Stabilitatea modelelor matematice de tip prădător-pradă. Echilibrul prădător-pradă. Analogii cu cinetica chimică
MODEL DE COMPUTER PRĂDATOR-VICTIME
Kazachkov Igor Alekseevici 1, Guseva Elena Nikolaevna 2
1 Universitatea Tehnică de Stat Magnitogorsk numită după G.I. Nosova, Institutul de Construcții, Arhitectură și Artă, student în anul V
2 Magnitogorsk State Technical University numit după G.I. Nosova, Institutul de Energie și Sisteme Automatizate, Candidat la Științe Pedagogice, Conferențiar al Departamentului de Informatică de Afaceri și Tehnologii Informaționale
adnotare
Acest articol este dedicat unei imagini de ansamblu asupra modelului computerizat „prădător-pradă”. Cercetările efectuate sugerează că modelarea ecologică joacă un rol imens în studiul mediului. Această problemă are mai multe fațete.
MODEL DE COMPUTER „PRADATOR-VICTIME”
Kazatchkov Igor Alekseevich 1, Guseva Elena Nikolaevna 2
1 Universitatea Tehnică de Stat Nosov Magnitogorsk, Institutul de Inginerie Civilă, Arhitectură și Arte, student la cursul al V-lea
2 Universitatea Tehnică de Stat Nosov Magnitogorsk, Institutul de Inginerie Energetică și Sisteme Automatizate, Doctor în Științe Pedagogice, Profesor asociat al Departamentului de Informatică de Afaceri și Tehnologii Informaționale
Abstract
Acest articol oferă o prezentare generală a modelului computerizat „prădător-victimă”. Studiul sugerează că simularea mediului joacă un rol imens în studiul mediului. Această problemă are mai multe fațete.
Modelarea mediului este folosită pentru a studia mediul nostru. Modelele matematice sunt folosite în cazurile în care nu există mediu natural și nu există obiecte naturale, ajută la prezicerea influenței diferiților factori asupra obiectului studiat. Aceasta metoda preia functiile de verificare, construire si interpretare a rezultatelor obtinute. Pe baza unor astfel de forme, modelarea ecologică se preocupă de evaluarea schimbărilor din mediul nostru.
În acest moment, astfel de forme sunt folosite pentru a studia mediul din jurul nostru, iar atunci când este necesar să se studieze vreuna dintre zonele sale, atunci se folosește modelarea matematică. Acest model face posibilă prezicerea influenței anumitor factori asupra obiectului de studiu. La un moment dat, tipul „prădător - pradă” a fost propus de oameni de știință precum: T. Malthus (Malthus 1798, Malthus 1905), Verhulst (Verhulst 1838), Pearl (Pearl 1927, 1930), precum și A. Lotka ( Lotka 1925, 1927) și V. Volterra (Volterra 1926) Aceste modele reproduc regimul oscilator periodic care apare ca urmare a interacțiunilor interspecii din natură.
Una dintre principalele metode de cunoaștere este modelarea. Pe lângă faptul că poate prezice schimbări în mediu, ajută și la găsirea celei mai bune modalități de a rezolva problema. Multă vreme, în ecologie, modelele matematice au fost folosite pentru a stabili modele, tendințe în dezvoltarea populațiilor, ajută la evidențierea esenței observațiilor. Aspectul poate servi ca exemplu comportament, obiect.
La reconstrucția obiectelor din biologia matematică, se folosesc predicții ale diferitelor sisteme, se oferă individualități speciale ale biosistemelor: structura internă a unui individ, condițiile de susținere a vieții, constanța sistemelor ecologice, datorită cărora este salvată activitatea vitală a sistemelor.
Apariția modelării computerizate a împins în mod semnificativ granița capacității de cercetare. A existat o posibilitate de implementare multilaterală a unor forme dificile care nu permiteau studiul analitic, au apărut noi direcții, precum și modelarea prin simulare.
Să luăm în considerare ce este un obiect de modelare. „Obiectul este un habitat închis în care două populații biologice interacționează: prădători și pradă. Are loc procesul de creștere, extincție și reproducere direct pe suprafata habitatului. Hrana prăzii se produce în detrimentul resurselor care sunt prezente în mediul dat, iar hrana prădătorilor este în detrimentul prăzii. În același timp, resursele nutriționale pot fi atât regenerabile, cât și neregenerabile.
În 1931, Vito Volterra a dedus următoarele legi ale relației prădător-pradă.
Legea ciclului periodic - procesul de distrugere a prăzii de către un prădător duce adesea la fluctuații periodice ale mărimii populației ambelor specii, în funcție doar de rata de creștere a carnivorelor și ierbivorelor și de raportul inițial al numărului acestora.
Legea conservării valorilor medii este că numărul mediu al fiecărei specii este constant, indiferent de nivelul inițial, cu condiția ca ratele specifice de creștere a numărului de populații, precum și eficiența prădării să fie constante.
Legea de încălcare a valorilor medii - cu o scădere a ambelor specii proporțional cu numărul lor, populația medie a prăzii crește, iar numărul de prădători scade.
Modelul prădător-pradă este o relație specială de prădător cu pradă, în urma căreia ambii câștigă. Cei mai sănătoși și adaptați indivizi supraviețuiesc, adică. toate acestea se datorează selecției naturale. Într-un mediu în care nu există oportunități de reproducere, prădătorul va distruge mai devreme sau mai târziu populația de pradă, după care se va stinge singur.”
Există multe organisme vii pe pământ, care, în condiții favorabile, cresc numărul de congeneri la o scară enormă. Această abilitate se numește: potențialul biotic al speciei, i.e. o creştere a numărului de specii într-o anumită perioadă de timp. Fiecare specie are propriul potențial biotic, de exemplu, speciile mari de organisme pot crește doar de 1,1 ori pe an, în timp ce organismele din specii mai mici, cum ar fi crustaceele etc. își pot mări aspectul de până la 1030 de ori, iar bacteriile în număr și mai mare. În oricare dintre aceste cazuri, populația va crește exponențial.
Creșterea exponențială a populației se numește progresia geometrică a creșterii populației. Această capacitate poate fi observată în laborator în bacterii, drojdie. În condiții non-laboratoare, creșterea exponențială poate fi observată în exemplul lăcustelor sau a altor specii de insecte. O astfel de creștere a numărului de specii poate fi observată în acele locuri în care practic nu are dușmani și există hrană mai mult decât suficientă. În cele din urmă, creșterea speciei, după ce numărul a crescut pentru o perioadă scurtă de timp, creșterea populației a început să scadă.
Luați în considerare un model computerizat de reproducere a mamiferelor folosind modelul Lotka-Volterra ca exemplu. Lăsa pe un teritoriu există două tipuri de animale: căprioare și lupi. Model matematic al modificărilor dimensiunii populației în model Tavi Volterra:
Numărul inițial de victime este xn, numărul de prădători este yn.
