La phase initiale des fluctuations sur le graphique. Étudier les oscillations - la phase d'oscillation
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§ 23 PHASE D'OSCILLATION
Introduisons une autre grandeur caractérisant les oscillations harmoniques : la phase des oscillations.
Pour une amplitude d'oscillations donnée, la coordonnée du corps oscillant à tout moment est uniquement déterminée par l'argument cosinus ou sinus :
La grandeur sous le signe de la fonction cosinus ou sinus est appelée la phase d'oscillation décrite par cette fonction. La phase est exprimée en unités angulaires de radians.
La phase détermine non seulement la valeur de la coordonnée, mais aussi la valeur d'autres grandeurs physiques, comme la vitesse et l'accélération, qui varient également selon une loi harmonique. On peut donc dire que la phase détermine, pour une amplitude donnée, l'état du système oscillatoire à tout instant. C'est le sens de la notion de phase.
Les oscillations ayant les mêmes amplitudes et fréquences peuvent différer en phase.
Le rapport indique combien de périodes se sont écoulées depuis le début de l'oscillation. Toute valeur de temps t, exprimée en nombre de périodes T, correspond à une valeur de phase exprimée en radians. Ainsi, après un temps t = (un quart de période), après une demi-période =, après une période entière = 2, etc.
Vous pouvez représenter sur un graphique la dépendance des coordonnées d'un point oscillant non pas au temps, mais à la phase. La figure 3.7 montre la même onde cosinusoïdale que la figure 3.6, mais sur l'axe horizontal au lieu du temps différentes significationsétapes
Représentation des vibrations harmoniques en utilisant le cosinus et le sinus. Vous savez déjà que lors des vibrations harmoniques, les coordonnées d'un corps changent avec le temps selon la loi du cosinus ou du sinus. Après avoir introduit la notion de phase, nous y reviendrons plus en détail.
Le sinus diffère du cosinus en décalant l'argument de , ce qui correspond, comme le montre l'équation (3.21), à une période de temps égale au quart de la période :
Mais dans ce cas, la phase initiale, c'est-à-dire la valeur de phase au temps t = 0, n'est pas égale à zéro, mais .
Habituellement, nous excitons les oscillations d'un corps attaché à un ressort, ou les oscillations d'un pendule, en retirant le corps du pendule de sa position d'équilibre puis en le relâchant. Le déplacement par rapport à l’équilibre est maximum au moment initial. Par conséquent, pour décrire les oscillations, il est plus pratique d'utiliser la formule (3.14) utilisant un cosinus que la formule (3.23) utilisant un sinus.
Mais si nous excitions les oscillations d'un corps au repos avec une poussée à court terme, alors la coordonnée du corps au moment initial serait égale à zéro, et il serait plus pratique de décrire les changements de coordonnée au fil du temps à l'aide d'un sinus. , c'est-à-dire par la formule
x = x m sin t (3.24)
puisque dans ce cas la phase initiale est nulle.
Si à l'instant initial (à t = 0) la phase des oscillations est égale à , alors l'équation des oscillations peut s'écrire sous la forme
x = x m péché(t + )
Déphasage. Les oscillations décrites par les formules (3.23) et (3.24) ne diffèrent les unes des autres que par les phases. La différence de phase, ou, comme on le dit souvent, le déphasage, de ces oscillations est de . La figure 3.8 montre des graphiques des coordonnées en fonction du temps des oscillations décalées en phase de . Le graphique 1 correspond aux oscillations qui se produisent selon la loi sinusoïdale : x = x m sin t et le graphique 2 correspond aux oscillations qui se produisent selon la loi du cosinus :
Pour déterminer la différence de phase entre deux oscillations, dans les deux cas, la grandeur oscillante doit être exprimée par le même fonction trigonométrique- cosinus ou sinus.
1. Quelles vibrations sont appelées harmoniques !
2. Comment l'accélération et les coordonnées sont-elles liées lors des oscillations harmoniques !
3. Comment sont-ils connectés ? fréquence cyclique oscillations et période d'oscillations !
4. Pourquoi la fréquence de vibration d'un corps attaché à un ressort dépend-elle de sa masse, et de la fréquence de vibration pendule mathématiqueça ne dépend pas de la masse !
5. Quelles sont les amplitudes et les périodes de trois oscillations harmoniques différentes, dont les graphiques sont présentés dans les figures 3.8, 3.9 !
