Une méthode pratique et très précise utilisée par les arpenteurs-géomètres pour tracer des lignes perpendiculaires sur le sol est la suivante. Supposons qu'il soit nécessaire de tracer une perpendiculaire à la ligne MN passant par le point A (fig. 13). Écarter de A en direction de AM trois fois une certaine distance a. Ensuite, trois nœuds sont noués sur la corde, dont les distances sont égales à 4a et 5a. En attachant les nœuds extrêmes aux points A et B, tirez le cordon sur le nœud du milieu. Le cordon sera situé dans un triangle dont le coin A est droit.

Cette ancienne méthode, apparemment utilisée il y a des milliers d'années par les constructeurs des pyramides égyptiennes, est basée sur le fait que chaque triangle, dont les côtés sont liés par 3: 4: 5, selon le théorème bien connu de Pythagore, est rectangulaire, puisque

3 2 + 4 2 = 5 2 .

En plus des nombres 3, 4, 5, il existe, comme on le sait, un ensemble innombrable d'entiers positifs a, b, c satisfaisant la relation

A 2 + b 2 = c 2.

On les appelle nombres de Pythagore. Selon le théorème de Pythagore, de tels nombres peuvent servir de longueurs des côtés d'un triangle rectangle ; donc a et b sont appelés "jambes" et c - "hypoténuse".

Il est clair que si a, b, c est un triplet de nombres de Pythagore, alors pa, pb, pc, où p est un facteur entier, sont des nombres de Pythagore. Inversement, si les nombres de Pythagore ont un facteur commun, alors tous peuvent être annulés par ce facteur commun, et encore une fois vous obtenez un triple de nombres de Pythagore. Par conséquent, nous n'étudierons d'abord que les triplets de nombres de Pythagore premiers entre eux (le reste est obtenu à partir d'eux en multipliant par un facteur entier p).

Montrons que dans chacun de ces triplets a, b, c, l'une des "jambes" doit être paire et l'autre impaire. Parlons « par contradiction ». Si les deux "jambes" a et b sont paires, alors le nombre a 2 + b 2 sera pair, et donc " l'hypoténuse ". Ceci, cependant, contredit le fait que les nombres a, b, c n'ont pas de facteurs communs, puisque trois nombres pairs ont un facteur commun de 2. Ainsi, au moins une des « pattes » a, b est impaire.

Il reste encore une possibilité : les deux "jambes" sont impaires et l'"hypoténuse" est paire. Il n'est pas difficile de prouver que cela ne peut pas être. En effet : si les "jambes" sont de la forme

2x + 1 et 2y + 1,

alors la somme de leurs carrés est

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 = 4 (x 2 + x + y 2 + y) + 2,

c'est-à-dire que c'est un nombre qui, lorsqu'il est divisé par 4, donne un reste de 2. Pendant ce temps, le carré de tout nombre pair doit être divisible par 4 sans reste. Par conséquent, la somme des carrés de deux nombres impairs ne peut pas être le carré d'un nombre pair ; en d'autres termes, nos trois nombres ne sont pas pythagoriciens.

Ainsi, parmi les "jambes" a, b, l'une est paire et l'autre impaire. Par conséquent, le nombre a 2 + b 2 est impair, ce qui signifie que "l'hypoténuse" c est également impair.

Supposons, pour plus de précision, que la "jambe" a soit impaire et que b soit paire. De l'égalité

a 2 + b 2 = c 2

on obtient facilement :

A 2 = c 2 - b 2 = (c + b) (c - b).

Les facteurs c + b et c - b du membre de droite sont relativement premiers. En effet, si ces nombres avaient un facteur premier commun autre que l'unité, alors la somme

(c + b) + (c - b) = 2c,

et la différence

(c + b) - (c - b) = 2b,

et le travail

(c + b) (c - b) = un 2,

c'est-à-dire que les nombres 2c, 2b et a auraient un facteur commun. Puisque a est impair, ce facteur est différent de deux, et donc les nombres a, b, c ont le même facteur commun, ce qui ne peut cependant pas l'être. La contradiction qui en résulte montre que les nombres c + b et c - b sont premiers entre eux.

Mais si le produit de nombres premiers entre eux est un carré exact, alors chacun d'eux est un carré, c'est-à-dire


Après avoir résolu ce système, on trouve :

C = (m 2 + n 2) / 2, b = (m 2 - n 2) / 2, et 2 = (c + b) (c - b) = m 2 n 2, a = mn.

Ainsi, les nombres de Pythagore considérés ont la forme

A = mn, b = (m 2 - n 2) / 2, c = (m 2 + n 2) / 2.

où m et n sont des nombres impairs relativement premiers. Le lecteur peut facilement être convaincu du contraire : pour tout type impair, les formules écrites donnent trois nombres de Pythagore a, b, c.

Voici plusieurs triplets de nombres de Pythagore obtenus pour différents types :

Pour m = 3, n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2 pour m = 5, n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2 pour m = 7, n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 pour m = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2 avec m = 11, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 avec m = 13, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 avec m = 5 , n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2 avec m = 7, n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2 avec m = 11, n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2 avec m = 13, n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 avec m = 7, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 avec m = 9, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 avec m = 11, n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2 avec m = 13, n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 avec m = 9, n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 avec m = 11, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(Tous les autres triplets de nombres de Pythagore ont des facteurs communs ou contiennent des nombres supérieurs à cent.)

» Professeur émérite de mathématiques à l'Université de Warwick, le célèbre vulgarisateur des sciences Ian Stewart, s'est consacré au rôle des nombres dans l'histoire de l'humanité et à la pertinence de leur étude à notre époque.

Hypoténuse de Pythagore

Les triangles de Pythagore ont un angle droit et des côtés entiers. Le plus simple d'entre eux a le côté le plus long de longueur 5, les autres - 3 et 4. Au total, il y a 5 polyèdres réguliers. Une équation du cinquième degré ne peut pas être résolue en utilisant des racines du cinquième degré - ou toute autre racine. Les réseaux sur le plan et dans l'espace tridimensionnel n'ont pas de symétrie de rotation à cinq lobes, par conséquent, de telles symétries sont également absentes dans les cristaux. Cependant, ils peuvent être trouvés dans des réseaux dans un espace à quatre dimensions et dans des structures intéressantes connues sous le nom de quasicristaux.

Hypoténuse du plus petit triplet de Pythagore

Le théorème de Pythagore dit que le côté le plus long d'un triangle rectangle (la fameuse hypoténuse) se rapporte aux deux autres côtés de ce triangle très simplement et magnifiquement : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Traditionnellement, on appelle ce théorème du nom de Pythagore, mais en fait, son histoire est assez vague. Des tablettes d'argile suggèrent que les anciens Babyloniens connaissaient le théorème de Pythagore bien avant Pythagore lui-même ; la gloire du découvreur lui a été apportée par le culte mathématique des Pythagoriciens, dont les partisans croyaient que l'univers était basé sur des lois numériques. Les auteurs anciens attribuaient aux pythagoriciens - et donc à Pythagore - une variété de théorèmes mathématiques, mais en fait nous n'avons aucune idée du genre de mathématiques que faisait Pythagore lui-même. Nous ne savons même pas si les pythagoriciens pouvaient prouver le théorème de Pythagore ou s'ils croyaient simplement qu'il était vrai. Ou, très probablement, ils avaient des preuves convaincantes de sa vérité, qui ne seraient néanmoins pas suffisantes pour ce que nous considérons comme des preuves aujourd'hui.

