Lineaire afhankelijkheid en vectoronafhankelijkheid

Definities van lineair afhankelijke en onafhankelijke vectorsystemen

Definitie 22

Laten we een systeem van n-vectoren en een reeks getallen hebben
, Dan

(11)

wordt een lineaire combinatie genoemd van een bepaald systeem van vectoren met een gegeven reeks coëfficiënten.

Definitie 23

Vectorsysteem
wordt lineair afhankelijk genoemd als er een dergelijke reeks coëfficiënten bestaat
, waarvan er minstens één niet gelijk is aan nul, dat de lineaire combinatie van een gegeven systeem van vectoren met deze reeks coëfficiënten gelijk is aan de nulvector:

Laten
, Dan

Definitie 24 ( door de weergave van één vector van het systeem als een lineaire combinatie van de andere)

Vectorsysteem
wordt lineair afhankelijk genoemd als ten minste één van de vectoren van dit systeem kan worden weergegeven als een lineaire combinatie van de overige vectoren van dit systeem.

Verklaring 3

Definities 23 en 24 zijn gelijkwaardig.

Definitie 25(via nul lineaire combinatie)

Vectorsysteem
wordt lineair onafhankelijk genoemd als een nullineaire combinatie van dit systeem alleen voor iedereen mogelijk is
gelijk aan nul.

Definitie 26(vanwege de onmogelijkheid om één vector van het systeem weer te geven als een lineaire combinatie van de andere)

Vectorsysteem
wordt lineair onafhankelijk genoemd als niet één van de vectoren van dit systeem niet kan worden weergegeven als een lineaire combinatie van andere vectoren van dit systeem.

Eigenschappen van lineair afhankelijke en onafhankelijke vectorsystemen

Stelling 2 (nulvector in het vectorsysteem)

Als een systeem van vectoren een nulvector heeft, dan is het systeem lineair afhankelijk.

 Laat
, Dan .

We krijgen
Daarom per definitie van een lineair afhankelijk systeem van vectoren via een lineaire nulcombinatie (12) het systeem is lineair afhankelijk. 

Stelling 3 (afhankelijk subsysteem in een vectorsysteem)

Als een systeem van vectoren een lineair afhankelijk subsysteem heeft, dan is het hele systeem lineair afhankelijk.

 Laat
- lineair afhankelijk subsysteem
, waarvan er minstens één niet gelijk is aan nul:

Dit betekent dat het systeem per definitie 23 lineair afhankelijk is. 

Stelling 4

Elk subsysteem van een lineair onafhankelijk systeem is lineair onafhankelijk.

 Van het tegenovergestelde. Stel dat het systeem lineair onafhankelijk is en een lineair afhankelijk subsysteem heeft. Maar dan zal het hele systeem volgens Stelling 3 ook lineair afhankelijk zijn. Tegenspraak. Bijgevolg kan een subsysteem van een lineair onafhankelijk systeem niet lineair afhankelijk zijn. 

Geometrische betekenis van lineaire afhankelijkheid en onafhankelijkheid van een systeem van vectoren

Stelling 5

Twee vectoren En zijn lineair afhankelijk dan en slechts dan als
.

Noodzaak.

En - lineair afhankelijk
dat aan de voorwaarde is voldaan
. Dan
, d.w.z.
.

Geschiktheid.

Lineair afhankelijk. 

Gevolg 5.1

De nulvector is collineair met elke vector

Uitvloeisel 5.2

Om twee vectoren lineair onafhankelijk te laten zijn, is het noodzakelijk en voldoende dat was niet collineair .

Stelling 6

Om een ​​systeem van drie vectoren lineair afhankelijk te laten zijn, is het noodzakelijk en voldoende dat deze vectoren coplanair zijn .

Noodzaak.

- zijn lineair afhankelijk, daarom kan één vector worden weergegeven als een lineaire combinatie van de andere twee.

, (13)

Waar
En
. Volgens de parallellogramregel er is een diagonaal van een parallellogram met zijden
, maar een parallellogram is een plat figuur
coplanair
- zijn ook coplanair.

Geschiktheid.

- coplanair. Laten we drie vectoren toepassen op punt O:

C

B`

– lineair afhankelijk 

Gevolg 6.1

De nulvector is coplanair met elk paar vectoren.

Gevolg 6.2

In volgorde voor vectoren
lineair onafhankelijk zijn, is het noodzakelijk en voldoende dat ze niet coplanair zijn.

