Les nombres complexes sont des exemples complexes. Forme algébrique d'écriture d'un nombre complexe. Introduction du concept de nombre complexe
Rappeler les informations nécessaires sur les nombres complexes.
Nombre complexe est une expression de la forme une + bi, où une, b sont des nombres réels, et je- soi-disant unité imaginaire, le symbole dont le carré est -1, c'est-à-dire je 2 = -1. Nombre une appelé partie réelle, et le nombre b - partie imaginaire nombre complexe z = une + bi. Si b= 0, alors au lieu de une + 0jeécrire simplement une. On peut voir que les nombres réels sont un cas particulier des nombres complexes.
Les opérations arithmétiques sur les nombres complexes sont les mêmes que sur les réels : elles peuvent être additionnées, soustraites, multipliées et divisées entre elles. L'addition et la soustraction procèdent selon la règle ( une + bi) ± ( c + di) = (une ± c) + (b ± ré)je, et multiplication - selon la règle ( une + bi) · ( c + di) = (courant alternatif – bd) + (un d + avant JC)je(ici c'est juste utilisé que je 2 = -1). Nombre = une – bi appelé Conjugaison compliquée pour z = une + bi. Égalité z · = une 2 + b 2 permet de comprendre comment diviser un nombre complexe par un autre nombre complexe (non nul) :
(Par exemple, .)
Les nombres complexes ont une représentation géométrique pratique et visuelle : le nombre z = une + bi peut être représenté par un vecteur de coordonnées ( une; b) sur le plan cartésien (ou, ce qui revient presque au même, un point - la fin du vecteur avec ces coordonnées). Dans ce cas, la somme de deux nombres complexes est représentée comme la somme des vecteurs correspondants (qui peuvent être trouvés par la règle du parallélogramme). Par le théorème de Pythagore, la longueur du vecteur de coordonnées ( une; b) est égal à . Cette valeur est appelée module nombre complexe z = une + bi et est noté | z|. L'angle que fait ce vecteur avec la direction positive de l'axe des x (compté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre) est appelé argument nombre complexe z et noté Arg z. L'argument n'est pas défini de manière unique, mais seulement jusqu'à l'addition d'un multiple de 2 π
radians (ou 360°, si vous comptez en degrés) - après tout, il est clair que tourner d'un tel angle autour de l'origine ne changera pas le vecteur. Mais si le vecteur de longueur r forme un angle φ
avec la direction positive de l'axe des x, alors ses coordonnées sont égales à ( r parce que φ
; r péché φ
). Il s'avère donc notation trigonométrique nombre complexe: z = |z| (cos(Arg z) + je péché(Arg z)). Il est souvent pratique d'écrire des nombres complexes sous cette forme, car cela simplifie grandement les calculs. La multiplication de nombres complexes sous forme trigonométrique semble très simple : z une · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+argument z 2) + je péché(Arg z 1+argument z 2)) (lors de la multiplication de deux nombres complexes, leurs modules sont multipliés et les arguments sont ajoutés). D'ici suivre Formules De Moivre: z n = |z|n(parce que( n(Arg z)) + je péché( n(Arg z))). Avec l'aide de ces formules, il est facile d'apprendre à extraire des racines de n'importe quel degré à partir de nombres complexes. nième racine de z est un nombre si complexe w, Quel w n = z. Il est clair que 
, Et où k peut prendre n'importe quelle valeur parmi l'ensemble (0, 1, ..., n- une). Cela signifie qu'il y a toujours exactement n les racines nème degré d'un nombre complexe (dans le plan ils sont situés aux sommets d'un n-gon).
DÉFINITION
La forme algébrique d'un nombre complexe consiste à écrire le nombre complexe \(\ z \) sous la forme \(\ z=x+iy \), où \(\ x \) et \(\ y \) sont des nombres réels, \ (\ i \ ) est une unité imaginaire qui satisfait la relation \(\ i^(2)=-1 \)
Le nombre \(\ x \) est appelé la partie réelle du nombre complexe \(\ z \) et est noté \(\ x=\operatorname(Re) z \)
Le nombre \(\ y \) est appelé la partie imaginaire du nombre complexe \(\ z \) et est noté \(\ y=\operatorname(Im) z \)
Par exemple:
Le nombre complexe \(\ z=3-2 i \) et son nombre associé \(\ \overline(z)=3+2 i \) s'écrivent sous forme algébrique.
