Урок на тему:"Алгебраические выражения с переменными и действия с ними"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Развивающие и обучающие пособия в интернет-магазине "Интеграл"
Электронная рабочая тетрадь по алгебре для 7 класса
Мультимедийное учебное пособие для 7-9 классов "Алгебра за 10 минут"

Числовые выражения

Чем больше мы изучаем математику, тем чаще нам приходится сталкиваться с разными определениями. Очень важно понимать смысл различных математических терминов и грамотно строить свою речь при доказательствах, объяснениях решения, вопросах и ответах на уроке.

Дадим название, привычным нам с первого класса, записям. Запись, составленную из чисел, математических знаков, скобок, т.е. составленную со смыслом, называют числовым выражением.

Примеры числовых выражений:

3 + 3: 2;     4 -5 * 0,2;     (2 + 4) : 3;     - 8 * 20.
А вот подобные записи:
- + 5;   :(2
не являются числовыми выражениями, так как не имеют смысла, а являются просто набором математических символов.

Если два числовых выражения соединить знаком "=" , то получится числовое равенство.
Необходимо очень хорошо запомнить очередность выполнения действий в числовом выражении. Сначала выполняется возведение в степень, потом умножение и деление, а потом сложение и вычитание. Если присутствуют скобки, то сначала выполняется действие в скобках.

Пример.
Вычислить значение выражения: 3 2 * 2 + 2 * 3.

Решение.
Cначала возводим в степень: 9 * 2 + 2 * 3. потом производим умножение: 18 + 6 и затем - сложение.
Ответ: 24.

Если упростить числовое выражение или, говоря более понятным языком, решить пример, мы получим число, которое называется значением числового выражения.

Алгебраические выражения

Если в числовом выражении все или часть цифр заменить буквами получим – алгебраическое выражение.

Примеры алгебраических выражений:

3 + 2а;   2 - (4 - х) : у;   а + с.
Запись вида:
+ : у.
не является алгебраическим выражением, так как не имеет смысла.

Буквы в алгебраическом выражении называются переменными.
Название очень легко запомнить. Переменная - значит, может меняться. Меняется естественно не сама буква, а числа, которые вместо буквы можно подставить в выражение. Переменные могут принимать практически любые числовые значения.
Если заменить переменные их числовыми значениями и решить пример, мы получим значение выражения при данном значении переменных.

Пример.
Есть выражение а + с , найти значение этого выражения, при а= 5; с= 3 и при а= 2; с= 7 . В первом случае ответ будет восьми, во втором - девяти.

Иногда, если вместо переменной подставить определенное число, то выражение потеряет смысл, например, если в выражение 1: х вместо х подставить число 0.

Все возможные значения переменной, при которых полученное после подстановки числовое выражение имеет смысл, называется областью определения данного выражения.

Примеры.
1) 2 + х. X может принимать любые значения, значит область определения - все числа.
2) 2: х. Область определения - все числа, кроме 0.
3) 3: (х + 5). Область определения - все числа, кроме -5.
4) 6: (а - с). Область определения - все числа, при условии а ≠ с.

Задания для самостоятельного решения

Найти область определения алгебраических выражений:
1) (а + с) : а;
2) (х + 8) : (х - у);
3) 2х + 4у + 6;
4) х: (х 2 + 1).

В публикации представлена логика различия алгебраических выражений для учащихся основного общего и среднего (полного) общего образования как переходной этап формирования логики различий математических выражений применяемых в физике и т.д. для формирования в дальнейшем понятий о явлениях, задачах, их классификации и методологии подхода их решения.

Скачать:


Предварительный просмотр:

Алгебраические выражения и их характеристики

© Скаржинский Я.Х.

Алгебра, как наука, изучает закономерности действий над множествами, обозначенных буквами. К алгебраическим действиям относят сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня. В результате данных действий образовались алгебраические выражения. Алгебраическое выражение - выражение, состоящее из чисел и букв, обозначающих множества, с которым осуществляют алгебраические действия. Данные действия перешли в алгебру из арифметики. В алгебре рассматривают и приравнивание одного алгебраического выражения другому, что является их тождественным равенством. Примеры алгебраических выражений приведены в §1. Методы преобразований и взаимосвязи выражений были тоже позаимствованы у арифметики . Знания арифметических закономерностей действий над арифметическими выражениями позволяют проводить преобразования над похожими алгебраическими выражениями, преобразовывать их, упрощать, сравнивать, анализировать. Алгебра – наука закономерностей преобразований выражений, состоящих из множеств, представленных в виде буквенных обозначений, связанных между собой знаками различных действий. Существуют и более сложные алгебраические выражения, изучаемые в высших учебных заведениях. Пока их можно разделить на виды, наиболее часто применяемые в школьном курсе.

