El cambio en una función en un cierto punto se define como el límite del incremento de la función al incremento del argumento, que tiende a cero. Para encontrarlo, use la tabla de derivadas. Por ejemplo, la derivada de la función y = x3 será igual ay ’= x2.

Establezca esta derivada en cero (en este caso, x2 = 0).

Encuentra el valor de la variable dada. Estos serán los valores cuando la derivada dada sea igual a 0. Para hacer esto, sustituya dígitos arbitrarios en la expresión en lugar de x, en el cual toda la expresión se convierte en cero. Por ejemplo:

2-2x2 = 0
(1-x) (1 + x) = 0
x1 = 1, x2 = -1

Trace los valores obtenidos en la línea de coordenadas y calcule el signo de la derivada para cada uno de los obtenidos. Los puntos se marcan en la línea de coordenadas, que se toman como origen. Para calcular el valor en los intervalos, sustituya los valores arbitrarios que se ajusten a los criterios. Por ejemplo, para la función anterior, hasta -1, puede elegir un valor de -2. De -1 a 1, puede elegir 0, y para valores mayores que 1, elija 2. Sustituya estos números en la derivada y averigüe el signo de la derivada. En este caso, la derivada con x = -2 será -0,24, es decir negativo y habrá un signo menos en este intervalo. Si x = 0, entonces el valor será igual a 2 y se coloca un signo en este intervalo. Si x = 1, entonces la derivada también será -0,24 y se pone menos.

Si, al pasar por un punto en la línea de coordenadas, la derivada cambia su signo de menos a más, entonces este es un punto mínimo, y si de más a menos, entonces este es un punto máximo.

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Consejo útil

Para encontrar la derivada, existen servicios en línea que calculan los valores requeridos y muestran el resultado. En tales sitios, puede encontrar un derivado hasta el quinto orden.

Fuentes:

  • Uno de los servicios para el cálculo de derivados.
  • punto máximo de función

Los puntos máximos de una función, junto con los puntos mínimos, se denominan puntos extremos. En estos puntos, la función cambia su comportamiento. Los extremos se determinan a intervalos numéricos limitados y siempre son locales.

Instrucciones

El proceso de encontrar extremos locales se llama función y se realiza analizando la primera y segunda derivadas de la función. Asegúrese de que el rango especificado de valores de argumentos sean valores válidos antes de examinar. Por ejemplo, para la función F = 1 / x, el valor del argumento x = 0 no es válido. O, para la función Y = tg (x), el argumento no puede tener el valor x = 90 °.

Asegúrese de que la función Y sea diferenciable en todo el segmento dado. Encuentra la primera derivada Y ". Obviamente, antes de llegar al punto de máximo local, la función aumenta, y al pasar por el máximo, la función se vuelve decreciente. La primera derivada a su manera sentido fisico caracteriza la tasa de cambio de la función. Mientras la función aumenta, la tasa de este proceso es positiva. Al pasar por el máximo local, la función comienza a disminuir y la velocidad del proceso de cambio de función se vuelve negativa. La transición de la tasa de cambio de la función a través de cero ocurre en el punto del máximo local.

$ E \ subconjunto \ mathbb (R) ^ (n) $. Se dice que $ F $ tiene máximo local en el punto $ x_ (0) \ en E $, si existe una vecindad $ U $ del punto $ x_ (0) $ tal que para todo $ x \ en U $ la desigualdad $ f \ left (x \ right ) \ leqslant f \ left (x_ (0) \ right) $.

El máximo local se llama estricto si el vecindario $ U $ puede elegirse de modo que para todos los $ x \ en U $ que no sean $ x_ (0) $, haya $ f \ left (x \ right)< f\left(x_{0}\right)$.

Definición
Sea $ f $ una función real en el conjunto abierto $ E \ subset \ mathbb (R) ^ (n) $. Se dice que $ F $ tiene mínimo local en el punto $ x_ (0) \ en E $, si existe una vecindad $ U $ del punto $ x_ (0) $ tal que para todo $ x \ en U $ la desigualdad $ f \ left (x \ right ) \ geqslant f \ left (x_ (0) \ right) $.

Un mínimo local se llama estricto si el vecindario $ U $ puede elegirse de modo que para todos los $ x \ en U $ que no sean $ x_ (0) $, $ f \ left (x \ right)> f \ left (x_ ( 0) \ derecha) $.

El extremo local combina los conceptos de mínimo local y máximo local.

Teorema ( condición necesaria extremo de función diferenciable)
Sea $ f $ una función real en el conjunto abierto $ E \ subset \ mathbb (R) ^ (n) $. Si en el punto $ x_ (0) \ en E $ la función $ f $ tiene un extremo local en este punto, entonces $$ \ text (d) f \ left (x_ (0) \ right) = 0. $$ La igualdad al diferencial cero es equivalente al hecho de que todos son iguales a cero, es decir $$ \ Displaystyle \ frac (\ parcial f) (\ parcial x_ (i)) \ left (x_ (0) \ right) = 0. $$

En el caso unidimensional, lo es. Denotamos $ \ phi \ left (t \ right) = f \ left (x_ (0) + th \ right) $, donde $ h $ es un vector arbitrario. La función $ \ phi $ está definida para valores suficientemente pequeños de $ t $ en valor absoluto. Además, por, es diferenciable y $ (\ phi) ’\ left (t \ right) = \ text (d) f \ left (x_ (0) + th \ right) h $.
Sea $ f $ tener un máximo local en el punto x $ 0 $. Por tanto, la función $ \ phi $ para $ t = 0 $ tiene un máximo local y, según el teorema de Fermat, $ (\ phi) ’\ left (0 \ right) = 0 $.
Entonces, obtenemos que $ df \ left (x_ (0) \ right) = 0 $, es decir de la función $ f $ en el punto $ x_ (0) $ es igual a cero en cualquier vector $ h $.