Gevolg 6.3

Elke vector van een vlak kan worden weergegeven als een lineaire combinatie van twee niet-collineaire vectoren van hetzelfde vlak.

Stelling 7

Elke vier vectoren in de ruimte zijn lineair afhankelijk .

 Laten we vier gevallen bekijken:

Laten we een vlak door vectoren tekenen, dan een vlak door vectoren en een vlak door vectoren. Vervolgens tekenen we vlakken die door punt D gaan, evenwijdig aan de vectorparen; ; respectievelijk. We bouwen een parallellepipedum langs de snijlijnen van vlakken O.B. 1 D 1 C 1 ABDC.

Laat ons nadenken O.B. 1 D 1 C 1 – parallellogram door constructie volgens de parallellogramregel
.

Beschouw OADD 1 – een parallellogram (van de eigenschap van een parallellepipedum)
, Dan

EMBED-vergelijking.3 .

Volgens Stelling 1
zoals dat . Dan
, en per definitie 24 is het systeem van vectoren lineair afhankelijk. 

Gevolg 7.1

De som van drie niet-coplanaire vectoren in de ruimte is een vector die samenvalt met de diagonaal van een parallellepipedum gebouwd op deze drie vectoren toegepast op een gemeenschappelijke oorsprong, en de oorsprong van de somvector valt samen met de gemeenschappelijke oorsprong van deze drie vectoren.

Gevolg 7.2

Als we drie niet-coplanaire vectoren in de ruimte nemen, kan elke vector van deze ruimte worden ontleed in een lineaire combinatie van deze drie vectoren.

Uitdrukking van de vorm genaamd lineaire combinatie van vectoren A 1 , A 2 ,...,Een n met kansen λ1, λ2,...,λn.

Bepaling van de lineaire afhankelijkheid van een systeem van vectoren

Vectorsysteem A 1 , A 2 ,...,Een n genaamd lineair afhankelijk, als er een reeks getallen is die niet nul zijn λ1, λ2,...,λn, waarin de lineaire combinatie van vectoren λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n gelijk aan de nulvector, dat wil zeggen, het systeem van vergelijkingen: heeft een oplossing die niet nul is.
Aantal cijfers λ1, λ2,...,λn is niet nul als ten minste één van de getallen λ1, λ2,...,λn verschillend van nul.

Bepaling van de lineaire onafhankelijkheid van een systeem van vectoren

Vectorsysteem A 1 , A 2 ,...,Een n genaamd lineair onafhankelijk, als de lineaire combinatie van deze vectoren λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n alleen gelijk aan de nulvector voor een reeks getallen van nul λ1, λ2,...,λn , dat wil zeggen, het systeem van vergelijkingen: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ heeft een unieke nuloplossing.

Voorbeeld 29.1

Controleer of een systeem van vectoren lineair afhankelijk is

Oplossing:

1. We stellen een systeem van vergelijkingen samen:

2. We lossen het op met behulp van de Gauss-methode. De Jordanano-transformaties van het systeem worden gegeven in Tabel 29.1. Bij het berekenen worden de rechterkanten van het systeem niet opgeschreven, omdat ze gelijk zijn aan nul en niet veranderen tijdens Jordan-transformaties.

3. Uit de laatste drie rijen van de tabel schrijf een opgelost systeem op dat gelijkwaardig is aan het originele systeem systeem:

4. We verkrijgen de algemene oplossing van het systeem:

5. Nadat u de waarde van de vrije variabele x 3 =1 naar eigen inzicht heeft ingesteld, we verkrijgen een bepaalde niet-nuloplossing X=(-3,2,1).

Antwoord: Dus voor een reeks getallen die niet nul zijn (-3,2,1), is de lineaire combinatie van vectoren gelijk aan de nulvector -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Vandaar, vectorsysteem lineair afhankelijk.

Eigenschappen van vectorsystemen

Eigendom (1)
Als een systeem van vectoren lineair afhankelijk is, wordt ten minste één van de vectoren uitgebreid in termen van de andere, en omgekeerd, als ten minste één van de vectoren van het systeem wordt uitgebreid in termen van de andere, dan wordt het vectorsysteem uitgebreid. is lineair afhankelijk.

Eigendom (2)
Als een subsysteem van vectoren lineair afhankelijk is, dan is het hele systeem lineair afhankelijk.

