Saame aru, mis on ring ja ring. Ringjoone pindala ja ümbermõõdu valem.

Iga päev puutume kokku paljude objektidega, mis on kujundatud ringiks või vastupidi, ringiks. Mõnikord tekib küsimus, mis on ring ja mille poolest see ringist erineb. Muidugi oleme kõik geomeetriatunde võtnud, kuid mõnikord ei tee paha oma teadmisi mõne väga lihtsa selgitusega lihvida.

Mis on ringi ümbermõõt ja pindala: määratlus

Seega on ring suletud kõverjoon, mis piirab või, vastupidi, moodustab ringi. Ringjoone eelduseks on, et sellel on keskpunkt ja kõik punktid on sellest võrdsel kaugusel. Lihtsamalt öeldes on ring võimlemisrõngas (või nagu seda sageli nimetatakse hularõngaks) tasasel pinnal.

Ringi ümbermõõt on ringi moodustava kõvera kogupikkus. Nagu teada, võrdub selle läbimõõdu ja pikkuse suhe ringi suurusest olenemata arvuga π = 3,141592653589793238462643.

Sellest järeldub, et π=L/D, kus L on ringi ümbermõõt ja D on ringi läbimõõt.

Kui teate läbimõõtu, saate pikkuse leida lihtsa valemi abil: L= π* D

Kui raadius on teada: L=2 πR

Oleme aru saanud, mis on ring ja saame liikuda edasi ringi määratluse juurde.

Ring on geomeetriline kujund, mis on ümbritsetud ringiga. Või ring on kujund, mille piir koosneb suur kogus punktid, mis asuvad joonise keskpunktist võrdsel kaugusel. Kogu ringi sees olevat ala, sealhulgas selle keskpunkti, nimetatakse ringiks.

Väärib märkimist, et ringil ja selles asuval ringil on sama raadius ja läbimõõt. Ja läbimõõt on omakorda kaks korda suurem kui raadius.

Ringil on tasapinnal pindala, mille saab leida lihtsa valemi abil:

Kus S on ringi pindala ja R on antud ringi raadius.

Mille poolest ring erineb ringist: selgitus

Peamine erinevus ringi ja ringi vahel on see, et ring on geomeetriline kujund, ring on suletud kõver. Pange tähele ka ringi ja ringi erinevusi:

  • Ring on suletud joon ja ring on selle ringi sees olev ala;
  • Ring on tasapinnal olev kõverjoon ja ring on ringiga rõngaks suletud ruum;
  • Ringi ja ringi sarnasused: raadius ja diameeter;
  • Ringil ja ümbermõõdul on üks keskpunkt;
  • Kui ringi sees olev ruum on varjutatud, muutub see ringiks;
  • Ringil on pikkus, aga ringil mitte ja vastupidi, ringil on pindala, mida ringil ei ole.

Ring ja ümbermõõt: näited, fotod

Selguse huvides soovitame vaadata fotot, millel on vasakul ring ja paremal ring.

Ringi ümbermõõdu ja pindala valem: võrdlus

Ümbermõõdu valem L=2 πR

Ringjoone pindala valem S= πR²

Pange tähele, et mõlemad valemid sisaldavad raadiust ja arvu π. Soovitatav on need valemid pähe õppida, kuna need on kõige lihtsamad ja tulevad kindlasti kasuks Igapäevane elu ja tööl.

Ringi pindala ümbermõõdu järgi: valem

S=π(L/2π)=L²/4π, kus S on ringi pindala, L on ümbermõõt.

Video: Mis on ring, ümbermõõt ja raadius


Ring on kujund, mis koosneb kõigist antud punktist võrdsel kaugusel asuvatest punktidest.

Põhimõisted:

Ringi keskpunkt on ringjoone punktidest võrdsel kaugusel asuv punkt.

Raadius– see on kaugus ringi punktidest selle keskpunktini (võrdne poole läbimõõduga, joonis 1).

Läbimõõt on ringjoone keskpunkti läbiv kõõl (joonis 1).

Akord on kahte ringi punkti ühendav lõik (joonis 1).

Tangent on sirge, millel on ainult üks ringjoonega ühine punkt. Läbib ringi punkti, mis on risti sellesse punkti tõmmatud läbimõõduga (joonis 1).

