Să ne amintim informațiile necesare despre numerele complexe.

Număr complex este o expresie a formei A + bi, Unde A, b sunt numere reale și i- așa-zisul unitate imaginară, un simbol al cărui pătrat este -1, adică i 2 = -1. Număr A numit parte reală si numarul b - parte imaginară număr complex z = A + bi... Dacă b= 0, atunci în loc de A + 0i scrie simplu A... Se poate observa că numerele reale sunt un caz special de numere complexe.

Operațiile aritmetice pe numere complexe sunt aceleași ca pe cele reale: ele pot fi adunate, scăzute, înmulțite și împărțite între ele. Adunarea și scăderea au loc conform regulii ( A + bi) ± ( c + di) = (A ± c) + (b ± d)i, și înmulțirea - conform regulii ( A + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (anunț + bc)i(aici este folosit doar că i 2 = –1). Număr = A – bi numit conjugare complexa La z = A + bi... Egalitate z · = A 2 + b 2 vă permite să înțelegeți cum să împărțiți un număr complex la un alt număr complex (diferit de zero):

(De exemplu, .)

Numerele complexe au o reprezentare geometrică convenabilă și intuitivă: numărul z = A + bi poate fi reprezentat printr-un vector cu coordonate ( A; b) pe planul cartezian (sau, care este aproape același, un punct - capătul vectorului cu aceste coordonate). În acest caz, suma a două numere complexe este reprezentată ca suma vectorilor corespunzători (care poate fi găsită prin regula paralelogramului). După teorema lui Pitagora, lungimea vectorului cu coordonatele ( A; b) este egal. Această cantitate se numește modul număr complex z = A + biși notat cu | z|. Unghiul pe care îl face acest vector cu direcția pozitivă a axei absciselor (numărat în sens invers acelor de ceasornic) se numește argument număr complex z si este notat cu Arg z... Argumentul nu este definit în mod unic, ci doar până la adăugarea unui multiplu de 2 π radiani (sau 360 °, dacă numărați în grade) - la urma urmei, este clar că rotația cu un astfel de unghi în jurul originii nu va schimba vectorul. Dar dacă vectorul lungimii r formează un unghi φ cu o direcție pozitivă a axei absciselor, atunci coordonatele acesteia sunt ( r Cos φ ; r Păcat φ ). Prin urmare, se dovedește notație trigonometrică număr complex: z = |z| (Cos (Arg z) + i păcatul (Arg z)). Este adesea convenabil să scrieți numere complexe în această formă, deoarece simplifică foarte mult calculele. Înmulțirea numerelor complexe în formă trigonometrică pare foarte simplă: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (Cos (Arg z 1 + Arg z 2) + i păcatul (Arg z 1 + Arg z 2)) (la înmulțirea a două numere complexe, modulele acestora sunt înmulțite, iar argumentele sunt adăugate). De aici urmează formule Moivre: z n = |z|n(Ca ( n(Arg z)) + i păcat ( n(Arg z))). Folosind aceste formule, este ușor să înveți cum să extragi rădăcini de orice grad din numere complexe. Rădăcina a N-a a lui z este un număr atât de complex w, ce w n = z... Este clar că , Si unde k poate lua orice valoare din multime (0, 1, ..., n- 1). Aceasta înseamnă că există întotdeauna exact n rădăcini n-gradul al unui număr complex (în plan, ele sunt situate la vârfurile corectului n-gon).

DEFINIȚIE

Forma algebrică a unui număr complex este de a scrie numărul complex \ (\ z \) sub forma \ (\ z = x + iy \), unde \ (\ x \) și \ (\ y \) sunt numere reale , \ (\ i \ ) este o unitate imaginară care satisface relația \ (\ i ^ (2) = - 1 \)

Numărul \ (\ x \) se numește partea reală a numărului complex \ (\ z \) și se notează \ (\ x = \ operatorname (Re) z \)

Numărul \ (\ y \) se numește partea imaginară a numărului complex \ (\ z \) și se notează \ (\ y = \ operatorname (Im) z \)

De exemplu:

Numărul complex \ (\ z = 3-2 i \) și numărul său asociat \ (\ \ overline (z) = 3 + 2 i \) sunt scrise în formă algebrică.

Valoarea imaginară \ (\ z = 5 i \) se scrie sub formă algebrică.

În plus, în funcție de problema rezolvată, puteți converti un număr complex în trigonometric sau exponențial.

