Base(grec ancien βασις, base) - un ensemble de vecteurs tels dans un espace vectoriel que tout vecteur de cet espace peut être représenté de manière unique comme une combinaison linéaire de vecteurs de cet ensemble - vecteurs de base

Une base dans l'espace R n est tout système de n-vecteurs linéairement indépendants. Chaque vecteur de R n non inclus dans la base peut être représenté comme une combinaison linéaire de vecteurs de base, c'est-à-dire étendre sur la base.
Soient une base de l'espace R n et . Alors il existe des nombres λ 1 , λ 2 , …, λ n tels que .
Les coefficients d'expansion λ 1 , λ 2 , ..., λ n , sont appelés les coordonnées du vecteur dans la base B. Si la base est donnée, alors les coefficients du vecteur sont déterminés de manière unique.

Commenter. Dans chaque n-espace vectoriel dimensionnel, vous pouvez choisir un nombre infini de bases différentes. Dans différentes bases, le même vecteur a des coordonnées différentes, mais les seules dans la base sélectionnée. Exemple. Développez le vecteur en termes de .
Décision. . Remplacez les coordonnées de tous les vecteurs et effectuez des actions sur eux :

En égalant les coordonnées, on obtient un système d'équations :

Résolvons-le : .
Ainsi, on obtient le développement : .
Dans la base, le vecteur a pour coordonnées .

Fin du travail -

Ce sujet appartient à :

Le concept de vecteur. Opérations linéaires sur les vecteurs

Un vecteur est un segment orienté qui a une certaine longueur, c'est-à-dire un segment d'une certaine longueur qui a l'un de ses points de délimitation.

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La base de l'espace appelons un tel système de vecteurs dans lequel tous les autres vecteurs de l'espace peuvent être représentés comme une combinaison linéaire de vecteurs inclus dans la base.
En pratique, tout cela est assez simple. La base, en règle générale, est vérifiée sur un plan ou dans l'espace, et pour cela, vous devez trouver le déterminant d'une matrice du deuxième, troisième ordre, composée des coordonnées des vecteurs. Schématiquement écrit ci-dessous conditions dans lesquelles les vecteurs forment une base

Pour développer le vecteur b en termes de vecteurs de base
e,e...,e[n] il faut trouver les coefficients x, ..., x[n] pour lesquels la combinaison linéaire des vecteurs e,e...,e[n] est égale à le vecteur b :
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Pour ce faire, l'équation vectorielle doit être convertie en un système d'équations linéaires et trouver des solutions. C'est aussi assez facile à mettre en œuvre.
Les coefficients trouvés x, ..., x[n] sont appelés coordonnées du vecteur b dans la base e,e...,e[n].
Passons au côté pratique du sujet.

Décomposition d'un vecteur en vecteurs de base

Tache 1. Vérifier si les vecteurs a1, a2 forment une base sur le plan

1) a1 (3 ; 5), a2 (4 ; 2)
Solution : Composez le déterminant à partir des coordonnées des vecteurs et calculez-le

Le déterminant n'est pas égal à zéro, Par conséquent les vecteurs sont linéairement indépendants, ce qui signifie qu'ils forment une base.

2) a1 (2 ; -3), a2 (5 ; -1)
Solution : On calcule le déterminant composé de vecteurs

Le déterminant est égal à 13 (pas égal à zéro) - il en résulte que les vecteurs a1, a2 sont une base sur le plan.

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Prenons des exemples typiques du programme IAPM dans la discipline "Mathématiques Supérieures".

Tâche 2. Montrer que les vecteurs a1, a2, a3 forment une base d'un espace vectoriel tridimensionnel et développer le vecteur b dans cette base (utiliser la méthode de Cramer pour résoudre un système d'équations algébriques linéaires).
1) a1 (3 ; 1 ; 5), a2 (3 ; 2 ; 8), a3 (0 ; 1 ; 2), b (−3 ; 1 ; 2).
Solution : Considérons d'abord le système de vecteurs a1, a2, a3 et vérifions le déterminant de la matrice A

construit sur des vecteurs autres que zéro. La matrice contient un élément zéro, il est donc plus opportun de calculer le déterminant sous forme de calendrier pour la première colonne ou la troisième ligne.

