Comprenons ce que sont un cercle et un cercle. Formule pour l'aire d'un cercle et la circonférence d'un cercle.

Chaque jour, nous rencontrons de nombreux objets qui forment un cercle ou, au contraire, un cercle. Parfois, la question se pose, qu'est-ce qu'un cercle et en quoi diffère-t-il d'un cercle. Bien sûr, nous avons tous pris des cours de géométrie, mais parfois ça ne fait pas de mal de rafraichir nos connaissances avec des explications très simples.

Quelle est la circonférence et l'aire d'un cercle: définition

Ainsi, le cercle est une ligne courbe fermée qui limite ou, au contraire, forme un cercle. Une condition préalable pour un cercle est qu'il ait un centre et que tous les points en soient équidistants. En termes simples, un cercle est un cerceau de gymnastique (ou comme on l'appelle souvent un cerceau) sur une surface plane.

La circonférence d'un cercle est la longueur totale de la courbe qui forme le cercle. Comme vous le savez, quelle que soit la taille du cercle, le rapport entre son diamètre et sa longueur est égal au nombre π = 3,141592653589793238462643.

Il en résulte que π=L/D, où L est la circonférence et D est le diamètre du cercle.

Si vous connaissez le diamètre, alors la longueur peut être trouvée en utilisant une formule simple : L= π* D

Si le rayon est connu : L=2 πR

Nous avons compris ce qu'est un cercle et pouvons passer à la définition d'un cercle.

Le cercle est figure géométrique, qui est entouré d'un cercle. Ou, un cercle est une figure dont la limite est constituée de un grand nombre points équidistants du centre de la figure. Toute la zone qui se trouve à l'intérieur du cercle, y compris son centre, s'appelle un cercle.

Il convient de noter que le cercle et le cercle qui s'y trouve ont les mêmes valeurs de rayon et de diamètre. Et le diamètre, à son tour, est le double du rayon.

Un cercle a une aire dans un plan, qui peut être trouvée à l'aide d'une formule simple :

Où S est l'aire du cercle et R est le rayon du cercle donné.

Quelle est la différence entre un cercle et un cercle: une explication

La principale différence entre un cercle et un cercle est qu'un cercle est une figure géométrique, tandis qu'un cercle est une courbe fermée. Notez également les différences entre un cercle et un cercle :

  • Le cercle est une ligne fermée, et le cercle est la zone à l'intérieur de ce cercle ;
  • Un cercle est une ligne courbe sur un plan, et un cercle est un espace fermé en anneau par un cercle ;
  • Similitudes entre circonférence et cercle : rayon et diamètre ;
  • Le cercle et le cercle ont un seul centre ;
  • Si l'espace à l'intérieur du cercle est ombré, il se transforme en cercle ;
  • Un cercle a une longueur, mais un cercle n'en a pas, et vice versa, un cercle a une aire qu'un cercle n'a pas.

Cercle et cercle: exemples, photos

Pour plus de clarté, nous suggérons de considérer une photo sur laquelle un cercle est affiché à gauche et un cercle à droite.

La formule de la circonférence et de l'aire d'un cercle: une comparaison

Formule de circonférence L=2 πR

Formule de l'aire du cercle S= πR²

Notez que dans les deux formules, il y a un rayon et un nombre π. Il est recommandé d'apprendre ces formules par cœur, car elles sont les plus simples et seront certainement utiles dans Vie courante et au travail.

Aire du cercle le long de la circonférence : formule

S=π(L/2π)=L²/4π, où S est l'aire du cercle, L est la circonférence.

Vidéo: Qu'est-ce qu'un cercle, un cercle et un rayon


Cercle est une figure composée de tous les points du plan équidistants d'un point donné.

Concepts de base:

Centre du cercle est un point équidistant des points du cercle.

Rayon- c'est la distance des points du cercle à son centre (égale à la moitié du diamètre, Fig. 1).

Diamètre est une corde passant par le centre du cercle (Fig. 1).

Accord- c'est un segment reliant deux points du cercle (Fig. 1).

Tangente est une droite qui n'a qu'un seul point commun avec le cercle. Passe par un point du cercle perpendiculaire au diamètre tracé jusqu'à ce point (Fig. 1).

Sécante est une droite passant par deux points différents du cercle (Fig. 1).

cercle unitaire est un cercle dont le rayon est égal à un.

arc de cercle est la partie du cercle divisée par deux points non coïncidents sur le cercle.

