Bună din nou, prieteni!

După cum am promis, cu această lecție vom începe să navigăm pe întinderile nesfârșite ale lumii poetice a integralelor și vom începe să rezolvăm cele mai diverse (uneori foarte frumoase) exemple. :)

Pentru a naviga corect în toată diversitatea integrală și pentru a nu ne pierde, avem nevoie doar de patru lucruri:

1) Tabelul integralelor. Toate detaliile despre ea - ... Cum să lucrezi exact cu ea - în asta.

2) Proprietăți de liniaritate ale unei integrale nedefinite (integrala sumei/diferenței și a produsului printr-o constantă).

3) Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere.

Da, nu fi surprins! Fără capacitatea de a număra derivatele, nu există absolut nimic de prins în integrare. De acord, este inutil, de exemplu, să înveți împărțirea fără a te putea înmulți. :) Și foarte curând vei vedea că fără abilități perfecționate de diferențiere este imposibil să se calculeze orice integrală serioasă care depășește cadrul integralelor tabulare elementare.

4) Metode de integrare.

Sunt o mulțime. Pentru o anumită clasă de funcții - propriile dvs. Dar, printre toată varietatea lor bogată, există trei de bază:

– ,

– ,

– .

Fiecare dintre ele - în lecții separate.

Și acum, în sfârșit, să trecem la rezolvarea exemplelor mult așteptate. Pentru a nu sări de la secțiune la secțiune, voi duplica încă o dată întregul set de domn, ceea ce ne va fi de folos pentru lucrările noastre ulterioare. Aveți toate instrumentele la îndemână.)

În primul rând, este masă integrală:

În plus, avem nevoie de proprietățile de bază ale integralei nedefinite (proprietăți de liniaritate):

Ei bine, echipamentul necesar este gata. Timpul de plecare! :)

Aplicarea directă a tabelului

În această secțiune, vor fi luate în considerare cele mai simple și mai inofensive exemple. Algoritmul de aici este teribil de simplu:

1) Ne uităm la tabel și căutăm formula(ele) necesară(e);

2) Aplicați proprietăți de liniaritate (unde este necesar);

3) Efectuăm transformarea după formule tabelare și adăugăm o constantă la sfârșit CU (nu uita!) ;

4) Notăm răspunsul.

Deci să mergem.)

Exemplul 1

Nu există o astfel de funcție în tabelul nostru. Dar există o integrală a unei funcții de putere în formă generală (al doilea grup). În cazul nostru n = 5... Deci înlocuim cinci în loc de n și calculăm cu atenție rezultatul:

Gata. :)

Desigur, acest exemplu este destul de primitiv. Doar pentru cunoștință.) Dar capacitatea de a integra grade facilitează calcularea integralelor oricăror polinoame și alte structuri de putere.

Exemplul 2

Integrala sub integrală este suma. Ei bine, bine. Avem proprietăți de liniaritate pentru acest caz. :) Împărțim integrala noastră în trei separate, scoatem toate constantele pentru semnele integralelor și numărăm fiecare conform tabelului (grupul 1-2):

Vă rugăm să rețineți: constantă CU apare exact în momentul în care TOATE semnele integralei dispar! Desigur, după aceea trebuie să o tragi în mod constant. Deci ce să fac…

Desigur, acest lucru nu este de obicei necesar pentru a descrie atât de detaliat. Acest lucru se face doar pentru înțelegere. Pentru a înțelege ideea.)

De exemplu, foarte curând, fără prea multă ezitare, vei da mental un răspuns unor monștri precum:

Polinoamele sunt cele mai libere funcții din integrale.) Și chiar și în difuze, în fizică, în materiale de rezistență și în alte discipline serioase, polinoamele vor trebui integrate constant. Obisnuieste-te.)

Următorul exemplu va fi puțin mai rece.

Exemplul 3

Sper că toată lumea înțelege că integrandu-ul nostru poate fi scris așa:

Integrandul este separat, iar factorul dx (pictogramă diferențială)- separat.

Cometariu:în această lecție multiplicatorul dx în proces de integrare in timp ce nu participă în niciun fel, iar până acum ne „punem” mental la el. :) Lucrăm doar cu funcția integrand... Dar să nu uităm de el. Foarte curând, la propriu în următoarea lecție dedicată, ne vom aminti despre el. Și vom simți toată importanța și puterea acestei icoane în forță!)

Între timp, privirea noastră este îndreptată către funcția integrand

Nu sună ca o funcție de alimentare, dar asta este. :) Dacă ne amintim proprietățile școlare ale rădăcinilor și gradelor, atunci este foarte posibil să ne transformăm funcția:

Și x la minus două treimi putere este deja o funcție de tabel! Al doilea grup, n = -2 / 3... Iar constanta 1/2 nu este o piedică pentru noi. O scoatem, în afara semnului integral, și calculăm direct din formula:

În acest exemplu, am fost ajutați de proprietățile elementare ale gradelor. Și acest lucru ar trebui făcut în majoritatea cazurilor când există rădăcini sau fracții unice sub integrală. Prin urmare, câteva sfaturi practice pentru integrarea structurilor de putere:

Înlocuiți fracțiile cu puteri cu exponenți negativi;

Înlocuim rădăcinile cu puteri cu exponenți fracționari.

Dar, în răspunsul final, trecerea de la grade înapoi la fracții și rădăcini este o chestiune de gust. Personal, mă întorc – atât de plăcut din punct de vedere estetic, sau așa ceva.

Și vă rog, numărați cu atenție toate fracțiile! Urmărim cu atenție semnele și ce merge unde - care este numărătorul și care este numitorul.

Ce? V-ați săturat de funcții de putere plictisitoare? BINE! Să luăm taurul de coarne!

Exemplul 4

Dacă acum aducem totul sub integrală la un numitor comun, atunci putem rămâne blocați în acest exemplu pentru o lungă perioadă de timp.) Dar, privind mai atent la integrand, puteți vedea că diferența noastră constă din două funcții de tabel. Deci, să nu pervertim, ci să ne extindem integrala cu două:

Prima integrală este o funcție de putere obișnuită, (grupa a doua, n = -1): 1 / x = x -1.

Formula noastră tradițională pentru funcția de putere antiderivată

Nu merge aici, dar avem pentru n = -1 există o alternativă decentă - o formulă cu logaritm natural. Aceasta:

Apoi, conform acestei formule, prima fracție va fi integrată după cum urmează:

Și a doua fracție este de asemenea, o funcție de masă!Învățat? Da! aceasta al șaptelea formula cu logaritm „înalt”:

Constanta „a” din această formulă este egală cu două: a = 2.

Notă importantă: Observați constantaCU cu integrare intermediară i nicăieri eu nu atribui! De ce? Pentru că ea va intra în răspunsul final întregul exemplu. Acest lucru este suficient.) Strict vorbind, constanta trebuie scrisă după fiecare integrare individuală - chiar intermediară, chiar finală: deci o integrală nedefinită necesită ...)

De exemplu, după prima integrare, ar trebui să scriu:

După a doua integrare:

Dar tot trucul este că suma / diferența constantelor arbitrare este de asemenea, unele constante!În cazul nostru, pentru răspunsul final, avem nevoie de prima integrală scădea al doilea. Atunci vom reuși diferență două constante intermediare:

C1-C2

Și avem tot dreptul să înlocuim chiar această diferență de constante o constantă!Și re-desemnează-l cu litera „C” cu care suntem obișnuiți. Asa:

C1-C2 = C

Așa că atribuim acest lucru foarte constant CU la rezultatul final și obținem răspunsul:

Da, sunt fracții! Logaritmii pe mai multe niveluri sunt comune atunci când le integrăm. Ne obișnuim și noi.)

Tine minte:

Cu integrarea intermediară a mai multor termeni, constanta CU după fiecare dintre ele nu trebuie să scrii. Este suficient să-l includeți în răspunsul final al întregului exemplu. La sfarsit.

Următorul exemplu este, de asemenea, cu o fracție. Pentru încălzire.)

Exemplul 5

În tabel, desigur, nu există o astfel de funcție. Dar acolo este asemănătoare funcţie:

Acesta este chiar ultimul Al optulea formulă. Cu arctangent. :)

Aceasta:

Și Dumnezeu însuși ne-a poruncit să ne adaptăm integrala la această formulă! Dar există o problemă: în formula tabelului de mai înainte x 2 nu există nici un coeficient, dar avem nouă. Încă nu putem folosi formula direct. Dar în cazul nostru, problema este complet rezolvabilă. Să scoatem mai întâi acest nouă dintre paranteze și apoi să-l scoatem cu totul din fracția noastră.)

