Olgu antud ruudukujuline maatriks. Leidke maatriksi pöördväärtus.

Esimene viis. Teoreemis 4.1 pöördmaatriksi olemasolu ja ainulaadsuse kohta on märgitud üks selle leidmise viise.

1. Arvutage selle maatriksi determinant. Kui, siis pöördmaatriksit pole olemas (maatriks on degenereerunud).

2. Konstrueerige maatriks maatriksi elementide algebralistest täienditest.

3. Lisage maatriks, et saada lisatud maatriks .

4. Pöördmaatriks (4.1) leitakse, jagades külgneva maatriksi kõik elemendid determinandiga

Teine viis. Maatriksi pöördväärtuse leidmiseks saab kasutada elementaarseid teisendusi.

1. Ehitage plokkmaatriks, määrates sellele maatriksile samas järjekorras identiteedimaatriksi.

2. Tooge maatriksi ridadele sooritatud elementaarsete teisenduste abil selle vasakpoolne plokk lihtsamale vormile. Sel juhul taandatakse plokkmaatriks vormile, kus asub identiteedimaatriksist saadud teisenduste tulemusena saadud ruutmaatriks.

3. Kui, siis plokk on võrdne maatriksi pöördvõrdega, st Kui, siis maatriksil pole pöördvõrdelist.

Tõepoolest, maatriksi ridade elementaarsete teisenduste abil saame taandada selle vasaku ploki lihtsustatud vormile (vt joonis 1.5). Sel juhul teisendatakse plokkmaatriks vormiks, kus asub elementaarne maatriks, mis võrdsust rahuldab. Kui maatriks ei ole degenereerunud, langeb selle lihtsustatud vorm vastavalt märkuste 3.3 punktile 2 ühikmaatriksiga kokku. Siis järeldub võrdsusest, et. Kui maatriks on degenereerunud, erineb selle lihtsustatud vorm identiteedimaatriksist ja maatriksil pole pöördvõrdelist.

11. Maatriksvõrrandid ja nende lahendus. SLAE märke maatriksvorm. Maatriksmeetod (pöördmaatriksmeetod) SLAE lahendamiseks ja selle kohaldatavuse tingimused.

Maatriksvõrrandid on võrrandid kujul: A * X = C; X * A = C; A * X * B = C, kus maatriks A, B, C on teada, maatriks X pole teada, kui maatriksid A ja B ei ole degenereerunud, siis kirjutatakse algmaatriksite lahendid vastaval kujul: X = A -1 * C; X = C * A -1; X = A -1 * C * B -1 Maatriksi märge lineaarsete algebraliste võrrandisüsteemide jaoks. Iga SLAE -ga saab seostada mitu maatriksit; pealegi saab SLAE ise kirjutada maatriksvõrrandi kujul. SLAE (1) puhul arvestage järgmiste maatriksitega:

Maatriksit A ​​nimetatakse süsteemi maatriks... Selle maatriksi elemendid on antud SLAE koefitsiendid.

Maatriksit A˜ nimetatakse maatriksi laiendatud süsteem... See saadakse, lisades süsteemimaatriksile veeru, mis sisaldab vabatermineid b1, b2, ..., bm. Tavaliselt eraldatakse see veerg selguse huvides vertikaalse joonega.

Veergumaatriksit B nimetatakse vabade liikmete maatriks ja veerumaatriks X on tundmatute maatriks.

Ülaltoodud märget kasutades saab SLAE (1) kirjutada maatriksvõrrandi kujul: A⋅X = B.

Märge

Süsteemiga seotud maatriksid saab kirjutada erineval viisil: kõik sõltub vaadeldava SLAE muutujate ja võrrandite järjekorrast. Kuid igal juhul peab tundmatute järjekord antud SLAE igas võrrandis olema sama.

Maatriksmeetod sobib SLAE -de lahendamiseks, milles võrrandite arv langeb kokku tundmatute muutujate arvuga ja süsteemi põhimaatriksi determinant on null. Kui süsteem sisaldab rohkem kui kolme võrrandit, nõuab pöördmaatriksi leidmine märkimisväärseid arvutuslikke jõupingutusi, seetõttu on sel juhul soovitatav kasutada Gaussi meetod.

12. Homogeensed SLAE -d, nende nulliväliste lahenduste olemasolu tingimused. Homogeensete SLAE -de konkreetsete lahenduste omadused.

Lineaarvõrrandit nimetatakse homogeenseks, kui selle vaba liik on võrdne nulliga ja muidu ebahomogeenne. Homogeensetest võrranditest koosnevat süsteemi nimetatakse homogeenseks ja sellel on üldine vorm:

13 Homogeense SLAE konkreetsete lahenduste lineaarse sõltumatuse ja sõltuvuse mõiste. Põhiline otsustussüsteem (FDS) ja selle leid. Homogeense SLAE üldlahenduse esitus FSR osas.

