En cálculo vectorial y sus aplicaciones. gran importancia tiene una tarea de descomposición que consiste en representar un vector dado como la suma de varios vectores llamados componentes de un vector dado

vector. Esta tarea, que tiene caso general un número infinito de soluciones, se vuelve bastante definido si especifica algunos elementos de los vectores componentes.

2. Ejemplos de descomposición.

Consideremos varios casos muy comunes de descomposición.

1. Descomponer un vector c dado en dos vectores componentes de los cuales uno, por ejemplo a, está dado en magnitud y dirección.

El problema se reduce a determinar la diferencia entre dos vectores. De hecho, si los vectores son componentes del vector c, entonces se debe satisfacer la igualdad

A partir de aquí se determina el segundo vector componente.

2. Descomponga el vector c dado en dos componentes, uno de los cuales debe estar en un plano dado y el segundo debe estar en una línea recta dada a.

Para determinar los vectores componentes, movemos el vector c de modo que su comienzo coincida con el punto de intersección de la línea recta dada con el plano (punto O - ver Fig. 18). Desde el final del vector c (punto C) trazamos una línea recta hasta

intersección con el plano (B es el punto de intersección), y luego desde el punto C trazamos una línea recta paralela

Los vectores y serán los deseados, es decir. Naturalmente, la expansión indicada es posible si la recta a y el plano no son paralelos.

3. Dados tres vectores coplanares a, byc, y los vectores no son colineales. Se requiere descomponer el vector c en vectores.

Llevemos los tres vectores dados a un punto O. Luego, debido a su coplanaridad, se ubicarán en el mismo plano. Usando este vector c como diagonal, construiremos un paralelogramo cuyos lados son paralelos a las líneas de acción de los vectores (Fig. 19). Esta construcción siempre es posible (a menos que los vectores sean colineales) y única. De la Fig. 19 está claro que

La base del espacio. es un sistema de vectores en el que todos los demás vectores en el espacio se pueden representar como una combinación lineal de vectores incluidos en la base.
En la práctica, todo esto se implementa de forma bastante sencilla. La base, por regla general, se verifica en un plano o en el espacio, y para ello es necesario encontrar el determinante de una matriz de segundo y tercer orden compuesta por coordenadas vectoriales. A continuación se escriben esquemáticamente. Condiciones bajo las cuales los vectores forman una base.

A expandir el vector b en vectores de base
e,e...,e[n] es necesario encontrar los coeficientes x, ..., x[n] para los cuales la combinación lineal de los vectores e,e...,e[n] es igual a vector b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Para hacer esto, la ecuación vectorial debe convertirse al sistema. ecuaciones lineales y encontrar soluciones. Esto también es bastante sencillo de implementar.
Los coeficientes encontrados x, ..., x[n] se denominan coordenadas del vector b en la base e,e...,e[n].
Movámonos a lado práctico Temas.

Descomposición de un vector en vectores base.

Tarea 1. Compruebe si los vectores a1, a2 forman una base en el plano.

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Solución: Componemos un determinante a partir de las coordenadas de los vectores y lo calculamos.


El determinante no es cero., por eso los vectores son linealmente independientes, lo que significa que forman una base.

2) a1 (2; -3), a2 (5; -1)
Solución: Calculamos el determinante formado por vectores.

El determinante es igual a 13 (no igual a cero); de esto se deduce que los vectores a1, a2 son una base en el plano.

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Veamos ejemplos típicos del programa MAUP en la disciplina "Matemáticas superiores".

Tarea 2. Demuestre que los vectores a1, a2, a3 forman la base de un espacio vectorial tridimensional y expanda el vector b de acuerdo con esta base (use el método de Cramer al resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Solución: Primero, considere el sistema de vectores a1, a2, a3 y verifique el determinante de la matriz A.

construido sobre vectores distintos de cero. La matriz contiene un elemento cero, por lo que es más apropiado calcular el determinante como un gráfico en la primera columna o en la tercera fila.

Como resultado de los cálculos, encontramos que el determinante es diferente de cero, por lo tanto los vectores a1, a2, a3 son linealmente independientes.
Por definición, los vectores forman una base en R3. Escribamos el cronograma del vector b basado en

Los vectores son iguales cuando sus coordenadas correspondientes son iguales.
Por tanto, de la ecuación vectorial obtenemos un sistema de ecuaciones lineales.

Resolvamos SLAE método de cramer. Para ello escribimos el sistema de ecuaciones en la forma

El determinante principal de un SLAE es siempre igual al determinante compuesto por vectores base.

Por tanto, en la práctica no se cuenta dos veces. Para encontrar determinantes auxiliares, colocamos una columna de términos libres en lugar de cada columna del determinante principal. Los determinantes se calculan usando la regla del triángulo.



Sustituyamos los determinantes encontrados en la fórmula de Cramer.



Entonces, la expansión del vector b en términos de la base tiene la forma b=-4a1+3a2-a3. Las coordenadas del vector b en la base a1, a2, a3 serán (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Solución: Verificamos la base de los vectores: componemos un determinante a partir de las coordenadas de los vectores y lo calculamos.

El determinante no es igual a cero, por lo tanto los vectores forman una base en el espacio. Queda por encontrar la tabla del vector b a través de esta base. Para hacer esto, escribimos la ecuación vectorial.

y transformar a un sistema de ecuaciones lineales

vamos a escribirlo ecuación matricial

A continuación, para las fórmulas de Cramer encontramos determinantes auxiliares.



Aplicamos las fórmulas de Cramer.



Entonces, un vector dado b tiene un recorrido a través de dos vectores base b=-2a1+5a3, y sus coordenadas en la base son iguales a b(-2,0, 5).

Base(griego antiguo βασις, base) - un conjunto de vectores en un espacio vectorial tal que cualquier vector en este espacio puede representarse de forma única como una combinación lineal de vectores de este conjunto - Vectores de base

Una base en el espacio Rn es cualquier sistema de norte-vectores linealmente independientes. Cada vector de R n no incluido en la base se puede representar como una combinación lineal de vectores base, es decir repartidos sobre la base.
Sea la base del espacio R n y . Entonces hay números λ 1, λ 2,…, λ n tales que .
Los coeficientes de expansión λ 1, λ 2, ..., λ n se denominan coordenadas vectoriales en la base B. Si se da la base, entonces los coeficientes vectoriales se determinan de forma única.

Comentario. En cada norte-Espacio vectorial dimensional, se puede elegir un número infinito de bases diferentes. En diferentes bases, un mismo vector tiene diferentes coordenadas, pero son únicas en la base elegida. Ejemplo. Expande el vector hasta su base.
Solución. . Sustituyamos las coordenadas de todos los vectores y realicemos acciones sobre ellos:

Igualando las coordenadas, obtenemos un sistema de ecuaciones:

Resolvámoslo: .
Así obtenemos la descomposición: .
En la base, el vector tiene coordenadas.

Fin del trabajo -

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Concepto vectorial. Operaciones lineales sobre vectores.

Un vector es un segmento dirigido que tiene una longitud determinada, es decir, un segmento de una longitud determinada que tiene uno de sus puntos límite. La longitud de un vector se llama módulo y se denota mediante el símbolo módulo vectorial. se llama cero; se designa si su principio y su final coinciden; un vector cero no tiene un vector específico;

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