Cuales son las propiedades de un rectangulo. ¿Qué es un rectángulo? Casos especiales de un rectángulo. Los lados opuestos son iguales
Objetivos de la lección
Consolidar el conocimiento de los estudiantes sobre el tema del rectángulo;
Continúe presentando a los estudiantes las definiciones y propiedades de un rectángulo;
Enseñar a los escolares a utilizar los conocimientos adquiridos sobre este tema mientras resuelven problemas;
Desarrollar interés en el tema de las matemáticas, la atención, el pensamiento lógico;
Cultivar la capacidad de introspección y disciplina.
Objetivos de la lección
Repetir y consolidar el conocimiento de los escolares sobre un concepto como un rectángulo, a partir de los conocimientos adquiridos en clases anteriores;
Continuar mejorando el conocimiento de los escolares sobre las propiedades y características de los rectángulos;
Continuar desarrollando habilidades en el proceso de resolución de tareas;
Generar interés en las lecciones de matemáticas;
Cultivar el interés por las ciencias exactas y una actitud positiva hacia las clases de matemáticas.
Plan de estudios
1. Parte teórica, información general, definiciones.
2. Repetición del tema "Rectángulos".
3. Propiedades de un rectángulo.
4. Signos de un rectángulo.
5. Datos interesantes de la vida de los triángulos.
6. Rectángulo áureo, conceptos generales.
7. Preguntas y tareas.
que es un rectangulo
En clases anteriores, ya aprendiste temas sobre rectángulos. Ahora refresquemos nuestra memoria y recordemos qué tipo de figura es, que se llama rectángulo.
Un rectángulo es un paralelogramo cuyos cuatro ángulos son rectos e iguales a 90 grados.
Un rectángulo es una figura geométrica de este tipo, que consta de 4 lados y cuatro ángulos rectos.
Los lados opuestos de un rectángulo son siempre iguales.
Si consideramos la definición de rectángulo en la geometría euclidiana, entonces para que un cuadrilátero sea considerado un rectángulo, es necesario que en esta figura geométrica al menos tres ángulos sean rectos. De esto se sigue que el cuarto ángulo será también de noventa grados.
Aunque es claro que cuando la suma de los ángulos de un cuadrilátero no tiene 360 grados, entonces esta figura no es un rectángulo.
En el caso de que todos los lados de un rectángulo regular sean iguales entre sí, dicho rectángulo se llama cuadrado.
En algunos casos, un cuadrado puede actuar como un rombo si dicho rombo, a excepción de los lados iguales, tiene todos los ángulos rectos.
Para acreditar la implicación de cualquier figura geométrica en un rectángulo, basta que dicha figura geométrica cumpla al menos uno de estos requisitos:
1. el cuadrado de la diagonal de esta figura debe ser igual a la suma de los cuadrados de 2 lados que tienen un punto común;
2. las diagonales de una figura geométrica deben tener la misma longitud;
3. Todos los ángulos de una figura geométrica deben ser de noventa grados.
Si estas condiciones cumplen al menos un requisito, entonces tienes un rectángulo.
Un rectángulo en geometría es la figura básica principal, que tiene muchas subespecies, con sus propias propiedades y características especiales.
Ejercicio: Nombra las formas geométricas que están relacionadas con los rectángulos.
Rectángulo y sus propiedades.
Ahora recordemos las propiedades de un rectángulo:
Un rectángulo tiene todas sus diagonales iguales;
Un rectángulo es un paralelogramo con lados opuestos paralelos;
Los lados del rectángulo serán también sus alturas;
Un rectángulo tiene lados y ángulos opuestos iguales;
Un círculo se puede circunscribir alrededor de cualquier rectángulo, además, la diagonal del rectángulo será igual al diámetro del círculo circunscrito.
Las diagonales de un rectángulo lo dividen en 2 triángulos iguales;
Siguiendo el teorema de Pitágoras, el cuadrado de la diagonal de un rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de sus 2 lados no opuestos;
Ejercicio:
1. Un rectángulo tiene dos posibilidades en las que se puede dividir en 2 rectángulos iguales. Dibuja dos rectángulos en tu cuaderno y divídelos para obtener 2 rectángulos iguales entre sí.
2. Describe un círculo alrededor del rectángulo, cuyo diámetro será igual a la diagonal del rectángulo.
3. ¿Se puede inscribir un círculo en un rectángulo de modo que toque todos sus lados, pero con la condición de que ese rectángulo no sea un cuadrado?
