit der Natur wissenschaftlicher Erkenntnis. In der natürlichen Sprache sind ungenaue Konzepte überwältigend; dies spricht unter anderem für seine Flexibilität und latente Stärke. Wer allen Begriffen höchste Präzision abverlangt, läuft Gefahr, ohne Sprache dastehen zu müssen. „Entziehen Sie den Worten jede Zweideutigkeit, jede Unsicherheit“, schrieb der französische Kosmetiker J. Joubert, „verwandeln Sie sie ... in einstellige Zahlen – das Spiel wird die Sprache verlassen und mit ihr Eloquenz und Poesie: alles, was beweglich und wandelbar ist die Neigungen der Seele, können ihren Ausdruck nicht finden. Aber was sage ich: berauben ... Ich werde mehr sagen. Entziehen Sie dem Wort jegliche Ungenauigkeit - und Sie verlieren sogar Axiome.

Sowohl Logiker als auch Mathematiker haben sich lange Zeit nicht um die Schwierigkeiten gekümmert, die mit unscharfen Begriffen und ihren entsprechenden Mengen verbunden sind. Die Frage wurde wie folgt gestellt: Konzepte müssen präzise sein, und alles Vage ist eines ernsthaften Interesses unwürdig. In den letzten Jahrzehnten hat diese allzu strenge Haltung jedoch an Attraktivität verloren. Es werden logische Theorien konstruiert, die speziell die Einzigartigkeit des Denkens mit ungenauen Begriffen berücksichtigen.

Die mathematische Theorie der sogenannten Fuzzy-Sets, undeutlich definierte Sammlungen von Objekten, entwickelt sich aktiv.

Die Analyse von Ungenauigkeitsproblemen ist ein Schritt, um die Logik der Praxis des gewöhnlichen Denkens näher zu bringen. Und wir können davon ausgehen, dass es noch viele weitere interessante Ergebnisse bringen wird.

Paradoxien der induktiven Logik

Es gibt vielleicht keinen Bereich der Logik, der nicht seine eigenen Paradoxien hat.

Die induktive Logik hat ihre eigenen Paradoxien, die seit fast einem halben Jahrhundert aktiv, aber bisher ohne großen Erfolg, bekämpft werden. Von besonderem Interesse ist das vom amerikanischen Philosophen K. Hempel entdeckte Bestätigungsparadoxon. Es ist selbstverständlich, dass allgemeine Aussagen, insbesondere wissenschaftliche Gesetze, durch ihre positiven Beispiele bestätigt werden. Wenn beispielsweise die Aussage „Alle A ist B“ betrachtet wird, dann werden ihre positiven Beispiele Objekte sein, die die Eigenschaften A und B haben. Insbesondere sind unterstützende Beispiele für die Aussage „Alle Raben sind schwarz“ Objekte, die sowohl Raben als auch sind Schwarz. Diese Aussage ist jedoch gleichbedeutend mit der Aussage „Alle Dinge, die nicht schwarz sind, sind keine Krähen“, und eine Bestätigung des letzteren muss auch eine Bestätigung des ersteren sein. Aber "Alles ist nicht schwarz ist keine Krähe" wird durch jeden Fall eines nicht schwarzen Objekts bestätigt, das keine Krähe ist. Es stellt sich also heraus, dass die Beobachtungen „Die Kuh ist weiß“, „Die Schuhe sind braun“ usw. bestätigen die Aussage „Alle Krähen sind schwarz“.

Aus scheinbar unschuldigen Prämissen ergibt sich ein unerwartetes paradoxes Ergebnis.

In der Normenlogik geben einige ihrer Gesetze Anlass zur Sorge. Wenn sie sinnvoll formuliert sind, wird ihr Widerspruch zu den üblichen Vorstellungen von richtig und falsch offensichtlich. Zum Beispiel besagt eines der Gesetze, dass ab dem Befehl "Brief senden!" es folgt der Befehl „Sende den Brief oder verbrenne ihn!“.

Ein anderes Gesetz besagt, dass jemand, der eine seiner Pflichten verletzt hat, das Recht hat, zu tun, was er will. Unsere logische Intuition will sich solche "Pflichtgesetze" nicht gefallen lassen.

In der Logik des Wissens wird das Paradox der logischen Allwissenheit heftig diskutiert. Er behauptet, dass eine Person alle logischen Konsequenzen kennt, die sich aus den Positionen ergeben, die sie einnimmt. Wenn jemand zum Beispiel die fünf Postulate der Geometrie von Euklid kennt, dann kennt er diese ganze Geometrie, da sie aus ihnen folgt. Aber das ist nicht so. Eine Person kann den Postulaten zustimmen und gleichzeitig den Satz des Pythagoras nicht beweisen können und daher an seiner allgemeinen Wahrheit zweifeln.

6. Was ist ein logisches Paradoxon?

Es gibt keine erschöpfende Liste logischer Paradoxien, und es ist unmöglich.

Die betrachteten Paradoxien sind nur ein Teil aller bisher entdeckten. Es ist wahrscheinlich, dass in Zukunft noch viele andere Paradoxien entdeckt werden, und sogar völlig neue Arten davon. Der eigentliche Begriff eines Paradoxons ist nicht so eindeutig, dass es möglich wäre, eine Liste zumindest bereits bekannter Paradoxa zusammenzustellen.

„Mengentheoretische Paradoxien sind ein sehr ernstes Problem, allerdings nicht für die Mathematik, sondern für die Logik und Erkenntnistheorie“, schreibt der österreichische Mathematiker und Logiker K. Gödel. „Die Logik ist widersprüchlich. Es gibt keine logischen Paradoxien“, sagt der Mathematiker D. Bochvar. Solche Diskrepanzen sind manchmal erheblich, manchmal verbal. Der Punkt liegt weitgehend darin, was genau mit einem logischen Paradoxon gemeint ist.

Die Besonderheit logischer Paradoxien

Ein notwendiges Merkmal logischer Paradoxien ist das logische Wörterbuch.

Paradoxien, die logisch sind, müssen in logischen Begriffen formuliert werden. In der Logik gibt es jedoch keine klaren Kriterien für die Unterteilung von Begriffen in logisch und nicht logisch. Die Logik, die sich mit der Richtigkeit des Denkens befasst, versucht, die Konzepte, von denen die Richtigkeit praktisch angewandter Schlussfolgerungen abhängt, auf ein Minimum zu reduzieren. Aber dieses Minimum ist nicht eindeutig vorgegeben. Darüber hinaus können auch nicht-logische Aussagen logisch formuliert werden. Ob ein bestimmtes Paradox nur rein logische Prämissen verwendet, lässt sich bei weitem nicht immer eindeutig feststellen.

Logische Paradoxien sind nicht strikt von allen anderen Paradoxien getrennt, ebenso wie letztere nicht klar von allem nicht-paradoxen und mit den herrschenden Vorstellungen übereinstimmenden unterschieden werden.

Zu Beginn des Studiums logischer Paradoxien schien es, dass sie durch die Verletzung einer noch unerforschten Position oder Regel der Logik unterschieden werden könnten. Das von B. Russell eingeführte Prinzip des Teufelskreises beanspruchte besonders aktiv die Rolle einer solchen Regel. Dieses Prinzip besagt, dass eine Sammlung von Objekten keine Mitglieder enthalten kann, die nur durch dieselbe Sammlung definiert sind.

Alle Paradoxien haben eines gemeinsam – Selbstanwendbarkeit oder Zirkularität. In jedem von ihnen ist das fragliche Objekt durch eine Reihe von Objekten gekennzeichnet, zu denen es selbst gehört. Wählen wir beispielsweise die schlaueste Person aus, tun wir dies mit Hilfe einer Population von Menschen, zu der diese Person gehört. Und wenn wir sagen: „Diese Aussage ist falsch“, dann charakterisieren wir die für uns interessante Aussage dadurch, dass wir uns auf die Gesamtheit aller falschen Aussagen beziehen, die sie enthält.

In allen Paradoxien gibt es eine Selbstanwendbarkeit von Begriffen, was bedeutet, dass es gleichsam eine Bewegung im Kreis gibt, die am Ende zum Ausgangspunkt führt. In dem Bemühen, das für uns interessierende Objekt zu charakterisieren, wenden wir uns der Menge von Objekten zu, die es enthält. Es stellt sich jedoch heraus, dass es zu seiner Bestimmtheit selbst den betrachteten Gegenstand benötigt und ohne ihn nicht eindeutig verstanden werden kann. In diesem Kreis liegt vielleicht die Quelle der Paradoxien.

Die Situation wird jedoch dadurch kompliziert, dass ein solcher Kreis in vielen völlig nicht paradoxen Argumenten existiert. Circular ist eine riesige Vielfalt der gebräuchlichsten, harmlosesten und gleichzeitig bequemsten Ausdrucksformen. Solche Beispiele wie „die größte aller Städte“, „die kleinste aller natürlichen Zahlen“, „eines der Elektronen des Eisenatoms“ usw. zeigen, dass nicht jeder Fall von Selbstanwendbarkeit auf einen Widerspruch führt und dass es so ist ist nicht nur in der Umgangssprache wichtig, sondern auch in der Wissenschaftssprache.

Ein bloßer Hinweis auf die Verwendung selbst anwendbarer Konzepte reicht also nicht aus, um Paradoxien zu diskreditieren. Es ist ein zusätzliches Kriterium erforderlich, um die Selbstanwendbarkeit, die zu einem Paradoxon führt, von allen anderen Fällen davon zu trennen.

Es gab viele Vorschläge in dieser Richtung, aber keine erfolgreiche Klärung der Zirkularität wurde gefunden. Es stellte sich als unmöglich heraus, Zirkularität so zu charakterisieren, dass jeder Zirkelschluss zu einem Paradoxon führt und jedes Paradoxon das Ergebnis eines Zirkelschlusses ist.

Der Versuch, ein bestimmtes Prinzip der Logik zu finden, dessen Verletzung ein charakteristisches Merkmal aller logischen Paradoxien wäre, führte zu nichts Bestimmtem.

Eine Art Klassifikation von Paradoxien wäre zweifellos nützlich, indem man sie in Typen und Typen unterteilt, einige Paradoxien gruppiert und sie anderen gegenüberstellt. Aber auch hier wurde nichts Nachhaltiges erreicht.

Der englische Logiker F. Ramsey, der 1930 starb, als er noch nicht siebenundzwanzig Jahre alt war, schlug vor, alle Paradoxien in syntaktische und semantische zu unterteilen. Das erste umfasst zum Beispiel Russells Paradox, das zweite - die Paradoxe des "Lügners", Grelling usw.