1 radian- c'est l'angle formé par l'arc de cercle, égal à la longueur du rayon (Fig. 4).
1 radian = 180˚ : π ≈ 57,3˚

Coin central est l'angle avec le sommet au centre du cercle. Elle est égale à la mesure en degrés de l'arc sur lequel elle repose (Fig. 2).

Angle inscrit est un angle dont le sommet appartient à un cercle et dont les côtés coupent le cercle. Il est égal à la moitié de la mesure en degrés de l'arc sur lequel il repose (Fig. 3).

Deux cercles qui ont un centre commun s'appellent concentrique.

Deux cercles qui se coupent à angle droit sont appelés orthogonal.

Circonférence et aire d'un cercle:

Désignations :
Circonférence - C
Diamètre longueur - d
Longueur du rayon - r

Sensπ :
 Le rapport de la circonférence d'un cercle à la longueur de son diamètre est désigné par la lettre grecque π (pi).

22
π = -
7

Formule de circonférence :

C = πd, ou C = 2πr

Formules de zone de cercle :

C r
S = --
2

πD 2
S=---
4

Zone de secteur circulaire et segment circulaire.

secteur circulaire est la partie du cercle située à l'intérieur de l'angle au centre correspondant.
La formule de l'aire d'un secteur circulaire:

πR2
S=---α
360

où π - une valeur constante égale à 3,1416 ; R est le rayon du cercle; α est la mesure en degrés de l'angle central correspondant.

segment circulaire- ce une partie commune cercles et demi-plans.
La formule de l'aire d'un segment circulaire est :

πR2
S=---α ± S Δ
360

où α - mesure en degrés de l'angle au centre que contient l'arc de ce segment de cercle ; S Δ - aire d'un triangle avec des sommets au centre du cercle et aux extrémités des rayons délimitant le secteur correspondant.

Le signe moins doit être pris lorsque α< 180˚, а знак «плюс» надо брать, когда α >180˚.

Équation du cercle en coordonnées cartésiennesX, y centré au point (une; b):

(X-une) 2 + (y-b) 2 = R 2

Un cercle circonscrit à un triangle (Fig. 4).

Un cercle inscrit dans un triangle (Fig. 5).

Angles inscrits dans un cercle (Fig. 3).

Un angle dont le sommet appartient à un cercle et dont les côtés coupent le cercle est appelé inscrit dans un cercle.

Concepts de base:

Un angle divise le plan en deux parties. Chacune de ces parties est appelée coin plat.

Les angles plans avec des côtés communs sont appelés Additionnel.

Un angle plat avec un sommet au centre du cercle est appelé coin central(fig.2)



Proportionnalité des segments d'accords et des cercles sécants.

Cas particuliers et formules :

1) À partir d'un point C, qui est à l'extérieur du cercle, on trace une tangente au cercle et on note le point de leur contact avec la lettre D.

Ensuite, à partir du même point C, nous tracerons une sécante et les points d'intersection de la sécante et du cercle seront désignés par les lettres A et B (Fig. 8).

Dans ce cas:

CD2=CA ·avant JC

2) Tracez un diamètre AB dans un cercle. Puis, à partir du point C, situé sur le cercle, on trace une perpendiculaire à ce diamètre et on note le segment résultant CD (Fig. 9).

Dans ce cas:

CD2=UN D ·BD

Cercle- une figure géométrique constituée de tous les points du plan situés à une distance donnée d'un point donné.

Ce point (O) est appelé centre du cercle.
Rayon du cercle est un segment de droite qui relie le centre à un point du cercle. Tous les rayons ont la même longueur (par définition).
Accord Un segment de droite qui relie deux points sur un cercle. La corde passant par le centre du cercle s'appelle diamètre. Le centre d'un cercle est le milieu de n'importe quel diamètre.
Deux points quelconques du cercle le divisent en deux parties. Chacune de ces parties est appelée arc de cercle. L'arc s'appelle demi-cercle si le segment reliant ses extrémités est un diamètre.
La longueur d'un demi-cercle unitaire est notée π .
La somme des mesures en degrés de deux arcs de cercle avec des extrémités communes est 360º.
La partie du plan délimitée par un cercle s'appelle environ.
secteur circulaire- une partie de cercle délimitée par un arc et deux rayons reliant les extrémités de l'arc au centre du cercle. L'arc qui délimite le secteur s'appelle arc de secteur.
Deux cercles qui ont un centre commun s'appellent concentrique.
Deux cercles qui se coupent à angle droit sont appelés orthogonal.