La valeur imaginaire \(\ z=5 i \) s'écrit sous forme algébrique.
De plus, selon le problème à résoudre, vous pouvez convertir un nombre complexe en un nombre trigonométrique ou exponentiel.
Ecrire le nombre \(\ z=\frac(7-i)(4)+13 \) sous forme algébrique, trouver ses parties réelle et imaginaire, ainsi que son nombre conjugué.
En appliquant le terme division de fractions et la règle d'addition de fractions, on obtient :
\(\ z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1)(4) je \)
Par conséquent, la partie réelle du nombre complexe \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) est le nombre \(\ x=\operatorname(Re) z= \frac(59) (4) \) , la partie imaginaire est un nombre \(\ y=\operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \)
Nombre conjugué : \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)
\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \), \(\ \operatorname(Re) z=\frac(59)(4) \), \(\ \operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \), \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)
Actions de nombres complexes en comparaison de forme algébrique
Deux nombres complexes \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) sont égaux si \(\ x_(1)=x_(2) \), \(\ y_(1)= y_ (2) \) c'est-à-dire Leurs parties réelles et imaginaires sont égales.
Déterminez pour quels x et y deux nombres complexes \(\ z_(1)=13+y i \) et \(\ z_(2)=x+5 i \) sont égaux.
Par définition, deux nombres complexes sont égaux si leurs parties réelle et imaginaire sont égales, c'est-à-dire \(\ x=13 \), \(\ y=5 \).
une addition
L'addition des nombres complexes \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) se fait par sommation directe des parties réelle et imaginaire :
\(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\right) +i\gauche(y_(1)+y_(2)\droite)\)
Trouver la somme des nombres complexes \(\ z_(1)=-7+5 i \), \(\ z_(2)=13-4 i \)
La partie réelle du nombre complexe \(\ z_(1)=-7+5 i \) est le nombre \(\ x_(1)=\operatorname(Re) z_(1)=-7 \) , l'imaginaire part est le nombre \( \ y_(1)=\mathrm(Im) \), \(\ z_(1)=5 \) . Les parties réelle et imaginaire du nombre complexe \(\ z_(2)=13-4 i \) sont \(\ x_(2)=\operatorname(Re) z_(2)=13 \) et \(\ y_ (2 )=\nomopérateur(Im) z_(2)=-4 \) .
La somme des nombres complexes est donc :
\(\ z_(1)+z_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\right)+i\left(y_(1)+y_(2)\right)=(-7+ 13)+je(5-4)=6+je\)
\(\z_(1)+z_(2)=6+i \)
En savoir plus sur l'ajout de nombres complexes dans un article séparé : Ajouter des nombres complexes.
Soustraction
La soustraction des nombres complexes \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) et \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) se fait par soustraction des parties réelle et imaginaire :
\(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_(1)-x_(2) +\left(i y_(1)-i y_(2)\right)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right )\)
trouver la différence de nombres complexes \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \)
Trouver les parties réelles et imaginaires des nombres complexes \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \) :
\(\ x_(1)=\nomopérateur(Re) z_(1)=17, x_(2)=\nomopérateur(Re) z_(2)=15 \)
\(\ y_(1)=\nomopérateur(Im) z_(1)=-35, y_(2)=\nomopérateur(Im) z_(2)=5 \)
Donc la différence des nombres complexes est :
\(\ z_(1)-z_(2)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right)=(17-15 )+i(-35-5)=2-40 i \)
\(\ z_(1)-z_(2)=2-40 i \) multiplication
La multiplication des nombres complexes \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) et \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) est effectuée directement par générer des nombres sous forme algébrique, en tenant compte de la propriété de l'unité imaginaire \(\ i^(2)=-1 \) :
\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1)+i y_(1)\right) \cdot\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\left(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i y_(1)\droite)= \)
\(\ =\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2 ) \cdot y_(1)\right) \)
Trouver le produit de nombres complexes \(\ z_(1)=1-5 i \)
Complexe de nombres complexes :
\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 )=15-23 je \)
\(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) divisé
Le facteur de nombre complexe \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) et \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) est déterminé en multipliant le numérateur et dénominateur au nombre conjugué avec un dénominateur :
\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\left (x_(1)+i y_(1)\right)\left(x_(2)-i y_(2)\right))(\left(x_(2)+i y_(2)\right)\left (x_(2)-i y_(2)\right))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2) +y_(2)^(2))+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2 )^(2)) \)
Diviser le nombre 1 par le nombre complexe \(\ z=1+2 i \).