Funktsioonisüsteem y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) kutsutakse lineaarselt sõltuv intervalliga ( a , b ) kui on olemas hulk konstantseid koefitsiente, mis ei ole võrdsed nulliga samal ajal, nii et nende funktsioonide lineaarne kombinatsioon on identselt null ( a , b ): jaoks. Kui võrdsus on võimalik ainult funktsioonide süsteemi jaoks y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) kutsutakse lineaarselt sõltumatu intervalliga ( a , b ). Teisisõnu, funktsioonid y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) lineaarselt sõltuv intervalliga ( a , b ), kui null on sees ( a , b ) nende mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon. Funktsioonid y 1 (x ),y 2 (x ), …, y n (x ) lineaarselt sõltumatu intervalliga ( a , b ) kui ainult nende triviaalne lineaarne kombinatsioon on identselt null ( a , b ).

Põhiotsuste süsteem (FDS) homogeenset SLAE -d nimetatakse selle veerusüsteemi aluseks.

FSR -i elementide arv on võrdne tundmatute arvuga süsteemis, millest on lahutatud süsteemimaatriksi auaste. Iga lahendus algsele süsteemile on FSR -lahenduste lineaarne kombinatsioon.

Teoreem

Mittehomogeense SLAE üldlahus on võrdne mittehomogeense SLAE konkreetse lahuse ja vastava homogeense SLAE üldlahuse summaga.

1 . Kui veerud on lahendid homogeensele võrrandisüsteemile, siis on nende mis tahes lineaarne kombinatsioon ka lahendus homogeensele süsteemile.

Tõepoolest, võrdsusest järeldub, et

neid. Lahenduste lineaarne kombinatsioon on lahendus homogeensele süsteemile.

2. Kui homogeense süsteemi maatriksi auaste on võrdne, siis on süsteemil lineaarselt sõltumatud lahendused.

Tõepoolest, homogeense süsteemi üldlahenduse valemite (5.13) abil leiame konkreetsed lahendused, andes vabadele muutujatele järgmise standardväärtuste komplektid (iga kord eeldades, et üks vabadest muutujatest on võrdne ühega ja ülejäänud võrduvad nulliga):

mis on lineaarselt sõltumatud. Tõepoolest, kui koostame nendest veergudest maatriksi, moodustavad selle viimased read identiteedimaatriksi. Seetõttu ei ole viimastel ridadel paiknev moll võrdne nulliga (see võrdub ühega), s.t. on elementaarne. Seetõttu on maatriksi auaste võrdne. Seega on selle maatriksi kõik veerud lineaarselt sõltumatud (vt teoreem 3.4).

Homogeense süsteemi mis tahes lineaarselt sõltumatute lahenduste komplekti nimetatakse lahenduste põhisüsteem (komplekt) .

14 Väiksem järjekord, põhiline moll, maatriksi auaste. Maatriksi auastme arvutamine.

Maatriksi A järku k moll on mõne selle ruudu alammaatriksi järjekorra k determinant.

M x n maatriksis A nimetatakse järjestuse r alaealist põhiliseks, kui see pole null, ja kõik kõrgema järgu alaealised, kui need on olemas, on võrdsed nulliga.

Maatriksi A veerge ja ridu, mille ristumiskohas on põhiline moll, nimetatakse A põhiveergudeks ja ridadeks.

Teoreem 1. (Maatriksi auastmel). Mis tahes maatriksi puhul on kõrvaljärk võrdne ridade asetusega ja võrdub veeru järguga.

Teoreem 2. (Põhi -mollist). Maatriksi iga veerg on lagunenud oma baasveergude lineaarseks kombinatsiooniks.

Maatriksi auaste (või alaealine auaste) on põhi -alaealise järjekord või teisisõnu suurim järjekord, mille puhul on alaealisi. Nullmaatriksi auastet peetakse definitsiooni järgi 0 -ks.

Pange tähele kaht vähese auastme ilmset omadust.

1) Maatriksi auaste ei muutu ülevõtmisel, kuna maatriksi ülevõtmisel on kõik selle alammaatriksid üle võetud ja alaealised ei muutu.

2) Kui A 'on maatriksi A alammaatriks, siis ei ületa A' auaste auastet A, kuna A -sse kuuluv mitte -moll kuulub A -sse.

15. Mõõtmelise aritmeetilise vektori mõiste. Vektorite võrdsus. Toimingud vektoritel (liitmine, lahutamine, korrutamine arvuga, korrutamine maatriksiga). Vektorite lineaarne kombinatsioon.

Tellitud kollektsioon n nimetatakse tegelikke või keerukaid numbreid n-mõõtmeline vektor... Numbreid kutsutakse vektori koordinaadid.

Kaks vektorit (mitte null) a ja b on võrdsed, kui nad on ühesuunalised ja neil on sama moodul. Kõik nullvektorid loetakse võrdseks. Kõigil muudel juhtudel ei ole vektorid võrdsed.

Vektorite lisamine. Vektorite lisamiseks on kaks võimalust: 1. Rööpküliku reegel. Vektorite lisamiseks ja asetage mõlema päritolu samasse punkti. Lõpetame ehitamise rööpküliku järgi ja joonistame samast punktist rööpküliku diagonaali. See on vektorite summa.

2. Teine viis vektorite lisamiseks on kolmnurga reegel. Võtame samad vektorid ja. Lisage teise algus esimese vektori lõppu. Nüüd ühendame esimese alguse ja teise lõpu. See on vektorite ja. Sama reegli järgi saab lisada mitu vektorit. Kinnitame need ükshaaval ja seejärel ühendame esimese alguse viimase lõpuga.

