Complexe getallen zijn lastige voorbeelden. Algebraïsche notatie van een complex getal. Introductie van het concept van een complex getal
Laten we ons de nodige informatie over complexe getallen herinneren.
Complex getal is een uitdrukking van de vorm een + bi, waar een, B zijn reële getallen, en I- zogenaamde denkbeeldige eenheid, een teken waarvan het vierkant -1 is, dat wil zeggen I 2 = -1. Nummer een genaamd echt deel en het nummer B - denkbeeldig deel complex getal z = een + bi... Als B= 0, dan in plaats van een + 0I schrijf eenvoudig een... Het is duidelijk dat reële getallen een speciaal geval zijn van complexe getallen.
Rekenkundige bewerkingen op complexe getallen zijn hetzelfde als op reële: ze kunnen met elkaar worden opgeteld, afgetrokken, vermenigvuldigd en gedeeld. Optellen en aftrekken gebeurt volgens de regel ( een + bi) ± ( C + di) = (een ± C) + (B ± D)I, en vermenigvuldiging - volgens de regel ( een + bi) · ( C + di) = (ac – bd) + (advertentie + bc)I(het wordt hier gewoon gebruikt dat I 2 = –1). Getal = een – bi genaamd complex geconjugeerd Naar z = een + bi... Gelijkwaardigheid z · = een 2 + B 2 stelt u in staat te begrijpen hoe u een complex getal deelt door een ander (niet-nul) complex getal:
(Bijvoorbeeld, .)
Complexe getallen hebben een handige en intuïtieve geometrische weergave: het getal z = een + bi kan worden weergegeven door een vector met coördinaten ( een; B) op het Cartesiaanse vlak (of, wat bijna hetzelfde is, een punt - het einde van de vector met deze coördinaten). In dit geval wordt de som van twee complexe getallen weergegeven als de som van de corresponderende vectoren (die gevonden kunnen worden door de parallellogramregel). Volgens de stelling van Pythagoras, de lengte van de vector met coördinaten ( een; B) is gelijk. Deze hoeveelheid heet module complex getal z = een + bi en aangeduid met | z|. De hoek die deze vector maakt met de positieve richting van de abscis (tegen de klok in geteld) heet argument complex getal z en wordt aangeduid met Arg z... Het argument is niet uniek gedefinieerd, maar alleen tot de optelling van een veelvoud van 2 π
radialen (of 360 °, als je in graden meetelt) - het is immers duidelijk dat rotatie over een dergelijke hoek rond de oorsprong de vector niet zal veranderen. Maar als de vector van lengte R vormt een hoek φ
met een positieve richting van de as van de abscis, dan zijn de coördinaten ( R Want φ
; R Zonde φ
). Het blijkt dus trigonometrische notatie complex getal: z = |z| (Cos (Arg .) z) + I zonde (Arg z)). Het is vaak handig om complexe getallen in deze vorm te schrijven, omdat het berekeningen aanzienlijk vereenvoudigt. Het vermenigvuldigen van complexe getallen in trigonometrische vorm ziet er heel eenvoudig uit: z een · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (Cos (Arg .) z 1 + Arg z 2) + I zonde (Arg z 1 + Arg z 2)) (bij het vermenigvuldigen van twee complexe getallen, worden hun modules vermenigvuldigd en worden de argumenten toegevoegd). daarom volgen Moivre-formules: z n = |z|N(Omdat ( N(Arg z)) + I zonde ( N(Arg z))). Met behulp van deze formules is het gemakkelijk om te leren hoe je wortels van elke graad uit complexe getallen kunt halen. N-de wortel van z is zo'n complex getal met wie, wat w nee = z... Het is duidelijk dat 
, En waar k kan elke waarde uit de set aannemen (0, 1, ..., N- een). Dit betekent dat er altijd precies N wortels N-de graad van een complex getal (in het vlak bevinden ze zich op de hoekpunten van de juiste N-gon).
DEFINITIE
De algebraïsche vorm van een complex getal is om het complexe getal \ (\ z \) in de vorm \ (\ z = x + iy \) te schrijven, waarbij \ (\ x \) en \ (\ y \) reële getallen zijn , \ (\ i \ ) is een denkbeeldige eenheid die voldoet aan de relatie \ (\ i ^ (2) = - 1 \)
Het getal \ (\ x \) wordt het reële deel van het complexe getal \ (\ z \) genoemd en wordt aangeduid met \ (\ x = \ operatornaam (Re) z \)
Het getal \ (\ y \) wordt het imaginaire deel van het complexe getal \ (\ z \) genoemd en wordt aangeduid met \ (\ y = \ operatornaam (Im) z \)
Bijvoorbeeld:
Het complexe getal \ (\ z = 3-2 i \) en het bijbehorende getal \ (\ \ overline (z) = 3 + 2 i \) worden in algebraïsche vorm geschreven.
De denkbeeldige waarde \ (\ z = 5 i \) wordt in algebraïsche vorm geschreven.