À la suite des calculs, nous avons constaté que le déterminant est différent de zéro, donc les vecteurs a1, a2, a3 sont linéairement indépendants.
Par définition, les vecteurs forment une base dans R3. Ecrivons l'horaire du vecteur b en fonction de la base

Les vecteurs sont égaux lorsque leurs coordonnées correspondantes sont égales.
Par conséquent, à partir de l'équation vectorielle, nous obtenons un système d'équations linéaires

Résoudre SLAE La méthode de Cramer. Pour cela, on écrit le système d'équations sous la forme

Le déterminant principal du SLAE est toujours égal au déterminant composé des vecteurs de base

Par conséquent, en pratique, il n'est pas calculé deux fois. Pour trouver des déterminants auxiliaires, on met une colonne de termes libres à la place de chaque colonne du déterminant principal. Les déterminants sont calculés selon la règle des triangles



Remplacer les déterminants trouvés dans la formule de Cramer



Ainsi, le développement du vecteur b en fonction de la base a la forme b=-4a1+3a2-a3 . Les coordonnées du vecteur b dans la base a1, a2, a3 seront (-4,3, 1).

2)a1 (1 ; -5 ; 2), a2 (2 ; 3 ; 0), a3 (1 ; -1 ; 1), b (3 ; 5 ; 1).
Solution: Nous vérifions les vecteurs pour la base - nous composons le déterminant à partir des coordonnées des vecteurs et le calculons

Le déterminant n'est pas égal à zéro, donc les vecteurs forment une base dans l'espace. Il reste à trouver l'ordonnancement du vecteur b en fonction de la base donnée. Pour ce faire, on écrit l'équation vectorielle

et transformer en un système d'équations linéaires

Nous écrivons équation matricielle

Ensuite, pour les formules de Cramer, on trouve des déterminants auxiliaires



Application des formules de Cramer



Ainsi, le vecteur donné b a un ordonnancement passant par deux vecteurs de base b=-2a1+5a3, et ses coordonnées dans la base sont égales à b(-2,0, 5).

Dans le calcul vectoriel et ses applications grande importance a un problème de décomposition, qui consiste à représenter un vecteur donné comme une somme de plusieurs vecteurs, appelés composantes d'un

vecteur. Cette tâche, qui a cas général un nombre infini de solutions devient tout à fait défini si certains éléments des vecteurs constituants sont donnés.

2. Exemples de décomposition.

Considérons quelques cas très courants de décomposition.

1. Décomposer le vecteur c donné en deux vecteurs composants dont l'un, par exemple a, est donné en grandeur et en direction.

Le problème se réduit à déterminer la différence entre deux vecteurs. En effet, si les vecteurs sont des composantes du vecteur c, alors l'égalité

À partir de là, le deuxième vecteur composant est déterminé

2. Décomposer le vecteur c donné en deux composantes, dont l'une doit se trouver dans un plan donné et la seconde doit se trouver sur une ligne donnée a.

Pour déterminer les vecteurs composants, nous déplaçons le vecteur c de sorte que son début coïncide avec le point d'intersection de la droite donnée avec le plan (point O - voir Fig. 18). Tracez une ligne droite depuis l'extrémité du vecteur c (point C) jusqu'à

intersection avec le plan (B est le point d'intersection), puis à partir du point C, nous traçons une droite parallèle

Les vecteurs et seront recherchés, c'est-à-dire que, naturellement, la décomposition indiquée est possible si la droite a et le plan ne sont pas parallèles.

3. Trois vecteurs coplanaires a, b et c sont donnés, et les vecteurs ne sont pas colinéaires. Il faut décomposer le vecteur c en vecteurs

Ramenons les trois vecteurs donnés en un point O. Alors, en raison de leur coplanarité, ils seront situés dans le même plan. Sur un vecteur c donné, comme sur une diagonale, on construit un parallélogramme dont les côtés sont parallèles aux lignes d'action des vecteurs (fig. 19). Cette construction est toujours possible (sauf si les vecteurs sont colinéaires) et unique. De la fig. 19 montre que

Dépendance linéaire et indépendance linéaire vecteurs.
Base de vecteurs. Système de coordonnées affines

Il y a un chariot avec des chocolats dans le public, et aujourd'hui chaque visiteur recevra un joli couple - géométrie analytique avec algèbre linéaire. Cet article abordera deux sections de mathématiques supérieures à la fois, et nous verrons comment elles s'entendent dans un même emballage. Faites une pause, mangez des Twix ! ... putain, eh bien, argumenter des bêtises. Bien que d'accord, je ne marquerai pas, à la fin, il devrait y avoir une attitude positive pour étudier.

