Basis(altgriechisch βασις, Basis) - eine Menge solcher Vektoren in einem Vektorraum, dass jeder Vektor dieses Raums eindeutig als Linearkombination von Vektoren aus dieser Menge dargestellt werden kann - Basisvektoren

Eine Basis im Raum R n ist ein beliebiges System aus n-linear unabhängige Vektoren. Jeder Vektor von R n , der nicht in der Basis enthalten ist, kann als Linearkombination von Basisvektoren dargestellt werden, d. h. über die Basis erweitern.
Sei eine Basis des Raumes R n und . Dann gibt es Zahlen λ 1 , λ 2 , …, λ n so dass .
Die Entwicklungskoeffizienten λ 1 , λ 2 , ..., λ n heißen die Koordinaten des Vektors in der Basis B. Ist die Basis gegeben, so sind die Koeffizienten des Vektors eindeutig bestimmt.

Kommentar. In jedem n-dimensionalen Vektorraum können Sie unendlich viele verschiedene Basen wählen. In verschiedenen Basen hat derselbe Vektor unterschiedliche Koordinaten, aber die einzigen in der ausgewählten Basis. Beispiel. Erweitern Sie den Vektor in Bezug auf .
Entscheidung. . Ersetzen Sie die Koordinaten aller Vektoren und führen Sie Aktionen an ihnen aus:

Durch Gleichsetzen der Koordinaten erhalten wir ein Gleichungssystem:

Lösen wir es: .
Damit erhalten wir die Erweiterung: .
In der Basis hat der Vektor die Koordinaten .

Feierabend -

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Das Konzept eines Vektors. Lineare Operationen auf Vektoren

Ein Vektor ist ein gerichtetes Segment, das eine bestimmte Länge hat, d. h. ein Segment einer bestimmten Länge, das einen seiner Begrenzungspunkte hat.

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Die Grundlage des Raums nennen wir ein solches System von Vektoren, in dem alle anderen Vektoren des Raums als Linearkombination von Vektoren dargestellt werden können, die in der Basis enthalten sind.
In der Praxis ist das alles ganz einfach. Die Basis wird in der Regel in einer Ebene oder im Raum überprüft, und dazu müssen Sie die Determinante einer Matrix zweiter, dritter Ordnung finden, die sich aus den Koordinaten der Vektoren zusammensetzt. Unten schematisch geschrieben Bedingungen, unter denen die Vektoren eine Basis bilden

Zu Erweitern Sie den Vektor b in Bezug auf Basisvektoren
e,e...,e[n] müssen die Koeffizienten x, ..., x[n] gefunden werden, für die die Linearkombination der Vektoren e,e...,e[n] gleich ist der Vektor b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Dazu soll die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem umgewandelt und Lösungen gefunden werden. Es ist auch ziemlich einfach zu implementieren.
Die gefundenen Koeffizienten x, ..., x[n] werden aufgerufen Koordinaten des Vektors b in der Basis e,e...,e[n].
Kommen wir zur praktischen Seite des Themas.

Zerlegung eines Vektors in Basisvektoren

Aufgabe 1. Prüfen Sie, ob die Vektoren a1, a2 eine Basis auf der Ebene bilden

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Lösung: Bilde die Determinante aus den Koordinaten der Vektoren und berechne sie

Die Determinante ist ungleich Null, Folglich Vektoren sind linear unabhängig, bilden also eine Basis.

2) a1 (2; -3), a2 (5; -1)
Lösung: Wir berechnen die aus Vektoren zusammengesetzte Determinante

Die Determinante ist gleich 13 (ungleich Null) - daraus folgt, dass die Vektoren a1, a2 eine Basis in der Ebene sind.

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Betrachten wir typische Beispiele aus dem IAPM-Programm in der Disziplin "Higher Mathematics".

Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass die Vektoren a1, a2, a3 eine Basis eines dreidimensionalen Vektorraums bilden, und entwickeln Sie den Vektor b in dieser Basis (verwenden Sie die Methode von Cramer, wenn Sie ein System linearer algebraischer Gleichungen lösen).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Lösung: Betrachten Sie zunächst das System der Vektoren a1, a2, a3 und überprüfen Sie die Determinante der Matrix A

auf anderen Vektoren als Null aufgebaut. Die Matrix enthält ein Nullelement, daher ist es sinnvoller, die Determinante als Zeitplan für die erste Spalte oder dritte Zeile zu berechnen.