Die Paradoxien der ersten Gruppe enthalten laut Ramsey nur Konzepte, die der Logik oder der Mathematik angehören. Zu letzteren gehören Begriffe wie „Wahrheit“, „Bestimmbarkeit“, „Benennung“, „Sprache“, die nicht streng mathematisch sind, sondern der Linguistik oder gar der Erkenntnistheorie zuzuordnen sind. Semantische Paradoxien scheinen ihr Auftreten nicht einem Logikfehler zu verdanken, sondern der Vagheit oder Mehrdeutigkeit einiger nicht-logischer Konzepte, daher betreffen die Probleme, die sie aufwerfen, die Sprache und müssen von der Linguistik gelöst werden.

Es schien Ramsey, dass Mathematiker und Logiker nicht an semantischen Paradoxien interessiert sein müssten. Später stellte sich jedoch heraus, dass einige der bedeutendsten Ergebnisse der modernen Logik gerade im Zusammenhang mit einem tieferen Studium genau dieser nicht-logischen Paradoxien erzielt wurden.

Die von Ramsey vorgeschlagene Einteilung der Paradoxien war anfangs weit verbreitet und behält auch heute noch eine gewisse Bedeutung. Gleichzeitig wird immer deutlicher, dass diese Einteilung eher vage ist und sich in erster Linie auf Beispiele stützt und nicht auf eine eingehende vergleichende Analyse der beiden Gruppen von Paradoxien. Semantische Konzepte sind jetzt gut definiert, und es ist schwer, nicht zu erkennen, dass diese Konzepte tatsächlich logisch sind. Mit der Entwicklung der Semantik, die ihre Grundbegriffe mengentheoretisch definiert, verschwimmt die von Ramsey getroffene Unterscheidung zunehmend.

Paradoxien und moderne Logik

Welche Schlussfolgerungen für die Logik folgen aus der Existenz von Paradoxien?

Zunächst einmal spricht das Vorhandensein einer großen Anzahl von Paradoxien von der Stärke der Logik als Wissenschaft und nicht von ihrer Schwäche, wie es scheinen könnte.

Nicht zufällig fiel die Entdeckung der Paradoxien in die Zeit der intensivsten Entwicklung der modernen Logik und ihrer größten Erfolge.

Schon vor dem Aufkommen der Logik als Spezialwissenschaft wurden die ersten Paradoxien entdeckt. Im Mittelalter wurden viele Paradoxien entdeckt. Später gerieten sie jedoch in Vergessenheit und wurden bereits in unserem Jahrhundert wiederentdeckt.

Mittelalterliche Logiker waren sich der Begriffe "Menge" und "Element der Menge" nicht bewusst, die erst in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts in die Wissenschaft eingeführt wurden. Doch das Flair für Paradoxien wurde im Mittelalter so geschärft, dass schon damals gewisse Bedenken gegen selbstanwendbare Konzepte geäußert wurden. Das einfachste Beispiel dafür ist die Vorstellung vom „sein eigenes Element sein“, die in vielen heutigen Paradoxien auftaucht.

Allerdings waren solche Befürchtungen, wie alle Warnungen vor Paradoxien im Allgemeinen, bis zu unserem Jahrhundert nicht systematisch und eindeutig. Sie führten zu keinen klaren Vorschlägen zur Überprüfung gewohnter Denk- und Ausdrucksweisen.

Nur die moderne Logik hat das eigentliche Problem der Paradoxien aus der Vergessenheit genommen, die meisten der spezifischen logischen Paradoxien entdeckt oder wiederentdeckt. Sie zeigte ferner, dass die traditionell von der Logik erforschten Denkweisen völlig unzureichend sind, um Paradoxien zu beseitigen, und zeigte grundlegend neue Methoden auf, mit ihnen umzugehen.

Paradoxien werfen eine wichtige Frage auf: Wo versagen uns tatsächlich einige der üblichen Methoden der Konzeptbildung und Argumentation? Schließlich wirkten sie völlig natürlich und überzeugend, bis sich herausstellte, dass sie paradox waren.

Paradoxien untergraben den Glauben, dass die gewohnheitsmäßigen Methoden des theoretischen Denkens von sich aus und ohne besondere Kontrolle über sie einen zuverlässigen Fortschritt zur Wahrheit liefern.

Paradoxien erfordern eine radikale Änderung einer allzu leichtgläubigen Herangehensweise an das Theoretisieren und sind eine scharfe Kritik an der Logik in ihrer naiven, intuitiven Form. Sie spielen die Rolle eines Faktors, der die Art und Weise der Konstruktion deduktiver Logiksysteme kontrolliert und einschränkt. Und diese Rolle von ihnen kann mit der Rolle eines Experiments verglichen werden, das die Richtigkeit von Hypothesen in Wissenschaften wie Physik und Chemie testet und sie zwingt, Änderungen an diesen Hypothesen vorzunehmen.

Ein Paradoxon in einer Theorie spricht von der Unvereinbarkeit der ihr zugrunde liegenden Annahmen. Es wirkt als rechtzeitig erkanntes Symptom der Krankheit, ohne das es hätte übersehen werden können.

Natürlich manifestiert sich die Krankheit auf vielfältige Weise, und am Ende ist es möglich, sie ohne solche akuten Symptome wie Paradoxien aufzudecken. Beispielsweise würden die Grundlagen der Mengenlehre analysiert und verfeinert, auch wenn keine Paradoxien auf diesem Gebiet entdeckt würden. Aber es hätte nicht diese Schärfe und Dringlichkeit gegeben, mit der die darin entdeckten Paradoxien das Problem einer Revision der Mengenlehre aufgeworfen hätten.

Den Paradoxien ist eine umfangreiche Literatur gewidmet, eine große Anzahl ihrer Erklärungen wurde vorgeschlagen. Aber keine dieser Erklärungen wird allgemein akzeptiert, und es gibt keine vollständige Einigung über den Ursprung von Paradoxien und wie man sie beseitigt.

„In den letzten sechzig Jahren wurden Hunderte von Büchern und Artikeln dem Ziel gewidmet, Paradoxien aufzulösen, aber die Ergebnisse sind im Vergleich zu den aufgewendeten Anstrengungen erstaunlich schlecht“, schreibt A. Frenkel. „Es sieht so aus“, schließt H. Curry seine Analyse der Paradoxien ab, „dass eine vollständige Reform der Logik erforderlich ist und die mathematische Logik zum Hauptwerkzeug für die Durchführung dieser Reform werden kann.“

Beseitigung und Erklärung von Paradoxien

Ein wichtiger Unterschied sollte beachtet werden.

Paradoxien zu beseitigen und sie aufzulösen ist nicht dasselbe. Ein Paradox aus einer bestimmten Theorie zu entfernen bedeutet, sie so umzustrukturieren, dass sich die paradoxe Behauptung darin als unbeweisbar herausstellt. Jedes Paradox beruht auf einer großen Anzahl von Definitionen, Annahmen und Argumenten. Seine Schlussfolgerung in der Theorie ist eine bestimmte Argumentationskette. Formal kann man jedes seiner Glieder hinterfragen, verwerfen und damit die Kette unterbrechen und das Paradox beseitigen. In vielen Arbeiten wird dies getan und darauf beschränkt.

Aber das ist noch nicht die Auflösung des Paradoxons. Es reicht nicht aus, einen Weg zu finden, sie auszuschließen, man muss die vorgeschlagene Lösung überzeugend begründen. Der bloße Zweifel, dass irgendein Schritt zu einem Paradoxon führt, muss wohlbegründet sein.

Zunächst einmal muss die Entscheidung, auf einige logische Mittel zu verzichten, die bei der Ableitung einer paradoxen Aussage verwendet werden, mit unseren allgemeinen Überlegungen zur Natur logischer Beweise und anderer logischer Intuitionen verknüpft werden. Ist dies nicht der Fall, entpuppt sich die Beseitigung des Paradoxons als ohne solide und stabile Grundlagen und verkommt zu einer überwiegend technischen Aufgabe.

Darüber hinaus garantiert die Ablehnung einer Annahme, selbst wenn sie die Beseitigung eines bestimmten Paradoxons bewirkt, nicht automatisch die Beseitigung aller Paradoxa. Dies deutet darauf hin, dass Paradoxien nicht einzeln „gejagt“ werden sollten. Der Ausschluss eines von ihnen sollte immer so begründet sein, dass eine gewisse Garantie besteht, dass andere Paradoxien durch den gleichen Schritt beseitigt werden.

Jedes Mal, wenn ein Paradoxon entdeckt wird, schreibt A. Tarsky, „müssen wir unsere Denkweise einer gründlichen Revision unterziehen, einige Annahmen, an die wir geglaubt haben, verwerfen und die von uns verwendeten Argumentationsmethoden verbessern. Wir tun dies, um nicht nur Antinomien loszuwerden, sondern auch das Entstehen neuer zu verhindern.

Und schließlich kann eine unüberlegte und leichtfertige Ablehnung zu vieler oder zu starker Annahmen einfach dazu führen, dass sie zwar keine Paradoxien enthält, sich aber als eine deutlich schwächere Theorie herausstellt, die nur ein besonderes Interesse hat.

Was kann das minimale, am wenigsten radikale Maßnahmenpaket sein, um bekannte Paradoxien zu vermeiden?

Logische Grammatik

Eine Möglichkeit besteht darin, neben wahren und falschen Sätzen auch bedeutungslose Sätze herauszufiltern. Dieser Weg wurde von B. Russell eingeschlagen. Paradoxes Denken wurde von ihm für sinnlos erklärt, weil es gegen die Anforderungen der logischen Grammatik verstoße. Nicht jeder Satz, der nicht gegen die Regeln der gewöhnlichen Grammatik verstößt, ist sinnvoll – er muss auch den Regeln einer speziellen, logischen Grammatik genügen.

Russell baute eine Theorie der logischen Typen auf, eine Art logische Grammatik, deren Aufgabe es war, alle bekannten Antinomien zu eliminieren. Anschließend wurde diese Theorie wesentlich vereinfacht und als einfache Typentheorie bezeichnet.

Die Hauptidee der Typentheorie ist die Zuordnung logisch unterschiedlicher Objekttypen, die Einführung einer Art Hierarchie oder Leiter der betrachteten Objekte. Der niedrigste oder Nulltyp umfasst einzelne Objekte, die keine Mengen sind. Der erste Typ umfasst Mengen von Objekten vom Typ Null, d.h. Einzelpersonen; zum zweiten - Sätze von Sätzen von Personen usw. Mit anderen Worten wird unterschieden zwischen Objekten, Eigenschaften von Objekten, Eigenschaften von Eigenschaften von Objekten usw. Gleichzeitig werden bestimmte Beschränkungen für die Konstruktion von Vorschlägen eingeführt. Eigenschaften können Objekten, Eigenschaften von Eigenschaften Eigenschaften usw. zugeordnet werden. Aber es ist unmöglich, sinnvoll zu behaupten, dass Objekte Eigenschaften von Eigenschaften haben.

Nehmen wir eine Reihe von Vorschlägen:

Dieses Haus ist rot.

Rot ist eine Farbe.

Farbe ist ein optisches Phänomen.

