نقطه یک نقطه حداکثر محلی است. مقادیر حداکثر، حداکثر و حداقل توابع

تغییر یک تابع در یک نقطه مشخص و به عنوان حد افزایش تابع به افزایش آرگومان تعریف می شود که به سمت صفر میل می کند. برای پیدا کردن آن، از جدول مشتقات استفاده کنید. به عنوان مثال، مشتق تابع y = x3 برابر با y’ = x2 خواهد بود.

این مشتق را برابر با صفر کنید (در این مورد x2=0).

مقدار متغیر داده شده را پیدا کنید. اینها مقادیری خواهند بود که این مشتق برای آنها برابر با 0 خواهد بود. برای این کار به جای x اعداد دلخواه را در عبارت جایگزین کنید که در آن کل عبارت صفر می شود. برای مثال:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1، x2=-1

مقادیر به دست آمده را روی خط مختصات اعمال کنید و علامت مشتق را برای هر یک از موارد به دست آمده محاسبه کنید. نقاط روی خط مختصات مشخص می شوند که به عنوان مبدا در نظر گرفته می شوند. برای محاسبه مقدار در فواصل، مقادیر دلخواه را که با معیارها مطابقت دارند جایگزین کنید. به عنوان مثال، برای تابع قبلی تا بازه -1، می توانید مقدار -2 را انتخاب کنید. برای 1- تا 1، می توانید 0 و برای مقادیر بزرگتر از 1، 2 را انتخاب کنید. این اعداد را در مشتق جایگزین کنید و علامت مشتق را پیدا کنید. در این حالت، مشتق با x = -2 برابر با 0.24- خواهد بود، یعنی. منفی است و علامت منفی در این فاصله وجود خواهد داشت. اگر x=0 باشد، مقدار برابر با 2 خواهد بود و علامتی روی این بازه گذاشته می شود. اگر x=1 باشد، مشتق نیز برابر با 0.24- خواهد بود و منهای قرار می گیرد.

اگر هنگام عبور از نقطه ای در خط مختصات، مشتق علامت خود را از منهای به مثبت تغییر دهد، این یک نقطه حداقل است و اگر از مثبت به منفی، آنگاه این یک نقطه حداکثر است.

ویدیو های مرتبط

توصیه مفید

برای یافتن مشتق، خدمات آنلاینی وجود دارد که مقادیر مورد نیاز را محاسبه کرده و نتیجه را نمایش می دهد. در چنین سایت هایی می توانید مشتقاتی از حداکثر 5 سفارش پیدا کنید.

منابع:

یکی از خدمات محاسبه مشتقات
حداکثر نقطه تابع

نقاط ماکزیمم تابع همراه با حداقل نقاط را نقاط اکسترموم می نامند. در این نقاط، تابع رفتار خود را تغییر می دهد. Extrema در فواصل عددی محدود تعیین می شود و همیشه محلی است.

دستورالعمل

فرآیند یافتن منتهی الیه موضعی تابع نامیده می شود و با تجزیه و تحلیل مشتقات اول و دوم تابع انجام می شود. قبل از شروع کاوش، مطمئن شوید که محدوده مشخص شده از مقادیر آرگومان به مقادیر مجاز تعلق دارد. به عنوان مثال، برای تابع F=1/x، مقدار آرگومان x=0 نامعتبر است. یا برای تابع Y=tg(x)، آرگومان نمی تواند مقدار x=90 درجه داشته باشد.

مطمئن شوید که تابع Y در کل بازه زمانی داده شده قابل تمایز است. اولین مشتق Y را پیدا کنید. بدیهی است که قبل از رسیدن به نقطه حداکثر محلی تابع افزایش می یابد و در هنگام عبور از حداکثر تابع کاهشی می شود. مشتق اول در نوع خود معنای فیزیکیسرعت تغییر تابع را مشخص می کند. تا زمانی که تابع در حال افزایش است، نرخ این فرآیند یک مقدار مثبت است. هنگام عبور از حداکثر محلی، تابع شروع به کاهش می کند و سرعت فرآیند تغییر تابع منفی می شود. انتقال نرخ تغییر تابع از طریق صفر در نقطه حداکثر محلی اتفاق می افتد.

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. گفته می شود که $f$ دارد حداکثر محلیدر نقطه $x_(0) \در E$ اگر همسایگی $U$ از نقطه $x_(0)$ وجود داشته باشد به طوری که برای همه $x \in U$ نابرابری $f\left(x\راست) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

حداکثر محلی نامیده می شود سخت گیرانه ، اگر همسایگی $U$ را بتوان به گونه ای انتخاب کرد که برای همه $x \in U$ متفاوت از $x_(0)$ $f\left(x\right) باشد.< f\left(x_{0}\right)$.