Als Ergebnis der Berechnungen haben wir festgestellt, dass die Determinante daher von Null verschieden ist Vektoren a1, a2, a3 sind linear unabhängig.
Definitionsgemäß bilden Vektoren eine Basis in R3. Schreiben wir den Zeitplan des Vektors b in Bezug auf die Basis auf

Vektoren sind gleich, wenn ihre entsprechenden Koordinaten gleich sind.
Daher erhalten wir aus der Vektorgleichung ein System linearer Gleichungen

SLAE lösen Cramers Methode. Dazu schreiben wir das Gleichungssystem in die Form

Die Hauptdeterminante des SLAE ist immer gleich der aus Basisvektoren zusammengesetzten Determinante

Daher wird sie in der Praxis nicht doppelt berechnet. Um Hilfsdeterminanten zu finden, setzen wir eine Spalte mit freien Termen anstelle jeder Spalte der Hauptdeterminante. Die Determinanten werden nach der Dreiecksregel berechnet



Setzen Sie die gefundenen Determinanten in die Formel von Cramer ein



Die Erweiterung des Vektors b nach der Basis hat also die Form b=-4a1+3a2-a3 . Die Koordinaten des Vektors b in der Basis a1, a2, a3 sind (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Lösung: Wir prüfen die Vektoren auf die Basis – wir setzen die Determinante aus den Koordinaten der Vektoren zusammen und berechnen sie

Die Determinante ist also ungleich Null Vektoren bilden eine Basis im Raum. Es bleibt, den Zeitplan des Vektors b bezüglich der gegebenen Basis zu finden. Dazu schreiben wir die Vektorgleichung

und in ein lineares Gleichungssystem umwandeln

Wir schreiben auf Matrixgleichung

Als nächstes finden wir für die Cramer-Formeln Hilfsdeterminanten



Anwendung von Cramers Formeln



Der gegebene Vektor b hat also einen Plan durch zwei Basisvektoren b=-2a1+5a3, und seine Koordinaten in der Basis sind gleich b(-2,0,5).

In der Vektorrechnung und ihren Anwendungen sehr wichtig hat ein Zerlegungsproblem, das darin besteht, einen gegebenen Vektor als Summe mehrerer Vektoren darzustellen, die als Komponenten einer gegebenen bezeichnet werden

Vektor. Diese Aufgabe, die hat Allgemeiner Fall eine unendliche Zahl von Lösungen wird ganz bestimmt, wenn einige Elemente der konstituierenden Vektoren gegeben sind.

2. Beispiele für die Zerlegung.

Betrachten wir einige sehr häufige Fälle von Zersetzung.

1. Zerlege den gegebenen Vektor c in zwei Komponentenvektoren, von denen einer, zum Beispiel a, in Betrag und Richtung gegeben ist.

Das Problem wird auf die Bestimmung der Differenz zwischen zwei Vektoren reduziert. In der Tat, wenn die Vektoren Komponenten des Vektors c sind, dann die Gleichheit

Daraus wird der zweite Komponentenvektor ermittelt

2. Zerlege den gegebenen Vektor c in zwei Komponenten, von denen eine in einer gegebenen Ebene und die zweite auf einer gegebenen Geraden a liegen muss.

Um die Komponentenvektoren zu bestimmen, verschieben wir den Vektor c so, dass sein Anfang mit dem Schnittpunkt der gegebenen Geraden mit der Ebene zusammenfällt (Punkt O - siehe Abb. 18). Zeichnen Sie eine gerade Linie vom Ende des Vektors c (Punkt C) nach

Schnittpunkt mit der Ebene (B ist der Schnittpunkt), und dann zeichnen wir vom Punkt C aus eine gerade Linie parallel

Gesucht werden die Vektoren und, d.h. natürlich ist die angegebene Zerlegung möglich, wenn die Gerade a und die Ebene nicht parallel sind.

3. Drei koplanare Vektoren a, b und c sind gegeben, und die Vektoren sind nicht kollinear. Es ist erforderlich, den Vektor c in Vektoren zu zerlegen

Bringen wir alle drei gegebenen Vektoren zu einem Punkt O. Dann befinden sie sich aufgrund ihrer Koplanarität in derselben Ebene. Auf einem gegebenen Vektor c konstruieren wir wie auf einer Diagonalen ein Parallelogramm, dessen Seiten parallel zu den Wirkungslinien der Vektoren sind (Abb. 19). Diese Konstruktion ist immer möglich (es sei denn, die Vektoren sind kollinear) und eindeutig. Von Abb. 19 zeigt das

Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit Vektoren.
Basis von Vektoren. Affines Koordinatensystem

Im Publikum steht ein Wagen mit Pralinen, und heute bekommt jeder Besucher ein süßes Paar - analytische Geometrie mit linearer Algebra. Dieser Artikel wird gleich zwei Bereiche der höheren Mathematik berühren, und wir werden sehen, wie sie in einem Umschlag miteinander auskommen. Machen Sie eine Pause, essen Sie Twix! ... verdammt, na ja, Unsinn zu argumentieren. Obwohl okay, ich werde nicht punkten, am Ende sollte eine positive Einstellung zum Lernen da sein.

