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Schlüsselwörter: integrales, krummliniges Trapez, von Lilien begrenzter Figurenbereich

Ausrüstung: Markierungstafel, Computer, Multimedia-Projektor

Unterrichtsart: Unterrichtsvorlesung

Unterrichtsziele:

  • pädagogisch: eine Kultur der geistigen Arbeit zu schaffen, eine Erfolgssituation für jeden Schüler zu schaffen und eine positive Lernmotivation zu schaffen; die Fähigkeit entwickeln, mit anderen zu sprechen und ihnen zuzuhören.
  • Entwicklung: Bildung des unabhängigen Denkens des Schülers bei der Anwendung von Wissen in verschiedenen Situationen, Fähigkeit zur Analyse und Schlussfolgerungen, Entwicklung der Logik, Entwicklung der Fähigkeit, Fragen richtig zu stellen und Antworten darauf zu finden. Verbesserung der Bildung von Rechen- und Rechenfähigkeiten, Entwicklung des Denkens der Schüler bei der Erledigung vorgeschlagener Aufgaben, Entwicklung einer algorithmischen Kultur.
  • pädagogisch: Konzepte über ein krummliniges Trapez, über ein Integral zu bilden, die Fähigkeiten zur Berechnung der Flächen ebener Figuren zu beherrschen

Lehrmethode: erklärend und anschaulich.

Unterrichtsfortschritt

In früheren Kursen haben wir gelernt, die Flächen von Figuren zu berechnen, deren Grenzen vieleckige Linien sind. In der Mathematik gibt es Methoden, mit denen sich die Flächen von durch Kurven begrenzten Figuren berechnen lassen. Solche Figuren werden krummlinige Trapeze genannt und ihre Fläche wird mithilfe von Stammfunktionen berechnet.

Krummliniges Trapez ( Folie 1)

Ein gekrümmtes Trapez ist eine durch den Graphen einer Funktion begrenzte Figur ( sh.m.), gerade x = ein Und x = b und x-Achse

Verschiedene Arten gebogener Trapeze ( Folie 2)

Wir betrachten verschiedene Arten von krummlinigen Trapezen und stellen fest: Eine der Geraden ist zu einem Punkt entartet, die Rolle der begrenzenden Funktion übernimmt die Gerade

Fläche eines gebogenen Trapezes (Folie 3)

Lassen Sie uns das linke Ende des Intervalls festlegen A, und das Richtige X wir werden uns verändern, d. h. wir verschieben die rechte Wand des krummlinigen Trapezes und erhalten eine sich verändernde Figur. Die Fläche eines variablen krummlinigen Trapezes, das durch den Funktionsgraphen begrenzt wird, ist eine Stammfunktion F für Funktion F

Und auf dem Segment [ A; B] Fläche eines durch die Funktion gebildeten krummlinigen Trapezes F, ist gleich dem Inkrement der Stammfunktion dieser Funktion:

Aufgabe 1:

Finden Sie die Fläche eines krummlinigen Trapezes, das durch den Funktionsgraphen begrenzt wird: f(x) = x 2 und gerade y = 0, x = 1, x = 2.

Lösung: ( gemäß dem Algorithmus Folie 3)

Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion und der Linien zeichnen

Finden wir eine der Stammfunktionen der Funktion f(x) = x 2 :

Selbsttest auf Folie

Integral

Betrachten Sie ein durch die Funktion definiertes krummliniges Trapez F auf dem Segment [ A; B]. Teilen wir dieses Segment in mehrere Teile auf. Die Fläche des gesamten Trapezes wird durch die Summe der Flächen kleinerer gebogener Trapeze geteilt. ( Folie 5). Jedes dieser Trapeze kann ungefähr als Rechteck betrachtet werden. Die Summe der Flächen dieser Rechtecke gibt eine ungefähre Vorstellung von der gesamten Fläche des gebogenen Trapezes. Je kleiner wir das Segment teilen [ A; B], desto genauer berechnen wir die Fläche.

Schreiben wir diese Argumente in Form von Formeln.

Teilen Sie das Segment [ A; B] durch Punkte in n Teile zerlegen x 0 = a, x1,…, xn = b. Länge k- Th bezeichnen mit xk = xk – xk-1. Machen wir eine Summe

Geometrisch stellt diese Summe die Fläche der in der Abbildung schattierten Figur dar ( sh.m.)

