el círculo en el signo de la integral en (3.14) denota que la integral se toma sobre un contorno cerrado. Una integral de la forma (3.14) sobre un contorno cerrado se llama circulación vector. Por eso, vector de circulacion campo electrostático , calculado a lo largo de cualquier circuito cerrado, igual a cero.Ésta es una propiedad común de todos los campos de fuerzas conservadoras (campos potenciales).

(3.17)

Si ingresa la siguiente designación:

(3.18)

entonces la fórmula (3.17) se escribirá en forma compacta:

El objeto matemático que presentamos se llama operador de gradiente y la fórmula (3.19) se lee así: "el vector es igual a menos gradiente j".

Superficies equipotenciales, su conexión con líneas de fuerza.

Del propio nombre se sigue que superficies equipotenciales – estas son superficies de igual potencial... Por eso, ecuación de superficie equipotencial parece:

La forma de las superficies equipotenciales está relacionada con la forma de las líneas de fuerza: Las superficies equipotenciales están ubicadas de modo que en cada punto del espacio la línea de fuerza y ​​la superficie equipotencial sean mutuamente perpendiculares.

Si aceptamos dibujar superficies equipotenciales de modo que la diferencia de potencial entre dos superficies adyacentes sea es el mismo entonces por densidad Las superficies equipotenciales se pueden juzgar por la magnitud de la intensidad del campo.

Si cortamos la superficie equipotencial con un plano, entonces en la sección se obtienen líneas de igual potencial, líneas equipotenciales.

Conductores y dieléctricos. Conductor cargado. Conductor en un campo eléctrico externo.

Conductores - estas son sustancias en las que hay cargas eléctricas gratuitas. La concentración de cargas libres en conductores metálicos es del mismo orden de magnitud que la concentración de átomos. Estas cargas pueden moverse dentro de un conductor si se crea un campo eléctrico en él.

Dieléctricos -estas son sustancias en las que casi no hay cargas eléctricas gratuitas.

No hay cargos gratuitos en el modelo dieléctrico ideal.

Semiconductoressegún la concentración de cargas libres, ocupan una posición intermedia entre conductores y dieléctricos... Su concentración de cargas libres depende en gran medida de la temperatura.

Si el conductor está cargado, entonces las cargas libres en él comenzarán a moverse y se moverán hasta que la intensidad del campo eléctrico en el conductor sea igual a cero, ya que la fuerza que actúa sobre la carga es igual a:

Si, entonces, de acuerdo con (3.16):

,

aquellos. todas las derivadas del potencial son iguales a cero, por lo tanto, dentro de un conductor cargado, el potencial es constante, es decir volumen y superficie del conductor- equipotencial.

Si E = 0 en todas partes dentro del conductor, entonces el flujo del vector de intensidad del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada dentro del conductor es igual a cero. Según el teorema de Gauss, se deduce de esto que la densidad de carga volumétrica dentro del conductor es cero. Toda la carga del conductor se distribuye sobre su superficie. La fuerza del campo eléctrico fuera del conductor es perpendicular a su superficie, ya que es equipotencial.

Tomemos un área pequeña en la superficie de un conductor y construyamos una "caja gaussiana" en ella, como se hace al calcular el campo cerca de un plano con carga uniforme. Dentro del conductor E = 0, por lo tanto.

Energía potencial y potencial de un campo electrostático.

Del apartado de dinámica se sabe que cualquier cuerpo (punto), al estar en un campo potencial, tiene una reserva de energía potencial W p, por lo que el trabajo lo realizan las fuerzas del campo. El trabajo de las fuerzas conservadoras va acompañado de una disminución de la energía potencial A = W n1 -W n2. Usando la fórmula para el trabajo de la fuerza del campo electrostático sobre el movimiento de la carga, obtenemos que puede servir como característica del campo y se llama potencial del campo electrostático j... Potencial de campo j - cantidad física escalar, característica energética del campo, determinada por la energía potencial de una unidad de carga positiva colocada en este punto .

La diferencia de potencial entre dos puntos del campo está determinada por el trabajo de las fuerzas de campo al mover una unidad.

el potencial de un punto de campo es numéricamente igual al trabajo realizado por fuerzas eléctricas cuando una carga positiva unitaria se mueve desde un punto dado del campo hasta el infinito.

3) electr. Dipolo- un sistema idealizado que sirve para una descripción aproximada de un campo estático o la propagación de ondas electromagnéticas lejos de una fuente (especialmente de una fuente con un cero total, pero carga espacialmente separada).