Vektorite lahutamine. Vektor on suunatud vektori vastas. Vektorite pikkused on samad. Nüüd on selge, mis on vektorite lahutamine. Vektorite erinevus ja on vektori ja vektori summa.

Vektori korrutamine arvuga

Korrutades vektori arvuga k, saate vektori, mille pikkus erineb selle pikkusest k korda. See on vektoriga ühesuunaline, kui k on suurem kui null, ja vastupidine, kui k on väiksem kui null.

Vektorite skalaarprodukt on vektorite pikkuste korrutis nendevahelise nurga koosinusiga. Kui vektorid on risti, on nende punktkorrutis null. Ja nii väljendatakse punkttoodet vektorite koordinaatide kaudu ja.

Vektorite lineaarne kombinatsioon

Vektorite lineaarne kombinatsioon nimetatakse vektoriks

kus - lineaarse kombinatsiooni koefitsiendid. Kui kombinatsiooni nimetatakse triviaalseks, kui see on mittetriviaalne.

16 .Aritmeetiliste vektorite punktprodukt. Vektori pikkus ja vektorite vaheline nurk. Vektorite ortogonaalsus.

Vektorite a ja b skalaarprodukt on arv

Punktkorrutist kasutatakse järgmiste arvutamiseks: 1) nendevahelise nurga leidmine; 2) vektorite projektsiooni leidmine; 3) vektori pikkuse arvutamine; 4) vektorite tingimused risti.

Lõigu AB pikkust nimetatakse punktide A ja B vahekauguseks. Nurka vektorite A ja B vahel nimetatakse nurgaks α = (a, b), 0≤ α ≤П. Mille peal on vaja pöörata 1 vektorit nii, et selle suunad langeksid kokku teise vektoriga. Tingimusel, et nende algus langeb kokku.

Ühikvektorit a nimetatakse vektoriks a, millel on ühiku pikkus ja suunad a.

17. Vektorisüsteem ja selle lineaarne kombinatsioon. Vektorite süsteemi lineaarse sõltuvuse ja sõltumatuse mõiste. Teoreem vektorite süsteemi lineaarse sõltuvuse vajalikest ja piisavatest tingimustest.

Vektorite a1, a2, ..., an süsteemi nimetatakse lineaarselt sõltuvaks, kui on olemas arvud λ1, λ2, ..., λn nii, et vähemalt üks neist on nullist erinev ja λ1a1 + λ2a2 + ... + λnan = 0. Vastasel juhul nimetatakse süsteemi lineaarselt sõltumatuks.

Kahte vektorit a1 ja a2 nimetatakse kollineaarseks, kui nende suunad langevad kokku või on vastupidised.

Kolme vektorit a1, a2 ja a3 nimetatakse paralleelseks, kui need on mõne tasandiga paralleelsed.

Lineaarse sõltuvuse geomeetrilised kriteeriumid:

a) süsteem (a1, a2) on lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui vektorid a1 ja a2 on kollineaarsed.

b) süsteem (a1, a2, a3) on lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui vektorid a1, a2 ja a3 on tasapinnalised.

teoreem. (Lineaarse sõltuvuse vajalik ja piisav tingimus süsteemid vektorid.)

Vektorite süsteem vektor ruumi on an lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui üks süsteemi vektoritest on teistega lineaarselt väljendatud vektor seda süsteemi.

Järeldus. 1. Vektorruumi vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu ainult siis ja ainult siis, kui ükski süsteemi vektoritest ei ole lineaarselt väljendatud selle süsteemi teiste vektoritega. Nullvektorit või kahte võrdset vektorit sisaldav vektorisüsteem on lineaarselt sõltuv.

Jätkame maatriksitega toimingutest rääkimist. Nimelt - selle loengu õppimise käigus õpid pöördmaatriksi leidmist. Õppige. Isegi kui matemaatika on pingeline.

Mis on pöördmaatriks? Siin saate joonistada analoogia vastastikuste arvudega: mõelge näiteks optimistlikule numbrile 5 ja selle pöördvõrdele. Nende arvude korrutis on võrdne ühega :. Maatriksitega on kõik sarnane! Maatriksi korrutis pöördmaatriksi järgi on- identiteedimaatriks, mis on arvühiku maatriksi analoog. Esiteks lahendame siiski olulise praktilise küsimuse, nimelt õpime selle väga vastupidise maatriksi leidmist.

Mida peate teadma ja suutma teha pöördmaatriksi leidmiseks? Sa pead suutma otsustada määrajad... Peate aru saama, mis see on maatriks ja suutma nendega mõnda toimingut teha.

Maatriksi pöördvõrdelise leidmiseks on kaks peamist meetodit:
kasutades algebralised täiendused ja kasutades elementaarseid teisendusi.

Täna uurime esimest lihtsamat viisi.

Alustame kõige kohutavamast ja arusaamatumast. Kaaluge ruut maatriks. Pöördmaatriksi saab leida järgmise valemi abil:

Kus on maatriksi determinant, on maatriksi vastavate elementide algebraliste komplementaatide ülekantud maatriks.

Pöördmaatriksi mõiste eksisteerib ainult ruutmaatriksite puhul, maatriksid "kaks kahe kaupa", "kolm kolm" jne.