Summen der Form heißen Integralsummen für die Funktion F. (sh.m.)

Integrale Summen geben einen ungefähren Wert der Fläche an. Den genauen Wert erhält man durch den Übergang zum Grenzwert. Stellen wir uns vor, wir verfeinern die Aufteilung des Segments [ A; B], sodass die Längen aller kleinen Segmente gegen Null tendieren. Dann nähert sich die Fläche der zusammengesetzten Figur der Fläche des gebogenen Trapezes. Wir können sagen, dass die Fläche eines gekrümmten Trapezes gleich dem Grenzwert der Integralsummen ist, Sc.t. (sh.m.) oder Integral, d. h.

Definition:

Integral einer Funktion f(x) aus A Zu B wird Grenzwert ganzzahliger Summen genannt

= (sh.m.)

Newton-Leibniz-Formel.

Wir erinnern uns, dass der Grenzwert ganzzahliger Summen gleich der Fläche eines krummlinigen Trapezes ist, was bedeutet, dass wir schreiben können:

Sc.t. = (sh.m.)

Andererseits wird die Fläche eines gebogenen Trapezes durch die Formel berechnet

S k.t. (sh.m.)

Wenn wir diese Formeln vergleichen, erhalten wir:

= (sh.m.)

Diese Gleichheit wird Newton-Leibniz-Formel genannt.

Zur Vereinfachung der Berechnung wird die Formel wie folgt geschrieben:

= = (sh.m.)

Aufgaben: (sh.m.)

1. Berechnen Sie das Integral mit der Newton-Leibniz-Formel: ( Sehen Sie sich Folie 5 an)

2. Stellen Sie Integrale gemäß der Zeichnung zusammen ( Sehen Sie sich Folie 6 an)

3. Finden Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien begrenzt wird: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Folie 7)

Ermitteln der Flächen von ebenen Figuren ( Folie 8)

Wie finde ich die Fläche von Figuren, die keine gekrümmten Trapeze sind?

Gegeben seien zwei Funktionen, deren Graphen Sie auf der Folie sehen . (sh.m.) Finden Sie die Fläche der schattierten Figur . (sh.m.). Handelt es sich bei der Figur um ein gebogenes Trapez? Wie kann man seine Fläche mithilfe der Eigenschaft der Flächenadditivität ermitteln? Betrachten Sie zwei gekrümmte Trapeze und subtrahieren Sie die Fläche des anderen von der Fläche eines von ihnen ( sh.m.)

Erstellen wir einen Algorithmus zum Finden des Bereichs mithilfe einer Animation auf einer Folie:

  1. Graphfunktionen
  2. Projizieren Sie die Schnittpunkte der Diagramme auf die x-Achse
  3. Schattieren Sie die Zahl, die Sie erhalten, wenn sich die Diagramme schneiden
  4. Finden Sie krummlinige Trapeze, deren Schnittpunkt oder Vereinigung die gegebene Figur ist.
  5. Berechnen Sie die Fläche jedes einzelnen von ihnen
  6. Finden Sie die Differenz oder Summe der Flächen

Mündliche Aufgabe: So ermitteln Sie die Fläche einer schattierten Figur (erzählen Sie mithilfe einer Animation, Folie 8 und 9)

Hausaufgaben: Arbeiten Sie die Notizen Nr. 353 (a), Nr. 364 (a) durch.

Referenzen

  1. Algebra und die Anfänge der Analysis: ein Lehrbuch für die Klassen 9-11 der Abend-(Schicht-)Schule / Hrsg. G.D. Glaser. - M: Aufklärung, 1983.
  2. Baschmakow M.I. Algebra und die Anfänge der Analysis: ein Lehrbuch für die Klassen 10-11 der Sekundarschule / Bashmakov M.I. - M: Aufklärung, 1991.
  3. Baschmakow M.I. Mathematik: Lehrbuch für beginnende Institutionen. und Mittwoch Prof. Bildung / M.I. Baschmakow. - M: Akademie, 2010.
  4. Kolmogorov A.N. Algebra und Anfänge der Analysis: Lehrbuch für die Klassen 10-11. Bildungseinrichtungen / A.N. Kolmogorov. - M: Bildung, 2010.
  5. Ostrovsky S.L. Wie erstelle ich eine Präsentation für eine Unterrichtsstunde?/ S.L. Ostrowski. – M.: 1. September 2010.