Dépendance linéaire des vecteurs, indépendance linéaire des vecteurs, base vectorielle et d'autres termes ont non seulement une interprétation géométrique, mais, surtout, sens algébrique. Le concept même de "vecteur" du point de vue de l'algèbre linéaire est loin d'être toujours le vecteur "ordinaire" que l'on peut représenter sur un plan ou dans l'espace. Vous n'avez pas besoin de chercher bien loin pour la preuve, essayez de dessiner un vecteur d'espace à cinq dimensions . Ou le vecteur météo que je viens d'aller sur Gismeteo pour : - température et Pression atmosphérique respectivement. L'exemple, bien sûr, est incorrect du point de vue des propriétés de l'espace vectoriel, mais, néanmoins, personne n'interdit de formaliser ces paramètres sous forme de vecteur. Souffle d'automne...

Non, je ne vais pas vous ennuyer avec la théorie, les espaces vectoriels linéaires, la tâche est de comprendre définitions et théorèmes. Les nouveaux termes (dépendance linéaire, indépendance, combinaison linéaire, base, etc.) s'appliquent à tous vecteurs d'un point de vue algébrique, mais des exemples seront donnés géométriques. Ainsi, tout est simple, accessible et visuel. En plus des problèmes de géométrie analytique, nous considérerons également quelques tâches typiques algèbre. Pour maîtriser la matière, il est conseillé de se familiariser avec les leçons Des vecteurs pour les nuls et Comment calculer le déterminant ?

Dépendance linéaire et indépendance des vecteurs plans.
Base plane et système de coordonnées affine

Considérez le plan de votre bureau d'ordinateur (juste une table, une table de chevet, un sol, un plafond, tout ce que vous voulez). La tâche consistera en les actions suivantes :

1) Sélectionnez la base de l'avion. En gros, le plateau a une longueur et une largeur, il est donc intuitivement clair que deux vecteurs sont nécessaires pour construire la base. Un vecteur n'est clairement pas suffisant, trois vecteurs c'est trop.

2) Selon la base choisie définir le système de coordonnées(grille de coordonnées) pour attribuer des coordonnées à tous les éléments du tableau.

Ne soyez pas surpris, dans un premier temps les explications seront sur les doigts. De plus, sur le vôtre. Veuillez placer index de la main gauche sur le bord de la table pour qu'il regarde le moniteur. Ce sera un vecteur. Placez maintenant petit doigt main droite sur le bord de la table de la même manière - de sorte qu'il soit dirigé vers l'écran du moniteur. Ce sera un vecteur. Souriez, vous êtes superbe ! Que peut-on dire des vecteurs ? Vecteurs de données colinéaire, ce qui signifie linéairement exprimées les unes par les autres :
, eh bien, ou vice versa : , où est un nombre non nul.

Vous pouvez voir une image de cette action dans la leçon. Des vecteurs pour les nuls , où j'ai expliqué la règle de multiplication d'un vecteur par un nombre.

Vos doigts établiront-ils la base sur le plan de la table d'ordinateur ? Évidemment pas. Les vecteurs colinéaires font des allers-retours dans seule direction, tandis qu'un plan a une longueur et une largeur.

De tels vecteurs sont appelés linéairement dépendant.

Référence: Les mots "linéaire", "linéaire" désignent le fait qu'il n'y a pas de carrés, de cubes, d'autres puissances, de logarithmes, de sinus, etc. dans les équations mathématiques, les expressions. Il n'y a que des expressions et des dépendances linéaires (1er degré).

Deux vecteurs plans linéairement dépendant alors et alors seulement quand ils sont colinéaires.

Croisez vos doigts sur la table afin qu'il y ait n'importe quel angle entre eux sauf 0 ou 180 degrés. Deux vecteurs planslinéairement ne pas sont dépendants si et seulement s'ils ne sont pas colinéaires. Ainsi, la base est reçue. Pas besoin d'être gêné que la base se soit avérée "oblique" avec des vecteurs non perpendiculaires de différentes longueurs. Très bientôt, nous verrons que non seulement un angle de 90 degrés convient à sa construction, et pas seulement des vecteurs unitaires de longueur égale

Quelconque vecteur d'avion la seule façonélargi en termes de base:
, où - nombres réels. Les numéros sont appelés coordonnées vectorielles dans cette base.