Parametrii modelului:
P1 - probabilitatea de a întâlni un prădător,
P2 este rata de creștere a prădătorilor în detrimentul prăzii,
d este rata mortalității prădătorilor,
a este rata de creștere a numărului de victime.
În problema educațională, au fost stabilite următoarele valori: numărul de căprioare a fost 500, numărul de lup a fost 10, rata de creștere a căpriorului a fost 0,02, rata de creștere a numărului de lup a fost 0,1, probabilitatea de întâlnire un prădător a fost 0,0026, rata de creștere a prădătorilor din cauza prăzii a fost 0, 000056. Datele sunt calculate pentru 203 ani.
Explorarea impactului ritmul de creștere a victimelor pentru dezvoltarea a două populații, parametrii rămași vor rămâne neschimbați. Schema 1 arată o creștere a numărului de pradă și apoi, cu o oarecare întârziere, se observă o creștere a prădătorilor. Apoi prădătorii elimină prada, numărul de pradă scade brusc, urmat de o scădere a numărului de prădători (Fig. 1).
Figura 1. Dimensiunea populației cu fertilitate scăzută în rândul victimelor
Să analizăm modificarea modelului prin creșterea ratei de fertilitate a victimei a = 0,06. În Schema 2, vedem un proces oscilator ciclic care duce la o creștere a dimensiunii ambelor populații în timp (Fig. 2).
Figura 2: Dimensiunea populației cu rata medie de fertilitate în rândul victimelor
Să luăm în considerare modul în care dinamica populațiilor se va schimba cu o valoare ridicată a ratei de fertilitate a victimei a = 1,13. În fig. 3, se observă o creștere bruscă a numărului ambelor populații, urmată de dispariția atât a prăzii, cât și a prădătorului. Acest lucru se datorează faptului că numărul populației victime a crescut până la o astfel de cantitate încât resursele au început să se epuizeze, drept urmare prada dispare. Extincția prădătorilor se produce din cauza faptului că numărul victimelor a scăzut, iar prădătorii au rămas fără resurse pentru existența lor.
Figura 3: Dimensiunea populației cu fertilitate ridicată în rândul victimelor
Pe baza analizei datelor unui experiment pe calculator, se poate concluziona că modelarea computerizată ne permite să prezicem mărimea populațiilor, să studiem influența diverșilor factori asupra dinamicii populației. În exemplul dat, am investigat modelul „prădător-pradă”, influența ratei natalității pradei asupra numărului de căprioare și lup. O mică creștere a populației de pradă duce la o ușoară creștere a pradei, care după o anumită perioadă este distrusă de prădători. O creștere moderată a populației de pradă duce la creșterea dimensiunii ambelor populații. O creștere mare a populației de pradă duce mai întâi la o creștere rapidă a populației de pradă, aceasta afectând creșterea creșterii prădătorilor, dar apoi prădătorii prolifici distrug rapid populația de căprioare. Ca urmare, ambele specii dispar.
Interacțiunea indivizilor în sistemul „prădător-pradă”.
Elev anul 5 grupele 51 A
Departamentul de Bioecologie
A. A. Nazarova
Consilier stiintific:
A. A. Podshivalov
Orenburg 2011
INTRODUCERE
INTRODUCERE
În raționamentul și observațiile noastre zilnice, noi, fără să știm acest lucru noi înșine, și adesea fără să ne dăm seama, ne ghidăm după legile și ideile descoperite cu multe decenii în urmă. Având în vedere problema prădător-pradă, presupunem că prada îl afectează indirect și pe prădător. Ce ar mânca un leu dacă nu ar exista antilope; ce ar face managerii dacă nu ar exista muncitori; cum să dezvolți o afacere dacă cumpărătorii nu au fonduri...
Sistemul „prădător-pradă” este un ecosistem complex pentru care se realizează o relație pe termen lung între speciile de prădător și pradă, un exemplu tipic de coevoluție. Relația dintre prădători și prada lor se dezvoltă ciclic, ilustrând un echilibru neutru.
Studiul acestei forme de relații interspecifice, pe lângă obținerea de rezultate științifice interesante, ne permite să rezolvăm multe probleme practice:
optimizarea măsurilor biotehnice atât în raport cu speciile de pradă, cât și în raport cu prădătorii;
îmbunătățirea calității protecției teritoriale;
reglarea presiunii cinegetice în fondurile de vânătoare etc.
Cele de mai sus determină relevanța subiectului selectat.
Scopul lucrării de curs este de a studia interacțiunea indivizilor în sistemul „prădător – pradă”. Pentru atingerea scopului, au fost stabilite următoarele sarcini:
prădarea și rolul ei în formarea relațiilor trofice;
principalele modele ale relației „prădător – pradă”;
influența modului social de viață asupra stabilității sistemului „prădător-pradă”;
modelarea în laborator a sistemului „prădător-pradă”.
Influența prădătorilor asupra numărului de pradă și invers este destul de evidentă; cu toate acestea, este destul de dificil să se determine mecanismul și esența acestei interacțiuni. Intenționez să dezvălui aceste întrebări în cadrul cursului.
# ������� ######################################## ##### "# 5 # @ #? # 8 #; # 0 ### �� ################### + ##### # ##### �� \ ############## ############## �� # ��� ##### # ####### Capitolul 4CAPITOLUL 4. MODELAREA DE LABORATOR A SISTEMULUI „PRĂDATOR – VICTICĂ”
Oamenii de știință de la Universitatea Duke, în colaborare cu colegii de la Universitatea Stanford, Institutul Medical Howard Hughes și Institutul de Tehnologie din California, conduși de Dr. Lingchong You, au dezvoltat un sistem viu de bacterii modificate genetic care va permite un studiu mai detaliat al interacțiunilor prădător-pradă. la nivel de populaţie.
Noul model experimental este un exemplu de ecosistem artificial, pentru a crea pe care cercetătorii programează bacterii pentru a îndeplini noi funcții. Astfel de bacterii reprogramate pot găsi aplicații largi în medicină, curățarea mediului și crearea de biocalculatoare. Ca parte a acestei lucrări, oamenii de știință au rescris „software-ul” Escherichia coli în așa fel încât două populații bacteriene diferite au format în laborator un sistem tipic de interacțiuni prădător-pradă, o caracteristică a căruia era că bacteriile nu s-au devorat reciproc. , dar a controlat numărul populației adverse prin schimbarea frecvenței „sinuciderii”.
