Los números complejos son ejemplos complicados. Notación algebraica de un número complejo. Introduciendo el concepto de número complejo
Recordemos la información necesaria sobre números complejos.
Número complejo es una expresión de la forma a + bi, dónde a, B son números reales, y I- así llamado unidad imaginaria, un carácter cuyo cuadrado es -1, es decir I 2 = -1. Número a llamado parte real y el numero B - parte imaginaria Número complejo z = a + bi... Si B= 0, entonces en lugar de a + 0I escribir simplemente a... Puede verse que los números reales son un caso especial de números complejos.
Las operaciones aritméticas con números complejos son las mismas que con los reales: se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir entre sí. La suma y la resta ocurren de acuerdo con la regla ( a + bi) ± ( C + di) = (a ± C) + (B ± D)I y multiplicación, según la regla ( a + bi) · ( C + di) = (C.A – bd) + (anuncio + antes de Cristo)I(solo se usa aquí que I 2 = –1). Número = a – bi llamado complejo conjugado Para z = a + bi... Igualdad z · = a 2 + B 2 le permite comprender cómo dividir un número complejo por otro número complejo (distinto de cero):
(Por ejemplo, .)
Los números complejos tienen una representación geométrica conveniente e intuitiva: el número z = a + bi puede ser representado por un vector con coordenadas ( a; B) en el plano cartesiano (o, que es casi lo mismo, un punto, el final del vector con estas coordenadas). En este caso, la suma de dos números complejos se representa como la suma de los vectores correspondientes (que se pueden encontrar mediante la regla del paralelogramo). Según el teorema de Pitágoras, la longitud de un vector con coordenadas ( a; B) es igual. Esta cantidad se llama módulo Número complejo z = a + bi y denotado por | z|. El ángulo que forma este vector con la dirección positiva del eje de abscisas (contado en sentido antihorario) se llama argumento Número complejo z y se denota por Arg z... El argumento no se define de forma única, sino solo hasta la suma de un múltiplo de 2 π
radianes (o 360 °, si cuenta en grados); después de todo, está claro que la rotación en tal ángulo alrededor del origen no cambiará el vector. Pero si el vector de longitud r forma un ángulo φ
con una dirección positiva del eje de abscisas, entonces sus coordenadas son ( r Porque φ
; r Pecado φ
). De ahí resulta notación trigonométrica Número complejo: z = |z| (Porque (Arg z) + I pecado (Arg z)). A menudo es conveniente escribir números complejos en esta forma, ya que simplifica enormemente los cálculos. Multiplicar números complejos en forma trigonométrica parece muy simple: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (Porque (Arg z 1 + Arg z 2) + I pecado (Arg z 1 + Arg z 2)) (al multiplicar dos números complejos, se multiplican sus módulos y se suman los argumentos). Por lo tanto sigue Fórmulas de Moivre: z n = |z|norte(Porque ( norte(Arg z)) + I pecado ( norte(Arg z))). Con estas fórmulas, es fácil aprender a extraer raíces de cualquier grado a partir de números complejos. Raíz enésima de z es un número tan complejo w, qué w n = z... Está claro que 
, Y donde k puede tomar cualquier valor del conjunto (0, 1, ..., norte- 1). Esto significa que siempre hay exactamente norte raíces norte-ésimo grado de un número complejo (en el plano, están ubicados en los vértices de la norte-gon).
DEFINICIÓN
La forma algebraica de un número complejo es escribir el número complejo \ (\ z \) en la forma \ (\ z = x + iy \), donde \ (\ x \) y \ (\ y \) son números reales , \ (\ i \) es una unidad imaginaria que satisface la relación \ (\ i ^ (2) = - 1 \)
El número \ (\ x \) se llama la parte real del número complejo \ (\ z \) y se denota \ (\ x = \ operatorname (Re) z \)
El número \ (\ y \) se llama la parte imaginaria del número complejo \ (\ z \) y se denota \ (\ y = \ operatorname (Im) z \)
Por ejemplo:
El número complejo \ (\ z = 3-2 i \) y su número asociado \ (\ \ overline (z) = 3 + 2 i \) se escriben en forma algebraica.
El valor imaginario \ (\ z = 5 i \) se escribe en forma algebraica.
Además, según el problema que se resuelva, puede convertir un número complejo en trigonométrico o exponencial.
Escribe el número \ (\ z = \ frac (7-i) (4) +13 \) en forma algebraica, encuentra sus partes real e imaginaria, así como el número conjugado.