Arrangement mutuel d'une droite et d'un cercle

  1. Si la distance entre le centre du cercle et la ligne droite est inférieure au rayon du cercle ( d), alors la droite et le cercle ont deux points communs. Dans ce cas, la ligne s'appelle sécante par rapport au cercle.
  2. Si la distance du centre du cercle à la droite est égale au rayon du cercle, alors la droite et le cercle n'ont qu'un seul point commun. Une telle ligne s'appelle tangente au cercle, et leur point commun est appelé point de contact entre une droite et un cercle.
  3. Si la distance du centre du cercle à la ligne est supérieure au rayon du cercle, alors la ligne et le cercle n'ont pas de points communs
    4. .

Angles centraux et inscrits

Coin central est l'angle avec le sommet au centre du cercle.
Angle inscrit Un angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés coupent le cercle.

Théorème de l'angle inscrit

Un angle inscrit est mesuré par la moitié de l'arc qu'il intercepte.

  • Conséquence 1.
    Les angles inscrits sous-tendant le même arc sont égaux.

  • Conséquence 2.
    Un angle inscrit qui coupe un demi-cercle est un angle droit.

Théorème sur le produit de segments de cordes sécantes.

Si deux cordes d'un cercle se croisent, alors le produit des segments d'une corde est égal au produit des segments de l'autre corde.

Formules de base

  • Circonférence:
C = 2∙π∙R
  • Longueur de l'arc:
R \u003d C / (2 ∙ π) \u003d D / 2
  • Diamètre:
D = C/π = 2∙R
  • Longueur de l'arc:
l = (π∙R) / 180∙α,
où α - mesure en degrés de la longueur d'un arc de cercle)
  • Aire d'un cercle:
S = π∙R2
  • Aire du secteur circulaire :
S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Équation du cercle

  • V système rectangulaire rayon du cercle d'équation de coordonnées r centré sur un point C(x o; y o) a la forme :
(x - x o) 2 + (y - y o) 2 \u003d r 2
  • L'équation d'un cercle de rayon r centré à l'origine est :
x 2 + y 2 = r 2

Un cercle est une ligne fermée courbe sur un plan, dont tous les points sont à la même distance d'un point ; ce point est appelé le centre du cercle.

La partie d'un plan délimitée par un cercle s'appelle un cercle..

Le segment de droite reliant le point du cercle à son centre s'appelle le rayon.(Fig. 84).

Puisque tous les points du cercle sont à la même distance du centre, alors tous les rayons d'un même cercle sont égaux entre eux. Le rayon est généralement désigné par la lettre R ou r.

Un point pris à l'intérieur d'un cercle est situé de son centre à une distance inférieure au rayon. Ceci est facile à vérifier si un rayon passe par un point donné (Fig. 85).

Un point pris à l'extérieur du cercle est situé à une distance de son centre supérieure au rayon. Ceci est facile à vérifier si vous reliez ce point au centre du cercle (Fig. 85).

Un segment de droite reliant deux points d'un cercle s'appelle une corde.

La corde passant par le centre s'appelle le diamètre.(Fig. 84). Le diamètre est généralement désigné par la lettre D. Le diamètre est égal à deux rayons :

Puisque tous les rayons d'un même cercle sont égaux entre eux, alors tous les diamètres de ce cercle sont égaux entre eux.

Théorème. Une corde qui ne passe pas par le centre d'un cercle est inférieure à un diamètre tracé dans le même cercle.

En effet, si nous dessinons un accord, par exemple AB, et connectons ses extrémités au centre O (Fig. 86), nous verrons que l'accord AB est inférieur à la ligne brisée AO + OB, c'est-à-dire AB r, et depuis 2 r= D, puis AB

Si le cercle est plié en diamètre (Fig. 87), les deux parties du cercle et le cercle seront combinés. Le diamètre divise le cercle et le cercle en deux parties égales.

Deux cercles (deux cercles) sont dits égaux s'ils peuvent se superposer l'un à l'autre de sorte qu'ils soient alignés.

Par conséquent, deux cercles (deux cercles) avec des rayons égaux sont égaux.

2. Arc de cercle.

Une partie d'un cercle s'appelle un arc.