Puisque la partie imaginaire du nombre réel 1 est zéro, le facteur est :
\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^( 2)+2^(2))=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)
\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)
Considérons une équation quadratique.
Définissons ses racines.
Il n'y a pas de nombre réel dont le carré est -1. Mais si la formule définit l'opérateur je comme unité imaginaire, alors la solution de cette équation peut être écrite sous la forme 
. Où 
Et 
- les nombres complexes, dans lesquels -1 est la partie réelle, 2 ou dans le second cas -2 est la partie imaginaire. La partie imaginaire est aussi un nombre réel (réel). La partie imaginaire multipliée par l'unité imaginaire signifie déjà nombre imaginaire.
En général, un nombre complexe a la forme
z = X + moi ,
où x, y sont des nombres réels, est une unité imaginaire. Dans un certain nombre de sciences appliquées, par exemple en génie électrique, en électronique, en théorie du signal, l'unité imaginaire est désignée par j. Nombres réels x = Re(z) Et y=Je suis(z) appelé parties réelles et imaginaires Nombres z. L'expression s'appelle forme algébrique notation d'un nombre complexe.
Tout nombre réel est un cas particulier de nombre complexe sous la forme 
. Un nombre imaginaire est aussi un cas particulier de nombre complexe. 
.
Définition de l'ensemble des nombres complexes C
Cette expression se lit comme suit : set À PARTIR DE, composé d'éléments tels que X Et y appartiennent à l'ensemble des nombres réels R et est l'unité imaginaire. Notez que etc.
Deux nombres complexes 
Et 
sont égaux si et seulement si leurs parties réelle et imaginaire sont égales, c'est-à-dire Et .
Les nombres et les fonctions complexes sont largement utilisés dans les sciences et la technologie, en particulier dans la mécanique, l'analyse et le calcul des circuits AC, l'électronique analogique, la théorie et le traitement du signal, la théorie du contrôle automatique et d'autres sciences appliquées.
- Arithmétique des nombres complexes
L'addition de deux nombres complexes consiste à additionner leurs parties réelle et imaginaire, c'est-à-dire
Par conséquent, la différence de deux nombres complexes
Nombre complexe 
appelé complexe conjuguer numéro z=x +je.y.
Les nombres conjugués complexes z et z * diffèrent par les signes de la partie imaginaire. Il est évident que
.
Toute égalité entre expressions complexes reste valable si dans cette égalité partout je remplacé par -
je, c'est à dire. aller à l'égalité des nombres conjugués. Nombres je Et –
je sont algébriquement indiscernables car 
.
Le produit (multiplication) de deux nombres complexes peut être calculé comme suit :
Division de deux nombres complexes :
Exemple:
- Avion complexe
Un nombre complexe peut être représenté graphiquement dans un système de coordonnées rectangulaires. Fixons un système de coordonnées rectangulaires dans le plan (x, y).
sur essieu Bœuf nous arrangerons les parties réelles X, on l'appelle axe réel (réel), sur l'axe Oy– parties imaginaires y nombres complexes. Elle porte le nom axe imaginaire. De plus, chaque nombre complexe correspond à un certain point du plan, et un tel plan est appelé avion complexe. indiquer MAIS le plan complexe correspondra au vecteur OA.
Nombre X appelé abscisse nombre complexe, nombre y – ordonnée.
Une paire de nombres conjugués complexes est affichée sous forme de points situés symétriquement autour de l'axe réel.
 |
Si dans l'avion ensemble système de coordonnées polaires, alors tout nombre complexe z déterminé par les coordonnées polaires. Où module Nombres 
est le rayon polaire du point, et l'angle 
- son argument d'angle polaire ou de nombre complexe z.