Usando el término división de fracciones y la regla para sumar fracciones, obtenemos:
\ (\ z = \ frac (7-i) (4) + 13 = \ frac (7) (4) + 13- \ frac (i) (4) = \ frac (59) (4) - \ frac ( 1) (4) i \)
Por lo tanto, la parte real del número complejo \ (\ z = \ frac (5 g) (4) - \ frac (1) (4) i \) es el número \ (\ x = \ operatorname (Re) z = \ frac (59) (4) \), parte imaginaria - número \ (\ y = \ operatorname (Im) z = - \ frac (1) (4) \)
Conjugado: \ (\ \ overline (z) = \ frac (59) (4) + \ frac (1) (4) i \)
\ (\ z = \ frac (59) (4) - \ frac (1) (4) i \), \ (\ \ nombre del operador (Re) z = \ frac (59) (4) \), \ (\ \ operatorname (Im) z = - \ frac (1) (4) \), \ (\ \ overline (z) = \ frac (59) (4) + \ frac (1) (4) i \)
Acciones de números complejos en comparación de forma algebraica
Dos números complejos \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) se llaman iguales si \ (\ x_ (1) = x_ (2) \), \ (\ y_ (1) = y_ (2) \) es decir Sus partes reales e imaginarias son iguales.
Determina para qué xey dos números complejos \ (\ z_ (1) = 13 + y i \) y \ (\ z_ (2) = x + 5 i \) son iguales.
Por definición, dos números complejos son iguales si sus partes real e imaginaria son iguales, es decir, \ (\ x = 13 \), \ (\ y = 5 \).
adición
La suma de números complejos \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) se realiza mediante la suma directa de las partes real e imaginaria:
\ (\ z_ (1) + z_ (2) = x_ (1) + i y_ (1) + x_ (2) + i y_ (2) = \ left (x_ (1) + x_ (2) \ right) + i \ left (y_ (1) + y_ (2) \ right) \)
Hallar la suma de números complejos \ (\ z_ (1) = - 7 + 5 i \), \ (\ z_ (2) = 13-4 i \)
La parte real del número complejo \ (\ z_ (1) = - 7 + 5 i \) es el número \ (\ x_ (1) = \ operatorname (Re) z_ (1) = - 7 \), el imaginario parte es el número \ (\ y_ (1) = \ mathrm (Im) \), \ (\ z_ (1) = 5 \). Las partes real e imaginaria del número complejo \ (\ z_ (2) = 13-4 i \) son iguales a \ (\ x_ (2) = \ operatorname (Re) z_ (2) = 13 \) y \ ( \ y_ (2) = \ operatorname (Im) z_ (2) = - 4 \).
De ahí la suma de los números complejos:
\ (\ z_ (1) + z_ (2) = \ left (x_ (1) + x_ (2) \ right) + i \ left (y_ (1) + y_ (2) \ right) = (- 7+ 13) + yo (5-4) = 6 + yo \)
\ (\ z_ (1) + z_ (2) = 6 + i \)
Obtenga más información sobre cómo sumar números complejos en un artículo aparte: Sumar números complejos.
