De las muchas fracciones que se encuentran en la aritmética, merecen especial atención aquellas que tienen 10, 100, 1000 en el denominador (en general, cualquier potencia de diez). Estas fracciones tienen un nombre y notación especiales.

Un decimal es cualquier fracción numérica cuyo denominador es una potencia de diez.

Ejemplos de fracciones decimales:

¿Por qué fue necesario separar tales fracciones? ¿Por qué necesitan su propio formulario de grabación? Hay al menos tres razones para esto:

  1. Los decimales son mucho más fáciles de comparar. Recuerda: para comparar fracciones ordinarias, debes restarlas entre sí y, en particular, reducir las fracciones a un denominador común. En decimales no se requiere nada parecido;
  2. Reducir la computación. Los decimales suman y multiplican según sus propias reglas, y con un poco de práctica podrás trabajar con ellos mucho más rápido que con fracciones regulares;
  3. Facilidad de grabación. A diferencia de las fracciones ordinarias, los decimales se escriben en una línea sin pérdida de claridad.

La mayoría de las calculadoras también dan respuestas en decimales. En algunos casos, un formato de grabación diferente puede causar problemas. Por ejemplo, ¿qué pasa si pides cambio en la tienda por la cantidad de 2/3 de rublo :)

Reglas para escribir fracciones decimales.

La principal ventaja de las fracciones decimales es su notación cómoda y visual. A saber:

La notación decimal es una forma de escribir fracciones decimales donde la parte entera está separada de la parte fraccionaria por un punto regular o una coma. En este caso, el separador en sí (punto o coma) se llama punto decimal.

Por ejemplo, 0,3 (léase: “punto cero, 3 décimas”); 7,25 (7 enteros, 25 centésimas); 3.049 (3 enteros, 49 milésimas). Todos los ejemplos están tomados de la definición anterior.

En la escritura, se suele utilizar una coma como punto decimal. Aquí y en todo el sitio, también se utilizará la coma.

Para escribir una fracción decimal arbitraria en esta forma, debes seguir tres sencillos pasos:

  1. Escribe el numerador por separado;
  2. Desplaza el punto decimal hacia la izquierda tantos lugares como ceros haya en el denominador. Supongamos que inicialmente el punto decimal está a la derecha de todos los dígitos;
  3. Si el punto decimal se ha movido y después hay ceros al final de la entrada, se deben tachar.

Sucede que en el segundo paso el numerador no tiene suficientes dígitos para completar el turno. En este caso, las posiciones que faltan se rellenan con ceros. Y en general, a la izquierda de cualquier número puedes asignar cualquier número de ceros sin perjudicar tu salud. Es feo, pero a veces útil.

A primera vista, este algoritmo puede parecer bastante complicado. De hecho, todo es muy, muy simple, solo necesitas practicar un poco. Echa un vistazo a los ejemplos:

Tarea. Para cada fracción, indica su notación decimal:

El numerador de la primera fracción es: 73. Cambiamos el punto decimal un lugar (ya que el denominador es 10): obtenemos 7,3.

Numerador de la segunda fracción: 9. Cambiamos el punto decimal dos lugares (ya que el denominador es 100): obtenemos 0,09. Tuve que agregar un cero después del punto decimal y uno más antes, para no dejar una entrada extraña como “.09”.

El numerador de la tercera fracción es: 10029. Cambiamos el punto decimal tres lugares (ya que el denominador es 1000): obtenemos 10,029.

El numerador de la última fracción: 10.500. Nuevamente desplazamos el punto tres dígitos: obtenemos 10.500. Hay ceros adicionales al final del número. Táchalos y obtenemos 10,5.

Presta atención a los dos últimos ejemplos: los números 10.029 y 10.5. Según las reglas, los ceros de la derecha deben tacharse, como se hizo en el último ejemplo. Sin embargo, nunca debes hacer esto con ceros dentro de un número (que están rodeados por otros números). Por eso obtuvimos 10,029 y 10,5, y no 1,29 y 1,5.

Entonces, descubrimos la definición y la forma de escribir fracciones decimales. Ahora descubramos cómo convertir fracciones ordinarias a decimales y viceversa.

Conversión de fracciones a decimales

Consideremos una fracción numérica simple de la forma a/b. Puedes usar la propiedad básica de una fracción y multiplicar el numerador y el denominador por un número tal que la parte inferior resulte ser una potencia de diez. Pero antes de hacerlo, lea lo siguiente:

Hay denominadores que no se pueden reducir a potencias de diez. Aprenda a reconocer dichas fracciones, porque no se puede trabajar con ellas utilizando el algoritmo que se describe a continuación.

Eso es todo. Bueno, ¿cómo se sabe si el denominador se reduce a una potencia de diez o no?

La respuesta es simple: factoriza el denominador en factores primos. Si la expansión contiene sólo los factores 2 y 5, este número se puede reducir a una potencia de diez. Si hay otros números (3, 7, 11, lo que sea), puedes olvidarte de la potencia de diez.

Tarea. Comprueba si las fracciones indicadas se pueden representar como decimales:

Escribamos y factoricemos los denominadores de estas fracciones:

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5: solo están presentes los números 2 y 5. Por lo tanto, la fracción se puede representar como un decimal.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - hay un factor 3 "prohibido". La fracción no se puede representar como decimal.

640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Todo está en orden: no hay nada excepto los números 2 y 5. Una fracción se puede representar como un decimal.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. El factor 3 “surgió” nuevamente. No se puede representar como una fracción decimal.

Entonces, hemos resuelto el denominador; ahora veamos el algoritmo completo para pasar a fracciones decimales:

  1. Factoriza el denominador de la fracción original y asegúrate de que generalmente se pueda representar como un decimal. Aquellos. compruebe que sólo los factores 2 y 5 estén presentes en la expansión. De lo contrario, el algoritmo no funciona;
  2. Cuente cuántos dos y cinco están presentes en la expansión (no habrá otros números allí, ¿recuerda?). Elija un factor adicional tal que el número de dos y cinco sea igual.
  3. En realidad, multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción original por este factor; obtenemos la representación deseada, es decir el denominador será una potencia de diez.