Nimetused: Nagu te ilmselt juba märkasite, näitab maatriksi pöördvõrdumist ülaindeks

Alustame lihtsaimast juhtumist-kahekaupa maatriksist. Kõige sagedamini on muidugi vaja "kolm kolm", kuid sellegipoolest soovitan lahenduse üldpõhimõtte omandamiseks tungivalt uurida lihtsamat ülesannet.

Näide:

Leidke maatriksi pöördväärtus

Meie otsustame. Toimingute jada saab mugavalt jagada punktideks.

1) Kõigepealt leidke maatriksi determinant.

Kui teie arusaam sellest toimingust pole piisavalt hea, lugege materjali Kuidas determinanti arvutada?

Tähtis! Juhul, kui maatriksi determinant on NULL- pöördmaatriks EI EKSISTEERI.

Vaadeldavas näites, nagu selgus, mis tähendab, et kõik on korras.

2) Leia alaealiste maatriks.

Meie probleemi lahendamiseks ei ole vaja teada, mis alaealine on, siiski on soovitatav artikkel läbi lugeda Kuidas arvutada determinant.

Alaealiste maatriksil on samad mõõtmed kui maatriksil, see tähendab antud juhul.
Asi on väike, jääb üle leida neli numbrit ja panna need tärnide asemele.

Tagasi meie maatriksi juurde
Vaatame kõigepealt ülemist vasakpoolset elementi:

Kuidas seda leida alaealine?
Ja seda tehakse nii: MÕELDES kriipsutage läbi rida ja veerg, milles see element asub:

Ülejäänud number on väike osa sellest elemendist, mille kirjutame oma alaealiste maatriksisse:

Kaaluge järgmist maatriksi elementi:

Me kriipsutame vaimselt läbi rea ja veeru, milles see element asub:

Järele jääb selle elemendi minoor, mille me kirjutame oma maatriksisse:

Samamoodi kaalume teise rea elemente ja leiame nende alaealised:


Valmis.

See on lihtne. Alaealiste maatriksis vajate VAHETUSMÄRGID kaks numbrit:

Need on numbrid, mille olen ümber joonistanud!

- maatriksi vastavate elementide algebraliste täiendite maatriks.

Ja see on lihtsalt ...

4) Leidke algebraliste komplementaarsete transpositeeritud maatriks.

- maatriksi vastavate elementide algebraliste komplementaaride ülevõetud maatriks.

5) Vasta.

Meenutades meie valemit
Kõik on leitud!

Seega on maatriksi pöördvõrdeline:

Vastus on parem jätta nii, nagu see on. POLE VAJALIK jagage maatriksi iga element kahega, kuna saate murdarvu. Seda nüanssi käsitletakse üksikasjalikumalt samas artiklis. Maatriksi operatsioonid.

Kuidas lahendust kontrollida?

On vaja läbi viia maatriksi korrutamine või

Eksam:

Juba mainitud identiteedimaatriks Kas maatriks, millel on sisse lülitatud peamine diagonaal ja mujal nullid.

Seega on vastupidine õige.

Kui teete toimingu, on tulemuseks ka ühikmaatriks. See on üks väheseid juhtumeid, kus maatriksi korrutamine on muutlik, lisateavet leiate artiklist Maatriksite toimingute omadused. Maatriksi avaldised... Pange tähele ka seda, et kontrolli ajal tuuakse konstant (murdosa) ette ja töödeldakse lõpus - pärast maatriksi korrutamist. See on standardne tehnika.

Liigume edasi praktikas tavalisema juhtumi juurde - maatriks "kolm kolm":

Näide:

Leidke maatriksi pöördväärtus

Algoritm on täpselt sama, mis kahe-kahe puhul.

Pöördmaatriksi leiame valemiga :, kus on maatriksi vastavate elementide algebraliste komplementaatide ülekantud maatriks.

1) Leidke maatriksi determinant.


Siin selgub determinant esimesel real.

Ärge unustage ka seda, mis tähendab, et kõik on korras - pöördmaatriks on olemas.

2) Leia alaealiste maatriks.

Alaealiste maatriksi mõõtmed on "kolm kuni kolm" ja peame leidma üheksa numbrit.

Ma räägin paarist pisiasjast üksikasjalikult:

Kaaluge järgmist maatriksi elementi:

Arvatavasti kriipsutage läbi rida ja veerg, milles see element asub:

Ülejäänud neli numbrit kirjutatakse determinandisse "kaks kahe kaupa"

See kvalifikaator on "kahekaupa" ja on selle elemendi alaealine... See tuleb arvutada:


See on kõik, alaealine leitakse, kirjutame selle oma alaealiste maatriksisse:

Nagu arvata võis, tuleb arvutada üheksa kahe-kahe määrajat. Protsess on muidugi kurb, kuid juhtum ei ole kõige raskem, see võib olla hullem.

Noh, konsolideerimiseks - piltidelt teise alaealise leidmine:

Proovige ülejäänud alaealised ise välja arvutada.

Lõpptulemus:
- maatriksi vastavate elementide alaealiste maatriks.

See, et kõik alaealised osutusid negatiivseks, on puhas juhus.

3) Leidke algebraliste täiendite maatriks.

