Наибольший общий делитель

Определение 2

Если натуральное число a делится на натуральное число $b$, то $b$ называют делителем числа $a$, а число $a$ называют кратным числа $b$.

Пусть $a$ и $b$-натуральные числа. Число $c$ называют общим делителем и для $a$ и для $b$.

Множество общих делителей чисел $a$ и $b$ конечно, так как ни один из этих делителей не может быть больше, чем $a$. Значит,среди этих делителей есть наибольший, который называют наибольшим общим делителем чисел $a$ и $b$ и для его обозначения используют записи:

$НОД \ (a;b) \ или \ D \ (a;b)$

Чтобы найти наибольший общий делитель двух, чисел необходимо:

  1. Найти произведение чисел, найденных на шаге 2. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

Пример 1

Найти НОД чисел $121$ и $132.$

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

    $НОД=2\cdot 11=22$

Пример 2

Найти НОД одночленов $63$ и $81$.

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого:

    Разложим числа на простые множители

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Выбираем числа, которые входят в разложение этих чисел

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Найдем произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

    $НОД=3\cdot 3=9$

Найти НОД двух чисел можно и по-другому, используя множество делителей чисел.

Пример 3

Найти НОД чисел $48$ и $60$.

Решение:

Найдем множество делителей числа $48$: $\left\{{\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48}\right\}$

Теперь найдем множество делителей числа $60$:$\ \left\{{\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}\right\}$

Найдем пересечение этих множеств: $\left\{{\rm 1,2,3,4,6,12}\right\}$- данное множество будет определять множество общих делителей чисел $48$ и $60$. Наибольший элемент в данном множестве будет число $12$. Значит наибольший общий делитель чисел $48$ и $60$ будет $12$.

Определение НОК

Определение 3

Общим кратным натуральных чисел $a$ и $b$ называется натуральное число, которое кратно и $a$ и $b$.

Общими кратными чисел называются числа которые делятся на исходные без остатка.Например для чисел $25$ и $50$ общими кратными будут числа $50,100,150,200$ и т.д

Наименьшее из общих кратных будет называться наименьшим общим кратным и обозначается НОК$(a;b)$ или K$(a;b).$

Чтобы найти НОК двух чисел, необходимо:

  1. Разложить числа на простые множители
  2. Выписать множители, входящие в состав первого числа и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого

Пример 4

Найти НОК чисел $99$ и $77$.

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

    Разложить числа на простые множители

    $99=3\cdot 3\cdot 11$

    Выписать множители, входящие в состав первого

    добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого

    Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным

    $НОК=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

    Составление списков делителей чисел часто очень трудоемкое занятие. Существует способ нахождение НОД, называемый алгоритмом Евклида.

    Утверждения, на которых основан алгоритм Евклида:

    Если $a$ и $b$ --натуральные числа, причем $a\vdots b$, то $D(a;b)=b$

    Если $a$ и $b$ --натуральные числа, такие что $b

Пользуясь $D(a;b)= D(a-b;b)$, можно последовательно уменьшать рассматриваемые числа до тех пор, пока не дойдем до такой пары чисел, что одно из них делится на другое. Тогда меньшее из этих чисел и будет искомым наибольшим общим делителем для чисел $a$ и $b$.

Свойства НОД и НОК

  1. Любое общее кратное чисел $a$ и $b$ делится на K$(a;b)$
  2. Если $a\vdots b$ , то К$(a;b)=a$

    3. Если К$(a;b)=k$ и $m$-натуральное число, то К$(am;bm)=km$

    Если $d$-общий делитель для $a$ и $b$,то К($\frac{a}{d};\frac{b}{d}$)=$\ \frac{k}{d}$

    Если $a\vdots c$ и $b\vdots c$ ,то $\frac{ab}{c}$ - общее кратное чисел $a$ и $b$

    Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ выполняется равенство

    $D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

    Любой общийй делитель чисел $a$ и $b$ является делителем числа $D(a;b)$

Эта статья посвящена такому вопросу, как нахождение наибольшего общего делителя. Сначала мы объясним, что это такое, и приведем несколько примеров, введем определения наибольшего общего делителя 2 , 3 и более чисел, после чего остановимся на общих свойствах данного понятия и докажем их.

Что такое общие делители

Чтобы понять, что из себя представляет наибольший общий делитель, сначала сформулируем, что вообще такое общий делитель для целых чисел.