Lineare Abhängigkeit von Vektoren, lineare Unabhängigkeit von Vektoren, Vektorbasis und andere Begriffe haben nicht nur eine geometrische Interpretation, sondern vor allem algebraische bedeutung. Der eigentliche Begriff „Vektor“ aus Sicht der linearen Algebra ist bei weitem nicht immer der „gewöhnliche“ Vektor, den wir auf einer Ebene oder im Raum darstellen können. Sie müssen nicht lange nach Beweisen suchen, versuchen Sie, einen Vektor des fünfdimensionalen Raums zu zeichnen . Oder der Wettervektor, für den ich gerade zu Gismeteo gegangen bin: - Temperatur und Atmosphärendruck bzw. Das Beispiel ist natürlich aus Sicht der Eigenschaften des Vektorraums falsch, aber trotzdem verbietet niemand, diese Parameter als Vektor zu formalisieren. Hauch von Herbst...

Nein, ich werde Sie nicht mit Theorie langweilen, lineare Vektorräume, die Aufgabe ist es verstehe Definitionen und Theoreme. Die neuen Begriffe (lineare Abhängigkeit, Unabhängigkeit, Linearkombination, Basis usw.) gelten für alle Vektoren aus algebraischer Sicht, aber Beispiele werden geometrisch gegeben. So ist alles einfach, zugänglich und visuell. Neben den Problemen der analytischen Geometrie werden wir auch einige betrachten typische Aufgaben Algebra. Um den Stoff zu beherrschen, ist es ratsam, sich mit den Lektionen vertraut zu machen Vektoren für Dummies und Wie berechnet man die Determinante?

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Ebenenvektoren.
Ebene Basis und affines Koordinatensystem

Betrachten Sie die Ebene Ihres Computertisches (nur ein Tisch, Nachttisch, Boden, Decke, was immer Sie möchten). Die Aufgabe besteht aus den folgenden Aktionen:

1) Ebenenbasis auswählen. Grob gesagt hat die Tischplatte eine Länge und eine Breite, sodass intuitiv klar ist, dass zwei Vektoren benötigt werden, um die Basis zu bilden. Ein Vektor ist eindeutig zu wenig, drei Vektoren sind zu viel.

2) Basierend auf der gewählten Basis Koordinatensystem festlegen(Koordinatengitter), um allen Elementen auf dem Tisch Koordinaten zuzuweisen.

Seien Sie nicht überrascht, zunächst werden die Erklärungen an den Fingern liegen. Außerdem auf Ihrem. Bitte platzieren Zeigefinger der linken Hand am Rand der Tischplatte, sodass er auf den Monitor blickt. Dies wird ein Vektor sein. Jetzt platzieren kleiner Finger rechte Hand ebenso an der Tischkante - so dass es auf den Bildschirm gerichtet ist. Dies wird ein Vektor sein. Lächle, du siehst toll aus! Was kann man über Vektoren sagen? Datenvektoren kollinear, was bedeutet linear durcheinander ausgedrückt:
, naja, oder umgekehrt: , wobei eine Zahl ungleich Null ist.

Sie können ein Bild dieser Aktion in der Lektion sehen. Vektoren für Dummies , wo ich die Regel zum Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl erklärt habe.

Werden Ihre Finger die Basis auf der Ebene des Computertisches legen? Offensichtlich nicht. Kollineare Vektoren bewegen sich hin und her allein Richtung, während eine Ebene eine Länge und eine Breite hat.

Solche Vektoren werden genannt linear abhängig.

Bezug: Die Wörter "linear", "linear" bezeichnen die Tatsache, dass es in mathematischen Gleichungen, Ausdrücken keine Quadrate, Kubikzahlen, andere Potenzen, Logarithmen, Sinus usw. gibt. Es gibt nur lineare (1. Grades) Ausdrücke und Abhängigkeiten.

Zwei ebene Vektoren linear abhängig dann und nur dann wenn sie kollinear sind.

Kreuzen Sie Ihre Finger so auf dem Tisch, dass zwischen ihnen ein beliebiger Winkel außer 0 oder 180 Grad besteht. Zwei ebene Vektorenlinear nicht sind genau dann abhängig, wenn sie nicht kollinear sind. Die Basis ist also erhalten. Sie müssen sich nicht schämen, dass sich die Basis als "schräg" mit nicht rechtwinkligen Vektoren unterschiedlicher Länge herausstellte. Sehr bald werden wir sehen, dass nicht nur ein Winkel von 90 Grad zu seiner Konstruktion geeignet ist, und nicht nur Einheitsvektoren gleicher Länge

Beliebig Ebene Vektor der einzige Weg erweitert in Bezug auf die Basis:
, wo - reale Nummern. Nummern werden angerufen Vektorkoordinaten auf dieser Grundlage.

Das sagen sie auch Vektorim Formular dargestellt lineare Kombination Basisvektoren. Das heißt, der Ausdruck wird aufgerufen VektorzerlegungBasis oder lineare Kombination Basisvektoren.

Zum Beispiel kann man sagen, dass ein Vektor in einer orthonormalen Basis der Ebene entwickelt wird, oder man kann sagen, dass er als Linearkombination von Vektoren dargestellt wird.

