Článok pojednáva o pojmoch prvočíselných a zložených čísel. Definície takýchto čísel sú uvedené s príkladmi. Poskytujeme dôkaz, že množstvo základné čísla neobmedzene a do tabuľky prvočísel zapíšte Eratosthenovou metódou. Bude poskytnutý dôkaz na určenie, či je číslo prvočíslo alebo zložené.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prvočísla a zložené čísla – definície a príklady

Prvočísla a zložené čísla sú klasifikované ako kladné celé čísla. Musia byť väčšie ako jedna. Deliče sa tiež delia na jednoduché a zložené. Aby ste pochopili pojem zložených čísel, musíte si najprv preštudovať pojmy deliteľov a násobkov.

Definícia 1

Prvočísla sú celé čísla, ktoré sú väčšie ako jedna a majú dvoch kladných deliteľov, teda samy seba a 1.

Definícia 2

Zložené čísla sú celé čísla, ktoré sú väčšie ako jedna a majú aspoň troch kladných deliteľov.

Jedna nie je ani prvočíslo, ani zložené číslo. Má iba jedného kladného deliteľa, takže sa líši od všetkých ostatných kladných čísel. Všetky kladné celé čísla sa nazývajú prirodzené čísla, to znamená, že sa používajú pri počítaní.

Definícia 3

základné čísla sú prirodzené čísla, ktoré majú iba dvoch kladných deliteľov.

Definícia 4

Zložené číslo je prirodzené číslo, ktoré má viac ako dvoch kladných deliteľov.

Každé číslo väčšie ako 1 je buď prvočíslo, alebo zložené. Z vlastnosti deliteľnosti máme, že 1 a číslo a bude vždy deliteľom pre ľubovoľné číslo a, čiže bude deliteľné samo sebou a 1. Uveďme definíciu celých čísel.

Definícia 5

Prirodzené čísla, ktoré nie sú prvočísla, sa nazývajú zložené čísla.

Prvočísla: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Sú deliteľné len samy sebou a 1. Zložené čísla: 6, 63, 121, 6697. To znamená, že číslo 6 možno rozložiť na 2 a 3 a 63 na 1, 3, 7, 9, 21, 63 a 121 na 11, 11, to znamená, že jeho deliteľmi budú 1, 11, 121. Číslo 6697 je rozložené na 37 a 181. Všimnite si, že koncepty prvočísel a druhých čísel sú odlišné pojmy.

Aby bolo používanie prvočísel jednoduchšie, musíte použiť tabuľku:

Tabuľka pre všetky existujúce prirodzené čísla je nereálna, keďže ich je nekonečne veľa. Keď čísla dosiahnu veľkosť 10 000 alebo 1 000 000 000, mali by ste zvážiť použitie Eratosthenovho sita.

Zoberme si vetu, ktorá vysvetľuje posledné tvrdenie.

Veta 1

Najmenší kladný deliteľ prirodzeného čísla väčšieho ako jedna je prvočíslo.

Dôkaz 1

Predpokladajme, že a je prirodzené číslo väčšie ako 1, b je najmenším nejednotným deliteľom a. Je potrebné dokázať, že b je prvočíslo pomocou metódy kontradikcie.

Predpokladajme, že b je zložené číslo. Odtiaľto máme, že existuje deliteľ pre b, ktorý je odlišný od 1 aj od b. Takýto deliteľ sa označuje ako b 1. Je potrebné splniť podmienku 1< b 1 < b bol dokončený.

Z podmienky je zrejmé, že a je delené b, b je delené b 1, čo znamená, že pojem deliteľnosti je vyjadrený takto: a = b q a b = b 1 · q 1 , odkiaľ a = b 1 · (q 1 · q), kde q a q 1 sú celé čísla. Podľa pravidla násobenia celých čísel máme, že súčin celých čísel je celé číslo s rovnosťou tvaru a = b 1 · (q 1 · q) . Je vidieť, že b 1 je deliteľ čísla a. Nerovnosť 1< b 1 < b nie zodpovedá, pretože zistíme, že b je najmenší kladný a ne-1 deliteľ a.

Veta 2

Existuje nekonečné množstvo prvočísel.

Dôkaz 2

Pravdepodobne vezmeme konečný počet prirodzených čísel n a označíme ich ako p 1, p 2, …, p n. Uvažujme o možnosti nájsť iné prvočíslo, ako je uvedené.

Zoberme do úvahy číslo p, ktoré sa rovná p 1, p 2, ..., p n + 1. Nerovná sa každému z čísel zodpovedajúcich prvočíslam v tvare p 1, p 2, ..., p n. Číslo p je prvočíslo. Potom sa teorém považuje za dokázaný. Ak je zložený, musíte použiť zápis p n + 1 a ukážte, že deliteľ sa nezhoduje so žiadnym z p 1, p 2, ..., p n.