Sustracción
La resta de números complejos \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) y \ (\ z_ (2) = x_ (2) + i y_ (2) \) se realiza mediante resta directa de partes reales e imaginarias:
\ (\ z_ (1) -z_ (2) = x_ (1) + i y_ (1) - \ left (x_ (2) + i y_ (2) \ right) = x_ (1) -x_ (2) + \ izquierda (i y_ (1) -i y_ (2) \ derecha) = \ izquierda (x_ (1) -x_ (2) \ derecha) + i \ izquierda (y_ (1) -y_ (2) \ derecha ) \)
hallar la diferencia de números complejos \ (\ z_ (1) = 17-35 i \), \ (\ z_ (2) = 15 + 5 i \)
Encuentra las partes real e imaginaria de números complejos \ (\ z_ (1) = 17-35 i \), \ (\ z_ (2) = 15 + 5 i \):
\ (\ x_ (1) = \ operatorname (Re) z_ (1) = 17, x_ (2) = \ operatorname (Re) z_ (2) = 15 \)
\ (\ y_ (1) = \ operatorname (Im) z_ (1) = - 35, y_ (2) = \ operatorname (Im) z_ (2) = 5 \)
Por tanto, la diferencia entre los números complejos es:
\ (\ z_ (1) -z_ (2) = \ left (x_ (1) -x_ (2) \ right) + i \ left (y_ (1) -y_ (2) \ right) = (17-15 ) + yo (-35-5) = 2-40 yo \)
\ (\ z_ (1) -z_ (2) = 2-40 i \) multiplicación
La multiplicación de números complejos \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) y \ (\ z_ (2) = x_ (2) + i y_ (2) \) se realiza creando directamente números en forma algebraica teniendo en cuenta la propiedad de la unidad imaginaria \ (\ i ^ (2) = - 1 \):
\ (\ z_ (1) \ cdot z_ (2) = \ left (x_ (1) + i y_ (1) \ right) \ cdot \ left (x_ (2) + i y_ (2) \ right) = x_ (1) \ cdot x_ (2) + i ^ (2) \ cdot y_ (1) \ cdot y_ (2) + \ left (x_ (1) \ cdot i y_ (2) + x_ (2) \ cdot i y_ (1) \ derecha) = \)
\ (\ = \ left (x_ (1) \ cdot x_ (2) -y_ (1) \ cdot y_ (2) \ right) + i \ left (x_ (1) \ cdot y_ (2) + x_ (2) ) \ cdot y_ (1) \ derecha) \)
Hallar el producto de números complejos \ (\ z_ (1) = 1-5 i \)
Complejo de números complejos:
\ (\ z_ (1) \ cdot z_ (2) = \ left (x_ (1) \ cdot x_ (2) -y_ (1) \ cdot y_ (2) \ right) + i \ left (x_ (1) \ cdot y_ (2) + x_ (2) \ cdot y_ (1) \ right) = (1 \ cdot 5 - (- 5) \ cdot 2) + i (1 \ cdot 2 + (- 5) \ cdot 5 ) = 15-23 i \)
\ (\ z_ (1) \ cdot z_ (2) = 15-23 i \) dividir
El factor de números complejos \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) y \ (\ z_ (2) = x_ (2) + i y_ (2) \) se determina multiplicando el numerador y denominador al número conjugado con el denominador:
\ (\ \ frac (z_ (1)) (z_ (2)) = \ frac (x_ (1) + i y_ (1)) (x_ (2) + i y_ (2)) = \ frac (\ left (x_ (1) + i y_ (1) \ right) \ left (x_ (2) -i y_ (2) \ right)) (\ left (x_ (2) + i y_ (2) \ right) \ left (x_ (2) -i y_ (2) \ right)) = \ frac (x_ (1) \ cdot x_ (2) + y_ (1) \ cdot y_ (2)) (x_ (2) ^ (2) + y_ (2) ^ (2)) + i \ frac (x_ (2) \ cdot y_ (1) -x_ (1) \ cdot y_ (2)) (x_ (2) ^ (2) + y_ (2 ) ^ (2)) \)
Dividir el número 1 por el número complejo \ (\ z = 1 + 2 i \).
Dado que la parte imaginaria del número real 1 es cero, el factor es:
\ (\ \ frac (1) (1 + 2 i) = \ frac (1 \ cdot 1) (1 ^ (2) + 2 ^ (2)) - i \ frac (1 \ cdot 2) (1 ^ ( 2) + 2 ^ (2)) = \ frac (1) (5) -i \ frac (2) (5) \)
\ (\ \ frac (1) (1 + 2 i) = \ frac (1) (5) -i \ frac (2) (5) \)
Considere una ecuación cuadrática.
Definamos sus raíces.
No hay un número real cuyo cuadrado sea -1. Pero si definimos el operador I como una unidad imaginaria, entonces la solución a esta ecuación se puede escribir en la forma 
... Donde 
y 
- números complejos, en los que -1 es la parte real, 2 o en el segundo caso -2 es la parte imaginaria. La parte imaginaria también es un número real (real). La parte imaginaria multiplicada por la unidad imaginaria significa que ya número imaginario.
En general, el número complejo tiene la forma
z = X + iy ,
dónde x, y- números reales, - unidad imaginaria. En varias ciencias aplicadas, por ejemplo, en ingeniería eléctrica, electrónica, teoría de señales, la unidad imaginaria se denota por j... Numeros reales x = Re (z) y y =Soy (z) son llamados partes reales e imaginarias los números z. La expresión se llama forma algebraica notación de un número complejo.
Cualquier número real es un caso especial de un número complejo en la forma 
... El número imaginario también es un caso especial de un número complejo. 
.