Și noua fracție este funcția de tabel de care avem nevoie la numărul 8! Aici a 2 = 4/9... Sau a = 2/3.

Tot. Luăm 1/9 din semnul integral și folosim a opta formulă:

Iată răspunsul. Acest exemplu, cu un factor în față x 2, am luat-o special. Pentru a fi clar ce trebuie făcut în astfel de cazuri. :) Dacă înainte x 2 nu există coeficient, atunci astfel de fracții vor fi și ele integrate în minte.

De exemplu:

Aici a 2 = 5, prin urmare „a” în sine va fi „rădăcină a cinci”. Înțelegi ideea.)

Și acum ne vom modifica ușor funcția: vom scrie numitorul sub rădăcină.) Acum vom lua o astfel de integrală:

Exemplul 6

La numitor a apărut o rădăcină. Desigur, s-a schimbat și formula corespunzătoare pentru integrare, da.) Din nou urcăm în masă și căutăm una potrivită. Avem rădăcini în formulele grupelor a 5-a și a 6-a. Dar în al șaselea grup, există doar o diferență sub rădăcini. Și avem suma. Deci, lucrăm la a cincea formulă, cu un logaritm „lung”:

Număr A avem cinci. Înlocuiți în formulă și obțineți:

Și asta e tot. Acesta este răspunsul. Da, atât de simplu!)

Dacă apar îndoieli, atunci este întotdeauna posibil (și necesar) să se verifice rezultatul prin diferențiere inversă. Verifică? Și apoi dintr-o dată, un fel de prostie?

Diferențierea (nu acordăm atenție modulului și îl percepem ca paranteze obișnuite):

Totul este corect. :)

Apropo, dacă în integrand sub rădăcină semnul este schimbat de la plus la minus, atunci formula pentru integrare va rămâne aceeași. Nu este o coincidență că tabelul de sub rădăcină este plus minus. :)

De exemplu:

Important!În cazul unui minus, on primul locul de sub rădăcină ar trebui să fie exact x 2și pe al doilea – număr... Dacă sub rădăcină totul este invers, atunci formula tabelară corespunzătoare va fi mai restrânsă o alta!

Exemplul 7

Sub rădăcină din nou minus, dar x 2 cu cele cinci locuri schimbate. Se pare, dar nu la fel... Pentru acest caz, tabelul nostru are și o formulă.) Formula numărul șase, nu am lucrat încă cu ea:

Dar acum - cu grijă. În exemplul anterior, cei cinci noștri au acționat ca un număr A ... Aici, cei cinci vor acționa deja ca un număr un 2!

Prin urmare, pentru aplicarea corectă a formulei, nu uitați să extrageți rădăcina celor cinci:

Și acum exemplul este rezolvat într-un singur pas. :)

Deci asta este! Doar termenii de sub rădăcină și-au schimbat locurile, iar rezultatul integrării s-a schimbat semnificativ! Logaritm și arcsinus... Deci, vă rog nu confunda aceste două formule! Deși integranții sunt foarte asemănători...

Primă:

În formulele tabelare 7-8, înainte de logaritm și arctangente, există coeficienți 1 / (2a)și 1/a respectiv. Și într-o situație alarmantă de luptă, atunci când scriu aceste formule, chiar și tocilarii antrenați devin adesea confuzi, acolo unde este simplu 1/a, Si unde 1 / (2a)... Iată un truc simplu de reținut.

În formula numărul 7

Numitorul integrandului este diferența de pătrate x 2 - a 2... Care, după formula școlii boyan, se descompune ca (x-a) (x + a)... Pe Două multiplicator. Cuvânt cheie - Două... Si aceste Douăîn timpul integrării, parantezele merg la logaritm: cu un minus în sus, cu un plus - în jos.) Și coeficientul din fața logaritmului este de asemenea 1 / ( 2 A).

Dar în formula numărul 8

Numitorul fracției este suma patratelor. Dar suma pătratelor x 2 + a 2 este indecompusa în factori mai simpli. Prin urmare, orice s-ar spune, numitorul va rămâne unu factor. Și coeficientul din fața arctangentei va fi, de asemenea, 1 / a.

Acum să integrăm ceva trigonometrie pentru o schimbare.)

Exemplul 8

Exemplul este simplu. Atât de simplu încât oamenii, fără să se uite măcar la masă, au scris imediat cu bucurie răspunsul și... au sosit. :)

Urmați semnele! Aceasta este cea mai frecventă greșeală la integrarea sinusurilor / cosinusurilor. A nu se confunda cu derivatele!

Da, (păcat X)" = cos Xși (cos X)’ = - păcat X.

Dar!

Deoarece oamenii își amintesc de obicei derivatele cel puțin, pentru a nu se confunda în semne, tehnica de memorare a integralelor este foarte simplă aici:

Integrala sinus / cosinus = minus derivată a aceluiași sinus / cosinus.

De exemplu, știm de la școală că derivata sinusului este egală cu cosinusul:

(păcat X)" = cos X.

Atunci pentru integrală din acelasi sinus va fi adevarat:

Și asta-i tot.) Același lucru cu cosinus.

Acum ne reparăm exemplul:

Transformări elementare preliminare ale integrandului

Până în acest punct, au existat cele mai simple exemple. Pentru a înțelege cum funcționează tabelul și pentru a nu vă înșela în alegerea unei formule.)

Desigur, am făcut niște transformări simple - am scos factorii, i-am împărțit în termeni. Dar răspunsul, într-un fel sau altul, se afla la suprafață.) Cu toate acestea... Dacă calculul integralelor s-ar limita doar la aplicarea directă a tabelului, atunci ar exista un liber gratuit și viața ar deveni plictisitoare.)

Acum să ne uităm la câteva exemple mai impresionante. Așa, unde, se pare, nimic nu se decide direct. Dar merită să ne amintim literalmente câteva formule sau transformări ale școlii elementare, cum drumul către răspuns devine simplu și clar. :)

Aplicarea formulelor de trigonometrie

Să continuăm să ne distrăm cu trigonometria.

Exemplul 9

Nu există o astfel de funcție în tabel. Dar în trigonometrie scolara există o identitate atât de puțin cunoscută:

Acum exprimăm din el pătratul tangentei de care avem nevoie și îl introducem sub integrală:

De ce se face asta? Și apoi, după o astfel de transformare, integrala noastră se va reduce la două integrale tabelare și va fi luată în considerare!

Vedea:

Acum să analizăm acțiunile noastre. La prima vedere, totul pare a fi la fel de ușor ca decojirea perelor. Dar să ne gândim la asta. Dacă ne-am confrunta cu o sarcină diferențiați aceeași funcție, atunci am face-o exactștia exact ce să facă - aplica formulă derivata unei functii complexe:

Și asta e tot. Tehnologie simplă și de încredere. Mereu funcționează și este garantat că va duce la succes.

Dar integrala? Și aici a trebuit să scotocim prin trigonometrie, să dezgropăm o formulă obscure în speranța că ne va ajuta cumva să ieșim și să reducem integrala la una tabelară. Și nu este un fapt că ne-ar fi ajutat, nu este deloc un fapt... De aceea integrarea este un proces mai creativ decât diferențierea. Artă, aș spune chiar. :) Și acesta nu este cel mai dificil exemplu. Este doar începutul!

Exemplul 10

Ce, inspiră? Tabelul integralelor este încă neputincios, da. Dar, dacă te uiți din nou la tezaurul nostru de formule trigonometrice, poți descoperi un foarte, foarte util formula cosinusului cu unghi dublu:

Așa că aplicăm această formulă integrandului nostru. În rolul de „alfa” avem x / 2.

Primim:

Efectul este uimitor, nu?

Aceste două exemple arată clar că transformarea preliminară a funcției înainte de integrare este destul de acceptabil și uneori face viața colosală! Iar în integrare, această procedură (transformarea integrandului) este un ordin de mărime mai justificat decât în ​​diferențiere. Veți vedea totul în viitor.)

Să ne uităm la câteva conversii tipice.

Formule de înmulțire prescurtate, extinderea parantezelor, reducerea similarității și metoda împărțirii termenilor.