Module des nombres complexes 
toujours non négatif. L'argument d'un nombre complexe n'est pas défini de manière unique. La valeur principale de l'argument doit satisfaire la condition 
. Chaque point du plan complexe correspond également à la valeur totale de l'argument . Les arguments qui diffèrent d'un multiple de 2π sont considérés comme égaux. L'argument numérique zéro n'est pas défini.
La valeur principale de l'argument est déterminée par les expressions :
Il est évident que
Où
, 
.
Représentation des nombres complexes z comme
appelé forme trigonométrique nombre complexe.
Exemple.
- La forme exponentielle des nombres complexes
Décomposition en Série Maclaurin pour les fonctions à arguments réels 
ressemble à:
Pour la fonction exponentielle d'un argument complexe z la décomposition est similaire
.
Le développement en série de Maclaurin pour la fonction exponentielle de l'argument imaginaire peut être représenté par
L'identité résultante est appelée Formule d'Euler.
Pour un argument négatif, cela ressemble à
En combinant ces expressions, nous pouvons définir les expressions suivantes pour le sinus et le cosinus
.
En utilisant la formule d'Euler, à partir de la forme trigonométrique de la représentation des nombres complexes
disponible démonstratif forme (exponentielle, polaire) d'un nombre complexe, c'est-à-dire sa représentation sous la forme
,
où 
- coordonnées polaires d'un point de coordonnées rectangulaires ( X,y).
Le conjugué d'un nombre complexe s'écrit sous forme exponentielle comme suit.
Pour la forme exponentielle, il est facile de définir les formules suivantes pour la multiplication et la division de nombres complexes
Autrement dit, sous forme exponentielle, le produit et la division de nombres complexes sont plus faciles que sous forme algébrique. Lors de la multiplication, les modules des facteurs sont multipliés et les arguments sont ajoutés. Cette règle s'applique à un certain nombre de facteurs. En particulier, lors de la multiplication d'un nombre complexe z sur le je vecteur z tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre de 90
Dans la division, le module du numérateur est divisé par le module du dénominateur et l'argument du dénominateur est soustrait de l'argument du numérateur.
En utilisant la forme exponentielle des nombres complexes, on peut obtenir des expressions pour des identités trigonométriques bien connues. Par exemple, à partir de l'identité
en utilisant la formule d'Euler, on peut écrire
En assimilant les parties réelles et imaginaires de cette expression, nous obtenons des expressions pour le cosinus et le sinus de la somme des angles
- Puissances, racines et logarithmes des nombres complexes
Élever un nombre complexe à une puissance naturelle n produit selon la formule
Exemple. Calculer 
.
Imaginez un nombre sous forme trigonométrique
’
En appliquant la formule d'exponentiation, on obtient
Mettre la valeur dans l'expression r= 1, on obtient le soi-disant La formule de De Moivre, avec lequel vous pouvez déterminer les expressions des sinus et des cosinus d'angles multiples.
Racine nème puissance d'un nombre complexe z Il a n différentes valeurs déterminées par l'expression
Exemple. Allons trouver .
Pour ce faire, on exprime le nombre complexe () sous la forme trigonométrique
.
D'après la formule de calcul de la racine d'un nombre complexe, on obtient
Logarithme d'un nombre complexe z est un nombre w, Pour qui . Le logarithme naturel d'un nombre complexe a un nombre infini de valeurs et est calculé par la formule
Se compose de parties réelles (cosinus) et imaginaires (sinus). Une telle contrainte peut être représentée comme un vecteur de longueur U m, phase initiale (angle), tournant avec une vitesse angulaire ω .
De plus, si des fonctions complexes sont ajoutées, leurs parties réelles et imaginaires sont ajoutées. Si une fonction complexe est multipliée par une constante ou une fonction réelle, alors ses parties réelle et imaginaire sont multipliées par le même facteur. La différenciation/intégration d'une fonction aussi complexe se réduit à la différenciation/intégration des parties réelles et imaginaires.
Par exemple, la différenciation de l'expression complexe du stress
est de le multiplier par iω est la partie réelle de la fonction f(z), et 
est la partie imaginaire de la fonction. Exemples: 
.
Signification z est représenté par un point dans le plan z complexe, et la valeur correspondante w- un point dans le plan complexe w. Lorsqu'il est affiché w = f(z) lignes d'avion z passer dans les lignes de l'avion w, les figures d'un plan en figures d'un autre, mais les formes des lignes ou des figures peuvent changer de manière significative.