Polar- estos son dieléctricos, en cuyas moléculas los centros de distribución de cargas positivas y negativas están separados incluso en ausencia de un campo, es decir, la molécula es un dipolo. Polarización: en electr externo. El campo de la molécula está orientado a lo largo del vector de la intensidad del campo externo. Eo(cuando el campo está encendido, las moléculas giran a lo largo de las líneas de fuerza del campo)

No polar dieléctricos en cuyas moléculas coinciden los centros de distribución de cargas positivas y negativas en ausencia de un campo. Polarización: en el campo eléctrico externo, como resultado de la deformación de las moléculas, los dipolos aparecen orientados a lo largo del vector de la intensidad del campo externo Eo... (cuando el campo está encendido, las moléculas están polarizadas)

En un campo eléctrico, los dipolos de la subred se deforman: se alargan si sus ejes se dirigen a lo largo del campo y se acortan si los ejes se dirigen contra el campo. De tal clase polarización llamado iónico... El grado de polarización iónica depende de las propiedades del dieléctrico y de la intensidad del campo.



La polarización es el fenómeno de la aparición de cargas en la superficie de un dieléctrico, cuyo campo compensa parcialmente el campo eléctrico externo.

La cantidad de compensación se describe utilizando la constante dieléctrica del medio, que muestra cuántas veces este medio reduce el campo eléctrico:

Reglas de Kirchhoff para cadenas ramificadas

.

Primera regla de Kirchhoff: la suma algebraica de las corrientes en el nodo es igual a cero: .

Segunda regla de Kirchhoff se refiere a cualquier bucle cerrado resaltado en una cadena ramificada: la suma algebraica de los productos de las corrientes y resistencias, incluidas las internas, en todas las secciones de un bucle cerrado es igual a la suma algebraica de las fuerzas electromotrices que ocurren en este bucle .

Circulación del vector de la fuerza del campo electrostático.

Integral…. llamada la circulación del vector de tensión. Por lo tanto, la circulación del vector de la intensidad del campo electrostático a lo largo de cualquier circuito cerrado es igual a cero... Ésta es la condición para la potencialidad del campo.

Tome un contorno arbitrario (D) y una superficie arbitraria S en un campo electrostático no homogéneo (Figura 3.7, a, b).

Luego la circulación de un vector a lo largo de un contorno arbitrario (Г) se llama integral de la forma:

y el flujo de la unidad fraseológica del vector a través de una superficie arbitraria S la siguiente expresión

Los vectores incluidos en estas fórmulas se definen como sigue. En valor absoluto, son iguales a la longitud elemental dl del contorno (G) y al área dS del área elemental de la superficie S. La dirección del vector coincide con la dirección de desvío del contorno (G), y el vector se dirige a lo largo del vector normal hasta el área dS (figura 3.7).

En el caso de un campo electrostático, la circulación del vector a lo largo de un bucle cerrado arbitrario (Г) es igual a la relación entre el trabajo Akrug de las fuerzas de campo para el desplazamiento de una carga puntual q a lo largo de este bucle y la magnitud de la carga y, de acuerdo con la fórmula (3.20), será igual a cero

Se sabe por la teoría que si para un campo vectorial arbitrario la circulación del vector a lo largo de un contorno cerrado arbitrario (Г) es igual a cero, entonces este campo es potencial. Por eso, el campo electrostático es potencial y las cargas eléctricas en él tienen energía potencial.

Si tenemos en cuenta que la densidad de las líneas determina el módulo del vector en un punto dado del campo, entonces el flujo del vector será numéricamente igual al número N de líneas que penetran en la superficie S.

La Figura 3.8 muestra ejemplos de cómo calcular el flujo a través de varias superficies S (Figura 3.8, la superficie a, b, c S es plana; Figura 3.8, d S es una superficie cerrada). En este último caso, el flujo a través de una superficie cerrada es cero, ya que el número de líneas que entran () y salen () de ella es el mismo, pero se toman con signos opuestos (+> 0, -<0).

Para un vector, podemos formular Teorema de gauss definir el flujo vectorial a través de una superficie cerrada arbitraria.

El teorema de Gauss en ausencia de un dieléctrico (vacío) está formulado de la siguiente manera: el flujo de un vector a través de una superficie cerrada arbitraria es igual a la suma algebraica de cargas libres cubiertas por esta superficie, dividida por .