Ak by to tak nebolo, potom na základe vlastnosti deliteľnosti súčinu p 1, p 2, ..., p n , zistíme, že by to bolo deliteľné pn + 1. Všimnite si, že výraz p n + 1 delenie čísla p sa rovná súčtu p 1, p 2, ..., p n + 1. Dostaneme, že výraz p n + 1 Druhý člen tohto súčtu, ktorý sa rovná 1, sa musí rozdeliť, ale to nie je možné.

Je vidieť, že medzi ľubovoľným počtom daných prvočísel možno nájsť akékoľvek prvočíslo. Z toho vyplýva, že prvočísel je nekonečne veľa.

Keďže prvočísel je veľa, tabuľky sú obmedzené na čísla 100, 1000, 10000 atď.

Pri zostavovaní tabuľky prvočísel by ste mali vziať do úvahy, že takáto úloha vyžaduje postupnú kontrolu čísel od 2 do 100. Ak nie je deliteľ, zapíše sa do tabuľky, ak je zložený, do tabuľky sa nezapíše.

Pozrime sa na to postupne.

Ak začnete s číslom 2, potom má iba 2 deliteľov: 2 a 1, čo znamená, že ho možno zadať do tabuľky. To isté s číslom 3. Číslo 4 je zložené, treba ho rozložiť na 2 a 2. Číslo 5 je prvočíslo, čo znamená, že ho možno zaznamenať do tabuľky. Urobte to až do čísla 100.

Táto metóda nepohodlné a dlhé. Môžete si vytvoriť stôl, ale budete musieť minúť veľké množstvočas. Je potrebné použiť kritériá deliteľnosti, ktoré urýchlia proces hľadania deliteľov.

Metóda využívajúca Eratosthenovo sito sa považuje za najvhodnejšiu. Pozrime sa ako príklad na nižšie uvedené tabuľky. Na začiatok sa zapíšu čísla 2, 3, 4, ..., 50.

Teraz musíte prečiarknuť všetky čísla, ktoré sú násobkami 2. Vykonajte postupné prečiarknutie. Dostaneme tabuľku ako:

Prejdeme k vyčiarknutiu čísel, ktoré sú násobkami 5. Dostaneme:

Prečiarknite čísla, ktoré sú násobkami 7, 11. Nakoniec stôl vyzerá takto

Prejdime k formulácii vety.

Veta 3

Najmenší kladný a ne-1 deliteľ základného čísla a nepresahuje a, kde a je aritmetický koreň daného čísla.

Dôkaz 3

Je potrebné označiť b najmenšieho deliteľa zloženého čísla a. Existuje celé číslo q, kde a = b · q, a máme, že b ≤ q. Nerovnosti formy sú neprijateľné b > q, pretože je porušená podmienka. Obe strany nerovnosti b ≤ q by sa mali vynásobiť akýmkoľvek kladným číslom b, ktoré sa nerovná 1. Dostaneme, že b · b ≤ b · q, kde b 2 ≤ a a b ≤ a.

Z overenej vety je zrejmé, že prečiarknutie čísel v tabuľke vedie k tomu, že je potrebné začať s číslom, ktoré sa rovná b 2 a spĺňa nerovnosť b 2 ≤ a. To znamená, že ak prečiarknete čísla, ktoré sú násobkami 2, proces začína 4 a násobky 3 9 a tak ďalej až do 100.

Zostavenie takejto tabuľky pomocou Eratosthenovho teorému naznačuje, že keď sa prečiarknu všetky zložené čísla, zostanú prvočísla, ktoré nepresiahnu n. V príklade, kde n = 50, máme, že n = 50. Odtiaľto dostávame, že Eratosthenovo sito preosieva všetky zložené čísla, ktoré nemajú významnú hodnotu. väčšiu hodnotu koreň z 50. Vyhľadávanie čísel prebieha preškrtávaním.

Pred riešením musíte zistiť, či je číslo prvočíslo alebo zložené. Často sa používajú kritériá deliteľnosti. Pozrime sa na to v príklade nižšie.

Príklad 1

Dokážte, že číslo 898989898989898989 je zložené.

Riešenie

Súčet číslic daného čísla je 9 8 + 9 9 = 9 17. To znamená, že číslo 9 · 17 je deliteľné 9 na základe testu deliteľnosti 9. Z toho vyplýva, že je zložený.

Takéto znaky nie sú schopné dokázať prvoradosť čísla. Ak je potrebné overenie, mali by sa vykonať iné opatrenia. Najvhodnejším spôsobom je vyčísliť čísla. Počas procesu možno nájsť prvočísla a zložené čísla. To znamená, že čísla by nemali prekročiť hodnotu a. To znamená, že číslo a sa musí rozložiť na prvočísla. ak je toto splnené, potom číslo a možno považovať za prvočíslo.

Príklad 2

Určte zložené alebo prvočíslo 11723.