Ils disent aussi que vecteurprésenté sous la forme combinaison linéaire vecteurs de base. C'est-à-dire que l'expression s'appelle décomposition vectoriellebase ou alors combinaison linéaire vecteurs de base.

Par exemple, on peut dire qu'un vecteur est développé dans une base orthonormée du plan , ou on peut dire qu'il est représenté comme une combinaison linéaire de vecteurs .

formulons définition de base officiellement: base d'avion est une paire de vecteurs linéairement indépendants (non colinéaires) , , dans lequel quelconque le vecteur plan est une combinaison linéaire des vecteurs de base.

Le point essentiel de la définition est le fait que les vecteurs sont pris dans un certain ordre. socles Ce sont deux bases complètement différentes ! Comme on dit, le petit doigt de la main gauche ne peut pas être déplacé à la place du petit doigt de la main droite.

Nous avons compris la base, mais il ne suffit pas de définir la grille de coordonnées et d'attribuer des coordonnées à chaque élément sur votre bureau d'ordinateur. Pourquoi pas assez ? Les vecteurs sont libres et errent sur tout le plan. Alors, comment attribuer des coordonnées à ces petits points de table sales laissés par un week-end sauvage ? Un point de départ est nécessaire. Et un tel point de référence est un point familier à tous - l'origine des coordonnées. Comprendre le système de coordonnées :

Je vais commencer par le système "scolaire". Déjà dans la leçon d'introduction Des vecteurs pour les nuls J'ai mis en évidence certaines des différences entre un système de coordonnées rectangulaires et une base orthonormée. Voici l'image standard :

Quand on parle de système de coordonnées rectangulaires, alors le plus souvent, ils signifient l'origine, les axes de coordonnées et l'échelle le long des axes. Essayez de taper "système de coordonnées rectangulaires" dans le moteur de recherche, et vous verrez que de nombreuses sources vous parleront des axes de coordonnées familiers de la 5e à la 6e année et comment tracer des points sur un plan.

D'autre part, il semble que système rectangulaire les coordonnées peuvent être déterminées en fonction d'une base orthonormée. Et c'est presque le cas. La formulation va comme ceci :

origine, et orthonormé ensemble de base Système de coordonnées cartésiennes du plan . C'est-à-dire un système de coordonnées rectangulaires absolument est défini par un seul point et deux vecteurs orthogonaux unitaires. C'est pourquoi, vous voyez le dessin que j'ai donné ci-dessus - dans les problèmes géométriques, les vecteurs et les axes de coordonnées sont souvent (mais loin d'être toujours) dessinés.

Je pense que tout le monde comprend qu'à l'aide d'un point (origine) et d'une base orthonormée TOUT POINT du plan et TOUT VECTEUR du plan coordonnées peuvent être attribuées. Au sens figuré, "tout dans l'avion peut être numéroté".

Les vecteurs de coordonnées doivent-ils être unitaires ? Non, ils peuvent avoir une longueur non nulle arbitraire. Considérons un point et deux vecteurs orthogonaux de longueur arbitraire non nulle :

Une telle base est appelée orthogonal. L'origine des coordonnées avec des vecteurs définit la grille de coordonnées, et tout point du plan, tout vecteur a ses propres coordonnées dans la base donnée. Par exemple, ou. L'inconvénient évident est que les vecteurs de coordonnées en général ont des longueurs différentes autres que l'unité. Si les longueurs sont égales à un, alors la base orthonormale habituelle est obtenue.

! Note : dans la base orthogonale, et aussi en dessous dans bases affines les unités de plan et d'espace le long des axes sont considérées CONDITIONNEL. Par exemple, une unité en abscisse contient 4 cm, une unité en ordonnée contient 2 cm, cette information est suffisante pour convertir des coordonnées "non standard" en "nos centimètres habituels" si nécessaire.

Et la deuxième question, à laquelle on a déjà répondu - l'angle entre les vecteurs de base est-il nécessairement égal à 90 degrés ? Pas! Comme le dit la définition, les vecteurs de base doivent être uniquement non colinéaire. En conséquence, l'angle peut être n'importe quoi sauf 0 et 180 degrés.