Sarcină

Scrieți numărul \ (\ z = \ frac (7-i) (4) +13 \) în formă algebrică, găsiți părțile sale reale și imaginare, precum și numărul conjugat.

Soluţie.

Folosind termenul împărțire a fracțiilor și regula de adunare a fracțiilor, obținem:

\ (\ z = \ frac (7-i) (4) + 13 = \ frac (7) (4) + 13- \ frac (i) (4) = \ frac (59) (4) - \ frac ( 1) (4) i \)

Prin urmare, partea reală a numărului complex \ (\ z = \ frac (5 g) (4) - \ frac (1) (4) i \) este numărul \ (\ x = \ operatorname (Re) z = \ frac (59) (4) \), parte imaginară - număr \ (\ y = \ operatorname (Im) z = - \ frac (1) (4) \)

Conjugați: \ (\ \ overline (z) = \ frac (59) (4) + \ frac (1) (4) i \)

Răspuns

\ (\ z = \ frac (59) (4) - \ frac (1) (4) i \), \ (\ \ nume operator (Re) z = \ frac (59) (4) \), \ (\ \ operatorname (Im) z = - \ frac (1) (4) \), \ (\ \ overline (z) = \ frac (59) (4) + \ frac (1) (4) i \)

Acțiuni ale numerelor complexe în comparația formelor algebrice

Două numere complexe \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) se numesc egale dacă \ (\ x_ (1) = x_ (2) \), \ (\ y_ (1) = y_ (2) \) adică Părțile lor reale și imaginare sunt egale.

Sarcină

Determinați pentru care x și y două numere complexe \ (\ z_ (1) = 13 + y i \) și \ (\ z_ (2) = x + 5 i \) sunt egale.

Soluţie

Prin definiție, două numere complexe sunt egale dacă părțile lor reale și imaginare sunt egale, adică \ (\ x = 13 \), \ (\ y = 5 \).

Răspuns \ (\ x = 13 \), \ (\ y = 5 \)

plus

Adunarea numerelor complexe \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) se realizează prin însumarea directă a părților reale și imaginare:

\ (\ z_ (1) + z_ (2) = x_ (1) + i y_ (1) + x_ (2) + i y_ (2) = \ stânga (x_ (1) + x_ (2) \ dreapta) + i \ stânga (y_ (1) + y_ (2) \ dreapta) \)

Sarcină

Aflați suma numerelor complexe \ (\ z_ (1) = - 7 + 5 i \), \ (\ z_ (2) = 13-4 i \)

Soluţie.

Partea reală a numărului complex \ (\ z_ (1) = - 7 + 5 i \) este numărul \ (\ x_ (1) = \ operatorname (Re) z_ (1) = - 7 \), imaginarul parte este numărul \ ( \ y_ (1) = \ mathrm (Im) \), \ (\ z_ (1) = 5 \). Părțile reale și imaginare ale numărului complex \ (\ z_ (2) = 13-4 i \) sunt egale cu \ (\ x_ (2) = \ operatorname (Re) z_ (2) = 13 \) și \ ( \ y_ (2 ) = \ operatorname (Im) z_ (2) = - 4 \).

De aici suma numerelor complexe:

\ (\ z_ (1) + z_ (2) = \ stânga (x_ (1) + x_ (2) \ dreapta) + i \ stânga (y_ (1) + y_ (2) \ dreapta) = (- 7+ 13) + i (5-4) = 6 + i \)

Răspuns

\ (\ z_ (1) + z_ (2) = 6 + i \)

Aflați mai multe despre adăugarea numerelor complexe într-un articol separat: Adăugarea numerelor complexe.

Scădere

Scăderea numerelor complexe \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) și \ (\ z_ (2) = x_ (2) + i y_ (2) \) se realizează prin scădere directă din părțile reale și imaginare:

\ (\ z_ (1) -z_ (2) = x_ (1) + i y_ (1) - \ stânga (x_ (2) + i y_ (2) \ dreapta) = x_ (1) -x_ (2) + \ stânga (i y_ (1) -i y_ (2) \ dreapta) = \ stânga (x_ (1) -x_ (2) \ dreapta) + i \ stânga (y_ (1) -y_ (2) \ dreapta ) \)

Sarcină

găsiți diferența numerelor complexe \ (\ z_ (1) = 17-35 i \), \ (\ z_ (2) = 15 + 5 i \)

Soluţie.