Riešenie

Teraz musíte nájsť všetkých deliteľov pre číslo 11723. Treba vyhodnotiť 11723 .

Odtiaľ vidíme, že 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 a 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 menšie číslo 200 .

Pre presnejší odhad čísla 11723 je potrebné napísať výraz 108 2 = 11 664 a 109 2 = 11 881 , To 108 2 < 11 723 < 109 2 . Z toho vyplýva, že 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

Pri rozširovaní zistíme, že 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 sú všetky prvočísla. Celý tento proces možno znázorniť ako rozdelenie podľa stĺpca. To znamená, vydeľte 11723 číslom 19. Číslo 19 je jedným z jeho faktorov, keďže dostávame delenie bezo zvyšku. Predstavme si rozdelenie ako stĺpec:

Z toho vyplýva, že 11723 je zložené číslo, pretože okrem seba a 1 má aj deliteľa 19.

odpoveď: 11723 je zložené číslo.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter


V tomto článku budeme skúmať prvočísla a zložené čísla. Najprv uvedieme definície prvočísel a zložených čísel a tiež uvedieme príklady. Potom dokážeme, že prvočísel je nekonečne veľa. Ďalej si napíšeme tabuľku prvočísel a zvážime metódy na zostavenie tabuľky prvočísel, pričom osobitnú pozornosť budeme venovať metóde nazývanej Eratosthenovo sito. Na záver poukážeme na hlavné body, ktoré je potrebné vziať do úvahy pri dokazovaní, že dané číslo je prvočíslo alebo zložené.

Navigácia na stránke.

Prvočísla a zložené čísla – definície a príklady

Koncepty prvočísel a zložených čísel sa vzťahujú na čísla, ktoré sú väčšie ako jedna. Takéto celé čísla sa v závislosti od počtu ich kladných deliteľov delia na prvočísla a zložené čísla. Takže pochopiť definície prvočísel a zložených čísel, musíte dobre rozumieť tomu, čo sú deliteľ a násobky.

Definícia.

základné čísla sú celé čísla, veľké jednotky, ktoré majú iba dvoch kladných deliteľov, konkrétne seba a 1.

Definícia.

Zložené čísla sú celé čísla, veľké, ktoré majú aspoň troch kladných deliteľov.

Samostatne si všimneme, že číslo 1 sa nevzťahuje na prvočísla ani na zložené čísla. Jednotka má iba jedného kladného deliteľa, ktorým je samotné číslo 1. Toto odlišuje číslo 1 od všetkých ostatných kladných celých čísel, ktoré majú aspoň dvoch kladných deliteľov.

Vzhľadom na to, že kladné celé čísla sú , a že jedno má iba jedného kladného deliteľa, môžeme uviesť iné formulácie uvedených definícií prvočísel a zložených čísel.

Definícia.

základné čísla sú prirodzené čísla, ktoré majú iba dvoch kladných deliteľov.

Definícia.

Zložené čísla sú prirodzené čísla, ktoré majú viac ako dvoch kladných deliteľov.

Všimnite si, že každé kladné celé číslo väčšie ako jedna je buď prvočíslo, alebo zložené číslo. Inými slovami, neexistuje jediné celé číslo, ktoré by nebolo ani prvočíslo, ani zložené. Vyplýva to z vlastnosti deliteľnosti, ktorá hovorí, že čísla 1 a a sú vždy deliteľmi ľubovoľného celého čísla a.

Na základe informácií v predchádzajúcom odseku môžeme uviesť nasledujúcu definíciu zložených čísel.

Definícia.

Voláme prirodzené čísla, ktoré nie sú prvočísla zložený.

Dajme si príklady prvočísel a zložených čísel.

Príklady zložených čísel zahŕňajú 6, 63, 121 a 6 697. Toto vyhlásenie si tiež vyžaduje objasnenie. Číslo 6 má okrem kladných deliteľov 1 a 6 aj deliteľov 2 a 3, keďže 6 = 2 3, preto je 6 skutočne zložené číslo. Pozitívne faktory 63 sú čísla 1, 3, 7, 9, 21 a 63. Číslo 121 sa rovná súčinu 11·11, takže jeho kladnými deliteľmi sú 1, 11 a 121. A číslo 6 697 je zložené, keďže jeho kladnými deliteľmi sú okrem 1 a 6 697 aj čísla 37 a 181.

Na záver tohto bodu by som chcel upozorniť aj na skutočnosť, že prvočísla a dvojčísla nie sú ani zďaleka to isté.

Tabuľka prvočísel

Prvočísla sú pre pohodlie ich ďalšieho použitia zaznamenané v tabuľke nazývanej tabuľka prvočísel. Nižšie je tabuľka prvočísel do 1000.

Vynára sa logická otázka: „Prečo sme naplnili tabuľku prvočísel len do 1000, nie je možné vytvoriť tabuľku všetkých existujúcich prvočísel“?