В статье о кратных и делителях мы говорили, что у целого числа всегда есть несколько делителей. Здесь же нас интересуют делители сразу некоторого количества целых чисел, особенно общие (одинаковые) для всех. Запишем основное определение.

Определение 1

Общим делителем нескольких целых чисел будет такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества.

Пример 1

Вот примеры такого делителя: тройка будет общим делителем для чисел - 12 и 9 , поскольку верны равенства 9 = 3 · 3 и − 12 = 3 · (− 4) . У чисел 3 и - 12 есть и другие общие делители, такие, как 1 , − 1 и − 3 . Возьмем другой пример. У четырех целых чисел 3 , − 11 , − 8 и 19 будет два общих делителя: 1 и - 1 .

Зная свойства делимости, мы можем утверждать, что любое целое число можно разделить на единицу и минус единицу, значит, у любого набора целых чисел уже будет как минимум два общих делителя.

Также отметим, что если у нас есть общий для нескольких чисел делитель b , то те же числа можно разделить и на противоположное число, то есть на - b . В принципе, мы можем взять лишь положительные делители, тогда все общие делители также будут больше 0 . Такой подход также можно использовать, однако совсем игнорировать отрицательные числа не следует.

Что такое наибольший общий делитель (НОД)

Согласно свойствам делимости, если b является делителем целого числа a , которое не равно 0, то модуль числа b не может быть больше, чем модуль a , следовательно, любое число, не равное 0 , имеет конечное число делителей. Значит, число общих делителей нескольких целых чисел, хотя бы одно из которых отличается от нуля, также будет конечным, и из всего их множества мы всегда можем выделить самое большое число (ранее мы уже говорили о понятии наибольшего и наименьшего целого числа, советуем вам повторить данный материал).

В дальнейших рассуждениях мы будем считать, что хотя бы одно из множества чисел, для которых нужно найти наибольший общий делитель, будет отлично от 0 . Если они все равны 0 , то их делителем может быть любое целое число, а поскольку их бесконечно много, выбрать наибольшее мы не сможем. Иначе говоря, найти наибольший общий делитель для множества чисел, равных 0 , нельзя.

Переходим к формулировке основного определения.

Определение 2

Наибольшим общим делителем нескольких чисел является самое большое целое число, которое делит все эти числа.

На письме наибольший общий делитель чаще всего обозначается аббревиатурой НОД. Для двух чисел его можно записать как НОД (a , b) .

Пример 2

Какой можно привести пример НОД для двух целых чисел? Например, для 6 и - 15 это будет 3 . Обоснуем это. Сначала запишем все делители шести: ± 6 , ± 3 , ± 1 , а потом все делители пятнадцати: ± 15 , ± 5 , ± 3 и ± 1 . После этого мы выбираем общие: это − 3 , − 1 , 1 и 3 . Из них надо выбрать самое большое число. Это и будет 3 .

Для трех и более чисел определение наибольшего общего делителя будет почти таким же.

Определение 3

Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.

Для чисел a 1 , a 2 , … , a n делитель удобно обозначать как НОД (a 1 , a 2 , … , a n) . Само значение делителя записывается как НОД (a 1 , a 2 , … , a n) = b .

Пример 3

Приведем примеры наибольшего общего делителя нескольких целых чисел: 12 , - 8 , 52 , 16 . Он будет равен четырем, значит, мы можем записать, что НОД (12 , - 8 , 52 , 16) = 4 .

Проверить правильность данного утверждения можно с помощью записи всех делителей этих чисел и последующего выбора наибольшего из них.

На практике часто встречаются случаи, когда наибольший общий делитель равен одному из чисел. Это происходит тогда, когда на данное число можно разделить все остальные числа (в первом пункте статьи мы привели доказательство этого утверждения).

Пример 4

Так, наибольший общий делитель чисел 60 , 15 и - 45 равен 15 , поскольку пятнадцать делится не только на 60 и - 45 , но и на само себя, и большего делителя для всех этих чисел не существует.

Особый случай составляют взаимно простые числа. Они представляют собой целые числа с наибольшим общим делителем, равным 1 .

Основные свойства НОД и алгоритм Евклида

У наибольшего общего делителя есть некоторые характерные свойства. Сформулируем их в виде теорем и докажем каждое из них.

Отметим, что данные свойства сформулированы для целых чисел больше нуля, а делители мы рассмотрим только положительные.

Определение 4

Числа a и b имеют наибольший общий делитель, равный НОД для b и a , то есть НОД (a , b) = НОД (b , a) . Перемена мест чисел не влияет на конечный результат.