Definición del conjunto de números complejos C
Esta expresión dice lo siguiente: set CON que consta de elementos tales que X y y pertenecen al conjunto de números reales R y es una unidad imaginaria. Tenga en cuenta que, etc.
Dos números complejos 
y 
son iguales si y solo si sus partes real e imaginaria son iguales, es decir, y .
Los números y funciones complejos se utilizan ampliamente en ciencia y tecnología, en particular, en mecánica, análisis y cálculo de circuitos de corriente alterna, electrónica analógica, en la teoría y procesamiento de señales, en la teoría del control automático y otras ciencias aplicadas.
- Aritmética de números complejos
La suma de dos números complejos consiste en la suma de sus partes real e imaginaria, es decir
En consecuencia, la diferencia entre dos números complejos
Número complejo 
llamado exhaustivamente conjugado el número z =x +iy.
Los números complejos conjugados zyz * difieren en los signos de la parte imaginaria. Es obvio que
.
Cualquier igualdad entre expresiones complejas sigue siendo válida si en todas partes en esta igualdad I reemplazado por -
I, es decir. ir a la igualdad de números conjugados. Números I y –
I son algebraicamente indistinguibles ya que 
.
El producto (multiplicación) de dos números complejos se puede calcular de la siguiente manera:
División de dos números complejos:
Ejemplo:
- Plano complejo
Un número complejo se puede representar gráficamente en un sistema de coordenadas rectangular. Establezcamos un sistema de coordenadas rectangular en el plano. (x, y).
En el eje Buey tendremos las partes reales X, se llama eje real (real), en el eje Oy- partes removibles y números complejos. Lleva el nombre eje imaginario... En este caso, cada número complejo corresponde a un cierto punto del plano, y dicho plano se llama plano complejo... Punto A el plano complejo corresponderá al vector OA.
Número X llamado abscisa número complejo, número y – ordenada.
Un par de números conjugados complejos está representado por puntos ubicados simétricamente con respecto al eje real.
 |
Si en el avión nos ponemos sistema de coordenadas polares, luego cada número complejo z definido por coordenadas polares. Donde módulo los números 
¿Es el radio polar del punto y el ángulo 
- su argumento de ángulo polar o número complejo z.
Módulo de números complejos 
siempre no negativo. El argumento del número complejo no está definido de forma única. El valor principal del argumento debe satisfacer la condición 
... Cada punto del plano complejo también corresponde al valor total del argumento. Los argumentos que difieren en múltiplos de 2π se consideran iguales. El argumento numérico cero no está definido.
El valor principal del argumento está determinado por las expresiones:
Es obvio que
Donde
, 
.
Representación de números complejos z como
llamado forma trigonométrica Número complejo.
Ejemplo.
- Forma exponencial de números complejos
Descomposición en Serie Maclaurin para funciones de argumento válidas 
parece:
Para una función exponencial de un argumento complejo z la descomposición es similar
.
La expansión de la serie de Maclaurin para la función exponencial del argumento imaginario se puede representar como
La identidad resultante se llama Fórmula de Euler.
Para un argumento negativo, tiene la forma
Combinando estas expresiones, se pueden definir las siguientes expresiones para seno y coseno
.
Usando la fórmula de Euler, de la forma trigonométrica de la representación de números complejos
puedes conseguirlo indicativo(exponencial, polar) de un número complejo, es decir su representación en la forma
,
dónde 
- coordenadas polares de un punto con coordenadas rectangulares ( X,y).
El número conjugado a un número complejo se escribe exponencialmente de la siguiente manera.
Para la forma exponencial, es fácil determinar las siguientes fórmulas de multiplicación y división para números complejos
Es decir, en forma exponencial, el producto y la división de números complejos es más fácil que en forma algebraica. Al multiplicar, se multiplican los módulos de los factores y se suman los argumentos. Esta regla se aplica a cualquier número de factores. En particular, al multiplicar un número complejo z sobre I vector z gira en sentido antihorario 90
La división divide el módulo del numerador por el módulo del denominador y resta el argumento del denominador del argumento del numerador.
Usando la forma exponencial de números complejos, puede obtener expresiones para identidades trigonométricas conocidas. Por ejemplo, de la identidad
usando la fórmula de Euler, podemos escribir
Al igualar las partes real e imaginaria en esta expresión, obtenemos expresiones para el coseno y el seno de la suma de los ángulos
- Potencias, raíces y logaritmos de números complejos
Elevar un número complejo a una potencia natural norte se elabora según la fórmula
Ejemplo... Vamos a calcular 
.