Eigendom (3)
Als een systeem van vectoren lineair onafhankelijk is, dan is elk van zijn subsystemen lineair onafhankelijk.

Eigendom (4)
Elk systeem van vectoren dat een nulvector bevat, is lineair afhankelijk.

Eigendom (5)
Een systeem van m-dimensionale vectoren is altijd lineair afhankelijk als het aantal vectoren n groter is dan hun afmeting (n>m)

Basis van het vectorsysteem

De basis van het vectorsysteem A 1 , A 2 ,..., Een dergelijk subsysteem B 1 , B 2 ,...,B r heet(elk van de vectoren B 1,B 2,...,B r is een van de vectoren A 1, A 2,..., An), die aan de volgende voorwaarden voldoet:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r lineair onafhankelijk systeem van vectoren;
2. welke vector dan ook Een j systeem A 1 , A 2 ,..., An wordt lineair uitgedrukt via de vectoren B 1 , B 2 ,..., B r

R— het aantal vectoren dat in de basis is opgenomen.

Stelling 29.1 Op eenheidsbasis van een systeem van vectoren.

Als een systeem van m-dimensionale vectoren m verschillend bevat eenheidsvectoren E 1 E 2 ,..., E m , dan vormen ze de basis van het systeem.

Algoritme voor het vinden van de basis van een systeem van vectoren

Om de basis van het systeem van vectoren A 1 ,A 2 ,...,A n te vinden is het noodzakelijk:

  • Creëer een homogeen systeem van vergelijkingen dat overeenkomt met het systeem van vectoren A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
  • Breng dit systeem

Vectoren, hun eigenschappen en acties ermee

Vectoren, acties met vectoren, lineaire vectorruimte.

Vectoren zijn een geordende verzameling van een eindig aantal reële getallen.

Acties: 1. Een vector vermenigvuldigen met een getal: lambda*vector x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3,4, 0, 7)*3=(9, 12,0,21)

2. Optelling van vectoren (behoren tot dezelfde vectorruimte) vector x + vector y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vector 0=(0,0…0)---n E n – n-dimensionale (lineaire ruimte) vector x + vector 0 = vector x

Stelling. Om een ​​systeem van n vectoren, een n-dimensionale lineaire ruimte, lineair afhankelijk te laten zijn, is het noodzakelijk en voldoende dat een van de vectoren een lineaire combinatie van de andere is.

Stelling. Elke verzameling van n+ eerste vectoren van een n-dimensionale lineaire ruimte van verschijnselen. lineair afhankelijk.

Optelling van vectoren, vermenigvuldiging van vectoren met getallen. Aftrekken van vectoren.

De som van twee vectoren is een vector die van het begin van de vector naar het einde van de vector gericht is, op voorwaarde dat het begin samenvalt met het einde van de vector. Als vectoren worden gegeven door hun uitbreidingen in basiseenheidvectoren, worden bij het toevoegen van vectoren hun overeenkomstige coördinaten opgeteld.

Laten we dit eens bekijken aan de hand van het voorbeeld van een cartesiaans coördinatensysteem. Laten

Laten we dat laten zien

Uit Figuur 3 wordt dat duidelijk

De som van een eindig aantal vectoren kan worden gevonden met behulp van de veelhoekregel (figuur 4): om de som van een eindig aantal vectoren te construeren, volstaat het om het begin van elke volgende vector te combineren met het einde van de vorige. en construeer een vector die het begin van de eerste vector verbindt met het einde van de laatste.

Eigenschappen van de vectoroptelling:

In deze uitdrukkingen zijn m en n getallen.

Het verschil tussen vectoren wordt een vector genoemd. De tweede term is een vector die in richting tegengesteld is aan de vector, maar in lengte gelijk is aan de vector.

De bewerking van het aftrekken van vectoren wordt dus vervangen door een optelbewerking

Een vector waarvan het begin bij de oorsprong ligt en eindigt bij punt A (x1, y1, z1) wordt de straalvector van punt A genoemd en wordt eenvoudigweg aangegeven. Omdat de coördinaten ervan samenvallen met de coördinaten van punt A, heeft de uitbreiding ervan in eenheidsvectoren de vorm

Een vector die begint bij punt A(x1, y1, z1) en eindigt bij punt B(x2, y2, z2) kan worden geschreven als

waarbij r2 de straalvector is van punt B; r 1 - straalvector van punt A.