Alaealiste maatriksis on see vajalik VAHETUSMÄRGID rangelt järgmiste elementide jaoks:

Sel juhul:

Pöördmaatriksi leidmist maatriksile „neli nelja” ei kaaluta, kuna sellise ülesande saab anda ainult sadistlik õpetaja (nii et õpilane arvutab ühe determinandi „neli nelja” ja 16 määrajat „kolm korda kolm” ”). Oma praktikas kohtasin ainult ühte sellist juhtumit ja testi klient maksis mu piinade eest üsna kallilt =).

Mitmest õpikust, käsiraamatust leiate pöördmaatriksi leidmiseks veidi teistsuguse lähenemisviisi, siiski soovitan kasutada ülaltoodud lahenduse algoritmi. Miks? Sest tõenäosus arvutustes ja märkides segadusse sattuda on palju väiksem.

pöördmaatriks On maatriks A −1, korrutatuna antud esialgse maatriksiga A tulemuseks on identiteedimaatriks E:

АA −1 = A −1 A =E.

Pöördmaatriksi meetod.

Pöördmaatriksi meetod- See on üks levinumaid maatriksite lahendamise meetodeid ja seda kasutatakse lineaarsete algebraliste võrrandite (SLAE) süsteemide lahendamiseks juhtudel, kui tundmatute arv vastab võrrandite arvule.

Olgu süsteem n lineaarvõrrandid n teadmata:

Sellise süsteemi saab kirjutada maatriksvõrrandina A * X = B,

kus
- süsteemi maatriks,

- tundmatute veerg,

- tasuta koefitsientide veerg.

Tuletatud maatriksvõrrandist väljendame X, korrutades vasakpoolse maatriksvõrrandi mõlemad küljed A -1, mille tulemusena on meil:

A -1 * A * X = A -1 * B

Seda teades A -1 * A = E, siis E * X = A -1 * B või X = A -1 * B.

Järgmine samm on pöördmaatriksi määratlemine A -1 ja korrutatakse vabade liikmete veeruga B.

Maatriks pöördvõrdeline maatriks A eksisteerib ainult siis det A≠ 0 ... Seda silmas pidades tuleb SLAE -de lahendamisel pöördmaatriksi meetodil kõigepealt leida det A... Kui det A≠ 0 , siis on süsteemil ainult üks lahendus, mille saab saada pöördmaatriksi meetodil, kuid kui det A = 0, siis selline süsteem pöördmaatriksi meetod ei julge.

Pöördmaatriksi lahendus.

Toimingute jada pöördmaatriksi lahendid:

  1. Saame maatriksi determinandi A... Kui determinant on suurem kui null, lahendame pöördmaatriksi edasi, kui see on võrdne nulliga, siis pöördmaatriksit siit ei leia.
  2. Ülevõetud maatriksi leidmine AT.
  3. Otsime algebralisi täiendeid, mille järel asendame kõik maatriksi elemendid nende algebraliste täienditega.
  4. Pöördmaatriksi kogume algebralistest täienditest: jagame kõik saadud maatriksi elemendid algselt antud maatriksi determinandiga. Saadud maatriks on soovitud pöördmaatriks võrreldes algse maatriksiga.

Allpool olev algoritm pöördmaatriksi lahendid sisuliselt sama, mis eespool, on erinevus vaid mõned sammud: esiteks määratleme algebralised täiendid ja alles pärast seda arvutame liitmaatriksi C.

  1. Tehke kindlaks, kas antud maatriks on ruudukujuline. Kui vastus on eitav, selgub, et sellele ei saa olla pöördmaatriksit.
  2. Tehke kindlaks, kas antud maatriks on ruudukujuline. Kui vastus on eitav, selgub, et sellele ei saa olla pöördmaatriksit.
  3. Arvutame algebralisi täiendeid.
  4. Koostame liitlase (vastastikuse, külgneva) maatriksi C.
  5. Pöördmaatriksi koostamine algebralistest täienditest: kõik külgneva maatriksi elemendid C jagatud algmaatriksi determinandiga. Saadud maatriks on soovitud pöördmaatriks antud maatriksi suhtes.
  6. Kontrollime tehtud tööd: korrutame alg- ja saadud maatriksid, tulemuseks peaks olema identiteedimaatriks.

Seda on kõige parem teha külgneva maatriksiga.

Teoreem: Kui omistame sama järjekorra identiteedimaatriksi parempoolsel ruudukujulisele maatriksile ja teisendame rea abil elementaarseid teisendusi, teisendame vasakpoolse algmaatriksi identiteedimaatriksiks, siis parempoolne maatriks olla esialgsele vastupidine.

Näide pöördmaatriksi leidmisest.

Harjutus. Maatriksi jaoks leidke pöördvõrdeline külgneva maatriksi meetodil.

Lahendus. Lisage antud maatriksile A paremal on teise järgu identiteedimaatriks:

Lahutage esimesest reast teine:

Lahutage esimesest 2 teisest reast:

Pöördmaatriksi leidmise meetodid. Mõelge ruudukujulisele maatriksile

Tähistame Δ = det A.

Ruutmaatriksit A ​​nimetatakse mitte-degenereerunud, või mitte ainsus kui selle determinant on nullist erinev ja degenereerunud, või eriline, kuiΔ = 0.