Por supuesto, el factor adicional también se descompondrá sólo en dos y cinco. Al mismo tiempo, para no complicarte la vida, debes elegir el multiplicador más pequeño de todos los posibles.

Y una cosa más: si la fracción original contiene una parte entera, asegúrese de convertir esta fracción en una fracción impropia y solo entonces aplique el algoritmo descrito.

Tarea. Convierte estas fracciones numéricas a decimales:

Factoricemos el denominador de la primera fracción: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Por tanto, la fracción se puede representar como un decimal. La expansión contiene dos dos y ni un solo cinco, por lo que el factor adicional es 5 2 = 25. Con él, el número de dos y cinco será igual. Tenemos:

Ahora veamos la segunda fracción. Para hacer esto, tenga en cuenta que 24 = 3 8 = 3 2 3: hay un triple en la expansión, por lo que la fracción no se puede representar como un decimal.

Las dos últimas fracciones tienen denominadores 5 (número primo) y 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 respectivamente; sólo hay dos y cinco en todas partes. Además, en el primer caso, “para la felicidad total” un factor de 2 no es suficiente, y en el segundo, 5. Obtenemos:

Transición de decimales a fracciones comunes.

La conversión inversa, de notación decimal a notación regular, es mucho más sencilla. Aquí no existen restricciones ni controles especiales, por lo que siempre puedes convertir una fracción decimal a la clásica fracción de "dos pisos".

El algoritmo de traducción es el siguiente:

  1. Tacha todos los ceros del lado izquierdo del decimal, así como el punto decimal. Este será el numerador de la fracción deseada. Lo principal es no exagerar y no tachar los ceros interiores rodeados de otros números;
  2. Cuente cuántas posiciones decimales hay en la fracción original después del punto decimal. Toma el número 1 y agrega tantos ceros a la derecha como caracteres cuentes. Este será el denominador;
  3. En realidad, escribe la fracción cuyo numerador y denominador acabamos de encontrar. Si es posible, redúzcalo. Si la fracción original contenía una parte entera, ahora obtendremos una fracción impropia, lo cual es muy conveniente para cálculos posteriores.

Tarea. Convertir fracciones decimales a fracciones ordinarias: 0,008; 3.107; 2,25; 7,2008.

Tacha los ceros de la izquierda y las comas; obtenemos los siguientes números (estos serán los numeradores): 8; 3107; 225; 72008.

En la primera y segunda fracción hay 3 decimales, en la segunda - 2 y en la tercera - hasta 4 decimales. Obtenemos los denominadores: 1000; 1000; 100; 10000.

Finalmente, combinemos los numeradores y denominadores en fracciones ordinarias:

Como puede verse en los ejemplos, la fracción resultante muy a menudo se puede reducir. Permítanme señalar una vez más que cualquier fracción decimal se puede representar como una fracción ordinaria. Es posible que la conversión inversa no siempre sea posible.

Ya en la escuela primaria, los estudiantes están expuestos a fracciones. Y luego aparecen en cada tema. No puedes olvidar acciones con estos números. Por tanto, necesitas conocer toda la información sobre fracciones ordinarias y decimales. Estos conceptos no son complicados, lo principal es entender todo en orden.

¿Por qué se necesitan fracciones?

El mundo que nos rodea se compone de objetos enteros. Por tanto, no hay necesidad de acciones. Pero la vida cotidiana empuja constantemente a la gente a trabajar con partes de objetos y cosas.

Por ejemplo, el chocolate se compone de varios trozos. Considere una situación en la que su ficha está formada por doce rectángulos. Si lo divides en dos, obtienes 6 partes. Se puede dividir fácilmente en tres. Pero no será posible dar a cinco personas un número entero de rebanadas de chocolate.

Por cierto, estas porciones ya son fracciones. Y su mayor división conduce a la aparición de números más complejos.

¿Qué es una "fracción"?

Este es un número formado por partes de una unidad. Exteriormente, parecen dos números separados por una barra horizontal o diagonal. Esta característica se llama fraccionaria. El número escrito en la parte superior (izquierda) se llama numerador. Lo que está abajo (derecha) es el denominador.

Básicamente, la barra resulta ser un signo de división. Es decir, al numerador se le puede llamar dividendo y al denominador se le puede llamar divisor.

¿Qué fracciones hay?

En matemáticas sólo existen dos tipos: fracciones ordinarias y decimales. Los escolares conocen los primeros en la escuela primaria y los llaman simplemente "fracciones". Este último se aprenderá en 5º grado. Ahí es cuando aparecen estos nombres.

Las fracciones comunes son todas aquellas que se escriben como dos números separados por una línea. Por ejemplo, 4/7. Un decimal es un número en el que la parte fraccionaria tiene notación posicional y está separada del número entero por una coma. Por ejemplo, 4.7. Los estudiantes deben comprender claramente que los dos ejemplos dados son números completamente diferentes.

Cada fracción simple se puede escribir como decimal. Esta afirmación casi siempre es cierta a la inversa. Existen reglas que te permiten escribir una fracción decimal como una fracción común.

¿Qué subtipos tienen este tipo de fracciones?

Es mejor empezar en orden cronológico, a medida que se van estudiando. Las fracciones comunes son lo primero. Entre ellos se pueden distinguir 5 subespecies.

    Correcto. Su numerador siempre es menor que su denominador.

    Equivocado. Su numerador es mayor o igual que su denominador.

    Reducible/irreducible. Puede resultar correcto o incorrecto. Otra cosa importante es si el numerador y el denominador tienen factores comunes. Si los hay, entonces es necesario dividir ambas partes de la fracción entre ellas, es decir, reducirla.