Daarom heeft de uitbreiding van de vector in eenheidsvectoren de vorm

De lengte is gelijk aan de afstand tussen de punten A en B

VERMENIGVULDIGING

Dus in het geval van een vlakprobleem wordt het product van een vector met a = (ax; ay) met het getal b gevonden met de formule

a b = (bijl b; ay b)

Voorbeeld 1. Zoek het product van de vector a = (1; 2) met 3.

3 een = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Dus in het geval van een ruimtelijk probleem wordt het product van de vector a = (ax; ay; az) met het getal b gevonden met de formule

a b = (bijl b; ay b; az b)

Voorbeeld 1. Zoek het product van de vector a = (1; 2; -5) met 2.

2 een = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Puntproduct van vectoren en waar is de hoek tussen de vectoren en ; als dat ook zo is, dan

Uit de definitie van het scalaire product volgt dit

waarbij bijvoorbeeld de grootte is van de projectie van de vector op de richting van de vector.

Scalaire kwadraatvector:

Eigenschappen van het puntproduct:

Puntproduct in coördinaten

Als Dat

Hoek tussen vectoren

Hoek tussen vectoren - de hoek tussen de richtingen van deze vectoren (kleinste hoek).

Kruisproduct (Kruisproduct van twee vectoren.) - dit is een pseudovector loodrecht op een vlak opgebouwd uit twee factoren, wat het resultaat is van de binaire operatie “vectorvermenigvuldiging” over vectoren in de driedimensionale Euclidische ruimte. Het product is noch commutatief noch associatief (het is anticommutatief) en verschilt van het puntproduct van vectoren. Bij veel technische en natuurkundige problemen moet je een vector loodrecht op twee bestaande kunnen construeren - het vectorproduct biedt deze mogelijkheid. Het kruisproduct is nuttig voor het "meten" van de loodrechtheid van vectoren - lengte vectorproduct twee vectoren is gelijk aan het product van hun lengte als ze loodrecht staan, en neemt af tot nul als de vectoren evenwijdig of antiparallel zijn.

Het kruisproduct wordt alleen gedefinieerd in driedimensionale en zevendimensionale ruimtes. Het resultaat van een vectorproduct hangt, net als een scalair product, af van de metriek van de Euclidische ruimte.

In tegenstelling tot de formule voor het berekenen van de coördinaten van puntproductvectoren in een driedimensionaal rechthoekig coördinatensysteem, hangt de formule voor het kruisproduct af van de oriëntatie rechthoekig systeem coördinaten of, met andere woorden, de ‘chiraliteit’ ervan

Collineariteit van vectoren.

Twee vectoren die niet nul zijn (niet gelijk aan 0) worden collineair genoemd als ze op evenwijdige lijnen of op dezelfde lijn liggen. Een acceptabel, maar niet aanbevolen synoniem is ‘parallelle’ vectoren. Collineaire vectoren kunnen identiek gericht zijn ("codirectioneel") of tegengesteld gericht (in het laatste geval worden ze soms "anticollineair" of "antiparallel" genoemd).

Gemengd product van vectoren( a, b, c)- scalair product van vector a en het vectorproduct van vectoren b en c:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

het wordt soms het drievoudige puntproduct van vectoren genoemd, blijkbaar omdat het resultaat scalair is (meer precies, een pseudoscalair).

Geometrische betekenis: De modulus van het gemengde product is numeriek gelijk aan het volume van het parallellepipedum gevormd door de vectoren (abc) .

Eigenschappen

Een gemengd product is scheef-symmetrisch met betrekking tot al zijn argumenten: d.w.z. e. het herschikken van twee factoren verandert het teken van het product. Hieruit volgt dat het gemengde product aan de rechterkant staat Cartesisch systeem coördinaten (op orthonormale basis) is gelijk aan de determinant van een matrix bestaande uit vectoren en:

Het gemengde product in het linker Cartesiaanse coördinatensysteem (op orthonormale basis) is gelijk aan de determinant van de matrix bestaande uit vectoren en, genomen met een minteken:

In het bijzonder,

Als twee vectoren evenwijdig zijn, vormen ze met elke derde vector een gemengd product gelijk aan nul.

Als drie vectoren lineair afhankelijk zijn (dat wil zeggen coplanair, in hetzelfde vlak liggen), dan is hun gemengde product gelijk aan nul.

Geometrische betekenis - Het gemengde product is in absolute waarde gelijk aan het volume van het parallellepipedum (zie figuur) gevormd door de vectoren en; het teken hangt ervan af of dit drietal vectoren rechtshandig of linkshandig is.