O linie de cercetare cunoscută sub numele de biologie sintetică a apărut în jurul anului 2000, iar majoritatea sistemelor create de atunci s-au bazat pe reprogramarea unei singure bacterii. Modelul dezvoltat de autori este unic prin faptul că este format din două populații bacteriene care trăiesc în același ecosistem, a căror supraviețuire depinde una de cealaltă.
Cheia pentru funcționarea cu succes a unui astfel de sistem este capacitatea a două populații de a interacționa între ele. Autorii au creat două tulpini de bacterii – „prădători” și „erbivore”, în funcție de situație, eliberând compuși toxici sau protectori în ecosistemul general.
Principiul sistemului se bazează pe menținerea raportului dintre numărul de prădători și pradă într-un mediu reglementat. Modificările în numărul de celule dintr-una dintre populații activează gene reprogramate, ceea ce declanșează sinteza anumitor compuși chimici.
Astfel, un număr mic de pradă în mediu determină activarea genei de autodistrugere în celulele prădătorului și moartea acestora. Cu toate acestea, pe măsură ce numărul victimelor crește, compusul eliberat de acestea în mediu atinge o concentrație critică și activează gena prădătorului, care asigură sinteza unui „antidot” la gena sinucigașă. Aceasta duce la o creștere a populației de prădători, care, la rândul său, duce la acumularea în mediu a unui compus sintetizat de prădători, împingând prada să se sinucidă.
Folosind microscopia cu fluorescență, oamenii de știință au documentat interacțiunile dintre prădători și pradă.
Celulele prădătoare colorate în verde provoacă sinuciderea celulelor pradă colorate în roșu. Alungirea și ruptura celulei victime indică moartea acesteia.
Acest sistem nu este o reprezentare exactă a interacțiunilor prădător-pradă din natură, deoarece bacteriile prădătoare nu se hrănesc cu bacterii pradă și ambele populații concurează pentru aceeași aprovizionare cu hrană. Cu toate acestea, autorii cred că sistemul pe care l-au dezvoltat este un instrument util pentru cercetarea biologică.
Noul sistem demonstrează o relație clară între genetică și dinamica populației, ceea ce va ajuta în viitor la studierea influenței interacțiunilor moleculare asupra schimbării populației, care este o temă centrală a ecologiei. Sistemul oferă posibilități aproape nelimitate pentru modificarea variabilelor pentru studiul detaliat al interacțiunilor dintre mediu, reglarea genelor și dinamica populației.
Astfel, prin utilizarea controlului aparatului genetic al bacteriei, face posibilă imitarea proceselor de dezvoltare și interacțiune a unor organisme mai complexe.
CAPITOLUL 3
CAPITOLUL 3. INFLUENȚA STILULUI DE VIAȚĂ PUBLIC ASUPRA STABILITĂȚII SISTEMULUI „PRĂDATOR – VICTICĂ”
Ecologiștii din Statele Unite și Canada au arătat că stilul de viață de grup al prădătorilor și al pradei lor schimbă radical comportamentul sistemului „prădător-pradă” și îl face mai rezistent. Acest efect, confirmat de observațiile dinamicii numărului de lei și gnu din Parcul Serengeti, se bazează pe cea mai simplă împrejurare că într-un stil de viață de grup, frecvența întâlnirilor întâmplătoare ale prădătorilor cu potențiale pradă scade.
Ecologiștii au dezvoltat o serie de modele matematice care descriu comportamentul sistemului prădător-pradă. Aceste modele, în special, explică bine fluctuațiile periodice consistente observate uneori ale numărului de prădători și pradă.
Astfel de modele sunt de obicei caracterizate de un nivel ridicat de instabilitate. Cu alte cuvinte, cu o gamă largă de parametri de intrare (cum ar fi mortalitatea prădătorilor, eficiența transformării biomasei de pradă în biomasă de prădători etc.) în aceste modele, mai devreme sau mai târziu, toți prădătorii fie se sting, fie mai întâi mănâncă toată prada și apoi mor toți la fel de foame.
În ecosistemele naturale, desigur, totul este mai complicat decât într-un model matematic. Aparent, există mulți factori care pot crește stabilitatea sistemului prădător-pradă și, în realitate, rareori se ajunge la creșteri atât de puternice ale numărului, ca la râsul canadian și la iepuri de câmp.
Ecologiștii din Canada și Statele Unite au publicat în ultimul număr al revistei „ Natură " articol, care a atras atenția asupra unui factor simplu și evident care poate schimba dramatic comportamentul sistemului „prădător-pradă”. Este vorba despre un stil de viață de grup.
Majoritatea modelelor disponibile se bazează pe presupunerea unei distribuții uniforme a prădătorilor și a pradei lor într-o anumită zonă. Pe aceasta se bazează calculele frecvenței întâlnirilor lor. Este clar că cu cât densitatea prăzii este mai mare, cu atât prădătorii se poticnesc mai des de ele. Numărul de atacuri, inclusiv cele de succes și, în cele din urmă, intensitatea prădătorilor care mănâncă prada depinde de acest lucru. De exemplu, cu un exces de pradă (dacă nu este nevoie să pierdeți timpul cu căutări), viteza de pășunat va fi limitată doar de timpul necesar prădătorului pentru a prinde, ucide, mânca și digera următoarea pradă. Dacă prada se întâlnește rar, principalul factor care determină viteza de pășunat este timpul necesar pentru a găsi prada.
În modelele ecologice folosite pentru a descrie sistemele „prădător – pradă”, rolul cheie îl joacă natura dependenței intensității pășunatului (numărul de pradă consumată de un prădător pe unitatea de timp) de densitatea prăzii. populatie. Acesta din urmă este estimat ca număr de animale pe unitatea de suprafață.
Trebuie remarcat faptul că, odată cu stilul de viață de grup atât al prăzii, cât și al prădătorilor, ipoteza inițială a unei distribuții spațiale uniforme a animalelor nu este îndeplinită și, prin urmare, toate calculele ulterioare devin incorecte. De exemplu, cu un stil de viață de turmă de victime, probabilitatea de a întâlni un prădător va depinde de fapt nu de numărul de animale individuale pe kilometru pătrat, ci de numărul de efective pe aceeași unitate de suprafață. Dacă prada ar fi distribuită uniform, prădătorii s-ar poticni de ele mult mai des decât în cazul unui stil de viață de turmă, deoarece între turme se formează spații vaste unde nu există pradă. Un rezultat similar se obține cu stilul de viață de grup al prădătorilor. O mândrie de lei care cutreieră savana va observa puțin mai multe victime potențiale decât ar observa un leu singuratic care merge pe aceeași cale.