    Mezclado. Se asigna un número entero a su parte fraccionaria regular (irregular) habitual. Además, siempre es de izquierdas.

    Compuesto. Está formado por dos fracciones divididas entre sí. Es decir, contiene tres líneas fraccionarias a la vez.

Las fracciones decimales tienen sólo dos subtipos:

    finito, es decir, aquel cuya parte fraccionaria es limitada (tiene fin);

    infinito: un número cuyos dígitos después del punto decimal no terminan (se pueden escribir sin fin).

¿Cómo convertir una fracción decimal a una fracción común?

Si se trata de un número finito, entonces se aplica una asociación basada en la regla: lo que escucho, así escribo. Es decir, hay que leerlo correctamente y escribirlo, pero sin coma, sino con barra fraccionaria.

Como pista sobre el denominador requerido, debes recordar que siempre es uno y varios ceros. Debes escribir tantos de estos últimos como dígitos haya en la parte fraccionaria del número en cuestión.

¿Cómo convertir fracciones decimales en fracciones ordinarias si falta su parte entera, es decir, igual a cero? Por ejemplo, 0,9 o 0,05. Después de aplicar la regla especificada, resulta que es necesario escribir cero números enteros. Pero no está indicado. Ya solo queda anotar las partes fraccionarias. El primer número tendrá un denominador de 10, el segundo tendrá un denominador de 100. Es decir, los ejemplos dados tendrán como respuestas los siguientes números: 9/10, 5/100. Además, resulta que este último se puede reducir en 5. Por lo tanto, el resultado debe escribirse como 1/20.

¿Cómo se puede convertir una fracción decimal en una fracción ordinaria si su parte entera es distinta de cero? Por ejemplo, 5,23 o 13,00108. En ambos ejemplos, se lee la parte completa y se escribe su valor. En el primer caso es 5, en el segundo es 13. Luego debes pasar a la parte fraccionaria. Con ellos se supone que se debe realizar la misma operación. El primer número aparece 23/100, el segundo - 108/100000. El segundo valor debe reducirse nuevamente. La respuesta da las siguientes fracciones mixtas: 5 23/100 y 13 27/25000.

¿Cómo convertir una fracción decimal infinita a una fracción ordinaria?

Si no es periódica, dicha operación no será posible. Este hecho se debe al hecho de que cada fracción decimal siempre se convierte en una fracción finita o periódica.

Lo único que puedes hacer con esa fracción es redondearla. Pero entonces el decimal será aproximadamente igual a ese infinito. Ya se puede convertir en uno normal. Pero el proceso inverso: la conversión a decimal nunca dará el valor inicial. Es decir, infinitas fracciones no periódicas no se convierten en fracciones ordinarias. Es necesario recordar esto.

¿Cómo escribir una fracción periódica infinita como una fracción ordinaria?

En estos números, siempre hay uno o más dígitos después del punto decimal que se repiten. Se les llama período. Por ejemplo, 0,3(3). Aquí "3" está en el punto. Se clasifican como racionales porque se pueden convertir en fracciones ordinarias.

Quienes se han topado con fracciones periódicas saben que pueden ser puras o mixtas. En el primer caso, el punto comienza inmediatamente desde la coma. En la segunda, la parte fraccionaria comienza con algunos números, y luego comienza la repetición.

La regla por la cual debes escribir un decimal infinito como una fracción común será diferente para los dos tipos de números indicados. Es bastante fácil escribir fracciones periódicas puras como fracciones ordinarias. Al igual que con los finitos, es necesario convertirlos: escribe el período como numerador, y el denominador será el número 9, repetido tantas veces como dígitos contenga el período.

Por ejemplo, 0,(5). El número no tiene parte entera, por lo que debes comenzar inmediatamente con la parte fraccionaria. Escribe 5 como numerador y 9 como denominador. Es decir, la respuesta será la fracción 5/9.

La regla sobre cómo escribir una fracción periódica decimal ordinaria que es mixta.

    Mire la duración del período. Esa es la cantidad de 9 que tendrá el denominador.

    Escribe el denominador: primero nueves, luego ceros.

    Para determinar el numerador, debes escribir la diferencia de dos números. Todos los números después del punto decimal se minimizarán, junto con el punto. Deducible: es sin período.

Por ejemplo, 0,5(8): escribe la fracción decimal periódica como una fracción común. La parte fraccionaria antes del período contiene un dígito. Entonces habrá un cero. También hay un solo número en el período: 8. Es decir, solo hay un nueve. Es decir, debes escribir 90 en el denominador.

Para determinar el numerador, debes restar 5 de 58. Resulta 53. Por ejemplo, tendrías que escribir la respuesta como 53/90.

¿Cómo se convierten las fracciones a decimales?

La opción más sencilla es un número cuyo denominador sea el número 10, 100, etc. Luego, simplemente se descarta el denominador y se coloca una coma entre las partes fraccionaria y entera.

Hay situaciones en las que el denominador se convierte fácilmente en 10, 100, etc. Por ejemplo, los números 5, 20, 25. Basta con multiplicarlos por 2, 5 y 4, respectivamente. Solo necesitas multiplicar no solo el denominador, sino también el numerador por el mismo número.

Para todos los demás casos, resulta útil una regla sencilla: dividir el numerador por el denominador. En este caso, puedes obtener dos respuestas posibles: una fracción decimal finita o periódica.

Operaciones con fracciones ordinarias

Adición y sustracción

Los estudiantes los conocen antes que los demás. Además, al principio las fracciones tienen los mismos denominadores y luego diferentes. Las reglas generales se pueden reducir a este plan.

    Encuentra el mínimo común múltiplo de los denominadores.

    Escribe factores adicionales para todas las fracciones ordinarias.

    Multiplica los numeradores y denominadores por los factores especificados para ellos.

    Suma (resta) los numeradores de las fracciones y deja el denominador común sin cambios.