تعریف
اجازه دهید $f$ یک تابع واقعی در یک مجموعه باز $E \subset \mathbb(R)^(n)$ باشد. گفته می شود که $f$ دارد حداقل محلیدر نقطه $x_(0) \در E$ اگر همسایگی $U$ از نقطه $x_(0)$ وجود داشته باشد به طوری که برای همه $x \in U$ نابرابری $f\left(x\راست) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

اگر بتوان همسایگی $U$ را طوری انتخاب کرد که برای همه $x \in U$ متفاوت از $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_) حداقل محلی سخت‌گیرانه است. (0)\راست)$.

یک افراط محلی مفاهیم حداقل محلی و حداکثر محلی را ترکیب می کند.

قضیه ( شرط لازمحداکثر یک تابع متمایز)
اجازه دهید $f$ یک تابع واقعی در یک مجموعه باز $E \subset \mathbb(R)^(n)$ باشد. اگر در نقطه $x_(0) \در E$ تابع $f$ در این نقطه نیز یک اکسترموم محلی داشته باشد، آنگاه $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ تساوی به صفر دیفرانسیل معادل این واقعیت است که همه برابر با صفر هستند، یعنی. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

در حالت تک بعدی، این است. $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$ را نشان می‌دهیم که $h$ یک بردار دلخواه است. تابع $\phi$ برای مقادیر ماژول به اندازه کافی کوچک $t$ تعریف شده است. علاوه بر این، با توجه به، قابل تفکیک است و $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
اجازه دهید $f$ حداکثر محلی در x $0$ داشته باشد. بنابراین، تابع $\phi$ در $t = 0$ دارای حداکثر محلی است و طبق قضیه فرما، $(\phi)' \left(0\right)=0$ است.
بنابراین، ما دریافت کردیم که $df \left(x_(0)\right) = 0$، یعنی. تابع $f$ در نقطه $x_(0)$ برابر با صفر در هر بردار $h$ است.

تعریف
نقاطی که دیفرانسیل در آنها برابر با صفر است، یعنی. آنهایی که در آنها تمام مشتقات جزئی برابر با صفر هستند، ثابت نامیده می شوند. نقاط بحرانیتوابع $f$ نقاطی هستند که در آنها $f$ قابل تمایز نیست یا برابر با صفر است. اگر نقطه ثابت باشد، پس هنوز به این نتیجه نمی رسد که تابع در این نقطه دارای یک اکسترموم باشد.

مثال 1
اجازه دهید $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. سپس $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$، بنابراین $\left(0,0\right)$ یک نقطه ثابت است، اما تابع در این نقطه اکسترموم ندارد. در واقع، $f \left(0,0\right) = 0$، اما به راحتی می توان دید که در هر همسایگی نقطه $\left(0,0\right)$ تابع هم مقادیر مثبت و هم ارزش منفی را می گیرد.

مثال 2
تابع $f \left(x,y\right) = x^(2) - y^(2)$ مبدا مختصات را به عنوان یک نقطه ثابت دارد، اما واضح است که در این نقطه اکسترومومی وجود ندارد.

قضیه (شرط کافی برای یک افراط).
اجازه دهید یک تابع $f$ دو بار به طور پیوسته در یک مجموعه باز $E \subset \mathbb(R)^(n)$ قابل تفکیک باشد. اجازه دهید $x_(0) \در E$ یک نقطه ثابت باشد و $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\جزئی^(2) f)(\ x_(i) \جزئی x_(j)) \left(x_(0)\راست)h^(i)h^(j).$ $ سپس

اگر $Q_(x_(0))$ باشد، تابع $f$ در نقطه $x_(0)$ دارای یک اکسترمم محلی است، یعنی حداقل اگر فرم مثبت-معین باشد و حداکثر اگر فرم باشد. منفی-معین;
اگر شکل درجه دوم $Q_(x_(0))$ نامعین باشد، آنگاه تابع $f$ در نقطه $x_(0)$ اکسترومومی ندارد.

بیایید از بسط مطابق فرمول تیلور استفاده کنیم (12.7 ص 292). با در نظر گرفتن اینکه مشتقات جزئی مرتبه اول در نقطه $x_(0)$ برابر با صفر است، $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) را دریافت می کنیم. )\راست) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\جزئی x_(i) \ x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\راست)h^(i)h^(j),$$ جایی که $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$، و $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ برای $h \rightarrow 0$، سپس سمت راست برای هر بردار $h$ با طول به اندازه کافی کوچک مثبت است.
بنابراین، به این نتیجه رسیده‌ایم که در برخی از همسایگی‌های نقطه $x_(0)$، نابرابری $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ برآورده می‌شود اگر فقط $ باشد. x \neq x_ (0)$ ($x=x_(0)+h$\راست قرار می دهیم). این بدان معنی است که در نقطه $x_(0)$ تابع دارای یک حداقل محلی دقیق است و بنابراین اولین قسمت قضیه ما ثابت می شود.
اکنون فرض کنید $Q_(x_(0))$ یک شکل نامشخص است. سپس بردارهای $h_(1)$، $h_(2)$ وجود دارند که $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 دلار سپس $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) دریافت می کنیم \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ برای $t>0$ به اندازه کافی کوچک، سمت راست مثبت این بدان معناست که در هر همسایگی نقطه $x_(0)$ تابع $f$ مقادیر $f \left(x\right)$ بزرگتر از $f \left(x_(0)\right)$ می گیرد.
به طور مشابه، دریافتیم که در هر همسایگی نقطه $x_(0)$، تابع $f$ مقادیر کمتر از $f \left(x_(0)\right)$ را می گیرد. این، همراه با مورد قبلی، به این معنی است که تابع $f$ در نقطه $x_(0)$ اکستروموم ندارد.

