Dostaneme štvorcovú maticu. Musíte nájsť inverznú maticu.

Prvý spôsob. Veta 4.1 o existencii a jedinečnosti inverznej matice naznačuje jeden zo spôsobov, ako ju nájsť.

1. Vypočítajte determinant tejto matice. Ak, potom inverzná matica neexistuje (matica je singulárna).

2. Zostrojte maticu z algebraických doplnkov prvkov matice.

3. Transponujte maticu, aby ste získali pridruženú maticu .

4. Nájdite inverznú maticu (4.1) vydelením všetkých prvkov adjungovanej matice determinantom

Druhý spôsob. Ak chcete nájsť inverznú maticu, môžete použiť elementárne transformácie.

1. Zostavte blokovú maticu priradením matice identity rovnakého rádu k danej matici.

2. Pomocou elementárnych transformácií vykonaných na riadkoch matice priveďte jej ľavý blok do najjednoduchšej formy. V tomto prípade je bloková matica redukovaná do tvaru, kde je štvorcová matica získaná ako výsledok transformácií z matice identity.

3. Ak , potom sa blok rovná inverznej hodnote matice, t. j. Ak, potom matica inverznú hodnotu nemá.

V skutočnosti je možné pomocou elementárnych transformácií riadkov matice zredukovať jej ľavý blok do zjednodušenej podoby (pozri obr. 1.5). V tomto prípade je bloková matica transformovaná do tvaru, kde je elementárna matica spĺňajúca rovnosť. Ak je matica nedegenerovaná, potom sa podľa odseku 2 poznámok 3.3 jej zjednodušená forma zhoduje s maticou identity. Potom z rovnosti vyplýva, že. Ak je matica singulárna, potom sa jej zjednodušená forma líši od matice identity a matica nemá inverznú formu.

11. Maticové rovnice a ich riešenie. Maticová forma nahrávky SLAE. Maticová metóda (metóda inverznej matice) na riešenie SLAE a podmienky jej použiteľnosti.

Maticové rovnice sú rovnice v tvare: A*X=C; X*A=C; A*X*B=C kde matice A,B,C sú známe, matica X nie je známa, ak matice A a B nie sú jednotné, riešenia pôvodných matíc sa zapíšu v príslušnom tvare: X = A -1 * C; X=C*A-1; X=A-1*C*B-1 Maticová forma zápisu sústav lineárnych algebraických rovníc. Ku každému SLAE môže byť priradených niekoľko matíc; Okrem toho samotný SLAE môže byť napísaný vo forme maticovej rovnice. Pre SLAE (1) zvážte nasledujúce matice:

Matica A sa volá matice systému. Prvky tejto matice predstavujú koeficienty daného SLAE.

Nazýva sa matica A˜ rozšírený maticový systém. Získame ho pridaním do matice systému stĺpca obsahujúceho voľné členy b1,b2,...,bm. Zvyčajne je tento stĺpec oddelený zvislou čiarou kvôli prehľadnosti.

Stĺpcová matica B sa nazýva matice voľných členov a stĺpcová matica X je matica neznámych.

Použitím vyššie uvedeného zápisu možno SLAE (1) zapísať vo forme maticovej rovnice: A⋅X=B.

Poznámka

Matice spojené so systémom môžu byť zapísané rôznymi spôsobmi: všetko závisí od poradia premenných a rovníc uvažovaného SLAE. Ale v každom prípade musí byť poradie neznámych v každej rovnici daného SLAE rovnaké.

Maticová metóda je vhodná na riešenie SLAE, v ktorých sa počet rovníc zhoduje s počtom neznámych premenných a determinant hlavnej matice systému je odlišný od nuly. Ak systém obsahuje viac ako tri rovnice, potom nájdenie inverznej matice vyžaduje značné výpočtové úsilie, preto je v tomto prípade vhodné použiť Gaussova metóda.

12. Homogénne SLAE, podmienky existencie ich nenulových riešení. Vlastnosti parciálnych roztokov homogénnych SLAE.

Lineárna rovnica sa nazýva homogénna, ak sa jej voľný člen rovná nule, a inak nehomogénna. Systém pozostávajúci z homogénnych rovníc sa nazýva homogénny a má všeobecný tvar:

13 .Koncept lineárnej nezávislosti a závislosti parciálnych riešení homogénneho SLAE. Základný systém riešení (FSD) a jeho určenie. Znázornenie všeobecného riešenia homogénneho SLAE prostredníctvom FSR.