Данное свойство следует из самого определения НОД и не нуждается в доказательствах.

Определение 5

Если число a можно разделить на число b , то множество общих делителей этих двух чисел будет аналогично множеству делителей числа b , то есть НОД (a , b) = b .

Докажем это утверждение.

Доказательство 1

Если у чисел a и b есть общие делители, то на них можно разделить любое из них. В то же время если a будет кратным b, то любой делитель b будет делителем и для a , поскольку у делимости есть такое свойство, как транзитивность. Значит, любой делитель b будет общим для чисел a и b . Это доказывает, что если мы можем разделить a на b , то множество всех делителей обоих чисел совпадет с множеством делителей одного числа b . А поскольку наибольший делитель любого числа есть само это число, то наибольший общий делитель чисел a и b будет также равен b , т.е. НОД (a , b) = b . Если a = b , то НОД (a , b) = НОД (a , a) = НОД (b , b) = a = b , например, НОД (132 , 132) = 132 .

Используя это свойство, мы можем найти наибольший общий делитель двух чисел, если одно из них можно разделить на другое. Такой делитель равен одному из этих двух чисел, на которое можно разделить второе число. К примеру, НОД (8 , 24) = 8 , так как 24 есть число, кратное восьми.

Определение 6 Доказательство 2

Попробуем доказать данное свойство. У нас изначально есть равенство a = b · q + c , и любой общий делитель a и b будет делить и c , что объясняется соответствующим свойством делимости. Поэтому любой общий делитель b и c будет делить a . Значит, множество общих делителей a и b совпадет с множеством делителей b и c , в том числе и наибольшие из них, значит, равенство НОД (a , b) = НОД (b , c) справедливо.

Определение 7

Следующее свойство получило название алгоритма Евклида. С его помощью можно вычислить наибольший общий делитель двух чисел, а также доказать другие свойства НОД.

Перед тем, как сформулировать свойство, советуем вам повторить теорему, которую мы доказывали в статье о делении с остатком. Согласно ей, делимое число a можно представить в виде b · q + r , причем b здесь является делителем, q – некоторым целым числом (его также называют неполным частным), а r – остатком, который удовлетворяет условию 0 ≤ r ≤ b .

Допустим, у нас есть два целых числа больше 0 , для которых будут справедливы следующие равенства:

a = b · q 1 + r 1 , 0 < r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

Эти равенства заканчиваются тогда, когда r k + 1 становится равен 0 . Это случится обязательно, поскольку последовательность b > r 1 > r 2 > r 3 , … представляет собой ряд убывающих целых чисел, который может включать в себя только конечное их количество. Значит, r k является наибольшим общим делителем a и b , то есть, r k = НОД (a , b) .

В первую очередь нам надо доказать, что r k – это общий делитель чисел a и b , а после этого – то, что r k является не просто делителем, а именно наибольшим общим делителем двух данных чисел.

Просмотрим список равенств, приведенный выше, снизу вверх. Согласно последнему равенству,
r k − 1 можно разделить на r k . Исходя из этого факта, а также предыдущего доказанного свойства наибольшего общего делителя, можно утверждать, что r k − 2 можно разделить на r k , так как
r k − 1 делится на r k и r k делится на r k .

Третье снизу равенство позволяет нам сделать вывод, что r k − 3 можно разделить на r k , и т.д. Второе снизу – что b делится на r k , а первое – что a делится на r k . Из всего этого заключаем, что r k – общий делитель a и b .

Теперь докажем, что r k = НОД (a , b) . Что для этого нужно сделать? Показать, что любой общий делитель a и b будет делить r k . Обозначим его r 0 .

Просмотрим тот же список равенств, но уже сверху вниз. Исходя из предыдущего свойства, можно заключить, что r 1 делится на r 0 , значит, согласно второму равенству r 2 делится на r 0 . Идем по всем равенствам вниз и из последнего делаем вывод, что r k делится на r 0 . Следовательно, r k = НОД (a , b) .

Рассмотрев данное свойство, заключаем, что множество общих делителей a и b аналогично множеству делителей НОД этих чисел. Это утверждение, которое является следствием из алгоритма Евклида, позволит нам вычислить все общие делители двух заданных чисел.

Перейдем к другим свойствам.

Определение 8

Если a и b являются целыми числами, не равными 0 , то должны существовать два других целых числа u 0 и v 0 , при которых будет справедливым равенство НОД (a , b) = a · u 0 + b · v 0 .