Sekant on sirgjoon, mis läbib kahte erinevat ringi punkti (joonis 1).

Üksuse ring on ring, mille raadius on võrdne ühega.

Ringi kaar on ringi osa, mis on jagatud kahe lahkneva punktiga ringil.

1 radiaan on raadiuse pikkusega võrdse ringikaare poolt moodustatud nurk (joonis 4).
1 radiaan = 180˚ : π ≈ 57,3˚

Kesknurk on nurk, mille tipp on ringi keskel. Võrdne kaare astmega, millele see toetub (joonis 2).

Sissekirjutatud nurk on nurk, mille tipp asub ringjoonel ja mille küljed lõikuvad selle ringiga. Võrdub poole kaare kraadiga, millele see toetub (joonis 3).

Nimetatakse kahte ringi, millel on ühine keskpunkt kontsentriline.

Nimetatakse kahte täisnurga all ristuvat ringi ortogonaalne.

Ringi ümbermõõt ja pindala:

Nimetused:
Ümbermõõt - C
Läbimõõt pikkus – d
Raadiuse pikkus – r

Tähendusπ :
 Ringjoone ümbermõõdu ja selle läbimõõdu pikkuse suhet tähistatakse kreeka tähega π (pi).

22
π = -
7

Ümbermõõdu valem:

C = πd või C = 2πr

Ringi pindala valemid:

Kr
S = --
2

π D 2
S = ---
4

Ringikujulise sektori ja ringikujulise segmendi pindala.

Ringikujuline sektor on ringi osa, mis asub vastava kesknurga sees.
Ringikujulise sektori pindala valem:

πR 2
S = ---α
360

Kus π – püsiv väärtus 3,1416; R – ringi raadius; α – vastava kesknurga kraadimõõt.

Ringikujuline segment- See ühine osa ring ja pooltasapind.
Ringikujulise segmendi pindala valem:

πR 2
S = ---α ± S Δ
360

Kus α – selle ringikujulise lõigu kaare sisaldava kesknurga kraadimõõt; S Δ - kolmnurga pindala, mille tipud asuvad ringi keskel ja vastavat sektorit piiravate raadiuste otstes.

Miinusmärk tuleb võtta, kui α< 180˚, а знак «плюс» надо брать, когда α >180˚.

Ringjoone võrrand Descartes'i koordinaatidesx, y tsentreeritud punktis (a; b):

(x –a) 2 + (y–b) 2 = R 2

Kolmnurga ümber piiratud ring (joonis 4).

Kolmnurga sisse kirjutatud ring (joon. 5).

Ringi sisse kirjutatud nurgad (joon. 3).

Nimetatakse nurka, mille tipp asub ringjoonel ja mille küljed selle ringiga lõikuvad ringi sisse kirjutatud.

Põhimõisted:

Nurk jagab tasapinna kaheks osaks. Kõiki neid osi nimetatakse tasane nurk.

Ühiste külgedega lamedaid nurki nimetatakse lisaks.

Nimetatakse tasapindnurka, mille tipp on ringi keskpunktis kesknurk(Joon.2)



Ringjoone akordide ja sekantide lõikude proportsionaalsus.

Erijuhud ja valemid:

1) Punktist C, mis asub väljaspool ringi, tõmmake ringi puutuja ja märkige nende kokkupuutepunkt tähega D.

Seejärel joonestame samast punktist C sekandi ja tähistame sekandi ja ringi lõikepunktid tähtedega A ja B (joonis 8).

Sel juhul:

CD 2 =AC ·B.C.

2) Joonista ringile läbimõõt AB. Seejärel tõmmake ringil asuvast punktist C risti selle läbimõõduga ja tähistage saadud segment CD (joonis 9).

Sel juhul:

CD 2 =A.D. ·B.D.

Ring- geomeetriline kujund, mis koosneb kõigist tasandi punktidest, mis asuvad antud punktist etteantud kaugusel.