1 Виды алгебраических выражений

п.1 Простые выражения: 4a; (a + b); (a + b)3с; ; .

п.2 Тождественные равенства: (a + b)с = aс + bс; ;

п.3 Неравенства: aс ; a + с .

п.4 Формулы: х=2а+5; у=3b; у=0,5d 2 +2;

п.5 Пропорции:

Первого уровня сложности

Второго уровня сложности

Третьего уровня сложности сточки зрения поиска значений для множеств

a, b, c, m, k, d:

Четвертого уровня сложности сточки зрения поиска значений для множеств а, у:

п.6 Уравнения:

ах+с = -5bх; 4х 2 +2х= 42;

И т.д.

п.7 Функциональные зависимости: у=3х; у=ах 2 +4b; у=0,5х 2 +2;

И т.д.

2 Рассмотрим алгебраические выражения

2.1 В п.1 представлены простые алгебраические выражения. Бывает вид и

сложнее, к примеру:

Как правило, такие выражения не имеют знака «=». Задачей при рассмотрении таких выражений является их преобразование и получение в упрощенном виде. При преобразовании алгебраического выражения, относящегося к п.1, получают новое алгебраическое выражение, которое по своему значению равнозначно предыдущему. Такие выражения, говорят, тождественно равнозначны. Т.е. алгебраическое выражение слева от знака равно, равнозначно по своему значению алгебраическому выражению справа. В таком случае получают алгебраическое выражение нового вида, называемое тождественным равенством (см. п. 2).

2.2 В п.2 представлены алгебраические тождественные равенства , которые образуются при алгебраических методах преобразования, рассматриваются алгебраические выражения, наиболее часто применяемые как методы при решении задач по физике. Примеры тождественных равенств алгебраических преобразований, применяемых часто в математике и физике:

Переместительный закон сложения: a + b = b + a.

Сочетательный закон сложения: (a + b) + с = a + (b + c).

Переместительный закон умножения: ab = ba.

Сочетательный закон умножения: (ab)с = a(bc).

Распределительный закон умножения относительно сложения:

(a + b)с = aс + bс.

Распределительный закон умножения относительно вычитания:

(a - b)с = aс - bс.

Тождественные равенства дробных алгебраических выражений (предполагается, что знаменатели дробей отличны от нуля):

Тождественные равенства алгебраических выражений со степенями:

а) ,

где (n раз, ) - степень с целым показателем

б) (a + b) 2 =а 2 +2ab+b 2 .

Тождественные равенства алгебраических выражений с корнями n- й степени:

Выражение - арифметический корень n -й степени из числа В частности, - арифметический квадратный.

Степень с дробным (рациональным) показателем корень:

Тождественные выше приведенные равнозначные выражения применяют для преобразований более сложных алгебраических выражений, не содержащих знака «=».

Рассмотрим пример, в котором для преобразований более сложного алгебраического выражения используют знания, приобретенные при преобразованиях более простых алгебраических выражений в виде тождественных равенств.

2.3 В п.3 представлены алгебраические н еравенства, у которых алгебраическое выражение левой части не равно правой, т.е. не являются тождественными. В таком случае они и являются неравенствами. Как правило, при решении некоторых задач по физике важны свойства неравенств:

1) Если a , то при любом c : a + с .

2) Если a и c > 0 , то aс .

3) Если a и c , то aс > bс .

4) Если a , a и b одного знака, то 1/a > 1/b .

5) Если a и c , то a + с , a - d .

6) Если a , c , a > 0 , b > 0 , c > 0 , d > 0 , то ac .

7) Если a , a > 0 , b > 0 , то

8) Если , то

2.4 В п.4 представлены алгебраические формулы т.е. алгебраические выражения, у которых с левой части от знака равенства стоит буква, обозначающая множество, значение которого неизвестно и его следует определить. А с правой части от знака равно стоят множества, значения которых известны. В данном случае это алгебраическое выражение называют алгебраической формулой.

Алгебраическая формула - это алгебраическое выражение, содержащее знак равенства, с левой стороны от которого находится множество, значение которого неизвестно, а справа – множества с известными значениями, исходя из условия задачи. Для определения неизвестного значения множества, стоящего слева от знака «равно», производят подстановку известных значений величин в правой части от знака «равно» и осуществляют арифметические вычислительные действия, обозначенные в алгебраическом выражении в этой части.