Равенство, приведенное в формулировке свойства, является линейным представлением наибольшего общего делителя a и b . Оно носит название соотношения Безу, а числа u 0 и v 0 называются коэффициентами Безу.

Доказательство 3

Докажем данное свойство. Запишем последовательность равенств по алгоритму Евклида:

a = b · q 1 + r 1 , 0 < r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

Первое равенство говорит нам о том, что r 1 = a − b · q 1 . Обозначим 1 = s 1 и − q 1 = t 1 и перепишем данное равенство в виде r 1 = s 1 · a + t 1 · b . Здесь числа s 1 и t 1 будут целыми. Второе равенство позволяет сделать вывод, что r 2 = b − r 1 · q 2 = b − (s 1 · a + t 1 · b) · q 2 = − s 1 · q 2 · a + (1 − t 1 · q 2) · b . Обозначим − s 1 · q 2 = s 2 и 1 − t 1 · q 2 = t 2 и перепишем равенство как r 2 = s 2 · a + t 2 · b , где s 2 и t 2 также будут целыми. Это объясняется тем, что сумма целых чисел, их произведение и разность также представляют собой целые числа. Точно таким же образом получаем из третьего равенства r 3 = s 3 · a + t 3 · b , из следующего r 4 = s 4 · a + t 4 · b и т.д. В конце заключаем, что r k = s k · a + t k ·b при целых s k и t k . Поскольку r k = НОД (a , b) , обозначим s k = u 0 и t k = v 0 , В итоге мы можем получить линейное представление НОД в требуемом виде: НОД (a , b) = a · u 0 + b · v 0 .

Определение 9

НОД (m · a , m · b) = m · НОД (a , b) при любом натуральном значении m .

Доказательство 4

Обосновать это свойство можно так. Умножим на число m обе стороны каждого равенства в алгоритме Евклида и получим, что НОД (m · a , m · b) = m · r k , а r k – это НОД (a , b) . Значит, НОД (m · a , m · b) = m ·НОД (a , b) . Именно это свойство наибольшего общего делителя используется при нахождении НОД методом разложения на простые множители.

Определение 10

Если у чисел a и b есть общий делитель p , то НОД (a: p , b: p) = НОД (a , b) : p . В случае, когда p = НОД (a , b) получим НОД (a: НОД (a , b) , b: НОД (a , b) = 1 , следовательно, числа a: НОД (a , b) и b: НОД (a , b) являются взаимно простыми.

Поскольку a = p · (a: p) и b = p · (b: p) , то, основываясь на предыдущем свойстве, можно создать равенства вида НОД (a , b) = НОД (p · (a: p) , p · (b: p)) = p ·НОД (a: p , b: p) , среди которых и будет доказательство данного свойства. Это утверждение мы используем, когда приводим обыкновенные дроби к несократимому виду.

Определение 11

Наибольшим общим делителем a 1 , a 2 , … , a k будет число d k , которое можно найти, последовательно вычисляя НОД (a 1 , a 2) = d 2 , НОД (d 2 , a 3) = d 3 , НОД (d 3 , a 4) = d 4 , … , НОД (d k - 1 , a k) = d k .

Это свойство полезно при нахождении наибольшего общего делителя трех и более чисел. С помощью него можно свести это действие к операциям с двумя числами. Его основой является следствие из алгоритма Евклида: если множество общих делителей a 1 , a 2 и a 3 совпадает с множеством d 2 и a 3 , то оно совпадет и с делителями d 3 . Делители чисел a 1 , a 2 , a 3 и a 4 совпадут с делителями d 3 , значит, они совпадут и с делителями d 4 , и т.д. В конце мы получим, что общие делители чисел a 1 , a 2 , … , a k совпадут с делителями d k , а поскольку наибольшим делителем числа d k будет само это число, то НОД (a 1 , a 2 , … , a k) = d k .

Это все, что мы хотели бы рассказать о свойствах наибольшего общего делителя.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Решим задачу. У нас есть два типа печенья. Одни шоколадные, а другие простые. Шоколадных 48 штук, а простых 36. Необходимо составить из этого печенья максимально возможное число подарков, при этом надо использовать их все.

Для начала выпишем все делители каждого из этих двух чисел, так как оба эти числа должны делиться на количество подарков.

Получаем,

  • 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
  • 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Найдем среди делителей общие, которые есть как у первого, так и у второго числа.