Timp de trei ani (din 2003 până în 2007), oamenii de știință au efectuat observații atente ale leilor și ale pradei lor (în primul rând gnu) pe vastul teritoriu al Parcului Serengeti (Tanzania). Densitățile populației au fost înregistrate lunar; intensitatea consumului de către lei a diferitelor specii de ungulate a fost de asemenea evaluată în mod regulat. Atât leii înșiși, cât și cele șapte tipuri principale de pradă lor duc un stil de viață de grup. Autorii au introdus modificările necesare la formulele standard de mediu pentru a ține cont de această circumstanță. Parametrizarea modelelor a fost realizată pe baza datelor cantitative reale obținute în cursul observațiilor. Au fost luate în considerare patru variante ale modelului: în prima, stilul de viață de grup al prădătorilor și al prăzii a fost ignorat, în a doua a fost luat în considerare doar pentru prădători, în a treia - numai pentru pradă, iar în a patra - pentru ambii.
|
|
După cum vă puteți aștepta, a patra opțiune a fost cea mai potrivită. Mai mult, s-a dovedit a fi cel mai stabil. Aceasta înseamnă că, cu o gamă largă de parametri de intrare în acest model, este posibilă o coexistență stabilă pe termen lung a prădătorilor și a pradei. Datele de observație pe termen lung arată că, în acest sens, modelul reflectă și realitatea în mod adecvat. Numărul de lei și prada lor din Parcul Serengeti este destul de stabil, nu se observă nimic asemănător cu fluctuațiile periodice coordonate (ca în cazul râșilor și iepurilor de câmp).
Rezultatele obținute arată că dacă leii și gnule ar trăi singuri, o creștere a numărului de pradă ar duce la o accelerare rapidă a devorării acestora de către prădători. Din cauza stilului de viață de grup, acest lucru nu se întâmplă, activitatea prădătorilor crește relativ lent, iar nivelul general de pășunat rămâne scăzut. Potrivit autorilor, susținute de o serie de dovezi circumstanțiale, numărul victimelor din Parcul Serengeti nu este limitat deloc de lei, ci de resursele alimentare.
Dacă beneficiile colectivismului pentru victime sunt destul de evidente, atunci în ceea ce privește leii, întrebarea rămâne deschisă. Acest studiu a arătat clar că stilul de viață de grup pentru un prădător are un dezavantaj serios - de fapt, din cauza acestuia, fiecare leu individual primește mai puțină pradă. Evident, acest dezavantaj ar trebui compensat de unele avantaje foarte semnificative. În mod tradițional, s-a crezut că stilul de viață social al leilor este asociat cu vânătoarea de animale mari, cărora le este greu de făcut față singur chiar și pentru un leu. Recent, însă, mulți experți (inclusiv autorii articolului în discuție) au început să se îndoiască de corectitudinea acestei explicații. În opinia lor, acțiunea colectivă este necesară pentru lei doar atunci când vânează bivoli, iar leii preferă să se ocupe singuri de alte tipuri de pradă.
Mai plauzibilă pare să fie presupunerea că orgoliile sunt necesare pentru a reglementa probleme pur interne, care sunt multe în viața unui leu. De exemplu, pruncuciderea este larg răspândită printre ei - uciderea puiilor altora de către masculi. Este mai ușor pentru femele să rămână într-un grup pentru a-și proteja copiii de agresori. În plus, este mult mai ușor pentru o mândrie decât pentru un leu singuratic să-și apere zona de vânătoare de mândrile vecine.
O sursă: John M. Fryxell, Anna Mosser, Anthony R. E. Sinclair, Craig Packer. Formarea grupului stabilizează dinamica prădător – pradă // Natură... 2007. V. 449. P. 1041-1043.
Modelare prin simulare sisteme "Prădător-Victimă"
Rezumat >> Modelare economică și matematică... sisteme « Prădător-Victimă" Completat de RR Gizyatullin, grupul MP-30 Verificat de Lisovets Yu.P. Moscova 2007 Introducere Interacţiune... model interacțiuni prădătoriși victime la suprafata. Simplificarea ipotezelor. Să încercăm să comparăm victimași prădător niste...
Prădător-Victimă
Rezumat >> EcologieAplicațiile ecologiei matematice este sistem prădător-victimă... Comportamentul ciclic al acestuia sistemeîntr-un mediu staționar a fost ... prin introducerea unui neliniar suplimentar interacțiuniîntre un prădătorși o victimă... Modelul rezultat are pe...
Rezumat de ecologie
Rezumat >> EcologieFactorul pentru victime... Asa de interacţiune « prădător–victimă" este periodică și este descrisă sistem Ecuații Lotka... deplasarea este semnificativ mai mică decât în sistemul « prădător–victimă"... Similar interacțiuni sunt observate și în mimica lui Lilieci. ...
Predare- forma relațiilor trofice dintre organisme de diferite specii, în care unul dintre ele ( prădător) atacă pe altul ( sacrificiu) și se hrănește cu carnea lui, adică există de obicei un act de ucidere a victimei.
Sistem prădător-pradă- un ecosistem complex pentru care se realizează o relație pe termen lung între speciile de prădător și pradă, un exemplu tipic de coevoluție.
Coevoluția este evoluția comună a speciilor biologice care interacționează într-un ecosistem.
Relația dintre prădători și prada lor se dezvoltă ciclic, ilustrând un echilibru neutru.
1. Singurul factor limitativ care limitează reproducerea prăzii este presiunea asupra acestora din partea prădătorilor. Resursele limitate ale mediului pentru victimă nu sunt luate în considerare.
2. Reproducerea prădătorilor este limitată de cantitatea de hrană pe care o primesc (numărul de victime).
În esență, modelul Lotka – Volterra este o descriere matematică a principiului darwinian al luptei pentru existență.
Sistemul Volterra-Lotka, care este adesea numit sistemul prădător-pradă, descrie interacțiunea a două populații - prădători (de exemplu, vulpi) și pradă (de exemplu, iepuri de câmp), care trăiesc conform „legilor” ușor diferite. Victimele își mențin populația consumând o resursă naturală precum iarba, ceea ce duce la o creștere exponențială a populației dacă nu există prădători. Prădătorii își mențin populația doar „mâncându-și” prada. Prin urmare, dacă populația de pradă dispare, atunci în urma acesteia, populația de prădători scade exponențial. Mâncarea de pradă de către prădători dăunează populației de pradă, dar în același timp oferă o resursă suplimentară pentru reproducerea prădătorilor.
Întrebare
PRINCIPIUL MINIM AL POPULATIEI
un fenomen natural în natură, caracterizat ca un fel de principiu natural, adică fiecare specie de animal are o anumită dimensiune minimă a populației, a cărei încălcare pune în pericol existența populației și, uneori, a speciei în ansamblu.
regula maximă a populației, constă în faptul că populația nu poate crește la infinit, din cauza epuizării resurselor alimentare și a condițiilor de reproducere (andrewarta – teoria mesteacănului) și a limitării impactului unui complex de factori de mediu abiotici și biotici (teoria Fredericksz).