Пример 1:

Дано: Решение:

а=25 Пусть дано алгебраическое выражение:

х=? х=2а+5.

Данное алгебраическое выражение является алгебраической формулой т.к. слева от знака «равно» стоит множество, значение которого следует найти, а справа - множества с известными значениями.

Следовательно, можно осуществлять подстановку известного значения для множества «а», для определения неизвестного значения множества «х»:

х=2·25+5=55. Ответ: х=55.

Пример 2:

Дано: Решение:

а=25 Алгебраическое выражение является формулой.

b=4 Поэтому можно осуществлять подстановку известных

c=8 значений для множеств, находящихся справа от знака «равно»,

d=3 для определения неизвестного значения множества «k»,

m=20 стоящего слева:

n=6 Ответ: k=3,2.

В О П Р О С Ы

1 Что собой представляет алгебраическое выражение?

2 Какие виды алгебраических выражений вы знаете?

3 Какое алгебраическое выражение называют тождественным равенством?

4 Для чего необходимо знать шаблоны тождественных равенств?

5 Какое алгебраическое выражение называют формулой?

6 Какое алгебраическое выражение называют уравнением?

7 Какое алгебраическое выражение называют функциональной зависимостью?


Алгебраическое выражение

выражение, составленное из букв и цифр, соединённых знаками действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня (показатели степени и корня должны быть постоянными числами). А. в. называется рациональным относительно некоторых букв, в него входящих, если оно не содержит их под знаком извлечения корня, например

рационально относительно a, b и с. А. в. называется целым относительно некоторых букв, если оно не содержит деления на выражения, содержащие эти буквы, например 3а/с + bc 2 - 3ас/4 является целым относительно а и b. Если некоторые из букв (или все) считать переменными, то А. в. есть Алгебраическая функция .


Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Алгебраическое выражение" в других словарях:

    Выражение, составленное из букв и чисел, соединенных знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня … Большой Энциклопедический словарь

    алгебраическое выражение - — Тематики нефтегазовая промышленность EN algebraic expression … Справочник технического переводчика

    Алгебраическим выражением называется одна или несколько алгебраических величин (чисел и букв), соединенных между собой знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, а также извлечения корня и возведения в целую… … Википедия

    Выражение, составленное из букв и чисел, соединённых знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня. * * * АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ, выражение,… … Энциклопедический словарь

    алгебраическое выражение - algebrinė išraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. algebraic expression vok. algebraischer Ausdruck, m rus. алгебраическое выражение, n pranc. expression algébrique, f … Fizikos terminų žodynas

    Выражение, составленное из букв и чисел, соединённых знаками алгебр. действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня … Естествознание. Энциклопедический словарь

    Алгебраическим выражением относительно данного переменного, в отличие от трансцендентного, называют такое выражение, которое не содержит иных функций от данного количества, кроме сумм, произведений или степеней этого количества, причем слагаемыми … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

    ВЫРАЖЕНИЕ, выражения, ср. 1. Действие по гл. выразить выражать. Не нахожу слов для выражения своей благодарности. 2. чаще ед. Воплощение идеи в формах какого нибудь искусства (филос.). Только крупный художник способен создать такое выражение,… … Толковый словарь Ушакова

    Уравнение, получающееся при приравнивании двух алгебраических выражений (См. Алгебраическое выражение). А. у. с одним неизвестным называется дробным, если неизвестное входит в знаменатель, и иррациональным, если неизвестное входит под… … Большая советская энциклопедия

    ВЫРАЖЕНИЕ - первичное математическое понятие, под которым подразумевают запись из букв и чисел, соединённых знаками арифметических действий, при этом могут быть использованы скобки, обозначения функций и т.п.; обычно В формула млн. её часть. Различают В (1)… … Большая политехническая энциклопедия

Какие-нибудь математические выражения мы можем записать разными способами. В зависимости от наших целей, того, хватает ли нам данных и т.д. Числовые и алгебраические выражения различаются тем, что первые мы записываем только числами, объединенными с помощью знаков арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) и скобок.

Если вместо чисел ввести в выражение латинские буквы (переменные), оно станет алгебраическим. В алгебраических выражениях используются буквы, числа, знаки сложения и вычитания, умножения и деления. А также может быть использован знак корня, степени, скобки.

В любом случае, числовое это выражение или алгебраическое, оно не может быть просто случайным набором знаков, чисел и букв – в нем должен быть смысл. Это значит, что буквы, числа, знаки должны быть связаны какими-то отношениями. Правильный пример:7х + 2: (у + 1). Плохой примеру) : + 7х - * 1.