Lassen Sie uns formulieren Basisdefinition formal: Ebene Basis ist ein Paar linear unabhängiger (nichtkollinearer) Vektoren , , dabei beliebig der Ebenenvektor ist eine Linearkombination der Basisvektoren.

Der wesentliche Punkt der Definition ist die Tatsache, dass die Vektoren genommen werden in einer bestimmten Reihenfolge. Basen Das sind zwei völlig unterschiedliche Basen! Wie sie sagen, kann der kleine Finger der linken Hand nicht an die Stelle des kleinen Fingers der rechten Hand bewegt werden.

Wir haben die Grundlage herausgefunden, aber es reicht nicht aus, das Koordinatengitter festzulegen und jedem Element auf Ihrem Computertisch Koordinaten zuzuweisen. Warum nicht genug? Die Vektoren sind frei und wandern über die gesamte Ebene. Wie ordnen Sie also diesen kleinen schmutzigen Tischpunkten Koordinaten zu, die von einem wilden Wochenende übrig geblieben sind? Ein Ausgangspunkt ist erforderlich. Und ein solcher Referenzpunkt ist ein Punkt, der jedem bekannt ist - der Koordinatenursprung. Das Koordinatensystem verstehen:

Ich beginne mit dem „Schulsystem“. Bereits in der Einführungsstunde Vektoren für Dummies Ich habe einige der Unterschiede zwischen einem rechtwinkligen Koordinatensystem und einer orthonormalen Basis hervorgehoben. Hier das Standardbild:

Wenn man darüber spricht rechtwinkliges Koordinatensystem, dann bedeuten sie meistens den Ursprung, die Koordinatenachsen und den Maßstab entlang der Achsen. Versuchen Sie, „rechteckiges Koordinatensystem“ in die Suchmaschine einzugeben, und Sie werden sehen, dass viele Quellen Sie über die Koordinatenachsen informieren, die Sie aus der 5. bis 6. Klasse kennen, und wie Sie Punkte auf einer Ebene zeichnen.

Andererseits scheint es so rechteckiges System Koordinaten können in Bezug auf eine orthonormale Basis bestimmt werden. Und das ist es fast. Der Wortlaut geht so:

Ursprung, und orthonormal Basissatz Kartesisches Koordinatensystem der Ebene . Das heißt, ein rechtwinkliges Koordinatensystem bestimmt wird durch einen einzelnen Punkt und zwei orthogonale Einheitsvektoren definiert. Aus diesem Grund sehen Sie die Zeichnung, die ich oben gegeben habe - bei geometrischen Problemen werden häufig (aber bei weitem nicht immer) sowohl Vektoren als auch Koordinatenachsen gezeichnet.

Ich denke, jeder versteht das mit Hilfe eines Punktes (Ursprungs) und einer orthonormalen Basis JEDER PUNKT des Flugzeugs und JEDER VEKTOR des Flugzeugs Koordinaten zugeordnet werden können. Bildlich gesprochen: "Alles im Flugzeug kann nummeriert werden."

Müssen Koordinatenvektoren eine Einheit sein? Nein, sie können eine beliebige Länge ungleich Null haben. Betrachten Sie einen Punkt und zwei orthogonale Vektoren beliebiger Länge ungleich Null:

Eine solche Basis heißt senkrecht. Der Koordinatenursprung mit Vektoren definiert das Koordinatengitter, und jeder Punkt der Ebene, jeder Vektor hat seine eigenen Koordinaten in der gegebenen Basis. Zum Beispiel, oder. Der offensichtliche Nachteil ist, dass die Koordinatenvektoren Im Algemeinen andere Längen als Eins haben. Wenn die Längen gleich eins sind, wird die übliche orthonormale Basis erhalten.

! Notiz : in der orthogonalen Basis und auch unten in affine Basen Ebenen- und Raumeinheiten entlang der Achsen werden berücksichtigt BEDINGT. Beispielsweise enthält eine Einheit auf der Abszisse 4 cm, eine Einheit auf der Ordinate 2 cm. Diese Information reicht aus, um „nicht standardmäßige“ Koordinaten bei Bedarf in „unsere üblichen Zentimeter“ umzurechnen.

Und die zweite Frage, die eigentlich schon beantwortet wurde – ist der Winkel zwischen den Basisvektoren notwendigerweise gleich 90 Grad? Nein! Wie die Definition sagt, müssen Basisvektoren sein nur nicht kollinear. Dementsprechend kann der Winkel alles außer 0 und 180 Grad sein.