Preuves de Pythagore

Nous trouvons la première preuve connue du théorème de Pythagore dans les éléments d'Euclide. Il s'agit d'une preuve assez complexe à l'aide d'un dessin dans lequel les écoliers victoriens reconnaîtraient immédiatement un « pantalon pythagoricien » ; le dessin ressemble vraiment à un caleçon séchant sur une corde. Il existe littéralement des centaines d'autres éléments de preuve connus, dont la plupart rendent la revendication plus évidente.


// Riz. 33. Pantalon pythagoricien

L'une des preuves les plus simples est une sorte de casse-tête mathématique. Prenez n'importe quel triangle rectangle, faites-en quatre copies et rassemblez-les dans un carré. Avec un empilement, on voit un carré sur l'hypoténuse ; de l'autre, des carrés sur les deux autres côtés du triangle. En même temps, il est clair que les surfaces dans les deux cas sont égales.


// Riz. 34. À gauche : carré sur l'hypoténuse (plus quatre triangles). A droite : la somme des carrés des deux autres côtés (plus les quatre mêmes triangles). Excluez maintenant les triangles.

La dissection de Périgalle est un autre casse-tête de preuve.


// Riz. 35. Dissection de Périgalle

Il y a aussi une preuve du théorème en utilisant l'emballage de carrés dans le plan. C'est peut-être ainsi que les Pythagoriciens ou leurs prédécesseurs inconnus ont découvert ce théorème. Si vous regardez comment le carré oblique chevauche les deux autres carrés, vous pouvez voir comment couper un grand carré en morceaux, puis plier les deux plus petits carrés. Vous pouvez également voir des triangles rectangles, dont les côtés donnent les dimensions des trois carrés impliqués.


// Riz. 36. Preuve de pavage

Il existe des preuves intéressantes utilisant des triangles similaires en trigonométrie. Au moins cinquante éléments de preuve différents sont connus.

Triplés pythagoriciens

En théorie des nombres, le théorème de Pythagore est devenu la source d'une idée féconde : trouver des solutions entières aux équations algébriques. Un triplet de Pythagore est un ensemble d'entiers a, b et c tels que

Géométriquement, un tel triplet définit un triangle rectangle à côtés entiers.

La plus petite hypoténuse du triplet pythagoricien est 5.

Les deux autres côtés de ce triangle sont 3 et 4. Ici

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

La prochaine plus grande hypoténuse est 10 parce que

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Cependant, il s'agit essentiellement du même triangle avec des côtés doublés. L'hypoténuse suivante la plus grande et vraiment différente est 13, car elle

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Euclide savait qu'il existe un nombre infini de variantes différentes de triplets pythagoriciens et a donné ce qu'on peut appeler une formule pour les trouver tous. Plus tard, Diophante d'Alexandrie proposa une recette simple qui coïncidait fondamentalement avec la recette euclidienne.

Prenez deux nombres naturels et calculez :

leur travail doublé ;

la différence entre leurs carrés;

la somme de leurs carrés.

Les trois nombres résultants seront les côtés du triangle de Pythagore.

Prenez, par exemple, les nombres 2 et 1. Calculez :

produit double : 2 × 2 × 1 = 4 ;

différence de carrés : 22 - 12 = 3 ;

somme des carrés : 22 + 12 = 5,

et nous avons le fameux triangle 3-4-5. Si on prend les nombres 3 et 2 à la place, on obtient :

produit double : 2 × 3 × 2 = 12 ;

différence de carrés : 32 - 22 = 5 ;

somme des carrés : 32 + 22 = 13,

et nous obtenons le prochain triangle le plus célèbre 5 - 12 - 13. Essayons de prendre les nombres 42 et 23 et obtenons :

double produit : 2 × 42 × 23 = 1932 ;

différence de carrés : 422 - 232 = 1235 ;

somme des carrés : 422 + 232 = 2293,

personne n'a jamais entendu parler du triangle 1235-1932-2293.

Mais ces chiffres fonctionnent aussi :

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Il y a une autre caractéristique dans la règle diophantienne, qui a déjà été évoquée : ayant reçu trois nombres, nous pouvons prendre un autre nombre arbitraire et les multiplier tous par lui. Ainsi, un triangle 3-4-5 peut être transformé en un triangle 6-8-10 en multipliant tous les côtés par 2, ou en un triangle 15-20-25 en multipliant tout par 5.

Si l'on passe au langage de l'algèbre, la règle prend la forme suivante : soit u, v et k des entiers naturels. Alors un triangle rectangle avec des côtés

2kuv et k (u2 - v2) a une hypoténuse

Il existe d'autres manières de présenter l'idée principale, mais elles se résument toutes à celle décrite ci-dessus. Cette méthode vous permet d'obtenir tous les triplés pythagoriciens.

Polyèdres réguliers

Il y a exactement cinq polyèdres réguliers. Un polyèdre régulier (ou polyèdre) est une figure tridimensionnelle avec un nombre fini de faces planes. Les faces convergent sur des lignes appelées arêtes ; les arêtes se rencontrent en des points appelés sommets.

Le point culminant des "Débuts" euclidiens est la preuve qu'il ne peut y avoir que cinq polyèdres réguliers, c'est-à-dire des polyèdres dans lesquels chaque face est un polygone régulier (côtés égaux, angles égaux), toutes les faces sont identiques et tous les sommets sont entourés d'un nombre égal de faces également espacées. Voici cinq polyèdres réguliers :

un tétraèdre à quatre faces triangulaires, quatre sommets et six arêtes ;

un cube, ou hexaèdre, avec 6 faces carrées, 8 sommets et 12 arêtes ;

octaèdre à 8 faces triangulaires, 6 sommets et 12 arêtes ;

dodécaèdre à 12 faces pentagonales, 20 sommets et 30 arêtes ;

un icosaèdre avec 20 faces triangulaires, 12 sommets et 30 arêtes.


// Riz. 37. Cinq polyèdres réguliers

Des polyèdres réguliers peuvent également être trouvés dans la nature. En 1904, Ernst Haeckel publia des dessins d'organismes minuscules appelés radiolaires ; beaucoup d'entre eux ressemblent par leur forme aux très cinq polyèdres réguliers. Peut-être, cependant, a-t-il légèrement corrigé la nature et les dessins ne reflètent pas pleinement la forme d'êtres vivants spécifiques. Les trois premières structures sont également observées dans les cristaux. Vous ne trouverez pas de dodécaèdre et d'icosaèdre dans les cristaux, bien que des dodécaèdres et des icosaèdres irréguliers y soient parfois rencontrés. Les vrais dodécaèdres peuvent apparaître sous la forme de quasi-cristaux, qui sont en tout point similaires aux cristaux, sauf que leurs atomes ne forment pas un réseau périodique.


// Riz. 38. Dessins de Haeckel : radiolaires en forme de polyèdres réguliers


// Riz. 39. Balayage de polyèdres réguliers

Il peut être intéressant de réaliser des modèles de polyèdres réguliers en papier en découpant au préalable un ensemble de faces interconnectées - c'est ce qu'on appelle un dépliage de polyèdre ; l'alésoir est plié le long des bords et les bords correspondants sont collés ensemble. Il est utile d'ajouter un tampon de colle supplémentaire sur l'un des bords de chaque paire, comme indiqué sur la fig. 39. S'il n'y a pas une telle zone, vous pouvez utiliser du ruban adhésif.

Équation du cinquième degré

Il n'y a pas de formule algébrique pour résoudre les équations du 5e degré.

En termes généraux, l'équation du cinquième degré ressemble à ceci :

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Le problème est de trouver une formule pour les solutions d'une telle équation (elle peut avoir jusqu'à cinq solutions). L'expérience du traitement des équations quadratiques et cubiques, ainsi que des équations du quatrième degré, suggère qu'une telle formule devrait également exister pour les équations du cinquième degré, et, en théorie, les racines des cinquième, troisième et deuxième degrés devraient y figurer. Encore une fois, nous pouvons supposer sans risque qu'une telle formule, si elle existe, sera très, très difficile.