    Dieser Begriff hat andere Bedeutungen, siehe Trapez (Bedeutungen). Trapez (aus dem anderen Griechischen τραπέζιον „Tisch“; ... Wikipedia

    Die I-Fläche ist eine der Hauptgrößen für geometrische Formen. Im einfachsten Fall wird sie anhand der Anzahl der Einheitsquadrate gemessen, die eine flache Figur füllen, also Quadrate mit einer Seitenlänge gleich einer Längeneinheit. Berechnung von P.... ...

    Methoden zur Erlangung numerischer Lösungen verschiedener Probleme mittels grafischer Konstruktionen. G.v. (grafische Multiplikation, grafische Lösung von Gleichungen, grafische Integration usw.) stellen ein System von Konstruktionen dar, die sich wiederholen oder ersetzen... ... Große sowjetische Enzyklopädie

    Fläche, eine der Hauptgrößen im Zusammenhang mit geometrischen Formen. Im einfachsten Fall wird sie anhand der Anzahl der Einheitsquadrate gemessen, die eine flache Figur füllen, also Quadrate mit einer Seitenlänge gleich einer Längeneinheit. Die Berechnung von P. erfolgte bereits in der Antike... ... Große sowjetische Enzyklopädie

    Der Satz von Green stellt einen Zusammenhang zwischen einem krummlinigen Integral über einer geschlossenen Kontur C und einem Doppelintegral über einem von dieser Kontur begrenzten Bereich D her. Tatsächlich ist dieser Satz ein Sonderfall des allgemeineren Satzes von Stokes. Der Satz ist in ... Wikipedia benannt

Problem 1(über die Berechnung der Fläche eines gekrümmten Trapezes).

Im kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem xOy ist eine durch die x-Achse begrenzte Figur (siehe Abbildung) gegeben, gerade Linien x = a, x = b (ein gekrümmtes Trapez). Es ist erforderlich, die Fläche des gekrümmten Trapezes zu berechnen.
Lösung. Die Geometrie gibt uns Rezepte zur Berechnung der Flächen von Polygonen und einigen Teilen eines Kreises (Sektor, Segment). Mithilfe geometrischer Überlegungen können wir mit folgender Überlegung nur einen ungefähren Wert für die benötigte Fläche ermitteln.

Teilen wir das Segment [a; b] (Basis eines gebogenen Trapezes) in n gleiche Teile; Diese Aufteilung erfolgt unter Verwendung der Punkte x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Zeichnen wir durch diese Punkte gerade Linien parallel zur y-Achse. Dann wird das gegebene krummlinige Trapez in n Teile, in n schmale Spalten, unterteilt. Die Fläche des gesamten Trapezes ist gleich der Summe der Flächen der Säulen.

Betrachten wir die k-te Spalte separat, d.h. ein gebogenes Trapez, dessen Basis ein Segment ist. Ersetzen wir es durch ein Rechteck mit derselben Grundfläche und Höhe gleich f(x k) (siehe Abbildung). Die Fläche des Rechtecks ​​​​ist gleich \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), wobei \(\Delta x_k \) die Länge des Segments ist; Es ist selbstverständlich, das resultierende Produkt als ungefähren Wert der Fläche der k-ten Spalte zu betrachten.

