Base(griego antiguo βασις, base) - un conjunto de vectores en un espacio vectorial tal que cualquier vector en este espacio puede representarse de forma única como una combinación lineal de vectores de este conjunto - Vectores de base

Una base en el espacio Rn es cualquier sistema de norte-vectores linealmente independientes. Cada vector de R n no incluido en la base se puede representar como una combinación lineal de vectores base, es decir repartidos sobre la base.
Sea la base del espacio R n y . Entonces hay números λ 1, λ 2,…, λ n tales que .
Los coeficientes de expansión λ 1, λ 2, ..., λ n se denominan coordenadas vectoriales en la base B. Si se da la base, entonces los coeficientes vectoriales se determinan de forma única.

Comentario. En cada norte-Espacio vectorial dimensional, se puede elegir un número infinito de bases diferentes. En diferentes bases, un mismo vector tiene diferentes coordenadas, pero son únicas en la base elegida. Ejemplo. Expande el vector hasta su base.
Solución. . Sustituyamos las coordenadas de todos los vectores y realicemos acciones sobre ellos:

Igualando las coordenadas, obtenemos un sistema de ecuaciones:

Resolvámoslo: .
Así obtenemos la descomposición: .
En la base, el vector tiene coordenadas.

Fin del trabajo -

Este tema pertenece a la sección:

Concepto vectorial. Operaciones lineales sobre vectores.

Un vector es un segmento dirigido que tiene una longitud determinada, es decir, un segmento de una longitud determinada que tiene uno de sus puntos límite. La longitud de un vector se llama módulo y se denota mediante el símbolo módulo vectorial. Un vector es llamado cero; se designa si su principio y final coinciden; un vector cero no tiene un vector específico.

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La base del espacio. Llaman a un sistema de vectores en el que todos los demás vectores en el espacio se pueden representar como una combinación lineal de vectores incluidos en la base.
En la práctica, todo esto se implementa de forma bastante sencilla. La base, por regla general, se verifica en un plano o en el espacio, y para ello es necesario encontrar el determinante de una matriz de segundo y tercer orden compuesta por coordenadas vectoriales. A continuación se escriben esquemáticamente. Condiciones bajo las cuales los vectores forman una base.

A expandir el vector b en vectores de base
e,e...,e[n] es necesario encontrar los coeficientes x, ..., x[n] para los cuales la combinación lineal de los vectores e,e...,e[n] es igual a vector b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Para hacer esto, la ecuación vectorial se debe convertir a un sistema de ecuaciones lineales y se deben encontrar soluciones. Esto también es bastante sencillo de implementar.
Los coeficientes encontrados x, ..., x[n] se denominan coordenadas del vector b en la base e,e...,e[n].
Pasemos al lado práctico del tema.

Descomposición de un vector en vectores base.

Tarea 1. Compruebe si los vectores a1, a2 forman una base en el plano.

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Solución: Componemos un determinante a partir de las coordenadas de los vectores y lo calculamos.

El determinante no es cero., por eso los vectores son linealmente independientes, lo que significa que forman una base.

2) a1 (2; -3), a2 (5; -1)
Solución: Calculamos el determinante formado por vectores.

El determinante es igual a 13 (no igual a cero); de esto se deduce que los vectores a1, a2 son una base en el plano.

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Veamos ejemplos típicos del programa MAUP en la disciplina "Matemáticas superiores".

Tarea 2. Demuestre que los vectores a1, a2, a3 forman la base de un espacio vectorial tridimensional y expanda el vector b de acuerdo con esta base (use el método de Cramer al resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Solución: Primero, considere el sistema de vectores a1, a2, a3 y verifique el determinante de la matriz A.

construido sobre vectores distintos de cero. La matriz contiene un elemento cero, por lo que es más apropiado calcular el determinante como un gráfico en la primera columna o en la tercera fila.