Cette hypothèse s'est finalement avérée fausse. En effet, une telle formule n'existe pas ; au moins il n'y a pas de formule des coefficients a, b, c, d, e et f, utilisant l'addition, la soustraction, la multiplication et la division, et l'extraction de racines. Il y a donc quelque chose de très spécial dans le chiffre 5. Les raisons de ce comportement inhabituel des cinq sont très profondes et il a fallu beaucoup de temps pour les comprendre.

Le premier signe du problème était que peu importe à quel point les mathématiciens essayaient de trouver une telle formule, peu importe à quel point ils étaient intelligents, ils échouaient invariablement. Pendant quelque temps, tout le monde a cru que les raisons en résidaient dans l'incroyable complexité de la formule. On croyait que personne ne pouvait simplement comprendre correctement cette algèbre. Cependant, au fil du temps, certains mathématiciens ont commencé à douter de l'existence d'une telle formule et, en 1823, Niels Hendrik Abel a pu prouver le contraire. Une telle formule n'existe pas. Peu de temps après, Evariste Galois a trouvé un moyen de déterminer si une équation d'un degré ou d'un autre - 5e, 6e, 7e, en général, n'importe laquelle - était résoluble en utilisant ce genre de formule.

Le point à retenir de tout cela est simple : le chiffre 5 est spécial. Vous pouvez résoudre des équations algébriques (en utilisant des racines nièmes pour différentes valeurs de n) pour les degrés 1, 2, 3 et 4, mais pas pour le 5e degré. C'est là que se termine le schéma évident.

Il n'est surprenant pour personne que les équations de puissances supérieures à 5 se comportent encore plus mal ; en particulier, la même difficulté leur est associée : il n'y a pas de formules générales pour leur solution. Cela ne signifie pas que les équations n'ont pas de solutions ; cela ne signifie pas non plus qu'il est impossible de trouver des valeurs numériques très précises de ces solutions. Il s'agit des limites des outils d'algèbre traditionnels. Cela rappelle l'impossibilité de couper un angle avec une règle et une boussole. La réponse existe, mais les méthodes listées sont insuffisantes et ne permettent pas de déterminer de quoi il s'agit.

Limitation cristallographique

Les cristaux en deux et trois dimensions n'ont pas de symétrie de rotation à 5 faisceaux.

Les atomes d'un cristal forment un réseau, c'est-à-dire une structure qui se répète périodiquement dans plusieurs directions indépendantes. Par exemple, le motif sur le papier peint est répété sur toute la longueur du rouleau ; de plus, il est généralement répété horizontalement, parfois avec un décalage d'un morceau de papier peint à l'autre. Essentiellement, le papier peint est un cristal bidimensionnel.

Il existe 17 variétés de papier peint plat (voir chapitre 17). Ils diffèrent par les types de symétrie, c'est-à-dire par la manière de déplacer rigidement le dessin pour qu'il repose exactement sur lui-même dans sa position d'origine. Les types de symétrie comprennent, en particulier, diverses variantes de symétrie de rotation, où l'image doit être tournée d'un certain angle autour d'un certain point - le centre de symétrie.

L'ordre de symétrie de rotation est le nombre de fois que le corps peut être tourné pour former un cercle complet afin que tous les détails du dessin reviennent à leur position d'origine. Par exemple, une rotation de 90° est une symétrie de rotation d'ordre 4*. La liste des types possibles de symétrie de rotation dans le réseau cristallin indique à nouveau l'anormalité du nombre 5 : il n'est pas là. Il existe des symétries de rotation d'ordre 2, 3, 4 et 6, mais aucun papier peint n'a de symétrie de rotation d'ordre 5. La symétrie de rotation de l'ordre de plus de 6 dans les cristaux n'existe pas non plus, mais la première violation de la séquence se produit néanmoins au nombre 5.

La même chose se produit avec les systèmes cristallographiques dans l'espace tridimensionnel. Ici, la grille se répète dans trois directions indépendantes. Il existe 219 types de symétrie différents, ou 230, si l'on considère l'image miroir d'un dessin comme une version distincte de celui-ci - malgré le fait que dans ce cas il n'y a pas de symétrie miroir. Encore une fois, des symétries de rotation d'ordre 2, 3, 4 et 6 sont observées, mais pas 5. Ce fait est appelé contrainte cristallographique.

Dans l'espace à quatre dimensions, il existe des réseaux avec une symétrie d'ordre 5 ; en général, pour des réseaux de dimension suffisamment élevée, tout ordre prédéterminé de symétrie de rotation est possible.


// Riz. 40. Treillis cristallin de sel de table. Les boules sombres représentent les atomes de sodium, les claires - les atomes de chlore

Quasicristaux

Bien que la symétrie de rotation du 5ème ordre dans les réseaux 2D et 3D ne soit pas possible, elle peut exister dans des structures légèrement moins régulières appelées quasicristaux. En utilisant les croquis de Kepler, Roger Penrose a découvert des systèmes planaires avec un type plus général de symétrie quintuple. On les appelle des quasi-cristaux.

Les quasi-cristaux existent dans la nature. En 1984, Daniel Shechtman a découvert qu'un alliage d'aluminium et de manganèse peut former des quasi-cristaux ; Au départ, les cristallographes ont accueilli son message avec un certain scepticisme, mais plus tard, la découverte a été confirmée et, en 2011, Shechtman a reçu le prix Nobel de chimie. En 2009, une équipe de scientifiques dirigée par Luka Bindi a découvert des quasi-cristaux dans un minéral des hautes terres russes de Koryak - une combinaison d'aluminium, de cuivre et de fer. Aujourd'hui, ce minéral est appelé icosaédrite. Après avoir mesuré la teneur en divers isotopes de l'oxygène dans le minéral avec un spectromètre de masse, les scientifiques ont montré que ce minéral ne provenait pas de la Terre. Il s'est formé il y a environ 4,5 milliards d'années, à une époque où le système solaire n'en était qu'à ses balbutiements, et a passé la plupart du temps dans la ceinture d'astéroïdes, en orbite autour du soleil, jusqu'à ce qu'une perturbation change son orbite et le conduise finalement à la Terre.


// Riz. 41. À gauche : l'un des deux réseaux quasicristallins avec une symétrie exactement quintuple. A droite : modèle atomique d'un quasicristal icosaédrique d'aluminium-palladium-manganèse

Éducatif: étudier un certain nombre de triplés pythagoriciens, développer un algorithme pour leur application dans diverses situations, rédiger une note sur leur utilisation.
  • Éducatif: la formation d'une attitude consciente envers l'apprentissage, le développement de l'activité cognitive, la culture du travail éducatif.
  • Développement: développement de l'intuition géométrique, algébrique et numérique, intelligence, observation, mémoire.