Banalele obișnuite transformări școlare. Dar uneori ei sunt singurii care economisesc, da.)

Exemplul 11

Dacă am numărat derivata, atunci nicio problemă: formula pentru derivata produsului și - înainte. Dar formula standard pentru integrală din lucrare nu există. Și singura cale de ieșire de aici este să deschidem toate parantezele astfel încât sub integrală să obținem un polinom. Și vom integra cumva polinomul.) Dar vom deschide și paranteze cu înțelepciune: formulele de înmulțire abreviate sunt un lucru puternic!

(x 2 - 1) 2 (x 2 + 1) 2 = ((x 2 - 1) (x 2 + 1)) 2 = ((x 2) 2 - 1 2) 2 = (x 4 - 1) 2 = x 8 - 2x 4 + 1

Și acum luăm în considerare:

Și asta e tot.)

Exemplul 12

Din nou, formula standard pentru integrală a fracției nu exista. Cu toate acestea, numitorul integrandului este singuratic x. Acest lucru schimbă radical situația.) Împărțiți numărătorul termen cu termen la numitor, reducând fracția noastră teribilă la o sumă inofensivă de funcții de putere de tabel:

Nu voi face un comentariu special asupra procedurii de integrare a gradelor: nu sunt deja mici.)

Integram suma functiilor puterii. Conform plăcuței.)

Asta e tot.) Apropo, dacă numitorul nu era x, dar, să zicem, x + 1, asa:

Atunci acest truc cu împărțirea termenilor nu ar fi mers atât de ușor. Este din cauza prezenței unei rădăcini la numărător și a uneia la numitor. Ar trebui să scapi de rădăcină. Dar astfel de integrale sunt mult mai complicate. Despre ei - în alte lecții.

Vedea! Trebuie doar să modificați ușor funcția - abordarea integrării acesteia se schimbă imediat. Uneori dramatic!) Nu există o schemă standard clară. Fiecare funcție are propria abordare. Uneori chiar unic.)

În unele cazuri, conversiile fracționale sunt și mai complicate.

Exemplul 13

Și aici, cum poți reduce integrala la un set de tabelare? Aici vă puteți zgudui inteligent adunând și scăzând o expresie x 2în numărătorul unei fracții urmat de împărțirea termenilor. Un truc foarte inteligent în integrale! Urmărește cursul de master! :)

Și acum, dacă înlocuim fracția originală cu diferența a două fracții, atunci integrala noastră se împarte în două tabelare - funcția de putere deja familiară și arctangenta (formula 8):

Ei bine, ce pot să spun? Wow!

Acest truc de adunare/scădere a numărătorului este foarte popular pentru integrarea fracțiilor raționale. Foarte! Recomand să luați o notă.

Exemplul 14

Și aici, aceleași reguli tehnologice. Este necesar doar să adăugați/scădeți unul pentru a selecta expresia din numitor de la numărător:

În general, fracțiile raționale (cu polinoame în numărător și numitor) sunt un subiect separat, foarte amplu. Ideea este că fracțiile raționale sunt una dintre puținele clase de funcții pentru care o metodă universală de integrare există... Metoda de descompunere în fracții elementare, cuplată cu ... Dar această metodă necesită foarte mult timp și este de obicei folosită ca artilerie grea. Ii vor fi dedicate mai mult de o lecție. Între timp, ne antrenăm și punem mâna pe funcții simple.

Să rezumam lecția de astăzi.

Astăzi am examinat în detaliu exact modul de utilizare a tabelului, cu toate nuanțele, am analizat multe exemple (și nu cele mai banale) și ne-am familiarizat cu cele mai simple metode de reducere a integralelor la cele tabulare. Și așa vom acționa acum mereu... Oricare ar fi funcția teribilă sub integrală, cu ajutorul unei mari varietăți de transformări vom realiza ca, mai devreme sau mai târziu, integrala noastră, într-un fel sau altul, să se reducă la un set de tabelare.

Câteva sfaturi practice.

1) Dacă integrala este o fracție, în numărătorul căreia se află suma puterilor (rădăcinilor), iar la numitor - singuratic x grad, atunci folosim împărțirea pe termen a numărătorului la numitor. Înlocuiește rădăcinile cu puteri cu indicatori fracționari și se lucrează după formulele 1-2.

2) În construcțiile trigonometrice, în primul rând, încercăm formulele de bază ale trigonometriei - unghi dublu / triplu,

Poate fi foarte norocos. Sau poate nu…

3) Acolo unde este necesar (în special în polinoame și fracții), folosimformule de multiplicare prescurtate:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2

(a-b) (a + b) = a 2 -b 2

4) La integrarea fracțiilor cu polinoame, încercăm să selectăm artificial la numărător expresia (e) la numitor. De foarte multe ori fracția este simplificată și integrala este redusă la o combinație de cele tabelare.

Ei bine, prieteni? Văd că încep să-ți placă integralele. :) Apoi ne umplem mâinile și rezolvăm singuri exemplele.) Materialul de astăzi este suficient pentru a le face față cu succes.

Ce? Nu stiu, ? Da! Nu am făcut acest lucru încă.) Dar nu trebuie să le integrați direct aici. Și să vă ajute cursul școlii!)

Răspunsuri (în dezordine):

Pentru cele mai bune rezultate, recomand cu incredere sa achizitionati o colectie de probleme pe matan de catre G.N. Berman. Chestii tari!

Și am totul pentru azi. Noroc!

Pe aceasta pagina veti gasi:

1. De fapt, tabelul de antiderivate - poate fi descărcat în format PDF și tipărit;

2. Video despre cum se utilizează acest tabel;

3. O grămadă de exemple de calculare a antiderivatei din diverse manuale și teste.

În videoclipul în sine, vom analiza multe probleme în care este necesar să se calculeze antiderivatele funcțiilor, care sunt adesea destul de complexe, dar cel mai important, nu sunt exponențiale. Toate funcțiile rezumate în tabelul de mai sus, trebuie să le cunoașteți pe de rost, cum ar fi derivatele. Fără ele, studiul suplimentar al integralelor și aplicarea lor pentru rezolvarea problemelor practice este imposibil.

Astăzi continuăm să ne ocupăm de antiderivate și trecem la un subiect puțin mai complex. Dacă data trecută am considerat antiderivate doar din funcții de putere și construcții ceva mai complexe, astăzi vom analiza trigonometria și multe altele.

După cum am spus în ultima lecție, antiderivatele, spre deosebire de derivate, nu sunt niciodată rezolvate „în cap” folosind reguli standard. În plus, vestea proastă este că, spre deosebire de un derivat, este posibil ca un antiderivat să nu conteze deloc. Dacă scriem o funcție complet aleatoare și încercăm să-i găsim derivata, atunci este foarte probabil să reușim, dar antiderivata nu este aproape niciodată numărată în acest caz. Dar există o veste bună: există o clasă destul de extinsă de funcții numite funcții elementare, ale căror antiderivate sunt foarte ușor de calculat. Și toate celelalte construcții mai complexe care sunt date în tot felul de control, independente și examinări, de fapt, sunt alcătuite din aceste funcții elementare prin adunare, scădere și alte acțiuni simple. Antiderivatele unor astfel de funcții au fost mult timp calculate și rezumate în tabele speciale. Cu astfel de funcții și tabele vom lucra astăzi.

Dar vom începe, ca întotdeauna, cu repetarea: amintiți-vă ce este un antiderivat, de ce există infinit de multe dintre ele și cum să le determinați aspectul general. Pentru aceasta am selectat două sarcini simple.

Rezolvarea de exemple ușoare

Exemplul nr. 1

Rețineți imediat că $ \ frac (\ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text ()) (6) $ și, în general, prezența $ \ text () \! \! \ Pi \! \! \ text () $ ne sugerează imediat că funcția dorită antiderivată este legată de trigonometrie. Într-adevăr, dacă ne uităm la tabel, aflăm că $ \ frac (1) (1 + ((x) ^ (2))) $ nu este altceva decât $ \ text (arctg) x $. Deci vom nota:

Pentru a găsi, trebuie să scrieți următoarele:

\ [\ frac (\ pi) (6) = \ text (arctg) \ sqrt (3) + C \]

\ [\ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (6) = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (3) + C \]

Exemplul nr. 2

Se ocupă și de funcții trigonometrice. Dacă ne uităm la tabel, atunci, într-adevăr, se va dovedi astfel:

Avem nevoie, printre toate setul de antiderivate, să-l găsim pe cel care trece prin punctul specificat:

\ [\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () = \ arcsin \ frac (1) (2) + C \]

\ [\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (6) + C \]

Să o scriem definitiv:

Este atat de simplu. Singura problemă este că, pentru a număra antiderivatele funcțiilor simple, trebuie să înveți tabelul cu antiderivate. Cu toate acestea, după ce am examinat tabelul de derivate pentru dvs., cred că nu va fi o problemă.