Como resultado de los cálculos, encontramos que el determinante es diferente de cero, por lo tanto los vectores a1, a2, a3 son linealmente independientes.
Por definición, los vectores forman una base en R3. Escribamos el cronograma del vector b basado en

Los vectores son iguales cuando sus coordenadas correspondientes son iguales.
Por tanto, de la ecuación vectorial obtenemos un sistema de ecuaciones lineales.

Resolvamos SLAE método de cramer. Para ello escribimos el sistema de ecuaciones en la forma

El determinante principal de un SLAE es siempre igual al determinante compuesto por vectores base.

Por tanto, en la práctica no se cuenta dos veces. Para encontrar determinantes auxiliares, colocamos una columna de términos libres en lugar de cada columna del determinante principal. Los determinantes se calculan usando la regla del triángulo.



Sustituyamos los determinantes encontrados en la fórmula de Cramer.



Entonces, la expansión del vector b en términos de la base tiene la forma b=-4a1+3a2-a3. Las coordenadas del vector b en la base a1, a2, a3 serán (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Solución: Verificamos la base de los vectores: componemos un determinante a partir de las coordenadas de los vectores y lo calculamos.

El determinante no es igual a cero, por lo tanto los vectores forman una base en el espacio. Queda por encontrar la tabla del vector b a través de esta base. Para hacer esto, escribimos la ecuación vectorial.

y transformar a un sistema de ecuaciones lineales

vamos a escribirlo ecuación matricial

A continuación, para las fórmulas de Cramer encontramos determinantes auxiliares.



Aplicamos las fórmulas de Cramer.



Entonces, un vector dado b tiene un recorrido a través de dos vectores base b=-2a1+5a3, y sus coordenadas en la base son iguales a b(-2,0, 5).

En cálculo vectorial y sus aplicaciones. gran importancia tiene una tarea de descomposición que consiste en representar un vector dado como la suma de varios vectores llamados componentes de un vector dado

vector. Esta tarea, que tiene caso general un número infinito de soluciones, se vuelve bastante definido si especifica algunos elementos de los vectores componentes.

2. Ejemplos de descomposición.

Consideremos varios casos muy comunes de descomposición.

1. Descomponer un vector c dado en dos vectores componentes de los cuales uno, por ejemplo a, está dado en magnitud y dirección.

El problema se reduce a determinar la diferencia entre dos vectores. De hecho, si los vectores son componentes del vector c, entonces se debe satisfacer la igualdad

A partir de aquí se determina el segundo vector componente.

2. Descomponga el vector c dado en dos componentes, uno de los cuales debe estar en un plano dado y el segundo debe estar en una línea recta a dada.

Para determinar los vectores componentes, movemos el vector c de modo que su comienzo coincida con el punto de intersección de la línea recta dada con el plano (punto O - ver Fig. 18). Desde el final del vector c (punto C) trazamos una línea recta hasta

intersección con el plano (B es el punto de intersección), y luego desde el punto C trazamos una línea recta paralela

Los vectores y serán los deseados, es decir. Naturalmente, la expansión indicada es posible si la recta a y el plano no son paralelos.

3. Dados tres vectores coplanares a, byc, y los vectores no son colineales. Se requiere descomponer el vector c en vectores.

Llevemos los tres vectores dados a un punto O. Luego, debido a su coplanaridad, se ubicarán en el mismo plano. Usando este vector c como diagonal, construiremos un paralelogramo cuyos lados son paralelos a las líneas de acción de los vectores (Fig. 19). Esta construcción siempre es posible (a menos que los vectores sean colineales) y única. De la Fig. 19 está claro que

dependencia lineal Y independencia lineal vectores.
Base de vectores. Sistema de coordenadas afines

En el auditorio hay un carrito con bombones, y cada visitante de hoy recibirá un dulce par: geometría analítica con álgebra lineal. Este artículo abordará dos secciones de matemáticas superiores a la vez y veremos cómo coexisten en un solo envoltorio. ¡Tómate un descanso, come un Twix! ...joder, que montón de tonterías. Aunque está bien, no puntuaré, al final debes tener una actitud positiva hacia el estudio.

Dependencia lineal de vectores., independencia del vector lineal, base de vectores y otros términos no sólo tienen una interpretación geométrica, sino, sobre todo, significado algebraico. El concepto mismo de "vector" desde el punto de vista del álgebra lineal no siempre es el vector "ordinario" que podemos representar en un plano o en el espacio. No necesitas buscar pruebas muy lejos, intenta dibujar un vector de espacio de cinco dimensiones. . O el vector meteorológico, que acabo de buscar en Gismeteo: – temperatura y Presión atmosférica respectivamente. El ejemplo, por supuesto, es incorrecto desde el punto de vista de las propiedades del espacio vectorial, pero, sin embargo, nadie prohíbe formalizar estos parámetros como un vector. Aliento de otoño...

No, no los voy a aburrir con la teoría, los espacios vectoriales lineales, la tarea es entender definiciones y teoremas. Los nuevos términos (dependencia lineal, independencia, combinación lineal, base, etc.) se aplican a todos vectores desde un punto de vista algebraico, pero se darán ejemplos geométricos. Así, todo es sencillo, accesible y claro. Además de los problemas de geometría analítica, también consideraremos algunos tareas tipicas álgebra. Para dominar el material, es recomendable familiarizarse con las lecciones. Vectores para tontos Y ¿Cómo calcular el determinante?

Dependencia lineal e independencia de vectores planos.
Base plana y sistema de coordenadas afines.

Consideremos el plano del escritorio de su computadora (solo una mesa, mesita de noche, piso, techo, lo que quiera). La tarea constará de las siguientes acciones:

1) Seleccionar base de avión. En términos generales, una mesa tiene un largo y un ancho, por lo que es intuitivo que se necesitarán dos vectores para construir la base. Está claro que un vector no es suficiente, tres vectores son demasiado.

2) Basado en la base seleccionada establecer sistema de coordenadas(cuadrícula de coordenadas) para asignar coordenadas a todos los objetos en la mesa.

No te sorprendas, al principio las explicaciones estarán en los dedos. Además, en el tuyo. Por favor coloque dedo índice izquierdo en el borde de la mesa para que mire el monitor. Este será un vector. ahora coloque dedo meñique mano derecha en el borde de la mesa de la misma manera, de modo que apunte a la pantalla del monitor. Este será un vector. Sonríe, ¡te ves genial! ¿Qué podemos decir de los vectores? Vectores de datos colineal, lo que significa lineal expresados ​​entre sí:
, bueno, o viceversa: , donde es algún número distinto de cero.

Podéis ver una imagen de esta acción en clase. Vectores para tontos , donde expliqué la regla para multiplicar un vector por un número.

¿Tus dedos sentarán la base en el plano del escritorio de la computadora? Obviamente no. Los vectores colineales viajan hacia adelante y hacia atrás a través solo dirección, y un plano tiene largo y ancho.

Estos vectores se llaman linealmente dependiente.

Referencia: Las palabras "lineal", "lineal" denotan el hecho de que en las ecuaciones y expresiones matemáticas no hay cuadrados, cubos, otras potencias, logaritmos, senos, etc. Sólo hay expresiones y dependencias lineales (de primer grado).

Dos vectores planos linealmente dependiente entonces y sólo entonces cuando son colineales.

Cruza los dedos sobre la mesa para que entre ellos haya algún ángulo que no sea 0 o 180 grados. Dos vectores planoslineal No dependientes si y sólo si no son colineales. Entonces, se obtiene la base. No hay por qué avergonzarse de que la base esté "sesgada" con vectores no perpendiculares de diferentes longitudes. Muy pronto veremos que no sólo un ángulo de 90 grados es adecuado para su construcción, y no sólo vectores unitarios de igual longitud.

Cualquier vector de avion la única forma se amplía según la base:
, Dónde - numeros reales. los numeros se llaman coordenadas vectoriales en esta base.

También se dice que vectorpresentado como combinación lineal Vectores de base. Es decir, la expresión se llama descomposición vectorialpor base o combinación lineal vectores base.

Por ejemplo, podemos decir que el vector se descompone a lo largo de una base ortonormal del plano, o podemos decir que se representa como una combinación lineal de vectores.

formulemos definición de base formalmente: La base del avión. se llama un par de vectores linealmente independientes (no colineales), , donde cualquier un vector plano es una combinación lineal de vectores base.

Un punto esencial de la definición es el hecho de que los vectores se toman en un cierto orden. Bases – ¡Estas son dos bases completamente diferentes! Como dicen, no se puede reemplazar el dedo meñique de la mano izquierda por el dedo meñique de la mano derecha.

Hemos descubierto la base, pero no basta con establecer una cuadrícula de coordenadas y asignar coordenadas a cada elemento en el escritorio de su computadora. ¿Por qué no es suficiente? Los vectores son libres y deambulan por todo el plano. Entonces, ¿cómo se asignan coordenadas a esos pequeños puntos sucios de la mesa que quedaron de un fin de semana salvaje? Se necesita un punto de partida. Y ese punto de referencia es un punto familiar para todos: el origen de las coordenadas. Entendamos el sistema de coordenadas:

Comenzaré con el sistema "escolar". Ya en la lección introductoria. Vectores para tontos Destaqué algunas diferencias entre el sistema de coordenadas rectangular y la base ortonormal. Aquí está la imagen estándar:

cuando hablan de sistema de coordenadas rectangulares, la mayoría de las veces se refieren al origen, los ejes de coordenadas y la escala a lo largo de los ejes. Intente escribir "sistema de coordenadas rectangulares" en un motor de búsqueda y verá que muchas fuentes le informarán sobre los ejes de coordenadas familiares de quinto a sexto grado y cómo trazar puntos en un plano.

Por otra parte, parece que sistema rectangular Las coordenadas se pueden determinar completamente mediante una base ortonormal. Y eso es casi cierto. La redacción es la siguiente:

origen, Y ortonormal la base está establecida Sistema de coordenadas del plano rectangular cartesiano . Es decir, el sistema de coordenadas rectangular. definitivamente está definido por un solo punto y dos vectores ortogonales unitarios. Es por eso que ves el dibujo que di arriba: en los problemas geométricos, a menudo (pero no siempre) se dibujan tanto los vectores como los ejes de coordenadas.

Creo que todo el mundo entiende que usar un punto (origen) y una base ortonormal CUALQUIER PUNTO del avión y CUALQUIER VECTOR del avión Se pueden asignar coordenadas. En sentido figurado, “todo lo que hay en un avión se puede numerar”.

¿Se requiere que los vectores de coordenadas sean unitarios? No, pueden tener una longitud arbitraria distinta de cero. Considere un punto y dos vectores ortogonales de longitud arbitraria distinta de cero:

Tal base se llama ortogonal. El origen de las coordenadas con vectores está definido por una cuadrícula de coordenadas, y cualquier punto del plano, cualquier vector, tiene sus coordenadas en una base determinada. Por ejemplo, o. El inconveniente obvio es que los vectores de coordenadas en general tienen longitudes diferentes a la unidad. Si las longitudes son iguales a la unidad, entonces se obtiene la base ortonormal habitual.

! Nota : en la base ortogonal, y también debajo en bases afines Se consideran unidades planas y espaciales a lo largo de los ejes. CONDICIONAL. Por ejemplo, una unidad en el eje x contiene 4 cm, una unidad en el eje de ordenadas contiene 2 cm, esta información es suficiente para, si es necesario, convertir coordenadas "no estándar" en "nuestros centímetros habituales".

Y la segunda pregunta, que en realidad ya ha sido respondida, es si el ángulo entre los vectores base debe ser igual a 90 grados. ¡No! Como dice la definición, los vectores base deben ser solo no colineal. En consecuencia, el ángulo puede ser cualquiera excepto 0 y 180 grados.

Un punto en el avión llamado origen, Y no colineal vectores, , colocar sistema de coordenadas del plano afín :

A veces, este sistema de coordenadas se llama oblicuo sistema. Como ejemplos, el dibujo muestra puntos y vectores:

Como comprenderá, el sistema de coordenadas afines es aún menos conveniente, las fórmulas para las longitudes de vectores y segmentos, que discutimos en la segunda parte de la lección, no funcionan en él. Vectores para tontos , muchas fórmulas deliciosas relacionadas con producto escalar de vectores . Pero las reglas para sumar vectores y multiplicar un vector por un número son válidas, Fórmulas para dividir un segmento en este sentido., así como algunos otros tipos de problemas que veremos pronto.

Y la conclusión es que el caso especial más conveniente de un sistema de coordenadas afín es el sistema rectangular cartesiano. Por eso tienes que verla con más frecuencia, querida. ...Sin embargo, todo en esta vida es relativo: hay muchas situaciones en las que un ángulo oblicuo (o algún otro, por ejemplo, polar) sistema coordinado. Y a los humanoides les podrían gustar esos sistemas =)

Pasemos a la parte práctica. Todas las tareas Esta lección válido tanto para el sistema de coordenadas rectangulares como para el caso afín general. Aquí no hay nada complicado, todo el material es accesible incluso para un escolar.

¿Cómo determinar la colinealidad de vectores planos?

Cosa típica. Para que dos vectores planos fueran colineales, es necesario y suficiente que sus coordenadas correspondientes sean proporcionales Esencialmente, se trata de un detalle coordenada por coordenada de la relación obvia.

Ejemplo 1

a) Comprueba si los vectores son colineales. .
b) ¿Los vectores forman una base? ?

Solución:
a) Averigüemos si existe para vectores. coeficiente de proporcionalidad, tal que se satisfacen las igualdades:

Definitivamente les hablaré sobre la versión "tonta" de aplicar esta regla, que funciona bastante bien en la práctica. La idea es recuperar inmediatamente la proporción y ver si es correcta:

Hagamos una proporción a partir de las razones de las coordenadas correspondientes de los vectores:

Acortemos:
, por lo tanto las coordenadas correspondientes son proporcionales, por lo tanto,

La relación se podría hacer al revés, esta es una opción equivalente:

Para la autocomprobación, puede utilizar el hecho de que los vectores colineales se expresan linealmente entre sí. En este caso las igualdades se dan . Su validez se puede verificar fácilmente mediante operaciones elementales con vectores:

b) Dos vectores planos forman una base si no son colineales (linealmente independientes). Examinamos vectores para detectar colinealidad. . Creemos un sistema:

De la primera ecuación se deduce que, de la segunda ecuación se deduce que, lo que significa el sistema es inconsistente (sin soluciones). Por tanto, las coordenadas correspondientes de los vectores no son proporcionales.

Conclusión: los vectores son linealmente independientes y forman una base.

Una versión simplificada de la solución se ve así:

Hagamos una proporción a partir de las coordenadas correspondientes de los vectores. :
, lo que significa que estos vectores son linealmente independientes y forman una base.

Por lo general, los revisores no rechazan esta opción, pero surge un problema en los casos en que algunas coordenadas son iguales a cero. Como esto: . O así: . O así: . ¿Cómo trabajar con la proporción aquí? (de hecho, no se puede dividir por cero). Es por esta razón que llamé a la solución simplificada “tonta”.

Respuesta: a), b) forma.

Pequeño ejemplo creativo para solución independiente:

Ejemplo 2

¿A qué valor del parámetro están los vectores? ¿Serán colineales?

En la solución de muestra, el parámetro se encuentra mediante la proporción.

Existe una forma algebraica elegante de comprobar la colinealidad de los vectores. Sistematicemos nuestro conocimiento y agreguémoslo como quinto punto:

Para dos vectores planos las siguientes afirmaciones son equivalentes:

2) los vectores forman una base;
3) los vectores no son colineales;

+ 5) el determinante compuesto por las coordenadas de estos vectores es distinto de cero.