    Si el numerador del minuendo es menor que el sustraendo, entonces necesitamos saber si tenemos un número mixto o una fracción propia.

    En el primer caso, es necesario pedir prestado uno de toda la pieza. Suma el denominador al numerador de la fracción. Y luego haz la resta.

    En el segundo, es necesario aplicar la regla de restar un número mayor de un número menor. Es decir, del módulo del sustraendo, reste el módulo del minuendo y, en respuesta, ponga un signo "-".

    Mire atentamente el resultado de la suma (resta). Si obtienes una fracción impropia, entonces debes seleccionar la parte entera. Es decir, divide el numerador por el denominador.

    Multiplicación y división

    Para realizarlos no es necesario reducir las fracciones a un denominador común. Esto facilita la realización de acciones. Pero todavía exigen que sigas las reglas.

      Al multiplicar fracciones, debes fijarte en los números en los numeradores y denominadores. Si cualquier numerador y denominador tienen un factor común, entonces se pueden reducir.

      Multiplica los numeradores.

      Multiplica los denominadores.

      Si el resultado es una fracción reducible, entonces se debe simplificar nuevamente.

      Al dividir, primero debes reemplazar la división con la multiplicación y el divisor (segunda fracción) con la fracción recíproca (intercambia el numerador y el denominador).

      Luego proceda como con la multiplicación (comenzando desde el punto 1).

      En tareas en las que sea necesario multiplicar (dividir) por un número entero, este último debe escribirse como una fracción impropia. Es decir, con un denominador de 1. Luego actúa como se describe arriba.

    Operaciones con decimales

    Adición y sustracción

    Por supuesto, siempre puedes convertir un decimal en una fracción. Y actuar según el plan ya descrito. Pero a veces es más conveniente actuar sin esta traducción. Entonces las reglas para sumar y restar serán exactamente las mismas.

      Iguala el número de dígitos en la parte fraccionaria del número, es decir, después del punto decimal. Súmale el número de ceros que faltan.

      Escribe las fracciones de modo que la coma quede debajo de la coma.

      Sumar (restar) como números naturales.

      Elimina la coma.

    Multiplicación y división

    Es importante que no sea necesario agregar ceros aquí. Las fracciones deben dejarse como se dan en el ejemplo. Y luego siga el plan.

      Para multiplicar, debes escribir las fracciones una debajo de la otra, ignorando las comas.

      Multiplica como números naturales.

      Coloca una coma en la respuesta, contando desde el extremo derecho de la respuesta tantos dígitos como haya en las partes fraccionarias de ambos factores.

      Para dividir, primero debes transformar el divisor: convertirlo en un número natural. Es decir, multiplicarlo por 10, 100, etc., dependiendo de cuántos dígitos haya en la parte fraccionaria del divisor.

      Multiplica el dividendo por el mismo número.

      Dividir una fracción decimal por un número natural.

      Coloca una coma en tu respuesta en el momento en que finaliza la división de la parte entera.

    ¿Qué pasa si un ejemplo contiene ambos tipos de fracciones?

    Sí, en matemáticas a menudo hay ejemplos en los que es necesario realizar operaciones con fracciones ordinarias y decimales. En tales tareas hay dos posibles soluciones. Debe sopesar objetivamente los números y elegir el óptimo.

    Primera forma: representar decimales ordinarios.

    Es adecuado si la división o traducción da como resultado fracciones finitas. Si al menos un número da una parte periódica, entonces esta técnica está prohibida. Por lo tanto, aunque no te guste trabajar con fracciones ordinarias, tendrás que contarlas.

    Segunda forma: escribir fracciones decimales como ordinarias

    Esta técnica resulta conveniente si la parte después del punto decimal contiene 1-2 dígitos. Si hay más, es posible que termines con una fracción común muy grande y la notación decimal hará que la tarea sea más rápida y fácil de calcular. Por lo tanto, siempre es necesario evaluar con seriedad la tarea y elegir el método de solución más simple.

Tema: El concepto de fracción decimal.

Leer y escribir decimales.


  1. El propósito de la lección.: desarrollar las habilidades de escribir y leer fracciones decimales, la capacidad de traducir fracciones ordinarias con denominadores 10, 100, 1000, etc. a una fracción decimal.

  1. Tareas:
- educativo para enseñar leer y escribir decimales;

- desarrollando - desarrollar habilidades de autoevaluación y autoanálisis de actividades educativas, desarrollar el habla matemática de los estudiantes;

- educativo – Cultivar una cultura de pensamiento matemático y la capacidad de trabajar de forma independiente.
3. Tipo de lección – lección para consolidar conocimientos
4. Métodos de enseñanza: verbal, visual, práctica.
5. Formas de trabajo de los estudiantes – frontal, individual, grupal

6. Equipo técnico necesario – proyector multimedia, computadora, pantalla

7. Apoyo educativo y metodológico: libro de texto “Matemáticas 5”, I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich

Estructura de la lección:


  1. Org. momento.

  2. Repetición de temas anteriores, trabajo oral.

  3. Dictado matemático.

  4. Pausa de educación física.

  5. Parte principal.

  6. Reflexión.

  7. Tarea.

Durante las clases:


  1. Org. momento.

  • Saludo mutuo entre profesor y alumnos.

  • Comprobación de lugares de trabajo.

  • Comunicar el plan de lección a los estudiantes.
- ¡Hola, chicos!

Es tan bueno que haya venido a ti. Me sugirieron que definitivamente me ayudarías en mi investigación.

Mi comité de investigación recibió una denuncia de dos conductores que estuvieron involucrados en un accidente de tránsito.

Pasemos a los materiales del caso.

^ TESTIMONIO DE LAS VÍCTIMAS.

Desde dos puntos A y B, un automóvil y un camión se acercaron. La velocidad del auto es de 60 km/h y la velocidad del camión es de 40 km/h. ¿Después de qué tiempo se encontrarán si la distancia entre los puntos es de 350 km?