Ein Punkt im Flugzeug hat angerufen Ursprung, und nicht kollinear Vektoren , , einstellen affines Koordinatensystem der Ebene :

Manchmal wird dieses Koordinatensystem aufgerufen schräg System. In der Zeichnung sind beispielhaft Punkte und Vektoren dargestellt:

Wie Sie verstehen, ist das affine Koordinatensystem noch weniger praktisch, die Formeln für die Längen von Vektoren und Segmenten, die wir im zweiten Teil der Lektion betrachtet haben, funktionieren darin nicht. Vektoren für Dummies , viele köstliche Formeln im Zusammenhang mit Skalarprodukt von Vektoren . Aber die Regeln zum Addieren von Vektoren und Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl sind gültig, diesbezügliche Segmentteilungsformeln, sowie einige andere Arten von Aufgaben, die wir uns in Kürze ansehen werden.

Und die Schlussfolgerung ist, dass der bequemste Sonderfall eines affinen Koordinatensystems das kartesische rechtwinklige System ist. Daher muss sie, ihre eigene, am häufigsten gesehen werden. ... Allerdings ist alles in diesem Leben relativ - es gibt viele Situationen, in denen es angebracht ist, einen schrägen (oder einen anderen, z. Polar-) Koordinatensystem. Ja, und Humanoiden mögen solche Systeme auf den Geschmack kommen =)

Kommen wir zum praktischen Teil. Alle Aufgaben diese Lektion gelten sowohl für ein rechtwinkliges Koordinatensystem als auch für den allgemeinen affinen Fall. Hier gibt es nichts Kompliziertes, das gesamte Material steht sogar einem Schüler zur Verfügung.

Wie bestimmt man die Kollinearität von Ebenenvektoren?

Typische Sache. Damit zwei Ebenenvektoren kollinear sind, ist es notwendig und ausreichend, dass ihre jeweiligen Koordinaten proportional sind. Im Wesentlichen ist dies eine koordinatenweise Verfeinerung der offensichtlichen Beziehung .

Beispiel 1

a) Prüfen Sie, ob die Vektoren kollinear sind .
b) Bilden Vektoren eine Basis? ?

Entscheidung:
a) Finden Sie heraus, ob es für Vektoren existiert Proportionalitätskoeffizient, so dass Gleichheiten erfüllt sind:

Ich werde Ihnen auf jeden Fall von der „foppigen“ Version der Anwendung dieser Regel erzählen, die in der Praxis recht gut funktioniert. Die Idee ist, sofort eine Proportion zu erstellen und zu sehen, ob sie richtig ist:

Machen wir eine Proportion aus den Verhältnissen der entsprechenden Koordinaten der Vektoren:

Wir kürzen:
, also sind die entsprechenden Koordinaten proportional, also

Die Beziehung könnte hergestellt werden und umgekehrt, dies ist eine gleichwertige Option:

Zum Selbsttest kann man sich zunutze machen, dass kollineare Vektoren linear durcheinander ausgedrückt werden. In diesem Fall gibt es Gleichheiten . Ihre Gültigkeit lässt sich leicht durch elementare Operationen mit Vektoren überprüfen:

b) Zwei ebene Vektoren bilden eine Basis, wenn sie nicht kollinear (linear unabhängig) sind. Wir untersuchen Vektoren auf Kollinearität . Lassen Sie uns ein System erstellen:

Aus der ersten Gleichung folgt , aus der zweiten Gleichung folgt , was bedeutet, Das System ist inkonsistent (keine Lösungen). Somit sind die entsprechenden Koordinaten der Vektoren nicht proportional.

Fazit: die Vektoren sind linear unabhängig und bilden eine Basis.

Eine vereinfachte Version der Lösung sieht so aus:

Bilden Sie den Anteil aus den entsprechenden Koordinaten der Vektoren :
, daher sind diese Vektoren linear unabhängig und bilden eine Basis.

Normalerweise lehnen Gutachter diese Option nicht ab, aber ein Problem tritt in Fällen auf, in denen einige Koordinaten gleich Null sind. So: . Oder so: . Oder so: . Wie kann man hier die Proportion durcharbeiten? (Wirklich, Sie können nicht durch Null dividieren). Aus diesem Grund habe ich die vereinfachte Lösung "foppish" genannt.

Antworten: a) , b) bilden.

Klein kreatives Beispiel für unabhängige Lösung:

Beispiel 2

Bei welchem ​​Wert der Parametervektoren wird kollinear sein?

In der Probenlösung wird der Parameter durch den Anteil gefunden.

Es gibt einen eleganten algebraischen Weg, um Vektoren auf Kollinearität zu überprüfen. Systematisieren wir unser Wissen und fügen es einfach als fünften Punkt hinzu:

Für zwei Ebenenvektoren sind die folgenden Aussagen äquivalent:

2) Vektoren bilden eine Basis;
3) die Vektoren sind nicht kollinear;

+ 5) die Determinante, zusammengesetzt aus den Koordinaten dieser Vektoren, ist ungleich Null.

Bzw, die folgenden entgegengesetzten Aussagen sind äquivalent:
1) Vektoren sind linear abhängig;
2) Vektoren bilden keine Basis;
3) die Vektoren sind kollinear;
4) Vektoren können linear durcheinander ausgedrückt werden;
+ 5) die Determinante, zusammengesetzt aus den Koordinaten dieser Vektoren, gleich Null ist.

