1. Der Median teilt ein Dreieck in zwei Dreiecke gleicher Fläche.

2. Die Mittellinien des Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der sie jeweils im Verhältnis 2:1 teilt, vom Scheitelpunkt aus gezählt. Dieser Punkt heißt Schwerpunkt Dreieck.

3. Das gesamte Dreieck wird durch seine Mediane in sechs gleiche Dreiecke geteilt.

Eigenschaften von Dreieckshalbierenden

1. Die Winkelhalbierende ist der Ort der Punkte, die von den Seiten dieses Winkels gleich weit entfernt sind.

2. Die Winkelhalbierende des Innenwinkels eines Dreiecks teilt die gegenüberliegende Seite in Segmente, die proportional zu den angrenzenden Seiten sind: .

3. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks ist der Mittelpunkt des in dieses Dreieck eingeschriebenen Kreises.

Eigenschaften der Dreieckshöhen

1. In einem rechtwinkligen Dreieck wird es durch die vom Scheitelpunkt des rechten Winkels gezeichnete Höhe in zwei Dreiecke geteilt, die dem ursprünglichen Dreieck ähneln.

2. In einem spitzen Dreieck schneiden zwei seiner Höhen ähnliche davon ab Dreiecke.

Eigenschaften der Mittelsenkrechten eines Dreiecks

1. Jeder Punkt der Mittelsenkrechten zu einem Segment ist von den Enden dieses Segments gleich weit entfernt. Das Umgekehrte gilt auch: Jeder Punkt mit gleichem Abstand von den Enden einer Strecke liegt auf der Mittelsenkrechten dazu.

2. Der Schnittpunkt der zu den Seiten des Dreiecks gezogenen Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt des Kreises, der dieses Dreieck umschreibt.

Eigenschaft der Mittellinie eines Dreiecks

Die Mittellinie eines Dreiecks verläuft parallel zu einer seiner Seiten und entspricht der Hälfte dieser Seite.

Ähnlichkeit von Dreiecken

Zwei Dreiecke ähnlich wenn eine der folgenden Bedingungen vorliegt, aufgerufen Zeichen der Ähnlichkeit:

· zwei Winkel eines Dreiecks sind gleich zwei Winkeln eines anderen Dreiecks;

· zwei Seiten eines Dreiecks sind proportional zu zwei Seiten eines anderen Dreiecks und die von diesen Seiten gebildeten Winkel sind gleich;

· Drei Seiten eines Dreiecks sind jeweils proportional zu drei Seiten eines anderen Dreiecks.

In ähnlichen Dreiecken sind die entsprechenden Linien (Höhen, Mittelwerte, Winkelhalbierende usw.) proportional.

Satz der Sinus

Kosinussatz

eine 2= b 2+ c 2- 2v. Chr cos

Dreiecksflächenformeln

1. Kostenloses Dreieck

a, b, c - Seiten; - Winkel zwischen den Seiten A Und B; - Halbumfang; R- umschriebener Kreisradius; R- Radius des eingeschriebenen Kreises; S- Quadrat; h a - Höhe angezogen Seite A.

S = ah a

S = ab sin

S = pr

2. Rechtwinkliges Dreieck

a, b - Beine; C- Hypotenuse; h c - Höhe zur Seite gezogen C.

S = ch c S = ab

3. Gleichseitiges Dreieck

Vierecke

Eigenschaften eines Parallelogramms

· gegenüberliegende Seiten sind gleich;

· entgegengesetzte Winkel sind gleich;

· Diagonalen werden durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt;

· die Summe der an eine Seite angrenzenden Winkel beträgt 180°;

Die Summe der Quadrate der Diagonalen ist gleich der Summe der Quadrate aller Seiten:

d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2).