Este teorema es una consecuencia de la ley de Coulomb y el principio de superposición de campos electrostáticos.

Demostremos la validez del teorema para el caso de un campo de carga puntual. Sea la superficie cerrada una esfera de radio R, en cuyo centro hay una carga puntual positiva q (figura 3.9, a).

El resultado no cambiará si en lugar de una esfera se elige una superficie cerrada arbitraria (Fig. 3.9, b), ya que el flujo vectorial es numéricamente igual al número de líneas que penetran en la superficie, y el número de tales líneas en los casos ay b es el mismo.

El mismo razonamiento utilizando el principio de superposición de campos electrostáticos se puede realizar en el caso de que varias cargas caigan dentro de una superficie cerrada, lo que confirma el teorema de Gauss.

Terem Gauss para el vector en presencia de un dieléctrico. En este caso, además de las cargas libres, es necesario tener en cuenta las cargas ligadas que aparecen en las caras opuestas del dieléctrico cuando se polariza en la eléctrica externa (para más detalles ver el apartado de dieléctricos). Por lo tanto, el teorema de Gauss para un vector en presencia de un dieléctrico se puede escribir de la siguiente manera

donde el lado derecho de la fórmula contiene la suma algebraica de cargas libres y ligadas cubiertas por la superficie S.

La fórmula (3.28) implica el significado físico del teorema de Gauss para el vector : las fuentes del campo electrostático vectorial son cargas libres y ligadas.

En el caso particular de una disposición simétrica de cargas y un dieléctrico, en presencia de simetría axial o esférica, o en el caso de un dieléctrico homogéneo isótropo, la constante dieléctrica relativa del medio permanece constante, independiente del punto considerado. dentro del dieléctrico, y por lo tanto es posible tener en cuenta la presencia de un dieléctrico en la fórmula (3.28) no solo por la introducción de cargas ligadas, sino también por un parámetro, que es más conveniente en cálculos prácticos. Entonces, podemos escribir (ver párrafo 3.1.12.6, fórmula (3.68))

Entonces, el teorema de Gauss para un vector en este caso se puede escribir de la siguiente manera

donde es la permitividad relativa del medio en el que se encuentra la superficie S.

Tenga en cuenta que la fórmula (3.29) se utiliza para resolver los problemas de esta sección, así como para la mayoría de los casos que se encuentran en la práctica.

Teorema de circulación

Anteriormente, descubrimos que la carga (q), que se encuentra en el campo electrostático, recibe la acción de fuerzas conservadoras, cuyo trabajo ($ A $) en cualquier camino cerrado (L) es igual a cero:

donde $ \ overrightarrow (s) $ es el vector de desplazamiento (que no debe confundirse con el área), $ \ overrightarrow (E) $ es el vector de intensidad de campo.

Para una sola carga positiva, podemos escribir:

La integral del lado izquierdo de la ecuación (2) es la circulación del vector de intensidad a lo largo del contorno L. Una propiedad característica del campo electrostático es que la circulación de su vector de intensidad a lo largo de cualquier contorno cerrado es cero. Este enunciado se denomina teorema de la circulación del vector de la fuerza del campo electrostático.

Probemos el teorema de la circulación sobre la base de que el trabajo del campo para mover la carga no depende de la trayectoria de la carga en el campo electrostático, que se expresa por la igualdad:

donde $ L_1 \ y \ L_2 $ son caminos diferentes entre los puntos A y B. Tenemos en cuenta que al reemplazar los límites de integración, obtenemos:

La expresión (4) se representa como:

donde $ L = L_1 + L_2 $. Esto prueba el teorema.

Una consecuencia del teorema de la circulación es que las líneas de fuerza del campo electrostático no están cerradas. Comienzan con cargas positivas y terminan con cargas negativas o van hasta el infinito. El teorema es cierto precisamente para cargas estáticas. Otra consecuencia del teorema: la continuidad de las componentes tangenciales de la tensión (en contraposición a las componentes normales). Esto significa que los componentes de tensión, que son tangentes a cualquier superficie seleccionada en cualquier punto, tienen valores iguales en ambos lados de la superficie.

Seleccione una superficie arbitraria S que descanse sobre el contorno L (Fig. 1).