Coplanariteit van vectoren.

Drie vectoren (of meer) worden coplanair genoemd als ze, gereduceerd tot een gemeenschappelijke oorsprong, in hetzelfde vlak liggen

Eigenschappen van coplanariteit

Als ten minste één van de drie vectoren nul is, worden de drie vectoren ook als coplanair beschouwd.

Een drietal vectoren die een paar collineaire vectoren bevatten, is coplanair.

Gemengd product van coplanaire vectoren. Dit is een criterium voor de coplanariteit van drie vectoren.

Coplanaire vectoren zijn lineair afhankelijk. Dit is ook een criterium voor coplanariteit.

In een driedimensionale ruimte vormen drie niet-coplanaire vectoren een basis

Lineair afhankelijke en lineair onafhankelijke vectoren.

Lineair afhankelijk en onafhankelijke systemen vectoren.Definitie. Het vectorsysteem wordt genoemd lineair afhankelijk, als er ten minste één niet-triviale lineaire combinatie van deze vectoren is die gelijk is aan de nulvector. Anders, d.w.z. als slechts een triviale lineaire combinatie van gegeven vectoren gelijk is aan de nulvector, worden de vectoren aangeroepen lineair onafhankelijk.

Stelling (lineair afhankelijkheidscriterium). Om een ​​systeem van vectoren in een lineaire ruimte lineair afhankelijk te laten zijn, is het noodzakelijk en voldoende dat ten minste één van deze vectoren een lineaire combinatie van de andere is.

1) Als er onder de vectoren minstens één nulvector is, dan is het hele vectorsysteem lineair afhankelijk.

Als we bijvoorbeeld aannemen dat we een niet-triviale lineaire combinatie hebben.

2) Als er onder de vectoren sommigen een lineair afhankelijk systeem vormen, dan is het hele systeem lineair afhankelijk.

Laten de vectoren , , inderdaad lineair afhankelijk zijn. Dit betekent dat er een niet-triviale lineaire combinatie is die gelijk is aan de nulvector. Maar dan veronderstellen , verkrijgen we ook een niet-triviale lineaire combinatie die gelijk is aan de nulvector.

2. Basis en dimensie. Definitie. Systeem van lineair onafhankelijke vectoren vectorruimte wordt genoemd basis van deze ruimte als een vector uit kan worden weergegeven als een lineaire combinatie van vectoren van dit systeem, d.w.z. voor elke vector zijn er reële getallen zodanig dat de gelijkheid geldt. Deze gelijkheid wordt genoemd vectorontleding volgens de basis en de cijfers worden genoemd coördinaten van de vector ten opzichte van de basis(of in de basis) .

Stelling (over het unieke karakter van de uitbreiding ten opzichte van de basis). Elke vector in de ruimte kan worden uitgebreid tot een basis op de enige manier, d.w.z. coördinaten van elke vector in de basis worden eenduidig ​​bepaald.

Definitie. Lineaire combinatie van vectoren a 1 , ..., a n met coëfficiënten x 1 , ..., x n wordt een vector genoemd

x 1 een 1 + ... + x n een n .

triviaal, als alle coëfficiënten x 1 , ..., x n gelijk zijn aan nul.

Definitie. De lineaire combinatie x 1 a 1 + ... + x n a n wordt genoemd niet-triviaal, als ten minste één van de coëfficiënten x 1, ..., x n niet gelijk is aan nul.

lineair onafhankelijk, als er geen niet-triviale combinatie van deze vectoren is die gelijk is aan de nulvector.

Dat wil zeggen, de vectoren a 1, ..., a n zijn lineair onafhankelijk als x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 dan en slechts dan als x 1 = 0, ..., x n = 0.

Definitie. De vectoren a 1, ..., a n worden genoemd lineair afhankelijk, als er een niet-triviale combinatie van deze vectoren is die gelijk is aan de nulvector.

Eigenschappen van lineair afhankelijke vectoren:

    Voor 2- en 3-dimensionale vectoren.

    Twee lineair afhankelijke vectoren zijn collineair. (Collineaire vectoren zijn lineair afhankelijk.)

    Voor driedimensionale vectoren.

    Drie lineair afhankelijke vectoren zijn coplanair. (Drie coplanaire vectoren zijn lineair afhankelijk.)