In diesen Sätzen bezeichnet der Ausdruck "dieses Haus" ein bestimmtes Objekt, das Wort "rot" bezeichnet die diesem Objekt innewohnende Eigenschaft, "eine Farbe zu sein" - die Eigenschaft dieser Eigenschaft ("rot zu sein") und " ein optisches Phänomen zu sein" - gibt die Eigenschaft der Eigenschaft "eine Farbe sein" an, die zur Eigenschaft "rot sein" gehört. Hier haben wir es nicht nur mit Objekten und ihren Eigenschaften zu tun, sondern auch mit den Eigenschaften von Eigenschaften („die Eigenschaft, rot zu sein, hat die Eigenschaft, eine Farbe zu sein“), und sogar mit den Eigenschaften von Eigenschaften von Eigenschaften.

Alle drei Sätze aus der obigen Reihe sind natürlich sinnvoll. Sie werden nach den Anforderungen der Typentheorie gebaut. Und sagen wir, der Satz „Dieses Haus ist eine Farbe“ verstößt gegen diese Anforderungen. Sie schreibt einem Gegenstand jene Eigenschaft zu, die nur Eigenschaften, nicht aber Gegenständen zustehen kann. Ein ähnlicher Verstoß ist in dem Satz "Dieses Haus ist ein optisches Phänomen" enthalten. Beide Vorschläge sind als sinnlos einzustufen.

Eine einfache Typentheorie beseitigt Russells Paradoxon. Um die Paradoxien von Liar und Berry zu beseitigen, reicht es jedoch nicht mehr aus, die betrachteten Objekte einfach in Typen zu unterteilen. Es ist notwendig, einige zusätzliche Ordnungen innerhalb der Typen selbst einzuführen.

Die Eliminierung von Paradoxien kann auch erreicht werden, indem die Verwendung zu großer Mengen vermieden wird, ähnlich wie bei der Menge aller Mengen. Dieser Weg wurde von dem deutschen Mathematiker E. Zermelo vorgeschlagen, der das Auftreten von Paradoxien mit der unbegrenzten Konstruktion von Mengen verband. Die zulässigen Mengen wurden von ihm durch eine Liste von Axiomen definiert, die so formuliert waren, dass bekannte Paradoxien nicht daraus abgeleitet würden. Gleichzeitig waren diese Axiome stark genug, um daraus die üblichen Argumente der klassischen Mathematik abzuleiten, jedoch ohne Paradoxien.

Weder diese beiden noch die anderen vorgeschlagenen Wege zur Eliminierung von Paradoxien werden allgemein akzeptiert. Es gibt keine gemeinsame Überzeugung, dass irgendeine der vorgeschlagenen Theorien logische Paradoxien auflöst und sie nicht einfach ohne tiefere Erklärung verwirft. Das Problem der Erklärung von Paradoxien ist nach wie vor offen und nach wie vor wichtig.

Die Zukunft der Paradoxien

G. Frege, der größte Logiker des letzten Jahrhunderts, hatte leider einen sehr schlechten Charakter. Außerdem war er vorbehaltlos und sogar grausam gegenüber seiner Kritik an seinen Zeitgenossen.

Vielleicht wurde sein Beitrag zur Logik und Begründung der Mathematik deshalb lange nicht gewürdigt. Und als er allmählich berühmt wurde, schrieb ihm der junge englische Logiker B. Russell, dass in dem im ersten Band seines Buches The Fundamental Laws of Arithmetic veröffentlichten System ein Widerspruch auftauche. Der zweite Band dieses Buches war bereits im Druck, und Frege konnte ihm nur einen besonderen Anhang hinzufügen, in dem er diesen Widerspruch (später "Russellsches Paradoxon" genannt) skizzierte und zugab, ihn nicht beseitigen zu können.

Die Folgen dieser Anerkennung waren für Frege jedoch tragisch. Er erlebte den größten Schock. Und obwohl er damals erst 55 Jahre alt war, veröffentlichte er kein weiteres bedeutendes Werk über Logik, obwohl er mehr als zwanzig Jahre lebte. Er reagierte nicht einmal auf die lebhafte Diskussion, die durch Russells Paradoxon ausgelöst wurde, und reagierte in keiner Weise auf die vielen vorgeschlagenen Lösungen für dieses Paradoxon.

Den Eindruck, den die neu entdeckten Paradoxien auf Mathematiker und Logiker machten, brachte D. Hilbert treffend zum Ausdruck: „... Der Zustand, in dem wir uns jetzt in Bezug auf Paradoxien befinden, ist für lange Zeit unerträglich. Denken Sie darüber nach: In der Mathematik - diesem Modell der Gewissheit und Wahrheit - führt die Bildung von Begriffen und der Verlauf von Schlussfolgerungen, wie sie alle studieren, lehren und anwenden, ins Absurde. Wo soll man Verlässlichkeit und Wahrheit suchen, wenn selbst das mathematische Denken versagt?

Frege war ein typischer Vertreter der Logik des ausgehenden 19. Jahrhunderts, frei von jeglichen Paradoxien, Logik, überzeugt von ihren Fähigkeiten und dem Anspruch, ein Kriterium der Strenge auch für die Mathematik zu sein. Die Paradoxien zeigten, dass die durch vermeintliche Logik erreichte absolute Strenge nichts weiter als eine Illusion war. Sie haben unleugbar gezeigt, dass die Logik – in der intuitiven Form, die sie um die Jahrhundertwende hatte – einer tiefgreifenden Überarbeitung bedarf.

Etwa ein Jahrhundert ist vergangen, seit die lebhafte Diskussion über Paradoxien begann. Die vorgenommene Überarbeitung der Logik führte jedoch nicht zu deren eindeutiger Auflösung.

Und gleichzeitig kümmert ein solcher Zustand heute kaum noch jemanden. Im Laufe der Zeit sind die Einstellungen gegenüber Paradoxien ruhiger und sogar toleranter geworden als zu dem Zeitpunkt, als sie entdeckt wurden. Es ist nicht nur so, dass Paradoxien etwas Vertrautes geworden sind. Und natürlich nicht, dass sie sich damit abfinden. Sie bleiben immer noch im Zentrum der Aufmerksamkeit der Logiker, die Suche nach ihren Lösungen wird aktiv fortgesetzt. Die Situation änderte sich vor allem dadurch, dass sich die Paradoxien als sozusagen lokalisiert herausstellten. Sie haben ihren festen, wenn auch unruhigen Platz in einer Vielzahl logischer Studien gefunden. Es wurde deutlich, dass absolute Austerität, wie sie Ende des letzten Jahrhunderts und manchmal sogar zu Beginn dieses Jahrhunderts dargestellt wurde, im Prinzip ein unerreichbares Ideal ist.

Es wurde auch erkannt, dass es kein einzelnes Problem von Paradoxien gibt, das für sich allein steht. Die damit verbundenen Probleme sind unterschiedlicher Art und betreffen tatsächlich alle Hauptabschnitte der Logik. Die Entdeckung eines Paradoxons zwingt uns zu einer tieferen Analyse unserer logischen Intuitionen und zu einer systematischen Überarbeitung der Grundlagen der Logikwissenschaft. Gleichzeitig ist der Wunsch, Paradoxien zu vermeiden, weder die einzige noch vielleicht die Hauptaufgabe. Obwohl sie wichtig sind, sind sie nur ein Anlass, über die zentralen Themen der Logik nachzudenken. Wenn wir den Vergleich von Paradoxien mit besonders ausgeprägten Krankheitssymptomen fortsetzen, kann gesagt werden, dass der Wunsch, Paradoxien sofort zu beseitigen, wie ein Wunsch wäre, solche Symptome ohne große Sorge um die Krankheit selbst zu beseitigen. Gefordert ist nicht nur die Auflösung von Paradoxien, sondern deren Erklärung, die unser Verständnis der logischen Denkmuster vertieft.

7. Ein paar Paradoxien oder was danach aussieht

Und um diese kurze Erörterung logischer Paradoxien abzuschließen, hier ein paar Probleme, über die der Leser nachdenken sollte. Es ist zu entscheiden, ob die gegebenen Aussagen und Begründungen wirklich logische Paradoxien sind oder nur scheinbar sind. Dazu sollte man natürlich das Quellenmaterial irgendwie umstrukturieren und versuchen, daraus einen Widerspruch abzuleiten: sowohl die Bejahung als auch die Verneinung des Gleichen über das Gleiche. Wenn ein Paradoxon gefunden wird, können Sie darüber nachdenken, was sein Auftreten verursacht und wie es beseitigt werden kann. Sie können sogar versuchen, Ihr eigenes Paradox des gleichen Typs zu finden, d.h. gebaut nach dem gleichen Schema, aber auf der Grundlage anderer Konzepte.

1. Wer sagt: „Ich weiß nichts“, macht eine scheinbar paradoxe, in sich widersprüchliche Aussage. Er sagt im Wesentlichen: "Ich weiß, dass ich nichts weiß." Aber das Wissen, dass es kein Wissen gibt, ist immer noch Wissen. Das bedeutet, dass der Sprecher einerseits versichert, kein Wissen zu haben, und andererseits schon durch diese Behauptung sagt, dass er etwas Wissen hat. Was ist hier los?

Wenn man über diese Schwierigkeit nachdenkt, sei daran erinnert, dass Sokrates eine ähnliche Idee sorgfältiger ausgedrückt hat. Er sagte: "Ich weiß nur, dass ich nichts weiß." Andererseits behauptete ein anderer Altgrieche, Metrodorus, mit voller Überzeugung: „Ich weiß nichts und ich weiß nicht einmal, dass ich nichts weiß.“ Gibt es ein Paradoxon in dieser Aussage?

2. Historische Ereignisse sind einzigartig. Die Geschichte, wenn sie sich wiederholt, ist nach einem bekannten Ausdruck das erste Mal wie eine Tragödie und das zweite Mal wie eine Farce. Aus der Einzigartigkeit historischer Ereignisse wird manchmal die Vorstellung abgeleitet, die Geschichte lehre nichts. „Die vielleicht größte Lektion der Geschichte“, schreibt O. Huxley, „liegt wirklich in der Tatsache, dass niemand jemals etwas aus der Geschichte gelernt hat.“

Es ist unwahrscheinlich, dass diese Idee richtig ist. Die Vergangenheit ist genau das, was hauptsächlich studiert wird, um die Gegenwart und die Zukunft besser zu verstehen. Eine andere Sache ist, dass die "Lektionen" der Vergangenheit in der Regel mehrdeutig sind.

Ist der Glaube, die Geschichte lehre nichts, nicht widersprüchlich? Schließlich folgt sie selbst aus der Geschichte als eine ihrer Lehren. Wäre es nicht besser für die Befürworter dieser Idee, sie so zu formulieren, dass sie für sie selbst nicht gilt: „Die Geschichte lehrt das Einzige – nichts kann man daraus lernen“ oder „Die Geschichte lehrt nichts als diese Lektion von ihr“?