Najprv odpovedzme na prvú časť tejto otázky. Pre väčšinu problémov, ktoré vyžadujú použitie prvočísel, budú postačovať prvočísla do tisícky. V iných prípadoch sa s najväčšou pravdepodobnosťou budete musieť uchýliť k niektorým špeciálnym riešeniam. Hoci tabuľku prvočísel môžeme určite vytvoriť až do ľubovoľne veľkého konečného kladného čísla, či už je to 10 000 alebo 1 000 000 000, v ďalšom odseku si povieme o metódach vytvárania tabuliek prvočísel, najmä sa pozrieme na metódu volal.

Teraz sa pozrime na možnosť (alebo skôr nemožnosť) zostaviť tabuľku všetkých existujúcich prvočísel. Nemôžeme vytvoriť tabuľku všetkých prvočísel, pretože prvočísel je nekonečne veľa. Posledné tvrdenie je veta, ktorú dokážeme po nasledujúcej pomocnej vete.

Veta.

Najmenší kladný deliteľ prirodzeného čísla väčšieho ako jedna je prvočíslo.

Dôkaz.

Nechaj a je prirodzené číslo väčšie ako jedna a b je najmenší kladný deliteľ iného ako jedna. Dokážme, že b je prvočíslo kontradikciou.

Predpokladajme, že b je zložené číslo. Potom existuje deliteľ čísla b (označme ho b 1), ktorý je odlišný od 1 aj b. Ak vezmeme do úvahy aj to, že absolútna hodnota deliteľa nepresahuje absolútnu hodnotu dividendy (vieme to z vlastností deliteľnosti), potom musí byť splnená podmienka 1

Keďže číslo a je deliteľné b podľa podmienky a povedali sme, že b je deliteľné b 1, pojem deliteľnosti nám umožňuje hovoriť o existencii celých čísel q a q 1 takých, že a=b q a b=b 1 q 1 , odkiaľ a= b 1 · (q 1 · q) . Z toho vyplýva, že súčin dvoch celých čísel je celé číslo, potom rovnosť a=b 1 ·(q 1 ·q) udáva, že b 1 je deliteľ čísla a. Berúc do úvahy vyššie uvedené nerovnosti 1

Teraz môžeme dokázať, že prvočísel je nekonečne veľa.

Veta.

Existuje nekonečné množstvo prvočísel.

Dôkaz.

Predpokladajme, že to tak nie je. To znamená, že predpokladajme, že existuje iba n prvočísel a tieto prvočísla sú p 1, p 2, ..., p n. Ukážme, že vždy môžeme nájsť iné prvočíslo, ako je uvedené.

Uvažujme číslo p rovné p 1 ·p 2 ·...·p n +1. Je jasné, že toto číslo sa líši od každého z prvočísel p 1, p 2, ..., p n. Ak je číslo p prvočíslo, potom je veta dokázaná. Ak je toto číslo zložené, potom na základe predchádzajúcej vety existuje prvočíselník tohto čísla (označíme ho p n+1). Ukážme, že tento deliteľ sa nezhoduje so žiadnym z čísel p 1, p 2, ..., p n.

Ak by to tak nebolo, potom by sa podľa vlastností deliteľnosti súčin p 1 ·p 2 ·…·p n delil p n+1. Ale číslo p je tiež deliteľné p n+1, ktoré sa rovná súčtu p 1 ·p 2 ·...·p n +1. Z toho vyplýva, že p n+1 musí deliť druhý člen tohto súčtu, ktorý sa rovná jednej, ale to nie je možné.

Je teda dokázané, že vždy sa dá nájsť nové prvočíslo, ktoré nie je zahrnuté v žiadnom počte vopred určených prvočísel. Preto je prvočísel nekonečne veľa.

Takže vzhľadom na to, že prvočísel je nekonečne veľa, pri zostavovaní tabuliek prvočísel sa vždy zhora obmedzíte na nejaké číslo, väčšinou 100, 1000, 10000 atď.

Eratosthenove sito

Teraz budeme diskutovať o spôsoboch vytvárania tabuliek prvočísel. Predpokladajme, že potrebujeme vytvoriť tabuľku prvočísel do 100.

Najzrejmejšou metódou riešenia tohto problému je postupná kontrola kladných celých čísel, počínajúc 2 a končiacimi 100, na prítomnosť kladného deliteľa, ktorý je väčší ako 1 a menší ako testované číslo (z vlastností deliteľnosti vieme že absolútna hodnota deliteľa nepresahuje absolútnu hodnotu dividendy, nenulovú). Ak sa takýto deliteľ nenájde, potom je testované číslo prvočíslo a zapíše sa do tabuľky prvočísel. Ak sa takýto deliteľ nájde, potom je testované číslo zložené, NIE JE zapísané v tabuľke prvočísel. Potom nasleduje prechod na ďalšie číslo, ktoré sa podobne kontroluje na prítomnosť deliteľa.

