Determine la circunferencia del círculo del radio del diámetro del acorde. ¿Qué es un círculo como una forma geométrica: propiedades básicas y características?

Vemos que tal círculo y un círculo. La fórmula del área del círculo y la longitud del círculo.

Nos encontramos con muchos artículos todos los días, en la forma que forman un círculo u frente al círculo. A veces hay una pregunta que es un círculo y cómo difiere del círculo. Por supuesto, todos pasamos lecciones de geometría, pero a veces no lastimaría refrescar el conocimiento de explicaciones muy simples.

¿Cuál es la circunferencia del círculo y el área del círculo: definición

Entonces, el círculo es una curva de línea cerrada, que limita o, por el contrario, forma un círculo. Una condición obligatoria de circunferencia: tiene un centro y todos los puntos son equidistantes. En pocas palabras, el círculo es un aro gimnástico (o como a menudo se llaman hula-hup) en una superficie plana.

La circunferencia de la circunferencia es la longitud total de la misma curva que forma un círculo. Como se sabe, independientemente del tamaño del círculo, la proporción de su diámetro y la longitud es igual al número π \u003d 3,141592653589793238462643.

A partir de esto, se deduce que π \u003d L / D, donde L es la longitud de la circunferencia, y D es el diámetro del círculo.

Si se le conoce el diámetro, entonces la longitud se puede encontrar en una fórmula simple: L \u003d π * D

En caso de que el radio sea conocido: L \u003d 2 ™

Discutimos qué círculo es y puede proceder a la definición del círculo.

El círculo es una forma geométrica que está rodeada por un círculo. O, el círculo es una figura, cuyo giro consiste en una gran cantidad de puntos equidistantes desde el centro de la figura. Toda la zona, que está dentro del círculo, incluido su centro, se llama círculo.

Vale la pena señalar que la circunferencia y el círculo, que están en él, los valores del radio y el diámetro del mismo. Y el diámetro a su vez es dos veces más que el radio.

El círculo tiene un área en el plano que se puede encontrar utilizando una fórmula simple:

Donde S es el área del círculo, y R es el radio de este círculo.

Lo que el círculo es diferente del círculo: explicación

La principal diferencia entre el círculo y el círculo es que el círculo es una figura geométrica, y el círculo es una curva cerrada. Presta atención a las diferencias entre el círculo y el círculo:

El círculo es una línea cerrada, y el círculo es un área dentro de este círculo;
El círculo es una línea de curva en el plano, y el círculo está cerrado en un anillo de un círculo;
Similitud entre la circunferencia y el círculo: radio y diámetro;
En el círculo y círculo, un solo centro;
Si el espacio está sombreado dentro del círculo, se convierte en un círculo;
El círculo tiene una longitud, pero no hay círculo, y por el contrario, el círculo tiene un área que no tiene un círculo.

Círculo y círculo: ejemplos, foto

Para mayor claridad, proponemos considerar la foto en la que se muestra el círculo a la izquierda y la circunferencia derecha.

Fórmula de la longitud del círculo y área cuadrada: comparación

La fórmula de la circunferencia de la circunferencia L \u003d 2 πr

Fórmula cuadrada S \u003d πr²

Tenga en cuenta que en ambas fórmulas hay un radio y un número π. Se recomiendan estas fórmulas para aprender de memoria, ya que son las más simples y serán útiles en la vida cotidiana y en el trabajo.

Área de círculo en la longitud del círculo: Fórmula

S \u003d π (l / 2π) \u003d l² / 4π, donde S es el área del círculo, L es la longitud de la circunferencia.

Video: ¿Qué es un círculo, círculo y radio?

Circulo - Esta es una figura que consiste en todos los puntos del plan equidistante de este punto.

Conceptos básicos:

Círculo central - Este es un punto equid, a los puntos de la circunferencia.

Radio - Esta es la distancia desde la circunferencia apunta a su centro (igual a la mitad del diámetro, Fig. 1).

Diámetro - Este es un acorde que pasa por el centro del círculo (Fig. 1).