Funkčný systém r 1 (X ), r 2 (X ), …, r n (X ) sa nazýva lineárne závislé v intervale ( a , b ), ak existuje množina konštantných koeficientov, ktoré sa súčasne nerovnajú nule, takže lineárna kombinácia týchto funkcií je zhodne rovná nule na ( a , b ): Pre . Ak je rovnosť pre možná len pre , systém funkcií r 1 (X ), r 2 (X ), …, r n (X ) sa nazýva lineárne nezávislé v intervale ( a , b ). Inými slovami, funkcie r 1 (X ), r 2 (X ), …, r n (X ) lineárne závislé v intervale ( a , b ), ak sa rovná nule na ( a , b ) ich netriviálna lineárna kombinácia. Funkcie r 1 (X ),r 2 (X ), …, r n (X ) lineárne nezávislé v intervale ( a , b ), ak sa iba ich triviálna lineárna kombinácia rovná nule na ( a , b ).

Základný rozhodovací systém (FSR) Základom tohto systému stĺpov je homogénny SLAE.

Počet prvkov v FSR sa rovná počtu neznámych systému mínus poradie matice systému. Akékoľvek riešenie pôvodného systému je lineárnou kombináciou riešení FSR.

Veta

Všeobecné riešenie nehomogénneho SLAE sa rovná súčtu konkrétneho riešenia nehomogénneho SLAE a všeobecného riešenia zodpovedajúceho homogénneho SLAE.

1 . Ak sú stĺpce riešením homogénneho systému rovníc, potom akákoľvek ich lineárna kombinácia je tiež riešením homogénneho systému.

Z rovnosti to skutočne vyplýva

tie. lineárna kombinácia riešení je riešením homogénneho systému.

2. Ak sa hodnosť matice homogénneho systému rovná , potom má systém lineárne nezávislé riešenia.

Pomocou vzorcov (5.13) pre všeobecné riešenie homogénneho systému nájdeme konkrétne riešenia, ktoré dávajú voľným premenným nasledovné sady štandardných hodnôt (zakaždým za predpokladu, že jedna z voľných premenných sa rovná jednej a zvyšok sa rovná nule):

ktoré sú lineárne nezávislé. V skutočnosti, ak vytvoríte maticu z týchto stĺpcov, jej posledné riadky tvoria maticu identity. V dôsledku toho sa vedľajšia položka nachádzajúca sa v posledných riadkoch nerovná nule (rovná sa jednotke), t.j. je základný. Preto bude poradie matice rovnaké. To znamená, že všetky stĺpce tejto matice sú lineárne nezávislé (pozri Veta 3.4).

Akýkoľvek súbor lineárne nezávislých riešení homogénneho systému sa nazýva základný systém (množina) riešení .

14 Minor t. rádu, základný moll, hodnosť matice. Výpočet hodnosti matice.

Rad k minor matice A je determinantom niektorej jej štvorcovej podmatice rádu k.

V matici A s rozmermi m x n sa minorita rádu r nazýva základná, ak je nenulová, a všetky minority vyššieho rádu, ak existujú, sú rovné nule.

Stĺpce a riadky matice A, na priesečníku ktorých je základná vedľajšia, sa nazývajú základné stĺpce a riadky matice A.

Veta 1. (O hodnosti matice). Pre každú maticu sa vedľajšie poradie rovná poradiu riadka a rovná sa poradiu stĺpca.

Veta 2. (Na základe vedľajšej). Každý stĺpec matice sa rozloží na lineárnu kombináciu základných stĺpcov.

Hodnosť matice (alebo vedľajšia hodnosť) je poradie základného menšieho alebo, inými slovami, najväčšie poradie, pre ktoré existujú nenulové podradné. Hodnosť nulovej matice sa podľa definície považuje za 0.

Všimnime si dve zrejmé vlastnosti vedľajšej hodnosti.

1) Hodnosť matice sa počas transpozície nemení, pretože keď sa matica transponuje, všetky jej podmatice sa transponujú a neplnoleté osoby sa nemenia.

2) Ak je A’ podmaticou matice A, potom hodnosť A’ nepresahuje hodnosť A, pretože nenulová podmatica zahrnutá v A’ je tiež zahrnutá v A.

15. Koncept -rozmerného aritmetického vektora. Rovnosť vektorov. Operácie s vektormi (sčítanie, odčítanie, násobenie číslom, násobenie maticou). Lineárna kombinácia vektorov.

Objednaný odber n platné resp komplexné čísla volal n-rozmerný vektor. Čísla sa volajú vektorové súradnice.

Dva (nenulové) vektory a A b sú rovnaké, ak sú rovnako smerované a majú rovnaký modul. Všetky nulové vektory sa považujú za rovnaké. Vo všetkých ostatných prípadoch nie sú vektory rovnaké.