    • Pendant les cours

    I. Moment d'organisation

    II. Explication du nouveau matériel

    Enseignant : L'énigme du pouvoir d'attraction des triplés pythagoriciens a longtemps inquiété l'humanité. Les propriétés uniques des triplés pythagoriciens expliquent leur rôle particulier dans la nature, la musique, les mathématiques. Le sortilège de Pythagore, le théorème de Pythagore, reste dans le cerveau de millions, voire de milliards de personnes. C'est un théorème fondamental que chaque étudiant est obligé de mémoriser. Alors que le théorème de Pythagore est compréhensible pour les enfants de dix ans, c'est un début inspirant pour un problème qui a fiasco les plus grands esprits de l'histoire des mathématiques, le théorème de Fermat. Pythagore de l'île de Samos (voir. Annexe 1 , diapositive 4) était l'une des figures les plus influentes et pourtant les plus énigmatiques des mathématiques. Puisqu'aucun rapport fiable n'a survécu sur sa vie et son travail, sa vie est devenue entourée de mythes et de légendes, et les historiens ont du mal à séparer les faits de la fiction. Nul doute cependant que Pythagore a développé l'idée de la logique des nombres et que c'est à lui que l'on doit le premier âge d'or des mathématiques. Grâce à son génie, les nombres ne sont plus utilisés uniquement pour compter et calculer et sont appréciés pour la première fois. Pythagore a étudié les propriétés de certaines classes de nombres, la relation entre elles et les chiffres qui forment les nombres. Pythagore a compris que les nombres existent indépendamment du monde matériel, et donc l'étude des nombres n'est pas affectée par l'imprécision de nos sens. Cela signifiait que Pythagore avait acquis la capacité de découvrir des vérités indépendamment de l'opinion ou des préjugés de quiconque. Les vérités sont plus absolues que toute connaissance antérieure. Sur la base de la littérature étudiée concernant les triplets pythagoriciens, nous nous intéresserons à la possibilité d'utiliser des triplets pythagoriciens pour résoudre des problèmes de trigonométrie. Par conséquent, nous nous fixerons l'objectif : étudier un certain nombre de triplés pythagoriciens, développer un algorithme pour leur application, rédiger un mémo sur leur utilisation, mener des recherches sur leur application dans diverses situations.

    Triangle ( diapositive 14), dont les côtés sont égaux aux nombres de Pythagore, est rectangulaire. De plus, un tel triangle est Héronique, c'est-à-dire tel que tous les côtés et l'aire sont des nombres entiers. Le plus simple d'entre eux est le triangle égyptien à côtés (3, 4, 5).

    Composons une série de triplets pythagoriciens en multipliant les nombres (3, 4, 5) par 2, 3, par 4. Nous obtenons un nombre de triplets pythagoriciens, trions-les par ordre croissant du nombre maximum, sélectionnons les primitifs.

    (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

    III. Pendant les cours

    1. Faisons le tour des tâches :

    1) En utilisant les relations entre les fonctions trigonométriques du même argument, trouvez si

    Il est connu que .

    2) Trouver la valeur des fonctions trigonométriques de l'angle ?, si l'on sait que :

    3) Le système de tâches de formation sur le thème "Formules d'addition"

    sachant que sin = 8/17, cos = 4/5, et sont les angles du premier quart, trouvez la valeur de l'expression :

    sachant que et sont les angles du deuxième quart, sin = 4/5, cos = - 15/17, trouvez :.

    4) Le système de tâches de formation sur le thème "Formules à double angle"

    a) Soit sin = 5/13, l'angle du deuxième quart. Trouvez sin2, cos2, tg2, ctg2.

    b) On sait que tg? = 3/4, est l'angle du troisième quart. Trouvez sin2, cos2, tg2, ctg2.

    c) On sait que 0< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

    d) On sait que , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

    e) Trouvez tg (+) si l'on sait que cos = 3/5, cos = 7/25, où et sont les angles du premier quart.

    f) Trouver , Est l'angle du troisième quart.

    Nous résolvons le problème de manière traditionnelle en utilisant les identités trigonométriques de base, puis nous résolvons les mêmes problèmes de manière plus rationnelle. Pour cela, nous utilisons un algorithme de résolution de problèmes utilisant des triplets de Pythagore. Nous rédigeons un mémo pour résoudre des problèmes en utilisant des triplets de Pythagore. Pour ce faire, rappelez la définition de sinus, cosinus, tangente et cotangente, un angle aigu d'un triangle rectangle, décrivez-le, en fonction des conditions du problème sur les côtés d'un triangle rectangle, arrangez correctement le pythagoricien triplé ( riz. 1). Nous écrivons le rapport et plaçons des signes. L'algorithme a été élaboré.

    Image 1

    Algorithme pour résoudre des problèmes

    Réviser (étudier) le matériel théorique.

    Connaître par cœur les triplés pythagoriciens primitifs et, si nécessaire, pouvoir en construire de nouveaux.

    Appliquer le théorème de Pythagore pour les points avec des coordonnées rationnelles.

    Connaître la définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle, être capable de tracer un triangle rectangle et, selon l'état du problème, disposer correctement les triplets de Pythagore sur les côtés du triangle.

    Connaître les signes du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente, en fonction de leur emplacement dans le plan de coordonnées.

    Exigences nécessaires :

    1. savoir quels signes sinus, cosinus, tangente, cotangente ont dans chacun des quarts du plan de coordonnées ;
    2. connaître la définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle ;
    3. connaître et être capable d'appliquer le théorème de Pythagore ;
    4. connaître les identités trigonométriques de base, les formules d'addition, les formules à double angle, les formules à demi-arguments ;
    5. connaître les formules de casting.

    En tenant compte de ce qui précède, remplissez le tableau ( Tableau 1). Il doit être rempli en suivant la définition de sinus, cosinus, tangente et cotangente, ou en utilisant le théorème de Pythagore pour les points à coordonnées rationnelles. Dans ce cas, il faut toujours se souvenir des signes du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente, en fonction de leur emplacement dans le plan de coordonnées.

    Tableau 1

    Triples de nombres péché car tg ctg
    (3, 4, 5) Partie I
    (6, 8, 10) II partie - -
    (5, 12, 13) IIIe partie - -
    (8, 15, 17) IV p. - - -
    (9, 40, 41) Partie I

    Pour un travail réussi, vous pouvez utiliser le mémo sur l'utilisation des triplés pythagoriciens.

    Tableau 2

    (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

    2. Nous résolvons ensemble.

    1) Problème : trouver cos, tg et ctg si sin = 5/13 si est l'angle du deuxième quart.

    Ver Vitaly

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    Concours de projets scientifiques pour les écoliers

    Dans le cadre de la conférence régionale scientifique et pratique "Eureka"

    Petite Académie des Sciences pour les étudiants du Kouban

    Étude des nombres de Pythagore

    Section mathématiques.

    Ver Vitaly Gennadievich, 9e année

    MOBU SOSH 14

    quartier Korenovsky

    De l'art. Zhuravskaya

    Superviseur:

    Manko Galina Vassilievna

    Professeur de mathématiques

    MOBU SOSH 14

    Korenovsk 2011

    Wormyak Vitaly Gennadievitch

    nombres de Pythagore

    Annotation.

    Sujet de recherche:nombres de Pythagore

    Objectifs de recherche:

    Objectifs de recherche:

    • Identification et développement des capacités mathématiques;
    • Expansion de la représentation mathématique sur un sujet donné;
    • Formation d'un intérêt durable pour le sujet ;
    • Développement des compétences pédagogiques communicatives et générales du travail indépendant, capacité à mener une discussion, raisonner, etc.;
    • Formation et développement de la pensée analytique et logique ;

    Méthodes de recherche:

    • Utilisation des ressources Internet ;
    • Se référant à la littérature de référence ;
    • Réaliser une expérience ;

    Sortir:

    • Ce travail peut être utilisé dans un cours de géométrie comme matériel supplémentaire, pour la conduite de cours au choix ou au choix en mathématiques, ainsi que dans des travaux parascolaires en mathématiques;

    Wormyak Vitaly Gennadievitch

    Territoire de Krasnodar, village Zhuravskaya, École secondaire MOBU n° 14, 9e année

    nombres de Pythagore

    Conseiller scientifique : Manko Galina Vasilievna, professeur de mathématiques au lycée MOBU №14