Forme algébrique de l'écriture d'un nombre complexe ....................................... ... ................... |
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Plan des nombres complexes ....................................................... .................................................................... ................... ... |
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Nombres conjugués complexes .................................................. .................................................. ............... |
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Opérations avec des nombres complexes sous forme algébrique ....................................... .................... .... |
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Addition de nombres complexes ....................................................... .................................................................... ................... |
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Soustraction de nombres complexes ....................................................... ............ ................................................ .......... |
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Multiplication de nombres complexes .................................................. ............ ................................................ ......... |
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Division de nombres complexes ....................................................... .................................................. ............... ... |
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Forme trigonométrique d'un nombre complexe ....................................... .................................. |
|||
Opérations avec des nombres complexes sous forme trigonométrique ....................................... ............ |
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Multiplication de nombres complexes sous forme trigonométrique............................................ ......................... |
|||
Division de nombres complexes sous forme trigonométrique ....................................... ................... ... |
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Élever un nombre complexe à une puissance entière positive |
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Extraire la racine d'une puissance entière positive d'un nombre complexe |
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Élever un nombre complexe à une puissance rationnelle .................................................. ..................... ..... |
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Série complexe .................................................. .................................................................. .................. .................... |
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Séries de nombres complexes .................................................. .................................................. ............... |
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Séries entières dans le plan complexe .................................................. .................................................................. |
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Séries entières bilatérales dans le plan complexe ................................................ ..................... ... |
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Fonctions d'une variable complexe .................................................. ..................................................................... ................... |
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Fonctions élémentaires de base .................................................. .................................................................... .......... |
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Formules d'Euler .................................................. .. ................................................ .................................. |
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La forme exponentielle de la représentation d'un nombre complexe ....................................... ...... . |
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Relation entre les fonctions trigonométriques et hyperboliques ....................................... |
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Fonction logarithmique ....................................................... .................................................................. .................. ... |
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Fonctions exponentielles générales et puissances générales ....................................... ...................... ............... |
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Différenciation des fonctions d'une variable complexe .................................................. ..................... ... |
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Conditions de Cauchy-Riemann .................................................. .......... ............................................. ......... ............ |
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Formules de calcul de la dérivée .................................................. ............. .................................. |
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Propriétés de l'opération de différenciation .................................................. .............. ............................................... |
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Propriétés des parties réelles et imaginaires d'une fonction analytique ....................................... ....... |
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Récupération d'une fonction d'une variable complexe à partir de sa valeur réelle ou imaginaire |
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Méthode numéro 1. Utilisation de l'intégrale curviligne .................................................. ......... ....... |
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Méthode numéro 2. Application directe des conditions de Cauchy-Riemann............................................ |
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Méthode numéro 3. Par la dérivée de la fonction recherchée .................................................. ................... ......... |
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Intégration des fonctions d'une variable complexe .................................................. ....................... ........... |
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Formule intégrale de Cauchy ....................................................... .................................................. . .. |
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Développement des fonctions dans les séries de Taylor et Laurent ....................................... .... ......................... |
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Zéros et points singuliers d'une fonction d'une variable complexe ....................................... ....... ..... |
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Zéros d'une fonction d'une variable complexe ....................................... ................ ....................... |
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Points singuliers isolés d'une fonction d'une variable complexe ....................................... ...... |
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14.3 Point à l'infini comme point singulier d'une fonction d'une variable complexe
Retraits ................................................................. .................................................. . ............................................... |
|||
Déduction au point final .................................................. ............. ..................................... ............ ...... |
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Résidu d'une fonction en un point à l'infini ...................................................... ..................... ................. |
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Calcul d'intégrales à l'aide de résidus .................................................. .................................................................. |
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Questions pour l'auto-examen .................................................. .................................................................. .................. ....... |
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Littérature................................................. .................................................. . ................................ |
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Index des sujets .................................................. .................................................. . ............. |
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Avant-propos
Il est assez difficile de répartir correctement le temps et les efforts dans la préparation des parties théoriques et pratiques d'un examen ou d'une certification de module, d'autant plus qu'il n'y a toujours pas assez de temps pendant la session. Et comme le montre la pratique, tout le monde ne peut pas y faire face. En conséquence, lors de l'examen, certains étudiants résolvent correctement des problèmes, mais ont du mal à répondre aux questions théoriques les plus simples, tandis que d'autres peuvent formuler un théorème, mais ne peuvent pas l'appliquer.