Le mot "arc" est parfois remplacé par \(\breve( )\). Un arc est indiqué par deux ou trois lettres, dont deux sont placées aux extrémités de l'arc et la troisième à un certain point de l'arc. Dans le dessin 88, deux arcs sont indiqués : \(\breve(ACB)\) et \(\breve(ADB)\).

Dans le cas où l'arc est inférieur à un demi-cercle, il est généralement indiqué par deux lettres. Ainsi, l'arc ADB peut être noté \(\breve(AB)\) (Fig. 88). On dit qu'une corde qui relie les extrémités d'un arc soustrait l'arc.

Si nous déplaçons l'arc AC (Fig. 89, a) de sorte qu'il glisse sur le cercle donné, et s'il coïncide avec l'arc MN, alors \(\breve(AC)\) = \(\breve(NM)\ ).

Sur le dessin 89, b, les arcs AC et AB ne sont pas égaux entre eux. Les deux arcs commencent au point A, mais un arc \(\breve(AB)\) n'est qu'une partie de l'autre \(\breve(AC)\).

Donc \(\breve(AC)\) > \(\breve(AB)\); \(\breve(AB)\)

Construction d'un cercle par trois points

Tâche. Tracez un cercle passant par trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne.

Donnons-nous trois points A, B et C qui ne sont pas sur la même droite (Fig. 311).

Reliez ces points aux segments de droite AB et BC. Pour trouver des points équidistants des points A et B, nous divisons le segment AB en deux et traçons une ligne perpendiculaire à AB passant par le milieu (point M). Chaque point de cette perpendiculaire est équidistant des points A et B.

Pour trouver des points équidistants des points B et C, nous divisons le segment BC en deux et traçons une ligne perpendiculaire à BC passant par son milieu (point N). Chaque point de cette perpendiculaire a est équidistant des points B et C.

Le point O de l'intersection de ces perpendiculaires sera à la même distance des points donnés A, B et C (AO \u003d BO \u003d CO). Si nous, en prenant le point O comme centre du cercle, avec un rayon égal à AO, dessinons un cercle, alors il passera par tous les points donnés A, B et C.

Le point O est le seul point pouvant servir de centre d'un cercle passant par trois points A, B et C qui ne sont pas situés sur une droite, car deux perpendiculaires aux segments AB et BC ne peuvent se couper qu'en un seul point. Le problème a donc une solution unique.

Noter. Si trois points A, B et C se trouvent sur la même droite, alors le problème n'aura pas de solution, car les perpendiculaires aux segments AB et BC seront parallèles et il n'y aura pas de point également distant des points A, B, C, c'est-à-dire le point qui pourrait servir de centre du cercle désiré.

Si nous connectons les points A et C avec un segment et connectons le milieu de ce segment (point K) avec le centre du cercle O, alors OK sera perpendiculaire à AC (Fig. 311), puisque dans un triangle isocèle AOC OK est une médiane, donc OK ⊥ AC.

Conséquence. Trois perpendiculaires aux côtés d'un triangle, tracées par leurs milieux, se coupent en un point.

Cercle est une figure composée de tous les points du plan équidistants d'un point donné. Ce point est appelé le centre du cercle.

Un cercle de rayon nul (un cercle dégénéré) est un point, parfois ce cas est exclu de la définition.

YouTube encyclopédique

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    Cercle et ses propriétés (bezbotvy)

    Cercle inscrit et circonscrit - par bezbotvy

    Mathématiques : préparation à l'OGE et à l'examen d'État unifié. Planimétrie. Les cercles et leurs propriétés

    Mathématiques 26. Boussoles. Cercle et cercle - École Shishkin

    ÉQUATION DU CERCLE. TÂCHE 18 (С5). ARTHUR CHARIFOV

    Les sous-titres

La désignation

Si un cercle passe, par exemple, par les points A, B, C, alors il est noté en indiquant ces points entre parenthèses : (A, B, C). Alors l'arc de cercle passant par les points A, B, C est noté l'arc ABC (ou l'arc AC), ainsi que υ ABC (ou υ AC).