در نظر گرفتن مورد خاصاز این قضیه برای یک تابع $f \left(x,y\right)$ از دو متغیر تعریف شده در نزدیکی نقطه $\left(x_(0),y_(0)\right)$ و دارای مشتقات جزئی پیوسته از مرتبه اول و دوم اجازه دهید $\left(x_(0),y_(0)\right)$ یک نقطه ثابت باشد و اجازه دهید $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_(0) , y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ). $$ سپس قضیه قبلی به شکل زیر در می آید.

قضیه
اجازه دهید $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) - a_(12)^2$. سپس:

اگر $\Delta>0$، تابع $f$ دارای یک اکسترموم محلی در نقطه $\left(x_(0),y_(0)\right)$ است، یعنی حداقل اگر $a_(11)> باشد. 0$ و حداکثر اگر $a_(11)<0$;
اگر $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

نمونه هایی از حل مسئله

الگوریتمی برای یافتن حد فاصل تابعی از متغیرهای متعدد:

نقاط ثابت را پیدا می کنیم.
ما دیفرانسیل مرتبه دوم را در تمام نقاط ثابت پیدا می کنیم
با استفاده از شرط کافی برای حداکثر یک تابع از چندین متغیر، دیفرانسیل مرتبه دوم را در هر نقطه ثابت در نظر می گیریم.

تابع را به انتهای $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$ بررسی کنید.
راه حل
مشتقات جزئی مرتبه اول را پیدا کنید: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ سیستم را بنویسید و حل کنید: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\جزئی f)(\جزئی y)= 0\پایان(موارد) \Rightarrow \begin(موارد)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ از معادله 2، $x=4 \cdot y^(2)$ را بیان می کنیم — در معادله 1 جایگزین می کنیم: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ راست )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ در نتیجه 2 نقطه ثابت به دست می آید:
1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
اجازه دهید تحقق شرط اکستریم کافی را بررسی کنیم:
$$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\جزئی x \جزئی y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\جزئی y^(2))=48 \cdot y$$
1) برای نقطه $M_(1)= \left(0,0\right)$:
$$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\جزئی^(2) f)(\جزئی x \جزئی y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) برای نقطه $M_(2)$:
$$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\جزئی^(2) f)(\جزئی x \جزئی y) \left(1,\frac(1)(2)\راست)=-6; C_(2)=\frac(\جزئی^(2) f)(\جزئی y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) - C_(2)^(2) = 108>0$، بنابراین در نقطه $M_(2)$ یک اکسترموم وجود دارد و از $A_(2)>0 $، سپس این حداقل است.
پاسخ: نقطه $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ حداقل نقطه تابع $f$ است.
تابع extremum $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$ را بررسی کنید.
راه حل
نقاط ثابت را پیدا کنید: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
سیستم را بنویسید و حل کنید: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ فلش راست \شروع (موارد)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(موارد) \Rightarrow \begin(موارد) y = 2\\y + x = 1\end(موارد) \Rightarrow x = -1$$
$M_(0) \left(-1, 2\right)$ یک نقطه ثابت است.
بیایید برآورده شدن شرط extremum کافی را بررسی کنیم: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
$A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
پاسخ: افراطی وجود ندارد.

محدودیت زمانی: 0

ناوبری (فقط شماره های شغلی)

0 از 4 کار تکمیل شد

اطلاعات

این مسابقه را انجام دهید تا دانش خود را در مورد موضوعی که اخیراً خواندید، یعنی Local Extrema of Functions of Many Variables، آزمایش کنید.

قبلاً در آزمون شرکت کرده اید. شما نمی توانید آن را دوباره اجرا کنید.

تست در حال بارگیری است...

برای شروع آزمون باید وارد شوید یا ثبت نام کنید.

برای شروع این تست باید تست های زیر را تکمیل کنید:

نتایج

پاسخ های صحیح: 0 از 4

زمان خود را:

زمان به پایان رسیده است

شما 0 امتیاز از 0 کسب کردید (0 )

امتیاز شما در تابلوی امتیازات ثبت شده است

با جواب
بررسی شد

وظیفه 1 از 4

1 .