Respectivamente, las siguientes afirmaciones opuestas son equivalentes:
1) los vectores son linealmente dependientes;
2) los vectores no forman una base;
3) los vectores son colineales;
4) los vectores se pueden expresar linealmente entre sí;
+ 5) el determinante compuesto por las coordenadas de estos vectores es igual a cero.

Realmente espero que este momento ya comprende todos los términos y declaraciones con los que se encuentra.

Echemos un vistazo más de cerca al nuevo quinto punto: dos vectores de avion son colineales si y sólo si el determinante compuesto por las coordenadas de los vectores dados es igual a cero:. Para aplicar esta función, por supuesto, debe poder encontrar determinantes .

Vamos a decidir Ejemplo 1 en la segunda forma:

a) Calculemos el determinante formado por las coordenadas de los vectores. :
, lo que significa que estos vectores son colineales.

b) Dos vectores planos forman una base si no son colineales (linealmente independientes). Calculemos el determinante formado por coordenadas vectoriales. :
, lo que significa que los vectores son linealmente independientes y forman una base.

Respuesta: a), b) forma.

Parece mucho más compacto y bonito que una solución con proporciones.

Con la ayuda del material considerado, es posible establecer no solo la colinealidad de los vectores, sino también demostrar el paralelismo de segmentos y líneas rectas. Consideremos un par de problemas con formas geométricas específicas.

Ejemplo 3

Se dan los vértices de un cuadrilátero. Demuestra que un cuadrilátero es un paralelogramo.

Prueba: No es necesario crear un dibujo en el problema, ya que la solución será puramente analítica. Recordemos la definición de paralelogramo:
Paralelogramo Se llama un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos en pares.

Por tanto, es necesario acreditar:
1) paralelismo de lados opuestos y;
2) paralelismo de lados opuestos y.

Probamos:

1) Encuentra los vectores:

2) Encuentra los vectores:

El resultado es el mismo vector (“según la escuela” – vectores iguales). La colinealidad es bastante obvia, pero es mejor formalizar la decisión de forma clara y concertada. Calculemos el determinante formado por coordenadas vectoriales:
, lo que significa que estos vectores son colineales, y .

Conclusión: Lados opuestos Los cuadriláteros son paralelos en pares, lo que significa que es un paralelogramo por definición. QED.

Más figuras buenas y diferentes:

Ejemplo 4

Se dan los vértices de un cuadrilátero. Demuestra que un cuadrilátero es un trapezoide.

Para una formulación más rigurosa de la prueba, es mejor, por supuesto, obtener la definición de trapezoide, pero basta con recordar cómo se ve.

Esta es una tarea que debes resolver por tu cuenta. Solución completa al final de la lección.

Y ahora ha llegado el momento de pasar lentamente del avión al espacio:

¿Cómo determinar la colinealidad de los vectores espaciales?

La regla es muy similar. Para que dos vectores espaciales sean colineales, necesario y suficiente, de modo que sus coordenadas correspondientes sean proporcionales.

Ejemplo 5

Descubra si los siguientes vectores espaciales son colineales:

A) ;
b)
V)

Solución:
a) Comprobemos si existe un coeficiente de proporcionalidad para las coordenadas correspondientes de los vectores:

El sistema no tiene solución, lo que significa que los vectores no son colineales.

“Simplificado” se formaliza comprobando la proporción. En este caso:
– las coordenadas correspondientes no son proporcionales, lo que significa que los vectores no son colineales.

Respuesta: los vectores no son colineales.

b-c) Estos son puntos para una decisión independiente. Pruébelo de dos maneras.

Existe un método para verificar la colinealidad de vectores espaciales a través de un determinante de tercer orden, este método cubierto en el artículo Producto vectorial de vectores .

Al igual que en el caso del plano, las herramientas consideradas se pueden utilizar para estudiar el paralelismo de segmentos espaciales y líneas rectas.

