Wurzelformeln. Eigenschaften von Quadratwurzeln.

Beachtung!
Es gibt zusätzliche
Materialien im Besonderen Abschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr "nicht sehr ..." sind
Und für diejenigen, die "sehr viel ...")

In der vorherigen Lektion haben wir herausgefunden, was eine Quadratwurzel ist. Es ist Zeit herauszufinden, welche existieren Wurzelformeln Was sind Root-Eigenschaften, und was Sie damit alles machen können.

Wurzelformeln, Wurzeleigenschaften und Regeln für Aktionen mit Wurzeln sind im Wesentlichen dasselbe. Es gibt überraschend wenige Formeln für Quadratwurzeln. Was natürlich gefällt! Vielmehr kann man viele Formeln aller Art schreiben, aber für die praktische und souveräne Arbeit mit Wurzeln reichen nur drei. Alle anderen dieser drei Ströme. Obwohl sich viele Menschen in den drei Grundformeln verlieren, ja ...

Beginnen wir mit dem einfachsten. Da ist sie:

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Sofortige Validierungstests. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Herzlichen Glückwunsch: Heute beschäftigen wir uns mit Wurzeln - einem der hirnreichsten Themen der 8. Klasse. :)

Viele Leute sind verwirrt über die Wurzeln, nicht weil sie komplex sind (was so schwierig ist - ein paar Definitionen und ein paar Eigenschaften), sondern weil in den meisten Schulbüchern die Wurzeln durch einen solchen Dschungel bestimmt werden, dass nur die Autoren der Lehrbücher selbst können dieses Gekritzel herausfinden. Und selbst dann nur mit einer Flasche guten Whiskys. :)

Daher werde ich jetzt die korrekteste und kompetenteste Definition der Wurzel geben - die einzige, an die Sie sich wirklich erinnern sollten. Und erst dann erkläre ich: warum das alles nötig ist und wie man es in der Praxis umsetzt.

Aber erinnern Sie sich zunächst an einen wichtigen Punkt, den viele Lehrbuch-Compiler aus irgendeinem Grund "vergessen":

Wurzeln können von geradem Grad (unsere Lieblings $ \ sqrt (a) $, sowie alle Arten von $ \ sqrt (a) $ und gerade $ \ sqrt (a) $) und ungeraden Grad (alle Arten von $ \ sqrt (a) $, $ \ sqrt (a) $ usw.). Und die Definition einer Wurzel ungeraden Grades unterscheidet sich etwas von einer geraden.

Hier in diesem verdammten "etwas anderen" versteckt sich wohl 95% aller Fehler und Missverständnisse, die mit den Wurzeln verbunden sind. Befassen wir uns daher ein für alle Mal mit der Terminologie:

Definition. Sogar Wurzel n von $ a $ ist alles nicht negativ eine Zahl $ b $ mit $ ((b) ^ (n)) = a $. Und die ungerade Wurzel derselben Zahl $ a $ ist im Allgemeinen jede Zahl $ b $, für die dieselbe Gleichheit gilt: $ ((b) ^ (n)) = a $.

In jedem Fall wird die Wurzel wie folgt angezeigt:

\ (ein) \]

Die Zahl $ n $ in einem solchen Satz heißt Exponent der Wurzel, und die Zahl $ a $ heißt Wurzelausdruck. Insbesondere für $ n = 2 $ erhalten wir unsere "Lieblings"-Quadratwurzel (das ist übrigens eine gerade Wurzel), und für $ n = 3 $ - kubisch (ungerade Grad), die auch oft in Problemen zu finden ist und Gleichungen.

Beispiele. Klassische Beispiele für Quadratwurzeln:

\ [\ begin (ausrichten) & \ sqrt (4) = 2; \\ & \ Quadrat (81) = 9; \\ & \ Quadrat (256) = 16. \\ \ Ende (ausrichten) \]

Übrigens, $ \ sqrt (0) = 0 $ und $ \ sqrt (1) = 1 $. Dies ist durchaus logisch, da $ ((0) ^ (2)) = 0 $ und $ ((1) ^ (2)) = 1 $ ist.

Kubische Wurzeln sind ebenfalls weit verbreitet - haben Sie keine Angst vor ihnen:

\ [\ begin (ausrichten) & \ sqrt (27) = 3; \\ & \ sqrt (-64) = - 4; \\ & \ Quadrat (343) = 7. \\ \ Ende (ausrichten) \]

Nun, und ein paar "exotische Beispiele":

\ [\ begin (ausrichten) & \ sqrt (81) = 3; \\ & \ Quadrat (-32) = - 2. \\ \ Ende (ausrichten) \]

Wenn Sie den Unterschied zwischen einem geraden und einem ungeraden Grad nicht verstehen, lesen Sie die Definition noch einmal. Es ist sehr wichtig!

In der Zwischenzeit betrachten wir eine unangenehme Eigenschaft der Wurzeln, weshalb wir eine separate Definition für gerade und ungerade Indikatoren einführen mussten.

Warum brauchen wir überhaupt Wurzeln?

Nachdem sie die Definition gelesen haben, werden viele Schüler fragen: "Was haben die Mathematiker geraucht, als sie darauf kamen?" In der Tat: Wozu brauchen wir all diese Wurzeln überhaupt?

Um diese Frage zu beantworten, gehen wir für eine Minute zurück zum Elementarunterricht. Denken Sie daran: In jenen fernen Zeiten, als die Bäume grüner und die Knödel schmackhafter waren, war es unser Hauptanliegen, die Zahlen richtig zu multiplizieren. Nun, so etwas wie "fünf mal fünf - fünfundzwanzig", das ist alles. Aber Sie können Zahlen nicht mit Paaren multiplizieren, sondern mit Dreier-, Vierer- und im Allgemeinen ganzen Mengen:

\ [\ begin (ausrichten) & 5 \ cdot 5 = 25; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 625; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 3125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 15 \ 625. \ end (align) \]

Dies ist jedoch nicht der Punkt. Der Trick ist ein anderer: Mathematiker sind faule Menschen, also mussten sie die Multiplikation von zehn Fünfen so aufschreiben:

Also kamen sie mit Abschlüssen. Warum nicht die Anzahl der Faktoren anstelle einer langen Zeichenfolge hochstellen? So was:

Es ist sehr bequem! Alle Berechnungen werden um ein Vielfaches reduziert, und Sie müssen nicht einen Haufen Pergamentblätter in Notizbüchern verschwenden, um etwa 5.183 aufzuschreiben. Eine solche Aufzeichnung wurde der Grad einer Zahl genannt, sie fanden eine Reihe von Eigenschaften darin, aber das Glück war nur von kurzer Dauer.

Nach einem riesigen Schnaps, der nur um die "Entdeckung" von Graden organisiert wurde, fragte plötzlich ein besonders hartnäckiger Mathematiker: "Was ist, wenn wir den Grad einer Zahl kennen, aber die Zahl selbst nicht kennen?" Nun, wenn wir wissen, dass eine bestimmte Zahl $ b $ zum Beispiel in der 5. Potenz 243 ergibt, wie können wir dann erraten, welcher Zahl $ b $ gleich ist?

Dieses Problem stellte sich als viel globaler heraus, als es auf den ersten Blick erscheinen mag. Denn es stellte sich heraus, dass es für die meisten „bereiten“ Abschlüsse keine solchen „Anfangszahlen“ gibt. Urteile selbst:

\ [\ begin (ausrichten) & ((b) ^ (3)) = 27 \ Rightarrow b = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ Rightarrow b = 3; \\ & ((b) ^ (3)) = 64 \ Pfeil nach rechts b = 4 \ cdot 4 \ cdot 4 \ Pfeil nach rechts b = 4. \\ \ Ende (ausrichten) \]

Was ist, wenn $ ((b) ^ (3)) = $ 50 ist? Es stellt sich heraus, dass Sie eine bestimmte Zahl finden müssen, die uns, dreimal mit sich selbst multipliziert, 50 ergibt. Aber was ist diese Zahl? Er ist deutlich größer als 3, da 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Das heißt. diese Zahl liegt irgendwo zwischen drei und vier, aber was sie gleicht - Feigen, die Sie verstehen werden.