تعداد امتیاز: 1

تابع $f$ را برای اکسترنال بررسی کنید: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

درست

نه به درستی

وظیفه 2 از 4

2 .
تعداد امتیاز: 1
آیا تابع $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

نقطه منتهی یک تابع نقطه ای از دامنه تابع است که در آن مقدار تابع یک مقدار حداقل یا حداکثر به خود می گیرد. مقادیر تابع در این نقاط را حداکثر (حداقل و حداکثر) تابع می نامند.

تعریف. نقطه ایکس1 محدوده عملکرد f(ایکس) نامیده میشود حداکثر نقطه تابع اگر مقدار تابع در این نقطه از مقادیر تابع در نقاط به اندازه کافی نزدیک به آن، واقع در سمت راست و چپ آن بیشتر باشد (یعنی نابرابری f(ایکس0 ) > f(ایکس 0 + Δ ایکس) ایکس1 بیشترین.

تعریف. نقطه ایکس2 محدوده عملکرد f(ایکس) نامیده میشود حداقل نقطه تابعاگر مقدار تابع در این نقطه از مقادیر تابع در نقاطی که به اندازه کافی نزدیک به آن واقع در سمت راست و چپ آن قرار دارند کمتر باشد (یعنی نابرابری f(ایکس0 ) < f(ایکس 0 + Δ ایکس) ). در این مورد گفته می شود که تابع در نقطه است ایکس2 کمترین.

بگذارید نکته را بگوییم ایکس1 - حداکثر نقطه تابع f(ایکس) . سپس در فاصله تا ایکس1 عملکرد افزایش می یابدبنابراین مشتق تابع بزرگتر از صفر است ( f "(ایکس) > 0) و در بازه بعد ایکس1 تابع در حال کاهش است، بنابراین مشتق تابعکمتر از صفر ( f "(ایکس) < 0 ). Тогда в точке ایکس1

بگذارید این نکته را نیز فرض کنیم ایکس2 - حداقل نقطه تابع f(ایکس) . سپس در فاصله تا ایکس2 تابع در حال کاهش است و مشتق تابع کمتر از صفر است ( f "(ایکس) < 0 ), а в интервале после ایکس2 تابع در حال افزایش است و مشتق تابع بزرگتر از صفر است ( f "(ایکس) > 0). در این مورد نیز در نقطه ایکس2 مشتق تابع صفر است یا وجود ندارد.

قضیه فرما (معیار ضروری برای وجود یک تابع). اگر نقطه ایکس0 - نقطه افراطی تابع f(ایکس) ، سپس در این مرحله مشتق تابع برابر با صفر است ( f "(ایکس) = 0 ) یا وجود ندارد.

تعریف. نقاطی که مشتق یک تابع برابر با صفر است یا وجود ندارد، نامیده می شوند نقاط بحرانی .

مثال 1بیایید یک تابع را در نظر بگیریم.

در نقطه ایکس= 0 مشتق تابع برابر با صفر است، بنابراین نقطه ایکس= 0 نقطه بحرانی است. با این حال، همانطور که در نمودار تابع مشاهده می شود، در کل دامنه تعریف افزایش می یابد، بنابراین نقطه ایکس= 0 نقطه منتهی این تابع نیست.

بنابراین، شرایطی که مشتق یک تابع در یک نقطه برابر با صفر باشد یا وجود نداشته باشد، شرایط لازم برای یک افراط هستند، اما کافی نیستند، زیرا نمونه های دیگری از توابع را می توان ارائه داد که این شرایط برای آنها برقرار است، اما تابع در نقطه مربوطه اکسترموم ندارد. بنابراین باید نشانه های کافی داشته باشد، که قضاوت در مورد اینکه آیا یک افراط در یک نقطه بحرانی خاص وجود دارد و کدام یک - حداکثر یا حداقل ممکن است.

قضیه (نخستین معیار کافی برای وجود یک تابع).نقطه بحرانی ایکس0 f(ایکس) ، اگر مشتق تابع در هنگام عبور از این نقطه علامت تغییر دهد و اگر علامت از "بعلاوه" به "منهای" تغییر کند، حداکثر نقطه و اگر از "منهای" به "بعلاوه" تغییر کند، حداقل نقطه .

اگر نزدیک به نقطه ایکس0 ، در سمت چپ و سمت راست آن، مشتق علامت خود را حفظ می کند، به این معنی که تابع یا فقط کاهش می یابد یا فقط در برخی از همسایگی های نقطه افزایش می یابد. ایکس0 . در این مورد، در نقطه ایکس0 افراطی وجود ندارد

بنابراین، برای تعیین نقاط انتهایی تابع، باید موارد زیر را انجام دهید :

مشتق تابع را بیابید.
مشتق را با صفر برابر کنید و نقاط بحرانی را تعیین کنید.
به صورت ذهنی یا روی کاغذ، نقاط بحرانی را روی محور عددی علامت بزنید و نشانه های مشتق تابع را در فواصل حاصل مشخص کنید. اگر علامت مشتق از "بعلاوه" به "منهای" تغییر کند، نقطه بحرانی حداکثر نقطه است و اگر از "منهای" به "بعلاوه" باشد، نقطه بحرانی نقطه حداقل است.
مقدار تابع را در نقاط انتهایی محاسبه کنید.