    1. Présentation ………………………………………………………………… 3
    2. Partie principale

    2.1 Page historique ………………………………………………… 4

    2.2 Preuve des jambes paires et impaires ... ... ... ................................ 5-6

    2.3 Dérivation d'un motif pour trouver

    Nombres de Pythagore ………………………………………………………… 7

    2.4 Propriétés des nombres de Pythagore ……………………………………………… 8

    3. Conclusion ……………………………………………………………………… 9

    4.Liste des sources et de la littérature utilisées …………………… 10

    Applications ................................................. .................................................................. ......Onze

    Annexe I ……………………………………………………………………… 11

    Annexe II ……………………………………………………………… ..13

    Wormyak Vitaly Gennadievitch

    Territoire de Krasnodar, village Zhuravskaya, École secondaire MOBU n° 14, 9e année

    nombres de Pythagore

    Conseiller scientifique : Manko Galina Vasilievna, professeur de mathématiques au lycée MOBU №14

    introduction

    J'ai entendu parler de Pythagore et de sa vie en cinquième année lors d'un cours de mathématiques, et j'étais intéressé par l'affirmation "Les pantalons de Pythagore sont égaux dans toutes les directions". En étudiant le théorème de Pythagore, je me suis intéressé aux nombres de Pythagore.but de l'étude: En savoir plus sur le théorème de Pythagore et les "nombres de Pythagore".

    Pertinence du sujet... La valeur du théorème de Pythagore et des triplets de Pythagore a été prouvée par de nombreux scientifiques du monde pendant de nombreux siècles. Le problème qui sera abordé dans mon travail a l'air assez simple car il repose sur un énoncé mathématique que tout le monde connaît - le théorème de Pythagore : dans tout triangle rectangle, un carré construit sur une hypoténuse est égal à la somme des carrés construits sur jambes. Maintenant des triplets d'entiers naturels x, y, z, pour lesquels x 2 + y 2 = z 2 , il est d'usage d'appelerTriplés pythagoriciens... Il s'avère que les triplés pythagoriciens étaient déjà connus à Babylone. Peu à peu, les mathématiciens grecs les ont également trouvés.

    Le but de ce travail

    1. Explorez les nombres de Pythagore ;
    2. Comprendre comment sont obtenus les nombres de Pythagore ;
    3. Découvrez les propriétés des nombres de Pythagore ;
    4. Expérimentalement, construisez des lignes droites perpendiculaires au sol en utilisant des nombres de Pythagore ;

    Conformément à l'objet du travail, un certain nombre des éléments suivants Tâches:

    1. Étudier plus en profondeur l'histoire du théorème de Pythagore ;

    2. Analyse des propriétés universelles des triplés pythagoriciens.

    3. Analyse de l'application pratique des triplés pythagoriciens.

    Objet d'étude: Triplés pythagoriciens.

    Sujet d'étude: mathématiques .

    Méthodes de recherche: - Utilisation des ressources Internet ; -Référence à la littérature de référence; -Réaliser une expérimentation ;

    Signification théorique :le rôle joué par la découverte des triplés pythagoriciens dans la science ; application pratique de la découverte de Pythagore dans la vie humaine.

    Valeur appliquéela recherche consiste en l'analyse des sources littéraires et la systématisation des faits.

    Wormyak Vitaly Gennadievitch

    Territoire de Krasnodar, village Zhuravskaya, École secondaire MOBU n° 14, 9e année

    nombres de Pythagore

    Conseiller scientifique : Manko Galina Vasilievna, professeur de mathématiques au lycée MOBU №14

    De l'histoire des nombres de Pythagore.

    • La Chine ancienne:

    Le livre de maths de Chu-pei :[ 2]

    "Si un angle droit est décomposé en ses parties constitutives, alors la ligne reliant les extrémités de ses côtés sera 5 lorsque la base est 3 et la hauteur est 4".

    • Égypte ancienne : [2]

    Chantre (le plus grand historien allemand des mathématiques) estime que l'égalité 3² + 4² = 5² était déjà connue des Égyptiens vers 2300 av. e., à l'époque du roi Amenemkhet (d'après le papyrus 6619 du Musée de Berlin). Selon Kantor harpédonaptes, ou "tendeurs de corde", construits à angle droit à l'aide de triangles rectangles de côtés 3 ; 4 et 5.

    • Babylonie : [3]

    « Le mérite des premiers mathématiciens grecs, tels que Thalès, Pythagore et les Pythagoriciens, n'est pas la découverte des mathématiques, mais leur systématisation et leur justification. Entre leurs mains, des recettes informatiques basées sur des notions vagues sont devenues une science exacte. »

    • Histoire du théorème de Pythagore :,

    Bien que ce théorème soit associé au nom de Pythagore, il était connu bien avant lui.

    Dans les textes babyloniens, on le trouve 1200 ans avant Pythagore.

    Apparemment, il a été le premier à en trouver la preuve. À cet égard, l'inscription suivante a été faite : "... lorsqu'il a découvert que dans un triangle rectangle l'hypoténuse a une correspondance avec les jambes, il a sacrifié un taureau fait de pâte de blé."

    Wormyak Vitaly Gennadievitch

    Territoire de Krasnodar, village Zhuravskaya, École secondaire MOBU n° 14, 9e année

    nombres de Pythagore

    Conseiller scientifique : Manko Galina Vasilievna, professeur de mathématiques au lycée MOBU №14

    Etude des nombres de Pythagore.

    • Chaque triangle, les côtés sont liés comme 3: 4: 5, selon le théorème de Pythagore bien connu, - rectangulaire, puisque

    3 2 + 4 2 = 5 2.

    • En plus des nombres 3, 4 et 5, il existe, comme on le sait, un ensemble infini d'entiers positifs a, b et c satisfaisant la relation
    • A 2 + b 2 = c 2.
    • Ces numéros s'appellentnombres de Pythagore

    Les triplés pythagoriciens sont connus depuis très longtemps. Dans l'architecture des anciennes pierres tombales sopotamiennes, il existe un triangle isocèle composé de deux rectangles de côtés 9, 12 et 15 coudées. Les pyramides du pharaon Snephru (XXVIIe siècle av. J.-C.) ont été construites à l'aide de triangles de côtés 20, 21 et 29, ainsi que de 18, 24 et 30 douzaines de coudées égyptiennes.[ 1 ]

    Un triangle rectangle avec les jambes 3, 4 et une hypoténuse 5 est appelé le triangle égyptien. L'aire de ce triangle est égale à un nombre parfait 6. Le périmètre est égal à 12 - un nombre qui était considéré comme un symbole de bonheur et de prospérité.

    À l'aide d'une corde divisée par des nœuds en 12 parties égales, les anciens Égyptiens construisaient un triangle rectangle et un angle droit. Une méthode pratique et très précise utilisée par les arpenteurs-géomètres pour tracer des lignes perpendiculaires au sol. Il faut prendre une corde et trois piquets, la corde est placée en triangle de sorte qu'un côté soit constitué de 3 parties, le second de 4 parts et le dernier de cinq de ces parts. Le cordon sera situé dans un triangle à angle droit.

    Cette méthode ancienne, apparemment utilisée il y a des milliers d'années par les constructeurs des pyramides égyptiennes, est basée sur le fait que chaque triangle, dont les côtés sont liés par 3: 4: 5, selon le théorème de Pythagore, est rectangulaire.

    Euclide, Pythagore, Diophante et bien d'autres étaient engagés dans la recherche des triplés pythagoriciens.[ 1]

    Il est clair que si (x, y, z ) Est un triplet pythagoricien, alors pour tout naturel k triple (kx, ky, kz) sera également un triplet pythagoricien. En particulier, (6, 8, 10), (9, 12, 15), etc. sont des triplés pythagoriciens.