Seda punkti (O) nimetatakse ringi keskpunkt.
Ringi raadius- see on segment, mis ühendab keskpunkti ringi mis tahes punktiga. Kõik raadiused on sama pikkusega (definitsiooni järgi).
Akord- segment, mis ühendab kahte ringi punkti. Ringjoone keskpunkti läbivat akordi nimetatakse läbimõõt. Ringjoone keskpunkt on mis tahes läbimõõdu keskpunkt.
Ringi kaks punkti jagavad selle kaheks osaks. Kõiki neid osi nimetatakse ringi kaar. Kaart nimetatakse poolring, kui selle otsa ühendav segment on läbimõõduga.
Ühiku poolringi pikkust tähistatakse π .
Kahe ühiste otstega ringikaare astmemõõtude summa on võrdne 360º.
Ringjoonega piiratud tasandi osa nimetatakse ümberringi.
Ringikujuline sektor- ringjoone osa, mis on piiratud kaare ja kahe raadiusega, mis ühendavad kaare otsad ringi keskpunktiga. Kaart, mis piirab sektorit, nimetatakse sektori kaar.
Nimetatakse kahte ringi, millel on ühine keskpunkt kontsentriline.
Nimetatakse kahte täisnurga all ristuvat ringi ortogonaalne.

Sirge ja ringi suhteline asukoht

  1. Kui kaugus ringi keskpunktist sirgjooneni on väiksem kui ringi raadius ( d), siis on sirgel ja ringil kaks ühist punkti. Sel juhul kutsutakse rida sekant ringi suhtes.
  2. Kui kaugus ringi keskpunktist sirgjooneni on võrdne ringi raadiusega, siis on sirgel ja ringil ainult üks ühine punkt. Seda rida nimetatakse puutuja ringiga, ja nende ühispunkti nimetatakse sirge ja ringi vaheline puutepunkt.
  3. Kui kaugus ringi keskpunktist sirgjooneni on suurem kui ringi raadius, siis sirgjoon ja ringjoon puuduvad ühised punktid
    4. .

Kesk- ja sissekirjutatud nurgad

Kesknurk on nurk, mille tipp on ringi keskel.
Sissekirjutatud nurk- nurk, mille tipp asub ringil ja mille küljed lõikuvad ringiga.

Sissekirjutatud nurga teoreem

Sissekirjutatud nurka mõõdetakse poole kaare järgi, millele see langeb.

  • Järeldus 1.
    Sama kaare sisse kirjutatud nurgad on võrdsed.

  • Järeldus 2.
    Poolringiga ümbritsetud sisse kirjutatud nurk on täisnurk.

Teoreem lõikuvate akordide segmentide korrutisest.

Kui ringjoone kaks kõõlu lõikuvad, siis on ühe kõõlu lõikude korrutis võrdne teise kõõlu lõikude korrutisega.

Põhivalemid

  • Ümbermõõt:
C = 2∙π∙R
  • Ringkaare pikkus:
R = С/(2∙π) = D/2
  • Läbimõõt:
D = C/π = 2∙R
  • Ringkaare pikkus:
l = (π∙R) / 180∙α,
Kus α - ringkaare pikkuse kraadimõõt)
  • Ringi pindala:
S = π∙R 2
  • Ringikujulise sektori pindala:
S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Ringjoone võrrand

(x - x o) 2 + (y - y o) 2 = r 2
  • Raadiusega r ringi võrrand, mille keskpunkt on alguspunktis, on järgmine:
x 2 + y 2 = r 2

Ringjoon on tasapinnal olev kõverjooneline suletud joon, mille kõik punktid on ühest punktist ühel kaugusel; seda punkti nimetatakse ringi keskpunktiks.

Ringjoonega piiratud tasandi osa nimetatakse ringiks.

Ringjoone punkti ja selle keskpunkti ühendavat sirge lõiku nimetatakse raadiuseks(joonis 84).

Kuna kõik ringi punktid on keskpunktist ühel kaugusel, siis on sama ringi kõik raadiused üksteisega võrdsed. Raadiust tähistatakse tavaliselt tähega R või r.

Ringi sees võetud punkt asub selle keskpunktist raadiusest väiksemal kaugusel. Seda on lihtne kontrollida, kui tõmbate selle punkti raadiuse (joonis 85).

Ringist väljapoole võetud punkt asub selle keskpunktist raadiusest suuremal kaugusel. Seda saab hõlpsasti kontrollida, ühendades selle punkti ringi keskpunktiga (joonis 85).

Ringjoone kahte punkti ühendavat sirge lõiku nimetatakse kõõluks.

Keskpunkti läbivat kõõlu nimetatakse läbimõõduks(joonis 84). Läbimõõt on tavaliselt tähistatud tähega D. Läbimõõt on võrdne kahe raadiusega:

Kuna kõik sama ringi raadiused on üksteisega võrdsed, siis on antud ringi kõik läbimõõdud omavahel võrdsed.

Teoreem. Kõõl, mis ei läbi ringi keskpunkti, on väiksem kui samasse ringi tõmmatud läbimõõt.

Tegelikult, kui tõmbame mõne kõõlu, näiteks AB, ja ühendame selle otsad keskpunktiga O (joonis 86), näeme, et kõõl AB on väiksem kui katkendjoon AO ​​+ OB, st AB r, ja alates 2 r= D, siis AB

Kui ring on painutatud piki diameetrit (joonis 87), siis joonduvad mõlemad ringi osad ja ring. Läbimõõt jagab ringi ja ümbermõõdu kaheks võrdseks osaks.

Kaht ringi (kaks ringi) nimetatakse võrdseks, kui neid saab asetada üksteise peale nii, et need langevad kokku.

Seetõttu on kaks võrdse raadiusega ringi (kaks ringi) võrdsed.

2. Ringjoone kaar.

Ringi osa nimetatakse kaareks.

Sõna "kaar" asendatakse mõnikord märgiga \(\breve( )\). Kaart tähistatakse kahe või kolme tähega, millest kaks asetsevad kaare otstes ja kolmas kaare teatud punktis. Joonisel 88 on näidatud kaks kaarejoont: \(\breve(ACB)\) ja \(\breve(ADB)\).

Kui kaar on poolringist väiksem, tähistatakse seda tavaliselt kahe tähega. Seega võib kaare ADB tähistada \(\breve(AB)\) (joonis 88). Kõõl, mis ühendab kaare otsad, on väidetavalt kaare allutamine.

Kui liigutada kaare AC (joon. 89, a) nii, et see libiseb mööda etteantud ringjoont ja kui see langeb samal ajal kokku kaarega MN, siis \(\breve(AC)\) = \(\breve (NM)\).

Joonisel 89, b ei ole kaared AC ja AB üksteisega võrdsed. Mõlemad kaared algavad punktis A, kuid üks kaar \(\breve(AB)\) on vaid osa teisest kaarest \(\breve(AC)\).

Seetõttu \(\breve(AC)\) > \(\breve(AB)\); \(\breve(AB)\)

Ringi ehitamine kolme punkti abil

Ülesanne.

Joonistage ring läbi kolme punkti, mis ei asu samal sirgel.

Ühendame need punktid segmentidega AB ja BC. Punktidest A ja B võrdsel kaugusel asuvate punktide leidmiseks jagage lõik AB pooleks ja tõmmake joon, mis on risti AB-ga läbi keskpunkti (punkt M). Selle risti iga punkt on punktidest A ja B võrdsel kaugusel.

Punktidest B ja C võrdsel kaugusel olevate punktide leidmiseks jagame lõigu BC pooleks ja tõmbame selle keskpunkti (punkt N) läbi joone, mis on risti BC-ga. Selle risti iga punkt on punktidest B ja C võrdsel kaugusel.

Nende ristide lõikepunkt O on punktidest A, B ja C samal kaugusel (AO = BO = CO). Kui võtame punkti O ringi keskpunktiks, mille raadius on võrdne AO-ga, joonistame ringi, siis läbib see kõik antud punktid A, B ja C.

Punkt O on ainus punkt, mis võib olla ringi keskpunkt, mis läbib kolme punkti A, B ja C, mis ei asu samal sirgel, kuna kaks risti lõikudega AB ja BC võivad ristuda ainult ühes punktis. See tähendab, et probleemil on ainulaadne lahendus.

Märge. Kui kolm punkti A, B ja C asuvad samal sirgel, siis ülesandel ei ole lahendust, kuna lõikude AB ja BC ristnurgad on paralleelsed ja punktidest A, B, C võrdsel kaugusel ei ole punkti. , st punkt, mis võiks olla soovitud ringi keskpunkt.

Kui ühendame punktid A ja C segmendiga ning ühendame selle lõigu keskkoha (punkt K) ringi O keskpunktiga, siis on OK AC-ga risti (joonis 311), kuna võrdhaarses kolmnurgas AOC on OK mediaan, seega OK⊥AC.

Tagajärg. Kolm läbi keskpunktide tõmmatud kolmnurga külgedega risti lõikuvad ühes punktis.

Ring on kujund, mis koosneb kõigist punktidest tasapinnal, mis on antud punktist võrdsel kaugusel. Seda punkti nimetatakse ringi keskpunktiks.

Nullraadiusega ring (degenereerunud ring) on ​​punkt, mis mõnikord jääb definitsioonist välja.

Entsüklopeediline YouTube

    1 / 5

    Ring ja selle omadused (bezbotvy)

    Sissekirjutatud ja piiritletud ring - alates bezbotvy

    Matemaatika: ettevalmistus OGE-ks ja ühtseks riigieksamiks. Planimeetria. Ringid ja nende omadused

    Matemaatika 26. Kompassid. Ring ja ring - Šiškina kool

    RINGVÕRD. ÜLESANNE 18 (C5). ARTUR ŠARIFOV

    Subtiitrid

Määramine

Kui ring läbib näiteks punkte A, B, C, siis tähistatakse seda, märkides sulgudes need punktid: (A, B, C). Siis tähistatakse punkte A, B, C läbivat ringjoone kaar ABC (või kaar AC), samuti υ ABC (või υ AC).

Muud määratlused

  • Läbimõõduga ring AB A, B AB nähtav täisnurga all (määratlus läbi nurga, mis põhineb ringi läbimõõdul).
  • Ring akordiga AB on täppidest koosnev kujund A, B ja kõik punktid tasapinnal, kust segment AB nähtav konstantse nurga all ühel küljel, võrdne kaare nurk AB, ja teisel konstantse nurga all, mis on võrdne 180 kraadi miinus kaare nurk AB, näidatud ülal (määratlus sisse kirjutatud nurga kaudu).
  • Sellistest punktidest koosnev kujund X , (\displaystyle X,) et lõikude pikkuste suhe AX Ja BX pidevalt: A X B X = c ≠ 1 , (\displaystyle (\frac (AX)(BX))=c\neq 1,) on ring (Definitsioon Apolloniuse ringi kaudu).
  • Joonis, mis koosneb kõigist sellistest punktidest, millest igaühe puhul on kahe antud punkti kauguste ruutude summa võrdne antud väärtusega, mis on suurem kui pool antud punktide vahelise kauguse ruudust, on samuti ring (Definitsioon läbi Pythagorase teoreem suvalise jaoks täisnurkne kolmnurk kirjutatud ringi, kusjuures hüpotenuus on ringi läbimõõt).
  • M tõmmake selle sisse kõik akordid AB, CD, EF jne, siis kehtivad võrdsused: A M ⋅ M B = C M ⋅ M D = E M ⋅ M F = … (\displaystyle AM\cdot (MB)=CM\cdot (MD)=EM\cdot (MF)=\dots ). Võrdsused on alati täidetud, olenemata punkti valikust M ja selle kaudu tõmmatud akordide suunad (Definitsioon läbi lõikuvate akordide).
  • Ring on suletud, ise mittelõikuv kujund, millel on järgmine omadus. Kui suvalise punkti kaudu M väljaspool seda tõmmake kaks puutujat nende kontaktpunktidesse ringiga, näiteks A Ja B, siis on nende pikkused alati võrdsed: M A = M B (\displaystyle MA = MB). Võrdsus kehtib alati, olenemata punkti valikust M(Definitsioon võrdsete puutujate kaudu).
  • Ring on suletud, ise mittelõikuv kujund, millel on järgmine omadus. Selle mis tahes akordi pikkuse ja mis tahes akordi siinuse suhe sisse kirjutatud nurk, selle akordi põhjal on konstantne väärtus, mis võrdub selle ringi läbimõõduga (Definitsioon siinuste teoreemi kaudu).
  • Ring on erijuhtum ellips, milles fookuste vaheline kaugus on null (Degenereerunud ellipsi mõiste).

Seotud määratlused ühe ringi jaoks

  • Tasapinna punktide geomeetrilist asukohta, mille kaugus antud punktini ei ole suurem kui antud nullist erinev kaugus, nimetatakse ümberringi .
  • Raadius- mitte ainult kaugus, vaid ka lõik, mis ühendab ringi keskpunkti selle ühe punktiga. Raadius on alati pool läbimõõt ringid.
  • Raadius on alati risti puutujaga, mis on tõmmatud ringile selle ühispunktis ringiga. See tähendab, et raadius on ka ringi normaalne.
  • Ringi kutsutakse vallaline , kui selle raadius on võrdne ühega. Üksuse ring on trigonomeetria üks peamisi objekte.
  • Ringjoone kahte punkti ühendavat lõiku nimetatakse selle lõiguks akord. Ringjoone keskpunkti läbivat akordi nimetatakse läbimõõt.
  • Mis tahes kaks mittekattuvat punkti ringil jagavad selle kaheks osaks. Kõiki neid osi nimetatakse ringi kaar. Kaart nimetatakse poolring, kui selle otsa ühendav segment on läbimõõduga.
  • Ühiku poolringi pikkust tähistatakse .
  • Nimetatakse sirget, millel on täpselt üks ringjoonega ühine punkt puutuja ringile ning nende ühispunkti nimetatakse sirge ja ringi puutumispunktiks.
  • Tangent ringjoonele on alati risti selle raadiusega (ja läbimõõduga), mis on tõmmatud kokkupuutepunkti, mis on normaalne, viidi läbi sel hetkel.
  • Nimetatakse sirgjoont, mis läbib ringi kahte erinevat punkti sekant.

Kolmnurkade määratlemine ühele ringile

  • Kolmnurka ABC nimetatakse ringi sisse kirjutatud(A,B,C), kui kõik selle kolm tippu A, B ja C asuvad sellel ringil. Sel juhul nimetatakse ringiks piiritletud ring kolmnurk ABC(Vt Ümbermõõt).
  • Tangent ringjoonele, mis on tõmmatud läbi sellesse kirjutatud kolmnurga mis tahes tipu, on antiparalleel kolmnurga antud tipu vastasküljega.
  • Kolmnurka ABC nimetatakse ümbritsetud umbes ringiga(A,B,C"), kui selle kõik kolm külge AB, BC ja CA puudutavad seda ringi mõnes punktis C, A" ja B". Sel juhul nimetatakse ringiks sisse kirjutatud ring kolmnurk ABC (vt sissekirjutatud ring).

Nurkade määratlused ühe ringi jaoks

  • Raadiusega võrdse pikkusega ringikaare moodustatud nurk on 1 radiaan.
  • Keskne nurk – nurk, mille tipp asub ringi keskpunktis. Kesknurk on võrdne kaare radiaani/kraadi mõõtmega, millele see toetub (vt joonist).
  • Sisse kirjutatud  nurk - nurk, mille tipp asub ringil ja mille küljed lõikuvad selle ringiga. Sissekirjutatud nurk võrdne poolega selle kaare kraadist, millel see toetub (vt joonist).
  • Väline nurk Sest Sisse kirjutatud  nurk - ühe külje moodustatud nurk ja teise külje jätk sisse kirjutatud nurk (vt joonis. nurk θ Pruun värv). Väline nurk sest ringi teisele küljele kirjutatud nurgal on sama väärtus θ .
  • Nurk ringi ja sirgjoone vahel- nurk sirge ja ringi puutuja vahel sirge ja ringi lõikepunktis. Mõlemad nurgad lõikuva ringi ja sirge vahel on võrdsed.
  • Ringi läbimõõduga piiratud nurk- sellesse ringi sisse kirjutatud nurk, mille külgedel on läbimõõdu otsad. Ta on alati otsekohene.

Seotud määratlused kahe ringi jaoks

  • Nimetatakse kahte ringi, millel on ühine keskpunkt kontsentriline.
  • Nimetatakse kahte ringi, millel on ainult üks ühine punkt mis puudutab väliselt, kui nende ringidel pole muid ühiseid punkte ja sisemiselt, kui nende ringid asuvad üksteise sees.
  • Nimetatakse kahte ringi, millel on kaks ühist punkti ristuvad. Nende ringid (mis on nendega piiratud) lõikuvad piirkonnas, mida nimetatakse topeltringi segmendiks.
  • Nurk kahe lõikuva (või puutuja) ringi vahel on nurk nende puutujate vahel, mis on tõmmatud ühisesse lõikepunkti (või puutujasse).
  • Samuti nurk kahe ristuva (või puutuja) ringi vahel võime vaadelda nende raadiuste (läbimõõtude) vahelist nurka, mis on tõmmatud ühisesse lõikepunkti (või puutujasse).
  • Kuna iga ringi puhul on selle raadius (või läbimõõt) ja läbi mis tahes ringi punkti tõmmatud puutuja üksteisega risti, võib raadiust (või läbimõõtu) pidada normaalne antud punktis konstrueeritud ringile. Järelikult on kahes eelmises lõigus määratletud kahte tüüpi nurki alati üksteisega võrdsed, nagu vastastikku risti olevate külgedega nurgad.
  • täisnurka nimetatakse ortogonaalne. Ringe saab kokku lugeda ortogonaalne, kui need moodustavad üksteisega täisnurga.
  • Kahe ringi radikaaltelg- punktide geomeetriline asukoht, mille astmed kahe antud ringi suhtes on võrdsed. Teisisõnu, kahele antud ringile mis tahes punktist tõmmatud nelja puutuja pikkused on võrdsed M antud punktide geomeetriline asukoht.

Nurga määratlused kahe ringi jaoks

  • Nurk kahe ristuva ringi vahel- nurk nende ringide lõikepunktis olevate ringide puutujate vahel. Mõlemad nurgad kahe ristuva ringi vahel on võrdsed.
  • Nurk kahe erineva ringi vahel– nurk kahe ringjoone kahe ühise puutuja vahel, mis on moodustatud nende kahe puutuja lõikepunktis. Nende kahe puutuja lõikepunkt peab asuma kahe ringi vahel, mitte ühe neist küljel (seda nurka ei võeta arvesse). Mõlemad vertikaalsed nurgad kahe erineva ringi vahel on võrdsed.

Ortogonaalsus

  • Nimetatakse kahte täisnurga all ristuvat ringi ortogonaalne. Ringe saab kokku lugeda ortogonaalne, kui need moodustavad üksteisega täisnurga.
  • Nimetatakse kahte ringi, mis ristuvad punktides A ja B keskpunktidega O ja O". ortogonaalne, kui nurgad OAO" ja OBO" on täisnurgad. Just see tingimus tagab täisnurk ringide vahel. Sel juhul on nende lõikepunkti tõmmatud kahe ringi raadiused (normaalid) risti. Järelikult on kahe ringi puutujad, mis on tõmmatud nende lõikepunkti, samuti risti. Ringjoone puutuja on puutepunktini tõmmatud raadiusega (normaal) risti. Tavaliselt on kõverate vaheline nurk nurk nende ristumispunktis tõmmatud puutujate vahel.
  • Võimalik on veel üks lisatingimus. Olgu kahel punktides A ja B lõikuval ringil punktides C ja D lõikuvate kaare keskpunktid, st kaar AC võrdub kaarega CB, kaar AD on võrdne kaarega DB. Siis nimetatakse neid ringe ortogonaalne, kui nurgad CAD ja CBD on täisnurgad.

Seotud määratlused kolme ringi jaoks

  • Kolme ringi nimetatakse vastastikku puutujateks (ristuvateks), kui mis tahes kaks neist puudutavad (lõikavad) üksteist.
  • Geomeetrias radikaalne keskus kolm ringi on ringipaaride kolme radikaaltelje lõikepunkt. Kui radikaali kese asub väljaspool kõiki kolme ringi, siis on see ühe ringi keskpunkt ( radikaalne ring), mis lõikub kolme etteantud ringiga ortogonaalne.