Poďme si popísať prvých pár krokov.

Začíname číslom 2. Číslo 2 nemá žiadneho kladného deliteľa okrem 1 a 2. Preto je to jednoduché, preto to zapíšeme do tabuľky prvočísel. Tu treba povedať, že 2 je najmenšie prvočíslo. Prejdime k číslu 3. Jeho možný kladný deliteľ iný ako 1 a 3 je číslo 2. Ale 3 nie je deliteľné 2, preto je 3 prvočíslo a je potrebné ho zahrnúť aj do tabuľky prvočísel. Prejdime k číslu 4. Jeho kladnými deliteľmi okrem 1 a 4 môžu byť čísla 2 a 3, skontrolujme ich. Číslo 4 je deliteľné 2, preto je 4 zložené číslo a nie je potrebné ho uvádzať v tabuľke prvočísel. Upozorňujeme, že 4 je najmenšie zložené číslo. Prejdime k číslu 5. Skontrolujeme, či aspoň jedno z čísel 2, 3, 4 je jeho deliteľ. Keďže 5 nie je deliteľné 2, 3 alebo 4, potom je prvočíslo a treba ho zapísať do tabuľky prvočísel. Potom nasleduje prechod na čísla 6, 7 a tak ďalej až do 100.

Tento prístup k zostaveniu tabuľky prvočísel má ďaleko od ideálu. Tak či onak má právo na existenciu. Všimnite si, že pri tejto metóde konštrukcie tabuľky celých čísel môžete použiť kritériá deliteľnosti, ktoré mierne urýchlia proces hľadania deliteľov.

Existuje pohodlnejší spôsob vytvorenia tabuľky prvočísel, tzv. Slovo „sito“ prítomné v názve nie je náhodné, pretože akcie tejto metódy pomáhajú takpovediac „preosiať“ celé čísla a veľké jednotky cez Eratosthenovo sito, aby sa oddelili jednoduché od zložených.

Ukážme si Eratosthenovo sito v akcii pri zostavovaní tabuľky prvočísel do 50.

Najprv si zapíšte čísla 2, 3, 4, ..., 50 v poradí.


Prvé napísané číslo, 2, je prvočíslo. Teraz sa od čísla 2 posúvame postupne o dve čísla doprava a tieto čísla škrtáme, kým sa nedostaneme na koniec zostavovanej tabuľky čísel. Tým sa prečiarknu všetky čísla, ktoré sú násobkom dvoch.

Prvé číslo po 2, ktoré nie je prečiarknuté, je 3. Toto číslo je prvočíslo. Teraz sa od čísla 3 postupne posunieme doprava o tri čísla (berúc do úvahy už prečiarknuté čísla) a prečiarkneme ich. Tým sa prečiarknu všetky čísla, ktoré sú násobkom troch.

Prvé číslo po 3, ktoré nie je prečiarknuté, je 5. Toto číslo je prvočíslo. Teraz sa od čísla 5 dôsledne posunieme doprava o 5 čísel (berieme do úvahy aj skôr prečiarknuté čísla) a prečiarkneme ich. Tým sa prečiarknu všetky čísla, ktoré sú násobkami piatich.

Ďalej prečiarkneme čísla, ktoré sú násobkami 7, potom násobkami 11 atď. Proces končí, keď už nie sú žiadne čísla na odčiarknutie. Nižšie je vyplnená tabuľka prvočísel do 50 získaných pomocou Eratosthenovho sita. Všetky neprečiarknuté čísla sú prvočísla a všetky prečiarknuté čísla sú zložené.

Sformulujme a dokážme aj vetu, ktorá urýchli proces zostavovania tabuľky prvočísel pomocou Eratosthenovho sita.

Veta.

Najmenší kladný deliteľ zloženého čísla a, ktorý sa líši od jednotky, nepresahuje , kde je od a .

Dôkaz.

Označme písmenom b najmenšieho deliteľa zloženého čísla a, ktoré je odlišné od jednotky (číslo b je prvočíslo, ako vyplýva z vety dokázanej na samom začiatku predchádzajúceho odseku). Potom existuje celé číslo q také, že a=b·q (tu q je kladné celé číslo, čo vyplýva z pravidiel násobenia celých čísel) a (pre b>q je porušená podmienka, že b je najmenším deliteľom a , keďže q je tiež deliteľ čísla a kvôli rovnosti a=q·b ). Vynásobením oboch strán nerovnosti kladným a celým číslom väčším ako jedna (toto je nám dovolené) dostaneme , z ktorého a .

Čo nám dáva osvedčená veta o Eratosthenovom sitku?

Po prvé, prečiarknutie zložených čísel, ktoré sú násobkami prvočísla b, by malo začínať číslom rovným (to vyplýva z nerovnosti). Napríklad prečiarknutie čísel, ktoré sú násobkom dvoch, by malo začínať číslom 4, násobky troch číslom 9, násobky piatich číslom 25 atď.