Bienvenidos a la segunda sección:

Dependencia lineal e independencia de vectores en el espacio tridimensional.
Base espacial y sistema de coordenadas afines.

Muchos de los patrones que examinamos en el avión serán válidos para el espacio. Intenté minimizar las notas teóricas, ya que la mayor parte de la información ya ha sido masticada. Sin embargo, te recomiendo que leas atentamente la parte introductoria, ya que aparecerán nuevos términos y conceptos.

Ahora, en lugar del plano del escritorio de la computadora, exploramos el espacio tridimensional. Primero, creemos su base. Alguien está ahora dentro, alguien está fuera, pero en cualquier caso, no podemos escapar de las tres dimensiones: ancho, largo y alto. Por tanto, para construir una base, se necesitarán tres vectores espaciales. Uno o dos vectores no son suficientes, el cuarto es superfluo.

Y nuevamente calentamos con los dedos. Por favor levante la mano y extiéndala en diferentes direcciones. pulgar, índice y dedo medio. Estos serán vectores, miran en diferentes direcciones, tienen diferentes longitudes y diferentes ángulos entre ellos. ¡Felicitaciones, la base del espacio tridimensional está lista! Por cierto, no es necesario demostrar esto a los profesores, por mucho que tuerzas los dedos, pero no hay forma de escapar de las definiciones =)

A continuación, planteémonos una pregunta importante: ¿Tres vectores cualesquiera forman una base del espacio tridimensional?? Presione firmemente con tres dedos sobre la parte superior del escritorio de la computadora. ¿Qué pasó? Tres vectores están ubicados en el mismo plano y, en términos generales, hemos perdido una de las dimensiones: la altura. Tales vectores son coplanar y es bastante obvio que no se crea la base del espacio tridimensional.

Cabe señalar que los vectores coplanares no tienen por qué estar en el mismo plano, pueden estar en planos paralelos (simplemente no hagas esto con los dedos, solo Salvador Dalí lo hizo =)).

Definición: los vectores se llaman coplanar, si hay un plano al que son paralelos. Es lógico añadir aquí que si dicho plano no existe, entonces los vectores no serán coplanares.

Tres vectores coplanares siempre son linealmente dependientes., es decir, se expresan linealmente entre sí. Para simplificar, imaginemos nuevamente que se encuentran en el mismo plano. En primer lugar, los vectores no sólo son coplanares, también pueden ser colineales, luego cualquier vector se puede expresar a través de cualquier vector. En el segundo caso, si, por ejemplo, los vectores no son colineales, entonces el tercer vector se expresa a través de ellos de forma única: (y por qué es fácil de adivinar a partir de los materiales de la sección anterior).

Lo contrario también es cierto: tres vectores no coplanares son siempre linealmente independientes, es decir, de ninguna manera se expresan uno a través del otro. Y, obviamente, sólo esos vectores pueden formar la base del espacio tridimensional.

Definición: La base del espacio tridimensional. se llama un triple de vectores linealmente independientes (no coplanares), tomado en un orden determinado, y cualquier vector del espacio la única forma se descompone sobre una base dada, ¿dónde están las coordenadas del vector en esta base?

Permítanme recordarles que también podemos decir que el vector se representa en la forma combinación lineal vectores base.

El concepto de sistema de coordenadas se introduce exactamente de la misma manera que para el caso del plano; un punto y tres vectores linealmente independientes cualesquiera son suficientes:

origen, Y no coplanar vectores, tomado en un orden determinado, colocar sistema de coordenadas afines del espacio tridimensional :

Por supuesto, la cuadrícula de coordenadas es "oblicua" e inconveniente, pero, sin embargo, el sistema de coordenadas construido nos permite definitivamente determinar las coordenadas de cualquier vector y las coordenadas de cualquier punto en el espacio. De manera similar a un avión, algunas fórmulas que ya he mencionado no funcionarán en el sistema de coordenadas afines del espacio.