Características del rectángulo
Un paralelogramo será un rectángulo si:
1. si tiene al menos uno de los ángulos rectos;
2. si sus cuatro ángulos son rectos;
3. si los lados opuestos son iguales;
4. si al menos tres ángulos son rectos;
5. si sus diagonales son iguales;
6. si el cuadrado de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de los lados no opuestos.
es interesante saber
¿Sabías que si dibujas bisectrices de ángulos en un rectángulo que tiene lados adyacentes desiguales, cuando se intersecan, terminarás con un rectángulo?
Pero si la bisectriz dibujada de un rectángulo se cruza con uno de sus lados, corta un triángulo isósceles de este rectángulo.
¿Sabes que incluso antes de que Malevich pintara su destacado “Cuadrado negro”, en 1882, en una exposición en París, se presentó una pintura de Paul Bilo, en cuyo lienzo se representaba un rectángulo negro con el peculiar nombre “Batalla de los Negros en el Túnel”.
Tal idea con un rectángulo negro inspiró a otras figuras culturales. El humorista francés Alphonse Allais publicó toda una serie de sus obras y con el tiempo apareció un paisaje rectangular en rojo radical llamado "Cosechando tomates en la costa del Mar Rojo por cardenales apopléjicos", que tampoco tenía imagen.
Ejercicio
1. ¿Nombre una propiedad que sea única para un rectángulo?
2. ¿Cuál es la diferencia entre un paralelogramo arbitrario y un rectángulo?
3. ¿Es cierto que cualquier rectángulo puede ser un paralelogramo? Si es así, por favor demuestre por qué.
4. Haz una lista de los cuadriláteros que son rectángulos.
5. Formular las propiedades del rectángulo.
hecho histórico
rectángulo de Euclides
¿Sabe usted que el rectángulo de Euclides, que se llama la proporción áurea, fue durante un largo período de tiempo para cualquier edificio de importancia religiosa, la base perfecta y proporcional de la construcción en aquellos días. Con su ayuda, se construyeron la mayoría de los edificios del Renacimiento y los templos clásicos de la Antigua Grecia.
Un rectángulo "dorado" generalmente se llama un rectángulo geométrico, la relación entre el lado más grande y el más pequeño es igual a la proporción áurea.
Esta relación de los lados de este rectángulo era de 382 a 618, o alrededor de 19 a 31. El rectángulo de Euclides, en ese momento, era el rectángulo más conveniente, seguro y regular de todas las formas geométricas. Debido a esta característica, se ha utilizado en todo el texto el rectángulo de Euclides, o una aproximación a él. Se utilizó en casas, pinturas, muebles, ventanas, puertas e incluso libros.
Entre los indios navajos, el rectángulo se comparaba con la forma femenina, ya que se consideraba la forma habitual y estándar de la casa, simbolizando a la mujer propietaria de esta casa.
Asignaturas > Matemáticas > Matemáticas Grado 8Un rectángulo es un paralelogramo en el que todos los ángulos son ángulos rectos (igual a 90 grados). El área de un rectángulo es igual al producto de sus lados adyacentes. Las diagonales de un rectángulo son iguales. La segunda fórmula para encontrar el área de un rectángulo proviene de la fórmula del área de un cuadrilátero en términos de diagonales.
Rectángulo es un cuadrilátero en el que cada esquina es un ángulo recto.
Un cuadrado es un caso especial de un rectángulo.
Un rectángulo tiene dos pares de lados iguales. La longitud del par de lados más largos se llama longitud del rectángulo, y la longitud del más corto - ancho del rectángulo.
Propiedades del rectángulo
1. Un rectángulo es un paralelogramo
La propiedad se explica por la acción de la característica 3 del paralelogramo (es decir, \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) )
2. Los lados opuestos son iguales
\(AB = CD,\en el espacio BC = AD \)
3. Los lados opuestos son paralelos
\(AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD \)
4. Los lados adyacentes son perpendiculares entre sí
\(AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB \)
5. Las diagonales de un rectángulo son iguales
\(AC = BD\)
De acuerdo a propiedad 1 el rectángulo es un paralelogramo, lo que significa \(AB = CD \) .
Como consecuencia, \(\triángulo ABD = \triángulo DCA \) en dos piernas (\(AB = CD \) y \(AD \) - articulación).
Si ambas figuras - \(ABC \) y \(DCA \) son idénticas, entonces sus hipotenusas \(BD \) y \(AC \) también son idénticas.
Entonces \(AC = BD \) .
Solo un rectángulo de todas las figuras (¡solo de paralelogramos!) Tiene diagonales iguales.
Probemos esto también.