Aflați părțile reale și imaginare ale numerelor complexe \ (\ z_ (1) = 17-35 i \), \ (\ z_ (2) = 15 + 5 i \):

\ (\ x_ (1) = \ operatorname (Re) z_ (1) = 17, x_ (2) = \ operatorname (Re) z_ (2) = 15 \)

\ (\ y_ (1) = \ operatorname (Im) z_ (1) = - 35, y_ (2) = \ operatorname (Im) z_ (2) = 5 \)

Prin urmare, diferența dintre numerele complexe este:

\ (\ z_ (1) -z_ (2) = \ stânga (x_ (1) -x_ (2) \ dreapta) + i \ stânga (y_ (1) -y_ (2) \ dreapta) = (17-15 ) + i (-35-5) = 2-40 i \)

Răspuns

\ (\ z_ (1) -z_ (2) = 2-40 i \) înmulțire

Înmulțirea numerelor complexe \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) și \ (\ z_ (2) = x_ (2) + i y_ (2) \) se realizează prin crearea directă numere în formă algebrică ținând cont de proprietatea unității imaginare \ (\ i ^ (2) = - 1 \):

\ (\ z_ (1) \ cdot z_ (2) = \ stânga (x_ (1) + i y_ (1) \ dreapta) \ cdot \ stânga (x_ (2) + i y_ (2) \ dreapta) = x_ (1) \ cdot x_ (2) + i ^ (2) \ cdot y_ (1) \ cdot y_ (2) + \ left (x_ (1) \ cdot i y_ (2) + x_ (2) \ cdot i y_ (1) \ dreapta) = \)

\ (\ = \ stânga (x_ (1) \ cdot x_ (2) -y_ (1) \ cdot y_ (2) \ dreapta) + i \ stânga (x_ (1) \ cdot y_ (2) + x_ (2) ) \ cdot y_ (1) \ dreapta) \)

Sarcină

Aflați produsul numerelor complexe \ (\ z_ (1) = 1-5 i \)

Soluţie.

Complex de numere complexe:

\ (\ z_ (1) \ cdot z_ (2) = \ stânga (x_ (1) \ cdot x_ (2) -y_ (1) \ cdot y_ (2) \ dreapta) + i \ stânga (x_ (1) \ cdot y_ (2) + x_ (2) \ cdot y_ (1) \ dreapta) = (1 \ cdot 5 - (- 5) \ cdot 2) + i (1 \ cdot 2 + (- 5) \ cdot 5 ) = 15-23 i \)

Răspuns

\ (\ z_ (1) \ cdot z_ (2) = 15-23 i \) împărțit

Factorul numerelor complexe \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) și \ (\ z_ (2) = x_ (2) + i y_ (2) \) se determină prin înmulțire numărătorul și numitorul numărului conjugat cu numitorul:

\ (\ \ frac (z_ (1)) (z_ (2)) = \ frac (x_ (1) + i y_ (1)) (x_ (2) + i y_ (2)) = \ frac (\ stânga (x_ (1) + i y_ (1) \ dreapta) \ stânga (x_ (2) -i y_ (2) \ dreapta)) (\ stânga (x_ (2) + i y_ (2) \ dreapta) \ stânga (x_ (2) -i y_ (2) \ dreapta)) = \ frac (x_ (1) \ cdot x_ (2) + y_ (1) \ cdot y_ (2)) (x_ (2) ^ (2) + y_ (2) ^ (2)) + i \ frac (x_ (2) \ cdot y_ (1) -x_ (1) \ cdot y_ (2)) (x_ (2) ^ (2) + y_ (2) ) ^ (2)) \)

Sarcină

Pentru a împărți numărul 1 la numărul complex \ (\ z = 1 + 2 i \).

Soluţie.

Deoarece partea imaginară a numărului real 1 este zero, factorul este:

\ (\ \ frac (1) (1 + 2 i) = \ frac (1 \ cdot 1) (1 ^ (2) + 2 ^ (2)) - i \ frac (1 \ cdot 2) (1 ^ ( 2) + 2 ^ (2)) = \ frac (1) (5) -i \ frac (2) (5) \)

Răspuns

\ (\ \ frac (1) (1 + 2 i) = \ frac (1) (5) -i \ frac (2) (5) \)

Luați în considerare o ecuație pătratică.

Să-i definim rădăcinile.