Rezolvarea problemelor care conțin funcție exponențială

Mai întâi, să scriem următoarele formule:

\ [((e) ^ (x)) \ la ((e) ^ (x)) \]

\ [((a) ^ (x)) \ to \ frac (((a) ^ (x))) (\ ln a) \]

Să vedem cum funcționează totul în practică.

Exemplul nr. 1

Dacă ne uităm la conținutul parantezelor, vom observa că în tabelul de antiderivate nu există o astfel de expresie ca $ ((e) ^ (x)) $ să fie într-un pătrat, deci acest pătrat trebuie extins. Pentru a face acest lucru, folosim formulele de înmulțire abreviate:

Să găsim antiderivată pentru fiecare dintre termeni:

\ [((e) ^ (2x)) = ((\ stânga (((e) ^ (2)) \ dreapta)) ^ (x)) \ to \ frac (((\ stânga (((e) ^) (2)) \ dreapta)) ^ (x))) (\ ln ((e) ^ (2))) = \ frac (((e) ^ (2x))) (2) \]

\ [((e) ^ (- 2x)) = ((\ stânga (((e) ^ (- 2)) \ dreapta)) ^ (x)) \ to \ frac (((\ stânga (((e) ) ^ (- 2)) \ dreapta)) ^ (x))) (\ ln ((e) ^ (- 2))) = \ frac (1) (- 2 ((e) ^ (2x))) \]

Și acum să colectăm toți termenii într-o singură expresie și să obținem antiderivata generală:

Exemplul nr. 2

De data aceasta, exponentul este deja mai mare, așa că formula pentru înmulțirea prescurtată va fi destul de complicată. Deci, să extindem parantezele:

Acum vom încerca să luăm antiderivatul formulei noastre din această construcție:

După cum puteți vedea, funcția exponențială primitivă nu este nimic complicat și supranatural. Toate sunt numărate prin tabele, dar elevii atenți vor observa probabil că antiderivata $ ((e) ^ (2x)) $ este mult mai aproape doar de $ ((e) ^ (x)) $ decât de $ ((a) ^ (x )) $. Deci, poate există o regulă mai specială care permite, cunoscând antiderivata $ ((e) ^ (x)) $, să găsească $ ((e) ^ (2x)) $? Da, există o astfel de regulă. Și, în plus, este o parte integrantă a lucrului cu tabelul de antiderivate. O vom analiza acum folosind exemplul acelorași expresii cu care tocmai am lucrat.

Reguli pentru lucrul cu tabelul de antiderivate

Să scriem din nou funcția noastră:

În cazul precedent, am folosit următoarea formulă pentru a rezolva:

\ [((a) ^ (x)) \ to \ frac (((a) ^ (x))) (\ operatorname (lna)) \]

Dar acum vom acționa puțin diferit: amintiți-vă pe ce bază $ ((e) ^ (x)) \ la ((e) ^ (x)) $. După cum sa spus deja, deoarece derivata $ ((e) ^ (x)) $ nu este altceva decât $ ((e) ^ (x)) $, deci antiderivata sa va fi egală cu același $ ((e) ^ ( x)) $. Dar problema este că avem $ ((e) ^ (2x)) $ și $ ((e) ^ (- 2x)) $. Acum să încercăm să găsim derivata $ ((e) ^ (2x)) $:

\ [((\ stânga (((e) ^ (2x)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ((e) ^ (2x)) \ cdot ((\ stânga (2x \ dreapta)) ^ ( \ prim)) = 2 \ cdot ((e) ^ (2x)) \]

Să rescriem construcția noastră din nou:

\ [((\ stânga (((e) ^ (2x)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = 2 \ cdot ((e) ^ (2x)) \]

\ [((e) ^ (2x)) = ((\ stânga (\ frac (((e) ^ (2x))) (2) \ dreapta)) ^ (\ prim)) \]

Aceasta înseamnă că atunci când găsim antiderivată $ ((e) ^ (2x)) $ obținem următoarele:

\ [((e) ^ (2x)) \ to \ frac (((e) ^ (2x))) (2) \]

După cum puteți vedea, am obținut același rezultat ca înainte, dar nu am folosit formula pentru a găsi $ ((a) ^ (x)) $. Acum poate părea o prostie: de ce să complicați calculele când există o formulă standard? Cu toate acestea, în expresii ceva mai complexe, veți descoperi că această tehnică este foarte eficientă, adică. folosind derivate pentru a găsi antiderivate.

Ca o încălzire, să găsim antiderivata lui $ ((e) ^ (2x)) $ într-un mod similar:

\ [((\ stânga (((e) ^ (- 2x)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ((e) ^ (- 2x)) \ cdot \ stânga (-2 \ dreapta) \]

\ [((e) ^ (- 2x)) = ((\ stânga (\ frac (((e) ^ (- 2x))) (- 2) \ dreapta)) ^ (\ prim)) \]

La calcul, construcția noastră se va scrie după cum urmează:

\ [((e) ^ (- 2x)) \ to - \ frac (((e) ^ (- 2x))) (2) \]

\ [((e) ^ (- 2x)) \ to - \ frac (1) (2 \ cdot ((e) ^ (2x))) \]

Am obținut exact același rezultat, dar în același timp am luat o cale diferită. Această cale, care acum ni se pare puțin mai complicată, se va dovedi mai târziu a fi mai eficientă pentru calcularea unor antiderivate mai complexe și utilizarea tabelelor.

Notă! Acesta este un punct foarte important: antiderivatele, ca și derivatele, pot fi numărate în multe moduri diferite. Cu toate acestea, dacă toate calculele și calculele sunt egale, atunci răspunsul va fi același. Tocmai am văzut acest lucru pe exemplul lui $ ((e) ^ (- 2x)) $ - pe de o parte, am numărat acest antiderivat „drept înainte”, folosind definiția și calculând-o folosind transformări, pe de altă parte, ne-am amintit că $ ((e) ^ (- 2x)) $ poate fi reprezentat ca $ ((\ stânga (((e) ^ (- 2)) \ dreapta)) ^ (x)) $ și abia apoi a folosit antiderivată pentru funcția $ ( (a) ^ (x)) $. Cu toate acestea, după toate transformările, rezultatul este același cu cel așteptat.

Și acum că am înțeles toate acestea, este timpul să trecem la ceva mai substanțial. Acum vom analiza două construcții simple, dar tehnica care va fi folosită în rezolvarea lor este un instrument mai puternic și mai util decât o simplă „curgere” între antiderivate adiacente din tabel.

Rezolvarea problemelor: găsiți antiderivată a unei funcții

Exemplul nr. 1

Să împărțim suma numărătorilor în trei fracții separate:

Aceasta este o tranziție destul de naturală și de înțeles - majoritatea studenților nu au probleme cu ea. Să ne rescriem expresia după cum urmează:

Acum să ne amintim această formulă:

În cazul nostru, obținem următoarele:

Pentru a scăpa de toate aceste fracții cu trei etaje, vă sugerez să faceți următoarele:

Exemplul nr. 2

Spre deosebire de fracția anterioară, numitorul nu este produsul, ci suma. În acest caz, nu ne mai putem împărți fracția în suma mai multor fracții simple, dar trebuie să încercăm cumva să ne asigurăm că numărătorul conține aproximativ aceeași expresie ca și în numitor. În acest caz, este destul de simplu să faci asta:

Această notație, care în limbajul matematicii se numește „adunarea zero”, ne va permite să împărțim din nou fracția în două bucăți:

Acum să găsim ceea ce căutăm:

Astea sunt toate calculele. În ciuda complexității aparent mai mari decât în ​​sarcina anterioară, cantitatea de calcul s-a dovedit a fi și mai mică.

Nuanțe de soluție

Și aici constă principala dificultate a lucrului cu antiderivate tabulare, acest lucru este vizibil în special în a doua sarcină. Cert este că pentru a selecta unele elemente care se numără ușor prin tabel, trebuie să știm ce anume căutăm și tocmai în căutarea acestor elemente constă întregul calcul al antiderivatelor.