Definición
Puntos en los que el diferencial es cero, es decir aquellos en los que todas las derivadas parciales son iguales a cero se denominan estacionarias. Puntos críticos la función $ f $ se denomina puntos en los que $ f $ no es diferenciable o es igual a cero. Si el punto es estacionario, esto no significa que la función tenga un extremo en este punto.

Ejemplo 1.
Sea $ f \ left (x, y \ right) = x ^ (3) + y ^ (3) $. Entonces $ \ Displaystyle \ frac (\ Partical F) (\ Partical x) = 3 \ cdot x ^ (2) $, $ \ Displaystyle \ frac (\ Particular f) (\ Particular y) = 3 \ cdot y ^ (2 ) $, entonces $ \ left (0,0 \ right) $ es un punto estacionario, pero en este punto la función no tiene un extremo. De hecho, $ f \ left (0,0 \ right) = 0 $, pero es fácil ver que en cualquier vecindad del punto $ \ left (0,0 \ right) $ la función toma valores tanto positivos como negativos.

Ejemplo 2.
La función $ f \ left (x, y \ right) = x ^ (2) - y ^ (2) $ tiene su origen como un punto estacionario, pero está claro que no hay un extremo en este punto.

Teorema (condición suficiente para un extremo).
Sea la función $ f $ diferenciable dos veces de forma continua en el conjunto abierto $ E \ subset \ mathbb (R) ^ (n) $. Sea $ x_ (0) \ in E $ un punto estacionario y $$ \ displaystyle Q_ (x_ (0)) \ left (h \ right) \ equiv \ sum_ (i = 1) ^ n \ sum_ (j = 1 ) ^ n \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial x_ (i) \ parcial x_ (j)) \ izquierda (x_ (0) \ derecha) h ^ (i) h ^ (j). $ $ Entonces

  1. si $ Q_ (x_ (0)) $ -, entonces la función $ f $ en el punto $ x_ (0) $ tiene un extremo local, es decir, un mínimo si la forma es definida positiva y un máximo si la forma es definido negativo;
  2. si la forma cuadrática $ Q_ (x_ (0)) $ no está definida, entonces la función $ f $ en el punto $ x_ (0) $ no tiene extremo.

Usemos la expansión según la fórmula de Taylor (12.7 p. 292). Teniendo en cuenta que las derivadas parciales de primer orden en el punto $ x_ (0) $ son iguales a cero, obtenemos $$ \ displaystyle f \ left (x_ (0) + h \ right) −f \ left (x_ (0) \ derecha) = \ frac (1) (2) \ suma_ (i = 1) ^ n \ suma_ (j = 1) ^ n \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial x_ (i ) \ parcial x_ (j)) \ left (x_ (0) + \ theta h \ right) h ^ (i) h ^ (j), $$ donde $ 0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0 $, y $ \ epsilon \ left (h \ right) \ rightarrow 0 $ para $ h \ rightarrow 0 $, entonces el lado derecho será positivo para cualquier vector $ h $ de longitud suficientemente pequeña.
Entonces, llegamos a la conclusión de que en algún vecindario del punto $ x_ (0) $ la desigualdad $ f \ left (x \ right)> f \ left (x_ (0) \ right) $ se cumple, si solo $ x \ neq x_ (0) $ (ponemos $ x = x_ (0) + h $ \ right). Esto significa que en el punto $ x_ (0) $ la función tiene un mínimo local estricto y, por lo tanto, se demuestra la primera parte de nuestro teorema.
Supongamos ahora que $ Q_ (x_ (0)) $ es una forma indefinida. Luego están los vectores $ h_ (1) $, $ h_ (2) $ tales que $ Q_ (x_ (0)) \ left (h_ (1) \ right) = \ lambda_ (1)> 0 $, $ Q_ ( x_ (0)) \ izquierda (h_ (2) \ derecha) = \ lambda_ (2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Entonces obtenemos $$ f \ left (x_ (0) + th_ (1) \ right) −f \ left (x_ (0) \ right) = \ frac (1) (2) \ left [t ^ (2) \ lambda_ (1) + t ^ (2) | h_ (1) | ^ (2) \ epsilon \ left (th_ (1) \ right) \ right] = \ frac (1) (2) t ^ (2) \ left [\ lambda_ (1) + | h_ (1) | ^ (2) \ epsilon \ left (th_ (1) \ right) \ right]. $$ Para $ t> 0 $ suficientemente pequeños, el lado derecho es positivo. Esto significa que en cualquier vecindario del punto $ x_ (0) $ la función $ f $ toma valores $ f \ left (x \ right) $ que son mayores que $ f \ left (x_ (0) \ right) PS
De manera similar, obtenemos que en cualquier vecindad del punto $ x_ (0) $ la función $ f $ toma valores menores que $ f \ left (x_ (0) \ right) $. Esto, junto con el anterior, significa que en el punto $ x_ (0) $ la función $ f $ no tiene extremo.

Considerar caso especial de este teorema para la función $ f \ left (x, y \ right) $ de dos variables, definidas en alguna vecindad del punto $ \ left (x_ (0), y_ (0) \ right) $ y que tienen parciales continuos Derivados de primer y segundo orden. Suponga que $ \ left (x_ (0), y_ (0) \ right) $ es un punto estacionario, y denote $$ \ displaystyle a_ (11) = \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial x ^ (2)) \ left (x_ (0), y_ (0) \ right), a_ (12) = \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parti x \ parcial y) \ left (x_ (0 ), y_ (0) \ derecha), a_ (22) = \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial y ^ (2)) \ izquierda (x_ (0), y_ (0) \ derecha) . $$ Entonces el teorema anterior toma la siguiente forma.