Nu există un număr real al cărui pătrat este -1. Dar dacă definim operatorul i ca unitate imaginară, atunci soluția acestei ecuații poate fi scrisă sub forma ... în care și - numere complexe, în care -1 este partea reală, 2 sau în al doilea caz -2 este partea imaginară. Partea imaginară este, de asemenea, un număr real (real). Partea imaginară înmulțită cu unitatea imaginară înseamnă deja număr imaginar.

În general, numărul complex are forma

z = X + iy ,

Unde X y- numere reale, - unitate imaginară. Într-o serie de științe aplicate, de exemplu, în inginerie electrică, electronică, teoria semnalului, unitatea imaginară este notată cu j... Numere reale x = Re (z)și y =Sunt (z) sunt numite părți reale și imaginare numerele z. Expresia se numește forma algebrică notarea unui număr complex.

Orice număr real este un caz special al unui număr complex în formă ... Numărul imaginar este, de asemenea, un caz special al unui număr complex. .

Definiția mulțimii numerelor complexe C

Această expresie se citește după cum urmează: set CU constând din elemente astfel încât Xși y aparțin mulțimii numerelor reale Rși este o unitate imaginară. Rețineți că etc.

Două numere complexe și sunt egale dacă și numai dacă părțile lor reale și imaginare sunt egale, i.e. și .

Numerele și funcțiile complexe sunt utilizate pe scară largă în știință și tehnologie, în special în mecanică, analiza și calculul circuitelor de curent alternativ, electronica analogică, în teoria și procesarea semnalelor, în teoria controlului automat și în alte științe aplicate.

1. Aritmetica numerelor complexe

Adunarea a două numere complexe constă în adăugarea părților lor reale și imaginare, i.e.

În consecință, diferența dintre două numere complexe

Număr complex numit cuprinzător conjuga numarul z =x +iy.

Numerele complexe conjugate z și z * diferă în semnele părții imaginare. Este evident că

.

Orice egalitate între expresii complexe rămâne valabilă dacă peste tot în această egalitate i inlocuit de - i, adică mergeți la egalitatea numerelor conjugate. Numerele iși – i sunt algebric de nedistins din moment ce .

Produsul (înmulțirea) a două numere complexe poate fi calculat după cum urmează:

Împărțirea a două numere complexe:

Exemplu:

1. Plan complex

Un număr complex poate fi reprezentat grafic într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Să setăm un sistem de coordonate dreptunghiular în plan (X y).

Pe axa Bou vom avea părțile reale X, se numeste axa reală (reala)., pe axă Oi- piese detasabile y numere complexe. Poartă numele axa imaginară... În acest caz, fiecărui număr complex îi corespunde un anumit punct al planului și se numește un astfel de plan plan complex... Punct A planul complex va corespunde vectorului OA.

Număr X numit abscisă număr complex, număr y – ordonată.

O pereche de numere conjugate complexe este reprezentată de puncte situate simetric față de axa reală.

Dacă în avion ne-am pus sistem de coordonate polare, apoi fiecare număr complex z definit de coordonatele polare. în care modul numerele Este raza polară a punctului și unghiul - unghiul său polar sau argumentul numărului complex z.

Modul de număr complex întotdeauna nenegativ. Argumentul numărului complex nu este definit în mod unic. Valoarea principală a argumentului trebuie să satisfacă condiția ... Fiecare punct al planului complex corespunde și valorii totale a argumentului. Argumentele care diferă în multipli de 2π sunt considerate egale. Argumentul număr zero este nedefinit.

Valoarea principală a argumentului este determinată de expresiile:

Este evident că

în care
, .

Reprezentarea numerelor complexe z la fel de

numit formă trigonometrică număr complex.

Exemplu.

1. Forma exponențială a numerelor complexe

Descompunerea în Seria Maclaurin pentru funcții argument valide se pare ca:

Pentru o funcție exponențială a unui argument complex z descompunerea este similară

.

Expansiunea seriei Maclaurin pentru funcția exponențială a argumentului imaginar poate fi reprezentată ca

Identitatea rezultată este numită formula lui Euler.

Pentru un argument negativ, are forma

Prin combinarea acestor expresii, pot fi definite următoarele expresii pentru sinus și cosinus

.

Folosind formula lui Euler, din forma trigonometrică a reprezentării numerelor complexe

poti sa o obtii indicativ(exponențială, polară) formă a unui număr complex, adică reprezentarea ei în formă

,

Unde - coordonatele polare ale unui punct cu coordonate dreptunghiulare ( X,y).