Vektorové pridanie. Existujú dva spôsoby pridávania vektorov: 1. Pravidlo paralelogramu. Aby sme pridali vektory a, umiestnime počiatky oboch do rovnakého bodu. Postavíme sa na rovnobežník a z toho istého bodu nakreslíme uhlopriečku rovnobežníka. Toto bude súčet vektorov.

2. Druhým spôsobom sčítania vektorov je pravidlo trojuholníka. Zoberme si rovnaké vektory a . Začiatok druhého pridáme na koniec prvého vektora. Teraz spojme začiatok prvého a koniec druhého. Toto je súčet vektorov a . Pomocou rovnakého pravidla môžete pridať niekoľko vektorov. Usporiadame ich jeden po druhom a potom spojíme začiatok prvého s koncom posledného.

Odčítanie vektorov. Vektor smeruje opačne ako vektor. Dĺžky vektorov sú rovnaké. Teraz je jasné, čo je odčítanie vektorov. Vektorový rozdiel a je súčtom vektora a vektora .

Násobenie vektora číslom

Vynásobením vektora číslom k vznikne vektor, ktorého dĺžka je k krát dĺžka. Je kosmerný s vektorom, ak je k väčšie ako nula, a opačne, ak je k menšie ako nula.

Skalárny súčin vektorov je súčinom dĺžok vektorov a kosínusu uhla medzi nimi. Ak sú vektory kolmé, ich skalárny súčin je nula. A takto je skalárny súčin vyjadrený prostredníctvom súradníc vektorov a .

Lineárna kombinácia vektorov

Lineárna kombinácia vektorov nazývaný vektor

Kde - lineárne kombinačné koeficienty. Ak kombinácia sa nazýva triviálna, ak je netriviálna.

16 .Skalárny súčin aritmetických vektorov. Dĺžka vektora a uhol medzi vektormi. Koncept vektorovej ortogonality.

Skalárny súčin vektorov a a b je číslo

Skalárny súčin sa používa na výpočet: 1) nájdenia uhla medzi nimi; 2) nájdenia projekcie vektorov; 3) výpočtu dĺžky vektora; 4) podmienok kolmosti vektorov.

Dĺžka úseku AB sa nazýva vzdialenosť medzi bodmi A a B. Uhol medzi vektormi A a B sa nazýva uhol α = (a, b), 0≤ α ≤P. Čím je potrebné otočiť 1 vektor tak, aby sa jeho smer zhodoval s iným vektorom. Za predpokladu, že sa ich pôvod zhoduje.

Ortom a je vektor a, ktorý má jednotkovú dĺžku a smer a.

17. Systém vektorov a jeho lineárna kombinácia. koncepcia lineárna závislosť a nezávislosť vektorového systému. Veta o nevyhnutných a postačujúcich podmienkach pre lineárnu závislosť sústavy vektorov.

Systém vektorov a1,a2,...,an sa nazýva lineárne závislý, ak existujú čísla λ1,λ2,...,λn také, že aspoň jedno z nich je nenulové a λ1a1+λ2a2+...+λnan=0 . V opačnom prípade sa systém nazýva lineárne nezávislý.

Dva vektory a1 a a2 sa nazývajú kolineárne, ak sú ich smery rovnaké alebo opačné.

Tri vektory a1, a2 a a3 sa nazývajú koplanárne, ak sú rovnobežné s niektorou rovinou.

Geometrické kritériá pre lineárnu závislosť:

a) systém (a1,a2) je lineárne závislý práve vtedy, ak sú vektory a1 a a2 kolineárne.

b) systém (a1,a2,a3) je lineárne závislý práve vtedy, ak sú vektory a1,a2 a a3 koplanárne.

teorém. (Nevyhnutná a postačujúca podmienka pre lineárnu závislosť systémov vektory.)

Vektorový systém vektor priestor je lineárne závislý vtedy a len vtedy, ak je jeden z vektorov systému lineárne vyjadrený v podmienkach ostatných vektor tento systém.

Dôsledok 1. Systém vektorov vo vektorovom priestore je lineárne nezávislý práve vtedy, ak žiadny z vektorov systému nie je lineárne vyjadrený v podmienkach iných vektorov tohto systému.2. Systém vektorov obsahujúci nulový vektor alebo dva rovnaké vektory je lineárne závislý.

Pokračujme v rozhovore o akciách s matricami. Počas štúdia tejto prednášky sa totiž naučíte, ako nájsť inverznú maticu. Učte sa. Aj keď je matematika ťažká.