Un point du plan appelé origine, et non colinéaire vecteurs, , Positionner système de coordonnées affines du plan :

Parfois, ce système de coordonnées est appelé oblique système. Les points et les vecteurs sont présentés à titre d'exemple dans le dessin :

Comme vous l'avez compris, le système de coordonnées affines est encore moins pratique, les formules pour les longueurs des vecteurs et des segments, que nous avons examinées dans la deuxième partie de la leçon, ne fonctionnent pas. Des vecteurs pour les nuls , de nombreuses formules délicieuses liées à produit scalaire de vecteurs . Mais les règles pour additionner des vecteurs et multiplier un vecteur par un nombre sont valables, formules de division de segment à cet égard, ainsi que d'autres types de tâches que nous verrons bientôt.

Et la conclusion est que le cas particulier le plus pratique d'un système de coordonnées affines est le système rectangulaire cartésien. Par conséquent, elle, la sienne, doit le plus souvent être vue. ... Cependant, tout dans cette vie est relatif - il existe de nombreuses situations dans lesquelles il convient d'avoir un oblique (ou un autre, par exemple, polaire) système de coordonnées. Oui, et les humanoïdes de tels systèmes peuvent venir goûter =)

Passons à la partie pratique. Toutes les tâches Cette leçon sont valables à la fois pour un système de coordonnées rectangulaires et pour le cas affine général. Il n'y a rien de compliqué ici, tout le matériel est disponible même pour un écolier.

Comment déterminer la colinéarité des vecteurs plans ?

Chose typique. Pour deux vecteurs plans sont colinéaires, il faut et il suffit que leurs coordonnées respectives soient proportionnelles.Essentiellement, il s'agit d'un raffinement coordonnée par coordonnée de la relation évidente .

Exemple 1

a) Vérifiez si les vecteurs sont colinéaires .
b) Les vecteurs forment-ils une base ? ?

Décision:
a) Savoir s'il existe pour les vecteurs coefficient de proportionnalité, tel que les égalités soient remplies :

Je vais certainement vous parler de la version "foppish" de l'application de cette règle, qui fonctionne assez bien dans la pratique. L'idée est d'établir immédiatement une proportion et de voir si elle est correcte :

Faisons une proportion à partir des rapports des coordonnées correspondantes des vecteurs :

On raccourcit :
, donc les coordonnées correspondantes sont proportionnelles, donc,

La relation pourrait être faite et vice versa, c'est une option équivalente :

Pour l'auto-test, on peut utiliser le fait que les vecteurs colinéaires sont exprimés linéairement les uns à travers les autres. Dans ce cas, il existe des égalités . Leur validité peut être facilement vérifiée par des opérations élémentaires avec des vecteurs :

b) Deux vecteurs plans forment une base s'ils ne sont pas colinéaires (linéairement indépendants). Nous examinons les vecteurs de colinéarité . Créons un système :

De la première équation il s'ensuit que , de la seconde équation il s'ensuit que , ce qui signifie, le système est incohérent (pas de solutions). Ainsi, les coordonnées correspondantes des vecteurs ne sont pas proportionnelles.

Conclusion: les vecteurs sont linéairement indépendants et forment une base.

Une version simplifiée de la solution ressemble à ceci :

Composez la proportion à partir des coordonnées correspondantes des vecteurs :
, par conséquent, ces vecteurs sont linéairement indépendants et forment une base.

Habituellement, les examinateurs ne rejettent pas cette option, mais un problème se pose dans les cas où certaines coordonnées sont égales à zéro. Comme ça: . Ou comme ceci : . Ou comme ceci : . Comment travailler à travers la proportion ici? (Vraiment, vous ne pouvez pas diviser par zéro). C'est pour cette raison que j'ai appelé la solution simplifiée "foppish".

Réponse: a) , b) forme.

Petit exemple créatif pour une solution indépendante :

Exemple 2

A quelle valeur des vecteurs paramètres sera colinéaire ?

Dans la solution d'échantillon, le paramètre est trouvé par la proportion.

Il existe une manière algébrique élégante de vérifier la colinéarité des vecteurs. Systématisons nos connaissances et ajoutons-les simplement comme cinquième point :

Pour deux vecteurs plans, les énoncés suivants sont équivalents:

2) les vecteurs forment une base ;
3) les vecteurs ne sont pas colinéaires ;

+ 5) le déterminant, composé des coordonnées de ces vecteurs, est non nul.