Po druhé, zostavenie tabuľky prvočísel až po číslo n pomocou Eratosthenovho sita možno považovať za úplné, ak všetky zložené čísla, ktoré sú násobkami prvočísel, nepresahujú . V našom príklade n=50 (keďže robíme tabuľku prvočísel do 50), a preto by Eratosthenovo sito malo eliminovať všetky zložené čísla, ktoré sú násobkami prvočísel 2, 3, 5 a 7, ktoré nepresiahne aritmetickú druhú odmocninu 50. To znamená, že už nemusíme hľadať a preškrtávať čísla, ktoré sú násobkami prvočísel 11, 13, 17, 19, 23 a tak ďalej až do 47, keďže už budú prečiarknuté ako násobky menších prvočísel 2. 3, 5 a 7.

Je toto číslo prvočíslo alebo zložené?

Niektoré úlohy vyžadujú zistenie, či je dané číslo prvočíslo alebo zložené. Vo všeobecnosti táto úloha nie je ani zďaleka jednoduchá, najmä pri číslach, ktorých písanie pozostáva z veľkého počtu znakov. Vo väčšine prípadov musíte hľadať nejaký konkrétny spôsob, ako to vyriešiť. My sa však pokúsime nasmerovať myšlienkový pochod pre jednoduché prípady.

Samozrejme, môžete skúsiť použiť testy deliteľnosti, aby ste dokázali, že dané číslo je zložené. Ak napríklad nejaký test deliteľnosti ukáže, že dané číslo je deliteľné nejakým kladným celým číslom väčším ako jedna, potom je pôvodné číslo zložené.

Príklad.

Dokážte, že 898,989,898,989,898,989 je zložené číslo.

Riešenie.

Súčet číslic tohto čísla je 9·8+9·9=9·17. Keďže číslo rovnajúce sa 9·17 je deliteľné 9, potom pomocou deliteľnosti 9 môžeme povedať, že pôvodné číslo je deliteľné aj 9. Preto je zložený.

Významnou nevýhodou tohto prístupu je, že kritériá deliteľnosti neumožňujú dokázať prvoradosť čísla. Preto pri testovaní čísla, aby ste zistili, či je prvočíslo alebo zložené, musíte robiť veci inak.

Najlogickejší prístup je vyskúšať všetky možné delitele daného čísla. Ak žiadny z možných deliteľov nie je skutočným deliteľom daného čísla, potom toto číslo bude prvočíslo, inak bude zložené. Z teorém dokázaných v predchádzajúcom odseku vyplýva, že deliče daného čísla a treba hľadať medzi prvočíslami nepresahujúcimi . Dané číslo a možno teda postupne deliť prvočíslami (ktoré sa dajú pohodlne prevziať z tabuľky prvočísel), pričom sa snažíme nájsť deliteľa čísla a. Ak sa nájde deliteľ, potom číslo a je zložené. Ak medzi prvočíslami nepresahujúcimi , nie je deliteľ čísla a, potom číslo a je prvočíslo.

Príklad.

číslo 11 723 jednoduché alebo zložené?

Riešenie.

Poďme zistiť, do akého prvočísla môžu byť deliče čísla 11 723. Aby sme to urobili, poďme hodnotiť.

To je celkom zrejmé , od roku 200 2 = 40 000 a 11 723<40 000 (при необходимости смотрите статью porovnanie čísel). Možné hlavné faktory 11 723 sú teda menšie ako 200. Už to nám značne uľahčuje úlohu. Ak by sme to nevedeli, museli by sme prejsť všetkými prvočíslami nie do 200, ale do čísla 11 723.

V prípade potreby môžete presnejšie vyhodnotiť. Pretože 108 2 = 11 664 a 109 2 = 11 881, potom 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Akékoľvek z prvočísel menších ako 109 je teda potenciálne prvočíslo daného čísla 11 723.

Teraz postupne rozdelíme číslo 11 723 na prvočísla 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107. Ak je číslo 11 723 delené jedným zo zapísaných prvočísel, bude zložené. Ak nie je deliteľné žiadnym zo zapísaných prvočísel, tak pôvodné číslo je prvočíslo.

Nebudeme popisovať celý tento monotónny a monotónny proces delenia. Povedzme hneď, že 11 723

Vyčíslenie deliteľov. Podľa definície číslo n je prvočíslo iba vtedy, ak nie je rovnomerne deliteľné 2 a inými celými číslami okrem 1 a samého seba. Vyššie uvedený vzorec odstraňuje zbytočné kroky a šetrí čas: napríklad po kontrole, či je číslo deliteľné 3, nie je potrebné kontrolovať, či je deliteľné 9.

  • Funkcia floor(x) zaokrúhli x na najbližšie celé číslo, ktoré je menšie alebo rovné x.