Čo je to inverzná matica? Tu môžeme nakresliť analógiu s inverznými číslami: zvážte napríklad optimistické číslo 5 a jeho inverzné číslo. Súčin týchto čísel sa rovná jednej: . S matrikami je všetko podobné! Súčin matice a jej inverznej matice sa rovná – matica identity, čo je maticová obdoba číselnej jednotky. Najprv však najprv vyriešme to dôležité. praktická otázka, konkrétne sa naučíme, ako nájsť túto veľmi inverznú maticu.

Čo potrebujete vedieť a vedieť, aby ste našli inverznú maticu? Musíte sa vedieť rozhodnúť kvalifikácie. Musíte pochopiť, čo to je matice a vedieť s nimi vykonávať nejaké akcie.

Existujú dva hlavné spôsoby nájdenia inverznej matice:
používaním algebraické sčítania A pomocou elementárnych transformácií.

Dnes budeme študovať prvú, jednoduchšiu metódu.

Začnime tým najstrašnejším a nepochopiteľným. Uvažujme námestie matice. Inverznú maticu možno nájsť pomocou nasledujúci vzorec :

Kde je determinant matice, je transponovaná matica algebraických doplnkov zodpovedajúcich prvkov matice.

Koncept inverznej matice existuje len pre štvorcové matice, matice „dva po dvoch“, „tri po troch“ atď.

Označenia: Ako ste si už mohli všimnúť, inverzná matica je označená horným indexom

Začnime s najjednoduchším prípadom - maticou dva krát dva. Najčastejšie sa samozrejme vyžaduje „tri na tri“, ale napriek tomu dôrazne odporúčam študovať jednoduchšiu úlohu, aby ste zvládli všeobecný princíp riešenia.

Príklad:

Nájdite inverznú hodnotu matice

Rozhodnime sa. Je vhodné rozdeliť postupnosť akcií bod po bode.

1) Najprv nájdeme determinant matice.

Ak nerozumiete tejto akcii dobre, prečítajte si materiál Ako vypočítať determinant?

Dôležité! Ak sa determinant matice rovná NULA– inverzná matica NEEXISTUJE.

V uvažovanom príklade, ako sa ukázalo, , čo znamená, že všetko je v poriadku.

2) Nájdite maticu maloletých.

Na vyriešenie nášho problému nie je potrebné vedieť, čo je maloletý, ale je vhodné prečítať si článok Ako vypočítať determinant.

Matica maloletých má rovnaké rozmery ako matrica, teda v tomto prípade.
Zostáva len nájsť štyri čísla a dať ich namiesto hviezdičiek.

Vráťme sa k nášmu matrixu
Najprv sa pozrime na ľavý horný prvok:

Ako to nájsť maloletý?
A to sa robí takto: MENTÁLNE prečiarknite riadok a stĺpec, v ktorom sa tento prvok nachádza:

Zostávajúce číslo je minor tohto prvku, ktoré zapisujeme do našej matice maloletých:

Zvážte nasledujúci prvok matice:

V duchu prečiarknite riadok a stĺpec, v ktorom sa tento prvok nachádza:

Čo zostáva, je menšia časť tohto prvku, ktorú zapíšeme do našej matice:

Podobne zvážime prvky druhého radu a nájdeme ich neplnoleté osoby:


Pripravený.

Je to jednoduché. V matrici maloletých potrebujete ZMENIŤ ZNAČKY dve čísla:

Toto sú čísla, ktoré som zakrúžkoval!

– matica algebraických sčítaní príslušných prvkov matice.

A len...

4) Nájdite transponovanú maticu algebraických sčítaní.

– transponovaná matica algebraických doplnkov zodpovedajúcich prvkov matice.

5) Odpovedzte.

Zapamätajme si náš vzorec
Všetko sa našlo!

Takže inverzná matica je:

Je lepšie nechať odpoveď tak, ako je. NETREBA vydeľte každý prvok matice 2, pretože výsledkom sú zlomkové čísla. Táto nuansa je podrobnejšie diskutovaná v tom istom článku. Akcie s maticami.

Ako skontrolovať riešenie?

Musíte vykonať maticové násobenie resp

Vyšetrenie:

Prijaté už spomenuté matica identity je matica s jednotkami podľa hlavná uhlopriečka a nuly na iných miestach.

Inverzná matica je teda nájdená správne.