مثال 2حداکثر یک تابع را پیدا کنید .

راه حل. بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

برای یافتن نقاط بحرانی مشتق را با صفر برابر کنید:

از آنجایی که برای هر یک از مقادیر "x" مخرج برابر با صفر نیست، پس عدد را با صفر برابر می کنیم:

یک نقطه بحرانی گرفتم ایکس= 3. علامت مشتق را در فواصل مشخص شده توسط این نقطه تعیین می کنیم:

در محدوده منهای بی نهایت تا 3 - علامت منهای، یعنی تابع کاهش می یابد،

در محدوده 3 تا به علاوه بی نهایت - یک علامت مثبت، یعنی عملکرد افزایش می یابد.

یعنی نقطه ایکس= 3 حداقل امتیاز است.

مقدار تابع را در نقطه حداقل پیدا کنید:

بنابراین، نقطه انتهایی تابع پیدا می شود: (3; 0) و آن نقطه حداقل است.

قضیه (دومین معیار کافی برای وجود یک تابع).نقطه بحرانی ایکس0 نقطه منتهی تابع است f(ایکس) ، اگر مشتق دوم تابع در این نقطه برابر با صفر نباشد ( f ""(ایکس) ≠ 0)، به علاوه، اگر مشتق دوم بزرگتر از صفر باشد ( f ""(ایکس) > 0)، آنگاه حداکثر نقطه، و اگر مشتق دوم کمتر از صفر باشد ( f ""(ایکس) < 0 ), то точкой минимума.

نکته 1. اگر در یک نقطه ایکس0 هر دو مشتق اول و دوم ناپدید می شوند، پس در این مرحله نمی توان وجود یک افراط را بر اساس علامت کافی دوم قضاوت کرد. در این حالت، باید از اولین معیار کافی برای حداکثر بودن تابع استفاده کنید.

نکته 2. دومین معیار کافی برای حداکثر یک تابع نیز زمانی که مشتق اول در نقطه ثابت وجود ندارد (پس مشتق دوم نیز وجود ندارد) قابل اعمال نیست. در این مورد نیز لازم است از اولین معیار کافی برای حداکثر بودن تابع استفاده شود.

ماهیت محلی قسمت های انتهایی تابع

از تعاریف بالا برمی‌آید که حداکثر یک تابع دارای یک کاراکتر محلی است - این بزرگترین و کوچکترین ارزشویژگی ها در مقایسه با مقادیر نزدیک

فرض کنید درآمد خود را در بازه زمانی یک ساله در نظر بگیرید. اگر در ماه مه 45000 روبل و در آوریل 42000 روبل و در ژوئن 39000 روبل کسب کرده اید، در این صورت درآمد ماه مه حداکثر تابع درآمد در مقایسه با نزدیکترین مقادیر است. اما در ماه اکتبر 71000 روبل، در سپتامبر 75000 روبل و در نوامبر 74000 روبل درآمد کسب کردید، بنابراین درآمد اکتبر حداقل تابع درآمد در مقایسه با مقادیر نزدیک است. و به راحتی می توانید مشاهده کنید که حداکثر در بین مقادیر آوریل - می - ژوئن کمتر از حداقل سپتامبر - اکتبر - نوامبر است.

به طور کلی، یک تابع ممکن است در یک بازه چند انتها داشته باشد و ممکن است معلوم شود که هر حداقل تابع از هر حداکثری بزرگتر است. بنابراین، برای تابع نشان داده شده در شکل بالا، .

یعنی نباید فکر کرد که حداکثر و حداقل تابع به ترتیب مقادیر حداکثر و حداقل آن در کل بخش مورد نظر است. در نقطه ماکزیمم، تابع تنها در مقایسه با مقادیری که در تمام نقاط به اندازه کافی نزدیک به حداکثر نقطه دارد، بیشترین مقدار را دارد و در نقطه حداقل، تنها در مقایسه با مقادیری که در تمام نقاط به اندازه کافی نزدیک به حداقل نقطه است.

بنابراین، می‌توان مفهوم فوق را از نقاط انتهایی یک تابع اصلاح کرد و حداقل‌ها را نقاط حداقل محلی و حداکثر نقاط را - نقاط حداکثر محلی نامید.