Общими делителями будут: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Наибольшим из всех общих делителей является число 12. Это число называют наибольшим общим делителем чисел 36 и 48.

Исходя из полученного результата, можем заключить, что из всего печенья можно составить 12 подарков. В одном таком подарке будет 4 шоколадных печенья и 3 обычных печенья.

Определение наибольшего общего делителя

  • Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка два числа a и b, называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Иногда для сокращения записи используют аббревиатуру НОД.

Некоторые пары чисел имеют в качестве наибольшего общего делителя единицу. Такие числа называют взаимно простыми числами. Например, числа 24 и 35. Имеют НОД =1.

Как найти наибольший общий делитель

Для того чтобы найти наибольший общий делитель не обязательно выписывать все делители данных чисел.

Можно поступить иначе. Сначала разложить на простые множители оба числа.

  • 48 = 2*2*2*2*3,
  • 36 = 2*2*3*3.

Теперь из множителей, которые входят в разложение первого числа, вычеркнем все те, которые не входят в разложение второго числа. В нашем случае это две двойки.

  • 48 = 2*2*2*2*3 ,
  • 36 = 2*2*3 *3.

Останутся множители 2, 2 и 3. Их произведение равно 12. Это число и будет являться наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.

Это правило можно распространить на случай с тремя, четырьмя и т.д. числами.

Общая схема нахождения наибольшего общего делителя

  • 1. Разложить числа на простые множители.
  • 2. Из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел.
  • 3. Посчитать произведение оставшихся множителей.

Глава 1. Натуральные числа

1.6. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Ранее мы назвали делители числа . Теперь попробуем разложить составные числа на простые множители.

Определение

Разложить число на простые множители - это значит представить его в виде равного ему произведения простых чисел.

Разложение на простые множители чисел и будет выглядеть следующим образом:
; .
Разложение на простые множители чисел , , можно представить и в другом виде:


198 2
2574 2
255 3
3 1287 3
5
3
3 17
11
11



13










Сейчас я запишу это в строчку
.

Очень хорошо! Ты просто гений.

А мне еще не понятно, как ты так быстро угадал, что число делится на ?

А это просто. Я воспользовался признаком делимости на . Давай-ка мы обратим внимание на то, что в только-что записанных тобой произведениях повторяется число .

Определение

Число, на которое делится каждое из данных чисел, называется общим делителем этих чисел.

Т.е. в нашем случае число и есть общий делитель?

Да, это я и хотел сказать. А если взять числа и , то у них, как ты видишь, три общих делителя: , и (не считая ).

Не понимаю?...

Определение

Самый больший из общих делителей данных чисел называется их наибольшим общим делителем и сокращенно пишется НОД.

Ты должен запомнить, что НОД играет большую роль в математике.

Я уже вижу, что в математике все понятия играют большую роль. И как их все запомнить ?. А как же найти этот НОД?

Не переживай, они сами запомнятся с течением времени, если ты будешь регулярно ими пользоваться .
Итак, продолжим. Чтобы найти НОД нескольких чисел, можно разложить их на простые множители, выписать их общие простые множители и перемножить.

Это хорошо. Но ведь есть числа, у которых нет общих делителей кроме единицы! Вот, например, и , и .

Да, ты правильно заметил.

Определение

Числа, не имеющие общих делителей (кроме единицы), называются взаимно простыми.

Так что же это получается: все простые числа будут и взаимно простыми?

И в этом случае ты прав! Однако, нам еще необходимо рассмотреть такое понятие, как наименьшее общее кратное НОК.

Определение

Число, которое делится на каждое из данных чисел, называется общим кратным этих чисел.

Так, для чисел и общим кратным будет каждое из чисел: , , , , НОК .

Молодец. А как ты думаешь, каким будет НОК у взаимно простых чисел?

Сейчас соображу. У них нет общих кроме единицы делителей, а поэтому их произведение и есть их НОК!

Это просто потрясающе! Какое великолепное умозаключение.
И в конце наших изысканий я хочу тебе поведать о том, как находить НОК, если он не очевиден.

В этом случае данные числа разлагают на простые множители. Затем из самого большого числа выписывают все множители и к ним приписывают недостающие множители из разложений остальных чисел.

Да, я доволен, мне понравилось.


Эта статья про нахождение наибольшего общего делителя (НОД) двух и большего количества чисел. Сначала рассмотрим алгоритм Евклида, он позволяет находить НОД двух чисел. После этого остановимся на методе, позволяющем вычислять НОД чисел как произведение их общих простых множителей. Дальше разберемся с нахождением наибольшего общего делителя трех и большего количества чисел, а также приведем примеры вычисления НОД отрицательных чисел.