Bovendien kunt u, afhankelijk van het probleem dat wordt opgelost, een complex getal converteren naar trigonometrisch of exponentieel.
Schrijf het getal \ (\ z = \ frac (7-i) (4) +13 \) in algebraïsche vorm, vind de reële en imaginaire delen, evenals het geconjugeerde getal.
Met behulp van de term deling van breuken en de regel voor het optellen van breuken, krijgen we:
\ (\ z = \ frac (7-i) (4) + 13 = \ frac (7) (4) + 13- \ frac (i) (4) = \ frac (59) (4) - \ frac ( 1) (4) ik \)
Daarom is het reële deel van het complexe getal \ (\ z = \ frac (5 g) (4) - \ frac (1) (4) i \) het getal \ (\ x = \ operatornaam (Re) z = \ frac (59) (4) \), denkbeeldig deel - getal \ (\ y = \ operatornaam (Im) z = - \ frac (1) (4) \)
Conjugaat: \ (\ \ overline (z) = \ frac (59) (4) + \ frac (1) (4) i \)
\ (\ z = \ frac (59) (4) - \ frac (1) (4) i \), \ (\ \ operatornaam (Re) z = \ frac (59) (4) \), \ (\ \ operatornaam (Im) z = - \ frac (1) (4) \), \ (\ \ overline (z) = \ frac (59) (4) + \ frac (1) (4) i \)
Acties van complexe getallen in algebraïsche vormvergelijking
Twee complexe getallen \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) worden gelijk genoemd als \ (\ x_ (1) = x_ (2) \), \ (\ y_ (1) = y_ (2) \) dwz Hun reële en imaginaire delen zijn gelijk.
Bepaal voor welke x en y twee complexe getallen \ (\ z_ (1) = 13 + y i \) en \ (\ z_ (2) = x + 5 i \) gelijk zijn.
Per definitie zijn twee complexe getallen gelijk als hun reële en imaginaire delen gelijk zijn, d.w.z. \ (\ x = 13 \), \ (\ y = 5 \).
toevoeging
Het optellen van complexe getallen \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) wordt uitgevoerd door directe sommatie van de reële en imaginaire delen:
\ (\ z_ (1) + z_ (2) = x_ (1) + i y_ (1) + x_ (2) + i y_ (2) = \ links (x_ (1) + x_ (2) \ rechts) + i \ links (y_ (1) + y_ (2) \ rechts) \)
Vind de som van complexe getallen \ (\ z_ (1) = - 7 + 5 i \), \ (\ z_ (2) = 13-4 i \)
Het reële deel van het complexe getal \ (\ z_ (1) = - 7 + 5 i \) is het getal \ (\ x_ (1) = \ operatornaam (Re) z_ (1) = - 7 \), het imaginaire deel is het getal \ ( \ y_ (1) = \ mathrm (Im) \), \ (\ z_ (1) = 5 \). De reële en imaginaire delen van het complexe getal \ (\ z_ (2) = 13-4 i \) zijn gelijk aan \ (\ x_ (2) = \ operatornaam (Re) z_ (2) = 13 \) en \ ( \ y_ (2 ) = \ operatornaam (Im) z_ (2) = - 4 \).
Vandaar de som van de complexe getallen:
\ (\ z_ (1) + z_ (2) = \ links (x_ (1) + x_ (2) \ rechts) + i \ links (y_ (1) + y_ (2) \ rechts) = (- 7+ 13) + ik (5-4) = 6 + ik \)
\ (\ z_ (1) + z_ (2) = 6 + ik \)
Lees meer over het toevoegen van complexe getallen in een apart artikel: Complexe getallen toevoegen.