Ruutmaatriks B eksisteerib sama järjekorra ruutmaatriksi A puhul, kui nende korrutis A B = B A = E, kus E on maatriksite A ja B samas järjekorras identiteedimaatriks.

Teoreem . Et maatriksil A oleks pöördmaatriks, on vajalik ja piisav, et selle determinant oleks null.

Maatriksi A pöördmaatriks, tähistatud A -ga- 1, nii et B = A - 1 ja see arvutatakse valemiga

, (1)

kus А i j on maatriksi A elementide a i j algebralised komplemendid.

A -1 arvutamine valemi (1) järgi kõrgetasemeliste maatriksite jaoks on väga töömahukas, seega on praktikas mugav leida A -1, kasutades elementaarsete teisenduste meetodit (EP). Mis tahes mittesingulaarse maatriksi A saab taandada identiteedimaatriksiks E ainult veergude (või ainult ridade) EP abil. EP -d on mugav teostada maatriksite A ja E kohal korraga, kirjutades mõlemad maatriksid kõrvuti läbi joone. Pange uuesti tähele, et maatriksi kanoonilise vormi leidmisel leidmise eesmärgil saab kasutada ridade ja veergude teisendusi. Kui peate leidma maatriksi pöördvõrde, tuleks teisendusprotsessis kasutada ainult ridu või ainult veerge.

Näide 1... Maatriksi jaoks leida A -1.

Lahendus.Leiame kõigepealt maatriksi A determinandi
järelikult on pöördmaatriks olemas ja selle leiame valemiga: , kus A i j (i, j = 1,2,3) on algse maatriksi elementide a i j algebralised täiendid.

Kus .

Näide 2... Kasutades elementaarsete teisenduste meetodit, leidke maatriksi jaoks A -1: A =.

Lahendus.Määrame algsele maatriksile paremal sama järjekorra identiteedimaatriksi: ... Elementaarsete veergumuundamiste abil toome ühiku vasakule „poole”, tehes samaaegselt täpselt samu teisendusi parema maatriksi kohal.
Selleks vahetame esimese ja teise veeru: ~ ... Lisage esimene kolmandasse veergu ja esimene korrutatakse -2 -ga teisele: ... Esimesest veerust lahutame teise kahekordse ja kolmandast - teise korrutades 6 -ga; ... Lisame esimese ja teise kolmanda veeru: ... Korrutame viimase veeru -1 -ga: ... Vertikaalsest ribast paremal saadud ruutmaatriks on antud maatriksi A pöördvõrdeline.
.

Maatriksit $ A ^ (- 1) $ nimetatakse ruutmaatriksi $ A $ suhtes pöördvõrdeliseks, kui tingimus $ A ^ (- 1) \ cdot A = A \ cdot A ^ (- 1) = E $ on täidetud , kus $ E $ Kas identiteedimaatriks, mille järjekord on võrdne maatriksi $ A $ järjekorraga.

Mitte -degenereerunud maatriks - maatriks, mille determinant ei ole võrdne nulliga. Seega on degenereerunud maatriks selline, mille determinant on võrdne nulliga.

Pöördmaatriks $ A ^ (- 1) $ eksisteerib siis ja ainult siis, kui maatriks $ A $ ei ole degenereerunud. Kui pöördmaatriks $ A ^ (- 1) $ on olemas, on see ainulaadne.

Maatriksi pöördvõrdelise leidmiseks on mitu võimalust ja vaatame neist kahte. Sellel lehel käsitletakse külgneva maatriksi meetodit, mida peetakse enamiku kõrgemate matemaatikakursuste standardiks. Teises osas käsitletakse teist meetodit pöördmaatriksi leidmiseks (elementaarsete teisenduste meetod), mis hõlmab Gaussi meetodi või Gaussi-Jordaania meetodi kasutamist.

Adjoint (adjoint) maatriksi meetod

Olgu antud maatriks $ A_ (n \ korda n) $. $ A ^ (- 1) $ maatriksi pöördväärtuse leidmiseks tuleb teha kolm sammu:

  1. Leidke maatriksi $ A $ determinant ja veenduge, et $ \ Delta A \ neq 0 $, s.t. et maatriks A pole degenereerunud.
  2. Koostage maatriksi $ A $ iga elemendi algebralised täiendid $ A_ (ij) $ ja kirjutage maatriks $ A_ (n \ korda n) ^ (*) = \ left (A_ (ij) \ right) $ leidis algebralisi täiendusi.
  3. Kirjutage pöördmaatriks, võttes arvesse valemit $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $.

Maatriksit $ (A ^ (*)) ^ T $ nimetatakse sageli maatriksiga $ A $ külgnevaks (vastastikuseks, külgnevaks).

Kui lahendus tehakse käsitsi, on esimene meetod hea ainult suhteliselt väikeste tellimuste maatriksite jaoks: teine ​​(), kolmas (), neljas (). Kõrgema järgu maatriksi pöördvõrdelise leidmiseks kasutatakse teisi meetodeid. Näiteks Gaussi meetod, mida käsitletakse teises osas.

Näide # 1

Leidke $ A pöördväärtus = \ left (\ begin (array) (cccc) 5 & -4 & 1 & 0 \\ 12 & -11 & 4 & 0 \\ -5 & 58 & 4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \ lõpp (massiiv) \ parem) $.