Dafür haben Mathematiker die Wurzeln des $ n $ -ten Grades erfunden. Aus diesem Grund wurde das Wurzelsymbol $ \ sqrt (*) $ eingeführt. Um genau die Zahl $ b $ zu bezeichnen, die uns bis zu dem angegebenen Grad einen zuvor bekannten Wert gibt

\ [\ sqrt [n] (a) = b \ Pfeil nach rechts ((b) ^ (n)) = a \]

Ich argumentiere nicht: Diese Wurzeln sind oft leicht zu zählen - wir haben oben mehrere solcher Beispiele gesehen. Aber in den meisten Fällen, wenn Sie eine beliebige Zahl erraten und dann versuchen, eine beliebige Wurzel daraus zu ziehen, haben Sie eine grausame Enttäuschung vor sich.

Was ist dort! Selbst das einfachste und bekannteste $ \ sqrt (2) $ kann nicht in unserer üblichen Form dargestellt werden - als ganze Zahl oder als Bruch. Und wenn Sie diese Zahl in einen Taschenrechner eingeben, sehen Sie Folgendes:

\ [\ Quadrat (2) = 1,414213562 ... \]

Wie Sie sehen, gibt es nach dem Komma eine endlose Folge von Zahlen, die keiner Logik gehorchen. Sie können diese Zahl natürlich aufrunden, um sie schnell mit anderen Zahlen vergleichen zu können. Zum Beispiel:

\ [\ sqrt (2) = 1,4142 ... \ ca. 1,4 \ lt 1,5 \]

Oder hier ist ein anderes Beispiel:

\ [\ sqrt (3) = 1,73205 ... \ ca. 1,7 \ gt 1,5 \]

Aber alle diese Rundungen sind erstens ziemlich grob; und zweitens muss man auch mit Näherungswerten arbeiten können, da man sonst eine Menge nicht offensichtlicher Fehler erwischen kann (die Fertigkeit des Vergleichens und Rundens wird übrigens bei der Profilprüfung zwingend geprüft).

Daher kann man in der ernsthaften Mathematik nicht auf Wurzeln verzichten - sie sind die gleichen gleichwertigen Vertreter der Menge aller reellen Zahlen $ \ mathbb (R) $, wie Brüche und ganze Zahlen, die uns seit langem bekannt sind.

Die Unmöglichkeit, eine Wurzel als Bruch der Form $ \ frac (p) (q) $ darzustellen, bedeutet, dass diese Wurzel keine rationale Zahl ist. Solche Zahlen werden irrational genannt und können nicht anders als mit Hilfe eines Radikals oder anderer speziell konstruierter Konstruktionen (Logarithmen, Grade, Grenzwerte usw.) genau dargestellt werden. Aber dazu ein andermal mehr.

Betrachten Sie einige Beispiele, bei denen nach all den Berechnungen immer noch irrationale Zahlen in der Antwort bleiben.

\ [\ begin (align) & \ sqrt (2+ \ sqrt (27)) = \ sqrt (2 + 3) = \ sqrt (5) \ ca. 2,236 ... \\ & \ sqrt (\ sqrt (-32 )) = \ sqrt (-2) \ ungefähr -1,2599 ... \\ \ Ende (ausrichten) \]

Natürlich ist es durch das Erscheinen der Wurzel fast unmöglich zu erraten, welche Zahlen nach dem Komma kommen werden. Sie können sich jedoch auf einen Taschenrechner verlassen, aber selbst der perfekteste Datumsrechner liefert uns nur die ersten paar Stellen einer irrationalen Zahl. Daher ist es viel richtiger, die Antworten in der Form $ \ sqrt (5) $ und $ \ sqrt (-2) $ zu schreiben.

Deshalb wurden sie erfunden. Um die Antworten bequem aufzuzeichnen.

Warum werden zwei Definitionen benötigt?

Der aufmerksame Leser hat wahrscheinlich schon bemerkt, dass alle in den Beispielen angegebenen Quadratwurzeln aus positiven Zahlen abgeleitet werden. Nun, als letztes Mittel von Grund auf neu. Aber die Kubikwurzeln werden ruhig aus absolut jeder Zahl gezogen - sei es positiv oder negativ.

Warum passiert es? Schauen Sie sich den Graphen der Funktion $ y = ((x) ^ (2)) $ an:

Der Plot einer quadratischen Funktion ergibt zwei Wurzeln: positiv und negativ

Versuchen wir, $ \ sqrt (4) $ mit diesem Diagramm zu berechnen. Dazu wird auf dem Chart eine horizontale Linie $ y = 4 $ gezeichnet (rot markiert), die die Parabel an zwei Punkten schneidet: $ ((x) _ (1)) = 2 $ und $ ((x) _ (2)) = -2 $. Das ist ganz logisch, denn

Mit der ersten Zahl ist alles klar - sie ist positiv, also die Wurzel:

Aber was tun dann mit dem zweiten Punkt? Als ob die vier gleichzeitig zwei Wurzeln haben? Wenn wir die Zahl −2 quadrieren, erhalten wir schließlich auch 4. Warum nicht $ \ sqrt (4) = - 2 $ schreiben? Und warum schauen sich Lehrer solche Platten an, als wollten sie dich verschlingen? :)

Das Problem ist, dass, wenn keine zusätzlichen Bedingungen auferlegt werden, die vier zwei Quadratwurzeln haben - positiv und negativ. Und jede positive Zahl hat auch zwei. Aber negative Zahlen haben überhaupt keine Wurzeln - dies ist aus der gleichen Grafik ersichtlich, da die Parabel nie unter die Achse fällt ja, d.h. akzeptiert keine negativen Werte.

Ein ähnliches Problem tritt für alle Wurzeln mit einem geraden Exponenten auf:

  1. Streng genommen hat jede positive Zahl zwei Wurzeln mit einem geraden Exponenten $ n $;
  2. Aus negativen Zahlen wird die Wurzel mit geraden $ n $ überhaupt nicht extrahiert.

Deshalb wird in der Definition der Wurzel einer geraden Potenz von $ n $ speziell festgelegt, dass die Antwort eine nicht negative Zahl sein muss. So beseitigen wir Unklarheiten.

Aber für ungerade $ n $ gibt es kein solches Problem. Um dies zu überprüfen, schauen wir uns den Graphen der Funktion $ y = ((x) ^ (3)) $ an:

Die kubische Parabel nimmt beliebige Werte an, also wird die Kubikwurzel aus einer beliebigen Zahl gezogen

Aus dieser Grafik lassen sich zwei Schlussfolgerungen ziehen:

  1. Die Äste einer kubischen Parabel gehen im Gegensatz zur üblichen in beide Richtungen ins Unendliche - sowohl nach oben als auch nach unten. Daher schneidet sich diese Linie in jeder Höhe, in der wir eine horizontale Linie zeichnen, notwendigerweise mit unserem Graphen. Folglich kann die Kubikwurzel immer aus absolut jeder Zahl gezogen werden;
  2. Darüber hinaus wird ein solcher Schnittpunkt immer der einzige sein, sodass Sie nicht darüber nachdenken müssen, welche Zahl als "richtige" Wurzel betrachtet und welche bewertet werden soll. Aus diesem Grund ist die Definition von Wurzeln für einen ungeraden Grad einfacher als für einen geraden (es wird keine Nicht-Negativität verlangt).

Schade, dass diese einfachen Dinge in den meisten Lehrbüchern nicht erklärt werden. Stattdessen beginnt das Gehirn mit allen möglichen arithmetischen Wurzeln und deren Eigenschaften zu uns zu schweben.

Ja, ich argumentiere nicht: Was ist eine arithmetische Wurzel - Sie müssen es auch wissen. Und ich werde dies in einem separaten Tutorial ausführlich behandeln. Heute werden wir auch darüber sprechen, denn ohne sie wären alle Gedanken über die Wurzeln der $ n $ -ten Vielheit unvollständig.

Aber zuerst müssen Sie die Definition, die ich oben gegeben habe, klar verstehen. Andernfalls beginnt aufgrund der Fülle an Begriffen ein solches Durcheinander in Ihrem Kopf, dass Sie am Ende überhaupt nichts verstehen.

Sie müssen lediglich den Unterschied zwischen geraden und ungeraden Indikatoren verstehen. Lassen Sie uns also noch einmal alles zusammenstellen, was Sie wirklich über Wurzeln wissen müssen:

  1. Eine gerade Wurzel existiert nur aus einer nicht-negativen Zahl und ist selbst immer eine nicht-negative Zahl. Bei negativen Zahlen ist eine solche Wurzel undefiniert.
  2. Aber die Wurzel eines ungeraden Grades besteht aus jeder Zahl und kann selbst eine beliebige Zahl sein: für positive Zahlen ist sie positiv und für negative, wie die Obergrenze andeutet, negativ.