Ak vykonáte akciu, výsledkom bude aj matica identity. Toto je jeden z mála prípadov, kedy je násobenie matice permutabilné, viac detailné informácie nájdete v článku Vlastnosti operácií s maticami. Maticové výrazy. Všimnite si tiež, že počas kontroly sa konštanta (zlomok) posunie dopredu a spracuje sa na samom konci - po vynásobení matice. Toto je štandardná technika.

Prejdime k bežnejšiemu prípadu v praxi - matice tri na tri:

Príklad:

Nájdite inverznú hodnotu matice

Algoritmus je presne rovnaký ako v prípade „dva po dvoch“.

Inverznú maticu nájdeme pomocou vzorca: , kde je transponovaná matica algebraických doplnkov zodpovedajúcich prvkov matice.

1) Nájdite determinant matice.


Tu je odhalený determinant na prvom riadku.

Tiež nezabudnite na to, čo znamená, že všetko je v poriadku - existuje inverzná matica.

2) Nájdite maticu maloletých.

Matica maloletých má rozmer „tri krát tri“ a musíme nájsť deväť čísel.

Podrobne sa pozriem na pár maloletých:

Zvážte nasledujúci prvok matice:

MENTÁLNE prečiarknite riadok a stĺpec, v ktorom sa tento prvok nachádza:

Zvyšné štyri čísla zapíšeme do determinantu „dva po dvoch“.

Tento determinant dva po dvoch a je vedľajší prvok tohto prvku. Je potrebné vypočítať:


To je všetko, neplnoletý bol nájdený, zapíšeme ho do našej matice maloletých:

Ako ste pravdepodobne uhádli, musíte vypočítať deväť determinantov dva krát dva. Tento proces je, samozrejme, únavný, ale prípad nie je najzávažnejší, môže byť aj horší.

No, na konsolidáciu – nájdenie ďalšieho maloletého na obrázkoch:

Skúste si vypočítať zvyšné neplnoleté osoby sami.

Konečný výsledok:
– matica maloletých príslušných prvkov matice.

Skutočnosť, že všetci maloletí dopadli negatívne, je čisto náhoda.

3) Nájdite maticu algebraických sčítaní.

V matrike maloletých je to potrebné ZMENIŤ ZNAČKY prísne pri nasledujúce prvky:

V tomto prípade:

Neuvažujeme o hľadaní inverznej matice pre maticu „štyri krát štyri“, keďže takúto úlohu môže zadať iba sadistický učiteľ (aby študent vypočítal jeden determinant „štyri krát štyri“ a 16 determinantov „tri krát tri“ ). V mojej praxi sa vyskytol len jeden takýto prípad a na moje trápenie dosť draho doplatil zákazník testu =).

V mnohých učebniciach a príručkách môžete nájsť mierne odlišný prístup k hľadaniu inverznej matice, ale odporúčam použiť algoritmus riešenia uvedený vyššie. prečo? Pretože pravdepodobnosť zmätku vo výpočtoch a znakoch je oveľa menšia.

inverzná matica je matica A-1, pri vynásobení ktorým je daná počiatočná matica A výsledkom je matica identity E:

AA −1 = A −1 A =E.

Metóda inverznej matice.

Metóda inverznej matice- ide o jednu z najbežnejších metód riešenia matíc a používa sa na riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc (SLAE) v prípadoch, keď počet neznámych zodpovedá počtu rovníc.

Nech existuje systém n lineárne rovnice s n neznámy:

Takýto systém možno zapísať ako maticovú rovnicu A* X = B,

Kde
- systémová matica,

- stĺpec neznámych,

- stĺpec voľných kurzov.

Z odvodenej maticovej rovnice vyjadríme X vynásobením oboch strán maticovej rovnice vľavo číslom A-1, vyúsťujúce do:

A-1 * A * X = A-1 * B

S vedomím, že A-1 * A = E, Potom E*X=A-1*B alebo X = A-1* B.

Ďalším krokom je určenie inverznej matice A-1 a vynásobí sa stĺpcom voľných termínov B.

Inverzná matica k matici A existuje len vtedy det A≠ 0 . Vzhľadom na to je pri riešení SLAE metódou inverznej matice prvým krokom hľadanie det A. Ak det A≠ 0 , potom má sústava len jedno riešenie, ktoré možno získať metódou inverznej matice, ale ak det A = 0, potom takýto systém metóda inverznej matice nedá sa vyriešiť.

Riešenie inverznej matice.