Imagina el numero en forma trigonométrica
’
Aplicando la fórmula de exponenciación, obtenemos
Poniendo en la expresión el valor r= 1, obtenemos el llamado Fórmula de Moivre, con el que se pueden definir expresiones para senos y cosenos de múltiples ángulos.
Raíz norte-Désimo grado de un número complejo z Tiene norte diferentes valores determinados por la expresión
Ejemplo... Lo encontraremos.
Para hacer esto, expresamos el número complejo () a la forma trigonométrica
.
Por la fórmula para calcular la raíz de un número complejo, obtenemos
Logaritmo de un número complejo z Es el numero w, para cual . El logaritmo natural de un número complejo tiene un número infinito de valores y se calcula mediante la fórmula
Consta de partes reales (coseno) e imaginarias (sinusoidales). Tal voltaje se puede representar como un vector de longitud U m, fase inicial (ángulo), girando con velocidad angular ω .
Además, si las funciones complejas se suman, entonces se suman sus partes reales e imaginarias. Si una función compleja se multiplica por una constante o una función real, entonces sus partes real e imaginaria se multiplican por el mismo factor. La diferenciación / integración de una función tan compleja se reduce a la diferenciación / integración de las partes real e imaginaria.
Por ejemplo, diferenciar la expresión del estrés complejo
es multiplicarlo por iω es la parte real de la función f (z), y 
- la parte imaginaria de la función. Ejemplos: 
.
Sentido z está representado por un punto en el plano z complejo, y el valor correspondiente w- un punto en el plano complejo w... Al mostrar w = f (z) lineas planas z pasar a líneas planas w, formas de un plano a formas de otro, pero las formas de las líneas o formas pueden cambiar significativamente.
Notación algebraica de un número complejo ............................................ . ................... |
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El plano de los números complejos ............................................. .. ................................................ .. ... |
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Números complejos conjugados ............................................... .................................................. |
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Acciones con números complejos en forma algebraica ........................................... .... |
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Suma de números complejos .............................................. . ................................................. . |
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Resta de números complejos .............................................. . ................................................ |
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Multiplicación de números complejos .............................................. . ............................................... |
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División de números complejos .............................................. . ................................................. ... |
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Notación trigonométrica de un número complejo ............................................ . .......... |
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Acciones con números complejos en forma trigonométrica ...................................... |
|||
Multiplicación de números complejos en forma trigonométrica ......................................... |
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División de números complejos en forma trigonométrica ........................................... ... |
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Elevar un número complejo a una potencia entera positiva .................................. |
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Extraer la raíz de un grado entero positivo de un número complejo ..................... |
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Elevar un número complejo a una potencia racional .......................................... .. ..... |
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Serie compleja ................................................ .................................................. .................... |
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Serie de números complejos ............................................... .................................................. |
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Serie de potencias en el plano complejo ............................................ . ............................ |
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Serie de potencias bilaterales en el plano complejo ........................................... ... |
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Funciones de variables complejas ............................................... ........................................ |
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Funciones elementales básicas ............................................... ......................................... |
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Fórmulas de Euler ................................................ .................................................. .................... |
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Forma exponencial de representación de un número complejo .......................................... ... ... |
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Relación entre funciones trigonométricas e hiperbólicas .......................... |
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Función logarítmica ................................................ .................................................. ... |
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Funciones generales de potencia exponencial y general ............................................ ............... |
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Diferenciación de funciones de una variable compleja ........................................... ... ... |
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Condiciones de Cauchy-Riemann .............................................. .................................................. ............ |
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Fórmulas para calcular la derivada ............................................. . ................................. |
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Propiedades de la operación de diferenciación ............................................... .............................. |
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Propiedades de las partes real e imaginaria de la función analítica ............................ |
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Reconstrucción de una función de una variable compleja a partir de su real o imaginario. |
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Método número 1. Usando una integral curvilínea .............................................. ....... |
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Método número 2. Aplicación directa de las condiciones de Cauchy-Riemann .......................... |
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Método número 3. Mediante la derivada de la función requerida ........................................... ... ......... |
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Integración de funciones de una variable compleja ........................................... ... ........... |
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Fórmula de Cauchy integral ............................................... .................................................. ... |
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Descomposición de funciones en series de Taylor y Laurent .......................................... . .......................... |
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Ceros y puntos singulares de una función de variable compleja ......................................... .. ..... |
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Ceros de una función de variable compleja ............................................ .. ....................... |
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Puntos singulares aislados de una función de variable compleja ......................... |
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14.3 Apunta al infinito como un punto singular de una función de una variable compleja
Deducciones ................................................. .................................................. ........................................ |
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Deducción del punto final ............................................... .................................................. ..... |
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Deducción de función en el punto infinito ............................................. ................. |
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Cálculo de integrales usando residuos ............................................. ............................ |
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Preguntas para autoexamen ............................................. .. ................................................ .. ....... |
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Literatura................................................. .................................................. ................................. |
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Índice de materias ................................................ .................................................. .............. |
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Prefacio
Es bastante difícil asignar correctamente el tiempo y el esfuerzo en la preparación de las partes teóricas y prácticas del examen o certificación del módulo, especialmente porque no siempre hay suficiente tiempo durante la sesión. Y, como muestra la práctica, no todo el mundo puede hacer frente a esto. Como resultado, en el examen, algunos estudiantes resuelven problemas correctamente, pero les resulta difícil responder las preguntas teóricas más simples, mientras que otros pueden formular un teorema, pero no pueden aplicarlo.