Ist es schwer? Nein, nicht schwer. Klar? Ja, im Allgemeinen ist es offensichtlich! Nun üben wir einige Berechnungen.

Grundlegende Eigenschaften und Einschränkungen

Wurzeln haben viele seltsame Eigenschaften und Einschränkungen - dazu wird es eine separate Lektion geben. Daher betrachten wir jetzt nur den wichtigsten "Trick", der nur für Wurzeln mit geradem Exponenten gilt. Schreiben wir diese Eigenschaft in Form einer Formel:

\ [\ sqrt (((x) ^ (2n))) = \ links | x \ rechts | \]

Mit anderen Worten, wenn Sie eine Zahl gerade potenzieren und daraus die Wurzel derselben Potenz ziehen, erhalten wir nicht die ursprüngliche Zahl, sondern ihren Modulus. Dies ist ein einfacher Satz, der leicht zu beweisen ist (es reicht aus, die nicht-negativen $ x $ separat zu betrachten und dann die negativen separat). Die Lehrer reden ständig darüber, sie geben es in jedem Schulbuch. Aber sobald es darum geht, irrationale Gleichungen (also Gleichungen mit Wurzelzeichen) zu lösen, vergessen die Schüler diese Formel einvernehmlich.

Um die Frage im Detail zu verstehen, vergessen wir für eine Minute alle Formeln und versuchen, zwei Zahlen geradeaus zu zählen:

\ [\ sqrt (((3) ^ (4))) =? \ quad \ sqrt (((\ links (-3 \ rechts)) ^ (4))) =? \]

Das sind ganz einfache Beispiele. Das erste Beispiel wird von den meisten Leuten gelöst, aber beim zweiten bleiben viele. Um einen solchen Mist problemlos zu lösen, bedenken Sie immer die Reihenfolge der Aktionen:

  1. Zuerst wird die Zahl in die vierte Potenz erhoben. Nun, es ist irgendwie einfach. Sie erhalten eine neue Zahl, die sogar im Einmaleins zu finden ist;
  2. Und jetzt ist es notwendig, aus dieser neuen Zahl die vierte Wurzel zu extrahieren. Jene. es findet keine "Reduzierung" von Wurzeln und Graden statt - dies sind sequentielle Aktionen.

Wir arbeiten mit dem ersten Ausdruck: $ \ sqrt (((3) ^ (4))) $. Offensichtlich müssen Sie zuerst den Ausdruck unter der Wurzel berechnen:

\ [((3) ^ (4)) = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 81 \]

Dann extrahieren wir die vierte Wurzel der Zahl 81:

Machen wir nun dasselbe mit dem zweiten Ausdruck. Zuerst erhöhen wir die Zahl −3 in die vierte Potenz, für die wir sie viermal mit sich selbst multiplizieren müssen:

\ [((\ left (-3 \ right)) ^ (4)) = \ left (-3 \ right) \ cdot \ left (-3 \ right) \ cdot \ left (-3 \ right) \ cdot \ links (-3 \ rechts) = 81 \]

Wir haben eine positive Zahl erhalten, da die Gesamtzahl der Minuspunkte im Produkt 4 Stück beträgt und alle gegenseitig zerstört werden (immerhin ergibt Minus für Minus ein Plus). Dann extrahieren wir die Wurzel wieder:

Im Prinzip hätte diese Zeile nicht geschrieben werden können, da es selbstverständlich ist, dass die Antwort dieselbe ist. Jene. eine gerade Wurzel der gleichen geraden Potenz „brennt“ die Minuspunkte aus, und in diesem Sinne ist das Ergebnis nicht vom üblichen Modul zu unterscheiden:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (((3) ^ (4))) = \ left | 3 \ rechts | = 3; \\ & \ sqrt (((\ links (-3 \ rechts)) ^ (4))) = \ links | -3 \ rechts | = 3. \\ \ Ende (ausrichten) \]

Diese Berechnungen stimmen gut mit der Definition einer geraden Wurzel überein: Das Ergebnis ist immer nicht negativ, und unter dem Wurzelzeichen steht immer eine nicht negative Zahl. Andernfalls ist die Wurzel undefiniert.

Verfahrenshinweis

  1. Die Notation $ \ sqrt (((a) ^ (2))) $ bedeutet, dass wir zuerst die Zahl $ a $ quadrieren und dann aus dem resultierenden Wert die Quadratwurzel ziehen. Daher können wir sicher sein, dass eine nicht-negative Zahl immer unter dem Wurzelzeichen steht, da $ ((a) ^ (2)) \ ge 0 $ auf jeden Fall;
  2. Der Datensatz $ ((\ left (\ sqrt (a) \ right)) ^ (2)) $ hingegen bedeutet, dass wir zuerst die Wurzel aus einer bestimmten Zahl $ a $ ziehen und erst dann das Ergebnis quadrieren. Daher darf die Zahl $ a $ auf keinen Fall negativ sein - dies ist eine zwingende Voraussetzung in der Definition.

Daher sollten Sie auf keinen Fall die Wurzeln und Abstufungen gedankenlos reduzieren und dadurch den ursprünglichen Ausdruck angeblich "vereinfachen". Denn wenn es eine negative Zahl unter der Wurzel gibt und ihr Exponent gerade ist, bekommen wir eine Menge Probleme.

All diese Probleme sind jedoch nur für gerade Indikatoren relevant.

Entfernen des Minus aus dem Wurzelzeichen

Wurzeln mit ungeraden Indikatoren haben natürlich auch einen eigenen Zähler, den es bei geraden im Prinzip nicht gibt. Nämlich:

\ [\ Quadrat (-a) = - \ Quadrat (a) \]

Kurz gesagt, Sie können das Minus unter dem Vorzeichen der Wurzeln ungeraden Grades herausnehmen. Dies ist eine sehr nützliche Eigenschaft, mit der Sie alle Minuspunkte "wegwerfen" können:

\ [\ begin (ausrichten) & \ sqrt (-8) = - \ sqrt (8) = - 2; \\ & \ sqrt (-27) \ cdot \ sqrt (-32) = - \ sqrt (27) \ cdot \ left (- \ sqrt (32) \ right) = \\ & = \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (32) = \\ & = 3 \ cdot 2 = 6. \ Ende (ausrichten) \]

Diese einfache Eigenschaft vereinfacht viele Berechnungen erheblich. Jetzt brauchen Sie sich keine Sorgen zu machen: Was ist, wenn sich ein negativer Ausdruck unter die Wurzel eingeschlichen hat und der Grad an der Wurzel gleichmäßig ausfällt? Es genügt, alle Minuspunkte außerhalb der Wurzeln einfach "wegzuwerfen", danach können sie miteinander multipliziert, geteilt und im Allgemeinen viele verdächtige Dinge getan werden, die uns bei "klassischen" Wurzeln garantiert zu einem führen ein Fehler.

Und hier kommt eine weitere Definition ins Spiel – diejenige, mit der in den meisten Schulen das Studium irrationaler Ausdrücke beginnt. Und ohne die unsere Argumentation unvollständig wäre. Bitte willkommen!

Arithmetische Wurzel

Nehmen wir für einen Moment an, dass es unter dem Wurzelzeichen nur positive Zahlen oder höchstens Null geben kann. Vergessen wir gerade / ungerade Indikatoren, vergessen wir alle oben angegebenen Definitionen - wir werden nur mit nicht-negativen Zahlen arbeiten. Was dann?

Und dann erhalten wir die arithmetische Wurzel - sie überschneidet sich teilweise mit unseren "Standard"-Definitionen, unterscheidet sich aber immer noch von ihnen.

Definition. Eine arithmetische Wurzel des $ n $ -ten Grades einer nicht negativen Zahl $ a $ ist eine nicht negative Zahl $ b $ mit $ ((b) ^ (n)) = a $.

Wie Sie sehen, sind wir nicht mehr an Parität interessiert. Stattdessen ist eine neue Einschränkung aufgetaucht: Der radikale Ausdruck ist jetzt immer nicht-negativ, und die Wurzel selbst ist auch nicht-negativ.