aftrekken
Het aftrekken van complexe getallen \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) en \ (\ z_ (2) = x_ (2) + i y_ (2) \) wordt uitgevoerd door directe aftrekking van echte en imaginaire delen:
\ (\ z_ (1) -z_ (2) = x_ (1) + i y_ (1) - \ links (x_ (2) + i y_ (2) \ rechts) = x_ (1) -x_ (2) + \ links (i y_ (1) -i y_ (2) \ rechts) = \ links (x_ (1) -x_ (2) \ rechts) + i \ links (y_ (1) -y_ (2) \ rechts ) \)
zoek het verschil van complexe getallen \ (\ z_ (1) = 17-35 i \), \ (\ z_ (2) = 15 + 5 i \)
Vind de reële en imaginaire delen van complexe getallen \ (\ z_ (1) = 17-35 i \), \ (\ z_ (2) = 15 + 5 i \):
\ (\ x_ (1) = \ operatornaam (Re) z_ (1) = 17, x_ (2) = \ operatornaam (Re) z_ (2) = 15 \)
\ (\ y_ (1) = \ operatornaam (Im) z_ (1) = - 35, y_ (2) = \ operatornaam (Im) z_ (2) = 5 \)
Daarom is het verschil tussen de complexe getallen:
\ (\ z_ (1) -z_ (2) = \ links (x_ (1) -x_ (2) \ rechts) + i \ links (y_ (1) -y_ (2) \ rechts) = (17-15 ) + ik (-35-5) = 2-40 ik \)
\ (\ z_ (1) -z_ (2) = 2-40 i \) vermenigvuldiging
Vermenigvuldiging van complexe getallen \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) en \ (\ z_ (2) = x_ (2) + i y_ (2) \) wordt uitgevoerd door direct te creëren getallen in algebraïsche vorm rekening houdend met de eigenschap van de denkbeeldige eenheid \ (\ i ^ (2) = - 1 \):
\ (\ z_ (1) \ cdot z_ (2) = \ links (x_ (1) + i y_ (1) \ rechts) \ cdot \ links (x_ (2) + i y_ (2) \ rechts) = x_ (1) \ cdot x_ (2) + i ^ (2) \ cdot y_ (1) \ cdot y_ (2) + \ links (x_ (1) \ cdot i y_ (2) + x_ (2) \ cdot i y_ (1) \ rechts) = \)
\ (\ = \ links (x_ (1) \ cdot x_ (2) -y_ (1) \ cdot y_ (2) \ rechts) + i \ links (x_ (1) \ cdot y_ (2) + x_ (2 ) \ cdot y_ (1) \ rechts) \)
Vind het product van complexe getallen \ (\ z_ (1) = 1-5 i \)
Complex van complexe getallen:
\ (\ z_ (1) \ cdot z_ (2) = \ links (x_ (1) \ cdot x_ (2) -y_ (1) \ cdot y_ (2) \ rechts) + i \ links (x_ (1) \ cdot y_ (2) + x_ (2) \ cdot y_ (1) \ rechts) = (1 \ cdot 5 - (- 5) \ cdot 2) + i (1 \ cdot 2 + (- 5) \ cdot 5 ) = 15-23 ik \)
\ (\ z_ (1) \ cdot z_ (2) = 15-23 i \) split
De factor van complexe getallen \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) en \ (\ z_ (2) = x_ (2) + i y_ (2) \) wordt bepaald door vermenigvuldiging de teller en noemer naar het geconjugeerde getal met de noemer:
\ (\ \ frac (z_ (1)) (z_ (2)) = \ frac (x_ (1) + i y_ (1)) (x_ (2) + i y_ (2)) = \ frac (\ left (x_ (1) + i y_ (1) \ rechts) \ links (x_ (2) -i y_ (2) \ rechts)) (\ links (x_ (2) + i y_ (2) \ rechts) \ links (x_ (2) -i y_ (2) \ rechts)) = \ frac (x_ (1) \ cdot x_ (2) + y_ (1) \ cdot y_ (2)) (x_ (2) ^ (2) + y_ (2) ^ (2)) + i \ frac (x_ (2) \ cdot y_ (1) -x_ (1) \ cdot y_ (2)) (x_ (2) ^ (2) + y_ (2 ) ^ (2)) \)
Om het getal 1 te delen door het complexe getal \ (\ z = 1 + 2 i \).
Aangezien het imaginaire deel van het reële getal 1 nul is, is de factor:
\ (\ \ frac (1) (1 + 2 i) = \ frac (1 \ cdot 1) (1 ^ (2) + 2 ^ (2)) - i \ frac (1 \ cdot 2) (1 ^ ( 2) + 2 ^ (2)) = \ frac (1) (5) -i \ frac (2) (5) \)
\ (\ \ frac (1) (1 + 2 i) = \ frac (1) (5) -i \ frac (2) (5) \)
Beschouw een kwadratische vergelijking.
Laten we de wortels ervan definiëren.
Er is geen reëel getal waarvan het kwadraat -1 is. Maar als we de operator definiëren I als een denkbeeldige eenheid, dan kan de oplossing van deze vergelijking worden geschreven in de vorm 
... Waarin 
en 
- complexe getallen, waarbij -1 het reële deel is, 2 of in het tweede geval -2 het imaginaire deel. Het imaginaire deel is ook een reëel (reëel) getal. Het denkbeeldige deel vermenigvuldigd met de denkbeeldige eenheid betekent al denkbeeldig getal.
Over het algemeen heeft het complexe getal de vorm
z = x + iy ,
waar x, ja- reële getallen, - denkbeeldige eenheid. In een aantal toegepaste wetenschappen, bijvoorbeeld in de elektrotechniek, elektronica, signaaltheorie, wordt de denkbeeldige eenheid aangeduid met J... Echte getallen x = Opnieuw (z) en y =Ik ben (z) worden genoemd echte en denkbeeldige delen de nummers z. De uitdrukking heet algebraïsche vorm notatie van een complex getal.
Elk reëel getal is een speciaal geval van een complex getal in de vorm 
... Het denkbeeldige getal is ook een speciaal geval van een complex getal. 
.
Definitie van de verzameling complexe getallen C
Deze uitdrukking luidt als volgt: set MET bestaande uit elementen zodanig dat: x en ja behoren tot de verzameling reële getallen R en is een denkbeeldige eenheid. Merk op dat enz.