Respectivement, les énoncés opposés suivants sont équivalents:
1) les vecteurs sont linéairement dépendants ;
2) les vecteurs ne forment pas une base ;
3) les vecteurs sont colinéaires ;
4) les vecteurs peuvent être exprimés linéairement les uns à travers les autres ;
+ 5) le déterminant, composé des coordonnées de ces vecteurs, est égal à zéro.

J'espère vraiment, vraiment que ce moment vous comprenez déjà tous les termes et déclarations rencontrés.

Examinons de plus près le nouveau cinquième point : deux vecteurs plans sont colinéaires si et seulement si le déterminant composé des coordonnées des vecteurs donnés est égal à zéro:. Pour utiliser cette fonction, bien sûr, vous devez être en mesure de trouver des déterminants .

Nous allons décider Exemple 1 de la deuxième manière :

a) Calculer le déterminant, composé des coordonnées des vecteurs :
, donc ces vecteurs sont colinéaires.

b) Deux vecteurs plans forment une base s'ils ne sont pas colinéaires (linéairement indépendants). Calculons le déterminant composé des coordonnées des vecteurs :
, donc les vecteurs sont linéairement indépendants et forment une base.

Réponse: a) , b) forme.

Il semble beaucoup plus compact et plus joli que la solution avec des proportions.

A l'aide du matériel considéré, il est possible d'établir non seulement la colinéarité des vecteurs, mais aussi de prouver le parallélisme des segments, des droites. Considérons quelques problèmes avec des formes géométriques spécifiques.

Exemple 3

Les sommets d'un quadrilatère sont donnés. Montrer que le quadrilatère est un parallélogramme.

Preuve: Il n'est pas nécessaire de construire un dessin dans le problème, puisque la solution sera purement analytique. Rappelez-vous la définition d'un parallélogramme :
Parallélogramme Un quadrilatère est appelé, dans lequel les côtés opposés sont deux à deux parallèles.

Ainsi, il faut prouver :
1) le parallélisme des côtés opposés et ;
2) le parallélisme des côtés opposés et .

Nous prouvons :

1) Trouvez les vecteurs :

2) Trouvez les vecteurs :

Le résultat est le même vecteur ("selon l'école" - vecteurs égaux). La colinéarité est assez évidente, mais il vaut mieux prendre la décision correctement, avec l'arrangement. Calculer le déterminant, composé des coordonnées des vecteurs :
, donc ces vecteurs sont colinéaires, et .

Conclusion: côtés opposés les quadrilatères sont parallèles deux à deux, c'est donc un parallélogramme par définition. Q.E.D.

Plus de chiffres bons et différents:

Exemple 4

Les sommets d'un quadrilatère sont donnés. Montrer que le quadrilatère est un trapèze.

Pour une formulation plus rigoureuse de la preuve, il vaut mieux, bien sûr, avoir la définition d'un trapèze, mais il suffit juste de se rappeler à quoi il ressemble.

Il s'agit d'une tâche de décision indépendante. Solution complète à la fin de la leçon.

Et maintenant, il est temps de passer lentement de l'avion à l'espace :

Comment déterminer la colinéarité des vecteurs spatiaux ?

La règle est très similaire. Pour que deux vecteurs spatiaux soient colinéaires, nécessaire et suffisant de sorte que leurs coordonnées respectives soient proportionnelles.

Exemple 5

Découvrez si les vecteurs spatiaux suivants sont colinéaires :

un) ;
b)
dans)

Décision:
a) Vérifiez s'il existe un coefficient de proportionnalité pour les coordonnées correspondantes des vecteurs :

Le système n'a pas de solution, ce qui signifie que les vecteurs ne sont pas colinéaires.

"Simplifié" est établi en vérifiant la proportion. Dans ce cas:
– les coordonnées correspondantes ne sont pas proportionnelles, ce qui signifie que les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Réponse: les vecteurs ne sont pas colinéaires.

b-c) Ce sont des points de décision indépendante. Essayez-le de deux façons.

Il existe une méthode pour vérifier la colinéarité des vecteurs spatiaux et via un déterminant du troisième ordre, Par ici couvert dans l'article Produit croisé de vecteurs .

Comme dans le cas du plan, les outils considérés peuvent être utilisés pour étudier le parallélisme de segments et de lignes spatiaux.

