On considère en détail des exemples de solutions d'intégrales par parties dont l'intégrande contient le logarithme, l'arc sinus, l'arc tangente, ainsi que le logarithme à une puissance entière et le logarithme du polynôme.

Contenu

Voir également: Méthode d'intégration par parties
Tableau des intégrales indéfinies
Méthodes de calcul des intégrales indéfinies
Fonctions élémentaires de base et leurs propriétés

Formule d'intégration par parties

Ci-dessous, lors de la résolution d'exemples, la formule d'intégration par parties est appliquée :
;
.

Exemples d'intégrales contenant des fonctions logarithmiques et trigonométriques inverses

Voici des exemples d'intégrales qui s'intègrent par parties :
, , , , , , .

Lors de l'intégration, la partie de l'intégrande qui contient le logarithme ou les fonctions trigonométriques inverses est désignée par u, le reste - par dv.

Vous trouverez ci-dessous des exemples avec des solutions détaillées de ces intégrales.

Un exemple simple de logarithme

On calcule l'intégrale contenant le produit du polynôme et du logarithme :

Ici, l'intégrande contient le logarithme. Faire des substitutions
tu= en x, dv = x 2 dx . Puis
,
.

On intègre par parties.
.

.
Puis
.
A la fin des calculs, on ajoute la constante C .

Exemple de logarithme puissance 2

Prenons un exemple dans lequel l'intégrande comprend un logarithme à une puissance entière. De telles intégrales peuvent également être intégrées par parties.

Faire des remplacements
tu= (ln x) 2, dv = x dx . Puis
,
.

L'intégrale restante est également calculée par parties :
.
Remplaçant
.

Un exemple où l'argument logarithme est un polynôme

Partiellement, des intégrales peuvent être calculées, dont l'intégrande comprend un logarithme dont l'argument est une fonction polynomiale, rationnelle ou irrationnelle. A titre d'exemple, calculons une intégrale avec un logarithme dont l'argument est un polynôme.
.

Faire des remplacements
tu= log( x 2 - 1), dv = x dx .
Puis
,
.

On calcule l'intégrale restante :
.
Nous n'écrivons pas le signe du module ici. dans | x 2 - 1|, puisque l'intégrande est définie pour x 2 - 1 > 0 . Remplaçant
.

Exemple d'arcsinus

Prenons un exemple d'intégrale dont l'intégrande comprend un arcsinus.
.

Faire des remplacements
tu= arcsin x,
.
Puis
,
.

De plus, nous notons que l'intégrande est définie pour |x|< 1 . Nous développons le signe du module sous le logarithme, en tenant compte du fait que 1 - x > 0 et 1 + x > 0.

Exemple d'arc tangente

Résolvons l'exemple avec l'arc tangente :
.

On intègre par parties.
.
Prenons la partie entière de la fraction :
X 8 = x 8 + x 6 - x 6 - x 4 + x 4 + X 2 - x 2 - 1 + 1 = (x 2 + 1)(x 6 - x 4 + x 2 - 1) + 1;
.
Nous intégrons :
.
Enfin nous avons.

Primitive et intégrale

1. Primitive. La fonction F (x) est appelée primitive de la fonction f (x) sur l'intervalle X, si pour tout x de X l'égalité F "(x) \u003d f (x)

T.7.13 (Si F(x) est une primitive d'une fonction f(x) sur l'intervalle X, alors la fonction f(x) a une infinité de primitives, et toutes ces primitives ont la forme F (x) + С, où С est une constante arbitraire (la propriété principale de la primitive).

2. Tableau des primitives. Considérant que trouver une primitive est une opération inverse de la différenciation, et partant du tableau des dérivées, on obtient le tableau suivant des primitives (pour simplifier, le tableau montre une primitive F(x), et non la forme générale des primitives F (x) + C):

	primitive		primitive

Fonction primitive et logarithmique

Fonction logarithmique, une fonction inverse de la fonction exponentielle. L.f. dénoté

sa valeur y, correspondant à la valeur de l'argument x, est appelée le logarithme népérien du nombre x. Par définition, la relation (1) est équivalente à

(e est un numéro non pair). Puisque ey > 0 pour tout réel y, alors le L. f. n'est défini que pour x > 0. Dans un sens plus général, L. f. appeler la fonction

logarithme intégral de degré primitif

où a > 0 (a? 1) est une base arbitraire de logarithmes. Cependant, en analyse mathématique, la fonction InX revêt une importance particulière ; la fonction logaX y est réduite par la formule :

où M = 1/In a. L.f. - une des principales fonctions élémentaires ; son graphique (Fig. 1) est appelé logarithmique. Les principales propriétés de L. f. découler des propriétés correspondantes de la fonction exponentielle et des logarithmes ; par exemple, L. f. satisfait l'équation fonctionnelle

Pour une< х, 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:

De nombreuses intégrales sont exprimées en termes de L. f. ; par exemple

L.f. se produit fréquemment dans le calcul et ses applications.

L.f. était bien connu des mathématiciens du 17ème siècle. Pour la première fois, la relation entre les variables, exprimée par L. f., a été considérée par J. Napier (1614). Il a présenté la relation entre les nombres et leurs logarithmes en utilisant deux points se déplaçant le long de lignes droites parallèles (Fig. 2). L'un d'eux (Y) se déplace uniformément, en partant de C, et l'autre (X), en partant de A, se déplace à une vitesse proportionnelle à sa distance à B. Si l'on pose SU = y, XB = x, alors, d'après cette définition,

dx/dy = - kx, d'où.

L.f. sur le plan complexe est une fonction multivaluée (infinie) définie pour toutes les valeurs de l'argument z ? 0 est noté Lnz. Une branche non ambiguë de cette fonction, définie comme

Inz \u003d In?z?+ je arg z,

où arg z est l'argument du nombre complexe z, est appelé la valeur principale du L. f. Nous avons

Lnz = lnz + 2kpi, k = 0, ±1, ±2, ...

Toutes les valeurs de L. f. pour négatif : les z réels sont des nombres complexes. La première théorie satisfaisante de L. f. dans le plan complexe a été donnée par L. Euler (1749), qui partait de la définition

Intégration par parties. Exemples de solutions

Rebonjour. Aujourd'hui, dans la leçon, nous allons apprendre à intégrer par parties. La méthode d'intégration par parties est l'une des pierres angulaires du calcul intégral. Lors du test, de l'examen, l'étudiant se voit presque toujours proposer de résoudre des intégrales des types suivants: l'intégrale la plus simple (voir articles) ou une intégrale pour changer la variable (voir articles) ou l'intégrale juste sur méthode d'intégration par parties.

Comme toujours, à portée de main devrait être: Tableau des intégrales et Table dérivée. Si vous ne les avez toujours pas, veuillez visiter la réserve de mon site : Formules et tableaux mathématiques. Je ne me lasserai pas de répéter - il vaut mieux tout imprimer. Je vais essayer de présenter tout le matériel de manière cohérente, simple et accessible, il n'y a pas de difficultés particulières à intégrer par parties.

Quel problème l'intégration par parties résout-elle ? La méthode d'intégration par parties résout un problème très important, elle permet d'intégrer certaines fonctions qui ne sont pas dans le tableau, travail fonctions, et dans certains cas - et privé. Comme on s'en souvient, il n'y a pas de formule commode : . Mais il y a celui-ci : est la formule d'intégration par parties en personne. Je sais, je sais, tu es le seul - avec elle, nous travaillerons toute la leçon (c'est déjà plus facile).

Et tout de suite la liste en studio. Les intégrales des types suivants sont prises par parties :

1) , , - logarithme, logarithme multiplié par un polynôme.

2) ,est une fonction exponentielle multipliée par un polynôme. Cela inclut également des intégrales comme - une fonction exponentielle multipliée par un polynôme, mais en pratique, c'est 97%, une jolie lettre "e" s'affiche sous l'intégrale. ... l'article s'avère être quelque chose de lyrique, oh oui ... le printemps est arrivé.

3) , , sont des fonctions trigonométriques multipliées par un polynôme.

4) , - fonctions trigonométriques inverses («arcs»), «arcs», multipliées par un polynôme.

De plus, certaines fractions sont prises en parties, nous examinerons également les exemples correspondants en détail.

Intégrales de logarithmes

Exemple 1

Classique. De temps en temps, cette intégrale peut être trouvée dans les tableaux, mais il n'est pas souhaitable d'utiliser une réponse toute faite, car le professeur a du béribéri au printemps et il grondera beaucoup. Parce que l'intégrale considérée n'est en aucun cas tabulaire - elle est prise en parties. Nous décidons:

Nous interrompons la solution pour des explications intermédiaires.

On utilise la formule d'intégration par parties :

La formule s'applique de gauche à droite

Nous regardons le côté gauche :. Évidemment, dans notre exemple (et dans tous les autres que nous allons considérer), quelque chose doit être noté par , et quelque chose par .

Dans les intégrales du type considéré, on note toujours le logarithme.

Techniquement, la conception de la solution est implémentée comme suit, nous écrivons dans la colonne :

Autrement dit, car nous avons noté le logarithme, et pour - la partie restante intégrande.

Prochaine étape : trouver le différentiel :

La différentielle est presque la même que la dérivée, nous avons déjà expliqué comment la trouver dans les leçons précédentes.

On retrouve maintenant la fonction . Pour trouver la fonction il faut intégrer côté droitégalité inférieure :

Maintenant, nous ouvrons notre solution et construisons le côté droit de la formule : .
Au fait, voici un exemple de solution finale avec de petites notes :

Le seul moment dans le produit, j'ai immédiatement réarrangé et, comme il est de coutume d'écrire le multiplicateur avant le logarithme.

Comme vous pouvez le voir, l'application de la formule d'intégration par parties a essentiellement réduit notre solution à deux intégrales simples.

Veuillez noter que dans certains cas juste après application de la formule, une simplification est nécessairement effectuée sous l'intégrale restante - dans l'exemple considéré, nous avons réduit l'intégrande de "x".

Faisons une vérification. Pour ce faire, vous devez prendre la dérivée de la réponse :

L'intégrande d'origine est obtenue, ce qui signifie que l'intégrale est résolue correctement.

Lors de la vérification, nous avons utilisé la règle de différenciation des produits : . Et ce n'est pas un hasard.

Formule d'intégration par parties et formule Ce sont deux règles mutuellement inverses.

Exemple 2

Trouver l'intégrale indéfinie.

L'intégrande est le produit du logarithme et du polynôme.
Nous décidons.

Je décrirai encore une fois en détail la procédure d'application de la règle, à l'avenir les exemples seront établis plus brièvement, et si vous avez des difficultés à le résoudre vous-même, vous devez revenir aux deux premiers exemples de la leçon .

Comme déjà mentionné, car il est nécessaire de désigner le logarithme (le fait qu'il soit en degré n'a pas d'importance). On note la partie restante intégrande.

Nous écrivons dans une colonne :

On trouve d'abord la différentielle :

On utilise ici la règle de différenciation d'une fonction complexe . Ce n'est pas un hasard si dès la première leçon du sujet Intégrale indéfinie. Exemples de solutions Je me suis concentré sur le fait que pour maîtriser les intégrales, il faut "mettre la main" sur les dérivées. Les dérivés devront faire face plus d'une fois.

Maintenant, nous trouvons la fonction , pour cela nous intégrons côté droitégalité inférieure :

Pour l'intégration, nous avons appliqué la formule tabulaire la plus simple

Vous êtes maintenant prêt à appliquer la formule . Nous l'ouvrons avec un "astérisque" et "concevons" la solution conformément au côté droit :

Sous l'intégrale, nous avons à nouveau un polynôme sur le logarithme ! Par conséquent, la solution est à nouveau interrompue et la règle d'intégration par parties est appliquée une seconde fois. N'oubliez pas que dans des situations similaires, le logarithme est toujours indiqué.

Ce serait bien si, à ce stade, vous pouviez trouver oralement les intégrales et les dérivées les plus simples.

(1) Ne vous trompez pas dans les signes! Très souvent, un moins est perdu ici, notez également que le moins s'applique à tous support , et ces crochets doivent être ouverts correctement.

(2) Développez les crochets. On simplifie la dernière intégrale.

(3) Nous prenons la dernière intégrale.

(4) "Peigner" la réponse.

La nécessité d'appliquer la règle d'intégration par parties deux fois (voire trois fois) n'est pas rare.

Et maintenant quelques exemples pour une solution indépendante :

Exemple 3

Trouver l'intégrale indéfinie.

Cet exemple est résolu par la méthode du changement de variable (ou subsumant sous le signe différentiel) ! Et pourquoi pas - vous pouvez essayer de le prendre en plusieurs parties, vous obtenez une chose amusante.

Exemple 4

Trouver l'intégrale indéfinie.

Mais cette intégrale est intégrée par parties (la fraction promise).

Ce sont des exemples d'auto-résolution, des solutions et des réponses à la fin de la leçon.

Il semble que dans les exemples 3,4 les intégrandes soient similaires, mais les méthodes de résolution sont différentes ! C'est précisément la principale difficulté dans la maîtrise des intégrales - si vous choisissez la mauvaise méthode pour résoudre l'intégrale, vous pouvez la manipuler pendant des heures, comme avec un vrai puzzle. Par conséquent, plus vous résolvez diverses intégrales, mieux c'est, plus le test et l'examen seront faciles. De plus, en deuxième année, il y aura des équations différentielles, et sans expérience dans la résolution d'intégrales et de dérivées, il n'y a rien à faire là-bas.

En logarithmes, peut-être plus que suffisant. Pour une collation, je peux aussi me rappeler que les étudiants en technologie appellent les logarithmes des seins féminins =). Au passage, il est utile de connaître par cœur les graphes des principales fonctions élémentaires : sinus, cosinus, arc tangente, exposant, polynômes du troisième, quatrième degré, etc. Non, bien sûr, un préservatif sur un globe
Je ne tirerai pas, mais maintenant vous vous souviendrez beaucoup de la section Graphiques et fonctions =).

Intégrales de l'exposant multipliées par le polynôme

Règle générale:

Exemple 5

Trouver l'intégrale indéfinie.

En utilisant un algorithme familier, nous intégrons par parties :

Si vous avez des difficultés avec l'intégrale, vous devriez revenir à l'article Méthode de changement de variable en intégrale indéfinie.

La seule autre chose à faire est de "peigner" la réponse :

Mais si votre technique de calcul n'est pas très bonne, laissez l'option la plus rentable comme réponse. ou même

Autrement dit, l'exemple est considéré comme résolu lorsque la dernière intégrale est prise. Ce ne sera pas une erreur, c'est une autre question que l'enseignant peut demander pour simplifier la réponse.

Exemple 6

Trouver l'intégrale indéfinie.

Ceci est un exemple à faire soi-même. Cette intégrale est intégrée deux fois par parties. Une attention particulière doit être portée aux signes - il est facile de s'y perdre, on s'en souvient aussi - une fonction complexe.

Il n'y a pas grand chose à dire sur l'exposant. Je ne peux qu'ajouter que l'exponentielle et le logarithme naturel sont des fonctions mutuellement inverses, c'est moi sur le sujet des graphiques amusants de mathématiques supérieures =) Stop-stop, ne vous inquiétez pas, le conférencier est sobre.

Intégrales de fonctions trigonométriques multipliées par un polynôme

Règle générale: représente toujours le polynôme

Exemple 7

Trouver l'intégrale indéfinie.

Intégration par parties :

Hum... et rien à dire.

Exemple 8

Trouver l'intégrale indéfinie

Ceci est un exemple de solution à faire soi-même

Exemple 9

Trouver l'intégrale indéfinie

Un autre exemple avec une fraction. Comme dans les deux exemples précédents, un polynôme est noté par.

Intégration par parties :

Si vous avez des difficultés ou des malentendus pour trouver l'intégrale, je vous recommande d'assister à la leçon Intégrales de fonctions trigonométriques.

Exemple 10

Trouver l'intégrale indéfinie

Ceci est un exemple à faire soi-même.

Astuce : avant d'utiliser la méthode d'intégration par parties, vous devez appliquer une formule trigonométrique qui transforme le produit de deux fonctions trigonométriques en une seule fonction. La formule peut également être utilisée dans le cadre de l'application de la méthode d'intégration par parties, à qui elle convient le mieux.

C'est peut-être tout dans ce paragraphe. Pour une raison quelconque, j'ai rappelé une ligne de l'hymne du département de physique et de mathématiques "Et le graphique sinusoïdal vague après vague court le long de l'axe des abscisses" ....

Intégrales de fonctions trigonométriques inverses.
Intégrales de fonctions trigonométriques inverses multipliées par un polynôme

Règle générale: représente toujours la fonction trigonométrique inverse.

Je vous rappelle que les fonctions trigonométriques inverses incluent l'arcsinus, l'arccosinus, l'arctangente et l'arccotangente. Par souci de brièveté, je les appellerai "arches"

Intégrales complexes

Cet article complète le sujet des intégrales indéfinies et inclut des intégrales que je considère assez difficiles. La leçon a été créée à la demande répétée des visiteurs qui ont exprimé leur souhait que des exemples plus difficiles soient analysés sur le site.

On suppose que le lecteur de ce texte est bien préparé et sait appliquer les techniques de base de l'intégration. Les nuls et les personnes qui ne sont pas très confiantes dans les intégrales devraient se référer à la toute première leçon - Intégrale indéfinie. Exemples de solutions où vous pouvez apprendre le sujet presque à partir de zéro. Les étudiants plus expérimentés peuvent se familiariser avec les techniques et les méthodes d'intégration, qui n'ont pas encore été rencontrées dans mes articles.

Quelles intégrales seront considérées ?

On considère d'abord les intégrales à racines, pour la solution desquelles on utilise successivement substitution de variables et intégration par parties. Autrement dit, dans un exemple, deux procédés sont combinés à la fois. Et encore plus.

Ensuite, nous nous familiariserons avec un intéressant et original méthode de réduction de l'intégrale à elle-même. Pas si peu d'intégrales sont résolues de cette manière.

Le troisième numéro du programme sera des intégrales de fractions complexes, qui ont survolé la caisse enregistreuse dans les articles précédents.

Quatrièmement, des intégrales supplémentaires de fonctions trigonométriques seront analysées. En particulier, il existe des méthodes qui évitent la substitution trigonométrique universelle chronophage.

(2) Dans l'intégrande, on divise le numérateur par le dénominateur terme à terme.

(3) On utilise la propriété de linéarité de l'intégrale indéfinie. Dans la dernière intégrale, immédiatement mettre la fonction sous le signe de la différentielle.

(4) Nous prenons les intégrales restantes. Notez que vous pouvez utiliser des parenthèses dans le logarithme et non dans le module, car .

(5) On effectue la substitution inverse, en exprimant à partir de la substitution directe "te":

Les étudiants masochistes peuvent différencier la réponse et obtenir l'intégrande d'origine, comme je viens de le faire. Non, non, j'ai fait la vérification dans le bon sens =)

Comme vous pouvez le voir, au cours de la solution, même plus de deux méthodes de résolution ont dû être utilisées, donc pour traiter de telles intégrales, vous avez besoin de compétences d'intégration confiantes et non de la moindre expérience.

En pratique, bien sûr, la racine carrée est plus courante, voici trois exemples de solution indépendante :

Exemple 2

Trouver l'intégrale indéfinie

Exemple 3

Trouver l'intégrale indéfinie

Exemple 4

Trouver l'intégrale indéfinie

Ces exemples sont du même type, donc la solution complète à la fin de l'article ne sera que pour l'exemple 2, dans les exemples 3-4 - une réponse. Quel remplacement utiliser au début des décisions, je pense, est évident. Pourquoi ai-je choisi le même type d'exemples ? On les retrouve souvent dans leurs rôles. Plus souvent, peut-être, juste quelque chose comme .

Mais pas toujours, lorsque la racine d'une fonction linéaire se trouve sous l'arc tangente, le sinus, le cosinus, l'exposant et d'autres fonctions, plusieurs méthodes doivent être appliquées à la fois. Dans un certain nombre de cas, il est possible de «s'en sortir facilement», c'est-à-dire qu'immédiatement après le remplacement, une intégrale simple est obtenue, qui est prise de manière élémentaire. La plus facile des tâches proposées ci-dessus est l'exemple 4, dans lequel, après le remplacement, une intégrale relativement simple est obtenue.

La méthode de réduction de l'intégrale à elle-même

Méthode astucieuse et belle. Découvrons les classiques du genre :

Exemple 5

Trouver l'intégrale indéfinie

Il y a un binôme carré sous la racine, et en essayant d'intégrer cet exemple, la théière peut souffrir pendant des heures. Une telle intégrale est prise par parties et se réduit à elle-même. En principe, ce n'est pas difficile. Si vous savez comment.

Notons l'intégrale considérée par une lettre latine et commençons la solution :

Intégration par parties :

(1) Nous préparons l'intégrande pour la division terme à terme.

(2) On divise l'intégrale terme par terme. Peut-être que tout le monde ne comprend pas, j'écrirai plus en détail:

(3) On utilise la propriété de linéarité de l'intégrale indéfinie.

(4) On prend la dernière intégrale (logarithme "long").

Regardons maintenant le tout début de la solution :

Et pour la fin :

Qu'est-il arrivé? Suite à nos manipulations, l'intégrale s'est réduite à elle-même !

Faites correspondre le début et la fin :

Nous transférons sur le côté gauche avec un changement de signe:

Et nous démolissons le diable sur le côté droit. Par conséquent:

La constante, à proprement parler, aurait dû être ajoutée plus tôt, mais je l'ai ajoutée à la fin. Je recommande fortement de lire quelle est la gravité ici:

Note: Plus strictement, l'étape finale de la solution ressemble à ceci :

De cette façon:

La constante peut être renommée avec . Pourquoi pouvez-vous renommer ? Parce qu'il faut encore quelconque valeurs, et en ce sens il n'y a pas de différence entre les constantes et.
Par conséquent:

Une astuce similaire avec renommage constant est largement utilisée dans équations différentielles. Et là je serai strict. Et ici, de telles libertés ne sont autorisées par moi que pour ne pas vous confondre avec des choses inutiles et vous concentrer sur la méthode même d'intégration.

Exemple 6

Trouver l'intégrale indéfinie

Une autre intégrale typique pour une solution indépendante. Solution complète et réponse à la fin de la leçon. La différence avec la réponse de l'exemple précédent sera !

S'il y a un trinôme carré sous la racine carrée, alors la solution se réduit dans tous les cas aux deux exemples analysés.

Par exemple, considérons l'intégrale . Tout ce que vous devez faire est à l'avance sélectionner un carré complet:
.
Ensuite, un remplacement linéaire est effectué, qui gère "sans aucune conséquence":
, résultant en une intégrale . Quelque chose de familier, non ?

Ou cet exemple, avec un binôme carré :
Sélection d'un carré plein :
Et, après un remplacement linéaire , nous obtenons l'intégrale , qui est également résolue par l'algorithme déjà considéré.

Considérons deux autres exemples typiques de la façon de réduire une intégrale à elle-même :
est l'intégrale de l'exposant multipliée par le sinus ;
est l'intégrale de l'exposant multipliée par le cosinus.

Dans les intégrales par parties listées, vous devrez déjà intégrer deux fois :

Exemple 7

Trouver l'intégrale indéfinie

L'intégrande est l'exposant multiplié par le sinus.

On intègre deux fois par parties et on réduit l'intégrale à elle-même :

Du fait de la double intégration par parties, l'intégrale se réduit à elle-même. Faites correspondre le début et la fin de la solution :

Nous transférons vers la gauche avec un changement de signe et exprimons notre intégrale :

Prêt. En cours de route, il est souhaitable de peigner le côté droit, c'est-à-dire sortez l'exposant des parenthèses et placez le sinus et le cosinus entre parenthèses dans un « bel » ordre.

Revenons maintenant au début de l'exemple, ou plutôt à l'intégration par parties :

Car nous avons désigné l'exposant. La question se pose, c'est l'exposant qu'il faut toujours désigner par ? Pas nécessaire. En effet, dans l'intégrale considérée fondamentalement aucune différence, ce qu'il faut désigner, on pourrait aller dans l'autre sens :

Pourquoi est-ce possible ? Parce que l'exposant se transforme en lui-même (lors de la différenciation et de l'intégration), le sinus et le cosinus se transforment mutuellement (encore une fois, à la fois lors de la différenciation et de l'intégration).

Autrement dit, la fonction trigonométrique peut également être notée. Mais, dans l'exemple considéré, c'est moins rationnel, puisque des fractions apparaîtront. Si vous le souhaitez, vous pouvez essayer de résoudre cet exemple de la deuxième manière, les réponses doivent être les mêmes.

Exemple 8

Trouver l'intégrale indéfinie

Ceci est un exemple à faire soi-même. Avant de décider, réfléchissez à ce qu'il est plus avantageux dans ce cas de désigner, fonction exponentielle ou trigonométrique ? Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Et, bien sûr, n'oubliez pas que la plupart des réponses de cette leçon sont assez faciles à vérifier par différenciation !

Les exemples n'étaient pas considérés comme les plus difficiles. En pratique, les intégrales sont plus courantes, où la constante est à la fois dans l'exposant et dans l'argument de la fonction trigonométrique, par exemple : . Beaucoup de gens devront être confus dans une telle intégrale, et moi-même je suis souvent confus. Le fait est que dans la solution, il y a une forte probabilité d'apparition de fractions et il est très facile de perdre quelque chose par inattention. De plus, il y a une forte probabilité d'erreur dans les signes, notez qu'il y a un signe moins dans l'exposant, ce qui introduit une difficulté supplémentaire.

Au stade final, il s'avère souvent quelque chose comme ceci:

Même à la fin de la solution, vous devez être extrêmement prudent et traiter correctement les fractions :

Intégration de fractions complexes

Nous approchons lentement de l'équateur de la leçon et commençons à considérer les intégrales de fractions. Encore une fois, tous ne sont pas super complexes, juste pour une raison ou une autre, les exemples étaient un peu "hors sujet" dans d'autres articles.

Poursuivre le thème des racines

Exemple 9

Trouver l'intégrale indéfinie

Dans le dénominateur sous la racine, il y a un trinôme carré plus à l'extérieur de la racine "appendice" sous la forme de "X". Une intégrale de cette forme est résolue en utilisant une substitution standard.

Nous décidons:

Le remplacement ici est simple :

Regard sur la vie après le remplacement :

(1) Après substitution, on réduit les termes sous la racine à un dénominateur commun.
(2) Nous le sortons de sous la racine.
(3) Nous réduisons le numérateur et le dénominateur de . En même temps, sous la racine, j'ai réarrangé les termes dans un ordre commode. Avec un peu d'expérience, les étapes (1), (2) peuvent être sautées en réalisant oralement les actions commentées.
(4) L'intégrale résultante, comme vous vous en souvenez de la leçon Intégration de certaines fractions, est résolu méthode de sélection par carré complet. Sélectionnez un carré complet.
(5) Par intégration, on obtient un logarithme "long" ordinaire.
(6) Nous effectuons le remplacement inverse. Si initialement , puis retour : .
(7) L'action finale vise à coiffer le résultat: sous la racine, nous ramenons à nouveau les termes à un dénominateur commun et les retirons de sous la racine.

Exemple 10

Trouver l'intégrale indéfinie

Ceci est un exemple à faire soi-même. Ici, une constante est ajoutée au seul x, et le remplacement est presque le même :

La seule chose qui doit être faite en plus est d'exprimer le "x" du remplacement :

Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Parfois dans une telle intégrale il peut y avoir un binôme carré sous la racine, cela ne change pas la façon dont la solution est résolue, ce sera même encore plus simple. Sentir la différence:

Exemple 11

Trouver l'intégrale indéfinie

Exemple 12

Trouver l'intégrale indéfinie

Brèves solutions et réponses à la fin de la leçon. Il convient de noter que l'exemple 11 est exactement intégrale binomiale, dont la méthode de résolution a été considérée dans la leçon Intégrales de fonctions irrationnelles.

Intégrale d'un polynôme indécomposable du 2ème degré au degré

(polynôme au dénominateur)

Une forme plus rare, mais néanmoins présente dans des exemples pratiques, de l'intégrale.

Exemple 13

Trouver l'intégrale indéfinie

Mais revenons à l'exemple avec le chiffre porte-bonheur 13 (honnêtement, je n'avais pas deviné). Cette intégrale fait également partie de la catégorie de celles avec lesquelles vous pouvez à peu près souffrir si vous ne savez pas comment résoudre.

La solution commence par une transformation artificielle :

Je pense que tout le monde comprend déjà comment diviser le numérateur par le dénominateur terme à terme.

L'intégrale résultante est prise en parties :

Pour une intégrale de la forme ( est un nombre naturel), nous avons dérivé récurrent formule de déclassement :
, où est une intégrale de degré inférieur.

Vérifions la validité de cette formule pour l'intégrale résolue .
Dans ce cas : , , on utilise la formule :

Comme vous pouvez le voir, les réponses sont les mêmes.

Exemple 14

Trouver l'intégrale indéfinie

Ceci est un exemple à faire soi-même. La solution d'échantillon utilise la formule ci-dessus deux fois de suite.

Si sous le diplôme est indécomposable trinôme carré, alors la solution est réduite à un binôme en extrayant le carré entier, par exemple :

Que se passe-t-il s'il y a un polynôme supplémentaire dans le numérateur ? Dans ce cas, la méthode des coefficients indéterminés est utilisée et l'intégrande est développée en une somme de fractions. Mais dans ma pratique d'un tel exemple jamais rencontré, j'ai donc sauté ce cas dans l'article Intégrales d'une fonction fractionnaire-rationnelle, je vais sauter maintenant. Si une telle intégrale se produit encore, consultez le manuel - tout y est simple. Je ne considère pas opportun d'inclure du matériel (même simple) dont la probabilité de rencontre tend vers zéro.

Intégration de fonctions trigonométriques complexes

L'adjectif "difficile" pour la plupart des exemples est à nouveau largement conditionnel. Commençons par les tangentes et les cotangentes en grandes puissances. Du point de vue des méthodes utilisées pour résoudre la tangente et la cotangente sont presque les mêmes, je parlerai donc davantage de la tangente, ce qui signifie que la méthode démontrée de résolution de l'intégrale est également valable pour la cotangente.

Dans la leçon ci-dessus, nous avons examiné substitution trigonométrique universelle pour résoudre un certain type d'intégrales de fonctions trigonométriques. L'inconvénient de la substitution trigonométrique universelle est que son application conduit souvent à des intégrales encombrantes avec des calculs difficiles. Et dans certains cas, la substitution trigonométrique universelle peut être évitée !

Considérons un autre exemple canonique, l'intégrale de l'unité divisée par le sinus :

Exemple 17

Trouver l'intégrale indéfinie

Ici, vous pouvez utiliser la substitution trigonométrique universelle et obtenir la réponse, mais il existe un moyen plus rationnel. Je fournirai une solution complète avec des commentaires pour chaque étape :

(1) Nous utilisons la formule trigonométrique pour le sinus d'un angle double.
(2) Nous effectuons une transformation artificielle : Au dénominateur nous divisons et multiplions par .
(3) Selon la formule bien connue du dénominateur, nous transformons la fraction en une tangente.
(4) On place la fonction sous le signe de la différentielle.
(5) Nous prenons l'intégrale.

Quelques exemples simples à résoudre par vous-même :

Exemple 18

Trouver l'intégrale indéfinie

Astuce : La toute première étape consiste à utiliser la formule de réduction et effectuez soigneusement des actions similaires à l'exemple précédent.

Exemple 19

Trouver l'intégrale indéfinie

Eh bien, c'est un exemple très simple.

Solutions complètes et réponses à la fin de la leçon.

Je pense que maintenant personne n'aura de problèmes avec les intégrales:
etc.

Quelle est l'idée derrière la méthode ? L'idée est d'utiliser des transformations, des formules trigonométriques pour organiser uniquement les tangentes et la dérivée de la tangente dans l'intégrande. Autrement dit, nous parlons de remplacer: . Dans les exemples 17 à 19, nous avons effectivement utilisé ce remplacement, mais les intégrales étaient si simples qu'il a été fait avec une action équivalente - amener la fonction sous le signe différentiel.

Un raisonnement similaire, comme je l'ai déjà mentionné, peut être effectué pour la cotangente.

Il existe également une condition préalable formelle pour appliquer la substitution ci-dessus :

La somme des puissances du cosinus et du sinus est un nombre pair entier négatif, par exemple:

pour une intégrale, un nombre pair entier négatif.

! Note : si l'intégrande contient UNIQUEMENT sinus ou UNIQUEMENT cosinus, alors l'intégrale est prise paire avec un degré impair négatif (les cas les plus simples sont dans les exemples n° 17, 18).

Envisagez quelques tâches plus significatives pour cette règle :

Exemple 20

Trouver l'intégrale indéfinie

La somme des degrés du sinus et du cosinus: 2 - 6 \u003d -4 - un nombre pair entier négatif, ce qui signifie que l'intégrale peut être réduite aux tangentes et à sa dérivée:

(1) Transformons le dénominateur.
(2) Selon la formule bien connue, on obtient .
(3) Transformons le dénominateur.
(4) Nous utilisons la formule .
(5) On place la fonction sous le signe différentiel.
(6) Nous effectuons le remplacement. Les étudiants plus expérimentés peuvent ne pas effectuer le remplacement, mais il est toujours préférable de remplacer la tangente par une lettre - il y a moins de risque de confusion.

Exemple 21

Trouver l'intégrale indéfinie

Ceci est un exemple à faire soi-même.

Attendez, les manches de championnat commencent =)

Souvent, dans l'intégrande, il y a un "méli-mélo":

Exemple 22

Trouver l'intégrale indéfinie

Cette intégrale contient initialement une tangente, qui suggère immédiatement une pensée déjà familière :

Je laisserai la transformation artificielle au tout début et le reste des étapes sans commentaire, puisque tout a déjà été dit ci-dessus.

Quelques exemples créatifs pour une solution indépendante :

Exemple 23

Trouver l'intégrale indéfinie

Exemple 24

Trouver l'intégrale indéfinie

Oui, en eux, bien sûr, vous pouvez abaisser les degrés du sinus, du cosinus, utiliser la substitution trigonométrique universelle, mais la solution sera beaucoup plus efficace et plus courte si elle est tracée à travers des tangentes. Solution complète et réponses à la fin de la leçon