Twee complexe getallen 
en 
zijn gelijk dan en slechts dan als hun reële en imaginaire delen gelijk zijn, d.w.z. en .
Complexe getallen en functies worden veel gebruikt in wetenschap en technologie, met name in mechanica, analyse en berekening van wisselstroomcircuits, analoge elektronica, in de theorie en verwerking van signalen, in de theorie van automatische besturing en andere toegepaste wetenschappen.
- Rekenen met complexe getallen
De optelling van twee complexe getallen bestaat uit de optelling van hun reële en imaginaire delen, d.w.z.
Dienovereenkomstig is het verschil tussen twee complexe getallen
Complex getal 
genaamd volledig conjugeren het nummer z =x +ie.
De complexe geconjugeerde getallen z en z * verschillen in de tekens van het imaginaire deel. Het is duidelijk dat
.
Elke gelijkheid tussen complexe uitdrukkingen blijft geldig als overal in deze gelijkheid I vervangen door -
I, d.w.z. ga naar gelijkheid van geconjugeerde getallen. Cijfers I en –
I zijn algebraïsch niet van elkaar te onderscheiden aangezien 
.
Het product (vermenigvuldiging) van twee complexe getallen kan als volgt worden berekend:
Deling van twee complexe getallen:
Voorbeeld:
- Complex vlak
Een complex getal kan grafisch worden weergegeven in een rechthoekig coördinatenstelsel. Laten we een rechthoekig coördinatensysteem in het vlak plaatsen (x, y).
Op as OS we zullen de echte onderdelen hebben! x, het heet echte (echte) as, op de as Oy- verwijderbare onderdelen ja complexe getallen. Het draagt de naam denkbeeldige as... In dit geval komt elk complex getal overeen met een bepaald punt van het vlak, en zo'n vlak wordt genoemd complex vlak... Punt EEN het complexe vlak komt overeen met de vector OA.
Nummer x genaamd abscis complex getal, getal ja – ordinaat.
Een paar complexe geconjugeerde getallen wordt weergegeven door stippen die symmetrisch rond de reële as zijn geplaatst.
 |
Als we in het vliegtuig zitten poolcoördinatenstelsel, dan elk complex getal z gedefinieerd door poolcoördinaten. Waarin module de nummers 
Is de polaire straal van het punt, en de hoek 
- zijn polaire hoek of complex getalargument z.
Complexe getalmodule 
altijd niet negatief. Het argument voor complexe getallen is niet uniek gedefinieerd. De hoofdwaarde van het argument moet voldoen aan de voorwaarde 
... Elk punt van het complexe vlak komt ook overeen met de totale waarde van het argument. Argumenten die verschillen in veelvouden van 2π worden als gelijk beschouwd. Het getalargument nul is niet gedefinieerd.
De hoofdwaarde van het argument wordt bepaald door de uitdrukkingen:
Het is duidelijk dat
Waarin
, 
.
Representatie van complexe getallen z als
genaamd trigonometrische vorm complex getal.
Voorbeeld.
- Exponentiële vorm van complexe getallen
Ontleding in Maclaurin-serie voor geldige argumentfuncties 
lijkt op:
Voor een exponentiële functie van een complex argument z de ontbinding is vergelijkbaar
.
De Maclaurin-reeksuitbreiding voor de exponentiële functie van het denkbeeldige argument kan worden weergegeven als:
De resulterende identiteit heet Euler's formule.
Voor een negatief argument heeft het de vorm
Door deze uitdrukkingen te combineren, kunnen de volgende uitdrukkingen voor sinus en cosinus worden gedefinieerd:
.
Met behulp van de formule van Euler, van de trigonometrische vorm van de representatie van complexe getallen
jij kan het krijgen indicatief(exponentiële, polaire) vorm van een complex getal, d.w.z. zijn vertegenwoordiging in de vorm
,
waar 
- poolcoördinaten van een punt met rechthoekige coördinaten ( x,ja).
Het aan een complex getal geconjugeerd getal wordt als volgt exponentieel geschreven.
Voor de exponentiële vorm is het eenvoudig om de volgende vermenigvuldigings- en delingsformules voor complexe getallen te bepalen:
Dat wil zeggen, in exponentiële vorm is het product en de deling van complexe getallen gemakkelijker dan in algebraïsche vorm. Bij vermenigvuldiging worden de moduli van de factoren vermenigvuldigd en worden de argumenten opgeteld. Deze regel is van toepassing op een willekeurig aantal factoren. In het bijzonder bij het vermenigvuldigen van een complex getal z op de I vector z draait 90 . linksom
Delen deelt de modulus van de teller door de modulus van de noemer en trekt het argument van de noemer af van het tellerargument.
Met behulp van de exponentiële vorm van complexe getallen kunt u uitdrukkingen krijgen voor bekende trigonometrische identiteiten. Bijvoorbeeld uit de identiteit
met de formule van Euler kunnen we schrijven
Door de reële en imaginaire delen in deze uitdrukking gelijk te stellen, verkrijgen we uitdrukkingen voor de cosinus en sinus van de som van de hoeken
- Machten, wortels en logaritmen van complexe getallen
Een complex getal verheffen tot een natuurlijke macht N is gemaakt volgens de formule
Voorbeeld... Laten we berekenen 
.