3. „Bewiesen, dass es keine Beweise gibt.“ Dies scheint eine in sich widersprüchliche Aussage zu sein: Es handelt sich um einen Beweis, oder sie setzt einen bereits erbrachten Beweis voraus („es ist bewiesen, dass …“) und behauptet gleichzeitig, dass es keinen Beweis gibt.

Der bekannte antike Skeptiker Sextus Empiricus schlug folgende Lösung vor: Statt obiger Aussage akzeptiere die Aussage „Es ist bewiesen, dass es keinen anderen Beweis als diesen gibt“ (oder: „Es ist bewiesen, dass es nichts anderes bewiesen gibt als das"). Aber ist dieser Ausweg nicht illusorisch? Schließlich wird im Wesentlichen behauptet, dass es nur einen und einzigen Beweis gibt – den Beweis für das Nichtvorhandensein jeglicher Beweise („Es gibt nur einen Beweis: den Beweis, dass es keine anderen Beweise gibt“). Was ist nun die Operation des Beweises selbst, wenn er nach dieser Behauptung nur einmal durchgeführt werden konnte? Auf jeden Fall war Sextus' eigene Meinung über den Beweiswert nicht sehr hoch. Er schrieb insbesondere: „Recht hat der, der auf Beweise verzichtet, der, der zum Zweifeln geneigt ist und unbegründet die gegenteilige Meinung vertritt.“

4. „Keine Aussage ist negativ“, oder einfacher: „Es gibt keine negativen Aussagen.“ Dieser Ausdruck selbst ist jedoch eine Aussage und genau negativ. Es scheint wie ein Paradoxon. Welche Umformulierung dieser Aussage könnte das Paradoxon vermeiden?

Der mittelalterliche Philosoph und Logiker Zh. Der Esel strebt wie jedes andere Tier danach, das Beste aus zwei Dingen zu wählen. Die beiden Arme sind völlig ununterscheidbar, und deshalb kann er keine von beiden bevorzugen. Dieser "Buridan-Esel" ist jedoch nicht in den Schriften von Buridan selbst enthalten. In der Logik ist Buridan bekannt, insbesondere für sein Buch über Sophismen. Es enthält die folgende Schlussfolgerung, die für unser Thema relevant ist: Keine Aussage ist negativ; daher gibt es einen negativen Satz. Ist diese Schlussfolgerung gerechtfertigt?

5. N. V. Gogols Beschreibung von Chichikovs Damespiel mit Nozdrev ist bekannt. Ihr Spiel endete nie, Chichikov bemerkte, dass Nozdryov schummelte und weigerte sich zu spielen, aus Angst zu verlieren. Kürzlich rekonstruierte ein Damespezialist aus den Äußerungen der Mitspieler den Verlauf dieser Partie und zeigte, dass Chichikovs Stellung noch nicht aussichtslos war.

Nehmen wir an, dass Chichikov das Spiel dennoch fortsetzte und schließlich das Spiel gewann, trotz der Tricks seines Partners. Laut Vereinbarung musste der Verlierer Nozdryov Chichikov fünfzig Rubel und "einen bürgerlichen Welpen oder ein goldenes Siegel für eine Uhr" geben. Aber Nozdryov würde sich höchstwahrscheinlich weigern zu zahlen und darauf hinweisen, dass er selbst das ganze Spiel betrogen hat und dass es sozusagen kein Spiel ist, sich nicht an die Regeln zu halten. Chichikov hätte einwenden können, dass hier von Betrug zu sprechen fehl am Platz ist: Der Verlierer selbst hat betrogen, was bedeutet, dass er umso mehr bezahlen muss.

Würde Nosdrjow in einer solchen Situation tatsächlich zahlen müssen oder nicht? Einerseits ja, weil er verloren hat. Aber andererseits nein, denn ein Spiel, das nicht den Regeln entspricht, ist überhaupt kein Spiel; Bei einem solchen „Spiel“ kann es keinen Gewinner oder Verlierer geben. Wenn Chichikov selbst betrogen hätte, wäre Nozdryov natürlich nicht zur Zahlung verpflichtet gewesen. Aber es war der Verlierer Nozdryov, der betrogen hat ...

Hier ist etwas Paradoxes zu spüren: „Einerseits ...“, „Andererseits ...“, und außerdem ist es auf beiden Seiten gleichermaßen überzeugend, obwohl diese Seiten unvereinbar sind.

Soll Nosdrjow noch zahlen oder nicht?

6. „Jede Regel hat Ausnahmen.“ Aber diese Aussage ist selbst eine Regel. Wie alle anderen Regeln muss es Ausnahmen geben. Eine solche Ausnahme wäre offensichtlich die Regel "Es gibt Regeln, die keine Ausnahmen haben". Gibt es nicht in allem ein Paradoxon? Welches der vorherigen Beispiele ähnelt diesen beiden Regeln? Darf man so argumentieren: Jede Regel hat Ausnahmen; Heißt das, es gibt Regeln ohne Ausnahmen?

7. „Jede Verallgemeinerung ist falsch.“ Es ist klar, dass diese Aussage die Erfahrung der mentalen Operation der Verallgemeinerung zusammenfasst und selbst eine Verallgemeinerung ist. Wie alle anderen Verallgemeinerungen muss sie falsch sein. Es muss also wahre Verallgemeinerungen geben. Aber ist es richtig, so zu argumentieren: Jede Verallgemeinerung ist falsch, also gibt es wahre Verallgemeinerungen?

8. Ein gewisser Schriftsteller hat ein „Epitaph to All Genres“ verfasst, um zu beweisen, dass literarische Genres, deren Unterscheidung so viele Kontroversen auslöste, tot sind und nicht erinnert werden können.

Aber das Epitaph ist in gewisser Weise auch eine Gattung, die Gattung der Grabsteininschriften, die sich bereits in der Antike entwickelt hat und als eine Art Epigramm in die Literatur eingegangen ist:

Hier ruhe ich: Jimmy Hogg.
Möge Gott mir meine Sünden vergeben,
Was würde ich tun, wenn ich Gott wäre
Und er ist der verstorbene Jimmy Hogg.

So sündigt das Epitaph zu allen Gattungen ausnahmslos wie in Widersprüchlichkeit. Wie kann man es am besten umformulieren?

9. „Sag niemals nie.“ Wenn Sie die Verwendung des Wortes "niemals" verbieten, müssen Sie dieses Wort zweimal verwenden!

Ähnlich verhält es sich offenbar mit dem Ratschlag: „Es ist an der Zeit, dass diejenigen, die ‚es ist Zeit‘ sagen, etwas anderes sagen als ‚es ist Zeit‘.“

Gibt es eine besondere Widersprüchlichkeit in solchen Ratschlägen, und kann sie vermieden werden?

10. In dem Gedicht "Glaube nicht", das natürlich in der Rubrik "Ironische Poesie" veröffentlicht wurde, empfiehlt sein Autor, an nichts zu glauben:

... Glauben Sie nicht an die magische Kraft des Feuers:
Es brennt, während Feuerholz hineingelegt wird.
Glauben Sie nicht an das Pferd mit der goldenen Mähne
Nicht für irgendeinen süßen Lebkuchen!
Glauben Sie nicht, dass Sternenherden
Rauschen in einem endlosen Wirbelwind.
Aber was bleibt dir dann übrig?
Glauben Sie nicht, was ich gesagt habe.
Glauben Sie nicht.
(W. Prudowski)

Aber ist dieser allgemeine Unglaube echt? Anscheinend ist es widersprüchlich und daher logisch unmöglich.

11. Angenommen, es gibt entgegen der landläufigen Meinung immer noch uninteressante Menschen. Lassen Sie uns sie gemeinsam im Geiste sammeln und unter ihnen den kleinsten in der Höhe oder den größten im Gewicht oder ein anderes "am meisten ..." auswählen. Diese Person wäre interessant anzusehen, also haben wir sie unnötigerweise in die Liste der Uninteressanten aufgenommen. Nachdem wir es ausgeschlossen haben, werden wir unter den verbleibenden wieder „das sehr …“ im gleichen Sinne finden, und so weiter. Und das alles, bis nur noch eine Person übrig ist, mit der man sich nicht vergleichen kann. Aber es stellt sich heraus, dass ihn genau das interessiert! Als Ergebnis kommen wir zu dem Schluss, dass es keine uninteressanten Menschen gibt. Und der Streit begann mit der Tatsache, dass es solche Menschen gibt.

Man kann insbesondere versuchen, unter den Uninteressanten die Uninteressantesten aller Uninteressanten zu finden. Darin wird er zweifellos interessant sein, und er wird von uninteressanten Menschen ausgeschlossen werden müssen. Unter den anderen gibt es wieder die am wenigsten interessanten und so weiter.

In diesen Argumenten steckt definitiv ein Hauch Paradoxon. Liegt hier ein Fehler vor und wenn ja, welcher?

12. Angenommen, Sie haben ein leeres Blatt Papier erhalten und wurden angewiesen, dieses Blatt darauf zu beschreiben. Du schreibst: das ist ein rechteckiges Blatt, weiß, von der und der Größe, aus gepressten Holzfasern usw.

Die Beschreibung scheint vollständig zu sein. Aber es ist eindeutig unvollständig! Während des Beschreibungsprozesses änderte sich das Objekt: Text erschien darauf. Daher muss auch die Beschreibung ergänzt werden: Außerdem steht auf diesem Blatt Papier: Dies ist ein rechteckiges Blatt, weiß ... usw. zur Unendlichkeit.

Es scheint hier wie ein Paradoxon, nicht wahr?

Ein bekanntes Kinderlied:

Der Pfarrer hatte einen Hund
Er liebte sie
Sie hat ein Stück Fleisch gegessen
Er hat sie getötet.
Getötet und begraben
Und an die Tafel schrieb er:
"Der Priester hatte einen Hund..."

Könnte dieser hundeliebende Pop jemals seinen Grabstein fertigstellen? Ähnelt die Zusammensetzung dieser Inschrift nicht der vollständigen Beschreibung eines Blattes Papier auf sich selbst?

13. Ein Autor gibt diesen "subtilen" Rat: "Wenn Sie mit kleinen Tricks nicht erreichen, was Sie wollen, greifen Sie zu großen Tricks." Diese Ratschläge werden unter der Überschrift „Tricks of the Trade“ angeboten. Aber ist er wirklich einer dieser Tricks? Schließlich helfen „kleine Tricks“ nicht, und gerade aus diesem Grund müssen Sie auf diesen Rat zurückgreifen.