Estas pautas de preparación para el examen de la asignatura "Teoría de funciones de una variable compleja" (TFKP) son un intento de resolver esta contradicción y asegurar la repetición simultánea del material teórico y práctico de la asignatura. Guiados por el principio "La teoría sin práctica está muerta, la práctica sin teoría es ciega", contienen tanto disposiciones teóricas del curso a nivel de definiciones y formulaciones, como ejemplos que ilustran la aplicación de cada propuesta teórica dada, y, por tanto, Facilitar su memorización y comprensión.
El propósito de las pautas propuestas es ayudar al estudiante a prepararse para el examen a un nivel básico. Es decir, se ha elaborado una guía de trabajo ampliada, que contiene los puntos principales utilizados en el aula para el curso TFKP, y necesarios para completar los deberes y prepararse para las actividades de control. Además del trabajo independiente de los estudiantes, esta publicación educativa electrónica se puede utilizar cuando se imparten clases en forma interactiva utilizando una pizarra electrónica o para publicar en un sistema de aprendizaje a distancia.
Tenga en cuenta que este trabajo no reemplaza ni los libros de texto ni las notas de clase. Para un estudio en profundidad del material, se recomienda consultar las secciones relevantes del publicado en MSTU im. NORDESTE. Libro de texto básico de Bauman.
Al final del manual, hay una lista de literatura recomendada y un índice de materias, que incluye todo lo resaltado en el texto. negrita cursiva condiciones. El índice de materias consta de hipervínculos a secciones en las que estos términos están estrictamente definidos o descritos, y donde se dan ejemplos para ilustrar su uso.
El manual está destinado a estudiantes de segundo año de todas las facultades de la Universidad Técnica Estatal de Moscú. NORDESTE. Bauman.
1. Notación algebraica de un número complejo
Una notación de la forma z = x + iy, donde x, y son números reales, i es una unidad imaginaria (es decir, i 2 = - 1)
se llama la forma algebraica del número complejo z. En este caso, x se llama la parte real del número complejo y se denota por Re z (x = Re z), y se llama la parte imaginaria del número complejo y se denota por Im z (y = Im z).
Ejemplo. El número complejo z = 4 - 3i tiene la parte real Re z = 4 y la parte imaginaria Im z = - 3.
2. Plano de números complejos
V teorías de funciones de una variable compleja considerarplano de números complejos, que se denota, o se utilizan letras que denotan números complejos z, w, etc.
El eje horizontal del plano complejo se llama eje real, los números reales z = x + 0 i = x se colocan en él.
El eje vertical del plano complejo se llama eje imaginario;
3. Números complejos conjugados
Los números z = x + iy y z = x - iy se llaman complejo conjugado... En el plano complejo, corresponden a puntos simétricos con respecto al eje real.