  • Voor n-dimensionale vectoren.

    n + 1 vectoren zijn altijd lineair afhankelijk.

Voorbeelden van problemen met lineaire afhankelijkheid en lineaire onafhankelijkheid van vectoren:

Voorbeeld 1. Controleer of de vectoren a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) lineair onafhankelijk zijn .

Oplossing:

De vectoren zullen lineair afhankelijk zijn, aangezien de afmeting van de vectoren kleiner is dan het aantal vectoren.

Voorbeeld 2. Controleer of de vectoren a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) lineair onafhankelijk zijn.

Oplossing:

x1 + x2 = 0
x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
x1 + x3 = 0
1 1 0 0 ~
1 2 -1 0
1 0 1 0
~ 1 1 0 0 ~ 1 1 0 0 ~
1 - 1 2 - 1 -1 - 0 0 - 0 0 1 -1 0
1 - 1 0 - 1 1 - 0 0 - 0 0 -1 1 0

trek de tweede af van de eerste regel; voeg een tweede regel toe aan de derde regel:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (-1) 0 - 0 ~ 1 0 1 0
0 1 -1 0 0 1 -1 0
0 + 0 -1 + 1 1 + (-1) 0 + 0 0 0 0 0

Deze oplossing laat zien dat het systeem veel oplossingen heeft, dat wil zeggen dat er een niet-nulcombinatie is van waarden van de getallen x 1, x 2, x 3 zodat de lineaire combinatie van vectoren a, b, c gelijk is aan de nulvector, bijvoorbeeld:

A+b+c=0

wat betekent dat de vectoren a, b, c lineair afhankelijk zijn.

Antwoord: vectoren a, b, c zijn lineair afhankelijk.

Voorbeeld 3. Controleer of de vectoren a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) lineair onafhankelijk zijn.

Oplossing: Laten we de waarden vinden van de coëfficiënten waarbij de lineaire combinatie van deze vectoren gelijk zal zijn aan de nulvector.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Deze vectorvergelijking kan als een systeem worden geschreven lineaire vergelijkingen

x1 + x2 = 0
x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
x 1 + 2x 3 = 0

Laten we dit systeem oplossen met behulp van de Gauss-methode

1 1 0 0 ~
1 2 -1 0
1 0 2 0

trek de eerste af van de tweede regel; trek de eerste van de derde regel af:

~ 1 1 0 0 ~ 1 1 0 0 ~
1 - 1 2 - 1 -1 - 0 0 - 0 0 1 -1 0
1 - 1 0 - 1 2 - 0 0 - 0 0 -1 2 0

trek de tweede af van de eerste regel; voeg een tweede toe aan de derde regel.

In dit artikel behandelen we:

  • wat zijn collineaire vectoren;
  • wat zijn de voorwaarden voor collineariteit van vectoren;
  • welke eigenschappen van collineaire vectoren bestaan;
  • wat is de lineaire afhankelijkheid van collineaire vectoren.
Definitie 1

Collineaire vectoren zijn vectoren die parallel zijn aan één lijn of op één lijn liggen.

voorbeeld 1

Voorwaarden voor collineariteit van vectoren

Twee vectoren zijn collineair als een van de volgende voorwaarden waar is:

  • voorwaarde 1 . Vectoren a en b zijn collineair als er een getal λ is zodat a = λ b;
  • voorwaarde 2 . Vectoren a en b zijn collineair met gelijke coördinaatverhoudingen:

een = (een 1; een 2) , b = (b 1; b 2) ⇒ een ∥ b ⇔ een 1 b 1 = een 2 b 2

  • voorwaarde 3 . Vectoren a en b zijn collineair, op voorwaarde dat het kruisproduct en de nulvector gelijk zijn:

een ∥ b ⇔ een, b = 0

Notitie 1

Voorwaarde 2 niet van toepassing als een van de vectorcoördinaten nul is.

Opmerking 2

Voorwaarde 3 is alleen van toepassing op die vectoren die in de ruimte zijn gespecificeerd.

Voorbeelden van problemen om de collineariteit van vectoren te bestuderen

voorbeeld 1

We onderzoeken de vectoren a = (1; 3) en b = (2; 1) op collineariteit.

Hoe op te lossen?

In dit geval is het noodzakelijk om de tweede collineariteitsvoorwaarde te gebruiken. Voor gegeven vectoren ziet het er als volgt uit:

De gelijkheid is vals. Hieruit kunnen we concluderen dat de vectoren a en b niet-collineair zijn.