14. Wir nennen eine Partie normal, wenn sie mit endlich vielen Zügen endet. Beispiele für normale Spiele sind Schach, Dame, Domino: Diese Spiele enden immer entweder mit dem Sieg einer der Parteien oder mit einem Unentschieden. Das Spiel, das nicht normal ist, wird auf unbestimmte Zeit ohne Ergebnis fortgesetzt. Lassen Sie uns auch den Begriff eines Superspiels einführen: Der erste Zug eines solchen Spiels besteht darin, zu bestimmen, welches Spiel gespielt werden soll. Wenn Sie und ich beispielsweise beabsichtigen, eine Superpartie zu spielen, und ich den ersten Zug besitze, kann ich sagen: "Lass uns Schach spielen." Dann machen Sie als Antwort den ersten Zug des Schachspiels, sagen wir e2 - e4, und wir setzen das Spiel fort, bis es endet (insbesondere aufgrund des Ablaufs der in den Turnierregeln vorgesehenen Zeit). Als ersten Schritt kann ich vorschlagen, Tic-Tac-Toe und ähnliches zu spielen. Aber das Spiel, das ich wähle, muss normal sein; Sie können kein Spiel auswählen, das nicht normal ist.

Es stellt sich ein Problem: Ist das Supergame selbst normal oder nicht? Nehmen wir an, dass dies ein normales Spiel ist. Da es jedes der normalen Spiele als ersten Zug wählen kann, kann ich sagen: "Lasst uns das Superspiel spielen." Danach hat das Superspiel begonnen und der nächste Zug gehört Ihnen. Sie haben das Recht zu sagen: "Lasst uns ein super Spiel spielen." Ich kann wiederholen: „Lasst uns das Superspiel spielen“ und somit kann der Prozess endlos fortgesetzt werden. Daher gilt das Supergame nicht für normale Spiele. Aber aufgrund der Tatsache, dass das Superspiel nicht normal ist, kann ich mit meinem ersten Zug im Superspiel kein Superspiel vorschlagen; Ich muss das normale Spiel wählen. Aber die Wahl eines normalen Spiels, das ein Ende hat, widerspricht der erwiesenen Tatsache, dass das Superspiel nicht zu den normalen gehört.

Ist das Supergame also ein normales Spiel oder nicht?

Bei der Beantwortung dieser Frage sollte man natürlich nicht den einfachen Weg rein verbaler Unterscheidungen gehen. Der einfachste Weg ist zu sagen, dass ein normales Spiel ein Spiel ist und ein Superspiel nur ein Streich.

An welche anderen Paradoxien erinnert dieses Paradox, dass das Superspiel gleichzeitig normal und anormal ist?

Literatur

Bayif J.K. Logische Aufgaben. -M., 1983.

Bourbaki N. Essays zur Geschichte der Mathematik. -M., 1963.

Gardner M. Komm schon, rate mal! – M.: 1984.

Ivin A.A. Nach den Gesetzen der Logik. -M., 1983.

Klini S.K. Mathematische Logik. -M., 1973.

Smallian R.M. Wie heißt dieses Buch? – M.: 1982.

Smallian R.M. Prinzessin oder Tiger? – M.: 1985.

Frenkel A., Bar-Hillel I. Grundlagen der Mengenlehre. -M., 1966.

Testfragen

Welche Bedeutung haben Paradoxien für die Logik?

Welche Lösungen wurden für das Lügnerparadoxon vorgeschlagen?

Was sind die Merkmale einer semantisch geschlossenen Sprache?

Was ist die Essenz des Paradoxons vieler gewöhnlicher Mengen?

Gibt es eine Lösung für den Streit zwischen Protagoras und Euathlus? Welche Lösungen wurden für diesen Streit vorgeschlagen?

Was ist die Essenz des Paradoxons ungenauer Namen?

Was könnte die Besonderheit logischer Paradoxien sein?

Welche Schlussfolgerungen für die Logik folgen aus der Existenz logischer Paradoxien?

Was ist der Unterschied zwischen dem Beseitigen und dem Erklären eines Paradoxons? Welche Zukunft haben logische Paradoxien?

Themen von Abstracts und Berichten

Das Konzept eines logischen Paradoxons

Das Lügner-Paradoxon

Russells Paradoxon

Paradox "Protagoras und Euathlus"

Die Rolle von Paradoxien in der Entwicklung der Logik

Perspektiven zur Auflösung von Paradoxien

Unterscheidung zwischen Sprache und Metasprache

Beseitigung und Auflösung von Paradoxien

Inhalt

Einführung

1. Sophismen

1.2 Beispiele für Sophismen

2. Logische Paradoxien

Fazit

Einführung

Objektive, von unseren individuellen Eigenschaften und Wünschen unabhängige Prinzipien oder Denkregeln, deren Beachtung jedes Denken zu wahren Schlussfolgerungen führt, sofern die ursprünglichen Aussagen wahr sind, werden als Gesetze der Logik bezeichnet.

Eines der wichtigsten und bedeutsamsten Gesetze der Logik ist das Identitätsgesetz. Er argumentiert, dass jeder Gedanke (jede Argumentation) notwendigerweise mit sich selbst gleich (identisch) sein muss, das heißt, er muss klar, präzise, einfach und eindeutig sein. Dieses Gesetz verbietet die Verwechslung und Ersetzung von Konzepten in der Argumentation (d. h. die Verwendung desselben Wortes in unterschiedlichen Bedeutungen oder die Verwendung derselben Bedeutung in verschiedenen Wörtern), das Schaffen von Mehrdeutigkeiten, das Vermeiden des Themas usw.

Wenn das Identitätsgesetz aus Unwissenheit unfreiwillig verletzt wird, dann entstehen einfach logische Fehler; aber wenn dieses Gesetz absichtlich verletzt wird, um den Gesprächspartner zu verwirren und ihm einen falschen Gedanken zu beweisen, dann treten nicht nur Fehler auf, sondern Sophismen.

So viele Sophismen sehen aus wie ein Spiel mit der Sprache ohne Sinn und Zweck; ein Spiel, das auf der Mehrdeutigkeit sprachlicher Ausdrücke, ihrer Unvollständigkeit, Untertreibung, der Abhängigkeit ihrer Bedeutung vom Kontext usw. basiert. Diese Sophismen wirken besonders naiv und leichtsinnig.

Logische Paradoxien sprechen dafür, dass die Logik wie jede andere Wissenschaft nicht vollständig ist, sondern sich ständig weiterentwickelt.

Sophismen und Paradoxien haben ihren Ursprung in der Antike. Mit diesen logischen Geräten wird unsere Sprache reicher, heller und schöner.

1. Sophismen

1.1 Der Begriff des Sophismus und seine historische Herkunft

Sophismus(aus dem Griechischen - Geschicklichkeit, Geschicklichkeit, schlaue Erfindung, Trick, Weisheit) - eine falsche Schlussfolgerung, die bei oberflächlicher Betrachtung dennoch richtig erscheint. Der Sophismus basiert auf einer absichtlichen, bewussten Verletzung der Regeln der Logik.

Aristoteles nannte Sophismus "eingebildete Beweise", bei denen die Gültigkeit der Schlussfolgerung offensichtlich ist und auf einem rein subjektiven Eindruck beruht, der durch mangelnde logische Analyse verursacht wird. Die Überzeugungskraft vieler Sophismen auf den ersten Blick, ihre „Logik“ wird meist mit einem gut getarnten Irrtum in Verbindung gebracht – Semiotik<#"center">1.2 Beispiele für Sophismen

Als intellektuelle Tricks oder Tricks werden alle Sophismen entlarvt, nur bei einigen von ihnen liegt der logische Fehler in Form einer Verletzung des Identitätsgesetzes an der Oberfläche und ist daher in der Regel fast sofort erkennbar. Es ist nicht schwer, solche Sophismen aufzudecken. Es gibt jedoch Sophismen, in denen der Haken tief genug verborgen ist, gut getarnt, weshalb Sie versuchen müssen, ihn zu finden.

Beispiel 1 einfache Sophistik: 3 und 4 sind zwei verschiedene Zahlen, 3 und 4 sind 7, also sind 7 zwei verschiedene Zahlen.In dieser äußerlich korrekten und überzeugenden Begründung werden verschiedene, nicht identische Dinge verwechselt oder identifiziert: eine einfache Aufzählung von Zahlen (der erste Teil der Begründung) und die mathematische Operation der Addition (der zweite Teil der Begründung); zwischen dem ersten und dem zweiten kann man kein Gleichheitszeichen setzen, eine Verletzung des Identitätsgesetzes.

Beispiel #2 einfache Sophistik: zweimal zwei (d.h. zweimal zwei) wird nicht vier, sondern drei sein. Nimm ein Streichholz und zerbrich es in zwei Hälften. Es ist einmal zwei. Nehmen Sie dann eine der Hälften und brechen Sie sie in zwei Hälften. Dies ist das zweite Mal zweimal. Das Ergebnis sind drei Teile des ursprünglichen Spiels. Aus zwei mal zwei wird also nicht vier, sondern drei.In dieser Argumentation werden verschiedene Dinge durcheinander gebracht, das Nichtidentische identifiziert: Die Operation des Multiplizierens mit zwei und die Operation des Teilens durch zwei - das eine wird implizit durch das andere ersetzt, wodurch die Wirkung der externen Korrektheit und Überzeugungskraft des vorgeschlagenen "Beweises" erreicht ist.

Beispiel #3 einer der alten Sophismen, die Eubulides zugeschrieben werden: Was du nicht verloren hast, hast du. Du hast dein Horn nicht verloren. Du hast also Hörner.Hier wird die Mehrdeutigkeit der Hauptprämisse maskiert. Wenn es als allgemeingültig aufgefasst wird: "Alles, was du nicht verloren hast ...", dann ist die Schlussfolgerung logisch einwandfrei, aber uninteressant, da es offensichtlich ist, dass die große Prämisse falsch ist; wenn es als privat aufgefasst wird, folgt die Schlussfolgerung nicht logisch.

Mit Sophismen können Sie auch eine Art Comic-Effekt erzeugen, indem Sie gegen das Identitätsgesetz verstoßen.

Beispiel Nr. 4 : NV Gogol sagt in dem Gedicht "Dead Souls", das den Landbesitzer Nozdrev beschreibt, dass er eine historische Person war, denn wo immer er auftauchte, passierte ihm zwangsläufig eine Art Geschichte.

Beispiel #5 : Stellen Sie sich nirgendwo hin, sonst fällt es herunter.

Beispiel Nr. 6 : - Ich habe mir an zwei Stellen den Arm gebrochen.

Gehen Sie nicht wieder an diese Orte.

In den Beispielen Nr. 4,5,6 wird dieselbe Technik verwendet: verschiedene Bedeutungen, Situationen, Themen werden in identischen Wörtern gemischt, von denen eines dem anderen nicht gleich ist, dh das Gesetz der Identität wird verletzt.

2. Logische Paradoxien

2.1 Das Konzept des logischen Paradoxons und der Aporie

Paradox(von griechisch unerwartet, seltsam) ist etwas Ungewöhnliches und Überraschendes, etwas, das im Widerspruch zu den üblichen Erwartungen, dem gesunden Menschenverstand und der Lebenserfahrung steht.

logisches Paradoxon- das ist eine so ungewöhnliche und erstaunliche Situation, wenn zwei widersprüchliche Urteile nicht nur gleichzeitig wahr sind (was aufgrund der logischen Widerspruchsgesetze und der ausgeschlossenen Mitte unmöglich ist), sondern auch aufeinander folgen, sich gegenseitig verursachen.