Kuna neljanda veeru kõik elemendid on võrdsed nulliga, siis $ \ Delta A = 0 $ (st maatriks $ A $ on degenereerunud). Kuna $ \ Delta A = 0 $, siis maatriksile $ A $ pöördmaatriksit ei eksisteeri.

Vastus: maatriksit $ A ^ (- 1) $ ei eksisteeri.

Näide nr 2

Leidke maatriksi pöördväärtus $ A = \ left (\ begin (array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ end (array) \ right) $. Kontrollima.

Me kasutame adjoint -maatriksi meetodit. Esiteks leiame antud maatriksi $ A $ determinandi:

$$ \ Delta A = \ vasakule | \ begin (massiiv) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ end (massiiv) \ right | = -5 \ cdot 8-7 \ cdot 9 = -103. $ $

Kuna $ \ Delta A \ neq 0 $, siis on pöördmaatriks olemas, seetõttu jätkame lahendust. Algebraliste täiendite leidmine

\ algus (joondatud) & A_ (11) = (- 1) ^ 2 \ cdot 8 = 8; \; A_ (12) = ( - 1) ^ 3 \ cdot 9 = -9; \\ & A_ (21) = ( - 1) ^ 3 \ cdot 7 = -7; \; A_ (22) = (- 1) ^ 4 \ cdot (-5) =- 5. \\ \ lõpp (joondatud)

Koostame maatriksi algebralistest täienditest: $ A ^ (*) = \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -9 \\ -7 & -5 \ end (array) \ right) $.

Transponeeri saadud maatriks: $ (A ^ (*)) ^ T = \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end (array) \ right) $ (saadud maatriksit nimetatakse sageli $ A $ maatriksi adjoint- või adjointmaatriksiks). Kasutades valemit $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $, on meil:

$$ A ^ ( -1) = \ frac (1) ( -103) \ cdot \ left (\ begin (massiiv) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end (massiiv) \ parem) = \ vasak (\ algus (massiiv) (cc) -8/103 ja 7/103 \\ 9/103 ja 5/103 \ lõpp (massiiv) \ parem) $$

Seega leitakse vastupidine: $ A ^ ( - 1) = \ left (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ right) $. Tulemuse tõesuse kontrollimiseks piisab ühe võrdsuse tõe kontrollimisest: $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ või $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. Kontrollime võrdsust $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $. Murdudega vähem töötamiseks asendame maatriksi $ A ^ ( - 1) $ mitte kujul $ \ left (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (massiiv) \ parem) $ ja $ -\ frac (1) (103) \ cdot \ left (\ begin (massiiv) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end (massiiv) \ parem) $:

$$ A ^ ( -1) \ cdot (A) = -\ frac (1) (103) \ cdot \ left (\ begin (massiiv) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end ( massiiv] \ parem) \ cdot \ vasak (\ algus (massiiv) (cc) -5 ja 7 \\ 9 ja 8 \ lõpp (massiiv) \ parem) = - \ frac (1) (103) \ cdot \ vasak ( \ begin (massiiv) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \ end (massiiv) \ right) = \ left (\ begin (massiiv) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end (massiiv ) \ õige) = E $$

Vastus: $ A ^ ( - 1) = \ vasak (\ algus (massiiv) (cc) -8/103 ja 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ lõpp (massiiv) \ parem) $.

Näide nr 3

Leidke maatriksi pöördväärtus $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (array) \ right) $. Kontrollima.

Alustuseks arvutame maatriksi $ A $ determinandi. Niisiis, maatriksi $ A $ determinant on järgmine:

$$ \ Delta A = \ vasakule | \ begin (massiiv) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (massiiv) \ right | = 18-36 + 56-12 = 26. $ $

Kuna $ \ Delta A \ neq 0 $, siis on pöördmaatriks olemas, seetõttu jätkame lahendust. Leiame antud maatriksi iga elemendi algebralised täiendid:

$$ \ begin (joondatud) & A_ (11) = (- 1) ^ (2) \ cdot \ left | \ begin (massiiv) (cc) 9 & 4 \\ 3 & 2 \ end (massiiv) \ right | = 6; \; A_ (12) = ( - 1) ^ (3) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) -4 & 4 \\ 0 & 2 \ end (array) \ right | = 8; \; A_ (13) = ( -1) ^ (4) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) -4 & 9 \\ 0 & 3 \ end (array) \ right | = -12; \\ & A_ (21) = ( - 1) ^ (3) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) 7 & 3 \\ 3 & 2 \ end (array) \ right | = -5; \; A_ (22) = (- 1) ^ (4) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) 1 & 3 \\ 0 & 2 \ end (array) \ right | = 2; \; A_ (23) = ( - 1) ^ (5) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) 1 & 7 \\ 0 & 3 \ end (array) \ right | = -3; \\ & A_ (31) = (- 1) ^ (4) \ cdot \ vasak | \ begin (massiiv) (cc) 7 & 3 \\ 9 & 4 \ end (massiiv) \ parem | = 1; \; A_ (32) = ( -1) ^ (5) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) 1 & 3 \\ -4 & 4 \ end (array) \ right | = -16; \; A_ (33) = ( - 1) ^ (6) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) 1 & 7 \\ -4 & 9 \ end (array) \ right | = 37. \ end (joondatud) $$