Ein Viereck ist ein Parallelogramm, wenn:

1. Seine beiden gegenüberliegenden Seiten sind gleich und parallel.

2. Gegenüberliegende Seiten sind paarweise gleich.

3. Gegenüberliegende Winkel sind paarweise gleich.

4. Die Diagonalen werden durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt.

Eigenschaften eines Trapezes

· seine Mittellinie verläuft parallel zu den Basen und ist gleich ihrer Halbsumme;

· wenn das Trapez gleichschenklig ist, dann sind seine Diagonalen gleich und die Winkel an der Basis sind gleich;

· Wenn das Trapez gleichschenklig ist, kann ein Kreis um es herum beschrieben werden.

· Wenn die Summe der Grundflächen gleich der Summe der Seiten ist, kann darin ein Kreis eingeschrieben werden.

Rechteckeigenschaften

Die Diagonalen sind gleich.

Ein Parallelogramm ist ein Rechteck, wenn:

1. Einer seiner Winkel ist gerade.

2. Seine Diagonalen sind gleich.

Eigenschaften einer Raute

· alle Eigenschaften eines Parallelogramms;

Diagonalen stehen senkrecht;

Die Diagonalen sind die Winkelhalbierenden.

1. Ein Parallelogramm ist eine Raute, wenn:

2. Seine beiden benachbarten Seiten sind gleich.

3. Seine Diagonalen sind senkrecht.

4. Eine der Diagonalen ist die Winkelhalbierende ihres Winkels.

Eigenschaften eines Quadrats

· alle Ecken des Quadrats sind richtig;

· die Diagonalen eines Quadrats sind gleich, senkrecht zueinander, der Schnittpunkt halbiert und halbiert die Ecken des Quadrats.

Ein Rechteck ist ein Quadrat, wenn es Merkmale einer Raute aufweist.

Grundformeln

1. Jedes konvexe Viereck
d 1,d 2 - Diagonalen; - der Winkel zwischen ihnen; S- Quadrat.

S = d 1 D 2 Sünde

Notiz. IN diese Lektion loslegen theoretische Materialien und Lösen von Geometrieproblemen zum Thema „Median im rechtwinkligen Dreieck“. Wenn Sie ein Geometrieproblem lösen müssen, das hier nicht aufgeführt ist, schreiben Sie im Forum darüber. Der Kurs wird mit ziemlicher Sicherheit ergänzt.

Eigenschaften des Medians rechtwinkliges Dreieck

Ermittlung des Medians

• Die Mittellinien eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt und werden durch diesen Punkt im Verhältnis 2:1 in zwei Teile geteilt, gerechnet vom Scheitelpunkt des Winkels. Der Punkt, an dem sie sich schneiden, wird als Schwerpunkt des Dreiecks bezeichnet (relativ selten wird bei Problemen der Begriff „Schwerpunkt“ verwendet, um diesen Punkt zu bezeichnen).
• Der Median teilt ein Dreieck in zwei gleich große Dreiecke.
• Ein Dreieck wird durch drei Mediane in sechs gleiche Dreiecke geteilt.
• Die größere Seite des Dreiecks entspricht dem kleineren Median.

Die zur Lösung vorgeschlagenen Geometrieprobleme verwenden hauptsächlich Folgendes Eigenschaften des Medians eines rechtwinkligen Dreiecks.

• Die Summe der Quadrate der Mediane, die auf die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks fallen, entspricht fünf Quadraten des Medians, die auf die Hypotenuse fallen (Formel 1)
• Der Median fiel auf die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gleich der halben Hypotenuse(Formel 2)
• Der Median der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt gleich dem Radius des umschriebenen Kreises gegebenes rechtwinkliges Dreieck (Formel 2)
• Der zur Hypotenuse abgefallene Median beträgt gleich der Hälfte der Quadratwurzel der Summe der Quadrate der Beine(Formel 3)
• Der auf die Hypotenuse abgesenkte Median ist gleich dem Quotienten aus der Länge des Beins geteilt durch zwei Sinus des gegenüberliegenden Beins spitzer Winkel(Formel 4)
• Der zur Hypotenuse abgesenkte Median ist gleich dem Quotienten aus der Beinlänge geteilt durch zwei Kosinusse des spitzen Winkels neben dem Bein (Formel 4)
• Die Summe der Quadrate der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks entspricht acht Quadraten des auf seine Hypotenuse fallenden Medians (Formel 5)