Навигация по странице.

Алгоритм Евклида для нахождения НОД

Заметим, что если бы мы с самого начала обратились к таблице простых чисел , то выяснили бы, что числа 661 и 113 – простые, откуда можно было бы сразу сказать, что их наибольший общий делитель равен 1 .

Ответ:

НОД(661, 113)=1 .

Нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители

Рассмотрим еще один способ нахождения НОД. Наибольший общий делитель может быть найден по разложениям чисел на простые множители . Сформулируем правило: НОД двух целых положительных чисел a и b равен произведению всех общих простых множителей, находящихся в разложениях чисел a и b на простые множители .

Приведем пример для пояснения правила нахождения НОД. Пусть нам известны разложения чисел 220 и 600 на простые множители, они имеют вид 220=2·2·5·11 и 600=2·2·2·3·5·5 . Общими простыми множителями, участвующими в разложении чисел 220 и 600 , являются 2 , 2 и 5 . Следовательно, НОД(220, 600)=2·2·5=20 .

Таким образом, если разложить числа a и b на простые множители и найти произведение всех их общих множителей, то этим будет найден наибольший общий делитель чисел a и b .

Рассмотрим пример нахождения НОД по озвученному правилу.

Пример.

Найдите наибольший общий делитель чисел 72 и 96 .

Решение.

Разложим на простые множители числа 72 и 96 :

То есть, 72=2·2·2·3·3 и 96=2·2·2·2·2·3 . Общими простыми множителями являются 2 , 2 , 2 и 3 . Таким образом, НОД(72, 96)=2·2·2·3=24 .

Ответ:

НОД(72, 96)=24 .

В заключение этого пункта заметим, что справедливость приведенного правила нахождения НОД следует из свойства наибольшего общего делителя, которое утверждает, что НОД(m·a 1 , m·b 1)=m·НОД(a 1 , b 1) , где m – любое целое положительное число.

Нахождение НОД трех и большего количества чисел

Нахождение наибольшего общего делителя трех и большего количества чисел может быть сведено к последовательному нахождению НОД двух чисел. Мы об этом упоминали, при изучении свойств НОД. Там мы сформулировали и доказали теорему: наибольший общий делитель нескольких чисел a 1 , a 2 , …, a k равен числу d k , которое находится при последовательном вычислении НОД(a 1 , a 2)=d 2 , НОД(d 2 , a 3)=d 3 , НОД(d 3 , a 4)=d 4 , …, НОД(d k-1 , a k)=d k .

Давайте разберемся, как выглядит процесс нахождения НОД нескольких чисел, рассмотрев решение примера.

Пример.

Найдите наибольший общий делитель четырех чисел 78 , 294 , 570 и 36 .

Решение.

В этом примере a 1 =78 , a 2 =294 , a 3 =570 , a 4 =36 .

Сначала по алгоритму Евклида определим наибольший общий делитель d 2 двух первых чисел 78 и 294 . При делении получаем равенства 294=78·3+60 ; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 и 18=6·3 . Таким образом, d 2 =НОД(78, 294)=6 .

Теперь вычислим d 3 =НОД(d 2 , a 3)=НОД(6, 570) . Опять применим алгоритм Евклида: 570=6·95 , следовательно, d 3 =НОД(6, 570)=6 .

Осталось вычислить d 4 =НОД(d 3 , a 4)=НОД(6, 36) . Так как 36 делится на 6 , то d 4 =НОД(6, 36)=6 .

Таким образом, наибольший общий делитель четырех данных чисел равен d 4 =6 , то есть, НОД(78, 294, 570, 36)=6 .

Ответ:

НОД(78, 294, 570, 36)=6 .

Разложение чисел на простые множители также позволяет вычислять НОД трех и большего количества чисел. В этом случае наибольший общий делитель находится как произведение всех общих простых множителей данных чисел.

Пример.

Вычислите НОД чисел из предыдущего примера, используя их разложения на простые множители.

Решение.

Разложим числа 78 , 294 , 570 и 36 на простые множители, получаем 78=2·3·13 , 294=2·3·7·7 , 570=2·3·5·19 , 36=2·2·3·3 . Общими простыми множителями всех данных четырех чисел являются числа 2 и 3 . Следовательно, НОД(78, 294, 570, 36)=2·3=6 .