ما با هم به دنبال حداکثر تابع هستیم

مثال 3

راه حل: تابع در خط اعداد کامل تعریف شده و پیوسته است. مشتق آن همچنین در کل خط اعداد وجود دارد. بنابراین، در این مورد، تنها مواردی که در آنها، یعنی به عنوان نقاط بحرانی عمل می کنند. ، از کجا و . نقاط بحرانی و کل دامنه تابع را به سه بازه یکنواختی تقسیم کنید: . در هر یک از آنها یک نقطه کنترل انتخاب می کنیم و علامت مشتق را در این نقطه پیدا می کنیم.

برای فاصله، نقطه مرجع می تواند باشد: ما پیدا می کنیم. با گرفتن یک نقطه در بازه، می گیریم، و با گرفتن یک نقطه در بازه، داریم. بنابراین، در فواصل و، و در فاصله . با توجه به اولین علامت کافی از یک اکستروم، هیچ اکسترومی در نقطه وجود ندارد (زیرا مشتق علامت خود را در بازه حفظ می کند) و تابع در نقطه حداقل دارد (زیرا مشتق هنگام عبور علامت از منفی به مثبت تغییر می دهد. از طریق این نقطه). مقادیر مربوط به تابع: و را پیدا کنید. در بازه، تابع کاهش می یابد، زیرا در این بازه، و در بازه زمانی افزایش می یابد، زیرا در این بازه.

برای روشن شدن ساختار نمودار، نقاط تلاقی آن را با محورهای مختصات پیدا می کنیم. وقتی معادله ای به دست می آوریم که ریشه های آن و، یعنی دو نقطه (0; 0) و (4; 0) از نمودار تابع پیدا می شود. با استفاده از تمام اطلاعات دریافتی، یک نمودار می سازیم (به ابتدای مثال مراجعه کنید).

مثال 4انتهای تابع را پیدا کنید و نمودار آن را بسازید.

دامنه تابع کل خط اعداد است، به جز نقطه، i.e. .

برای کوتاه کردن مطالعه، می توانیم از این واقعیت استفاده کنیم که این تابع یکنواخت است، زیرا . بنابراین نمودار آن نسبت به محور متقارن است اوهو مطالعه فقط برای فاصله قابل انجام است.

یافتن مشتق و نقاط بحرانی تابع:

1) ;

2) ,

اما تابع در این نقطه دچار شکستگی می‌شود، بنابراین نمی‌تواند یک نقطه افراطی باشد.

بنابراین، تابع داده شده دارای دو نقطه بحرانی است: و. با در نظر گرفتن برابری تابع، فقط نقطه را با علامت کافی دوم اکسترموم بررسی می کنیم. برای انجام این کار، مشتق دوم را پیدا می کنیم و علامت آن را در : دریافت می کنیم. از آنجا که و، سپس حداقل نقطه تابع است، while .

برای بدست آوردن تصویر کاملتر از نمودار تابع، بیایید رفتار آن را در مرزهای دامنه تعریف دریابیم:

(در اینجا نماد نشان دهنده تمایل است ایکسبه صفر در سمت راست، و ایکسمثبت باقی می ماند؛ به همین ترتیب به معنای آرزو است ایکسبه صفر در سمت چپ، و ایکسمنفی باقی می ماند). بنابراین، اگر، پس. بعد، پیدا می کنیم

آن ها اگر پس از آن .

نمودار تابع هیچ نقطه تقاطعی با محورها ندارد. تصویر در ابتدای مثال است.

ما با هم به جستجوی اکستریم های تابع ادامه می دهیم

مثال 8منتهی الیه تابع را پیدا کنید.

راه حل. دامنه تابع را پیدا کنید. از آنجایی که نابرابری باید برقرار باشد، از .

بیایید اولین مشتق تابع را پیدا کنیم:

بیایید نقاط بحرانی تابع را پیدا کنیم.

یک افراط محلی مفاهیم حداقل محلی و حداکثر محلی را ترکیب می کند.

قضیه (شرط لازم برای مادون تابع متمایزپذیر)
اجازه دهید $f$ یک تابع واقعی در یک مجموعه باز $E \subset \mathbb(R)^(n)$ باشد. اگر در نقطه $x_(0) \در E$ تابع $f$ در این نقطه نیز یک اکسترموم محلی داشته باشد، آنگاه $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ تساوی به صفر دیفرانسیل معادل این واقعیت است که همه برابر با صفر هستند، یعنی. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

اگر $Q_(x_(0))$ باشد، تابع $f$ در نقطه $x_(0)$ دارای یک اکسترمم محلی است، یعنی حداقل اگر فرم مثبت-معین باشد و حداکثر اگر فرم باشد. منفی-معین;
اگر شکل درجه دوم $Q_(x_(0))$ نامعین باشد، آنگاه تابع $f$ در نقطه $x_(0)$ اکسترومومی ندارد.

اجازه دهید یک مورد خاص از این قضیه را برای تابع $f \left(x,y\right)$ از دو متغیری که در برخی از همسایگی‌های نقطه $\left(x_(0),y_(0)\right) در نظر بگیریم. $ و داشتن مشتقات جزئی پیوسته از مرتبه اول و دوم. اجازه دهید $\left(x_(0),y_(0)\right)$ یک نقطه ثابت باشد و اجازه دهید $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_(0) , y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ). $$ سپس قضیه قبلی به شکل زیر در می آید.