Das hoffe ich wirklich sehr dieser Moment Sie verstehen bereits alle getroffenen Begriffe und Aussagen.

Schauen wir uns den neuen, fünften Punkt genauer an: zwei Ebenenvektoren sind genau dann kollinear, wenn die aus den Koordinaten der gegebenen Vektoren zusammengesetzte Determinante gleich Null ist:. Um diese Funktion nutzen zu können, müssen Sie natürlich dazu in der Lage sein Determinanten finden .

Wir werden entscheiden Beispiel 1 im zweiten Weg:

a) Berechnen Sie die Determinante, die sich aus den Koordinaten der Vektoren zusammensetzt :
, also sind diese Vektoren kollinear.

b) Zwei ebene Vektoren bilden eine Basis, wenn sie nicht kollinear (linear unabhängig) sind. Lassen Sie uns die Determinante berechnen, die sich aus den Koordinaten der Vektoren zusammensetzt :
, also sind die Vektoren linear unabhängig und bilden eine Basis.

Antworten: a) , b) bilden.

Es sieht viel kompakter und hübscher aus als die Lösung mit Proportionen.

Mit Hilfe des betrachteten Materials ist es möglich, nicht nur die Kollinearität von Vektoren festzustellen, sondern auch die Parallelität von Segmenten, geraden Linien, zu beweisen. Betrachten Sie einige Probleme mit bestimmten geometrischen Formen.

Beispiel 3

Eckpunkte eines Vierecks sind gegeben. Beweisen Sie, dass das Viereck ein Parallelogramm ist.

Nachweisen: Es ist nicht erforderlich, eine Zeichnung in das Problem einzubauen, da die Lösung rein analytisch ist. Denken Sie an die Definition eines Parallelogramms:
Parallelogramm Man nennt ein Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind.

Es gilt also zu beweisen:
1) Parallelität der gegenüberliegenden Seiten und;
2) Parallelität der gegenüberliegenden Seiten und .

Wir beweisen:

1) Finden Sie die Vektoren:

2) Finden Sie die Vektoren:

Das Ergebnis ist derselbe Vektor („nach Schule“ - gleiche Vektoren). Kollinearität ist ziemlich offensichtlich, aber es ist besser, die Entscheidung richtig zu treffen, mit der Anordnung. Berechnen Sie die Determinante, die sich aus den Koordinaten der Vektoren zusammensetzt:
, also sind diese Vektoren kollinear, und .

Fazit: gegenüberliegende Seiten Vierecke sind paarweise parallel, also ist es per Definition ein Parallelogramm. Q.E.D.

Weitere gute und andere Figuren:

Beispiel 4

Eckpunkte eines Vierecks sind gegeben. Beweisen Sie, dass das Viereck ein Trapez ist.

Für eine strengere Formulierung des Beweises ist es natürlich besser, die Definition eines Trapezes zu erhalten, aber es reicht aus, sich nur daran zu erinnern, wie es aussieht.

Dies ist eine Aufgabe zur eigenständigen Entscheidung. Vollständige Lösung am Ende der Lektion.

Und jetzt geht es langsam vom Flugzeug ins All:

Wie bestimmt man die Kollinearität von Raumvektoren?

Die Regel ist sehr ähnlich. Damit zwei Raumvektoren kollinear sind, notwendig und ausreichend so dass ihre jeweiligen Koordinaten proportional sind.

Beispiel 5

Finden Sie heraus, ob die folgenden Raumvektoren kollinear sind:

a) ;
b)
in)

Entscheidung:
a) Prüfen Sie, ob es einen Proportionalitätskoeffizienten für die entsprechenden Koordinaten der Vektoren gibt:

Das System hat keine Lösung, was bedeutet, dass die Vektoren nicht kollinear sind.

„Vereinfacht“ wird durch Ankreuzen des Anteils erkannt. In diesem Fall:
– die entsprechenden Koordinaten sind nicht proportional, was bedeutet, dass die Vektoren nicht kollinear sind.

Antworten: die Vektoren sind nicht kollinear.

b-c) Dies sind Punkte für eine unabhängige Entscheidung. Probieren Sie es auf zwei Arten aus.

Es gibt eine Methode zur Überprüfung von Raumzeigern auf Kollinearität und durch eine Determinante dritter Ordnung, Hier entlang im Artikel behandelt Kreuzprodukt von Vektoren .

Ähnlich wie im ebenen Fall können die betrachteten Werkzeuge verwendet werden, um die Parallelität von räumlichen Segmenten und Linien zu untersuchen.