Um besser zu verstehen, wie sich die arithmetische Wurzel von der üblichen unterscheidet, werfen Sie einen Blick auf die bereits bekannten quadratischen und kubischen Parabeldiagramme:

Arithmetischer Wurzelsuchbereich - nicht negative Zahlen

Wie Sie sehen, interessieren uns ab jetzt nur noch die Teile der Graphen, die sich im ersten Koordinatenviertel befinden – wo die Koordinaten $ x $ und $ y $ positiv (oder zumindest null) sind. Sie müssen sich den Indikator nicht mehr ansehen, um zu verstehen, ob wir das Recht haben, eine negative Zahl zu rooten oder nicht. Denn negative Zahlen werden grundsätzlich nicht mehr berücksichtigt.

Sie mögen fragen: "Nun, warum brauchen wir so eine kastrierte Definition?" Oder: "Warum kommen Sie nicht mit der oben angegebenen Standarddefinition aus?"

Nun, ich werde nur eine Eigenschaft angeben, aufgrund derer die neue Definition angemessen wird. Die Regel für die Exponentiation lautet beispielsweise:

\ [\ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \]

Bitte beachten Sie: Wir können den Wurzelausdruck beliebig potenzieren und gleichzeitig den Wurzelexponenten mit der gleichen Potenz multiplizieren - und das Ergebnis ist die gleiche Zahl! Hier sind einige Beispiele:

\ [\ begin (ausrichten) & \ sqrt (5) = \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (25) \\ & \ sqrt (2) = \ sqrt (((2) ^ (4))) = \ sqrt (16) \\ \ end (ausrichten) \]

Was ist also die große Sache? Warum hätten wir das nicht früher machen können? Hier ist der Grund. Betrachten Sie einen einfachen Ausdruck: $ \ sqrt (-2) $ - diese Zahl ist in unserem klassischen Sinne ganz normal, aber aus Sicht der arithmetischen Wurzel absolut inakzeptabel. Versuchen wir es zu transformieren:

$ \ begin (ausrichten) & \ sqrt (-2) = - \ sqrt (2) = - \ sqrt (((2) ^ (2))) = - \ sqrt (4) \ lt 0; \\ & \ sqrt (-2) = \ sqrt (((\ links (-2 \ rechts)) ^ (2))) = \ sqrt (4) \ gt 0. \\ \ end (ausrichten) $

Wie Sie sehen, haben wir im ersten Fall das Minus unter dem Radikal entfernt (wir haben jedes Recht, da der Indikator ungerade ist), und im zweiten haben wir die obige Formel verwendet. Jene. Aus mathematischer Sicht wird alles nach den Regeln gemacht.

WTF?! Wie kann dieselbe Zahl sowohl positiv als auch negativ sein? Auf keinen Fall. Es ist nur so, dass die Potenzierungsformel, die für positive Zahlen und Null gut funktioniert, bei negativen Zahlen anfängt, Ketzerei zu sein.

Um diese Mehrdeutigkeit zu beseitigen, haben sie arithmetische Wurzeln entwickelt. Ihnen wird eine eigene große Lektion gewidmet, in der wir alle ihre Eigenschaften im Detail betrachten. Deshalb werden wir jetzt nicht weiter darauf eingehen - die Lektion hat sich bereits als zu lang erwiesen.

Algebraische Wurzel: für alle, die mehr wissen wollen

Ich habe lange überlegt, ob ich dieses Thema in einen separaten Absatz stellen soll oder nicht. Am Ende habe ich beschlossen, hier wegzugehen. Dieses Material ist für diejenigen gedacht, die die Wurzeln noch besser verstehen wollen - nicht auf dem durchschnittlichen "Schulniveau", sondern auf einem Niveau nahe dem Olympia-Niveau.

Also: neben der "klassischen" Definition der Wurzel des $ n $ -ten Grades aus einer Zahl und der damit verbundenen Unterteilung in gerade und ungerade Indikatoren gibt es eine "erwachsenere" Definition, die nicht von Parität und anderen abhängig ist Feinheiten überhaupt. Dies wird als algebraische Wurzel bezeichnet.

Definition. Die algebraische Wurzel des $ n $-ten Grades eines beliebigen $ a $ ist die Menge aller Zahlen $ b $ mit $ ((b) ^ (n)) = a $. Es gibt keine etablierte Bezeichnung für solche Wurzeln, daher setzen wir nur einen Strich oben:

\ [\ overline (\ sqrt [n] (a)) = \ left \ (b \ left | b \ in \ mathbb (R); ((b) ^ (n)) = a \ right. \ right \) \]

Der grundlegende Unterschied zur Standarddefinition zu Beginn der Lektion besteht darin, dass eine algebraische Wurzel keine bestimmte Zahl, sondern eine Menge ist. Und da wir mit reellen Zahlen arbeiten, gibt es nur drei Arten dieser Menge:

  1. Leeres Set. Tritt auf, wenn aus einer negativen Zahl eine algebraische Wurzel geraden Grades gefunden werden muss;
  2. Ein Set bestehend aus einem einzelnen Element. Alle Wurzeln ungeraden Grades sowie Wurzeln geraden Grades von Null aus fallen in diese Kategorie;
  3. Schließlich kann die Menge zwei Zahlen enthalten - die gleichen $ ((x) _ (1)) $ und $ ((x) _ (2)) = - ((x) _ (1)) $, die wir auf die quadratische Funktion des Graphen. Dementsprechend ist eine solche Ausrichtung nur möglich, wenn eine gerade Wurzel aus einer positiven Zahl gezogen wird.

Der letztere Fall verdient eine genauere Betrachtung. Lassen Sie uns ein paar Beispiele zählen, um den Unterschied zu verstehen.

Beispiel. Ausdrücke auswerten:

\ [\ overline (\ sqrt (4)); \ quad \ overline (\ sqrt (-27)); \ quad \ overline (\ sqrt (-16)). \]

Lösung. Der erste Ausdruck ist einfach:

\ [\ overline (\ sqrt (4)) = \ left \ (2; -2 \ right \) \]

Es sind zwei Zahlen, aus denen das Set besteht. Weil jeder von ihnen im Quadrat eine Vier gibt.

\ [\ overline (\ sqrt (-27)) = \ left \ (-3 \ right \) \]

Hier sehen wir eine Menge, die nur aus einer Zahl besteht. Dies ist ganz logisch, da der Wurzelexponent ungerade ist.

Zum Schluss der letzte Ausdruck:

\ [\ overline (\ sqrt (-16)) = \ varnothing \]

Wir haben ein leeres Set. Weil es keine einzige reelle Zahl gibt, die uns, wenn sie auf den vierten (d. h. geraden!) Grad erhöht wird, eine negative Zahl −16 ergibt.

Abschließende Bemerkung. Bitte beachte: es war kein Zufall, dass ich überall bemerkt habe, dass wir mit reellen Zahlen arbeiten. Denn es gibt auch komplexe Zahlen - dort ist es durchaus möglich, $ \ sqrt (-16) $ und viele andere seltsame Dinge zu berechnen.

Im Mathematikunterricht der modernen Schule werden komplexe Zahlen jedoch fast nie gefunden. Sie wurden aus den meisten Lehrbüchern gestrichen, weil unsere Beamten dieses Thema für "zu schwer zu verstehen" halten.

Das ist alles. In der nächsten Lektion werden wir uns alle wichtigen Eigenschaften von Wurzeln ansehen und schließlich lernen, wie man irrationale Ausdrücke vereinfacht. :)


In diesem Artikel behandeln wir die wichtigsten Root-Eigenschaften... Beginnen wir mit den Eigenschaften der arithmetischen Quadratwurzel, geben ihre Formulierungen und Beweise an. Danach beschäftigen wir uns mit den Eigenschaften der arithmetischen Wurzel n-ten Grades.

Seitennavigation.

Quadratwurzeleigenschaften

An dieser Stelle werden wir uns mit den folgenden Hauptpunkten befassen: Eigenschaften der arithmetischen Quadratwurzel:

In jeder der geschriebenen Gleichheiten kann die linke und rechte Seite vertauscht werden, zum Beispiel kann die Gleichheit umgeschrieben werden als ... In dieser "inversen" Form werden die Eigenschaften der arithmetischen Quadratwurzel angewendet, wenn Vereinfachung der Ausdrücke so oft wie in der "direkten" Form.

Der Beweis der ersten beiden Eigenschaften basiert auf der Definition der arithmetischen Quadratwurzel und weiter. Und um die letzte Eigenschaft der arithmetischen Quadratwurzel zu belegen, muss man sich erinnern.