4. Acciones con números complejos en forma algebraica
4.1 Suma de números complejos
La suma de dos números complejos |
z 1 = x 1 + iy 1 |
y z 2 = x 2 + iy 2 se llama número complejo |
|||||||||||
z 1 + z 2 |
= (x 1 + iy 1) + (x 2 + iy 2) = (x 1 + x 2) + i (y 1 + y 2). |
operación |
adiciones |
||||||||||
números complejos es análogo a la operación de suma de binomios algebraicos. |
|||||||||||||
Ejemplo. La suma de dos números complejos z 1 = 3 + 7i y z 2 |
= −1 +2 yo |
habrá un número complejo |
|||||||||||
z 1 + z 2 = (3 +7 yo) + (- 1 +2 yo) = (3 −1) + (7 +2) yo = 2 +9 yo. |
|||||||||||||
Obviamente, |
suma en un complejo |
relacionado |
es un |
válido |
|||||||||
z + z = (x + iy) + (x - iy) = 2 x = 2 Re z. |
|||||||||||||
4.2 Resta de números complejos |
|||||||||||||
La diferencia de dos números complejos z 1 = x 1 + iy 1 |
X 2 + iy 2 |
llamado |
complejo |
||||||||||
número z 1 - z 2 = (x 1 + iy 1) - (x 2 + iy 2) = (x 1 - x 2) + i (y 1 - y 2). |
|||||||||||||
Ejemplo. Diferencia de dos números complejos |
z 1 = 3 −4 yo |
y z 2 |
= −1 +2 yo |
será un completo |
|||||||||
número z 1 - z 2 = (3 - 4i) - (- 1+ 2i) = (3 - (- 1)) + (- 4 - 2) i = 4 - 6i. |
|||||||||||||
Diferencia |
complejo conjugado |
es un |
|||||||||||
z - z = (x + iy) - (x - iy) = 2 iy = 2 yo Soy z. |
|||||||||||||
4.3 Multiplicación de números complejos |
|||||||||||||
El producto de dos números complejos |
z 1 = x 1 + iy 1 |
y z 2 = x 2 + iy 2 |
llamado complejo |
||||||||||
z 1z 2 = (x 1 + iy 1) (x 2 + iy 2) = x 1x 2 + iy 1x 2 + iy 2 x 1 + i 2 y 1 y 2 |
= (x 1x 2 - y 1 y 2) + i (y 1x 2 + y 2 x). |
||||||||||||
Así, la operación de multiplicar números complejos es similar a la operación de multiplicar binomios algebraicos, teniendo en cuenta que i 2 = - 1.
Plan de estudios.
1. Momento organizacional.
2. Presentación del material.
3. Tarea.
4. Resumiendo la lección.
Durante las clases
I. Momento organizativo.
II. Presentación del material.
Motivación.
La expansión del conjunto de números reales es que se agregan nuevos números (imaginarios) a los números reales. La introducción de estos números está asociada a la imposibilidad de extraer una raíz de un número negativo en el conjunto de números reales.
Introducción del concepto de número complejo.
Los números imaginarios con los que complementamos los números reales se escriben como bi, dónde I Es una unidad imaginaria y yo 2 = - 1.
Con base en esto, obtenemos la siguiente definición de un número complejo.
Definición... Un número complejo es una expresión de la forma a + bi, dónde a y B- numeros reales. En este caso, se cumplen las siguientes condiciones:
a) Dos números complejos a 1 + b 1 yo y a 2 + b 2 yo son iguales si y solo si a 1 = a 2, b 1 = b 2.
b) La suma de números complejos está determinada por la regla:
(una 1 + segundo 1 yo) + (una 2 + segundo 2 yo) = (una 1 + una 2) + (segundo 1 + segundo 2) yo.
c) La multiplicación de números complejos está determinada por la regla:
(una 1 + segundo 1 yo) (una 2 + segundo 2 yo) = (una 1 una 2 - segundo 1 segundo 2) + (una 1 segundo 2 - una 2 segundo 1) yo.
Forma algebraica de un número complejo.
Escribir un número complejo en el formulario a + bi se llama la forma algebraica de un número complejo, donde a- parte real, bi Es la parte imaginaria, y B Es un número real.
Número complejo a + bi se considera igual a cero si sus partes real e imaginaria son iguales a cero: a = b = 0
Número complejo a + bi a b = 0 se considera igual que un número real a: a + 0i = a.
Número complejo a + bi a a = 0 se llama puramente imaginario y se denota bi: 0 + bi = bi.
Dos números complejos z = a + bi y = a - bi que difieren sólo en el signo de la parte imaginaria se llaman conjugadas.
Acciones sobre números complejos en forma algebraica.
Puede hacer lo siguiente con números complejos en forma algebraica.
1) Adición.