Выше было упомянуто слово «переменная» - что оно значит? Это латинская буква, вместо которой можно подставить число. И если мы говорим о переменных, в этом случае алгебраические выражения можно назвать алгебраической функцией.

Переменная может принимать различные значения. И подставляя какое-то число на ее место, мы можем найти значение алгебраического выражения при этом конкретном значении переменной. Когда значение переменной другое, другим будет и значение выражения.

Как решать алгебраические выражения?

Для вычисления значений нужно делать преобразование алгебраических выражений . А для этого вам еще нужно учесть несколько правил.

Во-первых: областью определения алгебраических выражений являются все возможные значения переменной, при которых это выражение может иметь смысл. Что подразумевается? Например, нельзя подставлять такое значение переменной, при котором пришлось бы делить на нуль. В выражении1/(х – 2)из области определения надо исключить 2.

Во-вторых, запомните, как упрощать выражения: раскладывать на множители, выносить за скобки одинаковые переменные и т.п. Например: если поменять местами слагаемые, сумма от этого не изменится (у + х = х +у). Аналогично и произведение не изменится, если поменять местами множители (х*у = у*х).

А вообще для упрощения алгебраических выражений отлично служат формулы сокращенного умножения . Тем, кто их еще не выучил, обязательно надо это сделать – все равно пригодятся не раз:

    находим разность переменных, возведенных в квадрат: х 2 – у 2 = (х – у)(х + у);

    находим сумму, возведенную в квадрат: (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2 ;

    вычисляем разность, возведенную в квадрат: (х – у) 2 = х 2 – 2ху + у 2 ;

    возводим сумму в куб: (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3 или (х + у) 3 = х 3 + у 3 + 3ху(х + у);

    возводим в куб разность: (х – у) 3 = х 3 – 3х 2 у + 3ху 2 – у 3 или (х – у) 3 = х 3 – у 3 – 3ху(х – у);

    находим сумму переменных, возведенных в куб: х 3 + у 3 = (х +у)(х 2 – ху + у 2);

    вычисляем разность переменных, возведенных в куб: х 3 – у 3 = (х – у)(х 2 + ху + у 2);

    используем корни: ха 2 + уа + z = х(а – а 1)(а – а 2), а 1 и а 2 – это корни выражения ха 2 + уа + z.

Еще вам стоит иметь представление о видах алгебраических выражений. Они бывают:

    рациональные, и те в свою очередь подразделяются на:

    целые(в них нет деления на переменные, нет извлечения корней из переменных и нет возведения в дробную степень): 3a 3 b + 4a 2 b * (a – b ).Область определения – все возможные значения переменных;

    дробные(кроме остальных математических операций, вроде сложения, вычитания, умножения, в этих выражениях делят на переменную и возводят в степень (с натуральным показателем): (2/b – 3/a + с/4) 2 . Область определения – все значения переменных, при которых выражение не равно нулю;

    иррациональные– чтобы алгебраическое выражение считалось таковым, в нем должно присутствовать возведение переменных в степень с дробным показателем и/или извлечение корней из переменных: √а + b 3/4 . Область определения – все значения переменных, исключая те, при которых выражение под корнем четной степени или под дробной степенью становится отрицательным числом.

Тождественные преобразования алгебраических выражений – еще один полезный прием для их решения.Тождество – такое выражение, которое будет верным при любых входящих в область определения переменных, которые в него подставят.

Выражение, которое зависит от некоторых переменных, может быть тождественно равно другому выражению, если то зависит от тех же переменных и если значения обоих выражений равны, какие бы значения переменных не были выбраны. Другими словами, если выражение можно выразить двумя разными способами (выражениями), значения которых одинаковые, эти выражения тождественно равны. Например: у + у = 2у, или х 7 = х 4 *х 3 , или x +y +z = z + x +y.

При выполнении заданий с алгебраическими выражениями тождественное преобразование служит для того, чтобы одно выражение можно было заменить на другое, тождественное ему. К примеру, заменить х 9 на произведение х 5 *х 4 .

Примеры решения

Чтобы было понятнее, разберем несколько примеров преобразования алгебраических выражений . Задания такого уровня могут попасться в КИМах на ЕГЭ.

Задание 1 : Найти значение выражения ((12х) 2 – 12х)/(12х 2 -1).

    Решение: ((12х) 2 – 12х)/(12х 2 – 1) = (12х (12х -1))/х*(12х – 1) = 12.