Întrebare
Deci, așa cum era deja clar pentru Fibonacci, creșterea populației este proporțională cu dimensiunea sa și, prin urmare, dacă creșterea populației nu este limitată de niciun factor extern, ea accelerează continuu. Să descriem această creștere matematic.
Creșterea populației este proporțională cu numărul de indivizi din ea, adică Δ N ~ N, Unde N - dimensiunea populației și Δ N- modificarea acesteia într-o anumită perioadă de timp. Dacă această perioadă este infinit de mică, se poate scrie asta dN / dt = r × N , Unde dN / dt- modificarea dimensiunii populației (creștere) și r - potenţialul de reproducere, o variabilă care caracterizează capacitatea unei populații de a-și crește dimensiunea. Ecuația de mai sus se numește model exponenţial creşterea populaţiei (Fig. 4.4.1).
Fig.4.4.1. Crestere exponentiala.
După cum este ușor de înțeles, odată cu creșterea timpului, dimensiunea populației crește din ce în ce mai repede și, în curând, se grăbește la infinit. Desigur, niciun habitat nu poate rezista existenței unei populații de numere infinite. Cu toate acestea, există o serie de procese de creștere a populației, care într-un anumit interval de timp pot fi descrise folosind un model exponențial. Vorbim de cazuri de creștere nelimitată, când o anumită populație populează un mediu cu un exces de resurse libere: vacile și caii populează o pampa, gândacii de făină - un lift cu cereale, drojdie - o sticlă de suc de struguri etc.
Desigur, creșterea exponențială a populației nu poate dura pentru totdeauna. Mai devreme sau mai târziu, resursa se va epuiza, iar creșterea populației va încetini. Care va fi această inhibiție? Ecologia practică cunoaște o varietate de opțiuni: o creștere bruscă a numărului urmată de dispariția unei populații care și-a epuizat resursele și o încetinire treptată a creșterii pe măsură ce se apropie de un anumit nivel. Cel mai simplu mod de a-l descrie este frânarea lentă. Cel mai simplu model care descrie o astfel de dinamică se numește logisticăși a fost propus (pentru a descrie creșterea populației umane) de către matematicianul francez Verhulst încă din 1845. În 1925, un model similar a fost redescoperit de ecologistul american R. Pearl, care a sugerat că este universal.
În modelul logistic este introdusă variabila K- capacitate medie, dimensiunea de echilibru a populației la care consumă toate resursele disponibile. Creșterea în modelul logistic este descrisă de ecuație dN / dt = r × N × (K-N) / K (fig. 4.4.2).
Orez. 4.4.2. Creștere logistică
Până N mic, creșterea populației este influențată în principal de factor r× N iar creșterea populației se accelerează. Când devine suficient de mare, cofactorul începe să aibă o influență majoră asupra mărimii populației. (K-N) / K iar creșterea populației începe să încetinească. Când N = K, (K-N) / K = 0 iar creșterea populației se oprește.
Cu toată simplitatea ei, ecuația logistică descrie în mod satisfăcător multe cazuri observate în natură și este încă folosită cu succes în ecologia matematică.
# 16.Strategia de supravieţuire ecologică- un complex dezvoltat evolutiv de proprietăți ale unei populații, care vizează creșterea probabilității de supraviețuire și de a lăsa urmași.
Deci A.G. Ramenskiy (1938) a distins trei tipuri principale de strategii de supraviețuire în rândul plantelor: violete, brevete și exploratori.
Violenti (enforcers) - suprimă toți concurenții, de exemplu, copacii care formează pădurile indigene.
Pacienții sunt specii care pot supraviețui în condiții nefavorabile („iubitoare de umbră”, „iubitoare de sare”, etc.).
Explorenți (umplere) - specii care pot apărea rapid acolo unde comunitățile indigene sunt deranjate - în poieni și zone incendiate (aspen), în adâncime etc.
Strategiile ecologice ale populațiilor sunt foarte diverse. Dar, în același timp, toată diversitatea lor se încheie între două tipuri de selecție evolutivă, care sunt notate prin constantele ecuației logistice: r-strategy și K-strategy.
| Semn | r-strategii | K-strategii |
| Mortalitate | Nu depinde de densitate | Depinde de densitate |
| Concurență | Slab | Ascuțit |
| Durată de viață | Mic de statura | Lung |
| Rata de dezvoltare | Rapid | Încet |
| Timp de reproducere | Din timp | Târziu |
| Îmbunătățirea reproducerii | Slab | Mare |
| Tipul curbei de supraviețuire | Concav | Convex |
| Marimea corpului | Mic | Mare |
| Natura urmașilor | Multe, mici | Mic mare |
| Dimensiunea populației | Vibrații puternice | Constant |
| Mediu preferat | Volatil | Constant |
| Etape de succesiune | Din timp | Târziu |
Informații similare.
Dinamica populației este una dintre secțiunile modelării matematice. Este interesant prin faptul că are aplicații specifice în biologie, ecologie, demografie, economie. Există mai multe modele de bază în această secțiune, dintre care unul, modelul Predator-Prey, este discutat în acest articol.
Primul exemplu de model în ecologia matematică a fost modelul propus de V. Volterra. El a fost primul care a considerat modelul relației dintre prădător și pradă.
Luați în considerare enunțul problemei. Să fie două tipuri de animale, dintre care unul îl devorează pe celălalt (prădători și pradă). În acest caz, sunt acceptate următoarele ipoteze: resursele alimentare ale prăzii nu sunt limitate și, prin urmare, în absența unui prădător, populația de pradă crește exponențial, în timp ce prădătorii, separați de prada lor, mor treptat de foame în la fel conform legii exponenţiale. De îndată ce prădătorii și prada încep să trăiască în imediata apropiere unul de celălalt, schimbările în numărul populațiilor lor devin interdependente. În acest caz, evident, creșterea relativă a numărului de pradă va depinde de mărimea populației de prădători și invers.
În acest model, se presupune că toți prădătorii (și toate prada) sunt în aceleași condiții. În același timp, resursele de hrană ale victimelor sunt nelimitate, iar prădătorii se hrănesc exclusiv cu victime. Ambele populații trăiesc într-o zonă limitată și nu interacționează cu alte populații și nu există alți factori care ar putea afecta dimensiunea populației.
Modelul foarte matematic „prădător – pradă” constă dintr-o pereche de ecuații diferențiale care descriu dinamica populațiilor de prădători și pradă în cel mai simplu caz, când există o populație de prădători și o populație de pradă. Modelul se caracterizează prin fluctuații ale mărimii ambelor populații, vârful numărului de prădători fiind ușor în urma vârfului numărului de pradă. Acest model poate fi găsit în multe lucrări despre dinamica populației sau modelare matematică. Acesta a fost acoperit și analizat pe scară largă prin metode matematice. Cu toate acestea, formulele pot să nu ofere întotdeauna o idee evidentă a ceea ce se întâmplă.