Les processus oscillatoires sont un élément important science moderne et la technologie, c'est pourquoi leur étude a toujours retenu l'attention comme l'un des problèmes « éternels ». La tâche de toute connaissance n'est pas la simple curiosité, mais son utilisation dans la vie quotidienne. Et c’est pourquoi de nouveaux existent et apparaissent chaque jour. systèmes techniques et les mécanismes. Ils sont en mouvement, manifestent leur essence en effectuant une sorte de travail ou, étant immobiles, conservent le potentiel, sous certaines conditions, de se mettre en mouvement. Qu'est-ce que le mouvement ? Sans entrer dans les détails, nous accepterons l'interprétation la plus simple : un changement de position d'un corps matériel par rapport à tout système de coordonnées, classiquement considéré comme immobile.
Parmi quantité énorme options possibles mouvement intérêt particulier représente un système oscillatoire, qui diffère en ce que le système répète le changement de ses coordonnées (ou grandeurs physiques) à certains intervalles - cycles. De telles oscillations sont appelées périodiques ou cycliques. Parmi eux, il y a une classe distincte dans laquelle traits caractéristiques(vitesse, accélération, position dans l'espace, etc.) évoluent dans le temps selon une loi harmonique, c'est-à-dire ayant une forme sinusoïdale. Une propriété remarquable des vibrations harmoniques est que leur combinaison représente d'autres options, incl. et non harmonique. Un concept très important en physique est la « phase d’oscillation », qui signifie fixer la position d’un corps oscillant à un moment donné. La phase est mesurée en unités angulaires - les radians, de manière tout à fait conventionnelle, simplement comme technique pratique pour expliquer les processus périodiques. En d’autres termes, la phase détermine la valeur de l’état actuel du système oscillatoire. Il ne peut en être autrement - après tout, la phase des oscillations est un argument de la fonction qui décrit ces oscillations. Le vrai sens les phases d'un mouvement de nature oscillatoire peuvent signifier des coordonnées, une vitesse et d'autres paramètres physiques qui changent selon une loi harmonique, mais ce qu'elles ont en commun est une dépendance temporelle.
Démontrer les oscillations n'est pas du tout difficile - pour cela, vous aurez besoin du plus simple système mécanique- un fil de longueur r, et un « point matériel » suspendu dessus - un poids. Attachez le fil au centre système rectangulaire coordonnées et faire tourner notre « pendule ». Supposons qu'il le fasse volontairement avec une vitesse angulaire w. Ensuite, pendant le temps t, l'angle de rotation de la charge sera φ = poids. De plus, cette expression doit prendre en compte la phase initiale des oscillations sous la forme d'un angle φ0 - la position du système avant le début du mouvement. Donc, plein angle la rotation, phase, est calculée à partir de la relation φ = wt+ φ0. Alors l'expression de la fonction harmonique, qui est la projection des coordonnées de la charge sur l'axe X, peut s'écrire :
x = A * cos(wt + φ0), où A est l'amplitude de vibration, dans notre cas égale à r - le rayon du filetage.
De même, la même projection sur l’axe Y s’écrira comme suit :
y = A * sin(poids + φ0).
Il faut comprendre que la phase des oscillations dans ce cas ne signifie pas la mesure de « l'angle » de rotation, mais la mesure angulaire du temps, qui exprime le temps en unités d'angle. Pendant ce temps, la charge tourne d'un certain angle, qui peut être déterminé de manière unique sur la base du fait que pour une oscillation cyclique w = 2 * π /T, où T est la période d'oscillation. Par conséquent, si une période correspond à une rotation de 2π radians, alors une partie de la période, le temps, peut être exprimée proportionnellement par un angle en fraction de la rotation totale de 2π.
Les vibrations n'existent pas par elles-mêmes - les sons, la lumière, les vibrations sont toujours une superposition, une imposition, grande quantité fluctuations provenant de différentes sources. Bien entendu, le résultat de la superposition de deux ou plusieurs oscillations est influencé par leurs paramètres, incl. et la phase d'oscillation. La formule de l'oscillation totale, généralement non harmonique, peut avoir une signification très aspect complexe, mais cela ne fait que le rendre plus intéressant. Comme indiqué ci-dessus, toute oscillation non harmonique peut être représentée sous la forme grand nombre harmonique avec différentes amplitudes, fréquences et phases. En mathématiques, cette opération est appelée « expansion en série d'une fonction » et est largement utilisée dans les calculs, par exemple, de la résistance des structures et des structures. La base de ces calculs est l'étude des oscillations harmoniques, prenant en compte tous les paramètres, y compris la phase.