Antwoord : een | | B

Voorbeeld 2

Welke waarde m van de vector a = (1; 2) en b = (- 1; m) is nodig om de vectoren collineair te laten zijn?

Hoe op te lossen?

Met behulp van de tweede collineariteitsvoorwaarde zullen vectoren collineair zijn als hun coördinaten proportioneel zijn:

Hieruit blijkt dat m = - 2.

Antwoord: m = - 2 .

Criteria voor lineaire afhankelijkheid en lineaire onafhankelijkheid van vectorsystemen

Stelling

Een systeem van vectoren in een vectorruimte is alleen lineair afhankelijk als een van de vectoren van het systeem kan worden uitgedrukt in termen van de overige vectoren van dit systeem.

Bewijs

Laat het systeem e 1 , e 2 , . . . , e n is lineair afhankelijk. Laten we een lineaire combinatie van dit systeem schrijven die gelijk is aan de nulvector:

een 1 e 1 + een 2 e 2 + . . . + een n e n = 0

waarbij ten minste één van de combinatiecoëfficiënten niet gelijk is aan nul.

Laat een k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , N.

We delen beide zijden van de gelijkheid door een coëfficiënt die niet nul is:

een k - 1 (een k - 1 een 1) e 1 + (een k - 1 een k) e k + . . . + (een k - 1 een n) e n = 0

Laten we aangeven:

A k - 1 uur m , waarbij m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

In dit geval:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

of e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) en n

Hieruit volgt dat een van de vectoren van het systeem wordt uitgedrukt via alle andere vectoren van het systeem. Dat is wat bewezen moest worden (enz.).

Geschiktheid

Laat een van de vectoren lineair worden uitgedrukt via alle andere vectoren van het systeem:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

We verplaatsen de vector e k naar de rechterkant van deze gelijkheid:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Omdat de coëfficiënt van de vector e k gelijk is aan - 1 ≠ 0, krijgen we een niet-triviale representatie van nul door een systeem van vectoren e 1, e 2, . . . , e n , en dit betekent op zijn beurt dat dit systeem vectoren zijn lineair afhankelijk. Dat is wat bewezen moest worden (enz.).

Gevolg:

  • Een systeem van vectoren is lineair onafhankelijk als geen van zijn vectoren kan worden uitgedrukt in termen van alle andere vectoren van het systeem.
  • Een systeem van vectoren dat een nulvector of twee gelijke vectoren bevat, is lineair afhankelijk.

Eigenschappen van lineair afhankelijke vectoren

  1. Voor twee- en driedimensionale vectoren wordt aan de volgende voorwaarde voldaan: twee lineair afhankelijke vectoren zijn collineair. Twee collineaire vectoren zijn lineair afhankelijk.
  2. Voor driedimensionale vectoren is aan de volgende voorwaarde voldaan: drie lineair afhankelijke vectoren zijn coplanair. (3 coplanaire vectoren zijn lineair afhankelijk).
  3. Voor n-dimensionale vectoren wordt aan de volgende voorwaarde voldaan: n + 1 vectoren zijn altijd lineair afhankelijk.

Voorbeelden van het oplossen van problemen met lineaire afhankelijkheid of lineaire onafhankelijkheid van vectoren

Voorbeeld 3

Laten we de vectoren a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 controleren voor lineaire onafhankelijkheid.

Oplossing. Vectoren zijn lineair afhankelijk omdat de dimensie van vectoren kleiner is dan het aantal vectoren.

Voorbeeld 4

Laten we de vectoren a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 controleren op lineaire onafhankelijkheid.

Oplossing. We vinden de waarden van de coëfficiënten waarbij de lineaire combinatie gelijk zal zijn aan de nulvector:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

We schrijven de vectorvergelijking in lineaire vorm:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

We lossen dit systeem op met behulp van de Gauss-methode:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Van de 2e regel trekken we de 1e af, van de 3e - de 1e:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Van de 1e regel trekken we de 2e af, van de 3e voegen we de 2e toe:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Uit de oplossing volgt dat het systeem vele oplossingen heeft. Dit betekent dat er een niet-nulcombinatie van waarden van zulke getallen x 1, x 2, x 3 bestaat waarvoor de lineaire combinatie van a, b, c gelijk is aan de nulvector. Daarom zijn de vectoren a, b, c dat wel lineair afhankelijk. ​​​​​​​

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter