Un vector en geometría se llama segmento dirigido o par ordenado de puntos en el espacio euclidiano. Orthom vector es el vector unitario de un espacio vectorial normalizado o un vector cuya norma (longitud) es igual a uno.

Necesitará

  • Conocimientos de geometría.

Instrucciones

Primero necesitas calcular la longitud vector... Como sabes, la longitud (módulo) vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las coordenadas. Sea un vector con coordenadas: a (3, 4). Entonces su longitud es | a | = (9 + 16) ^ 1/2 o | a | = 5.

Para encontrar ort vector a, es necesario dividir cada uno de ellos por su longitud. El resultado será un vector llamado vector unitario o vector unitario. Para vector y (3, 4) el vector unitario será a (3/5, 4/5). El vector a` será la unidad para vector una.

Para verificar si el vector unitario se encuentra correctamente, puede hacer lo siguiente: encuentre la longitud de la unidad resultante, si es igual a uno, entonces todo se encuentra correctamente, si no, entonces un error se deslizó en los cálculos. Comprobemos si el vector unitario a` se encuentra correctamente. Largo vector a` es igual a: a` = (9/25 + 16/25) ^ 1/2 = (25/25) ^ 1/2 = 1. Entonces, la longitud vector a` es igual a uno, por lo que el vector unitario se encuentra correctamente.

El cambio en la coordenada x2 - x1 generalmente se denota con el símbolo Δx12 (lea "delta x uno, dos"). Este registro significa que para el intervalo de tiempo desde el momento t1 al momento t2, el cambio en las coordenadas del cuerpo es Δx12 = x2 - x1. Por lo tanto, si el cuerpo se movió en la dirección positiva del eje X del sistema de coordenadas seleccionado (x2> x1), entonces Δx12>

En la Fig. 45 muestra un cuerpo de punto B, que se mueve en la dirección negativa del eje X. Durante el intervalo de tiempo de t1 a t2, se mueve desde un punto con una coordenada mayor x1 a un punto con una coordenada menor x2. Como resultado, el cambio en la coordenada del punto B durante el intervalo de tiempo considerado Δx12 = x2 - x1 = (2-5) m = -3 m. El vector de desplazamiento en este caso se dirigirá en la dirección negativa de X eje y su módulo | Δx12 | es igual a 3 M. De los ejemplos considerados, se pueden sacar las siguientes conclusiones.

En los ejemplos considerados (véanse las figuras 44 y 45), el cuerpo siempre se movía en una dirección.

¿Cómo encontrar un módulo de movimiento en física? (¿Puede haber alguna fórmula universal?)

Por tanto, la trayectoria recorrida por él es igual al módulo de cambio de coordenadas del cuerpo y al módulo de desplazamiento: s12 = | Δx12 |.

Determinemos el cambio en la coordenada y el desplazamiento del cuerpo durante el intervalo de tiempo de t0 = 0 a t2 = 7 s. De acuerdo con la definición, el cambio en la coordenada Δx02 = x2 - x0 = 2 m>

Ahora determinemos el camino que ha recorrido el cuerpo durante el mismo período de tiempo desde t0 = 0 hasta t2 = 7 s. Primero, el cuerpo pasó 8 m en una dirección (que corresponde al módulo de cambio de coordenadas Δx01), y luego 6 m en la dirección opuesta (este valor corresponde al módulo de cambio de coordenadas Δx12). Esto significa que todo el cuerpo ha pasado de 8 + 6 = 14 (m). Según la definición del camino para el intervalo de tiempo de t0 a t2, el cuerpo pasó por el camino s02 = 14 m.

Resultados

El desplazamiento de un punto durante un período de tiempo se denomina segmento dirigido de una línea recta, cuyo comienzo coincide con la posición inicial del punto y cuyo final coincide con la posición final del punto.

Preguntas

Ejercicios

Vectores, acciones con vectores

Teoremas de Pitágoras teorema del coseno

La longitud del vector se indicará con. El módulo de un número tiene una designación similar, y la longitud de un vector a menudo se denomina módulo de un vector.

, dónde .

Por lo tanto, .

Veamos un ejemplo.

:

.

Por lo tanto, longitud del vector .

Calcula la longitud del vector

, por eso,

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Consideremos soluciones de ejemplos.

.

Moviente

:

:

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Por lo tanto, .


o ,
o ,

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Hasta ahora, solo hemos considerado el movimiento recto y uniforme. En este caso, los cuerpos puntuales se movieron en el marco de referencia seleccionado ya sea en la dirección positiva o negativa del eje de coordenadas X. Encontramos que, dependiendo de la dirección de movimiento del cuerpo, por ejemplo, para el intervalo de tiempo desde del momento t1 al momento t2, el cambio en las coordenadas del cuerpo (x2 - x1) puede ser positivo, negativo o cero (si x2 = x1).

El cambio en la coordenada x2 - x1 generalmente se denota con el símbolo Δx12 (lea "delta x uno, dos"). Este registro significa que para el intervalo de tiempo desde el momento t1 al momento t2, el cambio en las coordenadas del cuerpo es Δx12 = x2 - x1. Por lo tanto, si el cuerpo se movió en la dirección positiva del eje X del sistema de coordenadas seleccionado (x2> x1), entonces Δx12> 0. Si el movimiento tuvo lugar en la dirección negativa del eje X (x21), entonces Δx12

Es conveniente determinar el resultado del movimiento mediante una cantidad vectorial. Tal cantidad vectorial es el desplazamiento.

El desplazamiento de un punto durante un período de tiempo se denomina segmento dirigido de una línea recta, cuyo comienzo coincide con la posición inicial del punto y cuyo final coincide con la posición final del punto.

Como cualquier cantidad vectorial, el desplazamiento se caracteriza por el módulo y la dirección.

Escribiremos el vector de desplazamiento de un punto para el intervalo de tiempo de t1 a t2 de la siguiente manera: Δx12.

Expliquemos lo dicho con un ejemplo. Deje que algún punto A (ceja punteada) se mueva en la dirección positiva del eje X y en el intervalo de tiempo de t1 a t2 se mueva desde un punto con una coordenada x1 a un punto con una coordenada mayor x2 (Fig. 44). En este caso, el vector de desplazamiento se dirige en la dirección positiva del eje X, y su módulo es igual al cambio de coordenada durante el intervalo de tiempo considerado: Δx12 = x2 - x1 = (5-2) m = 3 m.

En la Fig. 45 muestra un cuerpo de puntos B que se mueve en la dirección negativa del eje X.

Durante el intervalo de tiempo de t1 a t2, se mueve desde un punto con una coordenada más grande x1 a un punto con una coordenada más pequeña x2. Como resultado, el cambio en la coordenada del punto B durante el intervalo de tiempo considerado Δx12 = x2 - x1 = (2-5) m = -3 m. El vector de desplazamiento en este caso se dirigirá en la dirección negativa de X eje y su módulo | Δx12 | es igual a 3 M. De los ejemplos considerados, se pueden sacar las siguientes conclusiones.

La dirección del movimiento para el movimiento en línea recta en una dirección coincide con la dirección del movimiento.

El módulo del vector de desplazamiento es igual al módulo del cambio en las coordenadas del cuerpo durante el período de tiempo considerado.

En la vida cotidiana, el concepto de "camino" se utiliza para describir el resultado final del movimiento. Por lo general, la ruta se indica con el símbolo S.

La ruta es la distancia total recorrida por el cuerpo del punto durante el período de tiempo considerado.

Como cualquier distancia, un camino es una cantidad no negativa. Por ejemplo, el camino recorrido por el punto A en el ejemplo considerado (ver Fig. 44) es igual a tres metros. El camino que recorre el punto B también es de tres metros.

En los ejemplos considerados (véanse las figuras 44 y 45), el cuerpo siempre se movía en una dirección. Por tanto, la trayectoria recorrida por él es igual al módulo de cambio de coordenadas del cuerpo y al módulo de desplazamiento: s12 = | Δx12 |.

Si el cuerpo se ha estado moviendo todo el tiempo en una dirección, entonces la trayectoria que atraviesa es igual al módulo de desplazamiento y al módulo de cambio de coordenadas.

La situación cambiará si el cuerpo cambia la dirección del movimiento durante el período de tiempo considerado.

En la Fig. 46 muestra cómo el cuerpo puntual se movió desde el momento t0 = 0 hasta el momento t2 = 7 s. Hasta el momento t1 = 4 s, el movimiento procedió uniformemente en la dirección positiva del eje X. Como resultado, el cambio en la coordenada Δx01 = x1 - x0 = (11 - 3) m = -8 m. Después de eso, el cuerpo comenzó a moverse en la dirección negativa del eje X hasta el momento t2 = 7 s. Al mismo tiempo, el cambio en su coordenada es Δx12 = x2 - x1 = (5 - 11) m = -6 m. La gráfica de este movimiento se muestra en la Fig. 47.

Determinemos el cambio en la coordenada y el desplazamiento del cuerpo durante el intervalo de tiempo de t0 = 0 a t2 = 7 s. De acuerdo con la definición, el cambio en la coordenada Δx02 = x2 - x0 = 2 m> 0. Por lo tanto, el desplazamiento Δx02 se dirige en la dirección positiva del eje X, y su módulo es 2 m.

Ahora determinemos el camino que ha recorrido el cuerpo durante el mismo período de tiempo desde t0 = 0 hasta t2 = 7 s. Primero, el cuerpo pasó 8 m en una dirección (que corresponde al módulo de cambio de coordenadas Δx01), y luego 6 m en la dirección opuesta (este valor corresponde al módulo de cambio de coordenadas Δx12).

Trayectoria

Esto significa que todo el cuerpo ha pasado de 8 + 6 = 14 (m). Según la definición del camino para el intervalo de tiempo de t0 a t2, el cuerpo pasó por el camino s02 = 14 m.

El ejemplo analizado nos permite concluir:

En el caso de que el cuerpo cambie su dirección de movimiento durante el período de tiempo considerado, la trayectoria (la distancia total recorrida por el cuerpo) es mayor que tanto el módulo de movimiento del cuerpo como el módulo de cambio de coordenadas del cuerpo. .

Ahora imagine que el cuerpo, después del momento t2 = 7 s, continúa su movimiento en la dirección negativa del eje X hasta el momento t3 = 8 s de acuerdo con la ley que se muestra en la Fig. 47 con una línea de puntos. Como resultado, en el momento t3 = 8 s, la coordenada del cuerpo se volvió igual ax3 = 3 m. Es fácil determinar que en este caso el movimiento del cuerpo durante el intervalo de tiempo de t0 a t3 s es igual a Δx13 = 0.

Está claro que si solo conocemos el movimiento del cuerpo durante su movimiento, entonces no podemos decir cómo se movió el cuerpo durante este tiempo. Por ejemplo, si solo se supiera de un cuerpo que sus coordenadas inicial y final son iguales, entonces diríamos que el movimiento de este cuerpo es igual a cero durante el movimiento. Sería imposible decir algo más específico sobre la naturaleza del movimiento de este cuerpo. En tales condiciones, el cuerpo podría permanecer quieto durante todo el período de tiempo.

El movimiento del cuerpo durante un cierto período de tiempo depende solo de las coordenadas iniciales y finales del cuerpo y no depende de cómo se movió el cuerpo durante este período de tiempo.

Resultados

El desplazamiento de un punto durante un período de tiempo se denomina segmento dirigido de una línea recta, cuyo comienzo coincide con la posición inicial del punto y cuyo final coincide con la posición final del punto.

El movimiento de un cuerpo puntual está determinado solo por las coordenadas finales e iniciales del cuerpo y no depende de cómo se movió el cuerpo durante el intervalo de tiempo considerado.

Ruta: toda la distancia recorrida por un cuerpo puntual durante el período de tiempo considerado.

Si el cuerpo en el proceso de movimiento no cambió la dirección del movimiento, entonces la trayectoria recorrida por este cuerpo es igual al módulo de su movimiento.

Si el cuerpo durante el período de tiempo considerado cambia la dirección de su movimiento, el recorrido es mayor tanto para el módulo de movimiento del cuerpo como para el módulo de cambio de coordenadas del cuerpo.

El camino siempre es no negativo. Es igual a cero solo si durante todo el período de tiempo considerado el cuerpo estuvo en reposo (parado).

Preguntas

  1. ¿Qué es la reubicación? ¿De qué depende?
  2. Cual es el camino ¿De qué depende?
  3. ¿En qué se diferencia el camino de moverse y cambiar la coordenada durante el mismo período de tiempo, durante el cual el cuerpo se movió en línea recta, sin cambiar la dirección del movimiento?