    À mesure que leur nombre augmente, les triplés pythagoriciens sont moins communs et plus difficiles à trouver. Les Pythagoriciens ont inventé une méthode pour trouver

    de tels triplets et, en les utilisant, a prouvé qu'il existe une infinité de triplés pythagoriciens.

    Les triplets qui n'ont pas de diviseur commun supérieur à 1 sont appelés les plus simples.

    Considérons quelques propriétés des triplets pythagoriciens.[ 1]

    Selon le théorème de Pythagore, ces nombres peuvent servir de longueurs d'un triangle rectangle ; donc a et b sont appelés "jambes", et c - "hypoténuse".
    Il est clair que si a, b, c sont un triplet de nombres de Pythagore, alors pa, pb, pc, où p est un facteur entier, sont des nombres de Pythagore.
    L'inverse est également vrai !
    Par conséquent, nous n'étudierons d'abord que les triplets de nombres de Pythagore premiers entre eux (le reste est obtenu à partir d'eux en multipliant par un facteur entier p).

    Montrons que dans chacun de ces triplets a, b, c, l'une des "jambes" doit être paire et l'autre impaire. Nous argumenterons « par contradiction ». Si les deux "jambes" a et b sont paires, alors le nombre a sera pair 2 + en 2 , et donc l'"hypoténuse". Mais cela contredit le fait que les nombres a, b et c n'ont pas de facteurs communs, puisque trois nombres pairs ont un facteur commun de 2. Ainsi, au moins une des « pattes » a et b est impaire.

    Il reste encore une possibilité : les deux "jambes" sont impaires et l'"hypoténuse" est paire. Il n'est pas difficile de prouver que cela ne peut pas être, car si les "jambes" sont de la forme 2x + 1 et 2y + 1, alors la somme de leurs carrés est égale à

    4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y +1 = 4 (x 2 + x + y 2 + y) +2, c'est-à-dire est un nombre qui, divisé par 4, donne un reste de 2. Pendant ce temps, le carré de tout nombre pair doit être divisible par 4 sans reste.

    Cela signifie que la somme des carrés de deux nombres impairs ne peut pas être le carré d'un nombre pair ; en d'autres termes, nos trois nombres ne sont pas pythagoriciens.

    SORTIR:

    Ainsi, des "jambes" a, en une paire et une autre impaire. Par conséquent, le nombre a 2 + en 2 est impair, ce qui signifie que "l'hypoténuse" est également impaire.

    Pythagore a trouvé des formules qui dans le symbolisme moderne peuvent être écrites comme suit : a = 2n + 1, b = 2n (n + 1), c = 2 n 2 + 2n + 1, où n est un nombre entier.

    Ces nombres sont des triplés pythagoriciens.

    Wormyak Vitaly Gennadievitch

    Territoire de Krasnodar, village Zhuravskaya, École secondaire MOBU n° 14, 9e année

    nombres de Pythagore

    Conseiller scientifique : Manko Galina Vasilievna, professeur de mathématiques au lycée MOBU №14

    Dérivation de modèles pour trouver les nombres de Pythagore.

    Voici les triplés pythagoriciens suivants :

    • 3, 4, 5; 9+16=25.
    • 5, 12, 13; 25+144=225.
    • 7, 24, 25; 49+576=625.
    • 8, 15, 17; 64+225=289.
    • 9, 40, 41; 81+1600=1681.
    • 12, 35, 37; 144+1225=1369.
    • 20, 21, 29; 400+441=881

    Il est facile de voir qu'en multipliant chacun des nombres du triplet de Pythagore par 2, 3, 4, 5, etc., on obtient les triplets suivants.

    • 6, 8, 10;
    • 9,12,15.
    • 12, 16, 20;
    • 15, 20, 25;
    • 10, 24, 26;
    • 18, 24, 30;
    • 16, 30, 34;
    • 21, 28, 35;
    • 15, 36, 39;
    • 24, 32, 40;
    • 14, 48, 50;
    • 30, 40, 50, etc...

    Ce sont aussi des nombres de Pythagore /

    Wormyak Vitaly Gennadievitch

    Territoire de Krasnodar, village Zhuravskaya, École secondaire MOBU n° 14, 9e année

    nombres de Pythagore

    Conseiller scientifique : Manko Galina Vasilievna, professeur de mathématiques au lycée MOBU №14

    Propriétés des nombres de Pythagore.

    • En regardant les nombres de Pythagore, j'ai vu un certain nombre de propriétés :
    • 1) L'un des nombres de Pythagore doit être un multiple de trois ;
    • 2) L'autre d'entre eux doit être un multiple de quatre ;
    • 3) Et le tiers des nombres de Pythagore doit être un multiple de cinq ;

    Wormyak Vitaly Gennadievitch

    Territoire de Krasnodar, village Zhuravskaya, École secondaire MOBU n° 14, 9e année

    nombres de Pythagore

    Conseiller scientifique : Manko Galina Vasilievna, professeur de mathématiques au lycée MOBU №14

    Conclusion.

    La géométrie, comme les autres sciences, est née des besoins de la pratique. Le mot « géométrie » lui-même est grec, traduit signifie « arpentage ».

    Très tôt, les gens ont été confrontés à la nécessité de mesurer les terres. Déjà 3-4 mille ans avant JC. chaque morceau de terre fertile dans les vallées du Nil, de l'Euphrate et du Tigre, les fleuves de Chine était important pour la vie des gens. Cela nécessitait un certain nombre de connaissances géométriques et arithmétiques.

    Peu à peu, les gens ont commencé à mesurer et à étudier les propriétés de formes géométriques plus complexes.

    Tant en Égypte qu'à Babylone, des temples colossaux ont été construits, dont la construction ne pouvait être réalisée que sur la base de calculs préliminaires. Des conduites d'eau ont également été construites. Tout cela nécessitait des dessins et des calculs. A cette époque, les cas particuliers du théorème de Pythagore étaient bien connus, ils savaient déjà que si nous prenons des triangles de côtés x, y, z, où x, y, z sont des entiers tels que x 2 + y 2 = z 2 , alors ces triangles seront rectangulaires.

    Toutes ces connaissances ont été directement appliquées dans de nombreux domaines de la vie humaine.

    Ainsi, jusqu'à présent, la grande découverte du scientifique et philosophe de l'Antiquité Pythagore trouve une application directe dans notre vie.

    Construction de maisons, routes, vaisseaux spatiaux, voitures, machines-outils, oléoducs, avions, tunnels, métros et bien plus encore. Les triplés pythagoriciens trouvent une application directe dans la conception de nombreuses choses qui nous entourent dans la vie quotidienne.

    Et l'esprit des scientifiques continue de chercher de nouvelles versions des preuves du théorème de Pythagore.

    • V Grâce à mon travail, j'ai réussi à :
    • 1. Apprenez-en plus sur Pythagore, sa vie, la confrérie des Pythagoriciens.
    • 2. Familiarisez-vous avec l'histoire du théorème de Pythagore.
    • 3. Renseignez-vous sur les nombres de Pythagore, leurs propriétés, apprenez à les trouver et à les appliquer en pratique.

    Wormyak Vitaly Gennadievitch

    Territoire de Krasnodar, village Zhuravskaya, École secondaire MOBU n° 14, 9e année

    nombres de Pythagore

    Conseiller scientifique : Manko Galina Vasilievna, professeur de mathématiques au lycée MOBU №14

    Littérature.