Teorema
Sea $ \ Delta = a_ (11) \ cdot a_ (22) - a_ (12) ^ 2 $. Luego:

  1. si $ \ Delta> 0 $, entonces la función $ f $ tiene un extremo local en el punto $ \ left (x_ (0), y_ (0) \ right) $, es decir, un mínimo si $ a_ (11)> 0 $, y máximo si $ a_ (11)<0$;
  2. si $ \ Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Ejemplos de resolución de problemas

Algoritmo para encontrar el extremo de una función de muchas variables:

  1. Encuentra puntos estacionarios;
  2. Encuentre el diferencial de segundo orden en todos los puntos estacionarios
  3. Usando la condición suficiente para el extremo de una función de varias variables, consideramos el diferencial de segundo orden en cada punto estacionario
  1. Examina la función para el extremo $ f \ left (x, y \ right) = x ^ (3) + 8 \ cdot y ^ (3) + 18 \ cdot x - 30 \ cdot y $.
    Solución

    Encuentra las derivadas parciales de 1er orden: $$ \ displaystyle \ frac (\ Partical f) (\ Partical x) = 3 \ cdot x ^ (2) - 6 \ cdot y; $$ $$ \ Displaystyle \ frac (\ Partical f ) (\ partial y) = 24 \ cdot y ^ (2) - 6 \ cdot x. $$ Vamos a componer y resolver el sistema: $$ \ displaystyle \ begin (cases) \ frac (\ partial f) (\ partial x ) = 0 \\\ frac (\ parcial f) (\ parcial y) = 0 \ end (casos) \ Rightarrow \ begin (cases) 3 \ cdot x ^ (2) - 6 \ cdot y = 0 \\ 24 \ cdot y ^ (2) - 6 \ cdot x = 0 \ end (cases) \ Rightarrow \ begin (cases) x ^ (2) - 2 \ cdot y = 0 \\ 4 \ cdot y ^ (2) - x = 0 \ end (cases) $$ De la segunda ecuación, expresa $ x = 4 \ cdot y ^ (2) $ - sustituye en la primera ecuación: $$ \ displaystyle \ left (4 \ cdot y ^ (2) \ right ) ^ (2) -2 \ cdot y = 0 $$ $$ 16 \ cdot y ^ (4) - 2 \ cdot y = 0 $$ $$ 8 \ cdot y ^ (4) - y = 0 $$ $ $ y \ left (8 \ cdot y ^ (3) -1 \ right) = 0 $$ Como resultado, se obtienen 2 puntos estacionarios:
    1) $ y = 0 \ Flecha derecha x = 0, M_ (1) = \ izquierda (0, 0 \ derecha) $;
    2) $ \ displaystyle 8 \ cdot y ^ (3) -1 = 0 \ Rightarrow y ^ (3) = \ frac (1) (8) \ Rightarrow y = \ frac (1) (2) \ Rightarrow x = 1 , M_ (2) = \ izquierda (\ frac (1) (2), 1 \ derecha) $
    Comprobemos el cumplimiento de la condición suficiente para un extremo:
    $$ \ estilo de visualización \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial x ^ (2)) = 6 \ cdot x; \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial x \ parcial y) = - 6; \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial y ^ (2)) = 48 \ cdot y $$
    1) Para el punto $ M_ (1) = \ left (0,0 \ right) $:
    $$ \ Displaystyle A_ (1) = \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial x ^ (2)) \ left (0,0 \ right) = 0; B_ (1) = \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial x \ parcial y) \ izquierda (0,0 \ derecha) = - 6; C_ (1) = \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial y ^ (2)) \ izquierda (0,0 \ derecha) = 0; $$
    $ A_ (1) \ cdot B_ (1) - C_ (1) ^ (2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
    2) Para el punto $ M_ (2) $:
    $$ \ Displaystyle A_ (2) = \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial x ^ (2)) \ izquierda (1, \ frac (1) (2) \ derecha) = 6; B_ (2) = \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial x \ parcial y) \ izquierda (1, \ frac (1) (2) \ derecha) = - 6; C_ (2) = \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial y ^ (2)) \ izquierda (1, \ frac (1) (2) \ derecha) = 24; $$
    $ A_ (2) \ cdot B_ (2) - C_ (2) ^ (2) = 108> 0 $, entonces hay un extremo en el punto $ M_ (2) $, y desde $ A_ (2)> 0 $, entonces este es el mínimo.
    Respuesta: El punto $ \ displaystyle M_ (2) \ left (1, \ frac (1) (2) \ right) $ es el punto mínimo de la función $ f $.

  2. Examine la función para el extremo $ f = y ^ (2) + 2 \ cdot x \ cdot y - 4 \ cdot x - 2 \ cdot y - 3 $.
    Solución

    Encuentra puntos estacionarios: $$ \ displaystyle \ frac (\ partial f) (\ partial x) = 2 \ cdot y - 4; $$ $$ \ displaystyle \ frac (\ partial f) (\ partial y) = 2 \ cdot y + 2 \ cdot x - 2. $$
    Compongamos y resolvemos el sistema: $$ \ displaystyle \ begin (cases) \ frac (\ partial f) (\ partial x) = 0 \\\ frac (\ partial f) (\ partial y) = 0 \ end (cases ) \ Rightarrow \ begin (cases) 2 \ cdot y - 4 = 0 \\ 2 \ cdot y + 2 \ cdot x - 2 = 0 \ end (cases) \ Rightarrow \ begin (cases) y = 2 \\ y + x = 1 \ end (casos) \ Rightarrow x = -1 $$
    $ M_ (0) \ left (-1, 2 \ right) $ es un punto estacionario.
    Comprobemos que se cumple la condición de extremo suficiente: $$ \ displaystyle A = \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial x ^ (2)) \ left (-1,2 \ right) = 0; B = \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial x \ parcial y) \ izquierda (-1,2 \ derecha) = 2; C = \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial y ^ (2)) \ izquierda (-1,2 \ derecha) = 2; $$
    $ A \ cdot B - C ^ (2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
    Respuesta: no hay extremos.

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    Examine la función $ f $ para los extremos: $ f = e ^ (x + y) (x ^ (2) -2 \ cdot y ^ (2)) $

    Derecha

    No está bien

  1. Pregunta 2 de 4

    2 .
    Puntos: 1

    ¿La función $ f = 4 + \ sqrt ((x ^ (2) + y ^ (2)) ^ (2)) $

El punto extremo de una función es un punto en el dominio de una función en el que el valor de una función adquiere un valor mínimo o máximo. Los valores de la función en estos puntos se denominan extremos (mínimo y máximo) de la función..