Numărul conjugat la un număr complex este scris exponențial după cum urmează.

Pentru forma exponențială, este ușor să determinați următoarele formule de înmulțire și împărțire pentru numere complexe

Adică, în formă exponențială, produsul și împărțirea numerelor complexe este mai ușor decât în ​​formă algebrică. La înmulțire se înmulțesc modulele factorilor și se adună argumentele. Această regulă se aplică oricărui număr de factori. În special, la înmulțirea unui număr complex z pe i vector z se rotește în sens invers acelor de ceasornic 90

Împărțirea împarte modulul numărătorului la modulul numitorului și scade argumentul numitorului din argumentul numărătorului.

Folosind forma exponențială a numerelor complexe, puteți obține expresii pentru identitățile trigonometrice binecunoscute. De exemplu, din identitate

folosind formula lui Euler, putem scrie

Echivalând părțile reale și imaginare din această expresie, obținem expresii pentru cosinusul și sinusul sumei unghiurilor

1. Puterile, rădăcinile și logaritmii numerelor complexe

Ridicarea unui număr complex la o putere naturală n se face dupa formula

Exemplu... Să calculăm .

Imaginează-ți numărul în formă trigonometrică

’

Aplicând formula de exponențiere, obținem

Prin introducerea în expresie a valorii r= 1, obținem așa-numitul formula lui Moivre, cu care puteți defini expresii pentru sinusuri și cosinusuri ale unghiurilor multiple.

Rădăcină n-Gradul de la un număr complex z Are n diferite valori determinate de expresie

Exemplu... O vom găsi.

Pentru a face acest lucru, exprimăm numărul complex () în forma trigonometrică

.

Prin formula de calcul a rădăcinii unui număr complex, obținem

Logaritmul unui număr complex z Este numărul w, pentru care . Logaritmul natural al unui număr complex are un număr infinit de valori și se calculează prin formula

Este format din părți reale (cosinus) și imaginare (sinusoidale). O astfel de tensiune poate fi reprezentată ca un vector de lungime U m, fază inițială (unghi), care se rotește cu viteza unghiulară ω .

Mai mult, dacă funcțiile complexe se adună, atunci se adaugă părțile lor reale și imaginare. Dacă o funcție complexă este înmulțită cu o constantă sau cu o funcție reală, atunci părțile ei reale și imaginare sunt înmulțite cu același factor. Diferențierea/integrarea unei astfel de funcții complexe se reduce la diferențierea/integrarea părților reale și imaginare.

De exemplu, diferențierea expresiei pentru stresul complex

este să o înmulțim cu iω este partea reală a funcției f (z) și - partea imaginară a funcției. Exemple: .

Sens z este reprezentată de un punct în planul complex z și valoarea corespunzătoare w- un punct în plan complex w... La afișare w = f (z) liniile plane z trece în linii plane w, forme dintr-un plan în forme din altul, dar formele liniilor sau formelor se pot schimba semnificativ.

		Notarea algebrică a unui număr complex ............................................. ...................
		Planul numerelor complexe ............................................................. .. ................................................ .. ...
		Numere complexe conjugate ............................................................. ..................................................
	Acțiuni cu numere complexe în formă algebrică ................................................ ....
		Adunarea numerelor complexe ............................................................. . ................................................. .
		Scăderea numerelor complexe ............................................................. .................................................
		Înmulțirea numerelor complexe ............................................................. . ...............................................
		Împărțirea numerelor complexe ............................................................. . ................................................. ... ...
	Notarea trigonometrică a unui număr complex ............................................. . ..........
	Acțiuni cu numere complexe în formă trigonometrică ................................................
		Înmulțirea numerelor complexe în formă trigonometrică ..........................................
		Împărțirea numerelor complexe în formă trigonometrică ............................................. ... ...
		Ridicarea unui număr complex la o putere întreagă pozitivă ..................................
		Extragerea rădăcinii unui grad întreg pozitiv dintr-un număr complex .....................
		Ridicarea unui număr complex la o putere rațională .......................................... .. ......
		Serii complexe ............................................................. .................................................. ....................
		Serii de numere complexe ............................................................. ..................................................
		Seria de puteri în plan complex ................................................ ..............................
		Serii de puteri bilaterale în plan complex ................................................. ... ...
		Funcții variabile complexe ............................................................. ........................................
		Funcții elementare de bază ............................................................. .........................................
		Formulele lui Euler ................................................. .................................................. ....................
		Forma exponențială de reprezentare a unui număr complex ................................................ ......
		Relația dintre funcțiile trigonometrice și hiperbolice .............
		Funcția logaritmică ............................................................. .................................................. ...
		Funcții generale exponențiale și puteri generale ................................................ ...............
	Diferențierea funcțiilor unei variabile complexe ................................................ ......
		Condiții Cauchy-Riemann ................................................. .................................................. ............
		Formule de calcul a derivatei ................................................. . .................................
		Proprietățile operației de diferențiere ............................................................. .............................
		Proprietățile părților reale și imaginare ale funcției analitice ............................