Este interesant să aflăm cât de exact în acest model depinde dinamica populațiilor de parametrii inițiali și cât de mult îi corespunde realității și bunului simț și să o vedem grafic, fără a recurge la calcule complicate. În acest scop, pe baza modelului Volterra, a fost creat un program în mediul Mathcad14.
Mai întâi, să verificăm modelul pentru conformitatea cu condițiile reale. Pentru a face acest lucru, luați în considerare cazurile degenerate când doar una dintre populații trăiește în condițiile date. Teoretic, s-a demonstrat că în absența prădătorilor, populația de pradă crește la nesfârșit în timp, iar populația de prădători se stinge în absența prădei, ceea ce corespunde în general modelului și situației reale (cu formularea specificată a problemei). ).
Rezultatele obținute reflectă cele teoretice: prădătorii se sting treptat (Fig. 1), iar numărul de pradă crește la nesfârșit (Fig. 2).
Fig. 1 Dependența numărului de prădători de timp în absența prăzii
Fig. 2 Dependența de timp a numărului de victime în absența prădătorilor
După cum puteți vedea, în aceste cazuri, sistemul corespunde modelului matematic.
Să luăm în considerare modul în care sistemul se comportă cu diferiți parametri inițiali. Să fie două populații - lei și antilope - prădători și, respectiv, pradă, și sunt dați indicatorii inițiali. Apoi obținem următoarele rezultate (Fig. 3):
Tabelul 1. Coeficienții modului oscilator al sistemului
Fig. 3 Sistem cu valorile parametrilor din Tabelul 1
Să analizăm datele primite pe baza graficelor. Odată cu creșterea inițială a populației de antilope, se observă o creștere a numărului de prădători. De remarcat că vârful creșterii populației de prădători se observă mai târziu, la scăderea populației de pradă, ceea ce este destul de consistent cu ideile reale și cu modelul matematic. Într-adevăr, o creștere a numărului de antilope înseamnă o creștere a resurselor de hrană pentru lei, ceea ce presupune o creștere a numărului acestora. În plus, mâncarea activă a antilopei de către lei duce la o scădere rapidă a numărului de pradă, ceea ce nu este surprinzător, având în vedere apetitul prădătorului, sau mai degrabă frecvența prădătorilor care mănâncă pradă. Scăderea treptată a numărului de prădător duce la o situație în care populația de pradă se află în condiții favorabile creșterii. Apoi situația se repetă cu o anumită perioadă. Concluzionăm că aceste condiții nu sunt potrivite pentru dezvoltarea armonioasă a indivizilor, deoarece implică scăderi accentuate ale populației de pradă și creșteri puternice la ambele populații.
Să punem acum numărul inițial al prădătorului egal cu 200 de indivizi menținând parametrii rămași (Fig. 4).
Tabelul 2. Coeficienții modului oscilator al sistemului
Fig. 4 Sistem cu valorile parametrilor din Tabelul 2
Sistemul vibrează acum mai natural. În aceste ipoteze, sistemul există destul de armonios, nu există creșteri și scăderi puternice ale numărului de numere în ambele populații. Concluzionăm că, cu acești parametri, ambele populații se dezvoltă suficient de uniform pentru a coabita pe același teritoriu.
Să setăm numărul inițial al prădătorului egal cu 100 de indivizi, numărul de pradă la 200, păstrând în același timp parametrii rămași (Fig. 5).
Tabelul 3. Coeficienții modului oscilator al sistemului
Fig. 5 Sistem cu valorile parametrilor din Tabelul 3
În acest caz, situația este apropiată de prima situație considerată. Rețineți că, odată cu creșterea reciprocă a populațiilor, trecerile de la o creștere la o scădere a populației de pradă au devenit mai lin, iar populația de prădători rămâne în absența prăzii la o valoare numerică mai mare. Concluzionăm că, cu un raport apropiat de o populație la alta, interacțiunea lor are loc mai armonios dacă dimensiunile specifice ale populației inițiale sunt suficient de mari.
Să luăm în considerare modificarea altor parametri ai sistemului. Fie numerele inițiale să corespundă celui de-al doilea caz. Să creștem rata de reproducere a victimelor (Fig. 6).
Tabelul 4. Coeficienții modului oscilator al sistemului
Fig. 6 Sistem cu valorile parametrilor din Tabelul 4
Să comparăm acest rezultat cu rezultatul obținut în al doilea caz. În acest caz, se observă o creștere mai rapidă a victimei. În acest caz, atât prădătorul, cât și prada se comportă ca în primul caz, ceea ce s-a explicat prin numărul redus de populații. Cu această interacțiune, ambele populații atinge vârful cu valori mult mai mari decât în al doilea caz.
Acum să creștem rata de creștere a prădătorilor (Fig. 7).
Tabelul 5. Coeficienții modului oscilator al sistemului
Fig. 7 Sistem cu valorile parametrilor din Tabelul 5
Să comparăm rezultatele într-un mod similar. În acest caz, caracteristica generală a sistemului rămâne aceeași, cu excepția modificării perioadei. După cum era de așteptat, perioada a devenit mai scurtă, ceea ce se explică prin scăderea rapidă a populației de prădători în absența prăzii.
Și, în sfârșit, să schimbăm coeficientul de interacțiune între specii. În primul rând, să creștem frecvența prădătorilor care mănâncă pradă:
Tabelul 6. Coeficienții modului oscilator al sistemului
Fig. 8 Sistem cu valorile parametrilor din Tabelul 6
Deoarece prădătorul își mănâncă prada mai des, maximul populației sale a crescut în comparație cu cel de-al doilea caz, iar diferența dintre valorile maxime și minime ale mărimii populației a scăzut și ea. Perioada de oscilație a sistemului rămâne aceeași.
Și acum să reducem frecvența prădătorilor care mănâncă pradă:
Tabelul 7. Coeficienții modului oscilator al sistemului
Fig. 9 Sistem cu valorile parametrilor din Tabelul 7
Acum prădătorul mănâncă prada mai rar, numărul maxim al populației sale a scăzut în comparație cu al doilea caz, iar numărul maxim al populației de pradă a crescut, în plus, de 10 ori. De aici rezultă că în condițiile date populația de pradă are o mai mare libertate în ceea ce privește reproducerea, deoarece prădătorul are o masă mai mică pentru a se hrăni. S-a redus și diferența dintre valorile maxime și minime ale mărimii populației.