Definición... Punto X1 dominio de función F(X) se llama punto máximo de la función , si el valor de la función en este punto es mayor que los valores de la función en puntos lo suficientemente cercanos a ella, ubicados a su derecha e izquierda (es decir, la desigualdad F(X0 ) > F(X 0 + Δ X) X1 máximo.

Definición... Punto X2 dominio de función F(X) se llama el punto mínimo de la función, si el valor de la función en este punto es menor que los valores de la función en puntos lo suficientemente cercanos a ella, ubicados a su derecha e izquierda (es decir, la desigualdad F(X0 ) < F(X 0 + Δ X) ). En este caso, se dice que la función tiene en el punto X2 mínimo.

Digamos punto X1 es el punto máximo de la función F(X). Luego, en el intervalo hasta X1 la función aumenta, entonces la derivada de la función es mayor que cero ( F "(X)> 0), y en el intervalo posterior X1 la función disminuye, por lo tanto, y derivada de una función menos que cero ( F "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Supongamos también que el punto X2 es el punto mínimo de la función F(X). Luego, en el intervalo hasta X2 la función disminuye y la derivada de la función es menor que cero ( F "(X) < 0 ), а в интервале после X2 la función aumenta y la derivada de la función es mayor que cero ( F "(X)> 0). En este caso, también en el punto X2 la derivada de la función es cero o no existe.

Teorema de Fermat (un criterio necesario para la existencia de un extremo de una función)... Si el punto X0 es el punto extremo de la función F(X), entonces en este punto la derivada de la función es igual a cero ( F "(X) = 0) o no existe.

Definición... Los puntos en los que la derivada de una función es cero o no existe se denominan puntos críticos .

Ejemplo 1. Consideremos una función.

En el punto X= 0, la derivada de la función es igual a cero, por lo tanto, el punto X= 0 es el punto crítico. Sin embargo, como se puede ver en la gráfica de la función, aumenta en todo el dominio de definición, por lo tanto el punto X= 0 no es el punto extremo de esta función.

Así, las condiciones de que la derivada de una función en un punto sea cero o no exista son condiciones necesarias para un extremo, pero no suficientes, ya que otros ejemplos de funciones para las cuales se satisfacen estas condiciones, pero la función no tiene un extremo en el punto correspondiente, se puede dar. Es por eso necesitas tener suficientes letreros, permitiendo juzgar si existe un extremo en un punto crítico particular y cuál es un máximo o un mínimo.

Teorema (el primer criterio suficiente para la existencia de un extremo de una función). Punto crítico X0 F(X), si la derivada de la función cambia de signo al pasar por este punto, y si el signo cambia de "más" a "menos", entonces el punto máximo, y si de "menos" a "más", entonces el punto mínimo .

Si cerca del punto X0 , a la izquierda y a la derecha de ella, la derivada conserva el signo, entonces esto significa que la función solo disminuye o solo aumenta en alguna vecindad del punto X0 ... En este caso, en el punto X0 no hay extremo.

Entonces, para determinar los puntos extremos de la función, debe hacer lo siguiente :

  1. Encuentra la derivada de la función.
  2. Establezca la derivada en cero y determine los puntos críticos.
  3. Mentalmente o en papel, marque los puntos críticos sobre el eje numérico y determine los signos de la derivada de la función en los intervalos obtenidos. Si el signo de la derivada cambia de "más" a "menos", entonces el punto crítico es el punto máximo, y si de "menos" a "más", entonces el punto mínimo.
  4. Calcula el valor de la función en los puntos extremos.

Ejemplo 2. Encuentra extremos de una función .

Solución. Encontremos la derivada de la función:

Establezcamos la derivada en cero para encontrar los puntos críticos:

.

Dado que para cualquier valor de la "x" el denominador no es cero, equiparamos el numerador a cero:

Tengo un punto de inflexión X= 3. Determinemos el signo de la derivada en los intervalos delimitados por este punto:

en el rango de menos infinito a 3 - el signo menos, es decir, la función disminuye,

en el rango de 3 a más infinito - el signo más, es decir, la función aumenta.

Es decir, apuntar X= 3 es el punto mínimo.

Encontremos el valor de la función en el punto mínimo:

Por tanto, el punto extremo de la función se encuentra: (3; 0), y es el punto mínimo.

Teorema (el segundo criterio suficiente para la existencia de un extremo de una función). Punto crítico X0 es el punto extremo de la función F(X) si la segunda derivada de la función en este punto no es cero ( F ""(X) ≠ 0), y si la segunda derivada es mayor que cero ( F ""(X)> 0), entonces el punto máximo, y si la segunda derivada es menor que cero ( F ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Observación 1. Si en el punto X0 tanto la primera como la segunda derivada desaparecen, entonces en este punto es imposible juzgar la presencia de un extremo sobre la base del segundo criterio suficiente. En este caso, es necesario utilizar el primer indicador suficiente del extremo de la función.

Observación 2. El segundo criterio suficiente para el extremo de una función también es inaplicable si la primera derivada no existe en el punto estacionario (entonces la segunda derivada tampoco existe). En este caso, también es necesario utilizar el primer indicador suficiente del extremo de la función.

El carácter local de los extremos de la función.

De las definiciones anteriores se deduce que el extremo de la función tiene un carácter local: es el más grande y valor más pequeño función en comparación con los valores cercanos.

Suponga que está mirando sus ganancias durante un período de un año. Si ganó 45,000 rublos en mayo, 42,000 rublos en abril y 39,000 rublos en junio, las ganancias de mayo son el máximo de la función de ganancias en comparación con los valores más cercanos. Pero en octubre ganó 71,000 rublos, en septiembre 75,000 rublos y en noviembre 74,000 rublos, por lo que las ganancias de octubre son el mínimo de la función de ganancias en comparación con los valores cercanos. Y puede ver fácilmente que el máximo entre los valores de abril-mayo-junio es menor que el mínimo de septiembre-octubre-noviembre.