Wenn wir nun mit allen anderen Spalten dasselbe machen, kommen wir zu folgendem Ergebnis: Die Fläche S eines gegebenen krummlinigen Trapezes ist ungefähr gleich der Fläche S n einer Stufenfigur aus n Rechtecken (siehe Abbildung):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Aus Gründen der Einheitlichkeit der Notation gehen wir hier davon aus, dass a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) – Länge des Segments, \(\Delta x_1 \) – Länge des Segments usw.; in diesem Fall gilt, wie wir oben vereinbart haben, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Also gilt \(S \ approx S_n \), und diese ungefähre Gleichheit ist umso genauer, je größer n ist.
Per Definition wird angenommen, dass die erforderliche Fläche eines krummlinigen Trapezes gleich dem Grenzwert der Folge (S n) ist:
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problem 2(über das Verschieben eines Punktes)
Ein materieller Punkt bewegt sich geradlinig. Die Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit wird durch die Formel v = v(t) ausgedrückt. Finden Sie die Bewegung eines Punktes über einen bestimmten Zeitraum [a; B].
Lösung. Wäre die Bewegung gleichmäßig, dann wäre das Problem ganz einfach zu lösen: s = vt, d.h. s = v(b-a). Bei ungleichmäßiger Bewegung müssen Sie dieselben Ideen verwenden, auf denen die Lösung des vorherigen Problems basierte.
1) Teilen Sie das Zeitintervall [a; b] in n gleiche Teile.
2) Betrachten Sie einen Zeitraum und gehen Sie davon aus, dass die Geschwindigkeit während dieses Zeitraums konstant war, genau wie zum Zeitpunkt t k. Wir nehmen also an, dass v = v(t k).
3) Lassen Sie uns den ungefähren Wert der Bewegung des Punktes über einen bestimmten Zeitraum ermitteln. Wir bezeichnen diesen ungefähren Wert als s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Ermitteln Sie den ungefähren Wert der Verschiebung s:
\(s \ approx S_n \) wobei
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Die erforderliche Verschiebung ist gleich dem Grenzwert der Folge (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Fassen wir zusammen. Lösungen für verschiedene Probleme wurden auf dasselbe mathematische Modell reduziert. Viele Probleme aus verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technik führen im Lösungsprozess zum gleichen Modell. Das bedeutet, dass dieses mathematische Modell speziell untersucht werden muss.

Der Begriff eines bestimmten Integrals

Lassen Sie uns eine mathematische Beschreibung des Modells geben, das in den drei betrachteten Problemen für die Funktion y = f(x) erstellt wurde, stetig (aber nicht unbedingt nicht negativ, wie in den betrachteten Problemen angenommen wurde) im Intervall [a; B]:
1) Teilen Sie das Segment [a; b] in n gleiche Teile;
2) Bilden Sie die Summe $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) Berechnen Sie $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Im Rahmen der mathematischen Analyse wurde nachgewiesen, dass dieser Grenzwert im Fall einer stetigen (oder stückweise stetigen) Funktion existiert. Sie rufen ihn an ein bestimmtes Integral der Funktion y = f(x) über die Strecke [a; B] und wie folgt bezeichnet:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Die Zahlen a und b werden Integrationsgrenzen (untere bzw. obere) genannt.

Kehren wir zu den oben besprochenen Aufgaben zurück. Die in Aufgabe 1 angegebene Flächendefinition kann nun wie folgt umgeschrieben werden:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
hier ist S die Fläche des in der Abbildung oben gezeigten krummlinigen Trapezes. Das ist geometrische Bedeutung eines bestimmten Integrals.

Die in Aufgabe 2 angegebene Definition der Verschiebung s eines Punktes, der sich geradlinig mit der Geschwindigkeit v = v(t) über den Zeitraum von t = a bis t = b bewegt, kann wie folgt umgeschrieben werden:

Newton-Leibniz-Formel

Beantworten wir zunächst die Frage: Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem bestimmten Integral und der Stammfunktion?

Die Antwort findet sich in Aufgabe 2. Einerseits wird die Verschiebung s eines Punktes, der sich geradlinig mit der Geschwindigkeit v = v(t) über den Zeitraum von t = a bis t = b bewegt, durch berechnet die Formel
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Andererseits ist die Koordinate eines sich bewegenden Punktes eine Stammfunktion für die Geschwindigkeit – nennen wir sie s(t); Dies bedeutet, dass die Verschiebung s durch die Formel s = s(b) - s(a) ausgedrückt wird. Als Ergebnis erhalten wir:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
wobei s(t) die Stammfunktion von v(t) ist.

Der folgende Satz wurde im Zuge der mathematischen Analyse bewiesen.
Satz. Wenn die Funktion y = f(x) im Intervall [a; b], dann ist die Formel gültig
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
wobei F(x) die Stammfunktion von f(x) ist.

Die angegebene Formel wird normalerweise aufgerufen Newton-Leibniz-Formel zu Ehren des englischen Physikers Isaac Newton (1643–1727) und des deutschen Philosophen Gottfried Leibniz (1646–1716), die es unabhängig voneinander und nahezu gleichzeitig erhielten.