Ejercicios

  1. Usando la ley del movimiento en forma gráfica, que se muestra en la Fig. 47, describen la naturaleza del movimiento del cuerpo (dirección, velocidad) en diferentes intervalos de tiempo: de t0 a t1, de t1 a t2, de t2 a t3.
  2. El perro Proton salió corriendo de la casa en el momento t0 = 0, y luego, a la orden de su dueño en el momento t4 = 4 s, regresó rápidamente. Sabiendo que el Protón estaba corriendo en línea recta todo el tiempo y el módulo de su velocidad | v | = 4 m / s, determine gráficamente: a) cambio en la coordenada y trayectoria del Protón durante el intervalo de tiempo de t0 = 0 a t6 = 6 s; b) la trayectoria del Protón para el intervalo de tiempo de t2 = 2 sa t5 = 5 s.

Vectores, acciones con vectores

Hallar la longitud de un vector, ejemplos y soluciones.

Por definición, un vector es un segmento direccional y la longitud de este segmento a una escala dada es la longitud del vector. Por tanto, el problema de encontrar la longitud de un vector en un plano y en el espacio se reduce a encontrar la longitud del segmento correspondiente. Para solucionar este problema, tenemos todas las herramientas de geometría a nuestra disposición, aunque en la mayoría de los casos es suficiente Teoremas de Pitágoras... Con su ayuda, puede obtener una fórmula para calcular la longitud de un vector por sus coordenadas en un sistema de coordenadas rectangular, así como una fórmula para encontrar la longitud de un vector por las coordenadas de sus puntos inicial y final. Cuando un vector es un lado de un triángulo, entonces su longitud se puede encontrar mediante teorema del coseno si se conocen las longitudes de los otros dos lados y el ángulo entre ellos.

Hallar la longitud de un vector por coordenadas.

La longitud del vector se indicará con.

vocabulario físico (cinemática)

El módulo de un número tiene una designación similar, y la longitud de un vector a menudo se denomina módulo de un vector.

Comencemos por encontrar la longitud de un vector en un plano por coordenadas.

Introduzcamos en el plano un sistema de coordenadas cartesiano rectangular Oxy. Sea un vector dado en él y tiene coordenadas. Consigamos una fórmula que nos permita encontrar la longitud de un vector a través de las coordenadas y.

Pospongamos el vector desde el origen (desde el punto O). Denotamos la proyección del punto A en los ejes de coordenadas como y, respectivamente, y consideramos un rectángulo con una diagonal OA.

En virtud del teorema de Pitágoras, la igualdad , dónde ... De la definición de las coordenadas del vector en un sistema de coordenadas rectangular, podemos afirmar que y, y por construcción, la longitud del OA es igual a la longitud del vector, por lo tanto, .

Por lo tanto, fórmula para encontrar la longitud de un vector en sus coordenadas en el plano tiene la forma .

Si un vector se representa como una expansión en vectores de coordenadas , entonces su longitud se calcula mediante la misma fórmula , ya que en este caso los coeficientes y son las coordenadas del vector en el sistema de coordenadas dado.

Veamos un ejemplo.

Encuentre la longitud del vector especificado en el sistema de coordenadas cartesianas.

Aplicamos inmediatamente la fórmula para encontrar la longitud de un vector por coordenadas :

Ahora obtenemos la fórmula para encontrar la longitud del vector por sus coordenadas en el sistema de coordenadas rectangular Oxyz en el espacio.

Dejemos a un lado el vector del origen y denotemos la proyección del punto A sobre los ejes de coordenadas como y. Luego podemos construir un paralelepípedo rectangular en los lados, en el que OA será la diagonal.

En este caso (dado que ОА es la diagonal de un paralelepípedo rectangular), de donde ... La determinación de las coordenadas del vector nos permite escribir las igualdades, y la longitud OA es igual a la longitud deseada del vector, por lo tanto, .

Por lo tanto, longitud del vector en el espacio es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas, es decir, se encuentra por la fórmula .

Calcula la longitud del vector , donde están los vectores unitarios del sistema de coordenadas rectangular.

Se nos da la descomposición de un vector en vectores coordenados de la forma , por eso, ... Entonces, por la fórmula para encontrar la longitud de un vector por coordenadas, tenemos.

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La longitud del vector a través de las coordenadas de sus puntos inicial y final.

¿Y cómo encontrar la longitud de un vector, si se dan las coordenadas de los puntos de su inicio y final?

En el párrafo anterior, obtuvimos fórmulas para encontrar la longitud de un vector por sus coordenadas en el plano y en el espacio tridimensional. Entonces podemos usarlos si encontramos las coordenadas del vector por las coordenadas de los puntos de su inicio y final.