Autres définitions

  • Cercle de diamètre UN B UN B UN B visible à angle droit (Définition à travers un angle basé sur le diamètre d'un cercle).
  • Cercle avec accord UN B est une figure en pointillé UN B et tous les points du plan d'où part le segment UN B vu sous un angle constant d'un côté, égal à angle inscrit de l'arc AB, et à un autre angle constant de l'autre côté, égal à 180 degrés moins angle inscrit de l'arc AB ci-dessus (Défini en termes d'angle inscrit).
  • Une figure composée de tels points X , (\displaystyle X,) quel est le rapport des longueurs des segments HACHE et Bx constamment: UNE X B X = c ≠ 1 , (\displaystyle (\frac (AX)(BX))=c\neq 1,) est un cercle (défini en termes de cercle d'Apollonius).
  • La figure constituée de tous ces points, pour chacun desquels la somme des distances au carré à deux points donnés est égale à une valeur donnée, supérieure à la moitié de la distance au carré entre les points donnés, est également un cercle (Définition par le théorème de Pythagore pour un arbitraire triangle rectangle inscrit dans un cercle, l'hypoténuse étant le diamètre du cercle).
  • M dessinez tous les accords à l'intérieur UN B, CD, EF etc., alors les égalités sont valides : UNE M ⋅ M B = C M ⋅ M D = E M ⋅ M F = … (\displaystyle AM\cdot (MB)=CM\cdot (MD)=EM\cdot (MF)=\dots ). Les égalités seront toujours valables quel que soit le choix du point M et les directions des accords qui le traversent (Définition par accords entrecroisés).
  • Un cercle est une figure fermée, sans intersection avec la propriété suivante. Si par un point arbitraire Mà l'extérieur, tracez deux tangentes aux points de leur contact avec le cercle, par exemple, UNE et B, alors leurs longueurs seront toujours égales : M UNE = M B (\displaystyle MA=MB). L'égalité tiendra toujours quel que soit le choix du point M(Définition en termes de tangentes égales).
  • Un cercle est une figure fermée, sans intersection avec la propriété suivante. Le rapport de la longueur de l'un de ses accords au sinus de l'un de ses angle inscrit, basée sur cette corde, est une valeur constante égale au diamètre de ce cercle (Définition par le théorème des sinus).
  • Le cercle est cas particulier ellipse, pour laquelle la distance entre foyers est égale à zéro (Définition par une ellipse dégénérée).

Définitions associées pour un seul cercle

  • Le lieu des points dans le plan, dont la distance à un point donné n'est pas supérieure à une valeur non nulle donnée, est appelé environ .
  • Rayon- non seulement la valeur de la distance, mais aussi le segment reliant le centre du cercle à l'un de ses points. Le rayon est toujours la moitié diamètre cercles.
  • Le rayon est toujours perpendiculaire à la tangente tracée au cercle en son point commun avec le cercle. Autrement dit, le rayon est également la normale au cercle.
  • Le cercle s'appelle Célibataire si son rayon est égal à un. Unité cercle est l'un des objets de base de la trigonométrie.
  • Un segment de droite qui relie deux points d'un cercle s'appelle accord. La corde passant par le centre du cercle s'appelle diamètre.
  • Deux points non coïncidents sur le cercle le divisent en deux parties. Chacune de ces parties est appelée arc cercle. L'arc s'appelle demi-cercle si le segment reliant ses extrémités est un diamètre.
  • La longueur d'un demi-cercle unitaire est notée .
  • Une droite qui a exactement un point en commun avec un cercle s'appelle tangente au cercle, et leur point commun s'appelle le point de contact de la droite et du cercle.
  • Tangenteà un cercle est toujours perpendiculaire à son rayon (et diamètre) dessiné au point de contact, qui est Ordinaire dessiné à ce stade.
  • Une droite passant par deux points distincts d'un cercle s'appelle sécante.

Définition des triangles pour un cercle

  • Le triangle ABC s'appelle inscrit dans un cercle(A,B,C) si ses trois sommets A, B et C appartiennent à ce cercle. Le cercle s'appelle cercle circonscrit triangle ABC(Voir cercle circonscrit).
  • Tangenteà un cercle passant par n'importe quel sommet d'un triangle qui y est inscrit est antiparallèle au côté du triangle opposé au sommet donné.
  • Le triangle ABC s'appelle circonscrit à un cercle(A", B", C") si ses trois côtés AB, BC et CA touchent ce cercle en certains points C", A" et B", respectivement. Le cercle s'appelle cercle inscrit triangle ABC (voir cercle inscrit).

Définitions des angles pour un cercle

  • L'angle formé par un arc de cercle de longueur égale au rayon est pris égal à 1 radian.
  • Central angle - un angle avec un sommet au centre du cercle. L'angle au centre est égal à la mesure en radian / degré de l'arc sur lequel il repose (voir Fig.).
  • Inscrit angle - un angle dont le sommet se trouve sur un cercle et dont les côtés coupent ce cercle. Angle inscritégal à la moitié de la mesure en degrés de l'arc sur lequel il repose (voir Fig.).
  • coin extérieur pour inscrit angle - l'angle formé par un côté et l'extension de l'autre côté inscrit angle (voir fig. angle θ Brun). coin extérieur car l'angle du cercle inscrit de l'autre côté a la même valeur θ .
  • Angle entre le cercle et la ligne- l'angle entre la droite et la tangente au cercle au point d'intersection de la droite et du cercle. Les deux angles entre le cercle qui se coupe et la droite sont égaux.
  • Angle basé sur le diamètre d'un cercle- l'angle inscrit dans ce cercle dont les côtés contiennent les extrémités du diamètre. Il est toujours direct.

Définitions associées pour deux cercles

  • Deux cercles qui ont un centre commun s'appellent concentrique.
  • Deux cercles qui n'ont qu'un point commun sont appelés concernant extérieurement, si leurs cercles n'ont pas d'autres points en commun, et intérieurement si leurs cercles sont l'un dans l'autre.
  • Deux cercles qui ont deux points en commun sont appelés sécante. Leurs cercles (délimités par eux) se croisent dans une région appelée segment de double cercle.
  • coin entre deux cercles qui se croisent (ou tangents) est appelé l'angle entre leurs tangentes tracées en un point commun d'intersection (ou de tangence).
  • Aussi angle entre deux cercles sécants (ou tangents), on peut considérer l'angle entre leurs rayons (diamètres) dessinés en un point commun d'intersection (ou tangence).
  • Puisque pour tout cercle son rayon (ou diamètre) et la tangente tracée par n'importe quel point du cercle sont mutuellement perpendiculaires, le rayon (ou diamètre) peut être considéré Ordinaireà un cercle construit en un point donné. Par conséquent, les deux types d'angles définis dans les deux paragraphes précédents seront toujours égaux entre eux, en tant qu'angles à côtés perpendiculaires entre eux.
  • angle droit sont appelés orthogonal. Les cercles peuvent être comptés orthogonal s'ils forment un angle droit entre eux.
  • Axe radical de deux cercles- lieu géométrique des points dont les degrés par rapport à deux cercles donnés sont égaux. En d'autres termes, les longueurs de quatre tangentes tracées à deux cercles donnés à partir de n'importe quel point sont égales M un lieu géométrique donné de points .

Définitions d'angle pour deux cercles

  • Angle entre deux cercles qui se croisent- l'angle formé par les tangentes aux cercles au point d'intersection de ces cercles. Les deux angles entre deux cercles qui se coupent sont égaux.
  • Angle entre deux cercles non sécants- l'angle entre deux tangentes communes à deux cercles, formé au point d'intersection de ces deux tangentes. Le point d'intersection de ces deux tangentes doit se situer entre les deux cercles, et non sur le côté de l'un d'eux (cet angle n'est pas pris en compte). Les deux angles verticaux entre deux cercles non sécants sont égaux.

Orthogonalité

  • Deux cercles qui se coupent à angle droit sont appelés orthogonal. Les cercles peuvent être comptés orthogonal s'ils forment un angle droit entre eux.
  • Deux cercles se coupant aux points A et B de centres O et O" sont appelés orthogonal, si OAO" et OBO" sont des angles droits. C'est cette condition qui garantit angle droit entre cercles. Dans ce cas, les rayons (normales) des deux cercles tracés au point de leur intersection sont perpendiculaires. Par conséquent, les tangentes de deux cercles tracés au point de leur intersection sont également perpendiculaires. La tangente du cercle est perpendiculaire au rayon (normal) tracé au point de contact. Habituellement, l'angle entre les courbes est l'angle entre leurs tangentes tracées au point de leur intersection.
  • Il peut y avoir une autre condition supplémentaire. Soit deux cercles se coupant aux points A et B ayant des milieux d'arcs se coupant aux points C et D, c'est-à-dire que l'arc AC est égal à l'arc CB, l'arc AD est égal à l'arc DB. Alors ces cercles sont appelés orthogonal si CAD et CBD sont des angles droits.