Acorde - Este es un segmento que conecta dos puntos de circunferencia (Fig. 1).

Tangente - Esta es una línea recta, que tiene un solo punto común con un círculo. Pasa a través del punto de circunferencia perpendicular al diámetro realizado en este punto (Fig. 1).

Secante - Es recto, pasando a través de dos puntos de circunferencia diferentes (Fig. 1).

Círculo - Este es un círculo, cuyo radio es igual a uno.

Área de arco - Esto es una parte de la circunferencia, separada por dos puntos inconsistentes del círculo.

1 radian - Es un ángulo formado por una circunferencia de arco, igual a la longitud del radio (Fig. 4).
1 radian \u003d 180˚: π ≈ 57.3˚

Esquina central - Este es un ángulo con un vértice en el centro de la circunferencia. Es igual al grado de arco, que se basa (Fig. 2).

Esquina insertada - Esta es la esquina, la parte superior de la cual se encuentra en el círculo, y los lados cruzaron este círculo. Igual a medio grado de arco, que se basa (Fig. 3).

Dos círculos que tienen un centro común llamado concéntrico.

Se llaman dos círculos que se cruzan en ángulos rectos se llaman ortogonal.

Longitud del círculo y área de círculo:

Designaciones:
Longitud del círculo - C
Diameter Longitud - D
Longitud del radio - r

Valorπ :
La relación de la circunferencia de la circunferencia a la longitud de su diámetro se indica mediante la letra griega π (PI).

22
π = -
7

La fórmula de la circunferencia de la circunferencia:

C \u003d πd, o c \u003d 2πr

Fórmulas de área de círculo:

C · R.
S \u003d -
2

π · D 2
S \u003d ---
4

El área del sector circular y el segmento circular.

Sector circular - Esto es parte del círculo, que se encuentra dentro del ángulo central correspondiente.
La fórmula del área del sector circular:

πr 2.
S \u003d ---α
360

dónde π - un valor constante de 3,1416; R. - Radio del círculo; α - Medida de grado del ángulo central correspondiente.

Segmento circular - Esta es la parte total del círculo y el medio plano.
La fórmula del segmento circular:

πr 2.
S \u003d ---α ± S. Δ
360

dónde α - un grado de ángulo central, que contiene un arco de este segmento circular; S. Δ - El área del triángulo con los vértices en el centro del círculo y en los extremos de los radios que limitan el sector correspondiente.

El signo "menos" debe tomarse cuando α< 180˚, а знак «плюс» надо брать, когда α > 180˚.

Ecuación circular en coordenadas cartesianas.x., y c centro en el punto (a; b.):

(x -uNA.) 2 + (y - B.) 2 = R. 2

El círculo se describe cerca del triángulo (Fig. 4).

El círculo inscrito en el triángulo (Fig. 5).

Esquinas inscritas en un círculo (Fig. 3).

Ángulo cuyo vértice se encuentra en el círculo, y los lados cruzaron este círculo, llamados insertado en el círculo.

Conceptos básicos:

El ángulo divide el plano en dos partes. Cada una de estas partes se llama rincón plano.

Las esquinas planas con fiestas compartidas se llaman adicional.

Esquina plana con un vértice en el centro del círculo se llama ángulo central(Figura 2)

Proporcionalidad de los segmentos de acordes y la circunferencia de secuenciación.

Casos privados y fórmulas:

1) Desde el punto C, que está fuera del círculo, realizamos una tangente del círculo y denote el punto de su contacto de la letra D.

Luego, desde el mismo punto C, llevamos a cabo los puntos de seguridad e intersección de la unidad y la circunferencia con letras A y B (Fig. 8).

En este caso:

CD 2 \u003d.AC · ANTES DE CRISTO.

2) Cortar el diámetro AB en el círculo. Luego, desde el punto C, que está en el círculo, realizamos perpendiculares a este diámetro y denotamos el segmento de CD resultante (Fig. 9).

En este caso:

CD 2 \u003d.Anuncio Bd.