    1. Algèbre intéressante. MOI ET. Perelman (p. 117-120)
    2. www.garshin.ru
    3. image.yandex.ru

    4. Anosov D.V. Un regard sur les mathématiques et quelque chose qui en découle. - M. : MTsNMO, 2003.

    5. Encyclopédie pour enfants. - M. : Maison d'édition de l'Académie des sciences pédagogiques de la RSFSR, 1959.

    6. Stepanova L.L. Chapitres choisis de la théorie des nombres élémentaires. - M. : Prométhée, 2001.

    7. Triangles de Pythagore V. Serpinsky. - M. : Uchpedgiz, 1959.S. 111

    Progrès de la recherche Page historique; Théorème de Pythagore; Démontrer que l'une des « jambes » doit être paire et l'autre impaire ; Dérivation de modèles pour trouver des nombres de Pythagore ; Révéler les propriétés des nombres de Pythagore ;

    Introduction J'ai entendu parler de Pythagore et de sa vie en cinquième année dans une leçon de mathématiques, et j'étais intéressé par l'affirmation "Les pantalons de Pythagore sont égaux dans toutes les directions". En étudiant le théorème de Pythagore, je me suis intéressé aux nombres de Pythagore. Je me suis fixé un objectif de recherche : en savoir plus sur le théorème de Pythagore et les "nombres de Pythagore".

    La vérité sera éternelle, combien de temps une personne faible la connaîtra-t-elle ! Et maintenant le théorème de Pythagore Verne, comme dans son siècle lointain

    De l'histoire des nombres de Pythagore. Livre de mathématiques de la Chine ancienne Chu-pei : « Si un angle droit est décomposé en ses parties composantes, alors la ligne reliant les extrémités de ses côtés sera 5 lorsque la base est 3 et la hauteur est 4 ».

    Nombres de Pythagore chez les anciens Égyptiens Cantor (le plus grand historien allemand des mathématiques) estime que l'égalité 3² + 4² = 5² était déjà connue des Égyptiens vers 2300 av. e., à l'époque du roi Amenemhat (d'après le papyrus 6619 du musée de Berlin). D'après Cantor, les harpédonaptes, ou "tendeurs de corde", construisaient des angles droits à l'aide de triangles rectangles de côtés 3 ; 4 et 5.

    Le théorème de Pythagore en Babylonie « Le mérite des premiers mathématiciens grecs, tels que Thalès, Pythagore et les Pythagoriciens, n'était pas la découverte des mathématiques, mais leur systématisation et leur justification. Entre leurs mains, des recettes informatiques basées sur des notions vagues sont devenues une science exacte. »

    Chaque triangle, les côtés sont liés comme 3: 4: 5, selon le théorème de Pythagore bien connu, - rectangulaire, puisque 3 2 + 4 2 = 5 2. En plus des nombres 3,4 et 5, comme vous le savez , il existe un ensemble infini d'entiers positifs a , et с, satisfaisant la relation А 2 + в 2 = с 2. Ces nombres sont appelés nombres de Pythagore

    Selon le théorème de Pythagore, ces nombres peuvent servir de longueurs d'un triangle rectangle; donc a et b sont appelés "jambes", et c - "hypoténuse". Il est clair que si a, b, c sont un triplet de nombres de Pythagore, alors pa, pb, pc, où p est un facteur entier, sont des nombres de Pythagore. L'inverse est également vrai ! Par conséquent, nous n'étudierons d'abord que les triplets de nombres de Pythagore premiers entre eux (le reste est obtenu à partir d'eux en multipliant par un facteur entier p)

    Sortir! Ainsi, des nombres a et à l'un est pair et l'autre est impair, ce qui signifie que le troisième nombre est également impair.

    Voici les triplés pythagoriciens suivants : 3, 4, 5 ; 9 + 16 = 25. 5, 12, 13 ; 25 + 144 = 169. 7, 24, 25 ; 49 + 576 = 625. 8, 15, 17 ; 64 + 225 = 289. 9, 40, 41 ; 81 + 1600 = 1681. 12, 35, 37 ; 144 + 1225 = 1369. 20, 21, 29 ; 400 + 441 = 841

    Il est facile de voir qu'en multipliant chacun des nombres du triplet de Pythagore par 2, 3, 4, 5, etc., on obtient les triplets suivants. 6, 8, 10; 9,12,15. 12, 16, 20 ; 15, 20, 25 ; 10, 24, 26 ; 18, 24, 30 ; 16, 30, 34 ; 21, 28, 35 ; 15, 36, 39; 24, 32, 40 ; 14, 48, 50 ; 30, 40, 50, etc... Ce sont aussi des nombres de Pythagore.

    Propriétés des nombres de Pythagore En considérant les nombres de Pythagore, j'ai vu un certain nombre de propriétés : 1) L'un des nombres de Pythagore doit être un multiple de trois ; 2) l'un d'eux doit être un multiple de quatre ; 3) Et l'autre des nombres de Pythagore doit être un multiple de cinq ;

    Application pratique des nombres de Pythagore

    Conclusion : Grâce à mon travail, j'ai réussi 1. En savoir plus sur Pythagore, sa vie, la confrérie des Pythagoriciens. 2. Familiarisez-vous avec l'histoire du théorème de Pythagore. 3. Renseignez-vous sur les nombres de Pythagore, leurs propriétés, apprenez à les trouver. Expérimentalement - reporter expérimentalement un angle droit en utilisant des nombres de Pythagore.

    Triples de nombres de Pythagore

    Travail créatif

    élève 8 "UNE" classer

    MAOU « Gymnase N°1 »

    Quartier Oktyabrsky de Saratov

    Panfilov Vladimir

    Superviseur - un professeur de mathématiques de la catégorie la plus élevée

    Grishina Irina Vladimirovna


    Teneur

    Présentation …………………………………………………………………………………………… 3

    La partie théorique du travail

    Trouver le triangle principal de Pythagore

    (anciennes formules hindoues) ………………………………………………………………… 4

    La partie pratique du travail

    Compilation de triplés pythagoriciens de diverses manières ....................... 6

    Une propriété importante des triangles de Pythagore …………………………………… ... 8

    Conclusion ……………………………………………………………………………………… .... 9

    Littérature………………………………………………………………………………… ... 10

    introduction

    Cette année académique, en cours de mathématiques, nous avons étudié l'un des théorèmes les plus populaires en géométrie - le théorème de Pythagore. Le théorème de Pythagore est appliqué en géométrie à chaque étape ; il a trouvé une large application dans la pratique et la vie quotidienne. Mais, en plus du théorème lui-même, nous avons également étudié le théorème inverse du théorème de Pythagore. Dans le cadre de l'étude de ce théorème, nous nous sommes familiarisés avec les triplets de Pythagore des nombres, c'est-à-dire avec des ensembles de 3 nombres naturelsune , b etc , pour laquelle la relation suivante est valable : = + ... De tels ensembles comprennent, par exemple, les triplés suivants :

    3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

    J'ai tout de suite eu des questions : à combien de triplés pythagoriciens pouvez-vous penser ? Comment les composer ?

    Dans notre manuel de géométrie, après la présentation du théorème inverse au théorème de Pythagore, une remarque importante a été faite : on peut prouver que les jambesune etb et hypoténuseavec les triangles rectangles, dont les longueurs des côtés sont exprimées en nombres naturels, peuvent être trouvés par les formules :

    une = 2kmn b = k ( - ) c = k ( + , (1)

    oùk , m , m - tous les nombres naturels, etm > m .

    Naturellement, la question se pose - comment prouver ces formules ? Et est-ce seulement par ces formules que les triplets pythagoriciens peuvent être compilés ?

    Dans mon travail, j'ai tenté de répondre aux questions que je me posais.

    La partie théorique du travail

    Trouver le principal triangle de Pythagore (formules des anciens hindous)

    Tout d'abord, nous prouvons les formules (1) :

    Notons les longueurs des jambes à traversN.-É. età , et la longueur de l'hypoténuse à traversz ... D'après le théorème de Pythagore, on a l'égalité :+ = .(2)

    Cette équation est appelée équation de Pythagore. L'étude des triangles de Pythagore se réduit à résoudre l'équation (2) en nombres naturels.