De acuerdo con la fórmula de Stokes (teorema de Stokes), la integral del rotor del vector de tensión ($ rot \ overrightarrow (E) $) tomada sobre la superficie S es igual a la circulación del vector de tensión a lo largo del contorno en el que esta restos superficiales:

donde $ d \ overrightarrow (S) = dS \ cdot \ overrightarrow (n) $, $ \ overrightarrow (n) $ es el vector unitario perpendicular al segmento dS. El rotor ($ rot \ overrightarrow (E) $) caracteriza la intensidad del "vórtice" del vector. Se puede obtener una representación visual del rotor vectorial si se coloca un pequeño impulsor ligero (Fig. 2) en un flujo de fluido. En aquellos lugares donde el rotor no es igual a cero, el impulsor girará, y la velocidad de su rotación será mayor cuanto mayor sea la proyección del módulo de proyección del rotor sobre el eje del impulsor.

En el cálculo práctico del rotor, las siguientes fórmulas se utilizan con mayor frecuencia:

Dado que, de acuerdo con la ecuación (6), la circulación del vector tensión es cero, obtenemos:

La condición (8) debe cumplirse para cualquier superficie S que descanse sobre el contorno L. Esto es posible solo si el integrando es:

y para cada punto del campo.

Por analogía con el impulsor de la Fig. 2 imagina un "impulsor" eléctrico. En los extremos de tal "impulsor" hay cargas q de la misma magnitud. El sistema se coloca en un campo uniforme con una intensidad E. En aquellos lugares donde $ rot \ overrightarrow (E) \ ne 0 $ tal "dispositivo" rotará con una aceleración que depende de la proyección del rotor sobre el eje del impulsor . En el caso de un campo electrostático, tal "dispositivo" no giraría para ninguna orientación del eje. Dado que una característica distintiva del campo electrostático es que es irrotante. La ecuación (9) representa el teorema de la circulación en forma diferencial.

Ejemplo 1

Tarea: En la fig. 3 muestra un campo electrostático. ¿Qué puedes decir sobre las características de este campo en la figura?

Se puede decir de este campo que la existencia de tal campo electrostático es imposible. Si selecciona un contorno (se muestra con una línea de puntos). Para tal circuito, la circulación del vector de tensión:

\ [\ oint \ limits_L (\ overrightarrow (E) d \ overrightarrow (s) \ ne 0) \ left (1.1 \ right), \]

lo que contradice el teorema de la circulación para un campo electrostático. La intensidad del campo está determinada por la densidad de las líneas de fuerza, no es la misma en diferentes partes del campo, como resultado, el trabajo en un circuito cerrado será diferente de cero, por lo tanto, la circulación del vector de intensidad es no cero.

Ejemplo 2

Asignación: Basado en el teorema de la circulación, demuestre que las componentes tangenciales del vector de intensidad de campo electrostático no cambian al cruzar la interfaz entre dieléctricos.

Considere el límite entre dos dieléctricos con constantes dieléctricas $ (\ varepsilon) _2 \ y \ (\ varepsilon) _1 $ (Fig. 4). Elijamos un pequeño contorno rectangular en este borde con los parámetros a - longitud, b - ancho. El eje X pasa por los puntos medios de los lados b.

Para el campo electrostático se cumple el teorema de la circulación, que se expresa mediante la ecuación:

\ [\ oint \ limits_L (\ overrightarrow (E) d \ overrightarrow (s) = 0 \ \ left (2.1 \ right).) \]

Con pequeñas dimensiones de contorno, la circulación del vector de tensión y de acuerdo con la dirección indicada de la derivación del contorno, la integral en la fórmula (2.1) se puede representar como:

\ [\ oint \ limits_L (\ overrightarrow (E) d \ overrightarrow (s) = E_ (1x) a-E_ (2x) a + \ left \ langle E_b \ right \ rangle 2b = 0 \ \ left (2.2 \ right ),) \]

donde $ \ left \ langle E_b \ right \ rangle $ es el valor promedio de $ \ overrightarrow (E) $ en áreas perpendiculares a la interfaz.