Задание 2: Найти значение выражения (4х 2 – 9)*(1/(2х – 3) – 1/(2х +3).

    Решение: (4х 2 – 9)*(1/(2х – 3) – 1/(2х +3) = (2х – 3)(2х + 3)(2х + 3 – 2х + 3)/(2х – 3)(2х + 3) = 6.

Заключение

При подготовке к школьным контрольным, экзаменам ЕГЭ и ГИА вы всегда можете использовать этот материал как подсказку. Держите в памяти, что алгебраическим выражением называется комбинация из чисел и переменных, выраженных латинскими буквами. А еще знаков арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление), скобок, степеней, корней.

Используйте формулы сокращенного умножения и знания о тождественных равенствах, чтобы преобразовывать алгебраические выражения.

Пишите нам свои замечания и пожелания в комментариях – нам важно знать, что вы нас читаете.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Алгебраические выражения начинают изучать в 7 классе. Они обладают рядом свойств и используются в решении задач. Изучим эту тему подробнее и рассмотрим пример решения задачи.

Определение понятия

Какие выражения называют алгебраическими? Это математическая запись, составленная из цифр, букв и знаков арифметических действий. Наличие букв – это основное отличие числовых и алгебраических выражений. Примеры:

  • 4а+5;
  • 6b-8;
  • 5с:6*(8+5).

Буква в алгебраических выражений обозначает какое-либо число. Поэтому она называется переменной – в первом примере это буква а, во втором – b, а в третьем – с. Само алгебраическое выражение еще называют выражением с переменной .

Значение выражения

Значение алгебраического выражения – это число, получаемое в результате выполнения всех арифметических действий, которые указаны в этом выражении. Но, чтобы его получить, буквы необходимо заменить числами. Поэтому в примерах всегда указывают, какое число соответствует букве. Рассмотрим, как найти значение выражения 8а-14*(5-а), если а=3.

Подставим вместо буквы а цифру 3. Получаем следующую запись: 8*3-14*(5-3).

Как и в числовых выражениях, решение алгебраического выражения проводится по правилам выполнения арифметических действий. Решим все по порядку.

  • 5-3=2.
  • 8*3=24.
  • 14*2=28.
  • 24-28=-4.

Таким образом, значение выражения 8а-14*(5-а) при а=3 равно -4.

Значение переменной называют допустимым, если при нем выражение имеет смысл, то есть возможно найти его решение.

Пример допустимой переменной для выражения 5:2а – это цифра 1. Подставив ее в выражение, получаем 5:2*1=2,5.

Недопустимая переменная для данного выражения – это 0. Если подставить ноль в выражение, получаем 5:2*0, то есть 5:0. На ноль делить нельзя, значит, выражение не имеет смысла.

Тождественные выражения

Если два выражения при любых значениях входящих в их состав переменных оказываются равны, их называют тождественными .
Пример тождественных выражений :
4(а+с) и 4а+4с.
Какие бы значения ни принимали буквы а и с, выражения всегда окажутся равны. Любое выражение можно заменить другим, тождественным ему. Этот процесс называют тождественным преобразованием.

Пример тождественного преобразования .
4*(5а+14с) – данное выражение можно заменить тождественным, применив математический закон умножения. Чтобы умножить число на сумму двух чисел, нужно это число умножить на каждое слагаемое и сложить полученные результаты.

  • 4*5а=20а.
  • 4*14с=64с.
  • 20а+64с.

Таким образом, выражению 4*(5а+14с) является тождественным 20а+64с.

Число, стоящее в алгебраическом выражении перед буквенной переменной, называется коэффициентом. Коэффициент и переменная – это множители.

Решение задач

Алгебраические выражения используют для решения задач и уравнений.
Рассмотрим задачу. Петя придумал число. Для того, чтобы его отгадал одноклассник Саша, Петя сказал ему: сначала я прибавил к числу 7, затем вычел из него 5 и умножил на 2. В результате я получил число 28. Какое число я загадал?

Для решения задачи нужно загаданное число обозначить буквой а, а затем произвести все указанные действия с ним.

  • (а+7)-5.
  • ((а+7)-5)*2=28.

Теперь решим полученное уравнение.

Петя загадал число 12.

Что мы узнали?

Алгебраическое выражение – запись, составленная из букв, цифр и знаков арифметических действий. Каждое выражение имеет значение, которое находят путем выполнения всех арифметических действий в выражении. Буква в алгебраическом выражении называется переменной, а число перед ней – коэффициентом. Алгебраические выражения используют для решения задач.