Ein Paradox ist eine unlösbare Situation, eine Art mentale Sackgasse, ein „Stolperstein“ in der Logik: Im Laufe seiner Geschichte wurden viele verschiedene Wege vorgeschlagen, um Paradoxe zu überwinden und zu beseitigen, aber keiner von ihnen ist noch erschöpfend, endgültig und allgemein anerkannt .

Einige Paradoxien (Paradoxien des "Lügners", "Dorffriseurs" usw.) werden auch genannt Antinomien(aus dem Griechischen. Widerspruch im Gesetz), also Argumente, in denen bewiesen wird, dass zwei Aussagen, die einander verneinen, aufeinander folgen. Antinomien gelten als die schärfste Form von Paradoxien. Die Begriffe „logisches Paradoxon“ und „Antinomie“ werden jedoch häufig als Synonyme betrachtet.

Eine separate Gruppe von Paradoxien sind Aporie(aus dem Griechischen - Schwierigkeit, Verwirrung) - Argumentation, die die Widersprüche zwischen dem aufzeigt, was wir mit den Sinnen wahrnehmen (sehen, hören, berühren usw.) und dem, was geistig analysiert werden kann (Widersprüche zwischen dem Sichtbaren und dem Vorstellbaren).

Sophismus logisch paradoxe Sprache

Die berühmtesten Aporien wurden von dem antiken griechischen Philosophen Zeno von Elea aufgestellt, der argumentierte, dass die Bewegung, die wir überall beobachten, nicht zum Gegenstand einer mentalen Analyse gemacht werden kann. Eine seiner berühmten Aporien heißt Achilles und die Schildkröte. Sie sagt, wir könnten gut sehen, wie der schnellfüßige Achilles die langsam kriechende Schildkröte einholt und überholt; Die mentale Analyse führt uns jedoch zu dem ungewöhnlichen Schluss, dass Achilles die Schildkröte niemals einholen kann, obwohl er sich 10-mal schneller bewegt als sie. Wenn er die Entfernung zur Schildkröte überwindet, wird sie gleichzeitig 10-mal weniger passieren, nämlich 1/10 des Weges, den Achilles gegangen ist, und dieser 1/10-Teil wird vor ihm liegen. Wenn Achilles diesen 1/10-Teil des Weges zurückgelegt hat, dann legt die Schildkröte in derselben Zeit eine 10-mal geringere Strecke zurück, also 1/100 des Weges, und dieser 1/100-Teil wird Achilles voraus sein. Wenn er 1/100 des Weges passiert, der ihn und die Schildkröte trennt, dann wird sie in der gleichen Zeit 1/1000 des Weges passieren und immer noch vor Achilles bleiben, und so weiter bis ins Unendliche. Wir sind davon überzeugt, dass uns die Augen eines sagen und der Gedanke etwas ganz anderes (das Sichtbare wird vom Denkbaren geleugnet).

In der Logik wurden viele Wege geschaffen, um Paradoxien aufzulösen und zu überwinden. Keine davon ist jedoch unbedenklich und wird nicht allgemein akzeptiert.

2.2 Beispiele für logische Paradoxien

Das bekannteste logische Paradoxon ist das "Lügner"-Paradoxon . Er wird oft als „König der logischen Paradoxien“ bezeichnet. Es wurde im antiken Griechenland entdeckt. Der Legende nach schwor der Philosoph Diodorus Kronos, nicht zu essen, bis er dieses Paradoxon gelöst hatte und verhungerte, ohne etwas zu erreichen. Es gibt verschiedene Formulierungen dieses Paradoxons. Es wird am kürzesten und einfachsten in einer Situation formuliert, in der eine Person einen einfachen Satz ausspricht: "Ich bin ein Lügner." Die Analyse dieser Aussage führt zu einem verblüffenden Ergebnis. Wie Sie wissen, kann jede Aussage wahr oder falsch sein. Angenommen, der Satz "Ich bin ein Lügner" ist wahr, das heißt, die Person, die ihn gesagt hat, hat die Wahrheit gesagt, aber in diesem Fall ist er wirklich ein Lügner, und deshalb hat er gelogen, indem er diesen Satz gesagt hat. Angenommen, der Satz „Ich bin ein Lügner“ ist falsch, das heißt, die Person, die ihn ausgesprochen hat, hat gelogen, aber in diesem Fall ist er kein Lügner, sondern ein Wahrheitssucher, daher hat er mit diesem Satz die Wahrheit gesagt . Es stellt sich etwas Erstaunliches und sogar Unmögliches heraus: Wenn eine Person die Wahrheit gesagt hat, hat sie gelogen; und wenn er gelogen hat, dann hat er die Wahrheit gesagt (zwei widersprüchliche Urteile sind nicht nur gleichzeitig wahr, sondern folgen auch aufeinander).

Ein weiteres bekanntes logisches Paradoxon, das im 20. Jahrhundert entdeckt wurde. Englischer Logiker und Philosoph Bertrand Russell Paradox des "Dorffriseurs". Stellen Sie sich vor, dass es in einem bestimmten Dorf nur einen Barbier gibt, der diejenigen seiner Bewohner rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Eine Analyse dieser unkomplizierten Situation führt zu einem außergewöhnlichen Ergebnis. Fragen wir uns: Kann sich ein Dorffriseur selbst rasieren? Nehmen wir an, der Dorffriseur rasiert sich selbst, aber dann ist er einer jener Dorfbewohner, die sich selbst rasieren und nicht vom Barbier rasiert werden, also rasiert er sich in diesem Fall nicht selbst. Nehmen wir an, der Dorffriseur rasiert sich nicht selbst, aber dann ist er einer jener Dorfbewohner, die sich nicht selbst rasieren und vom Barbier rasiert werden, also rasiert er sich in diesem Fall selbst. Es stellt sich als unglaublich heraus: Wenn sich ein Dorffriseur rasiert, dann rasiert er sich nicht; und wenn er sich nicht rasiert, dann rasiert er sich (zwei widersprüchliche Urteile sind beide wahr und bedingen sich gegenseitig).

Paradox "Protagoras und Euathlus" erschien im antiken Griechenland. Es basiert auf einer scheinbar unprätentiösen Geschichte, die darin liegt, dass der Sophist Protagoras einen Schüler Euathlus hatte, der bei ihm Unterricht in Logik und Rhetorik nahm. Der Lehrer und der Schüler vereinbarten so, dass Euathlus die Studiengebühr nur dann an Protagoras zahlen würde, wenn er seinen ersten Rechtsstreit gewinnen würde. Nach Abschluss der Ausbildung beteiligte sich Euathlus jedoch an keinem Prozess und zahlte natürlich kein Geld an den Lehrer. Protagoras drohte ihm, dass er ihn verklagen würde und Euathlus dann sowieso zahlen müsste. „Sie werden entweder zur Zahlung einer Gebühr verurteilt oder nicht verurteilt“, sagte Protagoras zu ihm, „wenn Sie zur Zahlung verurteilt werden, müssen Sie nach dem Urteil des Gerichts zahlen; wenn Sie nicht zur Zahlung verurteilt werden, dann müssen Sie als derjenige, der Ihren ersten Prozess gewonnen hat, gemäß unserer Vereinbarung bezahlen. Darauf antwortete ihm Euathlus: „Das ist richtig: Sie werden mich entweder zur Zahlung einer Gebühr verurteilen oder nicht; wenn ich zur Zahlung verurteilt werde, dann werde ich, da ich meinen ersten Prozess verloren habe, nicht zahlen gemäß unsere Vereinbarung; wenn ich nicht zur Zahlung verurteilt werde, dann werde ich nach dem Urteil des Gerichts nicht weinen. Somit ist die Frage, ob Euathlus Protagoras bezahlen soll oder nicht, unlösbar. Die Vereinbarung zwischen Lehrer und Schüler ist trotz ihres völlig unschuldigen Aussehens innerlich oder logisch widersprüchlich, da sie die Ausführung einer unmöglichen Handlung erfordert: Euathlus muss gleichzeitig für die Studiengebühren bezahlen und nicht bezahlen. Aus diesem Grund ist die eigentliche Vereinbarung zwischen Protagoras und Euathlus sowie die Frage ihres Rechtsstreits etwas anderes als ein logisches Paradoxon.

Fazit

Mit Hilfe von Sophismen können Sie einen komischen Effekt erzielen. Viele Anekdoten basieren auf ihnen, und sie sind auch die Grundlage für viele Aufgaben und Rätsel, die wir seit unserer Kindheit kennen. Im Kern aller Tricks liegt die Verletzung des Identitätsgesetzes. Der Zauberer tut eine Sache, und das Publikum denkt, dass er etwas anderes tut.

Recht häufig werden Sophismen von Herausgebern von Massenzeitungen und Zeitschriften für kommerzielle Zwecke verwendet. Wenn wir am Kiosk vorbeigehen und die Schlagzeile sehen, denken wir eines, und als wir neugierig diese Zeitung kaufen, stellt sich heraus, dass es ganz anders ist. Zum Beispiel: "Erstklässler hat ein Krokodil gegessen" - es stellt sich heraus, dass der Erstklässler ein großes Schokoladenkrokodil gegessen hat.

Wie Sie sehen können, werden Sophismen in verschiedenen Bereichen des Lebens verwendet und gefunden.

Paradoxien weisen auf tiefgreifende Probleme der logischen Theorie hin, lüften den Schleier über etwas, das noch nicht ganz bekannt und verständlich ist, skizzieren neue Horizonte in der Entwicklung der Logik. Eine erschöpfende Erklärung und endgültige Auflösung logischer Paradoxien bleibt Sache der Zukunft.

Verzeichnis der verwendeten Literatur

1) Getmanova A.D. Lehrbuch der Logik. Moskau: Vlados, 2009.

2) Gusev D.A. Lehrbuch der Logik für Gymnasien. Moskau: Unity-Dana, 2010

) Ivin A.A. Die Kunst, richtig zu denken. M.: Bildung, 2011.

) Koval S. Von der Unterhaltung zum Wissen / Per. O. Unguryan. Warschau: Wissenschaftlicher und technischer Verlag, 2012.