Cu alte cuvinte, nu este suficient doar să memorezi tabelul de antiderivate - trebuie să poți vedea ceva care nu există încă, ci ce a vrut să spună autorul și compilatorul acestei probleme. De aceea mulți matematicieni, profesori și profesori susțin constant: „Ce înseamnă a lua antiderivate sau integrare – este doar un instrument sau este o artă adevărată?” De fapt, în opinia mea personală, integrarea nu este deloc o artă - nu este nimic sublim în ea, este doar practică și practică din nou. Și ca să exersăm, să rezolvăm trei exemple mai serioase.

Ne antrenăm în integrare în practică

Problema numarul 1

Să notăm următoarele formule:

\ [((x) ^ (n)) \ la \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \]

\ [\ frac (1) (x) \ la \ ln x \]

\ [\ frac (1) (1 + ((x) ^ (2))) \ to \ text (arctg) x \]

Să scriem următoarele:

Problema numarul 2

Să rescriem după cum urmează:

Antiderivatul total va fi egal cu:

Problema numarul 3

Complexitatea acestei probleme este că, spre deosebire de funcțiile anterioare, nu există nicio variabilă $ x $ de sus, adică. nu ne este clar ce sa adaugam, sa scadem pentru a obtine macar ceva asemanator cu ce este mai jos. Cu toate acestea, de fapt, această expresie este considerată chiar mai simplă decât orice expresie din construcțiile anterioare, deoarece această funcție poate fi rescrisă după cum urmează:

Poate că acum vă întrebați: de ce sunt aceste funcții egale? Sa verificam:

Vom rescrie și:

Să ne transformăm puțin expresia:

Și când le explic toate astea studenților mei, aproape întotdeauna apare aceeași problemă: cu prima funcție totul este mai mult sau mai puțin clar, și cu a doua, cu noroc sau practică, poți să-ți dai seama, dar ce fel de conștiință alternativă trebuie să aveți pentru a rezolva al treilea exemplu? De fapt, nu vă alarmați. Tehnica pe care am folosit-o la calcularea ultimei antiderivate se numește „descompunerea unei funcții în elemente elementare”, iar aceasta este o tehnică foarte serioasă, iar un tutorial video separat îi va fi dedicat.

Intre timp imi propun sa revenim la ceea ce tocmai am studiat, si anume la functiile exponentiale si sa complicam oarecum sarcinile cu continutul lor.

Probleme mai complexe pentru rezolvarea funcțiilor exponențiale antiderivate

Problema numarul 1

Rețineți următoarele:

\ [((2) ^ (x)) \ cdot ((5) ^ (x)) = ((\ stânga (2 \ cdot 5 \ dreapta)) ^ (x)) = ((10) ^ (x) ) \]

Pentru a găsi antiderivata acestei expresii, trebuie doar să utilizați formula standard - $ ((a) ^ (x)) \ to \ frac (((a) ^ (x))) (\ ln a) $.

În cazul nostru, antiderivatul va fi astfel:

Desigur, pe fundalul designului pe care tocmai l-am rezolvat, acesta pare mai simplu.

Problema numarul 2

Din nou, este ușor de observat că această funcție poate fi împărțită cu ușurință în doi termeni separați - două fracții separate. Să rescriem:

Rămâne să găsim antiderivatul fiecăruia dintre acești termeni conform formulei de mai sus:

În ciuda complexității aparent mari a funcțiilor exponențiale în comparație cu funcțiile putere-lege, cantitatea totală de calcule și calcule s-a dovedit a fi mult mai simplă.

Desigur, pentru elevii cunoscători, ceea ce tocmai am analizat (mai ales pe fondul a ceea ce am analizat până acum) poate părea expresii elementare. Cu toate acestea, alegând aceste două probleme pentru tutorialul video de astăzi, nu mi-am propus să vă spun un alt truc complex și sofisticat - tot ce voiam să vă arăt este că nu trebuie să vă fie teamă să folosiți trucuri standard de algebră pentru a transforma funcțiile originale. .

Folosind o tehnică „secretă”.

În concluzie, aș dori să analizez o altă tehnică interesantă, care, pe de o parte, depășește ceea ce am analizat în principal astăzi, dar, pe de altă parte, ea, în primul rând, nu este deloc complicată, adică. chiar și studenții începători îl pot stăpâni și, în al doilea rând, se găsește destul de des în toate tipurile de control și muncă independentă, adică. cunoașterea lui va fi foarte utilă pe lângă cunoașterea tabelului antiderivatelor.

Problema numarul 1

Evident, avem în față ceva foarte asemănător cu o funcție de putere. Ce ar trebui să facem în acest caz? Să ne gândim: $ x-5 $ nu este atât de diferit de $ x $ - tocmai am adăugat $ -5 $. Hai sa o scriem asa:

\ [((x) ^ (4)) \ to \ frac (((x) ^ (5))) (5) \]

\ [((\ stânga (\ frac (((x) ^ (5))) (5) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = \ frac (5 \ cdot ((x) ^ (4))) (5) = ((x) ^ (4)) \]

Să încercăm să găsim derivata lui $ ((\ stânga (x-5 \ dreapta)) ^ (5)) $:

\ [((\ stânga (((\ stânga (x-5 \ dreapta)) ^ (5)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = 5 \ cdot ((\ stânga (x-5 \ dreapta)) ^ (4)) \ cdot ((\ stânga (x-5 \ dreapta)) ^ (\ prim)) = 5 \ cdot ((\ stânga (x-5 \ dreapta)) ^ (4)) \]

Asta implică:

\ [((\ stânga (x-5 \ dreapta)) ^ (4)) = ((\ stânga (\ frac (((\ stânga (x-5 \ dreapta)) ^ (5))) (5) \ dreapta)) ^ (\ prim)) \]

Nu există o astfel de valoare în tabel, așa că acum am derivat această formulă noi înșine, folosind formula antiderivată standard pentru o funcție de putere. Să scriem răspunsul astfel:

Problema numarul 2

Pentru mulți studenți care se uită la prima soluție, li se poate părea că totul este foarte simplu: doar înlocuiți $ x $ în funcția de putere cu o expresie liniară și totul va cădea la loc. Din păcate, totul nu este atât de simplu, iar acum ne vom convinge de acest lucru.

Prin analogie cu prima expresie, scrieți următoarele:

\ [((x) ^ (9)) \ to \ frac (((x) ^ (10))) (10) \]

\ [((\ stânga (((\ stânga (4-3x \ dreapta)) ^ (10)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = 10 \ cdot ((\ stânga (4-3x \ dreapta)) ^ (9)) \ cdot ((\ stânga (4-3x \ dreapta)) ^ (\ prim)) = \]

\ [= 10 \ cdot ((\ stânga (4-3x \ dreapta)) ^ (9)) \ cdot \ stânga (-3 \ dreapta) = - 30 \ cdot ((\ stânga (4-3x \ dreapta)) ^ (9)) \]

Revenind la derivata noastră, putem scrie:

\ [((\ stânga (((\ stânga (4-3x \ dreapta)) ^ (10)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = - 30 \ cdot ((\ stânga (4-3x \ dreapta) ) ^ (9)) \]

\ [((\ stânga (4-3x \ dreapta)) ^ (9)) = ((\ stânga (\ frac ((\ stânga (4-3x \ dreapta)) ^ (10))) (- 30) \ dreapta)) ^ (\ prim)) \]

De aici rezultă imediat:

Nuanțe de soluție

Vă rugăm să rețineți: dacă ultima dată nu sa schimbat nimic în mod esențial, atunci în al doilea caz au apărut -30 USD în loc de -10 USD. Care este diferența dintre $ -10 $ și $ -30 $? Evident cu un factor de $ -3 $. Intrebare: de unde a venit? Privind atent, puteți vedea că a fost luată ca rezultat al calculului derivatei unei funcții complexe - coeficientul care a fost la $ x $ apare în antiderivată din partea de jos. Aceasta este o regulă foarte importantă, pe care inițial nu am plănuit să o analizez deloc în tutorialul video de astăzi, dar fără ea, prezentarea antiderivatelor tabulare ar fi incompletă.