- Consideremos la solución. .

1) 40 + 60 = 100 (km/h) – velocidad total de los coches (velocidad de cierre)

2) 350: 100 = 35 (horas)

Respuesta: los coches se encontrarán en 35 horas.
- Chicos, presten atención a todos los datos y respondan: “¿Este resultado les generó dudas?”
- Sí, hay una duda, en este problema el tiempo no puede ser de 35 horas.
- Entonces, como resultado de la decisión, se cometió un error. Descubriremos cuál debería ser la respuesta realizando una investigación y estudiando todos los hechos, documentos y pruebas.
- Para nuestra investigación llevé una lupa, una balanza y libros.

PRIMERA TAREA. (prueba uno)
Tacha de estos números:


  • Enteros

  • fracciones propias

  • fracciones impropias

  • Numeros mezclados

8 45/1000; 1000; 12; 3/2; 0,12; 1/6; 15/15; 30/24; 12/1000; 21,032; 1 2/3.

¿Qué números quedan?

Los números escritos de una forma nueva aparecieron en nuestro horizonte matemático. Estas son fracciones decimales.
- Pasemos a los documentos científicos.

^ Una fracción decimal se diferencia de una fracción ordinaria en que su denominador es una unidad numérica.

Por ejemplo:

^ Las fracciones decimales se separan de las fracciones ordinarias en una forma separada.
Puedes agregar cualquier cantidad de ceros a la parte fraccionaria de un decimal a la derecha; esto no cambia el valor de la fracción.

^ La parte fraccionaria de un decimal se lee en el último dígito significativo.

Por ejemplo:
0,3 - tres décimas
0,75 - setenta y cinco centésimas
0,000005 - cinco millonésimas.

Leer la parte entera de un decimal es lo mismo que leer números naturales.

Por ejemplo:
27,5 - veintisiete...;
1,57 - uno...

Después de la parte entera de la fracción decimal, se pronuncia la palabra "todo".

Por ejemplo:
10.7 - diez punto siete

0,67 - cero coma sesenta y siete centésimas.

decimales - estos son los dígitos de la parte fraccionaria. La parte fraccionaria no se lee en dígitos (a diferencia de los números naturales), sino en su conjunto, por lo que se determina la parte fraccionaria de una fracción decimal. último a la derecha dígito significativo.

Los primeros tres dígitos se utilizan con mayor frecuencia en los cálculos. La gran capacidad de dígitos de la parte fraccionaria de los decimales se utiliza sólo en ramas específicas del conocimiento donde se calculan cantidades infinitesimales.


  • 1er decimal - décimos

  • 2do decimal - centésimas

  • 3er decimal - lugar de las milésimas

  • 4to decimal - diezmilésimo

  • Quinto decimal - centenas de milésimas

  • 6to decimal - millonésimo lugar

  • Séptimo decimal: décimo millonésimo

  • El octavo decimal es el centésimo millonésimo.

¿Qué información recibió sobre nuestro objeto de estudio?

Pasemos a los materiales de archivo.
Examinamos la evidencia histórica. ¿Cómo se escribían estas fracciones antes?

En el siglo V, el científico chino Tszyu-Chun-Zhi escribió una fracción del formulario 2.135436 de la siguiente manera:

2 chi, 1 cun, 3 lóbulos, 5 ordinales, 4 pelos, 3 más finos, 6 telarañas.

El científico uzbeko Jamshid Ghiyaseddin al-Kashi en el libro

"La clave de la aritmética" (1424) mostró la grabación de fracciones en una línea con números en el sistema decimal.

Para grabar, utilizó una línea vertical,

la tinta es negra y roja.

En el libro "Canon matemático" del matemático francés F. Vieta (1540-1603), la fracción decimal se escribe de la siguiente manera 2 135436 - la parte fraccionaria fue subrayada y escrita encima de la línea de la parte entera del número

1571 G.- Juan Kepler propuso una notación moderna para fracciones decimales, es decir separando toda la parte por una coma.

Antes había otras opciones:

3.7 se escribió como 3(0)7 o 3\7 o las partes enteras y fraccionarias en diferentes tintas.
- Entonces, describe cómo se ve una fracción decimal hoy.
^ CONTINÚEMOS CON LAS ACCIONES INVESTIGADORAS.
SEGUNDA TAREA. (prueba dos)
Especifique el dígito menos significativo del número y léalo:

1,25 12, 54 3,06 1410,05

Tercera TAREA. (Ulitsa Tercero)
¿Cómo se escriben los decimales?

46,5 80,35 4,65 8,035 40,065 83,05 0,465 0,0835

^ REALICEMOS UN EXPERIMENTO DE INVESTIGACIÓN.
DICCTADO MATEMÁTICO.
- Para la siguiente tarea necesitaremos una lupa, porque necesitamos encontrar la coma colocada entre los números.
4735,62 123,456 54,5454 230,032 74635,2

Intercambia trabajos con tus compañeros y completa la revisión.

MINUTO FÍSICO.

^ PARTE PRINCIPAL.

Escuchemos el testimonio de los testigos:

Mamá compró 2¼ kg de manzanas y 3,5 kg de peras. ¿Cuántos kilogramos de fruta compró mamá?
- ¿Qué fracciones se encontraron en el documento? ( común Y decimal)

¿Crees que es posible sumar tales fracciones? ( No)

¿Qué se debe hacer para responder la pregunta del problema? ( calcular en fracciones comunes o decimales).

Para hacer esto, necesitas convertir algunas fracciones en otras. Aquí es donde necesito escalas.

¿Para qué sirven las escalas? ( pesar, comparar, igualar)

En nuestras balanzas matemáticas compararemos el número de decimales (en la parte fraccionaria) y ceros en la unidad cifrada.
^ A). Expresa los números como una fracción común:

0,13 6,013 0, 05 14,007 51, 3 830,0026

(Cada grupo recibe un número. Una vez completada la tarea, defienden su respuesta, complementándola con su propio ejemplo).