Archimedese Lemma

Tõestus

Lase G (\displaystyle G)- homoteetsus, mis muudab väikese ringi suureks. Siis on selge, et A 1 (\displaystyle A_(1)) on selle homoteedi keskpunkt. Siis otse B C (\displaystyle BC) läheb mingisugusele sirgjoonele a (\displaystyle a) puutuja suure ringiga ja A 2 (\displaystyle A_(2)) läheb sellel sirgel asuvasse punkti, mis kuulub suurringi. Meenutades, et homoteetsus võtab jooned nendega paralleelseteks joonteks, mõistame seda a ∥ B C (\displaystyle a\parallel BC). Lase G (A 2) = A 3 (\displaystyle G(A_(2))=A_(3)) Ja D (\displaystyle D)- punkt joonel a (\displaystyle a), nii et see on terav ja E (\displaystyle E)- selline punkt joonel a (\displaystyle a), Mida ∠ B A 3 E (\displaystyle \angle BA_(3)E)- vürtsikas. Siis, alates a (\displaystyle a)- suure ringi puutuja ∠ C A 3 D (\displaystyle \angle CA_(3)D)= (\displaystyle =)∠ C B A 3 (\displaystyle \angle CBA_(3))= ∠ B A 3 E = ∠ B C A 3 (\displaystyle =\angle BA_(3)E=\angle BCA_(3)). Seega △ B C A 3 (\displaystyle \bigtriangleup BCA_(3))- võrdhaarne, mis tähendab ∠ B A 1 A 3 = ∠ C A 1 A 3 (\displaystyle \angle BA_(1)A_(3)=\angle CA_(1)A_(3)), see on A 1 A 2 (\displaystyle A_(1)A_(2))- nurgapoolitaja ∠ B A 1 C (\kuvastiil \nurk BA_(1)C).

Descartes’i teoreem nelja paarilise puutujaringi raadiuste kohta

Descartes'i teoreem" väidab, et mis tahes nelja vastastikku puutuva ringi raadiused vastavad teatud ruutvõrrandile. Neid nimetatakse mõnikord Soddy ringideks.

Omadused

x 2 + y 2 = R2. (\displaystyle x^(2)+y^(2)=R^(2).)

Punkte läbiva ringi võrrand (x 1 , y 1) , (x 2 , y 2) , (x 3 , y 3) , (\displaystyle \left(x_(1),y_(1)\right),\left(x_(2) ,y_(2)\paremale),\vasak(x_(3),y_(3)\paremale),) ei asu samal sirgel (kasutades determinanti):

| x 2 + y 2 x y 1 x 1 2 + y 1 2 x 1 a 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 a 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 a 3 1 | = 0. (\displaystyle (\begin(vmatrix)x^(2)+y^(2)&x&y&1\\x_(1)^(2)+y_(1)^(2)&x_(1)&y_(1 )&1\\x_(2)^(2)+y_(2)^(2)&x_(2)&y_(2)&1\\x_(3)^(2)+y_(3)^(2)&x_ (3)&y_(3)&1\end(vmaatriks))=0.) ( x = x 0 + R cos ⁡ φ y = y 0 + R sin ⁡ φ , 0 ⩽ φ< 2 π . {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+R\cos \varphi \\y=y_{0}+R\sin \varphi \end{cases}},\;\;\;0\leqslant \varphi <2\pi .}

Descartes'i koordinaatsüsteemis ei ole ring funktsiooni graafik, vaid seda saab kirjeldada kui kahe järgmise funktsiooni graafikute ühendust:

y = y 0 ± R 2 − (x − x 0) 2 . (\displaystyle y=y_(0)\pm (\sqrt (R^(2)-(x-x_(0))^(2))).)

Kui ringi keskpunkt ühtib alguspunktiga, on funktsioonid järgmisel kujul:

y = ± R 2 − x 2 . (\displaystyle y=\pm (\sqrt (R^(2)-x^(2))).)

Polaarkoordinaadid

Ringi raadius R (\displaystyle R) tsentreeritud punkti (ρ 0, ϕ 0) (\displaystyle \left(\rho _(0),\phi _(0)\right)).