قضیه
اجازه دهید $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) - a_(12)^2$. سپس:

اگر $\Delta>0$، تابع $f$ دارای یک اکسترموم محلی در نقطه $\left(x_(0),y_(0)\right)$ است، یعنی حداقل اگر $a_(11)> باشد. 0$ و حداکثر اگر $a_(11)<0$;
اگر $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

نمونه هایی از حل مسئله

الگوریتمی برای یافتن حد فاصل تابعی از متغیرهای متعدد:

نقاط ثابت را پیدا می کنیم.
ما دیفرانسیل مرتبه دوم را در تمام نقاط ثابت پیدا می کنیم
با استفاده از شرط کافی برای حداکثر یک تابع از چندین متغیر، دیفرانسیل مرتبه دوم را در هر نقطه ثابت در نظر می گیریم.

تابع را به انتهای $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$ بررسی کنید.
راه حل
مشتقات جزئی مرتبه اول را پیدا کنید: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ سیستم را بنویسید و حل کنید: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\جزئی f)(\جزئی y)= 0\پایان(موارد) \Rightarrow \begin(موارد)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ از معادله 2، $x=4 \cdot y^(2)$ را بیان می کنیم — در معادله 1 جایگزین می کنیم: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ راست )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ در نتیجه 2 نقطه ثابت به دست می آید:
1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
اجازه دهید تحقق شرط اکستریم کافی را بررسی کنیم:
$$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\جزئی x \جزئی y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\جزئی y^(2))=48 \cdot y$$
1) برای نقطه $M_(1)= \left(0,0\right)$:
$$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\جزئی^(2) f)(\جزئی x \جزئی y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) برای نقطه $M_(2)$:
$$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\جزئی^(2) f)(\جزئی x \جزئی y) \left(1,\frac(1)(2)\راست)=-6; C_(2)=\frac(\جزئی^(2) f)(\جزئی y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) - C_(2)^(2) = 108>0$، بنابراین در نقطه $M_(2)$ یک اکسترموم وجود دارد و از $A_(2)>0 $، سپس این حداقل است.
پاسخ: نقطه $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ حداقل نقطه تابع $f$ است.
تابع extremum $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$ را بررسی کنید.
راه حل
نقاط ثابت را پیدا کنید: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
سیستم را بنویسید و حل کنید: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ فلش راست \شروع (موارد)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(موارد) \Rightarrow \begin(موارد) y = 2\\y + x = 1\end(موارد) \Rightarrow x = -1$$
$M_(0) \left(-1, 2\right)$ یک نقطه ثابت است.
بیایید برآورده شدن شرط extremum کافی را بررسی کنیم: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
$A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
پاسخ: افراطی وجود ندارد.

محدودیت زمانی: 0

ناوبری (فقط شماره های شغلی)

0 از 4 کار تکمیل شد

اطلاعات

قبلاً در آزمون شرکت کرده اید. شما نمی توانید آن را دوباره اجرا کنید.

تست در حال بارگیری است...

برای شروع آزمون باید وارد شوید یا ثبت نام کنید.

برای شروع این تست باید تست های زیر را تکمیل کنید:

نتایج

پاسخ های صحیح: 0 از 4

زمان خود را:

زمان به پایان رسیده است

شما 0 امتیاز از 0 کسب کردید (0 )

امتیاز شما در تابلوی امتیازات ثبت شده است

با جواب
بررسی شد

وظیفه 1 از 4

1 .

تعداد امتیاز: 1

تابع $f$ را برای اکسترنال بررسی کنید: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

درست

نه به درستی

وظیفه 2 از 4

2 .
تعداد امتیاز: 1
آیا تابع $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

تعریف:نقطه x0 نقطه حداکثر (یا حداقل) محلی تابع نامیده می شود، اگر در برخی از همسایگی های نقطه x0 تابع بزرگترین (یا کوچکترین) مقدار را بگیرد، یعنی. برای همه х از محله ای از نقطه x0، شرط f(x) f(x0) (یا f(x) f(x0)) برقرار است.

نقاط حداکثر یا حداقل محلی با یک نام مشترک - نقاط انتهایی محلی یک تابع - متحد می شوند.

توجه داشته باشید که در نقاط انتهایی محلی، تابع تنها در برخی از ناحیه‌های محلی به حداکثر یا حداقل مقدار خود می‌رسد. مواردی وجود دارد که با توجه به مقدار umaxуmin .

یک معیار ضروری برای وجود اکستروم محلی یک تابع

قضیه . اگر یک تابع پیوسته y = f(x) در نقطه x0 یک انتها محلی داشته باشد، در این نقطه اولین مشتق یا برابر با صفر است یا وجود ندارد، یعنی. افراط موضعی در نقاط بحرانی نوع اول اتفاق می افتد.