In der Praxis verwenden sie anstelle von F(b) - F(a) die Notation \(\left. F(x)\right|_a^b \) (manchmal auch so genannt). Doppelsubstitution) und schreiben Sie dementsprechend die Newton-Leibniz-Formel in dieser Form um:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Wenn Sie ein bestimmtes Integral berechnen, ermitteln Sie zunächst die Stammfunktion und führen Sie dann eine Doppelsubstitution durch.

Basierend auf der Newton-Leibniz-Formel können wir zwei Eigenschaften des bestimmten Integrals erhalten.

Eigentum 1. Das Integral der Summe der Funktionen ist gleich der Summe der Integrale:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Eigentum 2. Der konstante Faktor lässt sich aus dem Integralzeichen entnehmen:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Berechnen der Flächen ebener Figuren mithilfe eines bestimmten Integrals

Mit dem Integral können Sie nicht nur die Flächen von krummlinigen Trapezen berechnen, sondern auch von ebenen Figuren komplexerer Art, beispielsweise der in der Abbildung gezeigten. Die Zahl P wird durch Geraden x = a, x = b und Graphen stetiger Funktionen y = f(x), y = g(x) und auf der Strecke [a; b] gilt die Ungleichung \(g(x) \leq f(x) \). Um die Fläche S einer solchen Figur zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Also die Fläche S einer Figur, die durch Geraden x = a, x = b und Funktionsgraphen y = f(x), y = g(x) begrenzt ist, stetig auf dem Segment und so, dass für jedes x aus dem Segment [A; b] die Ungleichung \(g(x) \leq f(x) \) erfüllt ist, berechnet durch die Formel
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabelle unbestimmter Integrale (Stammfunktionen) einiger Funktionen

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Berechnen der Fläche einer Figur- Dies ist vielleicht eines der schwierigsten Probleme der Flächentheorie. In der Schulgeometrie lernen Sie, die Flächen grundlegender geometrischer Formen wie zum Beispiel eines Dreiecks, einer Raute, eines Rechtecks, eines Trapezes, eines Kreises usw. zu finden. Allerdings muss man sich oft mit der Flächenberechnung komplexerer Figuren befassen. Bei der Lösung solcher Probleme ist es sehr praktisch, die Integralrechnung zu verwenden.

Definition.

Krummliniges Trapez Nennen Sie eine Figur G, die durch die Geraden y = f(x), y = 0, x = a und x = b begrenzt ist und deren Funktion f(x) auf der Strecke [a; b] und ändert sein Vorzeichen darauf nicht (Abb. 1). Die Fläche eines gekrümmten Trapezes kann mit S(G) bezeichnet werden.

Das bestimmte Integral ʃ a b f(x)dx für die Funktion f(x), das im Intervall [a; b] und ist die Fläche des entsprechenden gebogenen Trapezes.

Das heißt, um die Fläche einer Figur G zu finden, die durch die Linien y = f(x), y = 0, x = a und x = b begrenzt wird, ist es notwendig, das bestimmte Integral ʃ a b f(x)dx zu berechnen .

Daher, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Wenn die Funktion y = f(x) auf [a; b], dann kann die Fläche eines gekrümmten Trapezes mit der Formel ermittelt werden S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Beispiel 1.

Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien y = x 3 begrenzt wird; y = 1; x = 2.

Lösung.

Die angegebenen Linien bilden die Figur ABC, die durch Schraffur dargestellt ist Reis. 2.

Die erforderliche Fläche ist gleich der Differenz zwischen den Flächen des krummlinigen Trapezes DACE und des Quadrats DABE.

Mit der Formel S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) ermitteln wir die Grenzen der Integration. Dazu lösen wir ein System aus zwei Gleichungen:

(y = x 3,
(y = 1.

Somit gilt x 1 = 1 – die untere Grenze und x = 2 – die obere Grenze.

Also, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (Quadrateinheiten).

Antwort: 11/4 qm. Einheiten

Beispiel 2.

Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien y = √x begrenzt wird; y = 2; x = 9.

Lösung.

Die angegebenen Geraden bilden die ABC-Figur, die oben durch den Funktionsgraphen begrenzt wird

y = √x, und unten ist ein Diagramm der Funktion y = 2. Die resultierende Zahl ist durch Schraffur dargestellt Reis. 3.

Die erforderliche Fläche ist S = ʃ a b (√x – 2). Finden wir die Grenzen der Integration: b = 9, um a zu finden, lösen wir ein System aus zwei Gleichungen:

(y = √x,
(y = 2.