Also fangen wir an mit Beweis der Eigenschaft der arithmetischen Quadratwurzel des Produkts zweier nicht negativer Zahlen:. Dazu genügt es nach der Definition der arithmetischen Quadratwurzel zu zeigen, dass es sich um eine nicht negative Zahl handelt, deren Quadrat gleich a · b ist. Lass es uns tun. Der Wert eines Ausdrucks ist nicht negativ als Produkt nicht negativer Zahlen. Die Eigenschaft des Grades des Produkts zweier Zahlen erlaubt es, die Gleichheit zu schreiben , und da durch die Definition der arithmetischen Quadratwurzel und dann.

In ähnlicher Weise wird bewiesen, dass die arithmetische Quadratwurzel des Produkts von k nicht-negativen Faktoren a 1, a 2,…, a k gleich dem Produkt der arithmetischen Quadratwurzeln dieser Faktoren ist. Wirklich, . Diese Gleichheit impliziert das.

Hier einige Beispiele: und.

Jetzt beweisen wir Eigenschaft der arithmetischen Quadratwurzel des Quotienten:. Die Eigenschaft des Quotienten im natürlichen Grad erlaubt uns, die Gleichheit zu schreiben , ein , und es gibt eine nicht negative Zahl. Dies ist der Beweis.

Zum Beispiel und .

Es ist Zeit auseinander zu nehmen Eigenschaft der arithmetischen Quadratwurzel des Quadrats einer Zahl, in Form von Gleichheit, wird es geschrieben als. Betrachten Sie zum Beweis zwei Fälle: für a≥0 und für a<0 .

Offensichtlich gilt Gleichheit für a≥0. Es ist auch leicht zu sehen, dass für a<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 und (−a) 2 = a 2. Auf diese Weise, , nach Bedarf.

Hier sind einige Beispiele: und .

Die soeben bewiesene Eigenschaft der Quadratwurzel erlaubt uns, das folgende Ergebnis zu begründen, wobei a eine beliebige reelle Zahl und m eine beliebige Zahl ist. Tatsächlich erlaubt uns die Eigenschaft, eine Potenz in eine Potenz zu erheben, die Potenz a 2 m durch den Ausdruck (a m) 2 zu ersetzen, dann .

Z.B, und .

Eigenschaften der n-ten Wurzel

Lassen Sie uns zuerst die wichtigsten auflisten Eigenschaften von n-ten Wurzeln:

Alle aufgezeichneten Gleichheiten bleiben gültig, wenn die linke und rechte Seite in ihnen vertauscht werden. In dieser Form werden sie auch häufig verwendet, hauptsächlich beim Vereinfachen und Transformieren von Ausdrücken.

Der Beweis aller klanglichen Eigenschaften der Wurzel beruht auf der Definition der arithmetischen Wurzel des n-ten Grades, auf den Eigenschaften des Grades und auf der Definition des Moduls der Zahl. Wir beweisen sie in der Reihenfolge ihrer Priorität.

    Beginnen wir mit dem Beweis Eigenschaften der n-ten Wurzel des Produkts ... Für nicht-negative a und b ist der Wert des Ausdrucks auch nicht-negativ, wie das Produkt nicht-negativer Zahlen. Die Eigenschaft des Produkts im natürlichen Grad erlaubt uns, die Gleichheit zu schreiben ... Durch die Definition einer arithmetischen Wurzel n-ten Grades und damit ... Dies beweist die Eigenschaft der betrachteten Wurzel.

    Diese Eigenschaft wird analog für das Produkt von k Faktoren bewiesen: für nicht negative Zahlen a 1, a 2,…, a n, und .

    Hier sind Beispiele für die Verwendung der Eigenschaft der n-ten Wurzel des Produkts: und .

    Lass es uns beweisen Eigenschaft der Wurzel des Quotienten... Für a≥0 und b> 0 ist die Bedingung erfüllt, und .

    Lassen Sie uns Beispiele zeigen: und .

    Weiter geht's. Lass es uns beweisen Eigenschaft der n-ten Wurzel einer Zahl hoch n... Das heißt, wir werden das beweisen für jede reale und natürliche m. Für a≥0 gilt und, was die Gleichheit beweist, und die Gleichheit offensichtlich. Für ein<0 имеем и (die letzte Passage gilt wegen der Eigenschaft des Grades mit geradem Exponenten), was die Gleichheit beweist, und ist wahr, weil wir, wenn wir über die Wurzel eines ungeraden Grades sprachen, für jede nicht negative Zahl c.

    Hier sind Beispiele für die Verwendung der geparsten Root-Eigenschaft: und .

    Wir gehen zum Beweis der Eigenschaft einer Wurzel von einer Wurzel über. Wir vertauschen die Plätze der rechten und linken Seite, dh wir beweisen die Gültigkeit der Gleichheit, was die Gültigkeit der ursprünglichen Gleichheit bedeutet. Für eine nicht negative Zahl a ist die Wurzel einer Wurzel der Form eine nicht negative Zahl. Erinnern wir uns an die Eigenschaft, einen Grad zu potenzieren, und verwenden wir die Definition einer Wurzel, können wir eine Kette von Gleichungen der Form aufschreiben ... Dies beweist die Eigenschaft unter Berücksichtigung einer Wurzel aus einer Wurzel.

    In ähnlicher Weise wird die Eigenschaft einer Wurzel aus einer Wurzel aus einer Wurzel usw. bewiesen. Wirklich, .

    Zum Beispiel, und .

    Lassen Sie uns folgendes beweisen. Wurzelexponentenverkürzungseigenschaft... Dazu genügt es, aufgrund der Definition der Wurzel zu zeigen, dass es eine nicht negative Zahl gibt, die mit n · m potenziert gleich a m ist. Lass es uns tun. Es ist klar, dass, wenn die Zahl a nicht negativ ist, die n-te Wurzel der Zahl a eine nicht negative Zahl ist. Dabei , was den Beweis vervollständigt.

    Hier ist ein Beispiel für die Verwendung der geparsten Root-Eigenschaft:.

    Beweisen wir die folgende Eigenschaft - die Eigenschaft einer Wurzel eines Grades der Form ... Offensichtlich ist der Grad für a≥0 eine nicht negative Zahl. Darüber hinaus ist sein n-ter Grad tatsächlich gleich a m. Damit ist die Eigenschaft des betrachteten Abschlusses nachgewiesen.

    Zum Beispiel, .

    Lass uns weitermachen. Beweisen wir für alle positiven Zahlen a und b, für die a , das heißt a≥b. Und dies widerspricht der Bedingung a

    Als Beispiel präsentieren wir die richtige Ungleichung .

    Schließlich bleibt noch die letzte Eigenschaft der n-ten Wurzel zu beweisen. Beweisen wir zunächst den ersten Teil dieser Eigenschaft, d. h. wir beweisen, dass für m> n und 0 ... Dann muss aufgrund der Eigenschaften eines Grades mit natürlichem Exponenten die Ungleichung erfüllt sein , also a n ≤a m. Und die resultierende Ungleichung für m> n und 0

    In ähnlicher Weise wird durch Widerspruch bewiesen, dass für m> n und a> 1 die Bedingung erfüllt ist.

    Geben wir Beispiele für die Anwendung der bewiesenen Eigenschaft der Wurzel in konkreten Zahlen. Zum Beispiel sind die Ungleichungen und wahr.

Referenzliste.

  • Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. Algebra: Lehrbuch für Klasse 8 Bildungsinstitutionen.
  • Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu.P. ua Algebra und der Beginn der Analyse: Lehrbuch für 10 - 11 Klassen von Bildungseinrichtungen.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Leitfaden für Bewerber an technischen Schulen).

In diesem Artikel stellen wir vor Wurzelkonzept... Wir werden sequentiell vorgehen: Wir beginnen mit der Quadratwurzel, gehen von dieser zur Beschreibung der Kubikwurzel über, danach verallgemeinern wir den Begriff der Wurzel, indem wir die n-te Wurzel definieren. Gleichzeitig führen wir Definitionen, Bezeichnungen ein, geben Beispiele für Wurzeln und geben die notwendigen Erläuterungen und Kommentare.

Quadratwurzel, arithmetische Quadratwurzel

Um die Definition der Wurzel einer Zahl und insbesondere der Quadratwurzel zu verstehen, müssen Sie haben. An dieser Stelle werden wir oft auf die zweite Potenz einer Zahl stoßen – das Quadrat einer Zahl.

Lass uns beginnen mit Definition von Quadratwurzel.

Definition

Quadratwurzel von a ist eine Zahl, deren Quadrat a ist.

