Un triángulo es un polígono de tres lados, o una línea discontinua cerrada con tres enlaces, o una figura formada por tres segmentos que conectan tres puntos que no se encuentran en la misma línea recta (ver Fig. 1).

Elementos básicos del triángulo abc.

Picos – puntos A, B y C;

Fiestas – segmentos a = BC, b = AC yc = AB que conectan los vértices;

Anglos – α, β, γ formada por tres pares de lados. Los ángulos suelen designarse de la misma manera que los vértices, con las letras A, B y C.

El ángulo formado por los lados de un triángulo y que se encuentra en su zona interior se llama ángulo interior, y el adyacente a él es el ángulo adyacente del triángulo (2, p. 534).

Alturas, medianas, bisectrices y líneas medias de un triángulo.

Además de los elementos principales de un triángulo, también se consideran otros segmentos con propiedades interesantes: alturas, medianas, bisectrices y líneas medias.

Altura

Alturas del triángulo- Estas son perpendiculares que caen desde los vértices del triángulo hacia los lados opuestos.

Para trazar la altura, debe realizar los siguientes pasos:

1) dibuja una línea recta que contenga uno de los lados del triángulo (si la altura se dibuja desde el vértice ángulo agudo en un triángulo obtuso);

2) desde el vértice opuesto a la línea dibujada, dibuje un segmento desde el punto hasta esta línea, formando con ella un ángulo de 90 grados.

El punto de intersección de la altura con el lado del triángulo se llama base de altura (ver figura 2).

Propiedades de las altitudes de los triángulos.

    En un triángulo rectángulo, la altitud extraída del vértice ángulo recto, lo divide en dos triángulos similares al triángulo original.

    En un triángulo agudo, sus dos alturas cortan de él triángulos semejantes.

    Si el triángulo es agudo, entonces todas las bases de las altitudes pertenecen a los lados del triángulo, y en un triángulo obtuso, dos altitudes caen sobre la continuación de los lados.

    Tres altitudes en un triángulo agudo se cortan en un punto y este punto se llama ortocentro triángulo.

Mediana

Medianas(del latín mediana – “medio”): son segmentos que conectan los vértices del triángulo con los puntos medios de los lados opuestos (ver Fig. 3).

Para construir la mediana, debes realizar los siguientes pasos:

1) encuentra la mitad del lado;

2) conecta con un segmento el punto que está en la mitad del lado del triángulo con el vértice opuesto.

Propiedades de las medianas triangulares

    La mediana divide un triángulo en dos triángulos de igual área.

    Las medianas de un triángulo se cortan en un punto, lo que divide a cada una de ellas en una proporción de 2:1, contando desde el vértice. Este punto se llama centro de gravedad triángulo.

Todo el triángulo está dividido por sus medianas en seis triángulos iguales.

Bisectriz

Bisectrices(del latín bis - dos veces y seko - cortar) son los segmentos de línea recta encerrados dentro de un triángulo que bisecan sus ángulos (ver Fig. 4).

Para construir una bisectriz, debes realizar los siguientes pasos:

1) construye un rayo que sale del vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales (la bisectriz del ángulo);

2) encuentre el punto de intersección de la bisectriz del ángulo del triángulo con el lado opuesto;

3) seleccione un segmento que conecte el vértice del triángulo con el punto de intersección en el lado opuesto.

Propiedades de las bisectrices de un triángulo.

    La bisectriz de un ángulo de un triángulo divide el lado opuesto en una proporción igual a la proporción de los dos lados adyacentes.

    Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo se cortan en un punto. Este punto se llama centro del círculo inscrito.

    Las bisectrices de los ángulos interno y externo son perpendiculares.

    Si la bisectriz de un ángulo exterior de un triángulo corta la extensión del lado opuesto, entonces ADBD=ACBC.

    Las bisectrices de un ángulo interno y dos externos de un triángulo se cortan en un punto. Este punto es el centro de uno de los tres círculos excírculos de este triángulo.

    Las bases de las bisectrices de dos ángulos interiores y uno exterior de un triángulo están en la misma recta si la bisectriz del ángulo exterior no es paralela al lado opuesto del triángulo.

    Si las bisectrices de los ángulos externos de un triángulo no son paralelas a lados opuestos, entonces sus bases están en la misma línea recta.

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Nota. EN Esta lección exponer materiales teóricos y resolver problemas de geometría sobre el tema “mediana en un triángulo rectángulo”. Si necesitas resolver un problema de geometría que no está aquí, escríbelo en el foro. Es casi seguro que el curso se complementará.