Por lo tanto, si los puntos y se dan en el plano, entonces el vector tiene coordenadas y su longitud se calcula mediante la fórmula , y la fórmula para encontrar la longitud del vector por las coordenadas de los puntos y el espacio tridimensional tiene la forma.

Consideremos soluciones de ejemplos.

Encuentre la longitud del vector si está en un sistema de coordenadas cartesiano rectangular .

Puede aplicar inmediatamente la fórmula para encontrar la longitud de un vector por las coordenadas de los puntos inicial y final en el plano. :

La segunda solución es determinar las coordenadas del vector a través de las coordenadas de los puntos y aplicar la fórmula :

.

Determine para qué valores es igual la longitud del vector si .

La longitud del vector en las coordenadas de los puntos inicial y final se puede encontrar como

Igualando el valor resultante de la longitud del vector calculamos los buscados:

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Hallar la longitud de un vector mediante el teorema del coseno.

La mayoría de los problemas de encontrar la longitud de un vector se resuelven en coordenadas. Sin embargo, cuando no se conocen las coordenadas del vector, hay que buscar otras soluciones.

Si se conocen las longitudes de dos vectores y el ángulo entre ellos (o el coseno del ángulo), se requiere encontrar la longitud del vector o. En este caso, usando el teorema del coseno en el triángulo ABC, podemos calcular la longitud del lado BC, que es igual a la longitud deseada del vector.

Analicemos la solución del ejemplo para aclarar lo dicho.

Las longitudes de los vectores y son iguales a 3 y 7, respectivamente, y el ángulo entre ellos es igual. Calcula la longitud del vector.

La longitud del vector es igual a la longitud del lado BC en el triángulo ABC. A partir de la condición, conocemos las longitudes de los lados AB y AC de este triángulo (son iguales a las longitudes de los vectores correspondientes), así como el ángulo entre ellos, por lo que tenemos datos suficientes para aplicar el teorema del coseno:

Por lo tanto, .

Entonces, para encontrar la longitud de un vector por coordenadas, usamos las fórmulas
o ,
por las coordenadas de los puntos del principio y final del vector -
o ,
en algunos casos, el teorema del coseno conduce al resultado.

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  • Bugrov Y.S., Nikolsky S.M. Matemáticas avanzadas. Volumen uno: Elementos de álgebra lineal y geometría analítica.
  • Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometría. 7-9 grados: un libro de texto para instituciones educativas.
  • Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometría. Un libro de texto para los grados 10-11 de la escuela secundaria.

Conferencias de búsqueda

Vector cuadrado escalar

¿Qué sucede si el vector se multiplica por sí mismo?

El número se llama cuadrado escalar vector, y denotado como.

Por lo tanto, vector escalar cuadradoes igual al cuadrado de la longitud del vector dado:

    O el vector unitario (vector unitario de un espacio vectorial normalizado) es un vector, cuya norma (longitud) es igual a uno. Vector unitario ... Wikipedia

    - (ort) vector, cuya longitud es igual a una de las escalas seleccionadas ... Diccionario enciclopédico grande

    - (ort), un vector cuya longitud es igual a la unidad de la escala seleccionada. * * * VECTOR DE UNIDAD VECTOR DE UNIDAD (ort), vector, cuya longitud es igual a la unidad de la escala seleccionada ... diccionario enciclopédico

    Ort, un vector cuya longitud es igual a la unidad de la escala seleccionada. Cualquier vector a puede obtenerse de algún E. v. Colineal con él. e por multiplicación por un número (escalar) λ, es decir, a = λе. Véase también Cálculo de vectores ... Gran enciclopedia soviética

    - (ort), vector, la longitud al rogo es igual a la unidad de la escala seleccionada ... Ciencias Naturales. diccionario enciclopédico

    Orth: En el Wikcionario hay un artículo "Orth" Orff, u Orth el perro de dos cabezas, la descendencia de Typhon y Echidna, hermano de Cerberus. Orth ... Wikipedia

    A; m. [Alemán. Ort] 1. Cuerno. Una mina subterránea horizontal que no tiene salida directa a la superficie. 2. Mat. Un vector cuya longitud es uno. * * * Ort I (de la línea recta griega orthós), lo mismo que el vector unitario. II (alemán ... ... diccionario enciclopédico