Postupnosť akcií pre inverzné maticové riešenia:

  1. Získame determinant matice A. Ak je determinant väčší ako nula, riešime inverznú maticu ďalej, ak sa rovná nule, tak tu inverznú maticu nenájdeme.
  2. Nájdenie transponovanej matice AT.
  3. Hľadáme algebraické doplnky, po ktorých nahradíme všetky prvky matice ich algebraickými doplnkami.
  4. Inverznú maticu zostavíme z algebraických sčítaní: všetky prvky výslednej matice vydelíme determinantom pôvodne danej matice. Výsledná matica bude požadovaná inverzná matica vzhľadom na pôvodnú.

Nižšie uvedený algoritmus inverzné maticové riešenia v podstate rovnaký ako ten vyššie, rozdiel je len v niekoľkých krokoch: najprv definujeme algebraické doplnky a potom vypočítame spojenú maticu C.

  1. Zistite, či je daná matica štvorcová. Ak je odpoveď záporná, je jasné, že pre ňu nemôže existovať inverzná matica.
  2. Zistite, či je daná matica štvorcová. Ak je odpoveď záporná, je jasné, že pre ňu nemôže existovať inverzná matica.
  3. Vypočítavame algebraické doplnky.
  4. Poskladáme zjednocovaciu (vzájomnú, adjungovanú) maticu C.
  5. Inverznú maticu poskladáme z algebraických sčítaní: všetkých prvkov adjungovanej matice C deliť determinantom počiatočnej matice. Výsledná matica bude požadovaná inverzná matica vzhľadom k danej.
  6. Skontrolujeme vykonanú prácu: vynásobíme počiatočnú a výslednú maticu, výsledkom by mala byť matica identity.

Najlepšie sa to robí pomocou priloženej matrice.

Veta: Ak štvorcovej matici na pravej strane priradíme maticu identity rovnakého rádu a pomocou elementárnych transformácií nad riadkami transformujeme počiatočnú maticu vľavo na maticu identity, potom tá získaná na pravej strane bude byť inverzný k pôvodnému.

Príklad nájdenia inverznej matice.

Cvičenie. Pre maticu Nájsť reverzná metóda prídavná matica.

Riešenie. Pridajte do danej matice A vpravo je matica identity 2. rádu:

Od prvého riadku odpočítame druhý:

Od druhého riadku odčítame prvé 2:

Metódy hľadania inverznej matice. Zvážte štvorcovú maticu

Označme Δ = det A.

Štvorcová matica A sa nazýva nedegenerovaný, alebo nie špeciálne, ak je jeho determinant nenulový, a degenerovať, alebo špeciálne, AkΔ = 0.

Štvorcová matica B je pre štvorcovú maticu A rovnakého rádu, ak ich súčin je A B = B A = E, kde E je matica identity rovnakého rádu ako matice A a B.

Veta . Aby matica A mala inverznú maticu, je potrebné a postačujúce, aby jej determinant bol odlišný od nuly.

Inverzná matica matice A, označená A- 1, takže B = A - 1 a vypočíta sa podľa vzorca

, (1)

kde A i j sú algebraické doplnky prvkov a i j matice A..

Výpočet A -1 pomocou vzorca (1) pre matice vysokého rádu je veľmi náročný na prácu, takže v praxi je vhodné nájsť A -1 pomocou metódy elementárnych transformácií (ET). Akákoľvek nesingulárna matica A môže byť redukovaná na maticu identity E pomocou ED iba stĺpcov (alebo iba riadkov). inverzná matica. Je vhodné vykonávať EP na maticách A a E súčasne, pričom obe matice píšte vedľa seba cez riadok. Ešte raz si všimnime, že pri náleze kanonická forma Na nájdenie matíc môžete použiť transformácie riadkov a stĺpcov. Ak potrebujete nájsť inverznú hodnotu matice, mali by ste počas procesu transformácie použiť iba riadky alebo iba stĺpce.

Príklad 1. Pre maticu nájsť A -1 .

Riešenie.Najprv nájdeme determinant matice A
To znamená, že inverzná matica existuje a môžeme ju nájsť pomocou vzorca: , kde A i j (i,j=1,2,3) sú algebraické sčítania prvkov a i j pôvodnej matice.

Kde .

Príklad 2. Metódou elementárnych transformácií nájdite A -1 pre maticu: A = .

Riešenie.Pôvodnej matici vpravo priradíme maticu identity rovnakého poradia: . Pomocou elementárnych transformácií stĺpcov zredukujeme ľavú „polovicu“ na identitnú, pričom súčasne vykonáme presne tie isté transformácie na pravej matici.
Ak to chcete urobiť, vymeňte prvý a druhý stĺpec: ~ . Do tretieho stĺpca pridáme prvý a do druhého - prvý, vynásobený -2: . Od prvého stĺpca odpočítame druhý zdvojnásobený a od tretieho - druhý vynásobený 6; . Pridajme tretí stĺpec k prvému a druhému: . Vynásobte posledný stĺpec číslom -1: . Štvorcová matica získaná napravo od zvislého pruhu je inverzná matica danej matice A.
.