    Si chaque côté d'un triangle de Pythagore est augmenté du même nombre de fois, alors nous obtenons un nouveau triangle rectangle, similaire à celui-ci avec des côtés exprimés en nombres naturels, c'est-à-dire encore le triangle de Pythagore.

    Parmi tous ces triangles, il y a le plus petit, il est facile de deviner que ce sera un triangle dont les côtésN.-É. età exprimé par des nombres premiers relatifs

    (GCD (x, y )=1).

    Nous appelons un tel triangle de Pythagorele principal .

    Trouver les principaux triangles de Pythagore.

    Laissez le triangle (X , oui , z ) - le principal triangle de Pythagore. Les nombresN.-É. età - sont mutuellement simples, et donc les deux ne peuvent pas être pairs. Montrons qu'ils ne peuvent pas être à la fois et impairs. Pour ce faire, notez quele carré d'un nombre impair divisé par 8 donne un reste de 1. En effet, tout nombre naturel impair peut être représenté par2 k -1 , oùk fait partiN .

    D'où: = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.

    Les nombres( k -1) etk - consécutifs, l'un d'eux est nécessairement pair. Puis l'expressionk ( k -1) divisé par2 , 4 k ( k -1) est divisible par 8, ce qui signifie que le nombre diviser par 8 donne un reste de 1.

    La somme des carrés de deux nombres impairs donne, lorsqu'elle est divisée par 8, dans le reste de 2, donc, la somme des carrés de deux nombres impairs est un nombre pair, mais pas un multiple de 4, et donc ce nombrene peut pas être le carré d'un nombre naturel.

    Ainsi, l'égalité (2) ne peut pas être vérifiée siX età les deux sont étranges.

    Ainsi, si le triangle de Pythagore (x, y, z ) est le principal, alors parmi les nombresN.-É. età l'un doit être pair et l'autre impair. Soit le nombre y pair. Les nombresN.-É. etz impair (impairz découle de l'égalité (2)).

    De l'équation+ = on obtient ça= ( z + X )( z - X ) (3).

    Les nombresz + X etz - X comme la somme et la différence de deux nombres impairs - les nombres sont pairs, et donc (4) :

    z + X = 2 une , z - X = 2 b , oùune etb appartenirN .

    z + X =2 une , z - X = 2 b ,

    z = a + b , X = une - b. (5)

    Il résulte de ces égalités queune etb - nombres premiers entre eux.

    Prouvons-le en argumentant par contradiction.

    Laissez pgcd (une , b )= ré , oùré >1 .

    Puisré z etX , et donc les nombresz + X etz - X ... Alors, sur la base de l'égalité (3) serait un diviseur du nombre ... Dans ce casré serait un diviseur commun de nombresà etN.-É. mais des chiffresà etN.-É. doivent être mutuellement simples.

    Nombreà est connu pour être pair, doncy = 2c , oùavec - entier naturel. L'égalité (3) fondée sur l'égalité (4) prend la forme suivante : = 2a * 2 b , ou = ab.

    On sait par l'arithmétique quesi le produit de deux nombres premiers entre eux est le carré d'un nombre naturel, alors chacun de ces nombres est aussi le carré d'un nombre naturel.

    Moyens,un = etb = , oùm etm Sont des nombres premiers entre eux, puisque ce sont des diviseurs de nombres premiersune etb .

    Sur la base de l'égalité (5), on a :

    z = + , X = - , = un B = * = ; c = mn

    Puisy = 2 mn .

    Les nombresm etm puisque sont premiers entre eux, ne peuvent pas être même en même temps. Mais ils ne peuvent pas être étranges en même temps, car dans ce casx = - serait pair, ce qui est impossible. Donc l'un des nombresm oum est pair et l'autre est impair. Évidemment,y = 2 mn est divisible par 4. Par conséquent, dans chaque triangle pythagoricien de base, au moins une des jambes est divisible par 4. Il s'ensuit qu'il n'y a pas de triangles pythagoriciens dont tous les côtés seraient des nombres premiers.

    Les résultats obtenus peuvent être exprimés par le théorème suivant :

    Tous les triangles de base dans lesquelsà est un nombre pair, obtenu à partir de la formule

    x = - , oui =2 mn , z = + ( m > m ), oùm etm - toutes les paires de nombres premiers entre eux, dont l'un est pair et l'autre impair (peu importe lequel). Chaque triplet pythagoricien de base (x, y, z ), oùà - même, - est déterminé de manière unique de cette manière.

    Les nombresm etm ne peut pas être à la fois pair ou impair, car dans ces cas

    x = serait pair, ce qui est impossible. Donc l'un des nombresm oum est pair et l'autre est impair (oui = 2 mn est un multiple de 4).

    La partie pratique du travail

    Composer des triplés pythagoriciens de diverses manières

    Dans les formules des Indiensm etm - premiers entre eux, mais ils peuvent être des nombres de parité arbitraire et il est assez difficile d'en composer des triplets pythagoriciens. Par conséquent, nous allons essayer de trouver une approche différente pour compiler les triplets de Pythagore.

    = - = ( z - oui )( z + oui ), oùN.-É. - impair,oui - même,z - impair

    v = z - oui , vous = z + oui

    = uv , oùvous - impair,v - impair (principal)

    Parce que le produit de deux nombres premiers impairs est le carré d'un nombre naturel, alorsvous = , v = , oùk etje - premiers entre eux, nombres impairs.

    z - oui = z + oui = k 2 , d'où, en additionnant les égalités et en soustrayant l'autre de l'une, on obtient :

    2 z = + 2 oui = - C'est

    z = y = x = kl

    k

    je

    X

    oui

    z

    37

    9

    1

    9

    40

    41 (széros)*(100…0 (széros) +1)+1 =200…0 (s-1zéros) 200…0 (s-1zéros) 1

    Une propriété importante des triangles de Pythagore

    Théorème

    Dans le triangle principal de Pythagore, l'une des jambes est nécessairement divisible par 4, l'une des jambes est nécessairement divisible par 3, et l'aire du triangle de Pythagore est nécessairement un multiple de 6.

    Preuve

    Comme nous le savons, dans tout triangle pythagoricien au moins une des jambes est divisible par 4.

    Montrons que l'une des jambes est également divisible par 3.

    Pour la preuve, supposons que dans le triangle de Pythagore (X , oui , z X ououi multiple de 3.

    Nous allons maintenant prouver que l'aire d'un triangle de Pythagore est divisible par 6.

    Chaque triangle de Pythagore a une aire exprimée par un nombre naturel divisible par 6. Cela découle du fait qu'au moins une des jambes est divisible par 3 et qu'au moins une des jambes est divisible par 4. L'aire du triangle , déterminé par le demi-produit des jambes, doit être exprimé comme un multiple de 6 ...

    Conclusion

    Au travail

    - formules éprouvées des anciens hindous

    -Une étude a été réalisée sur le nombre de triplés pythagoriciens (ils sont infiniment nombreux)

    - les méthodes pour trouver les triplets de Pythagore sont indiquées

    -étudié certaines propriétés des triangles de Pythagore

    C'était un sujet très intéressant pour moi et trouver des réponses à mes questions est devenu un exercice très intéressant. À l'avenir, je prévois d'examiner la connexion des triplets de Pythagore avec la séquence de Fibonacci et le théorème de Fermat et d'apprendre beaucoup plus de propriétés des triangles de Pythagore.

    Littérature

      L.S. Atanasyan "Géométrie. 7-9 grades" M.: Education, 2012.

      V. Serpinsky « Triangles de Pythagore » M. : Uchpedgiz, 1959.

    Saratov

    2014