Willkommen im zweiten Abschnitt:

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von dreidimensionalen Raumvektoren.
Raumbasis und affines Koordinatensystem

Viele der Gesetzmäßigkeiten, die wir im Flugzeug berücksichtigt haben, gelten auch für den Weltraum. Ich habe versucht, die Zusammenfassung der Theorie zu minimieren, da der Löwenanteil der Informationen bereits gekaut wurde. Trotzdem empfehle ich Ihnen, den einleitenden Teil sorgfältig zu lesen, da neue Begriffe und Konzepte auftauchen werden.

Betrachten wir nun statt der Ebene des Computertisches den dreidimensionalen Raum. Lassen Sie uns zuerst seine Basis schaffen. Jemand ist jetzt drinnen, jemand ist draußen, aber wir kommen sowieso nicht um drei Dimensionen herum: Breite, Länge und Höhe. Daher sind drei räumliche Vektoren erforderlich, um die Basis zu konstruieren. Ein oder zwei Vektoren reichen nicht aus, der vierte ist überflüssig.

Und wieder wärmen wir uns an den Fingern auf. Bitte heben Sie Ihre Hand und breiten Sie sie in verschiedene Richtungen aus Daumen, Zeige- und Mittelfinger. Dies werden Vektoren sein, sie schauen in verschiedene Richtungen, haben unterschiedliche Längen und haben unterschiedliche Winkel zwischen sich. Herzlichen Glückwunsch, die Basis des dreidimensionalen Raums ist fertig! Das muss man den Lehrern übrigens nicht demonstrieren, egal wie man mit den Fingern dreht, aber um Definitionen kommt man nicht herum =)

Als nächstes stellen wir eine wichtige Frage, ob irgendwelche drei Vektoren eine Basis eines dreidimensionalen Raums bilden? Bitte drücken Sie drei Finger fest auf die Computertischplatte. Was ist passiert? Drei Vektoren befinden sich in derselben Ebene, und grob gesagt haben wir eine der Messungen verloren - die Höhe. Solche Vektoren sind koplanar und ganz offensichtlich, dass die Basis des dreidimensionalen Raums nicht geschaffen wird.

Es sollte beachtet werden, dass koplanare Vektoren nicht in derselben Ebene liegen müssen, sie können in parallelen Ebenen liegen (mach das nur nicht mit den Fingern, nur Salvador Dali kam so raus =)).

Definition: Vektoren aufgerufen werden koplanar wenn es eine Ebene gibt, zu der sie parallel sind. Hier ist es logisch hinzuzufügen, dass die Vektoren nicht koplanar sind, wenn eine solche Ebene nicht existiert.

Drei koplanare Vektoren sind immer linear abhängig, das heißt, sie werden linear durcheinander ausgedrückt. Stellen Sie sich der Einfachheit halber wieder vor, dass sie in derselben Ebene liegen. Erstens sind Vektoren nicht nur koplanar, sondern können auch kollinear sein, dann kann jeder Vektor durch jeden Vektor ausgedrückt werden. Im zweiten Fall, wenn beispielsweise die Vektoren nicht kollinear sind, wird der dritte Vektor durch sie eindeutig ausgedrückt: (und warum ist aus den Materialien des vorherigen Abschnitts leicht zu erraten).

Auch die Umkehrung gilt: drei nicht koplanare Vektoren sind immer linear unabhängig, das heißt, sie werden in keiner Weise durcheinander ausgedrückt. Und natürlich können nur solche Vektoren die Grundlage eines dreidimensionalen Raums bilden.

Definition: Die Grundlage des dreidimensionalen Raums heißt Tripel linear unabhängiger (nicht koplanarer) Vektoren, in einer bestimmten Reihenfolge aufgenommen, während jeder Vektor des Raums der einzige Weg expandiert in der gegebenen Basis , wobei die Koordinaten des Vektors in der gegebenen Basis sind

Zur Erinnerung können Sie auch sagen, dass ein Vektor dargestellt wird als lineare Kombination Basisvektoren.

Der Begriff des Koordinatensystems wird genauso eingeführt wie für den ebenen Fall, es genügen ein Punkt und drei beliebige linear unabhängige Vektoren:

Ursprung, und nicht koplanar Vektoren , in einer bestimmten Reihenfolge aufgenommen, einstellen affines Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums :

Natürlich ist das Koordinatengitter "schräg" und unpraktisch, aber das konstruierte Koordinatensystem erlaubt es uns trotzdem bestimmt Bestimmen Sie die Koordinaten eines beliebigen Vektors und die Koordinaten eines beliebigen Punktes im Raum. Ähnlich wie in der Ebene funktionieren im affinen Koordinatensystem des Raums einige Formeln, die ich bereits erwähnt habe, nicht.