\(\Rightarrow AB = CD \) , \(AC = BD \) por condición. \(\flecha derecha \triángulo ABD = \triángulo DCA \) ya en tres lados.
Resulta que \(\angle A = \angle D \) (como las esquinas de un paralelogramo). Y \(\ángulo A = \ángulo C \) , \(\ángulo B = \ángulo D \) .
Deducimos que \(\ángulo A = \ángulo B = \ángulo C = \ángulo D \). Todos ellos por \(90^(\circ) \) . La suma es \(360^(\circ) \) .
7. La diagonal divide el rectángulo en dos triángulos rectángulos idénticos
\(\triángulo ABC = \triángulo ACD, \enspace \triángulo ABD = \triángulo BCD \)
8. El punto de intersección de las diagonales las biseca
\(AO = BO = CO = DO \)
9. El punto de intersección de las diagonales es el centro del rectángulo y la circunferencia circunscrita
el rectángulo es ante todo figura plana geométrica. Consta de cuatro puntos, que están conectados entre sí por dos pares de segmentos iguales que se cortan perpendicularmente solo en estos puntos.
Un rectángulo se define a través de un paralelogramo. En otras palabras, un rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos rectos, es decir, iguales a 90 grados. En la geometría euclidiana, si una figura geométrica tiene 3 de los 4 ángulos iguales a 90 grados, entonces el cuarto ángulo es automáticamente igual a 90 grados y esa figura se puede llamar rectángulo. De la definición de un paralelogramo, está claro que un rectángulo es un conjunto de variedades de esta figura en un plano. De esto se deduce que las propiedades de un paralelogramo se aplican también a un rectángulo. Por ejemplo: en un rectángulo, los lados opuestos tienen la misma longitud. Al construir una diagonal en un rectángulo, dividirá la figura en dos triángulos idénticos. En esto se basa el teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa en un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos. Si todos los lados de un rectángulo regular son iguales, entonces dicho rectángulo se llama cuadrado. Un cuadrado también se define como un rombo, en el que todos sus lados son iguales entre sí y todos los ángulos son rectos.
En el currículo escolar en lecciones de geometría, uno tiene que tratar con varios tipos de cuadriláteros: rombos, paralelogramos, rectángulos, trapecios, cuadrados. Las primeras formas a estudiar son un rectángulo y un cuadrado.
Entonces, ¿qué es un rectángulo? La definición para el segundo grado de una escuela integral se verá así: este es un cuadrilátero, en el que las cuatro esquinas son correctas. Es fácil imaginar cómo es un rectángulo: es una figura con 4 ángulos rectos y lados paralelos entre sí en pares.
En contacto con
¿Cómo entender, resolviendo el siguiente problema geométrico, qué tipo de cuadrilátero estamos tratando? Hay tres características principales, por lo que puede determinar con precisión que estamos hablando de un rectángulo. Llamémoslos:
- la figura es un cuadrilátero con tres ángulos iguales a 90°;
- el cuadrilátero presentado es un paralelogramo con diagonales iguales;
- un paralelogramo que tiene al menos un ángulo recto.
Es interesante saber: qué es convexo, sus características y signos.
Dado que un rectángulo es un paralelogramo (es decir, un cuadrilátero con lados opuestos paralelos por pares), todas sus propiedades y características se cumplirán para él.
Fórmulas para calcular la longitud de los lados.
en un rectángulo los lados opuestos son iguales y paralelos entre sí. El lado más largo generalmente se denomina longitud (indicado por a), el lado más corto se denomina ancho (indicado por b). En el rectángulo de la imagen, las longitudes son los lados AB y CD, y los anchos son AC y B.D. También son perpendiculares a las bases (es decir, son alturas).
Para encontrar los lados, puedes usar las fórmulas a continuación. En ellos se adoptan convenciones: a - la longitud del rectángulo, b - su ancho, d - la diagonal (el segmento que conecta los vértices de dos ángulos opuestos entre sí), S - el área de la figura, P - el perímetro, α - el ángulo entre la diagonal y la longitud, β es un ángulo agudo formado por ambas diagonales. Maneras de encontrar las longitudes de los lados:
- Usando la diagonal y el lado conocido: a \u003d √ (d ² - b ²), b \u003d √ (d ² - a ²).
- Por el área de la figura y uno de sus lados: a = S/b, b = S/a.
- Usando el perímetro y el lado conocido: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
- Por la diagonal y el ángulo entre ella y la longitud: a = d sinα, b = d cosα.