Stel je het nummer voor in trigonometrische vorm
’
Als we de formule voor machtsverheffing toepassen, krijgen we
Door de uitdrukking de waarde in te voeren R= 1, we krijgen de zogenaamde formule van Moivre, waarmee u uitdrukkingen voor sinussen en cosinuslijnen met meerdere hoeken kunt definiëren.
Wortel N-Th graad van een complex getal z Het heeft N verschillende waarden bepaald door de uitdrukking
Voorbeeld... We zullen het vinden.
Om dit te doen, drukken we het complexe getal () uit in de trigonometrische vorm
.
Door de formule voor het berekenen van de wortel van een complex getal, verkrijgen we
Logaritme van een complex getal z Is het nummer? met wie, waarvoor. De natuurlijke logaritme van een complex getal heeft een oneindig aantal waarden en wordt berekend met de formule
Bestaat uit reële (cosinus) en imaginaire (sinusvormige) delen. Zo'n spanning kan worden weergegeven als een vector van lengte U m, beginfase (hoek), roterend met hoeksnelheid ω .
Bovendien, als de complexe functies optellen, worden hun reële en imaginaire delen opgeteld. Als een complexe functie wordt vermenigvuldigd met een constante of een reële functie, dan worden de reële en imaginaire delen met dezelfde factor vermenigvuldigd. Differentiatie/integratie van zo'n complexe functie wordt gereduceerd tot differentiatie/integratie van de reële en imaginaire delen.
Bijvoorbeeld differentiëren van de uitdrukking voor de complexe spanning
is om het te vermenigvuldigen met iω is het reële deel van de functie f (z), en 
- het denkbeeldige deel van de functie. Voorbeelden: 
.
Betekenis z wordt weergegeven door een punt in het complexe z-vlak, en de bijbehorende waarde met wie- een punt in het complexe vlak met wie... Bij het weergeven van w = f (z) vlakke lijnen z overgaan in vlakke lijnen met wie, vormen van het ene vlak naar vormen van het andere, maar de vormen van lijnen of vormen kunnen aanzienlijk veranderen.
Algebraïsche notatie van een complex getal .......................................... ................... |
|||
Het vlak van complexe getallen .................................................. .. ................................................. ..... ... |
|||
Complexe geconjugeerde getallen .................................................. ................................................................. |
|||
Acties met complexe getallen in algebraïsche vorm .......................................... .... |
|||
Optellen van complexe getallen .................................................. .................................................. . |
|||
Aftrekken van complexe getallen .......................................................... ................................................. |
|||
Vermenigvuldiging van complexe getallen ................................................................. ........................................................... |
|||
Deling van complexe getallen .......................................... .................................................. ... ... |
|||
Goniometrische notatie van een complex getal ................................................. ........... |
|||
Acties met complexe getallen in trigonometrische vorm ...................................... |
|||
Vermenigvuldiging van complexe getallen in trigonometrische vorm ........................................... |
|||
Deling van complexe getallen in trigonometrische vorm ........................................... ... ... |
|||
Een complex getal verheffen tot een positief geheel getal .................................. |
|||
De wortel van een positief geheel getal uit een complex getal extraheren ...................... |
|||
Een complex getal tot een rationele macht verheffen ................................................ ...... |
|||
Complexe reeks ................................................................. ................................................................. ....................... |
|||
Complexe getallenreeksen ................................................................. ................................................................. |
|||
Machtreeksen in het complexe vlak ................................................. ............................. |
|||
Bilaterale machtreeksen in het complexe vlak ................................................. ... ... |
|||
Complexe variabele functies .................................................. ................................................ |
|||
Basis elementaire functies ................................................................. ........................................... |
|||
Euler's formules ................................................................. ................................................................. ....................... |
|||
Exponentiële vorm van representatie van een complex getal .......................................... ... ... |
|||
Verband tussen trigonometrische en hyperbolische functies .......................... |
|||
Logaritmische functie ................................................................. ................................................................. ... |
|||
Algemene exponentiële en algemene machtsfuncties ................................................ ............... |
|||
Differentiatie van functies van een complexe variabele ........................................... ... ... |
|||
Cauchy-Riemann-voorwaarden ................................................ ................................................................. ............ |
|||
Formules voor het berekenen van de afgeleide ................................................. .................................. |
|||
Eigenschappen differentiatiebewerking .................................................. .............................. |
|||
Eigenschappen van de reële en imaginaire delen van de analytische functie ............................ |