B). Expresa el número como fracción decimal:

1 1 / 10 , 25 / 100 , 98 3 / 10 , 2 56 / 1000 , 75 108 / 10000

R B O A B
Ordena las fracciones comunes en orden ascendente.

BRAVO
4. REFLEXIÓN.
- Nuestra investigación está llegando a su fin. Se revisaron todos los materiales del caso, se compararon los hechos y se estudiaron los documentos.
- Volvamos a nuestra violación.
- ¿Qué número debe estar en el problema para obtener la respuesta correcta? “¿Qué perdiste en este número?” (COMA)
- ¿Cuál es la respuesta correcta?
- ¿Cómo escribir la respuesta como una fracción ordinaria?
- ¿Convertir a horas y minutos?
- Gracias, bien hecho. Me quito el sombrero ante ti. Completamos la tarea.

5. Tarea.

Prepare mensajes sobre los siguientes temas:

"La historia de las fracciones decimales"

"¿Dónde se usan los decimales?"
GRACIAS POR LA LECCION.

Al estudiar la reina de todas las ciencias, las matemáticas, en algún momento todo el mundo se encuentra con fracciones. Aunque este concepto (como los tipos de fracciones en sí o las operaciones matemáticas con ellas) no es nada complicado, hay que tratarlo con cuidado, porque en la vida real fuera de la escuela será de gran utilidad. Entonces, refresquemos nuestros conocimientos sobre las fracciones: qué son, para qué sirven, qué tipos son y cómo realizar diversas operaciones aritméticas con ellas.

Fracción de Su Majestad: ¿que es?

En matemáticas, las fracciones son números, cada uno de los cuales consta de una o más partes de una unidad. Estas fracciones también se denominan ordinarias o simples. Como regla general, se escriben en forma de dos números separados por una línea horizontal o diagonal, lo que se llama línea "fraccional". Por ejemplo: ½, ¾.
El superior, o primero, de estos números es el numerador (muestra cuántas partes se toman del número) y el inferior, o segundo, es el denominador (muestra en cuántas partes se divide la unidad).
La barra de fracción en realidad funciona como un signo de división. Por ejemplo, 7:9=7/9
Tradicionalmente, las fracciones comunes son menores que uno. Mientras que los decimales pueden ser mayores que él.

¿Para qué sirven las fracciones? Sí, para todo, porque en el mundo real no todos los números son enteros. Por ejemplo, dos colegialas en la cafetería compraron juntas una deliciosa barra de chocolate. Cuando estaban a punto de compartir el postre, se encontraron con una amiga y decidieron invitarla también. Sin embargo, ahora es necesario dividir correctamente la barra de chocolate, considerando que consta de 12 cuadrados.
Al principio, las chicas querían dividir todo en partes iguales y luego cada una recibiría cuatro piezas. Pero, después de pensarlo bien, decidieron regalarle a su amigo, no 1/3, sino 1/4 del chocolate. Y como las colegialas no estudiaron bien las fracciones, no tuvieron en cuenta que en tal situación terminarían con 9 piezas, que son muy difíciles de dividir en dos. Este ejemplo bastante simple muestra lo importante que es poder encontrar correctamente una parte de un número. Pero en la vida hay muchos más casos de este tipo.

Tipos de fracciones: ordinarias y decimales

Todas las fracciones matemáticas se dividen en dos grandes categorías: ordinarias y decimales. Las características del primero de ellos ya fueron descritas en el párrafo anterior, por lo que ahora vale la pena prestar atención al segundo.
Decimal es una notación posicional de una fracción de un número, que se escribe por escrito separada por una coma, sin guión ni barra. Por ejemplo: 0,75, 0,5.
De hecho, una fracción decimal es idéntica a una fracción ordinaria, sin embargo, su denominador es siempre uno seguido de ceros, de ahí su nombre.
El número que precede a la coma es una parte entera y todo lo que sigue es una fracción. Cualquier fracción simple se puede convertir a decimal. Así, las fracciones decimales indicadas en el ejemplo anterior se pueden escribir de la forma habitual: ¾ y ½.
Vale la pena señalar que tanto las fracciones decimales como las ordinarias pueden ser positivas o negativas. Si van precedidas de un signo “-”, esta fracción es negativa, si “+” es una fracción positiva.

Subtipos de fracciones ordinarias

Existen este tipo de fracciones simples.
    Correcto. Su valor del numerador es siempre menor que el del denominador. Por ejemplo: 7/8. Es una fracción propia porque el numerador 7 es menor que el denominador 8. Impropia. En tales fracciones, el numerador y el denominador son iguales entre sí (8/8) o el valor del número inferior es menor que el superior (9/8). Mezclado. Así se llama una fracción propia escrita junto con un número entero: 8 ½. Se entiende como la suma de este número y una fracción. Por cierto, es bastante fácil hacer que aparezca una fracción impropia en su lugar. Para hacer esto, 8 debe escribirse como 16/2+1/2=17/2. Como su nombre lo indica, constan de varias líneas fraccionarias: ½ / ¾ Reducible / irreducible. Estos pueden incluir fracciones propias e impropias. Todo depende de si el numerador y el denominador se pueden dividir por el mismo número. Por ejemplo, 6/9 es una fracción reducible, porque ambos componentes se pueden dividir entre 3 y el resultado es 2/3. Pero 7/9 se considera irreducible, ya que 7 y 9 son números primos que no tienen divisor común y no se pueden reducir.

Subtipos de fracción decimal

A diferencia de una fracción simple, una fracción decimal se divide en solo 2 tipos.
    Finito: recibió este nombre debido al hecho de que después del punto decimal tiene un número limitado (finito) de dígitos: 19,25. Una fracción infinita es un número con un número infinito de dígitos después del punto decimal. Por ejemplo, al dividir 10 entre 3, el resultado será una fracción infinita 3.333...

Sumar fracciones

Realizar diversas manipulaciones aritméticas con fracciones es un poco más complicado que con números ordinarios. Sin embargo, si comprendes las reglas básicas, resolver cualquier ejemplo con ellas no será difícil.
Entonces, para sumar fracciones, primero que nada, debes asegurarte de que ambos términos tengan los mismos denominadores. Para ello hay que encontrar el número más pequeño que se pueda dividir sin resto entre los denominadores de los sumandos.
Por ejemplo: 2/3+3/4. El mínimo común múltiplo para ellos será 12, por tanto, es necesario que este número esté en cada denominador. Para hacer esto multiplicamos el numerador y denominador de la primera fracción por 4, resulta 8/12, hacemos lo mismo con el segundo término, pero solo multiplicamos por 3 - 9/12. Ahora puedes resolver fácilmente el ejemplo: 8/12+9/12= 17/12. La fracción resultante es un valor incorrecto porque el numerador es mayor que el denominador. Se puede y se debe transformar en uno mixto correcto dividiendo 17:12 = 1 y 5/12.
Cuando se suman fracciones mixtas, las operaciones se realizan primero con números enteros y luego con fracciones.
Si el ejemplo contiene una fracción decimal y una fracción regular, es necesario simplificar ambas, luego llevarlas al mismo denominador y sumarlas. Por ejemplo 3,1+1/2. El número 3,1 se puede escribir como una fracción mixta de 3 y 1/10 o como una fracción impropia: 31/10. El denominador común de los términos será 10, por lo que debes multiplicar el numerador y el denominador de 1/2 por 5 alternativamente, obtendrás 5/10. Entonces podrás calcular todo fácilmente: 31/10+5/10=35/10. El resultado obtenido es una fracción reducible impropia, la llevamos a forma normal reduciéndola en 5: 7/2 = 3 y 1/2, o decimal - 3,5.
Al sumar 2 fracciones decimales, es importante que haya la misma cantidad de dígitos después del punto decimal. Si este no es el caso, simplemente agregue la cantidad requerida de ceros, porque en una fracción decimal esto se puede hacer sin problemas. Por ejemplo, 3,5+3,005. Para resolver este problema, debes sumar 2 ceros al primer número y luego sumar uno por uno: 3.500+3.005=3.505.

Restar fracciones

Al restar fracciones, debes hacer lo mismo que al sumar: reducir a un denominador común, restar un numerador de otro y, si es necesario, convertir el resultado a una fracción mixta.
Por ejemplo: 16/20-5/10. El denominador común será 20. Debes llevar la segunda fracción a este denominador multiplicando ambas partes por 2, obtendrás 10/20. Ahora puedes resolver el ejemplo: 16/20-10/20= 6/20. Sin embargo, este resultado aplica para fracciones reducibles, por lo que vale dividir ambos lados entre 2 y el resultado es 3/10.

Multiplicar fracciones

Dividir y multiplicar fracciones son operaciones mucho más simples que la suma y la resta. El caso es que a la hora de realizar estas tareas no es necesario buscar un denominador común.
Para multiplicar fracciones, simplemente debes multiplicar ambos numeradores uno por uno y luego ambos denominadores. Reduce el resultado resultante si la fracción es una cantidad reducible.

Por ejemplo: 4/9x5/8. Después de una multiplicación alterna, el resultado es 4x5/9x8=20/72. Esta fracción se puede reducir en 4, por lo que la respuesta final en el ejemplo es 5/18.

Cómo dividir fracciones

Dividir fracciones también es una operación sencilla; de hecho, todo se reduce a multiplicarlas. Para dividir una fracción por otra, debes invertir la segunda y multiplicar por la primera.

Por ejemplo, dividir las fracciones 5/19 y 5/7. Para resolver el ejemplo, debes intercambiar el denominador y el numerador de la segunda fracción y multiplicar: 5/19x7/5=35/95. El resultado se puede reducir en 5: resulta 19/7.
Si necesitas dividir una fracción por un número primo, la técnica es ligeramente diferente. Inicialmente, debes escribir este número como una fracción impropia y luego dividirlo de acuerdo con el mismo esquema. Por ejemplo, 13/2:5 debe escribirse como 13/2: 5/1. Ahora necesitas voltear 5/1 y multiplicar las fracciones resultantes: 2/13x1/5= 2/65.
A veces hay que dividir fracciones mixtas. Debes tratarlos como lo harías con los números enteros: convertirlos en fracciones impropias, invertir el divisor y multiplicarlo todo. Por ejemplo, 8 ½: 3. Convierte todo en fracciones impropias: 17/2: 3/1. A esto le sigue un giro de 3/1 y una multiplicación: 17/2x1/3= 17/6. Ahora necesitas convertir la fracción impropia a la correcta: 2 enteros y 5/6.
Entonces, habiendo descubierto qué son las fracciones y cómo se pueden realizar varias operaciones aritméticas con ellas, debes intentar no olvidarlo. Después de todo, la gente siempre está más inclinada a dividir algo en partes que a sumar, por lo que es necesario poder hacerlo correctamente.

fracción común

Cuarteles

  1. Orden. a Y b existe una regla que permite identificar de forma única una y sólo una de tres relaciones entre ellos: “< », « >" o " = ". Esta regla se llama regla de pedido y se formula de la siguiente manera: dos números no negativos y están relacionados por la misma relación que dos números enteros y ; dos números no positivos a Y b están relacionados por la misma relación que dos números no negativos y ; si de repente a no negativo, pero b- negativo, entonces a > b. estilo="ancho máximo: 98%; alto: automático; ancho: automático;" src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

    Sumar fracciones

  2. Operación de suma. Para cualquier número racional a Y b hay un llamado regla de suma C. Al mismo tiempo, el número mismo. C llamado cantidad números a Y b y se denota por , y el proceso de encontrar dicho número se llama suma. La regla de suma tiene la siguiente forma: .
  3. Operación de multiplicación. Para cualquier número racional a Y b hay un llamado regla de multiplicación, que les asigna algún número racional C. Al mismo tiempo, el número mismo. C llamado trabajar números a Y b y se denota por , y el proceso de encontrar dicho número también se llama multiplicación. La regla de multiplicación se ve así: .
  4. Transitividad de la relación de orden. Para cualquier triple de números racionales a , b Y C Si a menos b Y b menos C, Eso a menos C, y si a es igual b Y b es igual C, Eso a es igual C. 6435">Conmutatividad de la suma. Cambiar los lugares de los términos racionales no cambia la suma.
  5. Asociatividad de la suma. El orden en que se suman tres números racionales no afecta el resultado.
  6. Presencia de cero. Hay un número racional 0 que conserva todos los demás números racionales cuando se suma.
  7. La presencia de números opuestos. Todo número racional tiene un número racional opuesto, que al sumarlo da 0.
  8. Conmutatividad de la multiplicación. Cambiar el lugar de los factores racionales no cambia el producto.
  9. Asociatividad de la multiplicación. El orden en que se multiplican tres números racionales no afecta el resultado.
  10. Disponibilidad de unidad. Hay un número racional 1 que conserva todos los demás números racionales cuando se multiplica.
  11. Presencia de números recíprocos. Todo número racional tiene un número racional inverso, que multiplicado por da 1.
  12. Distributividad de la multiplicación respecto de la suma. La operación de multiplicación se coordina con la operación de suma mediante la ley de distribución:
  13. Conexión de la relación de orden con la operación de suma. Se puede sumar el mismo número racional a los lados izquierdo y derecho de una desigualdad racional. ancho máximo: 98%; altura: automático; ancho: automático;" src="/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
  14. Axioma de Arquímedes. Cualquiera que sea el número racional a, puedes tomar tantas unidades que su suma exceda a. estilo="ancho máximo: 98%; alto: automático; ancho: automático;" src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Propiedades adicionales

Todas las demás propiedades inherentes a los números racionales no se distinguen como básicas porque, en general, ya no se basan directamente en las propiedades de los números enteros, sino que pueden demostrarse basándose en las propiedades básicas dadas o directamente mediante la definición de algún objeto matemático. . Hay muchas propiedades adicionales de este tipo. Tiene sentido enumerar aquí sólo algunos de ellos.

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Contabilidad de un conjunto

Numeración de números racionales

Para estimar el número de números racionales, es necesario encontrar la cardinalidad de su conjunto. Es fácil demostrar que el conjunto de los números racionales es contable. Para ello, basta con dar un algoritmo que enumere los números racionales, es decir, establezca una biyección entre los conjuntos de números racionales y naturales.

El más simple de estos algoritmos se ve así. Se compila una tabla interminable de fracciones ordinarias, en cada una i-ésima línea en cada j la enésima columna en la que se encuentra la fracción. Para mayor precisión, se supone que las filas y columnas de esta tabla están numeradas comenzando desde uno. Las celdas de la tabla se indican con , donde i- el número de la fila de la tabla en la que se encuentra la celda, y j- número de columna.

La tabla resultante se recorre utilizando una “serpiente” según el siguiente algoritmo formal.

Estas reglas se buscan de arriba a abajo y se selecciona la siguiente posición en función de la primera coincidencia.

En el proceso de tal recorrido, cada nuevo número racional se asocia con otro número natural. Es decir, la fracción 1/1 se asigna al número 1, la fracción 2/1 al número 2, etc. Cabe señalar que solo se numeran las fracciones irreducibles. Un signo formal de irreductibilidad es que el máximo común divisor del numerador y denominador de la fracción es igual a uno.

Siguiendo este algoritmo, podemos enumerar todos los números racionales positivos. Esto significa que el conjunto de los números racionales positivos es contable. Es fácil establecer una biyección entre los conjuntos de números racionales positivos y negativos simplemente asignando a cada número racional su opuesto. Eso. el conjunto de los números racionales negativos también es contable. Su unión también es contable mediante la propiedad de conjuntos contables. El conjunto de los números racionales también es contable como la unión de un conjunto contable con uno finito.

La afirmación sobre la contabilización del conjunto de los números racionales puede causar cierta confusión, ya que a primera vista parece que es mucho más extenso que el conjunto de los números naturales. De hecho, esto no es así y hay suficientes números naturales para enumerar todos los racionales.

Falta de números racionales

La hipotenusa de tal triángulo no se puede expresar mediante ningún número racional.

Números racionales de la forma 1 / norte en general norte Se pueden medir cantidades arbitrariamente pequeñas. Este hecho crea la impresión engañosa de que los números racionales se pueden utilizar para medir cualquier distancia geométrica. Es fácil demostrar que esto no es cierto.

Por el teorema de Pitágoras sabemos que la hipotenusa de un triángulo rectángulo se expresa como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus catetos. Eso. la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles con un cateto unitario es igual a , es decir, el número cuyo cuadrado es 2.

Si asumimos que un número puede representarse por algún número racional, entonces existe tal número entero metro y un numero tan natural norte, eso , y la fracción es irreducible, es decir, números metro Y norte- mutuamente simples.

Si entonces , es decir. metro 2 = 2norte 2. Por lo tanto, el número metro 2 es par, pero el producto de dos números impares es impar, lo que significa que el número en sí metro también incluso. entonces hay un numero natural k, tal que el número metro se puede representar en la forma metro = 2k. Número cuadrado metro En este sentido metro 2 = 4k 2, pero por otro lado metro 2 = 2norte 2 significa 4 k 2 = 2norte 2, o norte 2 = 2k 2. Como se mostró anteriormente para el número metro, esto significa que el número norte- incluso como metro. Pero entonces no son primos relativos, ya que ambos son bisecados. La contradicción resultante demuestra que no es un número racional.