El caso especial más familiar y conveniente de un sistema de coordenadas afín, como todos suponen, es sistema de coordenadas del espacio rectangular:

Un punto en el espacio llamado origen, Y ortonormal la base está establecida Sistema de coordenadas del espacio rectangular cartesiano . Imagen conocida:

Antes de pasar a las tareas prácticas, sistematicemos nuevamente la información:

Para tres vectores espaciales las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1) los vectores son linealmente independientes;
2) los vectores forman una base;
3) los vectores no son coplanares;
4) los vectores no pueden expresarse linealmente entre sí;
5) el determinante, compuesto por las coordenadas de estos vectores, es distinto de cero.

Creo que las afirmaciones contrarias son comprensibles.

La dependencia/independencia lineal de los vectores espaciales se comprueba tradicionalmente mediante un determinante (punto 5). Restante tareas practicas tendrá un carácter algebraico pronunciado. Es hora de colgar el palo de geometría y empuñar el bate de béisbol del álgebra lineal:

Tres vectores del espacio son coplanares si y sólo si el determinante compuesto por las coordenadas de los vectores dados es igual a cero: .

Me gustaría llamar su atención sobre un pequeño matiz técnico: las coordenadas de los vectores se pueden escribir no solo en columnas, sino también en filas (el valor del determinante no cambiará a partir de esto, ver. propiedades de los determinantes). Pero es mucho mejor en columnas, ya que es más beneficioso para resolver algunos problemas prácticos.

Para aquellos lectores que han olvidado un poco los métodos de cálculo de determinantes, o tal vez no los comprenden en absoluto, les recomiendo una de mis lecciones más antiguas: ¿Cómo calcular el determinante?

Ejemplo 6

Compruebe si los siguientes vectores forman la base del espacio tridimensional:

Solución: De hecho, toda la solución se reduce a calcular el determinante.

a) Calculemos el determinante formado por coordenadas vectoriales (el determinante se revela en la primera línea):

, lo que significa que los vectores son linealmente independientes (no coplanares) y forman la base del espacio tridimensional.

Respuesta: estos vectores forman una base

b) Este es un punto para una decisión independiente. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Conocer y tareas creativas:

Ejemplo 7

¿A qué valor del parámetro los vectores serán coplanares?

Solución: Los vectores son coplanares si y sólo si el determinante compuesto por las coordenadas de estos vectores es igual a cero:

Básicamente, necesitas resolver una ecuación con un determinante. Nos abalanzamos sobre los ceros como cometas sobre jerbos; es mejor abrir el determinante en la segunda línea y deshacernos inmediatamente de los inconvenientes:

Realizamos mayores simplificaciones y reducimos el asunto a lo más simple. ecuación lineal:

Respuesta: en

Es fácil comprobarlo aquí; para hacer esto, debe sustituir el valor resultante en el determinante original y asegurarse de que , abriéndolo de nuevo.

En conclusión, consideraremos otro problema típico, que es de naturaleza más algebraica y tradicionalmente se incluye en un curso de álgebra lineal. Es tan común que merece su propio tema:

Demuestre que 3 vectores forman la base del espacio tridimensional.
y encuentre las coordenadas del cuarto vector en esta base

Ejemplo 8

Se dan vectores. Demuestre que los vectores forman una base en el espacio tridimensional y encuentre las coordenadas del vector en esta base.

Solución: Primero, abordemos la condición. Por condición, se dan cuatro vectores y, como puede ver, ya tienen coordenadas en alguna base. Cuál es esta base no nos interesa. Y es interesante lo siguiente: bien pueden formarse tres vectores nueva base. Y la primera etapa coincide completamente con la solución del Ejemplo 6, es necesario comprobar si los vectores son realmente linealmente independientes:

Calculemos el determinante formado por coordenadas vectoriales:

, lo que significa que los vectores son linealmente independientes y forman la base del espacio tridimensional.

! Importante : coordenadas vectoriales Necesariamente anote en columnas determinante, no en cadenas. De lo contrario, habrá confusión en el algoritmo de solución posterior.