Der bekannteste und praktischste Spezialfall eines affinen Koordinatensystems ist, wie jeder erraten kann, rechteckiges Raumkoordinatensystem:

Punkt im Raum genannt Ursprung, und orthonormal Basissatz Kartesisches Koordinatensystem des Raumes . bekanntes Bild:

Bevor wir zu praktischen Aufgaben übergehen, systematisieren wir die Informationen erneut:

Für drei Raumvektoren sind die folgenden Aussagen äquivalent:
1) die Vektoren sind linear unabhängig;
2) Vektoren bilden eine Basis;
3) die Vektoren sind nicht koplanar;
4) Vektoren können nicht linear durcheinander ausgedrückt werden;
5) die Determinante, die sich aus den Koordinaten dieser Vektoren zusammensetzt, ist von Null verschieden.

Gegenteilige Aussagen, denke ich, sind verständlich.

Die lineare Abhängigkeit / Unabhängigkeit von Raumzeigern wird traditionell mit der Determinante (Punkt 5) überprüft. Verbleibend praktische Aufgaben wird einen ausgeprägten algebraischen Charakter haben. Es ist Zeit, einen geometrischen Stock an einen Nagel zu hängen und einen Baseballschläger für lineare Algebra zu schwingen:

Drei Raumvektoren sind genau dann koplanar, wenn die aus den Koordinaten der gegebenen Vektoren zusammengesetzte Determinante gleich Null ist: .

Ich mache Sie auf eine kleine technische Nuance aufmerksam: Die Koordinaten von Vektoren können nicht nur in Spalten, sondern auch in Zeilen geschrieben werden (der Wert der Determinante ändert sich dadurch nicht - siehe unten). Eigenschaften von Determinanten). Aber es ist viel besser in Spalten, da es für die Lösung einiger praktischer Probleme vorteilhafter ist.

Für diejenigen Leser, die die Methoden zur Berechnung von Determinanten ein wenig vergessen haben oder vielleicht überhaupt schlecht orientiert sind, empfehle ich eine meiner ältesten Lektionen: Wie berechnet man die Determinante?

Beispiel 6

Prüfen Sie, ob die folgenden Vektoren eine Basis eines dreidimensionalen Raums bilden:

Entscheidung: Tatsächlich läuft die ganze Lösung darauf hinaus, die Determinante zu berechnen.

a) Berechnen Sie die Determinante, zusammengesetzt aus den Koordinaten der Vektoren (die Determinante wird in der ersten Zeile erweitert):

, was bedeutet, dass die Vektoren linear unabhängig (nicht koplanar) sind und die Grundlage eines dreidimensionalen Raums bilden.

Antworten: diese Vektoren bilden die Basis

b) Dies ist ein Punkt für eine unabhängige Entscheidung. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

treffen und kreative Aufgaben:

Beispiel 7

Bei welchem ​​Wert des Parameters sind die Vektoren koplanar?

Entscheidung: Vektoren sind genau dann koplanar, wenn die aus den Koordinaten der gegebenen Vektoren zusammengesetzte Determinante gleich Null ist:

Im Wesentlichen ist es erforderlich, eine Gleichung mit einer Determinante zu lösen. Wir fliegen in Nullen wie Drachen in Springmäuse - es ist am rentabelsten, die Determinante in der zweiten Zeile zu öffnen und die Minuspunkte sofort loszuwerden:

Wir nehmen weitere Vereinfachungen vor und reduzieren die Materie auf das Einfachste Lineargleichung:

Antworten: bei

Dies ist hier leicht zu überprüfen, dazu müssen Sie den resultierenden Wert in die ursprüngliche Determinante einsetzen und sicherstellen, dass dies der Fall ist durch Wiedereröffnung.

Betrachten wir abschließend ein weiteres typisches Problem, das eher algebraischer Natur ist und traditionell in den Kurs der linearen Algebra einbezogen wird. Es ist so häufig, dass es ein separates Thema verdient:

Beweisen Sie, dass 3 Vektoren eine Basis eines dreidimensionalen Raums bilden
und finde die Koordinaten des 4. Vektors in der gegebenen Basis

Beispiel 8

Vektoren sind gegeben. Zeigen Sie, dass die Vektoren eine Basis des dreidimensionalen Raums bilden und finden Sie die Koordinaten des Vektors in dieser Basis.

Entscheidung: Beschäftigen wir uns zuerst mit der Bedingung. Als Bedingung werden vier Vektoren angegeben, und wie Sie sehen können, haben sie bereits Koordinaten in irgendeiner Basis. Was ist die Grundlage - es interessiert uns nicht. Und folgendes ist interessant: Es können sich durchaus drei Vektoren bilden neue Grundlage. Und der erste Schritt ist völlig identisch mit der Lösung von Beispiel 6, es muss überprüft werden, ob die Vektoren wirklich linear unabhängig sind:

Berechnen Sie die Determinante, die sich aus den Koordinaten der Vektoren zusammensetzt:

, daher sind die Vektoren linear unabhängig und bilden eine Basis eines dreidimensionalen Raums.

! Wichtig : Vektorkoordinaten Notwendig aufschreiben in Spalten Determinante, nicht Strings. Sonst gibt es Verwirrung im weiteren Lösungsalgorithmus.