در نقاط انتهایی محلی، یا مماس موازی با محور 0x است یا دو مماس وجود دارد (شکل را ببینید). توجه داشته باشید که نقاط بحرانی شرط لازم اما کافی برای اکستروم موضعی نیستند. یک اکسترمم موضعی فقط در نقاط بحرانی نوع اول اتفاق می‌افتد، اما همه نقاط بحرانی دارای اکسترمم موضعی نیستند.

به عنوان مثال: یک سهمی مکعبی y = x3، دارای یک نقطه بحرانی x0=0 است که در آن مشتق y/(0)=0، اما نقطه بحرانی x0=0 یک نقطه افراطی نیست، اما یک نقطه عطف در آن وجود دارد (به زیر مراجعه کنید).

یک معیار کافی برای وجود اکستروم محلی یک تابع

قضیه . اگر زمانی که آرگومان از یک نقطه بحرانی از نوع اول عبور کند، از چپ به راست، اولین مشتق y / (x)

علامت "+" را به "-" تغییر می دهد، سپس تابع پیوسته y(x) دارای حداکثر محلی در این نقطه بحرانی است.

علامت "-" را به "+" تغییر می دهد، سپس تابع پیوسته y(x) در این نقطه بحرانی حداقل محلی دارد.

علامت تغییر نمی کند، پس در این نقطه بحرانی اکسترومم محلی وجود ندارد، یک نقطه عطف وجود دارد.

برای حداکثر محلی، ناحیه تابع افزایشی (y/0) با ناحیه تابع کاهشی (y/0) جایگزین می شود. برای حداقل محلی، ناحیه تابع کاهشی (y/0) با ناحیه تابع افزایشی (y/0) جایگزین می‌شود.

مثال: تابع y \u003d x3 + 9x2 + 15x - 9 را برای یکنواختی، اکسترموم بررسی کنید و نموداری از تابع بسازید.

اجازه دهید نقاط بحرانی نوع اول را با تعریف مشتق (y/) و برابر کردن آن با صفر پیدا کنیم: y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

مثلث مربع را با استفاده از ممیز حل می کنیم:

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1، b=6، c=5) D=، x1k = -5، x2k = -1.

2) اجازه دهید محور عددی را بر اساس نقاط بحرانی به 3 ناحیه تقسیم کرده و نشانه های مشتق (y/) را در آنها مشخص کنیم. بر اساس این نشانه ها نواحی یکنواختی (افزایش و کاهش) توابع را می یابیم و با تغییر علائم، نقاط اکستروم موضعی (حداکثر و حداقل) را مشخص می کنیم.

نتایج تحقیق در قالب یک جدول ارائه شده است که از آن می توان نتایج زیر را استخراج کرد:

1. در بازه y /(-10) 0، تابع به طور یکنواخت افزایش می یابد (علامت مشتق y از نقطه کنترل x = -10 در این بازه تخمین زده شد).
2. در بازه (-5; -1) y /(-2) 0، تابع به طور یکنواخت کاهش می یابد (علامت مشتق y از نقطه کنترل x = -2 در این بازه تخمین زده شد).
3. در بازه y /(0) 0، تابع به طور یکنواخت افزایش می یابد (علامت مشتق y از نقطه کنترل x = 0 در این بازه تخمین زده شد).
4. هنگام عبور از نقطه بحرانی x1k \u003d -5، مشتق علامت "+" را به "-" تغییر می دهد، بنابراین این نقطه حداکثر نقطه محلی است.
(ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
5. هنگام عبور از نقطه بحرانی x2k \u003d -1، مشتق علامت "-" را به "+" تغییر می دهد، بنابراین این نقطه یک نقطه حداقل محلی است
(ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

x -5 (-5 ; -1) -1

3) ما یک نمودار بر اساس نتایج مطالعه با دخالت محاسبات اضافی مقادیر تابع در نقاط کنترل می سازیم:

ما یک سیستم مختصات مستطیلی Oxy می سازیم.

مختصات حداکثر (-5; 16) و حداقل (-1; -16) امتیاز را نشان دهید.

برای اصلاح نمودار، مقدار تابع را در نقاط کنترل محاسبه می کنیم، آنها را در سمت چپ و راست نقاط حداکثر و حداقل و در داخل بازه میانی انتخاب می کنیم، به عنوان مثال: y(-6)=(-6)3 + 9(-6)2+15(-6)-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

y(0)= -9 (-6;9); (-3;0) و (0;-9) - نقاط کنترل محاسبه شده، که برای ساخت یک نمودار رسم می شوند.

نمودار را به صورت منحنی با برآمدگی در نقطه حداکثر و برآمدگی پایین در نقطه حداقل و عبور از نقاط کنترل محاسبه شده نشان می دهیم.