Notation in Formeln:

a, b- Beine eines rechtwinkligen Dreiecks

C- Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks

Wenn wir ein Dreieck als ABC bezeichnen, dann

BC = A

(also Seiten a,b,c- sind entgegengesetzt zu den entsprechenden Winkeln)

M A- Mittellinie zum Bein a gezogen

M B- Mittellinie zum Bein b gezogen

M C - Median eines rechtwinkligen Dreiecks, zur Hypotenuse gezogen mit

α (Alpha)- Winkel CAB gegenüber der Seite a

Problem mit dem Median im rechtwinkligen Dreieck

Die Mittelwerte eines an den Beinen gezogenen rechtwinkligen Dreiecks betragen 3 cm bzw. 4 cm. Finden Sie die Hypotenuse des Dreiecks

Lösung

Bevor wir mit der Lösung des Problems beginnen, achten wir auf das Verhältnis der Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks und des darauf abgesenkten Medians. Wenden wir uns dazu den Formeln 2, 4, 5 zu Eigenschaften des Medians in einem rechtwinkligen Dreieck. Diese Formeln geben deutlich das Verhältnis von Hypotenuse und Median an, das auf 1 zu 2 abgesenkt wird. Daher zur Vereinfachung zukünftiger Berechnungen (was die Richtigkeit der Lösung in keiner Weise beeinträchtigt, sie aber noch verbessert). Praktischerweise bezeichnen wir die Längen der Beine AC und BC der Variablen x und y als 2x und 2y (nicht x und y).

Betrachten Sie den ADC im rechtwinkligen Dreieck. Der Winkel C ist entsprechend den Bedingungen des Problems richtig, der Schenkel AC ist mit dem Dreieck ABC gemeinsam und der Schenkel CD ist gemäß den Eigenschaften des Medians gleich der Hälfte BC. Dann nach dem Satz des Pythagoras

AC 2 + CD 2 = AD 2

Da AC = 2x, CD = y (da der Median das Bein in zwei gleiche Teile teilt), dann
4x 2 + y 2 = 9

Betrachten Sie gleichzeitig das rechtwinklige Dreieck EBC. Gemäß den Bedingungen des Problems hat es auch einen rechten Winkel C, der Schenkel BC ist mit dem Schenkel BC des ursprünglichen Dreiecks ABC gemeinsam und der Schenkel EC ist aufgrund der Eigenschaft des Medians gleich der Hälfte des Schenkels AC des ursprünglichen Dreiecks ABC.
Nach dem Satz des Pythagoras:
EC 2 + BC 2 = BE 2

Da EC = x (der Median teilt das Bein in zwei Hälften), ist BC = 2y
x 2 + 4y 2 = 16

Da die Dreiecke ABC, EBC und ADC durch gemeinsame Seiten verbunden sind, hängen auch beide resultierenden Gleichungen zusammen.
Lösen wir das resultierende Gleichungssystem.
4x 2 + y 2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16

Ein Dreieck ist ein Polygon mit drei Seiten oder eine geschlossene gestrichelte Linie mit drei Gliedern oder eine Figur, die aus drei Segmenten besteht, die drei Punkte verbinden, die nicht auf derselben geraden Linie liegen (siehe Abb. 1).

Grundelemente des Dreiecks ABC

Gipfel – Punkte A, B und C;

Partys – Segmente a = BC, b = AC und c = AB, die die Eckpunkte verbinden;

Winkel – α, β, γ, gebildet aus drei Seitenpaaren. Winkel werden oft genauso wie Eckpunkte mit den Buchstaben A, B und C bezeichnet.

Der von den Seiten eines Dreiecks gebildete und in dessen Innenbereich liegende Winkel wird Innenwinkel genannt, der daran angrenzende Winkel ist der angrenzende Winkel des Dreiecks (2, S. 534).

Höhen, Mediane, Winkelhalbierende und Mittellinien eines Dreiecks

Zusätzlich zu den Hauptelementen in einem Dreieck werden auch andere Segmente mit interessanten Eigenschaften berücksichtigt: Höhen, Mediane, Winkelhalbierende und Mittellinien.