Um zu bringen Beispiele für Quadratwurzeln, nehmen wir mehrere Zahlen, zum Beispiel 5, −0.3, 0.3, 0, und quadrieren sie, wir erhalten die Zahlen 25, 0.09, 0.09 bzw. 0 (5 2 = 5 5 = 25, (−0.3) 2 = (−0.3) (−0.3) = 0.09, (0,3) 2 = 0,3 · 0,3 = 0,09 und 0 2 = 0 · 0 = 0). Dann ist nach obiger Definition 5 die Quadratwurzel von 25, –0,3 und 0,3 sind Quadratwurzeln von 0,09 und 0 ist die Quadratwurzel von Null.

Es ist zu beachten, dass für keine Zahl a existiert, deren Quadrat gleich a ist. Für jede negative Zahl a gibt es nämlich keine einzige reelle Zahl b, deren Quadrat gleich a wäre. Tatsächlich ist die Gleichheit a = b 2 für jedes negative a unmöglich, da b 2 für jedes b eine nicht negative Zahl ist. Auf diese Weise, es gibt keine Quadratwurzel einer negativen Zahl auf der Menge der reellen Zahlen... Mit anderen Worten, auf der Menge der reellen Zahlen ist die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht definiert und macht keinen Sinn.

Dies führt zu einer logischen Frage: "Gibt es eine Quadratwurzel von a für jedes nicht-negative a"? Die Antwort ist ja. Die Begründung für diese Tatsache kann als eine konstruktive Methode angesehen werden, die verwendet wird, um den Wert der Quadratwurzel zu finden.

Dann stellt sich die logische Frage: "Wie groß ist die Anzahl aller Quadratwurzeln aus einer gegebenen nicht-negativen Zahl a - eins, zwei, drei oder noch mehr?" Hier ist die Antwort: Wenn a null ist, dann ist die einzige Quadratwurzel von null null; wenn a eine positive Zahl ist, dann ist die Anzahl der Quadratwurzeln aus der Zahl a gleich zwei, und die Wurzeln sind es. Begründen wir dies.

Beginnen wir mit dem Fall a = 0. Zuerst zeigen wir, dass Null tatsächlich die Quadratwurzel von Null ist. Dies folgt aus der offensichtlichen Gleichheit 0 2 = 0 · 0 = 0 und der Definition der Quadratwurzel.

Zeigen wir nun, dass 0 die einzige Quadratwurzel von Null ist. Wenden wir die Methode des Widerspruchs an. Angenommen, es gibt eine von Null verschiedene Zahl b, die die Quadratwurzel von Null ist. Dann muss die Bedingung b 2 = 0 erfüllt sein, was unmöglich ist, da der Wert des Ausdrucks b 2 für jedes von null verschiedene b positiv ist. Wir sind zu einem Widerspruch gekommen. Dies beweist, dass 0 die einzige Quadratwurzel von Null ist.

Wir gehen zu den Fällen über, in denen a eine positive Zahl ist. Oben haben wir gesagt, dass es immer eine Quadratwurzel jeder nicht negativen Zahl gibt, sei die Quadratwurzel von a die Zahl b. Angenommen, es gibt eine Zahl c, die auch die Quadratwurzel von a ist. Dann gelten nach Definition der Quadratwurzel die Gleichungen b 2 = a und c 2 = a, woraus folgt, dass b 2 - c 2 = a - a = 0, da aber b 2 - c 2 = (b - c) b + c), dann (b - c) (b + c) = 0. Die resultierende Gleichheit aufgrund von Eigenschaften von Aktionen mit reellen Zahlen ist nur möglich, wenn b - c = 0 oder b + c = 0. Somit sind die Zahlen b und c gleich oder entgegengesetzt.

Wenn wir annehmen, dass es eine Zahl d gibt, die eine andere Quadratwurzel der Zahl a ist, dann wird durch ähnliche Überlegungen wie die bereits gegebenen bewiesen, dass d gleich der Zahl b oder der Zahl c ist. Die Anzahl der Quadratwurzeln einer positiven Zahl beträgt also zwei, wobei die Quadratwurzeln entgegengesetzte Zahlen sind.

Um das Arbeiten mit Quadratwurzeln zu erleichtern, wird die negative Wurzel von der positiven "getrennt". Für diesen Zweck, arithmetische Quadratwurzeldefinition.

Definition

Arithmetische Quadratwurzel einer nicht negativen Zahl a Ist eine nicht negative Zahl, deren Quadrat a ist.

Die Notation wird für die arithmetische Quadratwurzel der Zahl a übernommen. Das Vorzeichen wird als arithmetisches Quadratwurzelzeichen bezeichnet. Es wird auch Radikalzeichen genannt. Daher hört man teilweise sowohl "root" als auch "radikal", was das gleiche Objekt bedeutet.

Die Zahl unter dem Vorzeichen der arithmetischen Quadratwurzel heißt Wurzelzahl, und der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen ist radikaler Ausdruck, während der Begriff "Radikalzahl" oft durch "Radikalausdruck" ersetzt wird. Im Datensatz ist beispielsweise die Zahl 151 eine radikale Zahl, und im Datensatz ist der Ausdruck a ein radikaler Ausdruck.

Beim Lesen wird das Wort "Arithmetik" oft weggelassen, beispielsweise wird der Datensatz als "die Quadratwurzel von sieben Komma neunundzwanzig Hundertstel" gelesen. Das Wort "Arithmetik" wird nur ausgesprochen, wenn sie betonen wollen, dass es sich genau um die positive Quadratwurzel einer Zahl handelt.

Im Lichte der eingeführten Notation folgt aus der Definition der arithmetischen Quadratwurzel, dass für jede nicht negative Zahl a.

Quadratwurzeln einer positiven Zahl a werden als und unter Verwendung des arithmetischen Quadratwurzelzeichens geschrieben. Zum Beispiel sind die Quadratwurzeln von 13 und. Die arithmetische Quadratwurzel von Null ist Null, das heißt. Für negative Zahlen a werden wir die Notation erst verstehen, wenn wir studiert haben komplexe Zahlen... Zum Beispiel sind die Ausdrücke und bedeutungslos.

Anhand der Definition der Quadratwurzel werden die Eigenschaften der in der Praxis häufig verwendeten Quadratwurzeln bewiesen.

Beachten Sie abschließend, dass die Quadratwurzeln der Zahl a Lösungen der Form x 2 = a in Bezug auf die Variable x sind.

Kubische Wurzel einer Zahl

Bestimmung der Kubikwurzel der Zahl a wird ähnlich wie bei der Definition einer Quadratwurzel angegeben. Nur basiert es auf dem Konzept eines Würfels einer Zahl, nicht eines Quadrats.

Definition

Kubische Wurzel der Zahl a ist eine Zahl, deren Würfel gleich a ist.

Lass uns geben Beispiele für Kubikwurzeln... Nehmen Sie dazu mehrere Zahlen, zum Beispiel 7, 0, −2/3, und würfeln Sie sie: 7 3 = 7 7 7 = 343, 0 3 = 0 0 0 = 0, ... Basierend auf der Definition der Kubikwurzel können wir dann argumentieren, dass die Zahl 7 die Kubikwurzel von 343 ist, 0 die Kubikwurzel von Null und –2/3 die Kubikwurzel von –8/27 ist.

Es lässt sich zeigen, dass die Kubikwurzel der Zahl a im Gegensatz zur Quadratwurzel immer existiert, und zwar nicht nur für nicht-negatives a, sondern auch für jede reelle Zahl a. Dazu können Sie dieselbe Methode verwenden, die wir beim Studium der Quadratwurzel erwähnt haben.

Außerdem gibt es nur eine einzige Kubikwurzel einer gegebenen Zahl a. Beweisen wir die letzte Aussage. Dazu betrachten wir getrennt drei Fälle: a ist eine positive Zahl, a = 0 und a ist eine negative Zahl.

Es ist leicht zu zeigen, dass für ein positives a die Kubikwurzel von a nicht negativ oder null sein kann. In der Tat, sei b eine Kubikwurzel von a, dann können wir per Definition die Gleichheit b 3 = a schreiben. Es ist klar, dass diese Gleichheit für negatives b und b = 0 nicht gelten kann, da in diesen Fällen b 3 = b · b · b eine negative Zahl bzw. Null ist. Die Kubikwurzel einer positiven Zahl a ist also eine positive Zahl.