Oscillations on appelle des mouvements ou des processus caractérisés par une certaine répétabilité dans le temps. Les oscillations sont répandues dans le monde environnant et peuvent être de nature très différente. Celles-ci peuvent être mécaniques (pendule), électromagnétiques (circuit oscillatoire) et autres types de vibrations. Gratuit, ou propre Les oscillations sont appelées oscillations qui se produisent dans un système livré à lui-même, après qu'il a été déséquilibré par une influence extérieure. Un exemple est l’oscillation d’une balle suspendue à une corde. Vibrations harmoniques sont appelés oscillations dans lesquelles la quantité oscillante change avec le temps selon la loi sinus ou cosinus . Équation harmonique a la forme :, où A - amplitude des vibrations (l'ampleur du plus grand écart du système par rapport à la position d'équilibre); - fréquence circulaire (cyclique). L'argument changeant périodiquement du cosinus est appelé phase d'oscillation . La phase d'oscillation détermine le déplacement de la grandeur oscillante par rapport à la position d'équilibre dans à l'heure actuelle temps t. La constante φ représente la valeur de phase au temps t = 0 et est appelée phase initiale d'oscillation .. Cette période de temps T est appelée période d'oscillations harmoniques. La période des oscillations harmoniques est égale à : T = 2π/. Pendule mathématique- un oscillateur, qui est un système mécanique constitué d'un point matériel situé sur un fil inextensible en apesanteur ou sur une tige en apesanteur dans un champ uniforme de forces gravitationnelles. Période de petites oscillations naturelles d'un pendule mathématique de longueur L immobile suspendu dans un champ gravitationnel uniforme avec accélération de chute libre g est égal
et ne dépend pas de l'amplitude des oscillations et de la masse du pendule. Pendule physique- Un oscillateur, qui est un corps solide qui oscille dans un champ de forces quelconques par rapport à un point qui n'est pas le centre de masse de ce corps, ou un axe fixe perpendiculaire à la direction d'action des forces et ne passant pas par le centre de masse de ce corps.
24. Vibrations électromagnétiques. Circuit oscillatoire. La formule de Thomson.
Vibrations électromagnétiques- ce sont des oscillations de champs électriques et magnétiques, qui s'accompagnent de changements périodiques de charge, de courant et de tension. Le système le plus simple dans lequel des oscillations électromagnétiques libres peuvent survenir et exister est un circuit oscillatoire. Circuit oscillatoire- il s'agit d'un circuit constitué d'une inductance et d'un condensateur (Fig. 29, a). Si le condensateur est chargé et connecté à la bobine, le courant circulera à travers la bobine (Fig. 29, b). Lorsque le condensateur est déchargé, le courant dans le circuit ne s'arrête pas en raison de l'auto-induction dans la bobine. Le courant d'induction, conformément à la règle de Lenz, aura le même sens et rechargera le condensateur (Fig. 29, c). Le processus sera répété (Fig. 29, d) par analogie avec les oscillations du pendule. Ainsi, des oscillations électromagnétiques se produiront dans le circuit oscillatoire en raison de la conversion de l'énergie. champ électrique condensateur() en énergie champ magnétique bobines avec courant (), et vice versa. La période des oscillations électromagnétiques dans un circuit oscillant idéal dépend de l'inductance de la bobine et de la capacité du condensateur et est déterminée à l'aide de la formule de Thomson. La fréquence et la période sont inversement proportionnelles.
Phase d'oscillation complet - argument d'une fonction périodique décrivant un processus oscillatoire ou ondulatoire.
Phase d'oscillation initial - la valeur de la phase d'oscillation (totale) à l'instant initial, c'est-à-dire à t= 0 (pour un processus oscillatoire), ainsi qu'à l'instant initial à l'origine du système de coordonnées, c'est-à-dire à t= 0 au point ( x, oui, z) = 0 (pour le processus ondulatoire).
Phase d'oscillation(en électrotechnique) - argument d'une fonction sinusoïdale (tension, courant), comptée à partir du point où la valeur passe par zéro jusqu'à valeur positive.
Phase d'oscillation- oscillation harmonique ( φ ) .
Taille φ, se placer sous le signe de la fonction cosinus ou sinus est appelé phase d'oscillation décrit par cette fonction.