En términos generales, en el intervalo una función puede tener varios extremos y puede resultar que cualquier mínimo de la función sea mayor que cualquier máximo. Entonces, para la función que se muestra en la figura anterior ,.

Es decir, no se debe pensar que el máximo y el mínimo de una función son, respectivamente, sus valores más grande y más pequeño en todo el intervalo considerado. En el punto máximo, la función tiene el valor más grande solo en comparación con los valores que tiene en todos los puntos lo suficientemente cerca del punto máximo, y en el punto mínimo, el valor más pequeño solo en comparación con los valores que tiene en todos los puntos lo suficientemente cerca del punto mínimo.

Por lo tanto, es posible aclarar el concepto anterior de puntos extremos de una función y llamar a los puntos mínimos como puntos mínimos locales y puntos máximos - puntos máximos locales.

Buscando juntos los extremos de una función

Ejemplo 3.

Solución: La función está definida y es continua en toda la recta numérica. Su derivado también existe en la recta numérica entera. Por lo tanto, en este caso, los puntos críticos son solo aquellos en los que, es decir, , de donde y. Puntos críticos y dividir todo el dominio de la función en tres intervalos de monotonicidad :. Elijamos un punto de control en cada uno de ellos y encontremos el signo de la derivada en este punto.

Para el intervalo, el punto de control puede ser: encontrar. Tomando un punto en el intervalo, obtenemos, y tomando un punto en el intervalo, tenemos. Entonces, en los intervalos y, y en el intervalo. De acuerdo con el primer criterio suficiente para un extremo, no hay extremo en el punto (ya que la derivada conserva su signo en el intervalo), y en el punto la función tiene un mínimo (ya que la derivada cambia de signo de menos a más al pasar a través de este punto). Encontremos los valores correspondientes de la función :, a. En el intervalo, la función disminuye, como en este intervalo, y en el intervalo, aumenta, como en este intervalo.

Para aclarar la construcción del gráfico, encontraremos los puntos de su intersección con los ejes coordenados. Para, obtenemos una ecuación cuyas raíces y, es decir, dos puntos (0; 0) y (4; 0) de la gráfica de la función se encuentran. Con toda la información obtenida, construimos un gráfico (ver al principio del ejemplo).

Ejemplo 4. Encuentra los extremos de la función y construye su gráfica.

El dominio de la función es la recta numérica entera, excepto el punto, es decir, ...

Para acortar la búsqueda, puede utilizar el hecho de que esta función es par, ya que ... Por tanto, su gráfica es simétrica con respecto al eje Oy y la exploración solo se puede realizar durante un intervalo.

Encuentra la derivada y los puntos críticos de la función:

1) ;

2) ,

pero la función se interrumpe en este punto, por lo que no puede ser un punto extremo.

Por tanto, la función dada tiene dos puntos críticos: y. Teniendo en cuenta la paridad de la función, verifiquemos solo el punto por el segundo criterio suficiente del extremo. Para hacer esto, encontramos la segunda derivada y define su signo en: obtenemos. Dado que y, entonces es el punto mínimo de la función, mientras que .

Para obtener una imagen más completa de la gráfica de una función, averigüemos su comportamiento en los límites del dominio de definición:

(aquí el símbolo denota el deseo X a cero a la derecha, y X permanece positivo; igualmente significa aspiración X a cero a la izquierda, y X permanece negativo). Entonces, si, entonces. Además, encontramos

,

aquellos. si, entonces.

La gráfica de la función no tiene puntos de intersección con los ejes. La imagen está al principio del ejemplo.

Seguimos buscando juntos los extremos de la función

Ejemplo 8. Encuentra los extremos de la función.

Solución. Busquemos el dominio de la función. Dado que la desigualdad debe mantenerse, obtenemos de.

Busquemos la primera derivada de la función:

Encontremos los puntos críticos de la función.

$ E \ subconjunto \ mathbb (R) ^ (n) $. Se dice que $ F $ tiene máximo local en el punto $ x_ (0) \ en E $, si existe una vecindad $ U $ del punto $ x_ (0) $ tal que para todo $ x \ en U $ la desigualdad $ f \ left (x \ right ) \ leqslant f \ left (x_ (0) \ right) $.

El máximo local se llama estricto si el vecindario $ U $ puede elegirse de modo que para todos los $ x \ en U $ que no sean $ x_ (0) $, haya $ f \ left (x \ right)< f\left(x_{0}\right)$.

Definición
Sea $ f $ una función real en el conjunto abierto $ E \ subset \ mathbb (R) ^ (n) $. Se dice que $ F $ tiene mínimo local en el punto $ x_ (0) \ en E $, si existe una vecindad $ U $ del punto $ x_ (0) $ tal que para todo $ x \ en U $ la desigualdad $ f \ left (x \ right ) \ geqslant f \ left (x_ (0) \ right) $.

Un mínimo local se llama estricto si el vecindario $ U $ puede elegirse de modo que para todos los $ x \ en U $ que no sean $ x_ (0) $, $ f \ left (x \ right)> f \ left (x_ ( 0) \ derecha) $.

El extremo local combina los conceptos de mínimo local y máximo local.

Teorema (condición necesaria para el extremo de una función diferenciable)
Sea $ f $ una función real en el conjunto abierto $ E \ subset \ mathbb (R) ^ (n) $. Si en el punto $ x_ (0) \ en E $ la función $ f $ tiene un extremo local en este punto, entonces $$ \ text (d) f \ left (x_ (0) \ right) = 0. $$ La igualdad al diferencial cero es equivalente al hecho de que todos son iguales a cero, es decir $$ \ Displaystyle \ frac (\ parcial f) (\ parcial x_ (i)) \ left (x_ (0) \ right) = 0. $$

En el caso unidimensional, lo es. Denotamos $ \ phi \ left (t \ right) = f \ left (x_ (0) + th \ right) $, donde $ h $ es un vector arbitrario. La función $ \ phi $ está definida para valores suficientemente pequeños de $ t $ en valor absoluto. Además, por, es diferenciable y $ (\ phi) ’\ left (t \ right) = \ text (d) f \ left (x_ (0) + th \ right) h $.
Sea $ f $ tener un máximo local en el punto x $ 0 $. Por tanto, la función $ \ phi $ para $ t = 0 $ tiene un máximo local y, según el teorema de Fermat, $ (\ phi) ’\ left (0 \ right) = 0 $.
Entonces, obtenemos que $ df \ left (x_ (0) \ right) = 0 $, es decir de la función $ f $ en el punto $ x_ (0) $ es igual a cero en cualquier vector $ h $.