|||
Reconstructie van een functie van een complexe variabele vanuit zijn reële of imaginaire |
|||
Methode nummer 1. Een kromlijnige integraal gebruiken .................................................. ....... |
|||
Methode nummer 2. Directe toepassing van de Cauchy-Riemann-voorwaarden ........................... |
|||
Methode nummer 3. Door de afgeleide van de gewenste functie ................................................. ....... |
|||
Integratie van functies van een complexe variabele .......................................... ... ........... |
|||
Integrale Cauchy-formule ................................................................. ................................................................. ... |
|||
Ontleding van functies in Taylor- en Laurent-reeksen .......................................... ........................... |
|||
Nullen en singuliere punten van een complexe variabele functie ................................................ ...... |
|||
Nullen van een complexe variabele functie ................................................. ....................... |
|||
Geïsoleerde singuliere punten van een complexe variabele functie ........................... |
|||
14.3 Punt op oneindig als singulier punt van een functie van een complexe variabele
Aftrekposten ................................................................. ................................................................. ................................................ |
|||
Eindpuntaftrek .............................................. . ................................................. . ..... |
|||
Functie-aftrek op oneindig ................................................. . ................. |
|||
Berekening van integralen met behulp van residuen ................................................. .............................. |
|||
Vragen voor zelfonderzoek .................................................. .. ................................................. ....... |
|||
Literatuur................................................. ................................................................. ................................. |
|||
Onderwerpindex ................................................................. ................................................................. .............. |
|||
Voorwoord
Het is vrij moeilijk om tijd en moeite correct toe te wijzen aan de voorbereiding van de theoretische en praktische delen van het examen of de certificering van de module, vooral omdat er altijd niet genoeg tijd is tijdens de sessie. En zoals de praktijk laat zien, kan niet iedereen hiermee omgaan. Als gevolg hiervan lossen sommige studenten op het examen problemen correct op, maar vinden ze het moeilijk om de eenvoudigste theoretische vragen te beantwoorden, terwijl anderen een stelling kunnen formuleren, maar deze niet kunnen toepassen.
Deze richtlijnen ter voorbereiding op het examen in de cursus "Theorie van functies van een complexe variabele" (TFKP) zijn een poging om deze tegenstrijdigheid op te lossen en de gelijktijdige herhaling van de theoretische en praktische stof van de cursus te verzekeren. Geleid door het principe "Theorie zonder praktijk is dood, praktijk zonder theorie is blind", bevatten ze zowel theoretische bepalingen van de cursus op het niveau van definities en formuleringen, als voorbeelden die de toepassing van elke gegeven theoretische propositie illustreren, en daardoor vergemakkelijken het onthouden en begrijpen ervan.
Het doel van de voorgestelde richtlijnen is om de student te helpen zich op basisniveau voor te bereiden op het examen. Met andere woorden, er is een uitgebreide werkgids samengesteld met de belangrijkste punten die in de klas worden gebruikt voor de TFKP-cursus, en die nodig zijn voor het maken van huiswerk en het voorbereiden van controleactiviteiten. Naast het onafhankelijke werk van studenten, kan deze elektronische educatieve publicatie worden gebruikt bij het geven van lessen in een interactieve vorm met behulp van een elektronisch bord of voor plaatsing in een systeem voor afstandsonderwijs.
Houd er rekening mee dat dit werk geen vervanging is voor studieboeken of collegeaantekeningen. Voor een diepgaande studie van het materiaal wordt aanbevolen om de relevante secties van de gepubliceerde in MSTU im. N.E. Bauman's basisboek.
Aan het einde van de handleiding is er een lijst met aanbevolen literatuur en een onderwerpindex, die alle in de tekst gemarkeerde bevat vet cursief voorwaarden. De onderwerpindex bestaat uit hyperlinks naar secties waarin deze termen strikt worden gedefinieerd of beschreven, en waar voorbeelden worden gegeven om het gebruik ervan te illustreren.
De handleiding is bedoeld voor 2e jaars studenten van alle faculteiten van de Moscow State Technical University. N.E. Bauman.
1. Algebraïsche notatie van een complex getal
Een notatie van de vorm z = x + iy, waarbij x, y reële getallen zijn, i is een denkbeeldige eenheid (d.w.z. i 2 = - 1)
wordt de algebraïsche vorm van het complexe getal z genoemd. In dit geval wordt x het reële deel van het complexe getal genoemd en aangeduid met Re z (x = Re z), y wordt het imaginaire deel van het complexe getal genoemd en aangeduid met Im z (y = Im z).
Voorbeeld. Het complexe getal z = 4 - 3i heeft het reële deel Re z = 4, en het imaginaire deel Im z = - 3.
2. Vlak van complexe getallen
V theorieën van functies van een complexe variabele beschouwenvlak van complexe getallen, die ofwel wordt aangeduid, of letters die complexe getallen z, w, enz. aangeven, worden gebruikt.
De horizontale as van het complexe vlak heet echte as, worden reële getallen z = x + 0 i = x erop geplaatst.
De verticale as van het complexe vlak wordt de denkbeeldige as genoemd;
3. Complexe geconjugeerde getallen
De getallen z = x + iy en z = x - iy heten complex geconjugeerd... Op het complexe vlak komen ze overeen met punten die symmetrisch zijn rond de reële as.