Définitions connexes pour trois cercles

  • Trois cercles sont appelés mutuellement tangents (se croisant) si deux d'entre eux se touchent (se croisent).
  • En géométrie centre radical trois cercles est le point d'intersection des trois axes radicaux des paires de cercles. Si le centre radical se trouve à l'extérieur des trois cercles, alors c'est le centre du seul cercle ( cercle radical) qui coupe trois cercles donnés orthogonalement.

Lemme d'Archimède

Preuve

Laisser G (\displaystyle G)- l'homothétie, traduisant un petit cercle en un grand. Alors il est clair que A 1 (\displaystyle A_(1)) est le centre de cette homothétie. Puis la ligne B C (\displaystyle BC) va en ligne droite un (\displaystyle un) touchant le grand cercle, et A 2 (\displaystyle A_(2)) ira en un point situé sur cette ligne et appartenant au grand cercle. En se souvenant que l'homothétie transforme les droites en droites parallèles à elles, on comprend que une ∥ B C (\displaystyle a\parallel BC). Laisser G (UNE 2) = UNE 3 (\displaystyle G(A_(2))=A_(3)) et D (\displaystyle D)- pointer sur une ligne un (\displaystyle un), tel qu'il soit pointu, et E (\displaystyle E)- un tel point sur la ligne un (\displaystyle un), Quel ∠ B UNE 3 E (\displaystyle\angle BA_(3)E)- épicé. Puis, depuis un (\displaystyle un)- tangente au grand cercle ∠ C UNE 3 D (\displaystyle\angle CA_(3)D)= (\displaystyle =)∠ C B UNE 3 (\displaystyle\angle CBA_(3))= ∠ B UNE 3 E = ∠ B C UNE 3 (\displaystyle =\angle BA_(3)E=\angle BCA_(3)). D'où △ B C UNE 3 (\displaystyle\bigtriangleup BCA_(3)) isocèle, ce qui signifie ∠ B UNE 1 UNE 3 = ∠ C UNE 1 UNE 3 (\displaystyle \angle BA_(1)A_(3)=\angle CA_(1)A_(3)), C'est UNE 1 UNE 2 (\displaystyle A_(1)A_(2))- bissectrice ∠ B UNE 1 C (\displaystyle\angle BA_(1)C).

Théorème de Descartes pour les rayons de quatre cercles tangents par paires

Théorème de Descartes" déclare que les rayons de quatre cercles mutuellement tangents satisfont une certaine équation quadratique. Ils sont parfois appelés cercles de Soddy.

Propriétés

X 2 + y 2 = R 2 . (\displaystyle x^(2)+y^(2)=R^(2).)

Équation d'un cercle passant par des points (x 1 , y 1) , (x 2 , y 2) , (x 3 , y 3) , (\displaystyle \left(x_(1),y_(1)\right),\left(x_(2) ,y_(2)\droite),\gauche(x_(3),y_(3)\droite),) ne se trouvant pas sur une ligne droite (en utilisant le déterminant):

| x 2 + y 2 x y 1 x 1 2 + y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 y 3 1 | = 0. (\displaystyle (\begin(vmatrix)x^(2)+y^(2)&x&y&1\\x_(1)^(2)+y_(1)^(2)&x_(1)&y_(1 )&1\\x_(2)^(2)+y_(2)^(2)&x_(2)&y_(2)&1\\x_(3)^(2)+y_(3)^(2)&x_ (3)&y_(3)&1\end(vmatrice))=0.) ( X = X 0 + R cos ⁡ φ y = y 0 + R sin ⁡ φ , 0 ⩽ φ< 2 π . {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+R\cos \varphi \\y=y_{0}+R\sin \varphi \end{cases}},\;\;\;0\leqslant \varphi <2\pi .}

Dans un système de coordonnées cartésiennes, un cercle n'est pas un graphe d'une fonction, mais il peut être décrit comme l'union des graphes des deux fonctions suivantes :

y = y 0 ± R 2 - (x - X 0) 2 . (\displaystyle y=y_(0)\pm (\sqrt (R^(2)-(x-x_(0))^(2))).)

Si le centre du cercle coïncide avec l'origine, les fonctions prennent la forme :

y = ± R 2 - X 2 . (\displaystyle y=\pm (\sqrt (R^(2)-x^(2))).)

Coordonnées polaires

Rayon du cercle R (\displaystyle R) centré sur un point (ρ 0 , ϕ 0) (\displaystyle \left(\rho _(0),\phi _(0)\right)).