- Por la diagonal y el ángulo β: a = d sen 0,5 β, b = d cos 0,5 β.
perímetro y área
El perímetro de un cuadrilátero se llama la suma de las longitudes de todos sus lados. Para calcular el perímetro se pueden utilizar las siguientes fórmulas:
- Por ambos lados: P = 2 (a + b).
- A través del área y uno de los lados: P \u003d (2S + 2a ²) / a, P \u003d (2S + 2b ²) / b.
Un área es un espacio delimitado por un perímetro. Tres formas principales de calcular el área:
- A través de las longitudes de ambos lados: S = a*b.
- Usando el perímetro y cualquier lado conocido: S \u003d (Pa - 2 a ²) / 2; S = (Pb - 2b²) / 2.
- En diagonal y ángulo β: S = 0,5 d² sinβ.
En las tareas de un curso de matemáticas escolar, muchas veces se requiere tener un buen dominio de propiedades de las diagonales de un rectangulo. Enumeramos los principales:
- Las diagonales son iguales entre sí y se dividen en dos segmentos iguales en el punto de su intersección.
- La diagonal se define como la raíz de la suma de ambos lados al cuadrado (sigue del teorema de Pitágoras).
- La diagonal divide el rectángulo en dos triángulos con un ángulo recto.
- El punto de intersección coincide con el centro del círculo circunscrito, y las propias diagonales coinciden con su diámetro.
Las siguientes fórmulas se utilizan para calcular la longitud de la diagonal:
- Usando el largo y el ancho de la figura: d = √ (a ² + b ²).
- Usando el radio de un círculo circunscrito alrededor de un cuadrilátero: d = 2 R.
Definición y propiedades de un cuadrado
Un cuadrado es un caso especial de rombo, paralelogramo o rectángulo. Su diferencia con estas figuras es que todos sus ángulos son rectos y los cuatro lados son iguales. Un cuadrado es un cuadrilátero regular.
Un cuadrilátero se llama cuadrado en los siguientes casos:
- Si es un rectángulo cuya longitud a y ancho b son iguales.
- Si es un rombo con diagonales de igual longitud y cuatro ángulos rectos.
Las propiedades de un cuadrado incluyen todas las propiedades discutidas anteriormente relacionadas con un rectángulo, así como las siguientes:
- Las diagonales son perpendiculares entre sí (propiedad de un rombo).
- El punto de intersección coincide con el centro de la circunferencia inscrita.
- Ambas diagonales dividen el cuadrilátero en cuatro triángulos rectángulos e isósceles idénticos.
Aquí hay algunas fórmulas de uso frecuente para 
calcular el perímetro, el área y los elementos de un cuadrado:
- Diagonal d = a √2.
- Perímetro P = 4 a.
- Área S = a².
- El radio del círculo circunscrito es la mitad de la diagonal: R = 0.5 a √2.
- El radio de un círculo inscrito se define como la mitad de la longitud de un lado: r = a / 2.
Ejemplos de preguntas y tareas
Analicemos algunas de las preguntas que puede encontrar al estudiar matemáticas en la escuela y resolvamos algunos problemas simples.
Tarea 1. ¿Cómo cambiará el área de un rectángulo si se triplica la longitud de sus lados?
Solución : Denotemos el área de la figura original como S0, y el área del cuadrilátero con el triple de la longitud de los lados - S1. De acuerdo con la fórmula considerada anteriormente, obtenemos: S0 = ab. Ahora aumentemos el largo y el ancho 3 veces y escribamos: S1= 3 a 3 b = 9 ab. Comparando S0 y S1, resulta obvio que la segunda área es 9 veces más grande que la primera.
Pregunta 1. ¿Un cuadrilátero con ángulos rectos es un cuadrado?
Solución : De la definición se sigue que una figura con ángulos rectos es un cuadrado solo si las longitudes de todos sus lados son iguales. De lo contrario, la figura es un rectángulo.
Tarea 2. Las diagonales de un rectángulo forman un ángulo de 60 grados. El ancho del rectángulo es 8. Calcula cuál es la diagonal.
Solución: Recuerda que las diagonales son bisecadas por el punto de intersección. Por lo tanto, estamos ante un triángulo isósceles con un ángulo en el vértice igual a 60°. Como el triángulo es isósceles, los ángulos en la base también serán iguales. Por simples cálculos, obtenemos que cada uno de ellos es igual a 60 °. De ello se deduce que el triángulo es equilátero. El ancho que conocemos es la base del triángulo, por lo que la mitad de la diagonal también es 8, y la longitud de toda la diagonal es el doble e igual a 16.