Ces recommandations méthodologiques pour la préparation de l'examen du cours de Théorie des Fonctions d'une Variable Complexe (TFV) tentent de résoudre cette contradiction et d'assurer la répétition simultanée de la matière théorique et pratique du cours. Guidés par le principe « La théorie sans pratique est morte, la pratique sans théorie est aveugle », ils contiennent à la fois les positions théoriques du cours au niveau des définitions et des formulations, et des exemples illustrant l'application de chaque position théorique donnée, et, par là, faciliter sa mémorisation et sa compréhension.
Les recommandations méthodologiques proposées ont pour but d'aider l'étudiant à se préparer à l'examen au niveau de base. En d'autres termes, un guide de travail étendu a été compilé contenant les principaux points utilisés dans les classes du cours TFKT et nécessaires lors de la réalisation des devoirs et de la préparation des activités de contrôle. En plus du travail indépendant des étudiants, cette publication éducative électronique peut être utilisée lors de la conduite de cours sous une forme interactive à l'aide d'un tableau électronique ou pour le placement dans un système d'apprentissage à distance.
Veuillez noter que ce travail ne remplace pas les manuels ou les notes de cours. Pour une étude approfondie du matériel, il est recommandé de se référer aux sections pertinentes de la publication publiée à l'Université technique d'État de Moscou. N.E. Manuel de base de Bauman.
À la fin du manuel, il y a une liste de la littérature recommandée et un index des sujets, qui comprend tous ceux mis en évidence dans le texte. gras italique termes. L'index se compose d'hyperliens vers des sections où ces termes sont strictement définis ou décrits et où des exemples sont donnés pour illustrer leur utilisation.
Le manuel est destiné aux étudiants de 2e année de toutes les facultés de MSTU. N.E. Bauman.
1. Forme algébrique d'écriture d'un nombre complexe
Enregistrement de la forme z \u003d x + iy, où x, y sont des nombres réels, i est une unité imaginaire (c'est-à-dire i 2 = − 1)
est appelée la forme algébrique du nombre complexe z. Dans ce cas, x est appelé la partie réelle du nombre complexe et noté Re z (x = Re z ), y est appelé la partie imaginaire du nombre complexe et noté Im z (y = Im z ).
Exemple. La partie réelle du nombre complexe z = 4 − 3i est Re z = 4 , et la partie imaginaire est Im z = − 3 .
2. Plan des nombres complexes
DANS les théories des fonctions d'une variable complexe considèrentplan des nombres complexes, qui est noté soit, soit les lettres qui désignent les nombres complexes z, w, etc. sont utilisées.
L'axe horizontal du plan complexe est appelé axe réel, les nombres réels z = x + 0 i = x y sont situés.
L'axe vertical du plan complexe est appelé l'axe imaginaire, il a
3. Nombres conjugués complexes
Les nombres z = x + iy et z = x − iy sont appelés Conjugaison compliquée. Sur le plan complexe, ils correspondent à des points symétriques par rapport à l'axe réel.