Bienvenue dans la deuxième section :

Dépendance linéaire et indépendance des vecteurs spatiaux tridimensionnels.
Base spatiale et système de coordonnées affines

Bon nombre des régularités que nous avons envisagées sur l'avion seront également valables pour l'espace. J'ai essayé de minimiser le résumé de la théorie, puisque la part du lion de l'information a déjà été mâchée. Néanmoins, je vous recommande de lire attentivement la partie introductive, car de nouveaux termes et concepts apparaîtront.

Maintenant, au lieu du plan de la table d'ordinateur, examinons l'espace tridimensionnel. Commençons par créer sa base. Quelqu'un est maintenant à l'intérieur, quelqu'un est à l'extérieur, mais de toute façon, on ne peut pas sortir des trois dimensions : largeur, longueur et hauteur. Par conséquent, trois vecteurs spatiaux sont nécessaires pour construire la base. Un ou deux vecteurs ne suffisent pas, le quatrième est superflu.

Et encore on s'échauffe sur les doigts. S'il vous plaît, levez la main et étendez-vous dans différentes directions pouce, index et majeur. Ce seront des vecteurs, ils regardent dans des directions différentes, ont des longueurs différentes et ont des angles différents entre eux. Félicitations, la base de l'espace tridimensionnel est prête ! Au fait, vous n'avez pas besoin de le démontrer aux enseignants, peu importe comment vous vous tordez les doigts, mais vous ne pouvez pas vous éloigner des définitions =)

Ensuite, nous posons une question importante, si trois vecteurs quelconques forment une base d'un espace tridimensionnel? Veuillez appuyer fermement trois doigts sur le dessus de la table de l'ordinateur. Qu'est-il arrivé? Trois vecteurs sont situés dans le même plan et, grosso modo, nous avons perdu l'une des mesures - la hauteur. De tels vecteurs sont coplanaire et, bien évidemment, que la base de l'espace tridimensionnel n'est pas créée.

Il convient de noter que les vecteurs coplanaires ne doivent pas nécessairement se trouver dans le même plan, ils peuvent être dans des plans parallèles (ne le faites pas avec vos doigts, seul Salvador Dali est sorti comme ça =)).

Définition: les vecteurs sont appelés coplanaire s'il existe un plan auquel ils sont parallèles. Ici il est logique d'ajouter que si un tel plan n'existe pas, alors les vecteurs ne seront pas coplanaires.

Trois vecteurs coplanaires sont toujours linéairement dépendants, c'est-à-dire qu'ils sont exprimés linéairement les uns par les autres. Pour plus de simplicité, imaginez à nouveau qu'ils se trouvent dans le même plan. Premièrement, les vecteurs ne sont pas seulement coplanaires, mais peuvent également être colinéaires, alors n'importe quel vecteur peut être exprimé par n'importe quel vecteur. Dans le second cas, si, par exemple, les vecteurs ne sont pas colinéaires, alors le troisième vecteur s'exprime à travers eux de manière unique : (et pourquoi est facile à deviner à partir des matériaux de la section précédente).

L'inverse est également vrai : trois vecteurs non coplanaires sont toujours linéairement indépendants, c'est-à-dire qu'ils ne s'expriment en aucune façon les uns par les autres. Et, évidemment, seuls de tels vecteurs peuvent former la base d'un espace tridimensionnel.

Définition: La base de l'espace tridimensionnel est appelé un triplet de vecteurs linéairement indépendants (non coplanaires), pris dans un certain ordre, tandis que tout vecteur de l'espace la seule façon se développe dans la base donnée , où sont les coordonnées du vecteur dans la base donnée

Pour rappel, on peut aussi dire qu'un vecteur est représenté par combinaison linéaire vecteurs de base.

La notion de système de coordonnées est introduite exactement de la même manière que pour le cas plan, un point et trois vecteurs linéairement indépendants suffisent :

origine, et non coplanaire vecteurs, pris dans un certain ordre, Positionner système de coordonnées affines d'un espace tridimensionnel :

Bien sûr, la grille de coordonnées est "oblique" et peu pratique, mais, néanmoins, le système de coordonnées construit nous permet de absolument déterminer les coordonnées de n'importe quel vecteur et les coordonnées de n'importe quel point de l'espace. Semblable au plan, dans le système de coordonnées affines de l'espace, certaines formules que j'ai déjà mentionnées ne fonctionneront pas.