Propiedades de la mediana de un triángulo rectángulo

Determinando la mediana

  • Las medianas de un triángulo se cortan en un punto y son divididas por este punto en dos partes en una proporción de 2:1, contando desde el vértice del ángulo. El punto de su intersección se llama centro de gravedad del triángulo (relativamente raramente en los problemas se utiliza el término "centroide" para designar este punto),
  • La mediana divide un triángulo en dos triángulos del mismo tamaño.
  • Un triángulo se divide por tres medianas en seis triángulos iguales.
  • El lado mayor del triángulo corresponde a la mediana menor.

Los problemas de geometría propuestos para solución utilizan principalmente lo siguiente propiedades de la mediana de un triángulo rectángulo.

  • La suma de los cuadrados de las medianas caídas sobre los catetos de un triángulo rectángulo es igual a cinco cuadrados de la mediana caída sobre la hipotenusa (Fórmula 1)
  • La mediana cayó a la hipotenusa de un triángulo rectángulo. igual a la mitad de la hipotenusa(Fórmula 2)
  • La mediana de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual al radio del círculo circunscrito alrededor dado un triángulo rectángulo (Fórmula 2)
  • La mediana caída hasta la hipotenusa es igual a la mitad de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos(Fórmula 3)
  • La mediana bajada a la hipotenusa es igual al cociente de la longitud del cateto dividido por dos senos del ángulo agudo opuesto al cateto (Fórmula 4)
  • La mediana bajada a la hipotenusa es igual al cociente de la longitud del cateto dividido por dos cosenos del ángulo agudo adyacente al cateto (Fórmula 4)
  • La suma de los cuadrados de los lados de un triángulo rectángulo es igual a ocho cuadrados de la mediana bajada a su hipotenusa (Fórmula 5)

Notación en fórmulas:

a, b- catetos de un triángulo rectángulo

C- hipotenusa de un triángulo rectángulo

Si denotamos un triángulo como ABC, entonces

antes de Cristo = A

(eso es lados a,b,c- son opuestos a los ángulos correspondientes)

metro a- mediana dibujada hacia la pierna a

metro b- mediana dibujada hacia el cateto b

metro C - mediana de un triangulo rectángulo, dibujado a la hipotenusa con

α (alfa)- ángulo CAB lado opuesto a

Problema sobre la mediana en un triángulo rectángulo.

Las medianas de un triángulo rectángulo dibujado a los catetos son iguales a 3 cm y 4 cm, respectivamente. Encuentra la hipotenusa del triángulo.

Solución

Antes de comenzar a resolver el problema, prestemos atención a la relación entre la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo y la mediana que se baja sobre ella. Para hacer esto, pasemos a las fórmulas 2, 4, 5. propiedades de la mediana en un triángulo rectángulo. Estas fórmulas indican claramente la relación entre la hipotenusa y la mediana, que se reduce a 1 a 2. Por lo tanto, para la conveniencia de cálculos futuros (lo que no afectará de ninguna manera la exactitud de la solución, pero la hará más conveniente), denotamos las longitudes de los catetos AC y BC mediante las variables x e y como 2x y 2y (no x e y).

Considere el triángulo rectángulo ADC. El ángulo C es recto según las condiciones del problema, el cateto AC es común al triángulo ABC y el cateto CD es igual a la mitad BC según las propiedades de la mediana. Entonces, según el teorema de Pitágoras

CA 2 + CD 2 = AD 2

Dado que AC = 2x, CD = y (dado que la mediana divide el cateto en dos partes iguales), entonces
4x 2 + y 2 = 9

Al mismo tiempo, considere el triángulo rectángulo EBC. También tiene un ángulo recto C según las condiciones del problema, el cateto BC es común con el cateto BC del triángulo original ABC, y el cateto EC, por la propiedad de la mediana, es igual a la mitad del cateto AC del triángulo original. A B C.
Según el teorema de Pitágoras:
EC 2 + BC 2 = SER 2

Dado que EC = x (la mediana divide el cateto por la mitad), BC = 2y, entonces
x 2 + 4y 2 = 16

Dado que los triángulos ABC, EBC y ADC están conectados por lados comunes, ambas ecuaciones resultantes también están relacionadas.
Resolvamos el sistema de ecuaciones resultante.
4x 2 + y 2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16

1. La mediana divide un triángulo en dos triángulos de igual área.

2. Las medianas del triángulo se cortan en un punto, lo que divide a cada una de ellas en una proporción de 2:1, contando desde el vértice. Este punto se llama centro de gravedad triángulo.