Pregunta 2. ¿Un rectángulo tiene todos los lados iguales o no?
Solución : Baste recordar que todos los lados deben ser iguales para un cuadrado, que es un caso especial de un rectángulo. En todos los demás casos, una condición suficiente es la presencia de al menos 3 ángulos rectos. La igualdad de las partes no es una característica obligatoria.
Tarea 3. El área del cuadrado es conocida e igual a 289. Encuentra los radios de los círculos inscritos y circunscritos.
Solución :
Según las fórmulas del cuadrado, realizaremos los siguientes cálculos:
- Determinemos a qué equivalen los elementos principales del cuadrado: a = √ S = √289 = 17; d = un √2 =1 7√2.
- Calculemos a qué equivale el radio del círculo descrito alrededor del cuadrilátero: R = 0.5 d = 8.5√2.
- Hallemos el radio de la circunferencia inscrita: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.
El rectángulo es único en su simplicidad. Con base en esta figura, los estudiantes comienzan a aprender los conceptos básicos de geometría. Por lo tanto, en los grados superiores, se pierden, sin conocer las propiedades y características básicas de un rectángulo, considerando en vano que esta figura es demasiado simple.
Rectángulo
La definición de rectángulo se conoce desde la escuela primaria: es un paralelogramo con todos los ángulos iguales a 90 grados. Surge la pregunta: ¿qué es un paralelogramo?
A pesar del nombre pegadizo, esta forma es tan simple como un rectángulo. Un paralelogramo es un cuadrilátero convexo cuyos lados son iguales y paralelos en pares.
Es obligatorio resaltar la palabra convexa en la definición. Porque los cuadriláteros convexos y no convexos están claramente separados en geometría. Además, las figuras no convexas no se estudian en absoluto en el curso de matemáticas de la escuela, ya que son mucho más impredecibles en sus propiedades.
Arroz. 1. Cuadrángulos convexos
Un rectángulo es un caso especial de un paralelogramo. Al mismo tiempo, existen otros casos especiales de un paralelogramo, por ejemplo, un rombo; y otros casos especiales de un rectángulo - un cuadrado. Por tanto, antes de probar que una figura es un rectángulo, es necesario probar que es un paralelogramo.
Propiedades del rectángulo
Las propiedades del rectángulo se pueden dividir en dos grupos: propiedades del paralelogramo y propiedades del rectángulo.
Propiedades del paralelogramo:
- Los lados opuestos son pares iguales y paralelos.
- Los ángulos opuestos son iguales.
Arroz. 2. Propiedades de un paralelogramo
Propiedades del rectángulo:
- Todos los ángulos son de 90 grados, lo que se deriva de la definición de la figura.
- La diagonal de un rectángulo divide la figura en dos pequeños triángulos rectángulos iguales. Esta propiedad es fácil de demostrar. Los triángulos serán rectangulares, ya que incluirán un ángulo de 90 grados. En este caso, la diagonal será un lado común y los catetos serán iguales, ya que los lados opuestos del rectángulo son pares iguales y paralelos.
- Las diagonales de un rectángulo son iguales.
Arroz. 3. Haz
Características del rectángulo
Un rectángulo tiene solo tres características principales:
- Por la esquina. Si uno de los ángulos de un paralelogramo mide 90 grados, entonces el paralelogramo es un rectángulo.
- Si los tres ángulos de un cuadrilátero miden 90 grados, entonces el cuadrilátero es un rectángulo. Tenga en cuenta que en este caso no hay necesidad de probar que tenemos un paralelogramo. Basta con saber los valores de los ángulos del cuadrilátero.
- En diagonal: si las diagonales de un paralelogramo son iguales, entonces el paralelogramo es un rectángulo.
Preste atención a qué figura se aplica el signo, esto es importante en la prueba.
¿Cuál es la diferencia entre rasgo y propiedad? Un signo es una diferencia por la cual una figura puede distinguirse de otras. Como el nombre de una persona. Ves a un amigo, recuerdas su nombre e inmediatamente sabes qué esperar de él. Pero las expectativas de una persona ya son propiedades. Las propiedades solo se pueden aplicar después de que haya probado que esta o aquella figura está frente a usted. Y para esta prueba, necesitamos signos.
¿Qué hemos aprendido?
Aprendimos qué es un paralelogramo. Hablamos de casos especiales de un paralelogramo, incluido el más común: un rectángulo. Seleccionó las propiedades y características del rectángulo. Prestamos atención al hecho de que algunas de las características son válidas para cualquier cuadrilátero, y algunas son válidas solo para un paralelogramo.
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