Získajte informácie o modulárnej aritmetike. Operácia „x mod y“ (mod je skratka latinského slova „modulo“, teda „modul“) znamená „vydeliť x y a nájsť zvyšok“. Inými slovami, v modulárnej aritmetike, pri dosiahnutí určitej hodnoty, ktorá je tzv modul, čísla sa opäť „otočia“ na nulu. Napríklad hodiny udržiavajú čas s modulom 12: ukazujú 10, 11 a 12 hodín a potom sa vrátia na 1.

  • Mnoho kalkulačiek má mod kľúč. Koniec tejto časti ukazuje, ako manuálne vyhodnotiť túto funkciu pre veľké čísla.

  • Prečítajte si o úskaliach Fermatovej Malej vety. Všetky čísla, pre ktoré nie sú splnené podmienky testu, sú zložené, ale zostávajúce čísla sú len pravdepodobne sú klasifikované ako jednoduché. Ak sa chcete vyhnúť nesprávnym výsledkom, hľadajte n v zozname "Carmichaelových čísel" (zložené čísla, ktoré vyhovujú tomuto testu) a "pseudoprvočísla Fermat" (tieto čísla spĺňajú podmienky testu len pre niektoré hodnoty a).

    Ak je to vhodné, použite Miller-Rabinov test. Hoci je táto metóda dosť ťažkopádna na ručný výpočet, často sa používa v počítačových programoch. Poskytuje prijateľnú rýchlosť a produkuje menej chýb ako Fermatova metóda. Zložené číslo nebude akceptované ako prvočíslo, ak sa výpočty robia pre viac ako ¼ hodnôt a. Ak náhodne vyberiete rôzne hodnoty a a u všetkých z nich test poskytne pozitívny výsledok, môžeme s pomerne vysokou mierou istoty predpokladať, že n je prvočíslo.

  • Pre veľké čísla použite modulárnu aritmetiku. Ak nemáte po ruke kalkulačku s modom, alebo vaša kalkulačka nie je navrhnutá tak, aby zvládala také veľké čísla, použite na uľahčenie výpočtov vlastnosti mocnin a modulárnej aritmetiky. Nižšie je uvedený príklad pre 3 50 (\displaystyle 3^(50)) mod 50:

    • Prepíšte výraz do vhodnejšej formy: mod 50. Pri manuálnych výpočtoch môžu byť potrebné ďalšie zjednodušenia.
    • (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Tu sme brali do úvahy vlastnosť modulárneho násobenia.
    • 3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
    • (3 25 (\displaystyle (3^(25)) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43)) mod 50.
    • = 1849 (\displaystyle =1849) mod 50.
    • = 49 (\displaystyle =49).

    • Problém 2.30
    Dané jednorozmerné pole A pozostávajúce z prirodzených čísel. Zobrazte počet prvočísel v poli.

    Najprv vám dovoľte pripomenúť, čo sú prvočísla.

    Teraz prejdime k úlohe. V podstate potrebujeme program, ktorý určuje prvočísla. A triediť prvky a kontrolovať ich hodnoty je záležitosťou technológie. Zároveň vieme nielen počítať, ale aj zobraziť prvočísla poľa.

    Ako určiť prvočíslo v Pascale

    Poskytnem algoritmus riešenia s podrobnou analýzou v jazyku Pascal. Riešenie môžete vidieť vo vzorovom programe v C++.

    DÔLEŽITÉ!
    Tu sa môže veľa ľudí pokaziť. Definícia hovorí, že prvočíslo má hladké dve rôzne rozdeľovač Preto číslo 1 nie je prvočíslo (ani prvočíslo, pretože nulu možno deliť ľubovoľným číslom).

    Či je číslo prvočíslo skontrolujeme pomocou , ktoré si sami vytvoríme. Táto funkcia vráti hodnotu TRUE, ak je číslo prvočíslo.

    Vo funkcii najskôr skontrolujeme, či je číslo menšie ako dva. Ak áno, tak to už nie je prvočíslo. Ak je číslo 2 alebo 3, potom je jednoznačne prvočíslo a nie sú potrebné žiadne ďalšie kontroly.

    Ale ak je číslo N väčšie ako tri, potom v tomto prípade budeme cyklicky prechádzať všetkými možnými deliteľmi, počnúc od 2 po (N-1). Ak je číslo N deliteľné nejakým deliteľom bezo zvyšku, tak to tiež nie je prvočíslo. V tomto prípade cyklus prerušíme (pretože nemá zmysel ďalej kontrolovať) a funkcia vráti FALSE.

    Nemá zmysel kontrolovať, či je číslo deliteľné samo sebou (preto cyklus trvá len do N-1).

    Samotnú funkciu tu predstavovať nebudem - pozrite si ju vo vzorových programoch.