Deci hai să mergem din nou. Să fie funcția noastră principală de putere:

\ [((x) ^ (n)) \ la \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \]

Acum, în loc de $ x $, să înlocuim expresia $ kx + b $. Ce se va întâmpla atunci? Trebuie să găsim următoarele:

\ [((\ stânga (kx + b \ dreapta)) ^ (n)) \ to \ frac (((\ stânga (kx + b \ dreapta)) ^ (n + 1))) (\ stânga (n + 1 \ dreapta) \ cdot k) \]

Pe ce bază afirmăm acest lucru? Foarte simplu. Să găsim derivata construcției de mai sus:

\ [((\ stânga (\ frac (((\ stânga (kx + b \ dreapta)) ^ (n + 1))) (\ stânga (n + 1 \ dreapta) \ cdot k) \ dreapta)) ^ ( \ prim)) = \ frac (1) (\ stânga (n + 1 \ dreapta) \ cdot k) \ cdot \ stânga (n + 1 \ dreapta) \ cdot ((\ stânga (kx + b \ dreapta)) ^ (n)) \ cdot k = ((\ stânga (kx + b \ dreapta)) ^ (n)) \]

Aceasta este aceeași expresie care a fost inițial. Astfel, această formulă este, de asemenea, corectă și poate fi folosită pentru a suplimenta tabelul de antiderivate sau este mai bine să ne amintim doar întregul tabel.

Concluzii din „secretul: tehnica:

• Ambele funcții pe care tocmai le-am luat în considerare, de fapt, pot fi reduse la antiderivatele indicate în tabel prin extinderea gradelor, dar dacă totuși facem față mai mult sau mai puțin cumva gradului al patrulea, atunci nu m-aș descurca deloc gradului al nouălea. grad îndrăznit să dezvăluie.
• Dacă am dezvălui gradele, atunci am obține un astfel de volum de calcule încât o sarcină simplă ne-ar lua un timp necorespunzător de mare.
• De aceea, astfel de probleme, în cadrul cărora există expresii liniare, nu trebuie rezolvate „direct”. De îndată ce întâlniți un antiderivat, care diferă de cel din tabel, numai prin prezența expresiei $ kx + b $ în interior, amintiți-vă imediat formula scrisă mai sus, înlocuiți-o în antiderivatul dvs. de tabel și totul se va transforma ieși mult mai repede și mai ușor pentru tine.

Desigur, datorită complexității și seriozității acestei tehnici, vom reveni în mod repetat asupra ei în tutorialele video viitoare, dar pentru astăzi am de toate. Sperăm că acest tutorial îi va ajuta cu adevărat pe acei studenți care doresc să înțeleagă antiderivatele și integrarea.

Integrale complexe

Acest articol completează subiectul integralelor nedefinite și include integrale pe care le găsesc destul de dificile. Lecția a fost creată la solicitările repetate ale vizitatorilor care și-au exprimat dorința ca pe site să fie analizate și exemple mai dificile.

Se presupune că cititorul acestui text este bine pregătit și știe să aplice tehnicile de bază ale integrării. Manichinii și oamenii care nu sunt foarte încrezători în ceea ce privește integralele ar trebui să se refere la prima lecție - Integrală nedefinită. Exemple de soluții , unde poți stăpâni subiectul practic de la zero. Studenții mai experimentați se pot familiariza cu tehnicile și metodele de integrare care nu au fost încă întâlnite în articolele mele.

Ce integrale vor fi luate în considerare?

În primul rând, vom lua în considerare integralele cu rădăcini, pentru soluția cărora o folosim succesiv înlocuire variabilă și integrare pe părți ... Adică într-un exemplu două tehnici sunt combinate deodată... Și încă mai mult.

Apoi ne vom familiariza cu un interesant și original metoda de reducere a integralei la sine ... Nu atât de puține integrale sunt rezolvate în acest fel.

Al treilea număr al programului va merge integrale ale fracțiilor compuse care a zburat pe lângă box office în articolele anterioare.

În al patrulea rând, va fi dezasamblat integrale complementare ale funcțiilor trigonometrice... În special, există metode care evită consumatorii de timp substituție trigonometrică universală.

(2) În integrand, împărțim numărătorul la numitor termen cu termen.

(3) Folosim proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. În ultima integrală imediat aducem functia sub semnul diferential .

(4) Luați integralele rămase. Rețineți că parantezele pot fi folosite în logaritm, nu în modul, deoarece.

(5) Efectuăm substituția inversă, exprimând din substituția directă „te”:

Studenții masochiști pot diferenția răspunsul și pot obține integrantul original așa cum tocmai am făcut eu. Nu, nu, am făcut verificarea în sensul corect =)

După cum puteți vedea, în cursul soluției, au trebuit folosite chiar și mai mult de două metode de soluție, astfel încât, pentru a face față unor astfel de integrale, sunt necesare abilități de integrare încrezătoare și nu cea mai mică experiență.

În practică, desigur, rădăcina pătrată este mai comună, iată trei exemple pentru o soluție independentă:

Exemplul 2

Aflați integrala nedefinită

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită

Aceste exemple sunt de același tip, așa că soluția completă de la sfârșitul articolului va fi doar pentru Exemplul 2, în Exemplele 3-4 - un singur răspuns. Ce înlocuire să folosiți la începutul soluțiilor cred că este evidentă. De ce am luat exemple de același tip? Se întâlnesc adesea în rolul lor. Mai des, poate, doar ceva de genul .

Dar nu întotdeauna, când rădăcina unei funcții liniare se găsește sub arctangent, sinus, cosinus, exponent și alte funcții, mai multe metode trebuie aplicate simultan. Într-o serie de cazuri, este posibil să „coboare ușor”, adică imediat după înlocuire se obține o integrală simplă, care poate fi luată în mod elementar. Cea mai ușoară dintre sarcinile propuse mai sus este Exemplul 4, în care, după înlocuire, se obține o integrală relativ simplă.

Prin reducerea integralei la sine

O metodă ingenioasă și frumoasă. Să aruncăm o privire imediat la clasicii genului:

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită

Există un binom pătrat sub rădăcină, iar când încercați să integrați acest exemplu, ibricul poate suferi ore întregi. O astfel de integrală este luată bucată cu bucată și se reduce la sine. În principiu, nu este dificil. Dacă știi cum.

Să notăm integrala luată în considerare printr-o literă latină și să începem soluția:

Integram bucata cu bucata:

(1) Pregătiți o funcție integrand pentru împărțirea termenilor.

(2) Împărțim integrandul pe termen. Poate că nu toată lumea înțelege, voi scrie mai detaliat:

(3) Folosim proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite.

(4) Luați ultima integrală (logaritmul „lung”).

Acum ne uităm la începutul soluției:

Si la final:

Ce s-a întâmplat? Ca urmare a manipulărilor noastre, integrala s-a redus la sine!

Să echivalăm începutul și sfârșitul:

Deplasați-vă la stânga cu o schimbare de semn:

Și ducem zeul în partea dreaptă. Ca urmare:

Constanta, strict vorbind, ar fi trebuit adăugată mai devreme, dar adăugată la sfârșit. Vă recomand cu tărie să citiți ceea ce este strict aici:

Notă: Mai strict, etapa finală a soluției arată astfel:

Prin urmare:

Constanta poate fi redenumită ca. De ce poți re-desemna? Pentru că încă acceptă orice valori, iar în acest sens nu există nicio diferență între constante și.
Ca urmare:

Un truc similar de redenumire constantă este utilizat pe scară largă în ecuatii diferentiale ... Și acolo voi fi strict. Și aici o astfel de libertate este permisă de mine doar pentru a nu te confunda cu lucruri inutile și pentru a mă concentra pe însăși metoda de integrare.

Exemplul 6

Aflați integrala nedefinită

O altă integrală tipică pentru o soluție independentă. Soluție completă și răspuns la sfârșitul tutorialului. Diferența cu răspunsul din exemplul anterior va fi!

Dacă există un trinom pătrat sub rădăcina pătrată, atunci soluția în orice caz se reduce la două exemple analizate.

De exemplu, luați în considerare integrala ... Tot ce trebuie să faci este în avans selectați un pătrat complet :
.
În plus, se efectuează o înlocuire liniară, care este eliminată „fără nicio consecință”:
, rezultând o integrală. Ceva familiar, nu?

Sau un astfel de exemplu, cu un binom pătrat:
Selectați un pătrat complet:
Și, după o înlocuire liniară, obținem o integrală, care se rezolvă și după algoritmul deja considerat.