Somit gilt x = 4 = a – das ist die untere Grenze.

Also, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (Quadrateinheiten).

Antwort: S = 2 2/3 Quadratmeter. Einheiten

Beispiel 3.

Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien y = x 3 – 4x begrenzt wird; y = 0; x ≥ 0.

Lösung.

Zeichnen wir die Funktion y = x 3 – 4x für x ≥ 0. Finden Sie dazu die Ableitung y’:

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 bei x = ±2/√3 ≈ 1,1 – kritische Punkte.

Wenn wir die kritischen Punkte auf der Zahlengeraden eintragen und die Vorzeichen der Ableitung anordnen, stellen wir fest, dass die Funktion von Null auf 2/√3 abnimmt und von 2/√3 auf plus unendlich ansteigt. Dann ist x = 2/√3 der Minimalpunkt, der Minimalwert der Funktion y min = -16/(3√3) ≈ -3.

Bestimmen wir die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen:

wenn x = 0, dann y = 0, was bedeutet, dass A(0; 0) der Schnittpunkt mit der Oy-Achse ist;

wenn y = 0, dann x 3 – 4x = 0 oder x(x 2 – 4) = 0, oder x(x – 2)(x + 2) = 0, daher x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (nicht geeignet, da x ≥ 0).

Die Punkte A(0; 0) und B(2; 0) sind die Schnittpunkte des Graphen mit der Ox-Achse.

Die angegebenen Linien bilden die OAB-Zahl, die durch Schraffur dargestellt ist Reis. 4.

Da die Funktion y = x 3 – 4x auf (0; 2) einen negativen Wert annimmt, dann

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Wir haben: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, daher S = 4 Quadrat. Einheiten

Antwort: S = 4 qm. Einheiten

Beispiel 4.

Finden Sie die Fläche der Figur, die durch die Parabel y = 2x 2 – 2x + 1, die Geraden x = 0, y = 0 und die Tangente an diese Parabel am Punkt mit der Abszisse x 0 = 2 begrenzt wird.

Lösung.

Erstellen wir zunächst eine Gleichung für die Tangente an die Parabel y = 2x 2 – 2x + 1 am Punkt mit der Abszisse x₀ = 2.

Da die Ableitung y’ = 4x – 2 ist, erhalten wir für x 0 = 2 k = y’(2) = 6.

Finden wir die Ordinate des Tangentenpunkts: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Daher hat die Tangentengleichung die Form: y – 5 = 6(x ​​​​– 2) oder y = 6x – 7.

Lassen Sie uns eine durch Linien begrenzte Figur erstellen:

y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.

Г у = 2х 2 – 2х + 1 – Parabel. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: A(0; 1) – mit der Oy-Achse; mit der Ox-Achse - es gibt keine Schnittpunkte, weil die Gleichung 2x 2 – 2x + 1 = 0 hat keine Lösungen (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, das heißt, der Scheitelpunkt des Parabelpunkts B hat die Koordinaten B(1/2; 1/2).

Daher wird die Figur, deren Fläche bestimmt werden muss, durch Schraffur angezeigt Reis. 5.

Es gilt: S O A B D = S OABC – S ADBC.

Lassen Sie uns die Koordinaten von Punkt D aus der Bedingung ermitteln:

6x – 7 = 0, d.h. x = 7/6, was DC = 2 – 7/6 = 5/6 bedeutet.

Die Fläche des Dreiecks DBC ermitteln wir mit der Formel S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC. Daher,

S ADBC ​​​​= 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 Quadrat. Einheiten

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (Quadrateinheiten).

Wir erhalten schließlich: S O A B D = S OABC – S ADBC ​​​​= 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (Quadrateinheiten).

Antwort: S = 1 1/4 Quadratmeter. Einheiten

Wir haben uns Beispiele angesehen Finden der Bereiche von Figuren, die durch gegebene Linien begrenzt sind. Um solche Probleme erfolgreich zu lösen, müssen Sie in der Lage sein, Linien und Funktionsgraphen auf einer Ebene zu zeichnen, die Schnittpunkte von Linien zu finden und eine Formel zur Ermittlung der Fläche anzuwenden, was die Fähigkeit zur Berechnung bestimmter Integrale impliziert.

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