Definición
Puntos en los que el diferencial es cero, es decir aquellos en los que todas las derivadas parciales son iguales a cero se denominan estacionarias. Puntos críticos la función $ f $ se denomina puntos en los que $ f $ no es diferenciable o es igual a cero. Si el punto es estacionario, esto no significa que la función tenga un extremo en este punto.

Ejemplo 1.
Sea $ f \ left (x, y \ right) = x ^ (3) + y ^ (3) $. Entonces $ \ Displaystyle \ frac (\ Partical F) (\ Partical x) = 3 \ cdot x ^ (2) $, $ \ Displaystyle \ frac (\ Particular f) (\ Particular y) = 3 \ cdot y ^ (2 ) $, entonces $ \ left (0,0 \ right) $ es un punto estacionario, pero en este punto la función no tiene un extremo. De hecho, $ f \ left (0,0 \ right) = 0 $, pero es fácil ver que en cualquier vecindad del punto $ \ left (0,0 \ right) $ la función toma valores tanto positivos como negativos.

Ejemplo 2.
La función $ f \ left (x, y \ right) = x ^ (2) - y ^ (2) $ tiene su origen como un punto estacionario, pero está claro que no hay un extremo en este punto.

Teorema (condición suficiente para un extremo).
Sea la función $ f $ diferenciable dos veces de forma continua en el conjunto abierto $ E \ subset \ mathbb (R) ^ (n) $. Sea $ x_ (0) \ in E $ un punto estacionario y $$ \ displaystyle Q_ (x_ (0)) \ left (h \ right) \ equiv \ sum_ (i = 1) ^ n \ sum_ (j = 1 ) ^ n \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial x_ (i) \ parcial x_ (j)) \ izquierda (x_ (0) \ derecha) h ^ (i) h ^ (j). $ $ Entonces

  1. si $ Q_ (x_ (0)) $ -, entonces la función $ f $ en el punto $ x_ (0) $ tiene un extremo local, es decir, un mínimo si la forma es definida positiva y un máximo si la forma es definido negativo;
  2. si la forma cuadrática $ Q_ (x_ (0)) $ no está definida, entonces la función $ f $ en el punto $ x_ (0) $ no tiene extremo.

Usemos la expansión según la fórmula de Taylor (12.7 p. 292). Teniendo en cuenta que las derivadas parciales de primer orden en el punto $ x_ (0) $ son iguales a cero, obtenemos $$ \ displaystyle f \ left (x_ (0) + h \ right) −f \ left (x_ (0) \ derecha) = \ frac (1) (2) \ suma_ (i = 1) ^ n \ suma_ (j = 1) ^ n \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial x_ (i ) \ parcial x_ (j)) \ left (x_ (0) + \ theta h \ right) h ^ (i) h ^ (j), $$ donde $ 0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0 $, y $ \ epsilon \ left (h \ right) \ rightarrow 0 $ para $ h \ rightarrow 0 $, entonces el lado derecho será positivo para cualquier vector $ h $ de longitud suficientemente pequeña.
Entonces, llegamos a la conclusión de que en algún vecindario del punto $ x_ (0) $ la desigualdad $ f \ left (x \ right)> f \ left (x_ (0) \ right) $ se cumple, si solo $ x \ neq x_ (0) $ (ponemos $ x = x_ (0) + h $ \ right). Esto significa que en el punto $ x_ (0) $ la función tiene un mínimo local estricto y, por lo tanto, se demuestra la primera parte de nuestro teorema.
Supongamos ahora que $ Q_ (x_ (0)) $ es una forma indefinida. Luego están los vectores $ h_ (1) $, $ h_ (2) $ tales que $ Q_ (x_ (0)) \ left (h_ (1) \ right) = \ lambda_ (1)> 0 $, $ Q_ ( x_ (0)) \ izquierda (h_ (2) \ derecha) = \ lambda_ (2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Entonces obtenemos $$ f \ left (x_ (0) + th_ (1) \ right) −f \ left (x_ (0) \ right) = \ frac (1) (2) \ left [t ^ (2) \ lambda_ (1) + t ^ (2) | h_ (1) | ^ (2) \ epsilon \ left (th_ (1) \ right) \ right] = \ frac (1) (2) t ^ (2) \ left [\ lambda_ (1) + | h_ (1) | ^ (2) \ epsilon \ left (th_ (1) \ right) \ right]. $$ Para $ t> 0 $ suficientemente pequeños, el lado derecho es positivo. Esto significa que en cualquier vecindario del punto $ x_ (0) $ la función $ f $ toma valores $ f \ left (x \ right) $ que son mayores que $ f \ left (x_ (0) \ right) PS
De manera similar, obtenemos que en cualquier vecindad del punto $ x_ (0) $ la función $ f $ toma valores menores que $ f \ left (x_ (0) \ right) $. Esto, junto con el anterior, significa que en el punto $ x_ (0) $ la función $ f $ no tiene extremo.

Considere un caso particular de este teorema para la función $ f \ left (x, y \ right) $ de dos variables, definidas en alguna vecindad del punto $ \ left (x_ (0), y_ (0) \ right) $ y tener derivadas parciales continuas de primer y segundo orden. Suponga que $ \ left (x_ (0), y_ (0) \ right) $ es un punto estacionario, y denote $$ \ displaystyle a_ (11) = \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial x ^ (2)) \ left (x_ (0), y_ (0) \ right), a_ (12) = \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parti x \ parcial y) \ left (x_ (0 ), y_ (0) \ derecha), a_ (22) = \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial y ^ (2)) \ izquierda (x_ (0), y_ (0) \ derecha) . $$ Entonces el teorema anterior toma la siguiente forma.