Când se încearcă simularea proceselor complexe din natură sau societate, într-un fel sau altul, se pune întrebarea cu privire la corectitudinea modelului. Desigur, la modelare, există o simplificare a procesului, neglijarea unor detalii minore. Pe de altă parte, există pericolul simplificării excesive a modelului, lăsând deoparte trăsături importante ale fenomenului alături de cele nesemnificative. Pentru a evita această situație, este necesar, înainte de modelare, să se studieze domeniul în care este utilizat acest model, să se investigheze toate caracteristicile și parametrii acestuia și, cel mai important, să se evidențieze acele trăsături care sunt cele mai semnificative. Procesul trebuie să aibă o descriere naturală, intuitivă de înțeles, coincide în punctele principale cu modelul teoretic.
Modelul luat în considerare în această lucrare are o serie de dezavantaje semnificative. De exemplu, asumarea unor resurse nelimitate pentru victimă, absența factorilor externi care afectează mortalitatea ambelor tipuri etc. Toate aceste ipoteze nu reflectă situația reală. Cu toate acestea, în ciuda tuturor neajunsurilor, modelul a devenit larg răspândit în multe domenii, chiar și în cele departe de ecologie. Acest lucru poate fi explicat prin faptul că sistemul „prădător-pradă” oferă o idee generală a interacțiunii speciilor. Interacțiunea cu mediul și alți factori pot fi descrise prin alte modele și analizate împreună.
Relația de tip „prădător-pradă” este o trăsătură esențială a diferitelor tipuri de viață, în care două părți care interacționează se ciocnesc. Acest model are loc nu numai în ecologie, ci și în economie, politică și în alte sfere de activitate. De exemplu, unul dintre domeniile legate de economie este analiza pieței muncii, luând în considerare potențialii lucrători existenți și posturi vacante. Acest subiect ar fi o continuare interesantă a modelului prădător-pradă.
Modelul prădător-pradă și modelul macroeconomic al lui Goodwin
Să luăm în considerare un model biologic „prădător-pradă”, în care o specie este hrană pentru alta. Acest model, devenit de mult un clasic, a fost construit în prima jumătate a secolului XX. de matematicianul italian V. Volterra pentru a explica fluctuaţiile capturilor de peşte din Marea Adriatică. Modelul presupune că numărul de prădători crește atâta timp cât au suficientă hrană, iar o creștere a numărului de prădători duce la o scădere a populației de pești pradă. Când acesta din urmă devine rară, numărul prădătorilor scade. Ca urmare, de la un moment dat, începe creșterea numărului de pești pradă, ceea ce, după un timp, determină o creștere a populației de prădători. Ciclul este închis.
Lăsa N x (t)și N 2 (t) - numărul de pești pradă și pești răpitori la un moment dat t respectiv. Să presupunem că rata de creștere a numărului de pradă în absența prădătorilor este constantă, adică.
Unde A - constantă pozitivă.
Apariția unui prădător ar trebui să reducă rata de creștere a prăzii. Vom presupune că această scădere depinde liniar de numărul de prădători: cu cât sunt mai mulți prădători, cu atât rata de creștere a prăzii este mai mică. Atunci
Unde t> 0.
Prin urmare, pentru dinamica numărului de pești pradă obținem:
Să compunem acum ecuația care determină dinamica populației de prădători. Să presupunem că numărul lor în absența victimelor scade (din cauza lipsei de hrană) într-un ritm constant B, adică
Prezența prăzii determină o creștere a ratei de creștere a prădătorilor. Să presupunem că acest câștig este liniar, adică
Unde n> 0.
Apoi, pentru rata de creștere a peștilor răpitori, obținem ecuația:
În sistemul „prădător - pradă” (6.17) - (6.18), scăderea ritmului de creștere a numărului de pești pradă cauzată de mâncarea acestora de către prădători este egală cu mN x N2, adică proporţional cu numărul întâlnirilor lor cu prădătorul. Creșterea ritmului de creștere a numărului de pești răpitori cauzată de prezența prăzii este egală cu nN x N 2, adică este și proporțional cu numărul de întâlniri de pradă și prădători.
Introducem variabile adimensionale U = mN2/ași V = nN x / b. Dinamica variabilă U corespunde dinamicii prădătorilor și dinamicii variabilei V - dinamica victimelor. În virtutea ecuațiilor (6.17) și (6.18), modificarea noilor variabile este determinată de sistemul de ecuații:
Să presupunem că pentru t= 0, numărul de indivizi ai ambelor specii este cunoscut, prin urmare, se cunosc valorile inițiale ale noilor variabile? / (0) = U 0, K (0) = K 0. Din sistemul de ecuații (6.19), se poate găsi ecuația diferențială pentru traiectoriile sale de fază:
Separând variabilele acestei ecuații, obținem: 
Orez. 6.10. Construcția traiectoriei de fază ADCBA sisteme de ecuații diferențiale (6.19)
Prin urmare, luând în considerare datele inițiale, rezultă:
unde constanta integrării CU = b (V Q -În V 0) / a - lnU 0 + U 0.
În fig. 6.10 arată cum este construită linia (6.20) pentru o valoare dată a lui C. Pentru a face acest lucru, în primul, al doilea și, respectiv, al treilea trimestru, trasăm graficele funcțiilor x = V -În V, y = (B/a) x, la= = În U-U + C.
În virtutea egalității dx / dV = (V- 1) / u funcția X = V-În К, determinată la V> 0, crește dacă V> 1 și scade dacă V 1. Datorită faptului că cPx / dV 1= 1 / F 2> 0, graficul funcției l: = x (V) convex în jos. Ecuația V = 0 specifică asimptota verticală. Această funcție nu are asimptote oblice. Prin urmare, graficul funcției X = X y) are forma curbei prezentate în primul sfert din Fig. 6.10.
Functia y =În U - U + C, al cărui grafic din fig. 6.10 este prezentat în al treilea trimestru.
Dacă plasăm acum în fig. 6.10 în al doilea trimestru al graficului funcției y = (B/a) x, apoi în al patrulea trimestru obținem o linie care conectează variabilele U și V.Într-adevăr, luând punctul V t pe axa OV, calculat folosind funcția X= V - V cunoștințe adecvate x x. După aceea, folosind funcția la = (B/a) x, conform valorii obtinute X ( găsi y x(al doilea trimestru din Figura 6.10). Apoi, folosind graficul funcției la= In U - U + C definiți valorile corespunzătoare ale variabilei U(în Fig. 6.10 există două astfel de valori - coordonatele punctelor Mși N). Colectarea tuturor acestor puncte (V; U) formează curba dorită. Din construcție rezultă că graficul dependenței (6.19) este o dreaptă închisă care conține punctul în interiorul său. E ( 1, 1).