3. Todo el triángulo está dividido por sus medianas en seis triángulos iguales.

Propiedades de las bisectrices de un triángulo.

1. La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados de este ángulo.

2. Bisectriz esquina interna de un triángulo divide el lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes: .

3. El punto de intersección de las bisectrices de un triángulo es el centro del círculo inscrito en este triángulo.

Propiedades de las altitudes de los triángulos.

1. En un triángulo rectángulo, la altura extraída del vértice del ángulo recto lo divide en dos triángulos semejantes al original.

2. En un triángulo agudo, dos de sus alturas le cortan otras similares. triangulos.

Propiedades de las bisectrices perpendiculares de un triángulo.

1. Cada punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos de este segmento. Lo contrario también es cierto: cada punto equidistante de los extremos de un segmento se encuentra en la bisectriz perpendicular a él.

2. El punto de intersección de las mediatrices trazadas a los lados del triángulo es el centro del círculo circunscrito a este triángulo.

Propiedad de la línea media de un triángulo.

La línea media de un triángulo es paralela a uno de sus lados e igual a la mitad de ese lado.

Similitud de triángulos

dos triangulos similar si una de las siguientes condiciones, llamada signos de similitud:

· dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro triángulo;

· dos lados de un triángulo son proporcionales a dos lados de otro triángulo, y los ángulos formados por estos lados son iguales;

· tres lados de un triángulo son respectivamente proporcionales a tres lados de otro triángulo.

En triángulos semejantes, las rectas correspondientes (alturas, medianas, bisectrices, etc.) son proporcionales.

Teorema de los senos

Teorema del coseno

un 2= segundo 2+ c 2- 2antes de Cristo porque

Fórmulas de área de triángulo

1. Triángulo libre

a B C - lados; - ángulo entre lados a Y b; - semiperímetro; R- radio del círculo circunscrito; r- radio del círculo inscrito; S- cuadrado; Ja - altura dibujada a lado a.

S = ah un

S = ab pecado

S = pr

2. Triángulo rectángulo

a, b - piernas; C- hipotenusa; hc- altura dibujada hacia el lado C.

S = ch c S = ab

3. Triángulo equilátero

Cuadriláteros

Propiedades de un paralelogramo

· los lados opuestos son iguales;

· los ángulos opuestos son iguales;

· las diagonales se dividen por la mitad por el punto de intersección;

· la suma de los ángulos adyacentes a un lado es 180°;

La suma de los cuadrados de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de todos los lados:

d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2).

Un cuadrilátero es un paralelogramo si:

1. Sus dos lados opuestos son iguales y paralelos.

2. Lados opuestos pares iguales.

3. Los ángulos opuestos son iguales en pares.

4. Las diagonales se dividen por la mitad por el punto de intersección.

Propiedades de un trapecio

· su línea media es paralela a las bases e igual a su media suma;

· si el trapezoide es isósceles, entonces sus diagonales son iguales y los ángulos en la base son iguales;

· si el trapezoide es isósceles, entonces se puede describir un círculo a su alrededor;

· si la suma de las bases es igual a la suma de los lados, entonces se puede inscribir en ella un círculo.

Propiedades del rectángulo

Las diagonales son iguales.

Un paralelogramo es un rectángulo si:

1. Uno de sus ángulos es recto.

2. Sus diagonales son iguales.

Propiedades de un rombo

· todas las propiedades de un paralelogramo;

Las diagonales son perpendiculares;

Las diagonales son las bisectrices de sus ángulos.

1. Un paralelogramo es un rombo si:

2. Sus dos lados adyacentes son iguales.

3. Sus diagonales son perpendiculares.

4. Una de las diagonales es la bisectriz de su ángulo.

Propiedades de un cuadrado

· todas las esquinas del cuadrado son correctas;

· las diagonales de un cuadrado son iguales, mutuamente perpendiculares, el punto de intersección biseca y biseca las esquinas del cuadrado.

Un rectángulo es un cuadrado si tiene alguna característica de rombo.

Fórmulas básicas

1. Cualquier cuadrilátero convexo
re 1,re 2 - diagonales; - el ángulo entre ellos; S- cuadrado.

S = re 1 d 2 pecado