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Logik. Tutorial Gusev Dmitry Alekseevich

4.10. Paradoxien-Antinomien

Sophistik sollte unterschieden werden Logische Paradoxien(griechische Paradoxe - unerwartet, seltsam). Paradox im weitesten Sinne des Wortes ist etwas Ungewöhnliches und Überraschendes, etwas, das den üblichen Erwartungen, dem gesunden Menschenverstand und der Lebenserfahrung widerspricht. Ein logisches Paradoxon ist solch eine ungewöhnliche und erstaunliche Situation, wenn zwei widersprüchliche Urteile nicht nur gleichzeitig wahr sind (was aufgrund der logischen Widerspruchsgesetze und der ausgeschlossenen Mitte unmöglich ist), sondern auch aufeinander folgen, sich gegenseitig verursachen. Wenn Sophismus immer eine Art Trick ist, ein absichtlicher logischer Fehler, der auf jeden Fall entdeckt, aufgedeckt und beseitigt werden kann, dann ist das Paradoxon eine unlösbare Situation, eine Art mentale Sackgasse, ein „Stolperstein“ in der Logik: durchweg In seiner Geschichte wurde vorgeschlagen, dass es viele verschiedene Möglichkeiten gibt, Paradoxien zu überwinden und zu beseitigen, aber bisher ist keine davon erschöpfend, endgültig und allgemein anerkannt.

Das bekannteste logische Paradoxon ist das „Lügner“-Paradoxon. Er wird oft als „König der logischen Paradoxien“ bezeichnet. Es wurde im antiken Griechenland entdeckt. Der Legende nach schwor der Philosoph Diodorus Kronos, nicht zu essen, bis er dieses Paradoxon gelöst hatte und verhungerte, ohne etwas zu erreichen; und ein anderer Denker, Philetus von Kos, geriet in Verzweiflung über die Unmöglichkeit, eine Lösung für das „Lügner“-Paradoxon zu finden, und beging Selbstmord, indem er sich von einer Klippe ins Meer stürzte. Es gibt verschiedene Formulierungen dieses Paradoxons. Es wird am kürzesten und einfachsten in einer Situation formuliert, in der eine Person einen einfachen Satz ausspricht: "Ich bin ein Lügner." Die Analyse dieser auf den ersten Blick elementaren und genialen Aussage führt zu einem verblüffenden Ergebnis. Wie Sie wissen, kann jede Aussage (einschließlich der oben genannten) wahr oder falsch sein. Betrachten Sie nacheinander beide Fälle, von denen im ersten die Aussage "Ich bin ein Lügner" wahr und im zweiten - falsch ist.

1. Angenommen, der Satz "Ich bin ein Lügner" ist wahr, das heißt, die Person, die ihn gesagt hat, die Wahrheit gesagt, aber in diesem Fall ist er wirklich ein Lügner, also, indem er diesen Satz sagt, er gelogen.

2. Angenommen, der Satz „Ich bin ein Lügner“ ist falsch, das heißt, die Person, die ihn gesagt hat, gelogen, aber in diesem Fall ist er kein Schurke, sondern Wahrheitssucher, also sprach er mit diesem Satz die Wahrheit. Es stellt sich etwas Erstaunliches und sogar Unmögliches heraus: Wenn eine Person die Wahrheit gesagt hat, hat sie gelogen; und wenn er gelogen hat, dann er die Wahrheit gesagt(zwei widersprüchliche Urteile sind nicht nur gleichzeitig wahr, sondern folgen auch aufeinander).

Ein weiteres bekanntes logisches Paradoxon, das Anfang des 20. Jahrhunderts vom englischen Logiker und Philosophen Bertrand Russell entdeckt wurde, ist das Paradoxon des „Dorffriseurs“. Stellen Sie sich vor, dass es in einem bestimmten Dorf nur einen Barbier gibt, der diejenigen seiner Bewohner rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Eine Analyse dieser unkomplizierten Situation führt zu einem außergewöhnlichen Ergebnis. Fragen wir uns: Kann sich ein Dorffriseur selbst rasieren? Ziehen Sie beide Optionen in Betracht, bei der ersten rasiert er sich selbst und bei der zweiten rasiert er sich nicht.

1. Nehmen wir an, dass der Dorffriseur rasiert sich, aber dann bezieht es sich auf jene Dorfbewohner, die sich selbst rasieren und nicht vom Barbier rasiert werden, also in diesem Fall er rasiert sich nicht.

2. Nehmen wir an, dass der Dorffriseur rasiert sich nicht, aber dann bezieht er sich auf jene Dorfbewohner, die sich nicht selbst rasieren und von einem Barbier rasiert werden, also in diesem Fall er rasiert sich. Wie Sie sehen, stellt sich heraus, dass es unglaublich ist: Wenn sich ein Dorffriseur selbst rasiert, dann rasiert er sich nicht; und wenn er sich nicht rasiert, dann rasiert er sich (zwei widersprüchliche Urteile sind beide wahr und bedingen sich gegenseitig).

Die Paradoxe "Lügner" und "Dorffriseur" werden zusammen mit anderen ähnlichen Paradoxen auch genannt Antinomien(griechische Antinomie - ein Widerspruch im Gesetz), d.h. Argumente, in denen bewiesen wird, dass zwei Aussagen, die einander verneinen, aufeinander folgen. Antinomien gelten als die schärfste Form von Paradoxien. Die Begriffe „logisches Paradoxon“ und „Antinomie“ werden jedoch häufig als Synonyme betrachtet.

4.12. Aporia-Paradoxe Eine eigene Gruppe von Paradoxen sind Aporien (griechisch aporia - Schwierigkeit, Verwirrung) - Argumentationen, die Widersprüche zwischen dem, was wir mit den Sinnen wahrnehmen (sehen, hören, berühren usw.) und dem, was geistig sein kann, aufzeigen

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Logische Sackgassen (Paradoxien)

Sophistik sollte unterschieden werden Logische Paradoxien(aus dem Griechischen. Paradoxien -„unerwartet, seltsam“). Paradox im weitesten Sinne des Wortes ist etwas Ungewöhnliches und Überraschendes, etwas, das den üblichen Erwartungen, dem gesunden Menschenverstand und der Lebenserfahrung widerspricht. Ein logisches Paradoxon ist solch eine ungewöhnliche und erstaunliche Situation, wenn zwei widersprüchliche Urteile nicht nur gleichzeitig wahr sind (was aufgrund der logischen Widerspruchsgesetze und der ausgeschlossenen Mitte unmöglich ist), sondern auch aufeinander folgen, sich gegenseitig verursachen. Wenn Sophismus immer eine Art Trick ist, ein absichtlicher logischer Fehler, der entdeckt, aufgedeckt und beseitigt werden kann, dann ist ein Paradoxon eine unlösbare Situation, eine Art mentale Sackgasse, ein „Stolperstein“ in der Logik: im Laufe seiner Geschichte viele Es wurden verschiedene Wege vorgeschlagen, um Paradoxien zu überwinden und zu beseitigen, aber keiner von ihnen ist noch erschöpfend, endgültig und allgemein anerkannt.

Das bekannteste logische Paradoxon ist das „Lügner“-Paradoxon. Er wird oft als „König der logischen Paradoxien“ bezeichnet. Es wurde im antiken Griechenland entdeckt. Der Legende nach schwor der Philosoph Diodorus Kronos, nicht zu essen, bis er dieses Paradoxon gelöst hatte und verhungerte, ohne etwas zu erreichen; und ein anderer Denker, Philetus von Kos, geriet in Verzweiflung über die Unmöglichkeit, eine Lösung für das „Lügner“-Paradoxon zu finden, und beging Selbstmord, indem er sich von einer Klippe ins Meer stürzte. Es gibt verschiedene Formulierungen dieses Paradoxons. Es wird am kürzesten und einfachsten in einer Situation formuliert, in der eine Person einen einfachen Satz ausspricht: Ich bin ein Lügner. Die Analyse dieser auf den ersten Blick elementaren und genialen Aussage führt zu einem verblüffenden Ergebnis. Wie Sie wissen, kann jede Aussage (einschließlich der oben genannten) wahr oder falsch sein. Betrachten wir nacheinander beide Fälle, in denen diese Aussage im ersten Fall wahr und im zweiten falsch ist.

Sagen wir den Satz ich bin ein Lügner wahr, d.h. die Person, die es ausgesprochen hat, hat die Wahrheit gesagt, aber in diesem Fall ist er wirklich ein Lügner, deshalb hat er gelogen, nachdem er diesen Satz ausgesprochen hat. Nehmen wir nun an, dass der Satz ich bin ein Lügner ist falsch, das heißt, die Person, die es geäußert hat, hat gelogen, aber in diesem Fall ist er kein Lügner, sondern ein Wahrheitssucher, deshalb hat er, nachdem er diesen Satz ausgesprochen hat, die Wahrheit gesagt. Es stellt sich etwas Erstaunliches und sogar Unmögliches heraus: Wenn eine Person die Wahrheit gesagt hat, hat sie gelogen; und wenn er gelogen hat, dann hat er die Wahrheit gesagt (zwei widersprüchliche Urteile sind nicht nur gleichzeitig wahr, sondern folgen auch aufeinander).

Ein weiteres bekanntes logisches Paradoxon, das Anfang des 20. Jahrhunderts von dem englischen Logiker und Philosophen entdeckt wurde

Bertrand Russell, ist das Paradoxon des "Country Barber". Stellen Sie sich vor, dass es in einem bestimmten Dorf nur einen Barbier gibt, der diejenigen seiner Bewohner rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Eine Analyse dieser unkomplizierten Situation führt zu einem außergewöhnlichen Ergebnis. Fragen wir uns: Kann sich ein Dorffriseur selbst rasieren? Ziehen Sie beide Optionen in Betracht, bei der ersten rasiert er sich selbst und bei der zweiten rasiert er sich nicht.

Nehmen wir an, der Dorffriseur rasiert sich selbst, aber dann bezieht er sich auf die Dorfbewohner, die sich selbst rasieren und nicht vom Barbier rasiert werden, also rasiert er sich in diesem Fall nicht selbst. Nehmen wir nun an, der Dorffriseur rasiert sich nicht selbst, aber dann ist er einer dieser Dorfbewohner, die sich nicht selbst rasieren und vom Friseur rasiert werden, also rasiert er sich in diesem Fall selbst. Wie Sie sehen, stellt sich heraus, dass es unglaublich ist: Wenn sich ein Dorffriseur selbst rasiert, dann rasiert er sich nicht; und wenn er sich nicht rasiert, dann rasiert er sich (zwei widersprüchliche Urteile sind beide wahr und bedingen sich gegenseitig).

Die Paradoxe "Lügner" und "Dorffriseur" werden zusammen mit anderen ähnlichen Paradoxen auch genannt Antinomien(aus dem Griechischen. Antinomie-„Widerspruch im Gesetz“), also Argumente, in denen bewiesen wird, dass zwei Aussagen, die einander verneinen, aufeinander folgen. Antinomien gelten als die extremste Form von Paradoxien. Die Begriffe „logisches Paradoxon“ und „Antinomie“ werden jedoch häufig als Synonyme betrachtet.