Circulo - Forma geométrica que consiste en todos los puntos del plano ubicado a una distancia dada desde este punto.

Este punto (O) se llama círculo central.
Radio de círculo - Este es un segmento que conecta el centro con cualquier punto del círculo. Todos los radios tienen la misma longitud (por definición).
Acorde - Cortar la conexión de dos puntos de circunferencia. Acorde, pasando por el centro del círculo, se llama diámetro. El centro del círculo es el medio de cualquier diámetro.
Cualquiera de dos puntos de circunferencia lo dividen en dos partes. Cada una de estas partes se llama círculo de arco. Arco es llamado semi-rápidoSi el segmento que conecta sus extremos es un diámetro.
La longitud de una sola semiconflancia se denota por π .
La suma del grado de dos arcos de círculo con fines generales es igual 360º.
Parte del plano limitado por un círculo llamado alrededor.
Sector circular - Parte de un círculo delimitado por arco y dos radios que conectan los extremos del arco con el centro del círculo. Arco que limita el sector se llama. sector arco.
Dos círculos que tienen un centro común llamado concéntrico.
Se llaman dos círculos que se cruzan en ángulos rectos se llaman ortogonal.

Arreglo mutuo de directa y circunferencia.

Si la distancia desde el centro de la circunferencia hasta la línea recta es menor que el radio del círculo ( d), luego directamente y círculo tienen dos puntos comunes. En este caso, se llama directamente. venta En relación a la circunferencia.
Si la distancia desde el centro del círculo hasta la recta es igual al radio de la circunferencia, entonces el Directo y el Círculo tienen solo un punto común. Tal directo se llama tangente a la circunferencia, y su punto común se llama. punto de toque de directa y circunferencia..
Si la distancia desde el centro del círculo a la línea recta es más que el radio del círculo, entonces dirija y círculo no tienen puntos comunes

Ángulos centrales e inscritos

Esquina central - Este es un ángulo con un vértice en el centro de la circunferencia.
Esquina insertada - El ángulo cuyo vértice se encuentra en el círculo, y los lados cruzaron el círculo.

Teorema en el carbón inscrito.

El ángulo inscrito se mide la mitad de un arco al que se basa.

Corolario 1.
Angulos insertados, confiando en el mismo arco igual.

Corolario 2.
El ángulo inscrito basado en el semicírculo es recto.

Teorema sobre el producto de segmentos de crordos de intersección.

Si dos acordes de la circunferencia se intersecan, entonces el producto de segmentos de un acorde es igual al producto de segmentos de otro acorde.

Fórmulas básicas

Circunferencia:

C \u003d 2 ∙ π ∙ r

Círculo de longitud de arco:

R \u003d c / (2 ∙ π) \u003d D / 2

Diámetro:

D \u003d c / π \u003d 2 ∙ r

Círculo de longitud de arco:

l \u003d (π ∙ r) / 180 ∙ α α,
Dónde α - Medida de grado de la longitud del arco del círculo)

Área de un círculo:

S \u003d π ∙ r 2

Plaza circular:

S \u003d ((π ∙ r 2) / 360) ∙ α

Ecuación del círculo

En el sistema de coordenadas rectangulares, la ecuación del círculo del radio. r. con centro en el punto C. (x o; y) tiene la forma:

(x - x o) 2 + (y - y o) 2 \u003d R 2

La ecuación del círculo del radio R con el centro al comienzo de la coordenada tiene la forma:

x 2 + y 2 \u003d R 2

El círculo se llama una curva de línea cerrada en el plano, todos los puntos de los cuales están a la misma distancia de un punto; Este punto se llama el centro del círculo.

Parte del plano limitado por el círculo se llama círculo.

Una línea recta que conecta el punto de circunferencia con su centro se llama radio. (Fig. 84).

Dado que todos los puntos de la circunferencia son del centro a la misma distancia, todos los radios de la misma circunferencia son iguales entre sí. El radio se indica generalmente por la letra. R. o r..

El punto realizado dentro del círculo se encuentra desde su centro a una distancia de un radio más pequeño. Esto es fácil de asegurarse de que si es posible realizar un radio (Fig. 85) a través de este punto.