φ = ω៰ t
En règle générale, on parle de phase en relation avec des oscillations harmoniques ou des ondes monochromatiques. Pour décrire une grandeur subissant des oscillations harmoniques, par exemple, l'une des expressions est utilisée :
UNE cos (ω t + φ 0) (\displaystyle A\cos(\omega t+\varphi _(0))), Un péché (ω t + φ 0) (\displaystyle A\sin(\omega t+\varphi _(0))), UNE e je (ω t + φ 0) (\displaystyle Ae^(i(\omega t+\varphi _(0)))).De même, pour décrire une onde se propageant dans un espace unidimensionnel, par exemple, des expressions de la forme sont utilisées :
UNE cos (k X − ω t + φ 0) (\displaystyle A\cos(kx-\omega t+\varphi _(0))), Un péché (k x − ω t + φ 0) (\displaystyle A\sin(kx-\omega t+\varphi _(0))), UNE e je (k X − ω t + φ 0) (\displaystyle Ae^(i(kx-\omega t+\varphi _(0)))),pour une onde dans un espace de n'importe quelle dimension (par exemple, dans un espace tridimensionnel) :
UNE cos (k ⋅ r − ω t + φ 0) (\displaystyle A\cos(\mathbf (k) \cdot \mathbf (r) -\omega t+\varphi _(0))), Un péché (k ⋅ r − ω t + φ 0) (\displaystyle A\sin(\mathbf (k) \cdot \mathbf (r) -\omega t+\varphi _(0))), UNE e je (k ⋅ r − ω t + φ 0) (\displaystyle Ae^(i(\mathbf (k) \cdot \mathbf (r) -\omega t+\varphi _(0)))).La phase d'oscillation (totale) dans ces expressions est argument fonctions, c'est-à-dire expression écrite entre parenthèses; phase d'oscillation initiale - valeur φ 0, qui est l'un des termes de la phase totale. En parlant de la phase complète, le mot complet souvent omis.
Les oscillations ayant les mêmes amplitudes et fréquences peuvent différer en phase. Parce que ω៰ =2π/T, Que φ = ω៰t = 2πt/T.
Attitude t/T indique combien de périodes se sont écoulées depuis le début des oscillations. Toute valeur temporelle t , exprimé en nombre de périodes T , correspond à la valeur de phase φ , exprimé en radians. Alors, à mesure que le temps passe t=T/4 (trimestre de période) φ = π/2, après la moitié de la période φ =π/2, après toute une période φ=2 π etc.
Puisque les fonctions sin(...) et cos(...) coïncident entre elles lorsque l'argument (c'est-à-dire la phase) est décalé de π / 2 , (\displaystyle \pi /2,) alors, afin d'éviter toute confusion, il est préférable de n'utiliser qu'une seule de ces deux fonctions pour déterminer la phase, et non les deux en même temps. Selon la convention habituelle, une phase est considérée l'argument est un cosinus et non un sinus.
Autrement dit, pour le processus oscillatoire (voir ci-dessus), la phase (complète)
φ = ω t + φ 0 (\displaystyle \varphi =\omega t+\varphi _(0)),pour une onde dans un espace unidimensionnel
φ = k X − ω t + φ 0 (\displaystyle \varphi =kx-\omega t+\varphi _(0)),pour une onde dans un espace tridimensionnel ou un espace de toute autre dimension :
φ = k r − ω t + φ 0 (\displaystyle \varphi =\mathbf (k) \mathbf (r) -\omega t+\varphi _(0)),Où ω ( displaystyle omega )- fréquence angulaire (une valeur indiquant de combien de radians ou de degrés la phase changera en 1 s ; plus la valeur est élevée, plus la phase croît rapidement dans le temps) ; t- temps ; φ 0 (\ displaystyle \ varphi _ (0))- phase initiale (c'est-à-dire la phase à t = 0); k- numéro de vague ; x- coordonnée du point d'observation du processus ondulatoire dans l'espace unidimensionnel ; k- vecteur d'onde ; r- rayon vecteur d'un point dans l'espace (un ensemble de coordonnées, par exemple cartésiennes).
Dans les expressions ci-dessus, la phase a la dimension des unités angulaires (radians, degrés). La phase du processus oscillatoire, par analogie avec le processus de rotation mécanique, est également exprimée en cycles, c'est-à-dire en fractions de la période du processus répétitif :
1 cycle = 2 π (\displaystyle \pi ) radian = 360 degrés.
Dans les expressions analytiques (dans les formules), la représentation de phase en radians est utilisée majoritairement (et par défaut) ; la représentation en degrés se retrouve également assez souvent (apparemment, comme étant extrêmement explicite et ne prêtant pas à confusion, puisque le signe du degré n'est généralement jamais omis dans aucun discours oral, ni dans les archives). Indiquer la phase en cycles ou en périodes (sauf pour les formulations verbales) est relativement rare en technologie.
Parfois (dans l'approximation quasi-classique, où l'on utilise des ondes quasi-monochromatiques, c'est-à-dire proches du monochromatique, mais pas strictement monochromatiques), ainsi que dans le formalisme intégral de chemin, où les ondes peuvent être loin d'être monochromatiques, bien que toujours similaires au monochromatique ) on considère la phase, qui est une fonction non linéaire du temps t et coordonnées spatiales r, en principe, une fonction arbitraire.
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