Teorema
Sea $ \ Delta = a_ (11) \ cdot a_ (22) - a_ (12) ^ 2 $. Luego:

  1. si $ \ Delta> 0 $, entonces la función $ f $ tiene un extremo local en el punto $ \ left (x_ (0), y_ (0) \ right) $, es decir, un mínimo si $ a_ (11)> 0 $, y máximo si $ a_ (11)<0$;
  2. si $ \ Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Ejemplos de resolución de problemas

Algoritmo para encontrar el extremo de una función de muchas variables:

  1. Encuentra puntos estacionarios;
  2. Encuentre el diferencial de segundo orden en todos los puntos estacionarios
  3. Usando la condición suficiente para el extremo de una función de varias variables, consideramos el diferencial de segundo orden en cada punto estacionario
  1. Examina la función para el extremo $ f \ left (x, y \ right) = x ^ (3) + 8 \ cdot y ^ (3) + 18 \ cdot x - 30 \ cdot y $.
    Solución

    Encuentra las derivadas parciales de 1er orden: $$ \ displaystyle \ frac (\ Partical f) (\ Partical x) = 3 \ cdot x ^ (2) - 6 \ cdot y; $$ $$ \ Displaystyle \ frac (\ Partical f ) (\ partial y) = 24 \ cdot y ^ (2) - 6 \ cdot x. $$ Vamos a componer y resolver el sistema: $$ \ displaystyle \ begin (cases) \ frac (\ partial f) (\ partial x ) = 0 \\\ frac (\ parcial f) (\ parcial y) = 0 \ end (casos) \ Rightarrow \ begin (cases) 3 \ cdot x ^ (2) - 6 \ cdot y = 0 \\ 24 \ cdot y ^ (2) - 6 \ cdot x = 0 \ end (cases) \ Rightarrow \ begin (cases) x ^ (2) - 2 \ cdot y = 0 \\ 4 \ cdot y ^ (2) - x = 0 \ end (cases) $$ De la segunda ecuación, expresa $ x = 4 \ cdot y ^ (2) $ - sustituye en la primera ecuación: $$ \ displaystyle \ left (4 \ cdot y ^ (2) \ right ) ^ (2) -2 \ cdot y = 0 $$ $$ 16 \ cdot y ^ (4) - 2 \ cdot y = 0 $$ $$ 8 \ cdot y ^ (4) - y = 0 $$ $ $ y \ left (8 \ cdot y ^ (3) -1 \ right) = 0 $$ Como resultado, se obtienen 2 puntos estacionarios:
    1) $ y = 0 \ Flecha derecha x = 0, M_ (1) = \ izquierda (0, 0 \ derecha) $;
    2) $ \ displaystyle 8 \ cdot y ^ (3) -1 = 0 \ Rightarrow y ^ (3) = \ frac (1) (8) \ Rightarrow y = \ frac (1) (2) \ Rightarrow x = 1 , M_ (2) = \ izquierda (\ frac (1) (2), 1 \ derecha) $
    Comprobemos el cumplimiento de la condición suficiente para un extremo:
    $$ \ estilo de visualización \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial x ^ (2)) = 6 \ cdot x; \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial x \ parcial y) = - 6; \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial y ^ (2)) = 48 \ cdot y $$
    1) Para el punto $ M_ (1) = \ left (0,0 \ right) $:
    $$ \ Displaystyle A_ (1) = \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial x ^ (2)) \ left (0,0 \ right) = 0; B_ (1) = \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial x \ parcial y) \ izquierda (0,0 \ derecha) = - 6; C_ (1) = \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial y ^ (2)) \ izquierda (0,0 \ derecha) = 0; $$
    $ A_ (1) \ cdot B_ (1) - C_ (1) ^ (2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
    2) Para el punto $ M_ (2) $:
    $$ \ Displaystyle A_ (2) = \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial x ^ (2)) \ izquierda (1, \ frac (1) (2) \ derecha) = 6; B_ (2) = \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial x \ parcial y) \ izquierda (1, \ frac (1) (2) \ derecha) = - 6; C_ (2) = \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial y ^ (2)) \ izquierda (1, \ frac (1) (2) \ derecha) = 24; $$
    $ A_ (2) \ cdot B_ (2) - C_ (2) ^ (2) = 108> 0 $, entonces hay un extremo en el punto $ M_ (2) $, y desde $ A_ (2)> 0 $, entonces este es el mínimo.
    Respuesta: El punto $ \ displaystyle M_ (2) \ left (1, \ frac (1) (2) \ right) $ es el punto mínimo de la función $ f $.

  2. Examine la función para el extremo $ f = y ^ (2) + 2 \ cdot x \ cdot y - 4 \ cdot x - 2 \ cdot y - 3 $.
    Solución

    Encuentra puntos estacionarios: $$ \ displaystyle \ frac (\ partial f) (\ partial x) = 2 \ cdot y - 4; $$ $$ \ displaystyle \ frac (\ partial f) (\ partial y) = 2 \ cdot y + 2 \ cdot x - 2. $$
    Compongamos y resolvemos el sistema: $$ \ displaystyle \ begin (cases) \ frac (\ partial f) (\ partial x) = 0 \\\ frac (\ partial f) (\ partial y) = 0 \ end (cases ) \ Rightarrow \ begin (cases) 2 \ cdot y - 4 = 0 \\ 2 \ cdot y + 2 \ cdot x - 2 = 0 \ end (cases) \ Rightarrow \ begin (cases) y = 2 \\ y + x = 1 \ end (casos) \ Rightarrow x = -1 $$
    $ M_ (0) \ left (-1, 2 \ right) $ es un punto estacionario.
    Comprobemos que se cumple la condición de extremo suficiente: $$ \ displaystyle A = \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial x ^ (2)) \ left (-1,2 \ right) = 0; B = \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial x \ parcial y) \ izquierda (-1,2 \ derecha) = 2; C = \ frac (\ parcial ^ (2) f) (\ parcial y ^ (2)) \ izquierda (-1,2 \ derecha) = 2; $$
    $ A \ cdot B - C ^ (2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
    Respuesta: no hay extremos.