Nehmen wir nun an, dass es neben der Zahl b noch eine Kubikwurzel der Zahl a gibt, wir bezeichnen sie mit c. Dann ist c 3 = a. Daher b 3 - c 3 = a - a = 0, aber b 3 – c 3 = (b – c) (b 2 + b c + c 2)(das ist die abgekürzte Multiplikationsformel Unterschied der Würfel), daher (b − c) (b 2 + b c + c 2) = 0. Die erhaltene Gleichheit ist nur möglich, wenn b − c = 0 oder b 2 + b · c + c 2 = 0 ist. Aus der ersten Gleichheit gilt b = c, und die zweite Gleichheit hat keine Lösungen, da ihre linke Seite eine positive Zahl für beliebige positive Zahlen b und c als Summe der drei positiven Terme b 2, b c und c 2 ist. Dies beweist die Eindeutigkeit der Kubikwurzel einer positiven Zahl a.

Für a = 0 ist nur die Zahl Null die Kubikwurzel der Zahl a. In der Tat, wenn wir annehmen, dass es eine Zahl b gibt, die eine Kubikwurzel von Null ungleich Null ist, dann muss die Gleichheit b 3 = 0 erfüllt sein, was nur für b = 0 möglich ist.

Für negatives a kann man ähnlich argumentieren wie für positives a. Zuerst zeigen wir, dass die Kubikwurzel einer negativen Zahl weder einer positiven noch einer Null gleich sein kann. Zweitens nehmen wir an, dass es eine zweite Kubikwurzel einer negativen Zahl gibt und zeigen, dass diese notwendigerweise mit der ersten übereinstimmt.

Es gibt also immer eine Kubikwurzel einer gegebenen reellen Zahl a, und zwar die einzige.

Lass uns geben arithmetische Kubikwurzeldefinition.

Definition

Arithmetische Kubikwurzel einer nicht negativen Zahl a ist eine nicht negative Zahl, deren Würfel gleich a ist.

Die arithmetische Kubikwurzel einer nicht negativen Zahl a wird bezeichnet als, das Vorzeichen heißt das Vorzeichen der arithmetischen Kubikwurzel, die Zahl 3 in dieser Schreibweise heißt Wurzelexponent... Die Zahl unter dem Wurzelzeichen ist Wurzelzahl, der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen ist Wurzelausdruck.

Obwohl die arithmetische Kubikwurzel nur für nicht negative Zahlen a definiert ist, ist es auch praktisch, Notationen zu verwenden, in denen negative Zahlen unter dem Vorzeichen der arithmetischen Kubikwurzel stehen. Wir werden sie wie folgt verstehen: wobei a eine positive Zahl ist. Zum Beispiel, .

Über die Eigenschaften von Kubikwurzeln werden wir im allgemeinen Artikel über die Eigenschaften von Wurzeln sprechen.

Die Berechnung des Kubikwurzelwertes wird Kubikwurzelextraktion genannt, diese Aktion wird im Artikel Wurzelextraktion: Methoden, Beispiele, Lösungen behandelt.

Abschließend sagen wir, dass die Kubikwurzel der Zahl a eine Lösung der Form x 3 = a ist.

N-te Wurzel, n-te arithmetische Wurzel

Um das Konzept einer Wurzel einer Zahl zu verallgemeinern, führen wir ein Bestimmung der Wurzel des n-ten Grades für n.

Definition

N-te Wurzel von a Ist eine Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist.

Aus dieser Definition ist klar, dass die Wurzel des ersten Grades der Zahl a die Zahl a selbst ist, da wir beim Studium des Grades mit einem natürlichen Exponenten a 1 = a genommen haben.

Oben haben wir Spezialfälle der n-ten Wurzel für n = 2 und n = 3 betrachtet - Quadratwurzel und Kubikwurzel. Das heißt, die Quadratwurzel ist die Wurzel zweiten Grades und die Kubikwurzel ist die Wurzel dritten Grades. Um die Wurzeln des n-ten Grades für n = 4, 5, 6, ... , ...), die zweite Gruppe - Wurzeln ungerade Grade (dh für n = 5, 7, 9, ...). Dies liegt daran, dass Wurzeln geraden Grades einer Quadratwurzel analog sind und Wurzeln ungeraden Grades einer Kubikwurzel entsprechen. Lassen Sie uns der Reihe nach mit ihnen umgehen.

Beginnen wir mit den Wurzeln, deren Potenzen die geraden Zahlen 4, 6, 8 sind ... Wie gesagt, sie sind analog zur Quadratwurzel der Zahl a. Das heißt, die Wurzel jedes geraden Grades aus der Zahl a existiert nur für ein nicht negatives a. Wenn a = 0, dann ist die Wurzel von a eindeutig und gleich Null, und wenn a > 0, dann gibt es zwei Wurzeln geraden Grades von der Zahl a, und sie sind entgegengesetzte Zahlen.

Begründen wir die letzte Aussage. Sei b eine Wurzel geraden Grades (wir bezeichnen sie als 2 m, wobei m eine natürliche Zahl ist) aus der Zahl a. Angenommen, es gibt eine Zahl c - eine weitere Wurzel vom Grad 2 m der Zahl a. Dann b 2 m - c 2 m = a - a = 0. Aber wir kennen die Form b 2 m - c 2 m = (b - c) (b + c) (b 2 m − 2 + b 2 m − 4 c 2 + b 2 m − 6 c 4 +… + c 2 m − 2), dann (b - c) (b + c) (b 2 m − 2 + b 2 m − 4 c 2 + b 2 m − 6 c 4 +… + c 2 m − 2) = 0... Diese Gleichheit impliziert, dass b - c = 0, oder b + c = 0, oder b 2 m − 2 + b 2 m − 4 c 2 + b 2 m − 6 c 4 +… + c 2 m − 2 = 0... Die ersten beiden Gleichheiten bedeuten, dass die Zahlen b und c gleich sind oder b und c entgegengesetzt sind. Und die letzte Gleichheit gilt nur für b = c = 0, da auf der linken Seite ein Ausdruck steht, der für jedes b und c als Summe nicht negativer Zahlen nicht negativ ist.

Was die Wurzeln des n-ten Grades für ungerade n betrifft, so ähneln sie der Kubikwurzel. Das heißt, die Wurzel jedes ungeraden Grades aus der Zahl a existiert für jede reelle Zahl a, und für eine gegebene Zahl a ist sie eindeutig.

Die Eindeutigkeit einer Wurzel ungeraden Grades 2 m + 1 von a wird in Analogie zum Beweis der Eindeutigkeit einer Kubikwurzel von a bewiesen. Nur hier statt Gleichberechtigung a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + c 2) eine Gleichheit der Form b 2 m + 1 - c 2 m + 1 = (b − c) (b 2 m + b 2 m − 1 c + b 2 m − 2 c 2 +… + c 2 m)... Der Ausdruck in der letzten Klammer kann umgeschrieben werden als b 2 m + c 2 m + b c (b 2 m − 2 + c 2 m − 2 + b c (b 2 m − 4 + c 2 m − 4 + b c (… + (b 2 + c 2 + b c))))... Für m = 2 gilt beispielsweise b 5 −c 5 = (b − c) (b 4 + b 3 c + b 2 c 2 + b c 3 + c 4) = (b − c) (b 4 + c 4 + b c (b 2 + c 2 + b c))... Wenn a und b beide positiv oder beide negativ sind, ihr Produkt eine positive Zahl ist, dann ist der Ausdruck b 2 + c 2 + b · c in den höchsten verschachtelten Klammern positiv als Summe positiver Zahlen. Gehen wir nun sequentiell zu den Ausdrücken in Klammern der vorherigen Verschachtelungsgrade über, stellen wir sicher, dass sie auch als Summe positiver Zahlen positiv sind. Als Ergebnis erhalten wir, dass die Gleichheit b 2 m + 1 - c 2 m + 1 = (b − c) (b 2 m + b 2 m − 1 c + b 2 m − 2 c 2 +… + c 2 m) = 0 ist nur möglich, wenn b - c = 0 ist, dh wenn die Zahl b gleich der Zahl c ist.

Es ist an der Zeit, sich mit der Notation der Wurzeln des n-ten Grades zu befassen. Dafür ist es gegeben Definition der n-ten arithmetischen Wurzel.

Definition

Eine arithmetische Wurzel n-ten Grades aus einer nicht negativen Zahl a ist eine nicht negative Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist.

Die n-te arithmetische Wurzel einer nicht-negativen Zahl a wird als bezeichnet. Die Zahl a wird Wurzelzahl genannt, und die Zahl n wird Wurzelindikator genannt. Betrachten Sie zum Beispiel einen Datensatz, hier ist die Wurzelnummer 125,36 und der Wurzelindikator ist 5.