Koostame algebraliste täiendite maatriksi ja võtame selle üle:

$$ A ^ * = \ vasak (\ begin (massiiv) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37 \ end (massiiv) \ parem); \; (A ^ *) ^ T = \ vasak (\ begin (massiiv) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ end (massiiv) \ parem) ... $ $

Kasutades valemit $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $, saame:

$$ A ^ ( -1) = \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ begin (massiiv) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37 \ lõpp (massiiv) \ parem) = \ vasak (\ algus (massiiv) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ end (massiiv) \ right) $$

Niisiis $ A ^ ( - 1) = \ left (\ begin (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \ end (massiiv) \ õige) $. Tulemuse tõesuse kontrollimiseks piisab ühe võrdsuse tõe kontrollimisest: $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ või $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. Kontrollime võrdsust $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. Fraktsioonidega vähem töötamiseks asendame maatriksi $ A ^ ( - 1) $ mitte kujul $ \ left (\ begin (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ end (massiiv) \ right) $ ja $ \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ end (array) \ right) $:

$$ A \ cdot (A ^ ( - 1)) = \ left (\ begin (array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (massiiv) \ parem) \ cdot \ frac (1) (26) \ cdot \ vasak (\ begin (massiiv) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ lõpp (massiiv) \ parem) = \ frac (1) (26) \ cdot \ vasak (\ algus (massiiv) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26 \ end (massiiv) \ parem) = \ vasak (\ algus (massiiv) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ lõpp (massiiv) \ parem) = E $$

Kontroll õnnestus, pöördvõrdeline $ A ^ (- 1) $ leiti õigesti.

Vastus: $ A ^ ( -1) = \ vasak (\ begin (massiiv) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \ end (massiiv) \ õige) $.

Näide nr 4

Leidke $ A pöördväärtus = \ vasak (\ begin (massiiv) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4 \\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7 \\ -4 & 8 & -8 & -3 \ end (massiiv) \ parem) $.

Neljanda järgu maatriksi puhul on pöördmaatriksi leidmine algebraliste täiendite abil mõnevõrra keeruline. Selliseid näiteid leidub aga testitöödes.

Maatriksi pöördväärtuse leidmiseks peate esmalt arvutama maatriksi $ A $ determinandi. Parim viis selles olukorras seda teha on laiendada määrajat rea (veeru) kaupa. Valime suvalise rea või veeru ja leiame valitud rea või veeru iga elemendi algebralised täiendid.

Näiteks esimese rea jaoks saame:

$$ A_ (11) = \ vasak | \ begin (massiiv) (ccc) 7 & 5 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 8 & -8 & -3 \ end (massiiv) \ parem | = 556; \; A_ (12) = -\ vasak | \ algus (massiiv) (ccc) 9 & 5 & 2 \\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \ end (massiiv) \ parem | = -300 ; $$ $$ A_ (13) = \ vasak | \ algus (massiiv) (ccc) 9 & 7 & 2 \\ 7 & 5 & 7 \\ -4 & 8 & -3 \ end (massiiv) \ parem | = -536; \; A_ (14) = -\ vasak | \ algus (massiiv) (ccc) 9 & 7 & 5 \\ 7 & 5 & 3 \\ -4 & 8 & -8 \ end (massiiv) \ parem | = -112. $ $

Maatriksi $ A $ determinant arvutatakse järgmise valemi abil:

$$ \ Delta (A) = a_ (11) \ cdot A_ (11) + a_ (12) \ cdot A_ (12) + a_ (13) \ cdot A_ (13) + a_ (14) \ cdot A_ (14 ) = 6 \ cdot 556 +(-5) \ cdot (-300) +8 \ cdot (-536) +4 \ cdot (-112) = 100. $ $

$$ \ algus (joondatud) & A_ (21) = - 77; \; A_ (22) = 50; \; A_ (23) = 87; \; A_ (24) = 4; \\ & A_ (31) = -93; \; A_ (32) = 50; \; A_ (33) = 83; \; A_ (34) = 36; \\ & A_ (41) = 473; \; A_ (42) = - 250 ; \; A_ (43) = - 463; \; A_ (44) = - 96. \ end (joondatud) $$

Algebraline täiendmaatriks: $ A ^ * = \ left (\ begin (array) (cccc) 556 & -300 & -536 & -112 \\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36 \\ 473 & -250 & -463 & -96 \ end (massiiv) \ right) $.

Liidetud maatriks: $ (A ^ *) ^ T = \ left (\ begin (array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473 \\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463 \\ -112 & 4 & 36 & -96 \ end (massiiv) \ right) $.

Pöördmaatriks:

$$ A ^ ( -1) = \ frac (1) (100) \ cdot \ left (\ begin (massiiv) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473 \\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463 \\ -112 & 4 & 36 & -96 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \ lõpp (massiiv) \ õige) $$

Soovi korral saab kontrolli teha samamoodi nagu eelmistes näidetes.

Vastus: $ A ^ ( -1) = \ vasak (\ begin (massiiv) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \ end (massiiv) \ parem) $.

Teises osas käsitletakse pöördmaatriksi leidmise teistsugust viisi, mis hõlmab Gaussi meetodi või Gaussi-Jordaania meetodi teisenduste kasutamist.