Eine weniger überraschende Formulierung, aber nicht weniger berühmt als die Paradoxien des „Lügners“ und des „Dorffriseurs“, hat die Paradoxie „Protagoras und Euathlus“, die wie der „Lügner“ bereits im antiken Griechenland auftauchte. Es basiert auf einer scheinbar unprätentiösen Geschichte, die darin liegt, dass der Sophist Protagoras einen Schüler Euathlus hatte, der bei ihm Unterricht in Logik und Rhetorik nahm

(in diesem Fall politische und juristische Beredsamkeit). Der Lehrer und der Schüler waren sich einig, dass Euathlus die Studiengebühren von Protagoras nur zahlen würde, wenn er seinen ersten Rechtsstreit gewinnen würde. Nach Abschluss der Ausbildung beteiligte sich Euathlus jedoch an keinem Prozess und zahlte natürlich kein Geld an den Lehrer. Protagoras drohte ihm, dass er ihn verklagen würde und Euathlus dann sowieso zahlen müsste. „Sie werden entweder zur Zahlung einer Gebühr verurteilt oder nicht zuerkannt“, sagte Protagoras zu ihm, „wenn Sie zur Zahlung verurteilt werden, müssen Sie gemäß dem Urteil des Gerichts zahlen; Wenn Sie nicht zur Zahlung verurteilt werden, müssen Sie als Gewinner Ihres ersten Rechtsstreits gemäß unserer Vereinbarung zahlen. Darauf antwortete ihm Euathlus: „Das ist richtig: Ich werde entweder zu einer Gebühr verurteilt oder nicht zuerkannt; wenn ich zur Zahlung verurteilt werde, werde ich als Verlierer meines ersten Prozesses nicht gemäß unserer Vereinbarung zahlen; wenn ich nicht zur Zahlung verurteilt werde, dann werde ich nach dem Urteil des Gerichts nicht zahlen. Somit ist die Frage, ob Euathlus eine Gebühr an Protagoras zahlen soll oder nicht, unlösbar. Die Vereinbarung zwischen Lehrer und Schüler ist trotz ihres völlig unschuldigen Aussehens innerlich oder logisch widersprüchlich, da sie die Ausführung einer unmöglichen Handlung erfordert: Euathlus muss gleichzeitig für die Studiengebühren bezahlen und nicht bezahlen. Aus diesem Grund ist die eigentliche Vereinbarung zwischen Protagoras und Euathlus sowie die Frage ihres Rechtsstreits nichts weiter als ein logisches Paradoxon.

Eine separate Gruppe von Paradoxien sind Aporie(aus dem Griechischen. Aporie-„Schwierigkeit, Verwirrung“) – Argumentation, die die Widersprüche zwischen dem, was wir mit den Sinnen wahrnehmen (wir sehen, hören, berühren usw.) . Die berühmtesten Aporien wurden von dem antiken griechischen Philosophen Zenon von Elea aufgestellt, der argumentierte, dass die Bewegung, die wir überall beobachten, nicht zum Gegenstand einer mentalen Analyse gemacht werden kann, das heißt, Bewegung kann gesehen, aber nicht gedacht werden. Eine seiner Aporien heißt „Dichotomie“ (griechisch. Dichotomie-"Halbierung"). Angenommen, ein Körper muss von dem Punkt aus passieren UND zum Absatz BEI. Es besteht kein Zweifel, dass wir sehen können, wie der Körper einen Punkt verlässt und nach einiger Zeit einen anderen erreicht. Vertrauen wir jedoch nicht unseren Augen, die uns sagen, dass sich der Körper bewegt, und versuchen wir, die Bewegung nicht mit unseren Augen wahrzunehmen, sondern mit unseren Gedanken, versuchen wir, sie nicht zu sehen, sondern zu denken. In diesem Fall erhalten wir Folgendes. Bevor Sie den ganzen Absatz verlassen UND zum Absatz BEI, der Körper muss den halben Weg gehen, denn wenn er nicht den halben Weg geht, dann wird er natürlich nicht den ganzen Weg gehen. Aber bevor der Körper den halben Weg geht, muss er 1/4 des Weges gehen. Bevor es jedoch dieses 1/4 des Weges zurückgelegt hat, muss es 1/8 des Weges zurückgelegt haben; und noch früher muss er 1/16 des Pfades gehen, und davor - 1/32 des Teils und davor - 1/64 des Teils und davor - 1/128 des Teils und so auf ad infinitum. Bedeutet, von Punkt zu übergeben EIN zum Absatz BEI, der Körper muss unendlich viele Abschnitte dieses Weges durchlaufen. Ist es möglich, durch die Unendlichkeit zu gehen? Unmöglich! Daher kann der Körper niemals seinen eigenen Weg gehen. So bezeugen die Augen, dass der Weg passiert wird, und der Gedanke bestreitet dies im Gegenteil (das Sichtbare widerspricht dem Vorstellbaren).

Eine andere bekannte Aporie von Zenon von Elea – „Achilles und die Schildkröte“ – legt nahe, dass wir gut sehen können, wie der schnellfüßige Achilles die langsam vor ihm kriechende Schildkröte einholt und überholt; Die mentale Analyse führt uns jedoch zu dem ungewöhnlichen Schluss, dass Achilles die Schildkröte niemals einholen kann, obwohl er sich 10-mal schneller bewegt als sie. Wenn er die Distanz zur Schildkröte überwindet, dann wird sie in der gleichen Zeit (schließlich bewegt sie sich auch) 10 Mal weniger (da sie sich 10 Mal langsamer bewegt), nämlich 1/10 des Weges, den Achilles zurückgelegt hat, und so weiter dieser 1/10 wird vor ihm liegen.

Wenn Achilles diesen 1/10-Teil des Weges zurückgelegt hat, dann legt die Schildkröte in der gleichen Zeit eine 10-mal geringere Strecke zurück, also 1/100 des Weges, und dieser 1/100-Teil wird Achilles voraus sein. Wenn er 1/100 des Weges passiert, der ihn und die Schildkröte trennt, dann wird sie in der gleichen Zeit 1/1000 des Weges passieren und immer noch vor Achilles bleiben, und so weiter bis ins Unendliche. So sind wir wieder davon überzeugt, dass uns die Augen etwas sagen, und der Gedanke etwas ganz anderes (das Sichtbare wird durch das Denkbare geleugnet).

Eine weitere Aporie von Zeno – „Pfeil“ – lädt uns ein, den Flug eines Pfeils von einem Punkt im Raum zu einem anderen im Geiste zu betrachten. Unsere Augen zeigen natürlich an, dass der Pfeil fliegt oder sich bewegt. Was aber passiert, wenn wir versuchen, ablenkend vom visuellen Eindruck an seinen Flug zu denken? Stellen wir uns dazu eine einfache Frage: Wo ist der fliegende Pfeil jetzt? Wenn wir auf diese Frage beispielsweise sagen, Sie ist jetzt hier oder Sie ist jetzt hier oder Sie ist jetzt da dann bedeuten all diese Antworten nicht den Flug eines Pfeils, sondern nur seine Unbeweglichkeit, weil zu sein hier, oder hier, oder dort - bedeutet ruhen, sich nicht bewegen. Wie können wir die Frage – wo ist der fliegende Pfeil jetzt – so beantworten, dass die Antwort seinen Flug und nicht seine Unbeweglichkeit widerspiegelt? Die einzige mögliche Antwort in diesem Fall sollte sein: Sie ist jetzt überall und nirgendwo. Aber ist es möglich, gleichzeitig überall und nirgendwo zu sein? Als wir also versuchten, über den Flug eines Pfeils nachzudenken, stießen wir auf einen logischen Widerspruch, eine Absurdität – der Pfeil ist überall und nirgendwo. Es stellt sich heraus, dass die Bewegung eines Pfeils ganz gut gesehen, aber nicht begriffen werden kann, wodurch sie wie jede Bewegung im Allgemeinen unmöglich ist. Mit anderen Worten, sich vom Standpunkt des Denkens und nicht der Sinneswahrnehmungen aus zu bewegen, bedeutet, an einem bestimmten Ort zu sein und gleichzeitig nicht dort zu sein, was natürlich unmöglich ist.

In seinen Aporien kollidierte Zeno in einer „Face-to-Face-Konfrontation“ mit den Daten der Sinne (er sprach über die Vielfalt, Teilbarkeit und Bewegung von allem, was existiert, und versicherte uns, dass der leichtfüßige Achilles die langsame Schildkröte einholen wird , und der Pfeil trifft das Ziel) und Spekulation (die nicht an Bewegung oder Vielheit von Objekten der Welt denken kann, ohne in Widerspruch zu geraten).

Als Zeno einst bei einer Versammlung von Menschen die Unvorstellbarkeit und Unmöglichkeit von Bewegung bewies, war unter seinen Zuhörern der im antiken Griechenland nicht minder berühmte Philosoph Diogenes von Sinop. Ohne etwas zu sagen, stand er auf und begann auf und ab zu gehen, weil er glaubte, damit die Realität der Bewegung besser als alle Worte zu beweisen. Zenon war jedoch nicht ratlos und antwortete: „Gehen Sie nicht und winken Sie nicht mit den Händen, sondern versuchen Sie, dieses schwierige Problem mit Ihrem Verstand zu lösen.“ Zu dieser Situation gibt es sogar das folgende Gedicht von A. S. Puschkin:

Keine Bewegung, sagte der bärtige Weise,

Der andere schwieg und ging vor ihm her.

Er hätte nicht stärker widersprechen können;

Alle lobten die verschlungene Antwort.

Aber, meine Herren, das ist ein komischer Fall

Ein weiteres Beispiel fällt mir ein:

Immerhin geht die Sonne jeden Tag vor uns her,

Der sture Galileo hat jedoch Recht.

Wir sehen zwar ganz deutlich, dass sich die Sonne jeden Tag von Ost nach West über den Himmel bewegt, aber tatsächlich ist sie (in Bezug auf die Erde) bewegungslos. Warum sollten wir also nicht davon ausgehen, dass andere Objekte, die wir in Bewegung sehen, tatsächlich stationär sein könnten, und vorschnell zu dem Schluss kommen, dass der eleatische Denker falsch lag?

Wie bereits erwähnt, wurden in der Logik viele Wege zur Auflösung und Überwindung von Paradoxien geschaffen. Keine davon ist jedoch unbedenklich und wird nicht allgemein akzeptiert. Die Betrachtung dieser Methoden ist ein langwieriger und ermüdender theoretischer Vorgang, der in diesem Fall unserer Aufmerksamkeit entzogen bleibt. Ein neugieriger Leser wird in der Lage sein, verschiedene Ansätze zur Lösung des Problems logischer Paradoxien in zusätzlicher Literatur kennenzulernen. Logische Paradoxien sprechen dafür, dass die Logik wie jede andere Wissenschaft nicht vollständig ist, sondern sich ständig weiterentwickelt. Anscheinend weisen Paradoxien auf einige tiefgreifende Probleme der logischen Theorie hin, lüften den Schleier über etwas, das noch nicht ganz bekannt und verständlich ist, skizzieren neue Horizonte in der Entwicklung der Logik.