4. Opérations avec des nombres complexes sous forme algébrique
4.1 Addition de nombres complexes
La somme de deux nombres complexes |
z 1 = x 1 + iy 1 |
et z 2 = x 2 + iy 2 est appelé un nombre complexe |
|||||||||||
z1 + z2 |
= (x 1 + je 1 ) + (x 2 + je 2 ) = (x 1 + x 2 ) + je (y 1 + y 2 ) . |
opération |
ajouts |
||||||||||
les nombres complexes est similaire à l'opération d'addition de binômes algébriques. |
|||||||||||||
Exemple. La somme de deux nombres complexes z 1 = 3 + 7i et z 2 |
= −1 +2 je |
sera un nombre complexe |
|||||||||||
z 1 + z 2 = (3 +7 je ) +(−1 +2 je ) = (3 −1 ) +(7 +2 ) je = 2 +9 je . |
|||||||||||||
De toute évidence, |
somme dans un complexe |
conjugué |
est un |
valide |
|||||||||
z + z = (x + iy) + (x − iy) = 2 x = 2 Rez . |
|||||||||||||
4.2 Soustraction de nombres complexes |
|||||||||||||
La différence de deux nombres complexes z 1 = x 1 + iy 1 |
X 2 +iy 2 |
appelé |
complet |
||||||||||
nombre z 1 - z 2 = (X 1 + je 1 ) - (X 2 + je 2 ) = (X 1 - X 2 ) + je (y 1 - y 2 ) . |
|||||||||||||
Exemple. La différence entre deux nombres complexes |
z 1 = 3 −4 je |
et z2 |
= −1 +2 je |
il y aura un examen complet |
|||||||||
nombre z 1 − z 2 = (3 − 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3 − (− 1) ) + (− 4 − 2) je = 4 − 6i . |
|||||||||||||
différence |
Conjugaison compliquée |
est un |
|||||||||||
z - z = (x + iy) - (x - iy) = 2 iy = 2 je Im z . |
|||||||||||||
4.3 Multiplication de nombres complexes |
|||||||||||||
Le produit de deux nombres complexes |
z 1 = x 1 + iy 1 |
et z 2 = x 2 + iy 2 |
est dit complexe |
||||||||||
z 1z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1x 2 + iy 1x 2 + iy 2 x 1 + je 2 y 1 y 2 |
= (x 1x 2 - y 1 y 2 ) + je (y 1x 2 + y 2 X ) . |
||||||||||||
Ainsi, l'opération de multiplication des nombres complexes est similaire à l'opération de multiplication des binômes algébriques, en tenant compte du fait que i 2 = − 1.
Plan de cours.
1. Moment organisationnel.
2. Présentation du matériel.
3. Devoirs.
4. Résumer la leçon.
Pendant les cours
I. Moment organisationnel.
II. Présentation du matériel.
Motivation.
L'expansion de l'ensemble des nombres réels consiste dans le fait que de nouveaux nombres (imaginaires) sont ajoutés aux nombres réels. L'introduction de ces nombres est liée à l'impossibilité d'extraire la racine d'un nombre négatif dans l'ensemble des nombres réels.
Introduction de la notion de nombre complexe.
Les nombres imaginaires avec lesquels on complète les nombres réels s'écrivent bi, où je est l'unité imaginaire, et je 2 = - 1.
Sur cette base, nous obtenons la définition suivante d'un nombre complexe.
Définition. Un nombre complexe est une expression de la forme un+bi, où une Et b sont des nombres réels. Dans ce cas, les conditions suivantes sont remplies :
a) Deux nombres complexes une 1 + b 1 je Et une 2 + b 2 jeégal si et seulement si une 1 = une 2, b1=b2.
b) L'addition des nombres complexes est déterminée par la règle :
(une 1 + b 1 je) + (une 2 + b 2 je) = (une 1 + une 2) + (b 1 + b 2) je.
c) La multiplication des nombres complexes est déterminée par la règle :
(a 1 + b 1 je) (a 2 + b 2 je) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) je.
Forme algébrique d'un nombre complexe.
Écrire un nombre complexe sous la forme un+bi est appelée la forme algébrique d'un nombre complexe, où mais- partie réelle bi est la partie imaginaire, et b est un nombre réel.
Nombre complexe un+bi est considéré égal à zéro si ses parties réelle et imaginaire sont égales à zéro : un=b=0
Nombre complexe un+bià b = 0 considéré comme un nombre réel une: un + 0i = un.
Nombre complexe un+bià un = 0 est dit purement imaginaire et est noté bi: 0 + bi = bi.
Deux nombres complexes z = a + bi Et = un - bi, qui ne diffèrent que par le signe de la partie imaginaire, sont dits conjugués.
Actions sur les nombres complexes sous forme algébrique.
Les opérations suivantes peuvent être effectuées sur des nombres complexes sous forme algébrique.
1) Ajout.
Définition. La somme des nombres complexes z 1 = une 1 + b 1 je Et z 2 = une 2 + b 2 je appelé un nombre complexe z, dont la partie réelle est égale à la somme des parties réelles z1 Et z2, et la partie imaginaire est la somme des parties imaginaires des nombres z1 Et z2, c'est à dire z = (une 1 + une 2) + (b 1 + b 2)i.