Amintiți-vă că am obținut această curbă prin stabilirea unor valori inițiale U 0și V 0și calculând din ele constanta C. Luând alte valori inițiale, obținem o altă linie închisă care nu o intersectează pe prima și conține și un punct în interiorul ei. E ( unsprezece). Aceasta înseamnă că familia de traiectorii sistemului (6.19) pe planul de fază ( V, U) este un set de linii disjunctive închise concentrate în jurul unui punct E ( 1, 1), și soluțiile modelului original U = SCH)și V = V (t) sunt funcții care sunt periodice în timp. În acest caz, maximul funcției U = U (t) nu atinge maximul funcției V = V (t) și invers, adică fluctuațiile dimensiunii populației în jurul soluțiilor lor de echilibru apar în diferite faze.
În fig. 6.11 prezintă patru traiectorii ale sistemului de ecuații diferențiale (6.19) pe planul de fază OUV, diferite în condiţiile iniţiale. Una dintre traiectorii de echilibru este un punct E ( 1, 1), care corespunde soluției U (t) = 1, V (t)= 1. Puncte (U (t),V (t)) pe celelalte traiectorii cu trei faze, acestea se deplasează în sensul acelor de ceasornic pe măsură ce timpul crește.
Pentru a clarifica efectul mecanismului de schimbare în dimensiunea celor două populații, luați în considerare traiectoria ABCDAîn fig. 6.11. După cum puteți vedea, pe site AB sunt puțini prădători și victime. Prin urmare, aici populația de prădători este în scădere din cauza lipsei de hrană, iar populația de pradă este în creștere. Locația activată Soare numărul de pradă atinge valori ridicate, ceea ce duce la creșterea numărului de prădători. Locația activată CA există mulți prădători, iar acest lucru implică o reducere a numărului de pradă. Mai mult, după ce a trecut punctul D numărul victimelor scade atât de mult încât numărul populaţiei începe să scadă. Ciclul este închis.
Modelul prădător-pradă este un exemplu de model instabil structural. Aici, o mică modificare în partea dreaptă a uneia dintre ecuații poate duce la o schimbare fundamentală a portretului său de fază.
Orez. 6.11.
Orez. 6.12.
Într-adevăr, dacă competiția intraspecifică este luată în considerare în ecuația dinamicii victimelor, atunci vom primi un sistem de ecuații diferențiale:
Aici la t = 0, populația victimelor se dezvoltă după o lege logică.
La t f 0 soluție de echilibru diferită de zero a sistemului (6.21) pentru unele valori pozitive ale parametrului de competiție intraspecific ȘI este un focar stabil, iar traiectoriile corespunzătoare „vânt” în jurul punctului de echilibru (Fig. 6.12). Dacă h = 0, atunci în acest caz punctul singular E ( 1, 1) al sistemului (6.19) este centrul, iar traiectoriile sunt linii închise (vezi Fig. 6.11).
Cometariu. De obicei, modelul „prădător – pradă” este înțeles ca modelul (6.19), ale cărui traiectorii de fază sunt închise. Cu toate acestea, modelul (6.21) este, de asemenea, un model „prădător-pradă”, deoarece descrie influența reciprocă a prădătorilor și a prăzii.
Una dintre primele aplicații ale modelului prădător-pradă în economie pentru studiul proceselor în schimbare ciclică este modelul macroeconomic Goodwin, care utilizează o abordare continuă pentru a analiza influența reciprocă a ratelor de ocupare și salarii.
În lucrarea lui V.-B. Zanga a stabilit o versiune a modelului lui Goodwin, în care productivitatea muncii și oferta de muncă cresc cu rate constante de creștere, iar rata de pensionare este zero. Acest model duce în mod formal la ecuațiile modelului prădător-pradă.
Mai jos luăm în considerare o modificare a acestui model pentru cazul unei rate diferite de zero a retragerii activelor.
Modelul folosește următoarele denumiri: L - numărul de lucrători; w - salariul mediu al lucrătorilor; LA - active fixe de producție (capital); Y- venit national; / - investitii; С - consum; p este rata de pensionare a fondurilor; N- oferta de munca pe piata muncii; T = Y/K- rentabilitatea activelor; A = A/L - productivitatea muncii; la = L / N - rata de angajare; X = C/Y - rata de consum în venitul național; LA - creșterea capitalului în funcție de investiție.
Să scriem ecuațiile modelului Goodwin:
Unde a 0, b, g, n, N 0, g- numere pozitive (parametri).
Ecuațiile (6.22) - (6.24) exprimă următoarele. Ecuația (6.22) este ecuația obișnuită pentru dinamica fondurilor. Ecuația (6.23) reflectă o creștere a ratei salariale la un nivel ridicat de ocupare (rata salarială crește dacă oferta de muncă este mică) și o scădere a ratei salariale la un nivel ridicat al șomajului.
Astfel, ecuația (6.23) exprimă legea Phillips în formă liniară. Ecuațiile (6.24) înseamnă creșterea exponențială a productivității muncii și a ofertei de muncă. Să presupunem de asemenea că C = wL, adică toate salariile sunt cheltuite pentru consum. Acum puteți transforma ecuațiile modelului ținând cont de egalitățile:
Să transformăm ecuațiile (6.22) - (6.27). Noi avem: 
Unde
Unde 
Prin urmare, dinamica variabilelor din modelul Goodwin este descrisă printr-un sistem de ecuații diferențiale:
care coincide formal cu ecuaţiile modelului clasic „prădător – pradă”. Aceasta înseamnă că oscilațiile variabilelor de fază apar și în modelul Goodwin. Mecanismul dinamicii oscilatorii aici este următorul: cu salarii mici w consumul este scăzut, investițiile sunt mari, iar acest lucru duce la creșterea producției și a ocupării forței de muncă la. Angajare mare la determină o creștere a salariului mediu w, ceea ce duce la o creștere a consumului și o scădere a investițiilor, o scădere a producției și o scădere a ocupării forței de muncă la.
Mai jos, ipoteza despre dependența ratei dobânzii de nivelul de ocupare a modelului considerat este utilizată pentru a simula dinamica unei firme cu un singur produs. Rezultă că în acest caz, în baza unor ipoteze suplimentare, modelul firmei are proprietatea de ciclicitate a modelului prădător-pradă considerat mai sus.
- Vezi: Decretul V. Volterra, op .; Rizniyenko G. Yu., Decretul Rubin A.B. op.
- Vezi: Zang V.-B. Economia sinergetică. M., 2000.
- Vezi: T. Pu. Dinamica economică neliniară. Izhevsk, 2000; Tikhonov A.N. Model matematic // Enciclopedie matematică. T. 3.M., 1982.S. 574, 575.
Căutare
Vă putem anunța despre articole noi,