Matica $A^(-1)$ sa nazýva inverzná k štvorcovej matici $A$, ak je splnená podmienka $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, kde $E $ je matica identity, ktorej poradie sa rovná poradiu matice $A$.

Nesingulárna matica je matica, ktorej determinant sa nerovná nule. Singulárna matica je teda taká, ktorej determinant sa rovná nule.

Inverzná matica $A^(-1)$ existuje vtedy a len vtedy, ak matica $A$ nie je jednotná. Ak existuje inverzná matica $A^(-1)$, potom je jedinečná.

Existuje niekoľko spôsobov, ako nájsť inverznú maticu a my sa pozrieme na dva z nich. Táto stránka sa bude zaoberať metódou adjoint matice, ktorá sa považuje za štandardnú vo väčšine vyšších kurzov matematiky. Druhá metóda hľadania inverznej matice (metóda elementárnych transformácií), ktorá zahŕňa použitie Gaussovej metódy alebo Gauss-Jordanovej metódy, je diskutovaná v druhej časti.

Metóda adjunktnej matice

Nech je daná matica $A_(n\krát n)$. Na nájdenie inverznej matice $A^(-1)$ sú potrebné tri kroky:

  1. Nájdite determinant matice $A$ a uistite sa, že $\Delta A\neq 0$, t.j. že matica A je nesingulárna.
  2. Zložte algebraické doplnky $A_(ij)$ každého prvku matice $A$ a napíšte maticu $A_(n\krát n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ z nájdenej algebry dopĺňa.
  3. Napíšte inverznú maticu berúc do úvahy vzorec $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Matica $(A^(*))^T$ sa často nazýva adjoint (recipročná, príbuzná) k matici $A$.

Ak sa riešenie robí ručne, potom je prvá metóda vhodná len pre matice relatívne malých rád: druhá (), tretia (), štvrtá (). Na nájdenie inverznej matice vyššieho rádu sa používajú iné metódy. Napríklad Gaussova metóda, o ktorej sa hovorí v druhej časti.

Príklad č.1

Nájdite inverznú hodnotu matice $A=\left(\begin(pole) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(pole) \vpravo)$.

Pretože všetky prvky štvrtého stĺpca sú rovné nule, potom $\Delta A=0$ (t.j. matica $A$ je singulár). Pretože $\Delta A=0$, neexistuje inverzná matica k matici $A$.

Odpoveď: matica $A^(-1)$ neexistuje.

Príklad č.2

Nájdite inverznú hodnotu matice $A=\left(\začiatok(pole) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(pole)\vpravo)$. Vykonajte kontrolu.

Používame metódu adjungovanej matice. Najprv nájdime determinant danej matice $A$:

$$ \Delta A=\vľavo| \začiatok(pole) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(pole)\vpravo|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Keďže $\Delta A \neq 0$, potom inverzná matica existuje, preto budeme pokračovať v riešení. Hľadanie algebraických doplnkov

\začiatok(zarovnané) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(zarovnané)

Zostavíme maticu algebraických sčítaní: $A^(*)=\left(\begin(pole) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(pole)\right)$.

Výslednú maticu transponujeme: $(A^(*))^T=\left(\begin(pole) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(pole)\right)$ (the výsledná matica sa často nazýva adjungovaná alebo pridružená matica k matici $A$). Pomocou vzorca $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ máme:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\začiatok(pole) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(pole)\vpravo) =\left(\začiatok(pole) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(pole)\right) $$

Nájdeme teda inverznú maticu: $A^(-1)=\left(\začiatok(pole) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(pole) )\vpravo) $. Na overenie pravdivosti výsledku stačí skontrolovať pravdivosť jednej z rovníc: $A^(-1)\cdot A=E$ alebo $A\cdot A^(-1)=E$. Skontrolujme rovnosť $A^(-1)\cdot A=E$. Aby sme menej pracovali so zlomkami, nahradíme maticu $A^(-1)$ nie v tvare $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ koniec(pole)\vpravo)$ a v tvare $-\frac(1)(103)\cdot \left(\začiatok(pole) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \koniec(pole)\vpravo)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(pole) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( pole)\vpravo)\cdot\left(\začiatok(pole) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \koniec(pole)\vpravo) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(pole) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(pole)\right) =\left(\begin(pole) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(pole )\vpravo) =E $$

Odpoveď: $A^(-1)=\vľavo(\začiatok(pole) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \koniec(pole)\vpravo)$.