De (2.2) se sigue que:

\ [((E) _ (2x) -E_ (1x)) a = \ left \ langle E_b \ right \ rangle 2b \ (2.3). \]

Si $ b \ a 0 $, obtenemos eso:

La expresión (2.4) se cumple con una elección arbitraria del eje X, que se encuentra en la interfaz entre los dieléctricos. Si representamos el vector de tensión en forma de dos componentes (tangencial $ E _ (\ tau) \ $ y normal $ E_n $):

\ [\ overrightarrow (E_1) = \ overrightarrow (E_ (1n)) + \ overrightarrow (E_ (1 \ tau)), \ overrightarrow (E_2) = \ overrightarrow (E_ (2n)) + \ overrightarrow (E_ (2 \ tau)) \ \ left (2.5 \ right). \]

En este caso, de (2.4) escribimos:

donde $ E _ (\ tau i) $ es la proyección del vector de intensidad sobre el vector $ \ tau $ dirigido a lo largo de la interfaz dieléctrica.

radio R con una carga total Q se carga uniformemente con Densidad a Granel ( = dQ / dV - cargo por unidad de volumen). Teniendo en cuenta las consideraciones de simetría (ver Sección 3), se puede demostrar que para la intensidad de campo fuera de la esfera, se obtendrá el mismo resultado que en el caso anterior (ver (82.3)). Dentro de la pelota, la intensidad del campo será diferente. Esfera de radio r "< R cubre el cargo Q" = 4/3 r "3  . Por lo tanto, de acuerdo con el teorema de Gauss (81.2), 4r "2 mi=Q" /  0 = 4/3 r 3  /  0. Teniendo en cuenta que  = Q / (4/3 R 3), obtenemos

Por lo tanto, la intensidad de campo fuera de una bola con carga uniforme se describe mediante la fórmula (82.3), y dentro de ella cambia linealmente con la distancia. r" según la expresión (82.4). Gráfico de dependencia mi de r se muestra en la Fig. 130.

5. Campo de un cilindro sin fin cargado uniformemente (rosca). Cilindro sin fin

radio R(fig.131) se carga uniformemente con densidad lineal ( = dQ / dt es la carga por unidad de longitud). De consideraciones de simetría, se deduce que las líneas de tensión se dirigirán a lo largo de los radios de las secciones circulares del cilindro con la misma densidad en todas las direcciones con respecto al eje del cilindro. Como superficie cerrada, construimos mentalmente un cilindro de radio con carga coaxial r y altura l. Flujo de vectores mi a través de los extremos del cilindro coaxial es igual a cero (los extremos son paralelos a las líneas de tensión), y a través de la superficie lateral -2 rlMI. Según el teorema de Gauss (81.2), para r> R 2rlE =l/ 0 , dónde

Si r entonces la superficie cerrada no contiene cargas en su interior, por lo tanto, en esta región mi= 0. Por tanto, la intensidad de campo fuera de un cilindro infinito con carga uniforme se determina mediante la expresión (82.5), pero no hay campo en su interior.

§ 83. Circulación del vector de la intensidad del campo electrostático

Si en el campo electrostático de una carga puntual Q desde el punto 1 exactamente 2 a lo largo de una trayectoria arbitraria (Fig. 132) se mueve otra carga puntual Q 0, luego la fuerza aplicada a la carga hace el trabajo. Trabajo de fuerza F en desplazamiento elemental dl es igual a

Trabajar al mover la carga Q 0 desde el punto 1 exactamente 2

no depende de la trayectoria del movimiento, sino que está determinada sólo por las posiciones de la inicial 1 y el final 2 puntos. Por lo tanto, el campo electrostático de una carga puntual es potencial y fuerzas electrostáticas - conservador(ver §12).

De la fórmula (83.1) se deduce que el trabajo realizado cuando una carga eléctrica se mueve en un campo electrostático externo a lo largo de cualquier camino cerrado L, es igual a cero, es decir

Si tomamos una carga positiva de un solo punto como la carga transferida en un campo electrostático, entonces el trabajo elemental de las fuerzas de campo en la trayectoria d l es igual a mi D l= E l dl, dónde mi l = E cos - proyección vectorial mi en la dirección del movimiento elemental. Entonces la fórmula (83.2) se puede escribir en la forma

Integral

llamado circulación del vector de tensión. En consecuencia, la circulación del vector de la intensidad del campo electrostático a lo largo de cualquier circuito cerrado es cero. Un campo de fuerza con la propiedad (83.3) se llama potencial. Desde el vector de circulación que se desvanece mi de ello se deduce que las líneas de intensidad del campo electrostático no se pueden cerrar, comienzan y terminan con cargas (respectivamente, en positivo o negativo) o van al infinito.

La fórmula (83.3) es válida solo para un campo electrostático. En lo que sigue, se mostrará que para el campo de cargas en movimiento, la condición (83.3) no se satisface (para ella, la circulación del vector de intensidad es distinta de cero).