	Reconstituirea unei funcții a unei variabile complexe din real sau imaginar al acesteia
		Metoda numărul 1. Folosind o integrală curbilinie ................................................. .......
		Metoda numărul 2. Aplicarea directă a condițiilor Cauchy-Riemann .............................
		Metoda numărul 3. Prin derivata funcției cerute .................................................. .........
	Integrarea funcțiilor unei variabile complexe .................................................. ... ...........
	Formula Cauchy integrală ............................................................. .................................................. ...
	Descompunerea funcțiilor în seriile Taylor și Laurent ................................................ . ..........................
	Zerourile și punctele singulare ale unei funcții variabile complexe ............................. .. ......
		Zerourile unei funcții variabile complexe ............................................. .. .......................
		Puncte singulare izolate ale unei funcții variabile complexe .........................

14.3 Punct la infinit ca punct singular al unei funcții a unei variabile complexe

	Deduceri ................................................. .................................................. ........................................
		Deducerea punctului final ................................................. . ................................................. . .....
		Deducerea funcției în punctul infinit ............................................. . .................
	Calculul integralelor folosind reziduuri ............................................. ............................
	Întrebări pentru autoexaminare ............................................. .. ................................................ .. .......
	Literatură................................................. .................................................. .................................
	Index de subiecte................................................... .................................................. .............

cuvânt înainte

Este destul de dificil să aloci corect timp și efort în pregătirea pentru părțile teoretice și practice ale examenului sau certificării pentru modul, mai ales că întotdeauna nu este suficient timp în timpul sesiunii. Și așa cum arată practica, nu toată lumea poate face față acestui lucru. Drept urmare, la examen, unii elevi rezolvă probleme corect, dar le este greu să răspundă la cele mai simple întrebări teoretice, în timp ce alții pot formula o teoremă, dar nu o pot aplica.

Aceste linii directoare de pregătire pentru examen la cursul „Teoria funcțiilor unei variabile complexe” (TFKP) reprezintă o încercare de a rezolva această contradicție și de a asigura repetarea simultană a materialului teoretic și practic al cursului. Ghidate de principiul „Teoria fără practică este moartă, practica fără teorie este oarbă”, ele conțin atât prevederi teoretice ale cursului la nivel de definiții și formulări, cât și exemple care ilustrează aplicarea fiecărei propoziții teoretice date și, prin urmare, facilitează memorarea și înțelegerea acestuia.

Scopul ghidurilor propuse este de a ajuta studentul să se pregătească pentru examen la un nivel de bază. Cu alte cuvinte, a fost alcătuit un ghid de lucru extins, care conține principalele puncte folosite în sala de clasă pentru cursul TFKP și necesare pentru finalizarea temelor și pregătirea activităților de control. Pe lângă munca independentă a studenților, această publicație educațională electronică poate fi utilizată atunci când desfășurați cursuri într-o formă interactivă folosind o tablă electronică sau pentru postarea într-un sistem de învățământ la distanță.

Vă rugăm să rețineți că această lucrare nu înlocuiește nici manualele, nici notele de curs. Pentru un studiu aprofundat al materialului, se recomandă să consultați secțiunile relevante din documentul publicat în MSTU im. N.E. Manualul de bază al lui Bauman.

La sfârșitul manualului, există o listă de literatură recomandată și un index de subiecte, care include toate evidențiate în text cursiv aldine termeni. Indexul subiectului constă din hyperlinkuri către secțiuni în care acești termeni sunt strict definiți sau descriși și în care sunt date exemple pentru a ilustra utilizarea lor.

Manualul este destinat studenților din anul II ai tuturor facultăților Universității Tehnice de Stat din Moscova. N.E. Bauman.