Definición... La suma de números complejos z 1 = una 1 + segundo 1 yo y z 2 = una 2 + segundo 2 yo llamado un número complejo z, cuya parte real es igual a la suma de las partes reales z 1 y z 2, y la parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias de los números z 1 y z 2, es decir z = (una 1 + una 2) + (segundo 1 + segundo 2) yo.
Números z 1 y z 2 se llaman términos.
La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:
1º. Conmutabilidad: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2º. Asociatividad: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Número complejo –A –bi llamado el opuesto de un número complejo z = a + bi... Número complejo opuesto al número complejo z, denotado -z... Suma de números complejos z y -z es igual a cero: z + (-z) = 0
Ejemplo 1. Realizar suma (3 - i) + (-1 + 2i).
(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Resta.
Definición. Restar de un número complejo z 1 Número complejo z 2 z, qué z + z 2 = z 1.
Teorema... La diferencia de números complejos existe y, además, es única.
Ejemplo 2. Realizar una resta (4 - 2i) - (-3 + 2i).
(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.
3) Multiplicación.
Definición... El producto de números complejos z 1 = una 1 + segundo 1 yo y z 2 = una 2 + segundo 2 yo llamado un número complejo z definido por la igualdad: z = (una 1 una 2 - segundo 1 segundo 2) + (una 1 segundo 2 + una 2 segundo 1) yo.
Números z 1 y z 2 se llaman factores.
La multiplicación de números complejos tiene las siguientes propiedades:
1º. Conmutabilidad: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. Asociatividad: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Distribución de la multiplicación relativa a la suma:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z = (a + bi) (a - bi) = a 2 + b 2 es un número real.
En la práctica, la multiplicación de números complejos se realiza según la regla de multiplicar la suma por la suma y separar las partes real e imaginaria.
En el siguiente ejemplo, consideraremos la multiplicación de números complejos de dos formas: por regla y multiplicación de la suma por la suma.
Ejemplo 3. Realice una multiplicación (2 + 3i) (5 - 7i).
1 vía. (2 + 3i) (5 - 7i) = (2 × 5 - 3 × (- 7)) + (2 × (- 7) + 3 × 5) i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 ) yo = 31 + yo.
Método 2. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2 × 5 + 2 × (- 7i) + 3i × 5 + 3i × (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) División.
Definición... Dividir número complejo z 1 en un número complejo z 2, luego encuentra un número tan complejo z, qué z z 2 = z 1.
Teorema. El cociente de números complejos existe y es único si z 2 ≠ 0 + 0i.
En la práctica, el cociente de números complejos se calcula multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
Permitir z 1 = una 1 + segundo 1 yo, z 2 = una 2 + segundo 2 yo, luego
.
En el siguiente ejemplo, dividiremos por la fórmula y la regla de la multiplicación por el conjugado del denominador.
Ejemplo 4. Halla el cociente 
.
5) Elevación a un número entero positivo.
a) Los poderes de la unidad imaginaria.
Usando la igualdad yo 2 = -1, es fácil definir cualquier potencia entera positiva de la unidad imaginaria. Tenemos:
yo 3 = yo 2 yo = -i,
yo 4 = yo 2 yo 2 = 1,
yo 5 = yo 4 yo = yo,
yo 6 = yo 4 yo 2 = -1,
yo 7 = yo 5 yo 2 = -i,
yo 8 = yo 6 yo 2 = 1 etc.
Esto muestra que los valores del grado en, dónde norte- un número entero positivo, que se repite periódicamente cuando el indicador aumenta en 4 .
Por lo tanto, para aumentar el número I en un grado totalmente positivo, el exponente debe dividirse por 4 y erguido I a la potencia, cuyo exponente es igual al resto de la división.
Ejemplo 5. Calcular: (yo 36 + yo 17) yo 23.
yo 36 = (yo 4) 9 = 1 9 = 1,
yo 17 = yo 4 × 4 + 1 = (yo 4) 4 × yo = 1 yo = yo.
yo 23 = yo 4 × 5 + 3 = (yo 4) 5 × yo 3 = 1 · yo 3 = - yo.
(yo 36 + yo 17) yo 23 = (1 + yo) (- yo) = - yo + 1 = 1 - yo.
b) La elevación de un número complejo a una potencia entera positiva se realiza de acuerdo con la regla de elevar un binomio a la potencia apropiada, ya que es un caso especial de multiplicar los mismos factores complejos.
Ejemplo 6. Calcular: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 × 4 2 × 2i + 3 × 4 × (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i - 48 - 8i = 16 + 88i.
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