Le cas particulier le plus familier et le plus pratique d'un système de coordonnées affines, comme tout le monde peut le deviner, est système de coordonnées d'espace rectangulaire:

point dans l'espace appelé origine, et orthonormé ensemble de base Système de coordonnées cartésiennes de l'espace . image familière :

Avant de passer aux tâches pratiques, nous systématisons à nouveau les informations :

Pour trois vecteurs spatiaux, les déclarations suivantes sont équivalentes:
1) les vecteurs sont linéairement indépendants ;
2) les vecteurs forment une base ;
3) les vecteurs ne sont pas coplanaires ;
4) les vecteurs ne peuvent pas être exprimés linéairement les uns par les autres ;
5) le déterminant, composé des coordonnées de ces vecteurs, est différent de zéro.

Les déclarations contraires, je pense, sont compréhensibles.

La dépendance/indépendance linéaire des vecteurs spatiaux est traditionnellement vérifiée à l'aide du déterminant (item 5). Restant tâches pratiques aura un caractère algébrique prononcé. Il est temps d'accrocher un bâton géométrique à un clou et de manier une batte de baseball d'algèbre linéaire :

Trois vecteurs spatiaux sont coplanaires si et seulement si le déterminant composé des coordonnées des vecteurs donnés est égal à zéro : .

J'attire votre attention sur une petite nuance technique: les coordonnées des vecteurs peuvent être écrites non seulement en colonnes, mais également en lignes (la valeur du déterminant n'en changera pas - voir ci-dessous). propriétés des déterminants). Mais c'est beaucoup mieux dans les colonnes, car c'est plus bénéfique pour résoudre certains problèmes pratiques.

Pour les lecteurs qui ont un peu oublié les méthodes de calcul des déterminants, ou qui sont peut-être mal orientés du tout, je recommande une de mes plus anciennes leçons : Comment calculer le déterminant ?

Exemple 6

Vérifiez si les vecteurs suivants forment une base d'un espace tridimensionnel :

Décision: En fait, toute la solution revient à calculer le déterminant.

a) Calculer le déterminant, composé des coordonnées des vecteurs (le déterminant est développé sur la première ligne) :

, ce qui signifie que les vecteurs sont linéairement indépendants (non coplanaires) et forment la base d'un espace tridimensionnel.

Réponse: ces vecteurs forment la base

b) C'est un point de décision indépendante. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

rencontrer et tâches créatives:

Exemple 7

A quelle valeur du paramètre les vecteurs seront-ils coplanaires ?

Décision: Les vecteurs sont coplanaires si et seulement si le déterminant composé des coordonnées des vecteurs donnés est égal à zéro :

Essentiellement, il est nécessaire de résoudre une équation avec un déterminant. Nous volons dans des zéros comme des cerfs-volants dans des jerboas - il est plus rentable d'ouvrir le déterminant en deuxième ligne et de se débarrasser immédiatement des inconvénients:

Nous procédons à des simplifications supplémentaires et réduisons la matière au plus simple équation linéaire:

Réponse: à

Il est facile de vérifier ici, pour cela, vous devez substituer la valeur résultante dans le déterminant d'origine et vous assurer que en le rouvrant.

En conclusion, considérons un autre problème typique, qui est plutôt de nature algébrique et qui est traditionnellement inclus dans le cours d'algèbre linéaire. C'est tellement courant qu'il mérite un sujet à part :

Démontrer que 3 vecteurs forment une base d'un espace à trois dimensions
et trouver les coordonnées du 4ème vecteur dans la base donnée

Exemple 8

Les vecteurs sont donnés. Montrer que les vecteurs forment une base d'espace à trois dimensions et trouver les coordonnées du vecteur dans cette base.

Décision: Traitons d'abord la condition. Par condition, quatre vecteurs sont donnés et, comme vous pouvez le voir, ils ont déjà des coordonnées dans une certaine base. Quelle est la base - nous ne sommes pas intéressés. Et la chose suivante est intéressante : trois vecteurs peuvent très bien se former nouvelle base. Et la première étape est complètement la même que la solution de l'exemple 6, il faut vérifier si les vecteurs sont vraiment linéairement indépendants :

Calculer le déterminant, composé des coordonnées des vecteurs :

, donc les vecteurs sont linéairement indépendants et forment une base d'un espace tridimensionnel.

! Important : coordonnées vectorielles nécessairementécrire en colonnes déterminant, pas des chaînes. Sinon, il y aura confusion dans l'algorithme de solution supplémentaire.