1. Notarea algebrică a unui număr complex

O notație de forma z = x + iy, unde x, y sunt numere reale, i este o unitate imaginară (adică i 2 = - 1)

se numește forma algebrică a numărului complex z. În acest caz, x se numește partea reală a numărului complex și se notează cu Re z (x = Re z), y se numește partea imaginară a numărului complex și se notează cu Im z (y = Im z).

Exemplu. Numărul complex z = 4 - 3i are partea reală Re z = 4, iar partea imaginară Im z = - 3.

2. Planul numerelor complexe

V teoriile funcţiilor unei variabile complexe considerăplanul numerelor complexe, care se notează fie, fie se folosesc litere care denotă numere complexe z, w etc.

Axa orizontală a planului complex se numește axa reală, pe el sunt plasate numere reale z = x + 0 i = x.

Axa verticală a planului complex se numește axa imaginară;

3. Numere complexe conjugate

Se numesc numerele z = x + iy și z = x - iy conjugare complexa... Pe planul complex, ele corespund punctelor care sunt simetrice față de axa reală.

4. Acțiuni cu numere complexe în formă algebrică

4.1 Adunarea numerelor complexe

Suma a două numere complexe

z 1 = x 1 + iy 1

iar z 2 = x 2 + iy 2 se numește număr complex

z 1 + z 2

= (x 1 + iy 1) + (x 2 + iy 2) = (x 1 + x 2) + i (y 1 + y 2).

Operațiune

adaosuri

numerele complexe este analogă cu operația de adunare a binoamelor algebrice.

Exemplu. Suma a două numere complexe z 1 = 3 + 7i și z 2

= −1 +2 i

va fi un număr complex

z 1 + z 2 = (3 +7 i) + (- 1 +2 i) = (3 −1) + (7 +2) i = 2 +9 i.

Evident,

suma intr-un complex

legate de

este o

valabil

z + z = (x + iy) + (x - iy) = 2 x = 2 Re z.

4.2 Scăderea numerelor complexe

Diferența a două numere complexe z 1 = x 1 + iy 1

X 2 + iy 2

numit

complex

numărul z 1 - z 2 = (x 1 + iy 1) - (x 2 + iy 2) = (x 1 - x 2) + i (y 1 - y 2).

Exemplu. Diferența a două numere complexe

z 1 = 3 −4 i

și z 2

= −1 +2 i

va fi un cuprinzător

numărul z 1 - z 2 = (3 - 4i) - (- 1+ 2i) = (3 - (- 1)) + (- 4 - 2) i = 4 - 6i.

Diferență

conjugare complexa

este o

z - z = (x + iy) - (x - iy) = 2 iy = 2 i Im z.

4.3 Înmulțirea numerelor complexe

Produsul a două numere complexe

z 1 = x 1 + iy 1

și z 2 = x 2 + iy 2

numit complex

z 1z 2 = (x 1 + iy 1) (x 2 + iy 2) = x 1x 2 + iy 1x 2 + iy 2 x 1 + i 2 y 1 y 2

= (x 1x 2 - y 1 y 2) + i (y 1x 2 + y 2 x).

Astfel, operația de înmulțire a numerelor complexe este similară cu operația de înmulțire a binoamelor algebrice, ținând cont că i 2 = - 1.

Planul lecției.

1. Moment organizatoric.

2. Prezentarea materialului.

3. Tema pentru acasă.

4. Rezumând lecția.

În timpul orelor

I. Moment organizatoric.

II. Prezentarea materialului.

Motivația.

Extinderea setului de numere reale este că numerele noi (imaginare) sunt adăugate numerelor reale. Introducerea acestor numere este asociată cu imposibilitatea extragerii unei rădăcini dintr-un număr negativ din mulțimea numerelor reale.

Introducerea conceptului de număr complex.

Numerele imaginare cu care suplimentăm numerele reale se scriu ca bi, Unde i Este o unitate imaginară și i 2 = - 1.

Pe baza acestui lucru, obținem următoarea definiție a unui număr complex.

Definiție... Un număr complex este o expresie a formei a + bi, Unde Ași b- numere reale. În acest caz, sunt îndeplinite următoarele condiții:

a) Două numere complexe a 1 + b 1 iși a 2 + b 2 i sunt egale dacă și numai dacă a 1 = a 2, b 1 = b 2.

b) Adunarea numerelor complexe este determinată de regula:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Înmulțirea numerelor complexe este determinată de regula:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Forma algebrică a unui număr complex.

Scrierea unui număr complex în formă a + bi se numește forma algebrică a unui număr complex, unde A- parte reală, bi Este partea imaginară și b Este un număr real.