Höhe

Dreieckshöhen- Dies sind Senkrechte, die von den Eckpunkten des Dreiecks zu gegenüberliegenden Seiten fallen.

Um die Höhe darzustellen, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

1) Zeichnen Sie eine gerade Linie, die eine der Seiten des Dreiecks enthält (wenn die Höhe vom Scheitelpunkt eines spitzen Winkels in einem stumpfen Dreieck gezeichnet wird);

2) Zeichnen Sie vom Scheitelpunkt gegenüber der gezeichneten Linie ein Segment vom Punkt zu dieser Linie und bilden Sie damit einen Winkel von 90 Grad.

Der Punkt, an dem die Höhe die Seite des Dreiecks schneidet, wird aufgerufen Höhe Basis (siehe Abb. 2).

Eigenschaften der Dreieckshöhen

In einem rechtwinkligen Dreieck wird es durch die Höhe, die vom Scheitelpunkt des rechten Winkels gezogen wird, in zwei Dreiecke geteilt, die dem ursprünglichen Dreieck ähneln.

In einem spitzen Dreieck schneiden seine beiden Höhen ähnliche Dreiecke davon ab.

Wenn das Dreieck spitz ist, dann gehören alle Höhenbasen zu den Seiten des Dreiecks, und in einem stumpfen Dreieck fallen zwei Höhen auf die Fortsetzung der Seiten.

Drei Höhen in einem spitzen Dreieck schneiden sich in einem Punkt und dieser Punkt wird aufgerufen Orthozentrum Dreieck.

Median

Mediane(von lat. mediana – „Mitte“) – das sind Segmente, die die Eckpunkte des Dreiecks mit den Mittelpunkten der gegenüberliegenden Seiten verbinden (siehe Abb. 3).

Um den Median zu erstellen, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

1) Finden Sie die Mitte der Seite;

2) Verbinden Sie den Punkt, der die Mitte der Seite des Dreiecks ist, mit dem gegenüberliegenden Scheitelpunkt mit einem Segment.

Eigenschaften von Dreiecksmedianen

Der Median teilt ein Dreieck in zwei Dreiecke gleicher Fläche.

Die Mittelwerte eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der jeden von ihnen im Verhältnis 2:1 teilt, vom Scheitelpunkt aus gezählt. Dieser Punkt heißt Schwerpunkt Dreieck.

Das gesamte Dreieck wird durch seine Mediane in sechs gleich große Dreiecke geteilt.

Halbierende

Winkelhalbierende(von lateinisch bis – zweimal und seko – schneiden) sind die in einem Dreieck eingeschlossenen geraden Liniensegmente, die dessen Winkel halbieren (siehe Abb. 4).

Um eine Winkelhalbierende zu konstruieren, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

1) Konstruieren Sie einen Strahl, der vom Scheitelpunkt des Winkels ausgeht und ihn in zwei gleiche Teile teilt (die Winkelhalbierende);

2) Finden Sie den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks mit der gegenüberliegenden Seite;

3) Wählen Sie ein Segment aus, das den Scheitelpunkt des Dreiecks mit dem Schnittpunkt auf der gegenüberliegenden Seite verbindet.

Eigenschaften von Dreieckshalbierenden

Die Winkelhalbierende eines Dreiecks teilt die gegenüberliegende Seite in einem Verhältnis, das dem Verhältnis der beiden benachbarten Seiten entspricht.

Winkelhalbierende Innenecken Dreiecke schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt wird Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises genannt.

Die Winkelhalbierenden des Innen- und Außenwinkels stehen senkrecht zueinander.

Wenn die Winkelhalbierende eines Außenwinkels eines Dreiecks die Verlängerung der gegenüberliegenden Seite schneidet, dann ist ADBD=ACBC.

Die Winkelhalbierenden eines Innen- und zweier Außenwinkel eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt eines der drei Exkreise dieses Dreiecks.