Luați în considerare încă două exemple tipice despre cum să reduceți o integrală la sine:
- integrală a exponentului înmulțită cu sinusul;
Este integrala exponentului înmulțită cu cosinusul.

În integralele enumerate pe părți, va trebui să integrăm deja de două ori:

Exemplul 7

Aflați integrala nedefinită

Integrandul este exponentul cu sinusul.

Integram de două ori pe părți și reducem integrala la sine:

Ca urmare a dublei integrări pe părți, integrala s-a redus la sine. Să echivalăm începutul și sfârșitul soluției:

Deplasați-vă la stânga cu o schimbare de semn și exprimați integrala noastră:

Gata. Pe parcurs, este indicat să pieptănați partea dreaptă, adică. pune exponentul în afara parantezei, iar în paranteze aranjează sinusul și cosinusul într-o ordine „frumoasă”.

Acum să revenim la începutul exemplului, sau mai degrabă la integrarea pe părți:

Căci am desemnat expozantul. Apare întrebarea, exact exponentul trebuie notat întotdeauna cu? Nu este necesar. De fapt, în integrala considerată fundamental nu conteaza, pentru ce să denotăm, era posibil să mergem în altă direcție:

De ce este posibil acest lucru? Deoarece exponentul se transformă în sine (atât în ​​timpul diferențierii, cât și în timpul integrării), sinusul și cosinusul se transformă reciproc unul în celălalt (din nou, atât în ​​timpul diferențierii, cât și în timpul integrării).

Adică, puteți desemna și o funcție trigonometrică. Dar, în exemplul considerat, acest lucru este mai puțin rațional, deoarece vor apărea fracții. Dacă doriți, puteți încerca să rezolvați acest exemplu în al doilea mod, răspunsurile trebuie să fie aceleași.

Exemplul 8

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself. Înainte de a decide, gândiți-vă la ce este mai profitabil în acest caz să desemnați pentru, exponent sau funcție trigonometrică? Soluție completă și răspuns la sfârșitul tutorialului.

Și, desigur, rețineți că majoritatea răspunsurilor din această lecție sunt destul de ușor de diferențiat!

Exemplele au fost considerate ca nu cele mai dificile. În practică, integralele sunt mai frecvente, unde constanta este atât în ​​exponent, cât și în argumentul funcției trigonometrice, de exemplu:. Mulți oameni vor trebui să se piardă într-o astfel de integrală, iar eu însumi mă încurc adesea. Faptul este că există o probabilitate mare de apariție a fracțiilor în soluție și este foarte ușor să pierzi ceva prin neatenție. În plus, există o mare probabilitate de eroare în semne, rețineți că exponentul are semnul minus, iar acest lucru introduce o dificultate suplimentară.

În etapa finală, se dovedește adesea ceva de genul următor:

Chiar și la sfârșitul soluției, ar trebui să fii extrem de atent și să te ocupi cu competență de fracții:

Integrarea fracțiilor compuse

Ne apropiem încet de ecuatorul lecției și începem să luăm în considerare integralele fracțiilor. Din nou, nu toate sunt super complicate, doar dintr-un motiv sau altul exemplele au fost puțin „off topic” în alte articole.

Continuând tema rădăcinilor

Exemplul 9

Aflați integrala nedefinită

În numitorul de sub rădăcină se află trinomul pătrat plus în afara rădăcinii „apendice” sub forma „x”. O integrală de acest fel este rezolvată folosind o substituție standard.

Noi decidem:

Inlocuirea este simpla:

Ne uităm la viața după înlocuire:

(1) După înlocuire, aducem termenii de sub rădăcină la un numitor comun.
(2) Scoatem de sub rădăcină.
(3) Reduceți numărătorul și numitorul cu. În același timp, sub rădăcină, am rearanjat termenii într-o ordine convenabilă. Cu ceva experiență, pașii (1), (2) pot fi săriți prin efectuarea verbală a acțiunilor comentate.
(4) Integrala rezultată, după cum vă amintiți din lecție Integrarea unor fracții , rezolvat prin metoda selectării unui pătrat plin... Selectați un pătrat complet.
(5) Integrarea obținem un logaritm „lung” obișnuit.
(6) Efectuăm înlocuirea inversă. Dacă inițial, apoi înapoi:.
(7) Acțiunea finală vizează coafura rezultatului: sub rădăcină, aducem din nou termenii la un numitor comun și îi scoatem de sub rădăcină.

Exemplul 10

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself. Aici, o constantă a fost adăugată la X singuratic, iar înlocuirea este aproape aceeași:

Singurul lucru care trebuie făcut suplimentar este să exprimați „x” din înlocuire:

Soluție completă și răspuns la sfârșitul tutorialului.

Uneori, într-o astfel de integrală poate exista un binom pătrat sub rădăcină, acest lucru nu schimbă soluția, va fi și mai simplu. Simte diferenta:

Exemplul 11

Aflați integrala nedefinită

Exemplul 12

Aflați integrala nedefinită

Scurte soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției. Trebuie remarcat faptul că Exemplul 11 ​​este exact integrală binomială, a cărui metodă de rezolvare a fost luată în considerare în lecție Integrale ale funcțiilor iraționale .

Integrală a unui polinom necompunebil de gradul 2 în grad

(polinom la numitor)

Mai rară, dar, totuși, întâlnită în exemple practice, forma integralei.

Exemplul 13

Aflați integrala nedefinită

Dar să revenim la exemplul cu numărul norocos 13 (sincer, nu am ghicit bine). Această integrală este și din categoria celor cu care te poți chinui destul de mult dacă nu știi să o rezolvi.

Soluția începe cu o transformare artificială:

Cred că toată lumea înțelege deja cum se împarte numărătorul la numitor termen cu termen.

Integrala rezultată este luată bucată cu bucată:

Pentru o integrală a formei (este un număr natural), recurent Formula de reducere a gradului:
, Unde - integrală de un grad mai mic.

Să verificăm validitatea acestei formule pentru integrala rezolvată.
În acest caz:,, folosim formula:

După cum puteți vedea, răspunsurile sunt aceleași.

Exemplul 14

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself. Soluția eșantion utilizează formula de mai sus de două ori consecutiv.

Daca sub grad exista necompusa trinom pătrat, atunci soluția este redusă la un binom selectând un pătrat complet, de exemplu:

Ce se întâmplă dacă există un polinom suplimentar în numărător? În acest caz, se folosește metoda coeficienților nedefiniti, iar integrandul este extins în suma fracțiilor. Dar în practica mea a unui astfel de exemplu niciodată întâlnit, așa că am omis acest caz în articol Integrale ale unei funcții raționale fracționale , îl voi omite acum. Dacă o astfel de integrală încă apare, consultați manualul - totul este simplu acolo. Nu consider oportună includerea materialelor (chiar simple), probabilitatea de întâlnire cu care tinde spre zero.

Integrarea funcţiilor trigonometrice complexe

Pentru majoritatea exemplelor, adjectivul „dificil” este din nou în mare măsură condiționat. Să începem cu tangente și cotangente în grade mari. Din punctul de vedere al metodelor folosite pentru rezolvarea tangentei și cotangentei, acestea sunt aproape același lucru, așa că voi vorbi mai mult despre tangentă, ceea ce înseamnă că metoda demonstrată de rezolvare a integralei este valabilă și pentru cotangente.

În lecția de mai sus, ne-am uitat la substituție trigonometrică universală pentru rezolvarea unui anumit fel de integrale ale funcţiilor trigonometrice. Dezavantajul substituției trigonometrice universale este că atunci când o folosește, apar adesea integrale greoaie cu calcule dificile. Și în unele cazuri, înlocuirea trigonometrică universală poate fi evitată!

Luați în considerare un alt exemplu canonic, integrala unității împărțită la sinus:

Exemplul 17

Aflați integrala nedefinită

Puteți utiliza aici substituția trigonometrică generică și puteți obține răspunsul, dar există o modalitate mai rațională. Voi oferi o soluție completă cu comentarii pentru fiecare pas:

(1) Folosim formula trigonometrică cu unghi dublu sinus.
(2) Efectuăm o transformare artificială: La numitor, împărțim și înmulțim cu.
(3) După formula binecunoscută la numitor, transformăm fracția într-o tangentă.
(4) Aducem funcția sub semnul diferenţialului.
(5) Luați integrala.