    Riešenie problému 2.30 v Pascale mytask; //***************************************************** ******************* //KONŠTANTY //********************************** ********* **************************************** POČET = 100; //Počet prvkov v poli //************************************************** *********** ************************* // FUNKCIE A POSTUPY //********** *********************************************************** ** //***** ********************************************* * ******** // Kontroluje, či je číslo prvočíslo // VSTUP: N - číslo // VÝSTUP: TRUE - číslo N je prvočíslo, NEPRAVDA - nie je prvočíslo //********** ********************************************* **** IsPrimeNumber(N: WORD) : ; var i: ; začať := PRAVDA; N z 0..3: začiatok N Koniec; koniec; koniec; i:= 2 až (N-1) urob, ak (N i) = 0 then //Začiatok nie je prvočíslo Výsledok:= FALSE; ; koniec; koniec; i: SLOVO; X: SLOVO = 0; A: z WORD; //***************************************************** **************** // HLAVNÝ PROGRAM //********************************** ************************************ begin //Vyplňte pole číslami pre i:= 1 až COUNT do A[i] := i; //Počítajte a vyberte prvočísla z poľa pre i:= 1 až COUNT urobte if IsPrimeNumber(A[i]) then begin (X); Write(A[i], " "); koniec; (#10#13"Počet prvočísel = ", X); WriteLn("Koniec. Stlačte ENTER..."); ; koniec.

    Riešenie problému 2.30 v C++#include #include pomocou menného priestoru std; //***************************************************** ******************* //KONŠTANTY //********************************** ********* **************************************** const int COUNT = 100; //Počet prvkov v poli //************************************************** *********** ************************* // FUNKCIE A POSTUPY //********** *********************************************************** ** //***** ********************************************* * ******** // Kontroluje, či je číslo prvočíslo // VSTUP: N - číslo // VÝSTUP: TRUE - číslo N je prvočíslo, NEPRAVDA - nie je prvočíslo //********** ********************************************* **** bool IsPrimeNumber(int N) ( bool Res = pravda; prepínač (N) ( prípad 0: Res = nepravda; zlom; prípad 1: Res = nepravda; zlom; prípad 2: Res = pravda; zlom; prípad 3 : Res = pravda; zlom; predvolené: pre (int i = 2; i

    Ilyova odpoveď je správna, ale nie veľmi podrobná. V 18. storočí sa mimochodom ešte jedna považovala za prvočíslo. Napríklad takí veľkí matematici ako Euler a Goldbach. Goldbach je autorom jedného zo siedmich problémov tisícročia – Goldbachovej hypotézy. Pôvodná formulácia hovorí, že každé párne číslo môže byť vyjadrené ako súčet dvoch prvočísel. Navyše, pôvodne sa 1 brala do úvahy ako prvočíslo a vidíme toto: 2 = 1+1. Toto je najmenší príklad, ktorý spĺňa pôvodnú formuláciu hypotézy. Neskôr to bolo opravené a formulácia nadobudla modernú podobu: „každé párne číslo počnúc 4 môže byť vyjadrené ako súčet dvoch prvočísel“.

    Pripomeňme si definíciu. Prvočíslo je prirodzené číslo p, ktoré má len 2 rôznych prirodzených deliteľov: samotné p a 1. Dôsledok z definície: prvočíslo p má iba jedného prvočísla - samotné p.

    Teraz predpokladajme, že 1 je prvočíslo. Prvočíslo má podľa definície iba jedného prvočísla – samo seba. Potom sa ukáže, že každé prvočíslo väčšie ako 1 je deliteľné prvočíslom, ktoré sa od neho líši (1). Ale dve rôzne prvočísla nemožno navzájom deliť, pretože inak to nie sú prvočísla, ale zložené čísla, a to je v rozpore s definíciou. S týmto prístupom sa ukazuje, že existuje len 1 prvočíslo - samotná jednotka. Ale toto je absurdné. Preto 1 nie je prvočíslo.

    1, rovnako ako 0, tvoria ďalšiu triedu čísel - triedu neutrálnych prvkov vzhľadom na n-árne operácie v niektorej podmnožine algebraického poľa. Okrem toho, čo sa týka operácie sčítania, 1 je tiež generujúcim prvkom kruhu celých čísel.

    S touto úvahou nie je ťažké objaviť analógy prvočísel v iných algebraických štruktúrach. Predpokladajme, že máme multiplikatívnu skupinu vytvorenú z mocniny 2, začínajúcu od 1: 2, 4, 8, 16, ... atď. 2 tu pôsobí ako formujúci prvok. Prvočíslo v tejto skupine je číslo väčšie ako najmenší prvok a deliteľné iba ním samotným a najmenším prvkom. V našej skupine majú takéto vlastnosti iba 4. To je všetko. V našej skupine už nie sú žiadne prvočísla.

    Ak by aj 2 bola v našej skupine prvočíslo, tak pozri prvý odstavec – opäť by sa ukázalo, že len 2 je prvočíslo.