Die Basen der Winkelhalbierenden zweier Innen- und eines Außenwinkels eines Dreiecks liegen auf derselben Geraden, wenn die Winkelhalbierende des Außenwinkels nicht parallel zur gegenüberliegenden Seite des Dreiecks ist.

Wenn die Winkelhalbierenden der Außenwinkel eines Dreiecks nicht parallel sind gegenüberliegende Seiten, dann liegen ihre Basen auf derselben Geraden.

Wenn Sie ein beliebiges Thema in einem Schulkurs studieren, können Sie ein bestimmtes Minimum an Problemen auswählen, und wenn die Schüler die Methoden zu ihrer Lösung beherrschen, können sie jedes Problem auf der Ebene der Programmanforderungen zum untersuchten Thema lösen. Ich schlage vor, Aufgaben zu berücksichtigen, die es Ihnen ermöglichen, die Zusammenhänge einzelner Themen im Schulmathematikkurs zu erkennen. Daher ist das zusammengestellte Aufgabensystem wirksame Mittel Wiederholung, Verallgemeinerung und Systematisierung Unterrichtsmaterial bei der Vorbereitung der Schüler auf die Prüfung.

Um die Prüfung zu bestehen, wird es nicht überflüssig sein Weitere Informationenüber einige Elemente eines Dreiecks. Betrachten wir die Eigenschaften des Medians eines Dreiecks und Probleme, bei deren Lösung diese Eigenschaften verwendet werden können. Die vorgeschlagenen Aufgaben setzen das Prinzip der Ebenendifferenzierung um. Alle Aufgaben sind bedingt in Levels unterteilt (der Level wird in Klammern nach jeder Aufgabe angegeben).

Erinnern wir uns an einige Eigenschaften des Medians eines Dreiecks

Eigentum 1. Beweisen Sie, dass der Median eines Dreiecks ist ABC, vom Scheitelpunkt gezogen A, weniger als die Hälfte der Summe der Seiten AB Und A.C..

Nachweisen

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Eigentum 2. Der Median teilt das Dreieck in zwei gleiche Flächen.

Nachweisen

Zeichnen wir vom Scheitelpunkt B des Dreiecks ABC den Median BD und die Höhe BE..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

Da das Segment BD also der Median ist

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} Eigentum 4. Die Mittelwerte eines Dreiecks teilen das Dreieck in 6 gleiche Dreiecke.

Nachweisen

Beweisen wir, dass die Fläche jedes der sechs Dreiecke, in die die Mediane das Dreieck ABC teilen, gleich der Fläche des Dreiecks ABC ist. Betrachten Sie dazu beispielsweise das Dreieck AOF und lassen Sie eine Senkrechte AK vom Scheitelpunkt A zur Linie BF fallen.

Aufgrund der Eigenschaft 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Eigentum 6. Der Median in einem rechtwinkligen Dreieck, das vom Scheitelpunkt des rechten Winkels gezogen wird, ist gleich der halben Hypotenuse.

Nachweisen

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Folgen:1. Der Mittelpunkt eines um ein rechtwinkliges Dreieck umschriebenen Kreises liegt in der Mitte der Hypotenuse.

2. Wenn in einem Dreieck die Länge des Medians gleich der halben Länge der Seite ist, zu der er gezogen wird, dann ist dieses Dreieck rechtwinklig.

AUFGABEN

Bei der Lösung jedes weiteren Problems werden bewährte Eigenschaften verwendet.

№1 Themen: Verdoppelung des Medians. Schwierigkeit: 2+

Zeichen und Eigenschaften eines Parallelogramms Noten: 8,9

Zustand

Auf Fortsetzung des Medians BIN. Dreieck ABC pro Punkt M Segment verschoben M.D., gleich BIN.. Beweisen Sie, dass das Viereck ABDC- Parallelogramm.

Lösung

Verwenden wir eines der Zeichen eines Parallelogramms. Diagonalen eines Vierecks ABDC sich in einem Punkt schneiden M und teile es in zwei Hälften, also das Viereck ABDC- Parallelogramm.