4. Acties met complexe getallen in algebraïsche vorm
4.1 Optellen van complexe getallen
De som van twee complexe getallen |
z 1 = x 1 + iy 1 |
en z 2 = x 2 + iy 2 heet een complex getal |
|||||||||||
z 1 + z 2 |
= (x 1 + iy 1) + (x 2 + iy 2) = (x 1 + x 2) + i (y 1 + y 2). |
operatie |
toevoegingen |
||||||||||
complexe getallen is analoog aan de bewerking van optellen van algebraïsche binomials. |
|||||||||||||
Voorbeeld. De som van twee complexe getallen z 1 = 3 + 7i en z 2 |
= −1 +2 i |
er zal een complex getal zijn |
|||||||||||
z 1 + z 2 = (3 +7 i) + (- 1 +2 i) = (3 −1) + (7 +2) i = 2 +9 i. |
|||||||||||||
Klaarblijkelijk, |
som in een complex |
verwant |
is een |
Geldig |
|||||||||
z + z = (x + iy) + (x - iy) = 2 x = 2 Re z. |
|||||||||||||
4.2 Aftrekken van complexe getallen |
|||||||||||||
Het verschil van twee complexe getallen z 1 = x 1 + iy 1 |
X 2 + iy 2 |
genaamd |
complex |
||||||||||
getal z 1 - z 2 = (x 1 + iy 1) - (x 2 + iy 2) = (x 1 - x 2) + i (y 1 - y 2). |
|||||||||||||
Voorbeeld. Verschil van twee complexe getallen |
z 1 = 3 −4 i |
en z 2 |
= −1 +2 i |
wordt een uitgebreide |
|||||||||
getal z 1 - z 2 = (3 - 4i) - (- 1+ 2i) = (3 - (- 1)) + (- 4 - 2) i = 4 - 6i. |
|||||||||||||
Verschil |
complex geconjugeerd |
is een |
|||||||||||
z - z = (x + iy) - (x - iy) = 2 iy = 2 ik Im z. |
|||||||||||||
4.3 Vermenigvuldiging van complexe getallen |
|||||||||||||
Het product van twee complexe getallen |
z 1 = x 1 + iy 1 |
en z 2 = x 2 + iy 2 |
een complex genoemd |
||||||||||
z 1z 2 = (x 1 + iy 1) (x 2 + iy 2) = x 1x 2 + iy 1x 2 + iy 2 x 1 + i 2 y 1 y 2 |
= (x 1x 2 - y 1 y 2) + ik (y 1x 2 + y 2 x). |
||||||||||||
De bewerking van het vermenigvuldigen van complexe getallen is dus vergelijkbaar met de bewerking van het vermenigvuldigen van algebraïsche binomialen, rekening houdend met het feit dat i 2 = - 1.
Lesplan.
1. Organisatorisch moment.
2. Presentatie van het materiaal.
3. Huiswerk.
4. De les samenvatten.
Tijdens de lessen
I. Organisatorisch moment.
II. Presentatie van het materiaal.
Motivatie.
Uitbreiding van de verzameling reële getallen is dat er nieuwe getallen (denkbeeldig) aan de reële getallen worden toegevoegd. De introductie van deze getallen houdt verband met de onmogelijkheid om een wortel te extraheren uit een negatief getal in de verzameling reële getallen.
Introductie van het concept van een complex getal.
De imaginaire getallen waarmee we de reële getallen aanvullen, worden geschreven als bi, waar I Is een denkbeeldige eenheid, en ik 2 = - 1.
Op basis hiervan krijgen we de volgende definitie van een complex getal.
Definitie... Een complex getal is een uitdrukking van de vorm een + bi, waar een en B- echte getallen. In dat geval wordt aan de volgende voorwaarden voldaan:
a) Twee complexe getallen a 1 + b 1 i en a 2 + b 2 i zijn gelijk als en slechts als een 1 = een 2, b1 = b2.
b) De optelling van complexe getallen wordt bepaald door de regel:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) ik.
c) Vermenigvuldiging van complexe getallen wordt bepaald door de regel:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) ik.
Algebraïsche vorm van een complex getal.
Een complex getal in de vorm schrijven een + bi wordt de algebraïsche vorm van een complex getal genoemd, waarbij een- echt deel, bi Is het denkbeeldige deel, en B Is een reëel getal.
Complex getal een + bi wordt als gelijk aan nul beschouwd als de reële en imaginaire delen gelijk zijn aan nul: a = b = 0
Complex getal een + bi Bij b = 0 wordt beschouwd als hetzelfde als een reëel getal een: a + 0i = a.
Complex getal een + bi Bij een = 0 wordt puur imaginair genoemd en wordt aangeduid met bi: 0 + bi = bi.
Twee complexe getallen z = a + bi en = een - bi die alleen in het teken van het imaginaire deel verschillen, worden geconjugeerd genoemd.
Acties op complexe getallen in algebraïsche vorm.
U kunt het volgende doen met complexe getallen in algebraïsche vorm.