El punto sacado del círculo se encuentra desde su centro a distancia, radio más grande. Esto es fácil de asegurarse si conecta este punto con el centro del círculo (Fig. 85).

Una línea recta que conecta dos puntos de circunferencia se llama acorde.

El acorde que pasa por el centro se llama un diámetro. (Fig. 84). El diámetro generalmente se indica por la letra D. El diámetro es igual a dos radio:

Dado que todos los radios del mismo círculo son iguales entre sí, entonces todos los diámetros de este círculo son iguales entre sí.

Teorema. Acorde, no pasando por el centro del círculo, menos diámetro gastado en el mismo círculo.

De hecho, si realiza algún acorde, por ejemplo, AB, y conecte sus extremos con el centro de O (Fig. 86), veremos que el acorde de AB es menor que la línea rota de AO + OV, es decir, , Ab r, y desde 2. r. \u003d D, luego av

Si el círculo está sobrecargado de diámetro (Fig. 87), entonces se monitorean ambas partes del círculo y el círculo. El diámetro divide el círculo y círculo en dos partes iguales.

Se llaman dos círculos (dos círculos) iguales, si pueden suministrarse entre sí para que se combinan.

Por lo tanto, dos círculos (dos círculos) con radios iguales son iguales.

2. Área de arco.

Parte del círculo se llama arco.

La palabra "arco" a veces se reemplaza por el signo \\ (\\ brove () \\). El arco se denota en dos o tres letras, de las cuales dos se colocan en los extremos del arco, y el tercero es un punto del arco. El dibujo 88 indica dos arcos: \\ (\\ BREVE (ACB) \\) y \\ (\\ BREVE (ADB) \\).

En el caso de que un arco sea menor que un semicírculo, generalmente se indica por dos letras. Por lo tanto, se puede denotar un arco adv se puede denotar \\ (\\ BREVE (AB) \\) (Fig. 88). Sobre el acorde, que conecta los extremos del arco, dicen que ella aprieta el arco.

Si mueve el arco de la CA (Fig. 89, a) para que cambie la circunferencia enviada, y si coincide con el ARC MN, luego \\ (\\ BREVE (AC) \\) \u003d \\ (\\ BREVE (NM) \\).

En el dibujo 89, el arco de la AP y AV no son iguales entre sí. Ambos arcos comienzan en el punto A, sino un arco \\ (\\ breve (AB) \\) es solo una parte de otro arco \\ (\\ brove (AC) \\).

Por lo tanto, \\ (\\ BREVE (AC) \\)\u003e \\ (\\ BREVE (AB) \\); \\ (\\ BREVE (AB) \\)

Construyendo un círculo por tres puntos

Una tarea. Después de tres puntos que no están acostados en una línea recta, realice un círculo.

Damos tres puntos A, B y C, sin mentir en una línea recta (Maldita sea).

Conecte estos puntos con segmentos AB y Sun. Para encontrar puntos equidistantes de los puntos A y en la separación del segmento de AB a la mitad y a través del medio (punto M), pasaremos perpendicular directo a AV. Cada punto de este perpendicular se elimina por igual de los puntos A y V.

Para encontrar puntos que sean equidistantes de los puntos IN y C, dividimos el segmento del sol por la mitad y a través de su medio (punto N) pasará directo, perpendicular al sol. Cada punto de este perpendicular se elimina igualmente de los puntos B y C.

El punto de intersección de estos perpendiculares será a la misma distancia de estos puntos A, B y C (AO \u003d CO). Si nosotros, aceptamos el punto sobre el centro del círculo, con un radio igual a JSC, realice un círculo, luego pasará a través de todos los datos de los puntos A, B y C.

El punto O es el único punto que puede servir como el centro del círculo que pasa a través de tres puntos A, B y C, que no están acostados en una línea recta, ya que dos perpendiculares a los segmentos de AB y Sun pueden cruzar solo a uno. punto. Así que la tarea tiene una sola solución.

Nota. Si tres puntos A, B y C se encuentran en una línea recta, la tarea no tendrá soluciones, ya que perpendiculares a segmentos de AB y Sun será paralelo y no habrá puntos igualmente eliminados de los puntos A, B, C, es decir. . Los puntos que podrían servir como el centro de la circunferencia deseada.

Si conecta el segmento del punto A y C y la mitad de este segmento (punto k) para combinar con el centro del círculo O, el OK será perpendicular a la AU (Maldición 311), ya que el AOC es una mediana , tan bien.

Corolario. Tres perpendiculares a los lados del triángulo, realizados a través de su intersección central en un momento.

Circulo - Esta es una cifra que consiste en todos los puntos en el plan equidistante de este punto. Este punto se llama el centro del círculo.

El círculo de radio cero (círculo degenerado) es un punto, a veces este caso está excluido de la definición.

YouTube enciclopédico.

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Círculo y Propiedades (Bezbotvy)

Círculo inscrito y descrito - desde bezbotvy

Matemáticas: Preparación para OGE y EGE. Planimetría. Círculo y sus propiedades.

Matemáticas 26. Círculo. Círculo y Círculo - Escuela Shishkin

Ecuación de círculo. Tarea 18 (C5). Arthur Sharifov

Subtítulos

Designacion

Si el círculo pasa, por ejemplo, a través de los puntos A, B, C, se indica mediante la indicación de estos puntos entre paréntesis: (A, B, C). Luego, el arco del círculo que pasa a través de los puntos A, B, C se denota como un arco ABC (o un arco de CA), así como la υ ABC (o υ AC).

Otras definiciones

Diámetro del círculo Ab A, b. Ab Viden en un ángulo recto (determinante a través de un ángulo, basado en el diámetro del círculo).

Rizo con chorda Ab - Esta es una figura que consiste en puntos. A, b. y todos los puntos del plano, de los cuales el segmento. Ab visible en una esquina permanente en un lado igual Ángulo inscrito de arco ab, y bajo un ángulo permanente diferente, por otro lado, igual a 180 grados menos Ángulo de arco inscrito ABespecificado anteriormente (Definición a través del ángulo inscrito).
Figura que consta de tales puntos X, (\\ DisplayStyle X,) que la proporción de longitudes de segmentos HACHA. y Bx. constantemente: A x B X \u003d C ≠ 1, (\\ DisplayStyle (\\ FRAC (AX) (BX)) \u003d C \\ NEQ 1,) Es un círculo (determinación a través del círculo de Apolonia).
La cifra que consiste en todos los puntos tales para cada uno de los cuales la suma de los cuadrados de la distancia a dos puntos de los puntos es igual a un valor dado, la mitad mayor del cuadrado de la distancia entre estos puntos también es un círculo (determinante A través del teorema de Pitágora para un triángulo rectangular arbitrario, inscrito en un círculo, con hipotenusa, que es el diámetro del círculo).
METRO. Dentro de su gasto cualquier acorde. Ab, CD, EF. Y así sucesivamente, entonces la igualdad es cierta: A M ⋅ M B \u003d C M ⋅ M D \u003d E M ⋅ M F \u003d ... (\\ DisplayStyle AM \u200b\u200b\\ CDOT (MB) \u003d CM \\ CDOT (MD) \u003d EM \\ CDOT (MF) \u003d \\ DOTS). La igualdad siempre se ejecutará independientemente del punto. METRO. y las direcciones realizadas a través de su acorde (definición a través de los acordes que se cruzan).
El círculo es una figura cerrada y automática con la siguiente propiedad. Si a través de un punto arbitrario METRO. más allá para pasar dos tangentes a sus puntos táctiles con un círculo, por ejemplo, UNA. y B., entonces sus longitudes siempre serán iguales: M A \u003d M B (\\ DisplayStyle MA \u003d MB). La igualdad siempre será ejecutada independientemente del punto de elección. METRO. (Definición a través de iguales tangentes).
El círculo es una figura cerrada y automática con la siguiente propiedad. La proporción de la duración de cualquiera de sus acordes al seno de cualquiera esquina inscritaSobre la base de este acorde, existe un valor constante igual al diámetro de este círculo (definición a través del teorema del seno).
El círculo es un caso especial de una elipse, en la que la distancia entre el enfoque es cero (definición a través de la elipse degenerada).

Definiciones relacionadas para un círculo

La ubicación geométrica de los puntos del plano, la distancia desde la cual no se llama más que el distinto de cero especificado, se llama alrededor .
Radio - No solo la distancia, sino también un segmento que conecta el centro del círculo con uno de sus puntos. El radio siempre es igual a la mitad. diota Circulo.
El radio siempre es perpendicular a una tangente directa, realizada al círculo en su punto común con un círculo. Es decir, el radio es normal a la circunferencia.
Círculo llamado Único Si su radio es igual a uno. Círculo Es uno de los principales objetos de trigonometría.
Cortar la conexión de dos puntos de circunferencia se llama chordoy. Acorde, pasando por el centro del círculo, se llama diámetro.
Cualquiera de los dos no coinciden con los puntos de la circunferencia se dividen en dos partes. Cada una de estas partes se llama círculo de arco . Arco es llamado semi-rápidoSi el segmento que conecta sus extremos es un diámetro.
La longitud de una sola semiconflancia se denota por.

Directamente, tener un círculo exactamente un punto común llamado tangente A la circunferencia, y su punto común se denomina punto directo y circunferencia.
Tangente al círculo siempre es perpendicular a su radio (y diámetro) realizado en el punto de contacto, que es normalrealizado en este punto.
Directamente, pasando a través de dos puntos de circunferencia diferentes, se llama venta.

Definición de triángulos para un círculo.

El triángulo ABC se llama insertado en el círculo (A, B, C) Si los tres de sus vértices A, B y C se encuentran en este círculo. En este caso, se llama el círculo. círculo descrito Triángulo ABC (ver Círculo descrito).
Tangente A la circunferencia, realizada a través de cualquier vértice de un distribuidor anti-paralelo inscrito en ella, el lado del triángulo opuesto a este vértice.
El triángulo ABC se llama descrito cerca del círculo (A ", B", C ") Si los tres son AB, BC y CAS se relacionan con este círculo en algunos puntos, respectivamente, C", A "y B". En este caso, se llama el círculo. además del círculo. Triángulo ABC (ver círculo inscrito).

Definiciones de esquina para un círculo

El ángulo formado por el círculo de arco igual a la longitud del radio se toma para 1 radián.

Central Esquina - ángulo con una cima en el centro del círculo. El ángulo central es radiable / grado de arco, que se basa (ver Fig.).
Inscrito El ángulo es el ángulo, la parte superior de la cual se encuentra en el círculo, y los lados cruzaron este círculo. Esquina insertada Es igual a medio grado de arco, que se basa (ver Fig.).
Exterior por Inscrito Ángulo: un ángulo formado por un lado y la continuación del otro lado. inscrito ángulo (ver la figura esquina θ Color marrón). Exterior Para inscribirse en el otro lado, el ángulo del círculo tiene la misma magnitud. θ .
El ángulo entre el círculo y directamente. - El ángulo entre la recta y la tangente a la circunferencia en el punto de intersección de lo directo y círculo. Ambas esquinas entre los círculos que se cruzan y los directos son iguales.
Ángulo basado en el diámetro del círculo - El ángulo inscrito en este círculo, cuyos lados contienen el extremo del diámetro. Él siempre es recto.

Definiciones relacionadas para dos círculos

Dos círculos que tienen un centro común llamado concéntrico.
Dos círculos que tienen solo un punto común se llaman conmovedor Externamente, si sus círculos no tienen otros puntos comunes, y la forma interna si sus círculos se encuentran dentro del otro.
Se llaman dos círculos que tienen dos puntos comunes. cruce. Sus círculos (Tintes son limitados) se intersecan en una región llamada un segmento doble circular.
Ángulo Entre dos círculos de intersección (o relacionados) llamados el ángulo entre su tangente, llevados a cabo en el punto de intersección general (o toque).
También Ángulo Entre dos círculos de intersección (o relacionados), puede leer el ángulo entre sus radios (diámetros) realizados en el punto de intersección general (o toque).
Porque por cualquier circunferencia, se puede considerar su radio (o diámetro) y tangencial, realizado a través de cualquier punto del círculo, mutuamente perpendicular al radio (o diámetro) normal Al círculo construido en este punto. En consecuencia, dos tipos de ángulos definidos en los dos puntos anteriores siempre serán iguales entre sí, como ángulos con lados mutuamente perpendiculares.
ángulo directo llamado ortogonal. Círculo puede ser considerado ortogonalSi forman un rincón recto entre sí.
Axis radical de dos círculos. - El punto geométrico de puntos, los grados de los cuales en relación con dos círculos dados son iguales. En otras palabras, igual a la longitud de cuatro tangentes realizados a los dos círculos de datos desde cualquier lugar METRO. Este punto geométrico de puntos.

Definiciones de esquina para dos círculos.

El ángulo entre dos círculos que se cruzan. - Ángulo entre tangentes a los círculos en el punto de intersección de estos círculos. Ambos ángulos entre dos círculos que se cruzan son iguales.
El ángulo entre dos círculos no ciclo. - El ángulo entre los dos círculos comunales a dos, formados en el punto de intersección de estas dos tangentes. El punto de intersección de estos dos tangentes debe estar entre dos círculos, y no de uno de ellos (este ángulo no se considera). Ambos ángulos verticales entre los dos círculos sin aparejo son iguales.

Ortogonalidad

Se llaman dos círculos que se cruzan en ángulos rectos se llaman ortogonal. Círculo puede ser considerado ortogonalSi forman un rincón recto entre sí.
Dos intersecciones en los puntos A y B círculo con centros O y O se llaman ortogonalSi hay ángulos directos de OAO "y OBO". Esta condición garantiza ángulo recto entre los círculos. En este caso, perpendicular a los radios (normales) de los dos círculos, llevados a cabo hasta el punto de su intersección. Por lo tanto, perpendicular a los dos círculos tangentes, llevados a cabo en el punto de su intersección. La circunferencia tangente es perpendicular al radio (normal), gastado en el punto táctil. Por lo general, el ángulo entre curvas es el ángulo entre sus tangentes pasadas en el punto de su intersección.
Otra condición adicional es posible. Deje que dos intersecciones en los puntos A y B circunferencias tengan arcos significativos en los puntos C y D, es decir, el ARC es igual al arco de CB, el AD ARC es igual al arco de DB. Luego estos círculos se llaman ortogonalSi usted es CAD directo y ángulos CBD.

Definiciones relacionadas para tres círculos

Tres círculos se llaman mutuamente relacionados (suministrados) si dos de ellos se relacionan (se detuvieron) entre sí.
En geometría centro radical Tres círculos son el punto de intersección de tres ejes radicales de parejas de círculos. Si el centro radical se encuentra fuera de los tres círculos, entonces es el centro de la única circunferencia ( círculo radical), que cruza tres datos de circunferencia ortogonal.