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    1 .
    Puntos: 1

    Examine la función $ f $ para los extremos: $ f = e ^ (x + y) (x ^ (2) -2 \ cdot y ^ (2)) $

    Derecha

    No está bien

  1. Pregunta 2 de 4

    2 .
    Puntos: 1

    ¿La función $ f = 4 + \ sqrt ((x ^ (2) + y ^ (2)) ^ (2)) $

Definición: El punto x0 se llama el punto del máximo (o mínimo) local de la función si en alguna vecindad del punto x0 la función toma el valor más grande (o más pequeño), es decir, para todo х de alguna vecindad del punto х0, se satisface la condición f (x) f (x0) (of (x) f (x0)).

Los puntos del máximo o mínimo local están unidos por un nombre común: los puntos del extremo local de la función.

Tenga en cuenta que en los puntos de un extremo local, la función alcanza su valor máximo o mínimo solo en un área local determinada. Hay casos en los que el valor de уmaxуmin.

Un criterio necesario para la existencia de un extremo local de una función

Teorema ... Si una función continua y = f (x) tiene un extremo local en un punto x0, entonces en este punto la primera derivada desaparece o no existe, es decir, un extremo local ocurre en puntos críticos del primer tipo.

En los puntos del extremo local, la tangente es paralela al eje 0x o hay dos tangentes (ver figura). Tenga en cuenta que los puntos críticos son una condición necesaria pero insuficiente para un extremo local. Un extremo local tiene lugar solo en los puntos críticos del primer tipo, pero no todos los puntos críticos tienen un extremo local.

Por ejemplo: una parábola cúbica y = x3, tiene un punto crítico x0 = 0, en el que la derivadaу / (0) = 0, pero el punto crítico х0 = 0 no es un punto extremo, pero hay un punto de inflexión (ver más abajo).

Un criterio suficiente para la existencia de un extremo local de una función

Teorema ... Si, cuando el argumento pasa por un punto crítico del primer tipo de izquierda a derecha, la primera derivada y / (x)

cambia el signo de “+” a “-”, entonces la función continua y (x) en este punto crítico tiene un máximo local;

cambia el signo de “-” a “+”, entonces la función continua y (x) tiene un mínimo local en este punto crítico

no cambia de signo, entonces en este punto crítico no hay un extremo local, aquí hay un punto de inflexión.

Para un máximo local, la región de función creciente (y / 0) se reemplaza por la región de función decreciente (y / 0). Para un mínimo local, la región de función decreciente (y / 0) se reemplaza por la región de función creciente (y / 0).

Ejemplo: Examine la función y = x3 + 9x2 + 15x - 9 en busca de monotonicidad, extremo y construya una gráfica de la función.

Encontremos los puntos críticos del primer tipo determinando la derivada (y /) y equiparándola a cero: y / = 3x2 + 18x + 15 = 3 (x2 + 6x + 5) = 0

Resolvamos el trinomio cuadrado usando el discriminante:

x2 + 6x + 5 = 0 (a = 1, b = 6, c = 5) D =, x1k = -5, x2k = -1.

2) Dividimos el eje numérico por puntos críticos en 3 regiones y determinamos los signos de la derivada (y /) en ellas. Usando estos signos, encontraremos áreas de monotonicidad (aumento y disminución) de funciones, y a partir del cambio de signos, determinaremos los puntos del extremo local (máximo y mínimo).

Los resultados de la investigación se presentarán en forma de tabla, de la que se pueden extraer las siguientes conclusiones:

  • 1. En el intervalo у / (- 10) 0, la función aumenta monótonamente (el signo de la derivada у se estimó a partir del punto de control x = -10, tomado en este intervalo);
  • 2. En el intervalo (-5; -1) y / (- 2) 0, la función decrece monótonamente (el signo de la derivada y se estimó a partir del punto de control x = -2 tomado en este intervalo);
  • 3. En el intervalo у / (0) 0, la función aumenta monótonamente (el signo de la derivada у se estimó a partir del punto de control x = 0 tomado en este intervalo);
  • 4. Al pasar por el punto crítico х1к = -5, la derivada cambia de signo de "+" a "-", por lo que este punto es un punto de máximo local.
  • (ymax (-5) = (-5) 3 + 9 (-5) 2 +15 (-5) -9 = -125 + 225 - 75 - 9 = 16);
  • 5. Al pasar por el punto crítico х2к = -1, la derivada cambia de signo de "-" a "+", por lo que este punto es un punto de mínimo local.
  • (ymin (-1) = -1 + 9-15-9 = - 16).

x -5 (-5; -1) -1

3) Construiremos un gráfico basado en los resultados del estudio con la participación de cálculos adicionales de los valores de la función en los puntos de control:

construir un sistema de coordenadas rectangular Oxy;

mostrar por las coordenadas de los puntos máximo (-5; 16) y mínimo (-1; -16);

para refinar el gráfico, calculamos el valor de la función en los puntos de control, seleccionándolos a la izquierda y derecha de los puntos máximo y mínimo y dentro del intervalo promedio, por ejemplo: y (-6) = (- 6) 3 +9 (-6) 2 + 15 (-6) -9 = 9; y (-3) = (- 3) 3 + 9 (-3) 2 + 15 (-3) -9 = 0;

y (0) = -9 (-6; 9); (-3; 0) y (0; -9) - puntos de control calculados que se trazan para construir un gráfico;

mostramos el gráfico en forma de curva con una protuberancia hacia arriba en el punto máximo y una protuberancia hacia abajo en el punto mínimo y pasando por los puntos de control calculados.