1) Toevoeging.
Definitie... De som van complexe getallen z 1 = a 1 + b 1 i en z 2 = a 2 + b 2 i een complex getal genoemd z, waarvan het reële deel gelijk is aan de som van de reële delen z 1 en z 2, en het denkbeeldige deel is de som van de denkbeeldige delen van de getallen z 1 en z 2, dat is z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
Cijfers z 1 en z 2 worden termen genoemd.
Het optellen van complexe getallen heeft de volgende eigenschappen:
1º. Commuteerbaarheid: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2º. Associativiteit: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Complex getal –A –bi het tegenovergestelde van een complex getal genoemd z = a + bi... Complex getal tegenover complex getal z, aangeduid -z... Som van complexe getallen z en -z is gelijk aan nul: z + (-z) = 0
Voorbeeld 1. Voer optelling uit (3 - ik) + (-1 + 2i).
(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) ik = 2 + 1i.
2) Aftrekken.
Definitie. Aftrekken van een complex getal z 1 complex getal z 2 z, wat z + z 2 = z 1.
Stelling... Het verschil van complexe getallen bestaat en is bovendien uniek.
Voorbeeld 2. Voer aftrekking uit (4 - 2i) - (-3 + 2i).
(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) ik = 7 - 4i.
3) Vermenigvuldiging.
Definitie... Het product van complexe getallen z 1 = a 1 + b 1 i en z 2 = a 2 + b 2 i een complex getal genoemd z gedefinieerd door de gelijkheid: z = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1) i.
Cijfers z 1 en z 2 worden factoren genoemd.
Vermenigvuldigen van complexe getallen heeft de volgende eigenschappen:
1º. Commuteerbaarheid: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. Associativiteit: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Distributiviteit van vermenigvuldigen ten opzichte van optellen:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z = (a + bi) (a - bi) = a 2 + b 2 is een reëel getal.
In de praktijk wordt de vermenigvuldiging van complexe getallen uitgevoerd volgens de regel van het vermenigvuldigen van de som met de som en het scheiden van de reële en imaginaire delen.
In het volgende voorbeeld zullen we vermenigvuldiging van complexe getallen op twee manieren beschouwen: door regel en vermenigvuldiging van de som met de som.
Voorbeeld 3. Vermenigvuldiging uitvoeren (2 + 3i) (5 - 7i).
1 manier. (2 + 3i) (5 - 7i) = (2 × 5 - 3 × (- 7)) + (2 × (- 7) + 3 × 5) i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 ) ik = 31 + i.
Methode 2. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2 × 5 + 2 × (- 7i) + 3i × 5 + 3i × (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) Divisie.
Definitie... Complex getal delen z 1 op een complex getal z 2, zoek dan zo'n complex getal z, wat z z 2 = z 1.
Stelling. Het quotiënt van complexe getallen bestaat en is uniek als z 2 ≠ 0 + 0i.
In de praktijk wordt het quotiënt van complexe getallen gevonden door de teller en noemer te vermenigvuldigen met de vervoeging van de noemer.
Laat z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, dan
.
In het volgende voorbeeld delen we door de formule en de vermenigvuldigingsregel met de geconjugeerde noemer.
Voorbeeld 4. Vind het quotiënt 
.
5) Verhogen tot een positief geheel getal.
a) De krachten van de denkbeeldige eenheid.
De gelijkheid gebruiken ik 2 = -1, is het gemakkelijk om elke positieve gehele macht van de denkbeeldige eenheid te definiëren. We hebben:
ik 3 = ik 2 ik = -ik,
ik 4 = ik 2 ik 2 = 1,
ik 5 = ik 4 ik = ik,
ik 6 = ik 4 ik 2 = -1,
ik 7 = ik 5 ik 2 = -ik,
ik 8 = ik 6 ik 2 = 1 enzovoort.
Hieruit blijkt dat de waarden van de graad in, waar N- een positief geheel getal, periodiek herhaald wanneer de indicator stijgt met 4 .
Daarom, om het aantal te verhogen I tot een geheel positieve graad, moet de exponent worden gedeeld door 4 en rechtop I tot de macht, waarvan de exponent gelijk is aan de rest van de deling.
Voorbeeld 5. Bereken: (ik 36 + ik 17) ik 23.
ik 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
ik 17 = ik 4 × 4 + 1 = (i 4) 4 × ik = 1 ik = ik.
i 23 = i 4 × 5 + 3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.
(i 36 + ik 17) ik 23 = (1 + i) (- ik) = - ik + 1 = 1 - ik.
b) Het verheffen van een complex getal tot een positief geheel getal wordt uitgevoerd volgens de regel van het verheffen van een binomiaal tot de juiste macht, aangezien het een speciaal geval is van het vermenigvuldigen van dezelfde complexe factoren.
Voorbeeld 6. Bereken: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 × 4 2 × 2i + 3 × 4 × (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i - 48 - 8i = 16 + 88i.
Zoekopdracht
We kunnen u informeren over nieuwe artikelen,