Nombres z1 Et z2 sont appelés termes.
L'addition des nombres complexes a les propriétés suivantes :
1º. Commutativité: z1 + z2 = z2 + z1.
2º. Associativité : (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Nombre complexe -a -bi est appelé l'opposé d'un nombre complexe z = a + bi. Nombre complexe opposé au nombre complexe z, noté -z. Somme de nombres complexes z Et -z est égal à zéro : z + (-z) = 0
Exemple 1 : Ajouter (3 - je) + (-1 + 2i).
(3 - je) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) je = 2 + 1i.
2) Soustraction.
Définition. Soustraire d'un nombre complexe z1 nombre complexe z2 z, Quel z + z 2 = z 1.
Théorème. La différence des nombres complexes existe et, de plus, est unique.
Exemple 2 : soustraire (4 - 2i) - (-3 + 2i).
(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) je = 7 - 4i.
3) Multiplication.
Définition. Le produit de nombres complexes z 1 =a 1 +b 1 je Et z 2 \u003d une 2 + b 2 je appelé un nombre complexe z, défini par l'égalité : z = (une 1 une 2 – b 1 b 2) + (une 1 b 2 + une 2 b 1)i.
Nombres z1 Et z2 sont appelés facteurs.
La multiplication des nombres complexes a les propriétés suivantes :
1º. Commutativité: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. Associativité : (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition :
(z 1 + z 2) z 3 \u003d z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z \u003d (a + bi) (a - bi) \u003d a 2 + b 2 est un nombre réel.
En pratique, la multiplication des nombres complexes s'effectue selon la règle de multiplication de la somme par la somme et de séparation des parties réelle et imaginaire.
Dans l'exemple suivant, considérons la multiplication de nombres complexes de deux manières : par la règle et en multipliant la somme par la somme.
Exemple 3 : multiplier (2 + 3i) (5 – 7i).
1 voie. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )je = 31 + je.
2 voies. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + je.
4) Division.
Définition. Diviser un nombre complexe z1à un nombre complexe z2, signifie trouver un tel nombre complexe z, Quel z z 2 = z 1.
Théorème. Le quotient de nombres complexes existe et est unique si z2 ≠ 0 + 0i.
En pratique, le quotient des nombres complexes se trouve en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Laisser être z 1 = une 1 + b 1 je, z 2 = une 2 + b 2 je, ensuite
.
Dans l'exemple suivant, nous effectuons la division par la formule et la règle de multiplication par le conjugué du dénominateur.
Exemple 4. Trouver un quotient 
.
5) Élever à une puissance entière positive.
a) Pouvoirs de l'unité imaginaire.
Profitant de l'égalité je 2 \u003d -1, il est facile de définir toute puissance entière positive de l'unité imaginaire. Nous avons:
je 3 \u003d je 2 je \u003d -je,
je 4 \u003d je 2 je 2 \u003d 1,
je 5 \u003d je 4 je \u003d je,
je 6 \u003d je 4 je 2 \u003d -1,
je 7 \u003d je 5 je 2 \u003d -je,
je 8 = je 6 je 2 = 1 etc.
Cela montre que les valeurs des degrés dans, où n- un entier positif, répété périodiquement lorsque l'indicateur augmente de 4 .
Par conséquent, pour augmenter le nombre jeà une puissance entière positive, diviser l'exposant par 4 et dressé jeà la puissance dont l'exposant est le reste de la division.
Exemple 5 Calculez : (je 36 + je 17) je 23.
je 36 = (je 4) 9 = 1 9 = 1,
je 17 = je 4 × 4+1 = (je 4) 4 × je = 1 je = je.
je 23 = je 4 × 5+3 = (je 4) 5 × je 3 = 1 je 3 = - je.
(je 36 + je 17) je 23 \u003d (1 + je) (- je) \u003d - je + 1 \u003d 1 - je.
b) L'élévation d'un nombre complexe à une puissance entière positive s'effectue selon la règle d'élévation d'un binôme à la puissance correspondante, puisqu'il s'agit d'un cas particulier de multiplication de facteurs complexes identiques.
Exemple 6 Calculez : (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
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