Beachten Sie, dass wir es für n = 2 mit der Quadratwurzel einer Zahl zu tun haben, in diesem Fall ist es üblich, nicht den Wurzelexponenten zu schreiben, dh die Datensätze und bedeuten dieselbe Zahl.

Trotz der Tatsache, dass die Definition der arithmetischen Wurzel des n-ten Grades sowie deren Notation für nicht-negative Wurzelzahlen eingeführt wurden, werden wir der Einfachheit halber für ungerade Wurzelexponenten und negative Wurzelzahlen Notationen der Form verwenden: die wir verstehen werden als. Zum Beispiel, und .

Wir werden Wurzeln geraden Grades mit negativen Radikalzahlen keine Bedeutung beimessen (bis wir mit dem Studium komplexer Zahlen beginnen). Zum Beispiel Ausdrücke und machen keinen Sinn.

Auf der Grundlage der oben gegebenen Definition werden die Eigenschaften von Wurzeln n-ten Grades begründet, die eine breite praktische Anwendung finden.

Abschließend sei gesagt, dass die Wurzeln n-ten Grades die Wurzeln von Gleichungen der Form x n = a sind.

Praktische Ergebnisse

Das erste praktisch wichtige Ergebnis: .

Dieses Ergebnis spiegelt im Wesentlichen die Definition einer geraden Wurzel wider. Das ⇔-Zeichen bedeutet Äquivalenz. Das heißt, der gegebene Datensatz ist wie folgt zu verstehen: wenn, dann und wenn, dann. Und nun dasselbe, aber in Worten: wenn b eine Wurzel eines geraden Grades 2 k der Zahl a ist, dann ist b eine nicht negative Zahl, die die Gleichung b 2 k = a erfüllt, und umgekehrt, wenn b ist eine nicht negative Zahl, die die Gleichheit b 2 k = a erfüllt, d. h. b ist eine gerade Wurzel von 2 k von a.

Aus der ersten Gleichheit des Systems ist klar, dass die Zahl a nicht-negativ ist, da sie gleich der nicht-negativen Zahl b ist, die auf eine gerade Potenz 2 · k erhöht wird.

Daher betrachtet die Schule die Wurzeln gerader Grade nur aus nicht-negativen Zahlen, sie versteht sie als , und Wurzeln gerader Potenzen negativer Zahlen haben keine Bedeutung.

Das zweite praktisch wichtige Ergebnis: .

Es kombiniert im Wesentlichen die Definition einer arithmetischen Wurzel ungeraden Grades und die Definition einer ungeraden Wurzel einer negativen Zahl. Lassen Sie uns dies erklären.

Aus den Definitionen in den vorherigen Absätzen ist klar, dass sie den Wurzeln ungerader Grade aus allen reellen Zahlen, nicht nur nicht-negativen, sondern auch negativen, Bedeutung verleihen. Für nicht negative Zahlen b wird angenommen, dass ... Das letzte System impliziert die Bedingung a≥0. Für negative Zahlen −a (wobei a eine positive Zahl ist), nehme ... Es ist klar, dass es bei einer solchen Definition eine negative Zahl ist, da sie gleich ist, aber es gibt eine positive Zahl. Es ist auch klar, dass das Erhöhen der Wurzel zur Potenz 2 · k + 1 die Wurzelzahl –a ergibt. In der Tat haben wir unter Berücksichtigung dieser Definition und Eigenschaften der Grade

Daraus schließen wir, dass die Wurzel eines ungeraden Grades 2 k + 1 einer negativen Zahl −a eine negative Zahl b ist, deren Grad von 2 k + 1 gleich −a ist, in wörtlicher Form ... Ergebnisse kombinieren für a≥0 und Für ein<0 , приходим к следующему выводу: корень нечетной степени 2·k+1 из произвольного действительного числа a есть число b (оно может быть как неотрицательным, так и отрицательным), которое при возведении в степень 2·k+1 равно a , то есть .

Daher betrachtet die Schule die Wurzeln ungerader Grade aus allen reellen Zahlen und versteht sie wie folgt: .

Abschließend schreiben wir noch einmal die beiden für uns interessanten Ergebnisse auf: und .

\ (\ sqrt (a) = b \) wenn \ (b ^ 2 = a \), wobei \ (a≥0, b≥0 \)


Beispiele:

\ (\ sqrt (49) = 7 \) seit \ (7 ^ 2 = 49 \)
\ (\ sqrt (0.04) = 0.2 \) seit \ (0.2 ^ 2 = 0.04 \)

Wie zieht man die Quadratwurzel einer Zahl?

Um die Quadratwurzel einer Zahl zu ziehen, müssen Sie sich die Frage stellen: Welche Zahl im Quadrat ergibt der Ausdruck unter der Wurzel?

Zum Beispiel... Entpacken Sie die Wurzel: a) \ (\ sqrt (2500) \); b) \ (\ sqrt (\ frac (4) (9)) \); c) \ (\ Quadrat (0,001) \); d) \ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) \)

a) Welche Zahl zum Quadrat ergibt \ (2500 \)?

\ (\ Quadrat (2500) = 50 \)

b) Welche Zahl zum Quadrat wird \ (\ frac (4) (9) \)?

\ (\ sqrt (\ frac (4) (9)) \) \ (= \) \ (\ frac (2) (3) \)

c) Welche Zahl im Quadrat ergibt \ (0,0001 \)?

\ (\ Quadrat (0,0001) = 0,01 \)

d) Welche Zahl zum Quadrat wird \ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) \)? Um die Frage zu beantworten, müssen Sie in die falsche übersetzen.

\ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) = \ sqrt (\ frac (49) (16)) = \ frac (7) (6) \)

Kommentar: Obwohl \ (- 50 \), \ (- \ frac (2) (3) \), \ (- 0,01 \), \ (- \ frac (7) (6) \), auch die Fragen beantworten , aber sie werden nicht berücksichtigt, da die Quadratwurzel immer positiv ist.

Die Haupteigenschaft der Wurzel

Wie Sie wissen, hat in der Mathematik jede Handlung das Gegenteil. Addition hat Subtraktion und Multiplikation hat Division. Die Umkehrung der Quadrierung ist die Quadratwurzel. Daher heben sich diese Aktionen gegenseitig auf:

\ ((\ sqrt (a)) ^ 2 = a \)

Dies ist die Haupteigenschaft der Wurzel, die am häufigsten verwendet wird (auch in der OGE)

Beispiel ... (Aufgabe vom OGE). Finden Sie den Wert des Ausdrucks \ (\ frac ((2 \ sqrt (6)) ^ 2) (36) \)

Lösung :\ (\ frac ((2 \ sqrt (6)) ^ 2) (36) = \ frac (4 \ cdot (\ sqrt (6)) ^ 2) (36) = \ frac (4 \ cdot 6) (36 ) = \ frac (4) (6) = \ frac (2) (3) \)

Beispiel ... (Aufgabe vom OGE). Finden Sie den Wert des Ausdrucks \ ((\ sqrt (85) -1) ^ 2 \)

Lösung:

Antworten: \ (86-2 \ Quadrat (85) \)

Wenn Sie mit einer Quadratwurzel arbeiten, müssen Sie natürlich auch andere verwenden.

Beispiel ... (Aufgabe vom OGE). Finden Sie den Wert des Ausdrucks \ (5 \ sqrt (11) \ cdot 2 \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (22) \)
Lösung:

Antworten: \(220\)

4 Regeln, die immer vergessen werden

Die Wurzel wird nicht immer abgerufen


Beispiel: \ (\ sqrt (2) \), \ (\ sqrt (53) \), \ (\ sqrt (200) \), \ (\ sqrt (0,1) \) usw. - es ist nicht immer möglich, aus einer Zahl die Wurzel zu ziehen und das ist normal!


Wurzel einer Zahl, auch eine Zahl

Es ist nicht notwendig, auf \ (\ sqrt (2) \), \ (\ sqrt (53) \) zu verweisen, irgendwie besonders. Das sind Zahlen, aber keine ganzen Zahlen, ja, aber nicht alles in unserer Welt wird in ganzen Zahlen gemessen.


Die Wurzel wird nur aus nicht negativen Zahlen gezogen

Daher werden Sie in den Lehrbüchern solche Einträge \ (\ sqrt (-23) \), \ (\ sqrt (-1) \) usw. nicht sehen.