Număr complex a + bi este considerat egal cu zero dacă părțile sale reale și imaginare sunt egale cu zero: a = b = 0

Număr complex a + bi la b = 0 este considerat a fi la fel cu un număr real A: a + 0i = a.

Număr complex a + bi la a = 0 se numește pur imaginar și se notează bi: 0 + bi = bi.

Două numere complexe z = a + biși = a - bi care diferă doar prin semnul părții imaginare se numesc conjugate.

Acțiuni asupra numerelor complexe în formă algebrică.

Puteți face următoarele pe numere complexe în formă algebrică.

1) Adăugarea.

Definiție... Suma numerelor complexe z 1 = a 1 + b 1 iși z 2 = a 2 + b 2 i numit număr complex z, a cărui parte reală este egală cu suma părților reale z 1și z 2, iar partea imaginară este suma părților imaginare ale numerelor z 1și z 2, acesta este z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

Numerele z 1și z 2 se numesc termeni.

Adunarea numerelor complexe are următoarele proprietăți:

1º. Comutabilitate: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Asociativitate: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Număr complex –A –bi numit opusul unui număr complex z = a + bi... Număr complex opus numărului complex z, notat -z... Suma numerelor complexe zși -z este egal cu zero: z + (-z) = 0

Exemplul 1. Efectuați adăugarea (3 - i) + (-1 + 2i).

(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Scăderea.

Definiție. Scăderea dintr-un număr complex z 1 număr complex z 2 z, ce z + z 2 = z 1.

Teorema... Diferența numerelor complexe există și, în plus, este unică.

Exemplul 2. Efectuați scăderea (4 - 2i) - (-3 + 2i).

(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.

3) Înmulțirea.

Definiție... Produsul numerelor complexe z 1 = a 1 + b 1 iși z 2 = a 2 + b 2 i numit număr complex z definit de egalitate: z = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1) i.

Numerele z 1și z 2 se numesc factori.

Înmulțirea numerelor complexe are următoarele proprietăți:

1º. Comutabilitate: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Asociativitate: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi) (a - bi) = a 2 + b 2 este un număr real.

În practică, înmulțirea numerelor complexe se realizează după regula înmulțirii sumei cu suma și separării părților reale și imaginare.

În exemplul următor, vom lua în considerare înmulțirea numerelor complexe în două moduri: prin regulă și înmulțirea sumei cu suma.

Exemplul 3. Efectuați înmulțirea (2 + 3i) (5 - 7i).

1 cale. (2 + 3i) (5 - 7i) = (2 × 5 - 3 × (- 7)) + (2 × (- 7) + 3 × 5) i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) ) i = 31 + i.

Metoda 2. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2 × 5 + 2 × (- 7i) + 3i × 5 + 3i × (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Diviziune.

Definiție... Împărțirea numărului complex z 1 pe un număr complex z 2, apoi găsiți un număr atât de complex z, ce z z 2 = z 1.

Teorema. Coeficientul numerelor complexe există și este unic dacă z 2 ≠ 0 + 0i.

În practică, câtul numerelor complexe se găsește prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu conjugatul numitorului.

Lasa z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, atunci

.

În exemplul următor, vom împărți cu formula și regula înmulțirii cu conjugatul numitorului.

Exemplul 4. Aflați coeficientul .

5) Creșterea la un număr întreg pozitiv.

a) Puterile unitatii imaginare.

Folosind egalitatea i 2 = -1, este ușor de definit orice putere întreagă pozitivă a unității imaginare. Avem:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 etc.

Acest lucru arată că valorile gradului eu n, Unde n- un număr întreg pozitiv, repetat periodic când indicatorul crește cu 4 .

Prin urmare, pentru a crește numărul iîntr-un grad întreg pozitiv, exponentul trebuie împărțit la 4 și erec i la puterea, al cărei exponent este egal cu restul diviziunii.

Exemplul 5. Calculați: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4 + 1 = (i 4) 4 × i = 1 i = i.

i 23 = i 4 × 5 + 3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1 = 1 - i.

b) Ridicarea unui număr complex la o putere întreagă pozitivă se realizează după regula ridicării unui binom la puterea corespunzătoare, întrucât este un caz special de înmulțire a acelorași factori complecși.

Exemplul 6. Calculați: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 × 4 2 × 2i + 3 × 4 × (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i - 48 - 8i = 16 + 88i.