Câteva exemple simple pentru o soluție independentă:

Exemplul 18

Aflați integrala nedefinită

Notă: primul pas este să utilizați formula de turnare și efectuați cu atenție pașii similari cu exemplul anterior.

Exemplul 19

Aflați integrala nedefinită

Ei bine, acesta este un exemplu foarte simplu.

Soluții complete și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Cred că acum nimeni nu va avea probleme cu integralele:
etc.

Care este ideea din spatele metodei? Ideea este de a organiza doar tangentele și derivata tangentei în integrand folosind transformări, formule trigonometrice. Adică vorbim despre înlocuirea: ... În exemplele 17-19, am aplicat de fapt această înlocuire, dar integralele au fost atât de simple încât problema a fost tratată cu o acțiune echivalentă - prin aducerea funcţiei sub semnul diferenţial.

Raționament similar, așa cum am menționat deja, poate fi efectuat pentru cotangentă.

Există, de asemenea, o condiție prealabilă formală pentru aplicarea înlocuirii de mai sus:

Suma puterilor cosinusului și sinusului este un număr întreg negativ PAR, de exemplu:

pentru o integrală - un număr întreg negativ PAR.

! Notă : dacă integrandul conține DOAR un sinus sau DOAR un cosinus, atunci integrala este luată și pentru un grad impar negativ (cele mai simple cazuri sunt în Exemplele nr. 17, 18).

Luați în considerare câteva sarcini mai semnificative pentru această regulă:

Exemplul 20

Aflați integrala nedefinită

Suma gradelor sinusului și cosinusului: 2 - 6 = –4 este un număr întreg negativ PAR, ceea ce înseamnă că integrala poate fi redusă la tangente și derivata ei:

(1) Transformați numitorul.
(2) Conform formulei binecunoscute, obținem.
(3) Transformați numitorul.
(4) Folosim formula .
(5) Aducem funcția sub semnul diferenţialului.
(6) Efectuăm o înlocuire. Este posibil ca studenții mai experimentați să nu efectueze înlocuirea, dar este totuși mai bine să înlocuiți tangenta cu o singură literă - există mai puțin risc de confuzie.

Exemplul 21

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself.

Stai, încep rundele de campion =)

Adesea, în integrand există un „mezul”:

Exemplul 22

Aflați integrala nedefinită

Această integrală conține inițial o tangentă, care provoacă imediat un gând deja familiar:

Transformare artificială la început și restul pașilor le voi lăsa fără comentarii, deoarece totul a fost deja spus mai sus.

Câteva exemple creative pentru auto-soluție:

Exemplul 23

Aflați integrala nedefinită

Exemplul 24

Aflați integrala nedefinită

Da, în ele, desigur, puteți scădea gradele sinusului, cosinusului, utilizați substituția trigonometrică universală, dar soluția va fi mult mai eficientă și mai scurtă dacă se realizează prin tangente. Soluție completă și răspunsuri la sfârșitul lecției

Integrale de conducere pe care fiecare student ar trebui să le cunoască

Integralele enumerate sunt baza, baza fundațiilor. Aceste formule, desigur, trebuie amintite. Când calculați integrale mai complexe, va trebui să le folosiți tot timpul.

Acordați o atenție deosebită formulelor (5), (7), (9), (12), (13), (17) și (19). Nu uitați să adăugați o constantă arbitrară C la răspunsul dvs. atunci când integrați!

Integrala unei constante

∫ A d x = A x + C (1)

Integrarea funcției de putere

De fapt, ne-am putea restrânge doar la formulele (5) și (7), dar restul integralelor din acest grup apar atât de des încât merită să le acordăm puțină atenție.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | + C (5)
∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1) (7)

Integrale ale funcției exponențiale și ale funcțiilor hiperbolice

Desigur, formula (8) (poate cea mai convenabilă pentru memorare) poate fi considerată ca un caz special al formulei (9). Formulele (10) și (11) pentru integralele sinusului hiperbolic și cosinus hiperbolic sunt ușor derivate din formula (8), dar este mai bine să memorați pur și simplu aceste relații.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a> 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Integrale de bază ale funcțiilor trigonometrice

O greșeală pe care elevii o fac adesea: confundă semnele în formulele (12) și (13). Reținând că derivata sinusului este egală cu cosinusul, mulți din anumite motive cred că integrala funcției sinx este egală cu cosx. Nu este adevarat! Integrala sinusului este egală cu „minus cosinusul”, dar integrala cosx este egală cu „doar sinusul”:

∫ sin x d x = - cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = - c t g x + C (15)

Integrale reducând la funcții trigonometrice inverse

Formula (16), care duce la arctangente, este în mod natural un caz special al formulei (17) cu a = 1. În mod similar, (18) este un caz special al lui (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin x + C = - arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 - x 2 d x = arcsin x a + C = - arccos x a + C (a> 0) (19)

Integrale mai complexe

De asemenea, este de dorit să ne amintim aceste formule. De asemenea, sunt folosite destul de des, iar producția lor este destul de obositoare.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C (20)
∫ 1 x 2 - a 2 d x = ln | x + x 2 - a 2 | + C (21)
∫ a 2 - x 2 d x = x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a> 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a> 0) (23)
∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | x + x 2 - a 2 | + C (a> 0) (24)

Reguli generale de integrare

1) Integrala sumei a două funcții este egală cu suma integralelor corespunzătoare: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Integrala diferenței a două funcții este egală cu diferența integralelor corespunzătoare: ∫ (f (x) - g (x)) d x = ∫ f (x) d x - ∫ g (x) d x (26)

3) Constanta poate fi luată în afara semnului integral: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Este ușor de observat că proprietatea (26) este pur și simplu o combinație de proprietăți (25) și (27).

4) Integrală a unei funcții compuse dacă funcția interioară este liniară: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Aici F (x) este antiderivată pentru funcția f (x). Vă rugăm să rețineți: această formulă este potrivită numai pentru cazul în care funcția interioară este de forma Ax + B.

Important: nu există o formulă universală pentru integrala produsului a două funcții, precum și pentru integrala unei fracții:

∫ f (x) g (x) d x =? ∫ f (x) g (x) d x =? (treizeci)

Aceasta nu înseamnă, desigur, că o fracțiune sau un produs nu poate fi integrat. Doar că de fiecare dată când vezi o integrală ca (30), trebuie să inventezi o modalitate de a „a face” cu ea. În unele cazuri, integrarea pe părți vă va ajuta, undeva va trebui să schimbați o variabilă și, uneori, chiar și formulele de algebră sau trigonometrie „școlară” vă pot ajuta.

Un exemplu simplu pentru calcularea unei integrale nedefinite

Exemplul 1. Aflați integrala: ∫ (3 x 2 + 2 sin x - 7 e x + 12) d x

Folosim formulele (25) și (26) (integrala sumei sau diferenței de funcții este egală cu suma sau diferența integralelor corespunzătoare. Se obține: ∫ 3 x 2 dx + ∫ 2 sin xdx - ∫ 7 exdx + ∫ 12 dx

Reamintim că constanta poate fi luată în afara semnului integral (formula (27)). Expresia este convertită în formă

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x - 7 ∫ e ​​​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Acum să folosim doar tabelul integralelor de bază. Trebuie să aplicăm formulele (3), (12), (8) și (1). Să integrăm funcția de putere, sinus, exponent și constantă 1. Să nu uităm să adăugăm o constantă arbitrară C la sfârșit:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

După transformări elementare, obținem răspunsul final:

X 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

Testați-vă prin diferențiere: luați derivata funcției rezultate și asigurați-vă că este egală cu integrandul original.

Tabel pivot al integralelor

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | + C

∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a> 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = - cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = - c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin x + C = - arccos x + C

∫ 1 a 2 - x 2 d x = arcsin x a + C = - arccos x a + C (a> 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C

∫ 1 x 2 - a 2 d x = ln | x + x 2 - a 2 | + C

∫ a 2 - x 2 d x = x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a> 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a> 0)

∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | x + x 2 - a 2 | + C (a> 0)

Descărcați tabelul de integrale (partea a II-a) de pe acest link

Dacă studiezi la o universitate, dacă ai dificultăți cu matematica superioară (analiza matematică, algebră liniară, teoria probabilităților, statistică), dacă ai nevoie de serviciile unui profesor calificat, mergi pe pagina unui profesor superior de matematică. Vom rezolva problemele dumneavoastră împreună!

de asemenea poti fi interesat de