Lemma Archimedes

Evidencia

Permitir G (\\ mostrarstyle g) - Homotheusy, que traduce un pequeño círculo a mayor. Entonces está claro que A 1 (\\ DisplayStyle A_ (1)) Es el centro de esta homotóteita. Entonces directamente B C (\\ DisplayStyle BC) irá a cierto recto A (\\ DisplayStyle A)Con respecto a una gran circunferencia, y A 2 (\\ DisplayStyle A_ (2)) Ir al punto en esta circunferencia grande y propiedad de su propiedad. Recordando que la Homothety traduce las líneas rectas en paralelo a ellos, entendemos que A ∥ B C (\\ DisplayStyle A \\ Parallel BC). Permitir G (A 2) \u003d A 3 (\\ DisplayStyle G (A_ (2)) \u003d A_ (3)) y D (\\ DisplayStyle D) - Punto en una recta A (\\ DisplayStyle A), tal que - afilado, y E (\\ mostrarstyle e) - tal punto en una recta A (\\ DisplayStyle A), qué ∠ B A 3 E (\\ DisplayStyle \\ Angle Ba_ (3) e) - agudo. Entonces porque A (\\ DisplayStyle A) - Tangente a un gran círculo ∠ C A 3 D (\\ DisplayStyle \\ Angle CA_ (3) D) \u003d (\\ DisplayStyle \u003d) ∠ C B A 3 (\\ DisplayStyle \\ ánge CBA_ (3)) \u003d ∠ b A 3 E \u003d ∠ B C A 3 (\\ DisplayStyle \u003d \\ ángulo BA_ (3) E \u003d \\ ángulo BCA_ (3)). Por eso △ B C A 3 (\\ DisplayStyle \\ BigTriangleup BCA_ (3)) - Equipo, y por lo tanto ∠ b A 1 A 3 \u003d ∠ C A 1 A 3 (\\ DisplayStyle \\ Angle Ba_ (1) A_ (3) \u003d \\ ánge CA_ (1) A_ (3)), es decir A 1 A 2 (\\ DisplayStyle A_ (1) A_ (2)) - Esquina Bisector ∠ B A 1 C (\\ DisplayStyle \\ Angle BA_ (1) C).

Teorema de los Decartes para radii cuatro en pares relativas a los círculos

Teorema de los Decartes " Afirma que los radios de cualquiera de los cuatro círculos relacionados mutuamente satisfacen alguna ecuación cuadrada. A veces se llaman círculos de Soddy.

Propiedades

x 2 + y 2 \u003d R 2. (\\ DisplayStyle x ^ (2) + y ^ (2) \u003d R ^ (2).)

La ecuación del círculo que pasa por puntos. (x 1, y 1), (x 2, y 2), (x 3, y 3), (\\ DisplayStyle \\ Izquierda (X_ (1), Y_ (1) \\ Derecha), \\ Izquierda (X_ (2) , y_ (2) \\ Derecha), \\ Izquierda (X_ (3), Y_ (3) \\ Derecha),) No tendido en una línea recta (usando el determinante):

| x 2 + y 2 x y 1 x 1 2 + y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 y 3 1 | \u003d 0. (\\ DisplayStyle (\\ comience (vmatrix) x ^ (2) + y ^ (2) & x & y & 1 \\\\ x_ (1) ^ (2) + y_ (1) ^ (2) & x_ (1) & y_ (1) & 1 \\\\ x_ (2) ^ (2) + y_ (2) ^ (2) & x_ (2) & y_ (2) y 1 \\\\ x_ (3) ^ (2 ) + y_ (3) ^ (2) & x_ (3) & y_ (3) & 1 \\ Fin (VMatrix)) \u003d 0.) (x \u003d x 0 + r cos \u2061 φ y \u003d y 0 + r pecado \u2061 φ, 0 ⩽ φ< 2 π . {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+R\cos \varphi \\y=y_{0}+R\sin \varphi \end{cases}},\;\;\;0\leqslant \varphi <2\pi .}

En el sistema de coordenadas cartesiano, el círculo no es un programa de gráficos, pero se puede describir como una combinación de gráficos de las dos funciones siguientes:

Y \u003d y 0 ± r 2 - (x - x 0) 2. (\\ DisplayStyle y \u003d y_ (0) \\ PM (\\ SQRT (R ^ (2) - (X - X_ (0)) ^ (2))).)

Si el centro del círculo coincide con el inicio de las coordenadas, las funciones toman el formulario:

y \u003d ± r 2 - x 2. (\\ DisplayStyle y \u003d \\ PM (\\ SQRT (R ^ (2) -x ^ (2)))).)

Coordenadas polares

Círculo de radio R (\\ mostrarstyle r) con centro en el punto (ρ 0, φ 0) (\\ DisplayStyle \\ Izquierda (\\ RHO _ (0), \\ PHI _ (0) \\ Derecha)).