Príklad č.3

Nájdite inverznú maticu pre maticu $A=\left(\begin(pole) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(pole) \right)$ . Vykonajte kontrolu.

Začnime výpočtom determinantu matice $A$. Takže determinant matice $A$ je:

$$ \Delta A=\vľavo| \začiatok(pole) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(pole) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Keďže $\Delta A\neq 0$, potom inverzná matica existuje, preto budeme pokračovať v riešení. Nájdeme algebraické doplnky každého prvku danej matice:

$$ \začiatok(zarovnané) & A_(11)=(-1)^(2)\cdot\left|\begin(pole)(cc) 9 & 4\\ 3 & 2\end(pole)\right| =6;\; A_(12)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(pole)(cc) -4 &4 \\ 0 & 2\end(pole)\right|=8;\; A_(13)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(pole)(cc) -4 & 9\\ 0 & 3\end(pole)\right|=-12;\\ & A_(21)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(pole)(cc) 7 & 3\\ 3 & 2\end(pole)\right|=-5;\; A_(22)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(pole)(cc) 1 & 3\\ 0 & 2\end(pole)\right|=2;\; A_(23)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(pole)(cc) 1 & 7\\ 0 & 3\end(pole)\right|=-3;\\ & A_ (31)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(pole)(cc) 7 & 3\\ 9 & 4\end(pole)\right|=1;\; A_(32)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(pole)(cc) 1 & 3\\ -4 & 4\end(pole)\right|=-16;\; A_(33)=(-1)^(6)\cdot\left|\begin(pole)(cc) 1 & 7\\ -4 & 9\end(pole)\right|=37. \end(zarovnané) $$

Zostavíme maticu algebraických sčítaní a transponujeme ju:

$$ A^*=\left(\začiatok(pole) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\koniec (pole) \vpravo); \; (A^*)^T=\left(\začiatok(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\koniec (pole) \vpravo) . $$

Pomocou vzorca $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ dostaneme:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\koniec(pole) \vpravo)= \ľavý(\začiatok(pole) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \koniec (pole) \vpravo) $$

Takže $A^(-1)=\left(\begin(pole) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(pole) \right)$. Na overenie pravdivosti výsledku stačí skontrolovať pravdivosť jednej z rovníc: $A^(-1)\cdot A=E$ alebo $A\cdot A^(-1)=E$. Skontrolujeme rovnosť $A\cdot A^(-1)=E$. Aby sme menej pracovali so zlomkami, nahradíme maticu $A^(-1)$ nie v tvare $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(pole) \right)$ a v tvare $\frac(1)(26 )\cdot \left( \začiatok(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(pole) \right)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\začiatok(pole)(ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\koniec (pole) \right)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ end(pole) \right) =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(pole) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end (pole) \right) =\left(\začiatok(pole) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end (pole) \right) =E $$

Kontrola prebehla úspešne, inverzná matica $A^(-1)$ bola nájdená správne.

Odpoveď: $A^(-1)=\left(\begin(pole) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(pole) \right)$.

Príklad č.4

Nájdite inverznú maticu k matici $A=\left(\begin(pole) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \koniec(pole) \vpravo)$.

Pre maticu štvrtého rádu je hľadanie inverznej matice pomocou algebraických sčítaní trochu ťažké. Takéto príklady však v testy stretnúť sa.

Ak chcete nájsť inverznú hodnotu matice, musíte najprv vypočítať determinant matice $A$. Najlepší spôsob, ako to urobiť v tejto situácii, je rozložiť determinant pozdĺž riadku (stĺpca). Vyberieme ľubovoľný riadok alebo stĺpec a nájdeme algebraické doplnky každého prvku vybraného riadka alebo stĺpca.

Napríklad pre prvý riadok dostaneme:

$$ A_(11)=\vľavo|\začiatok(pole)(ccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \koniec (pole)\vpravo|=556; \; A_(12)=-\left|\begin(pole)(ccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end(pole)\right|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\vľavo|\začiatok(pole)(ccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \koniec (pole)\vpravo|= -536;\; A_(14)=-\left|\begin(pole)(ccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end(pole)\right|=-112. $$

Determinant matice $A$ sa vypočíta pomocou nasledujúceho vzorca:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14 )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \začiatok(zarovnané) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end(zarovnané) $$

Matica algebraických doplnkov: $A^*=\left(\begin(pole)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 & -250 & -463 & -96\koniec (pole)\vpravo)$.

Pridružená matica: $(A^*)^T=\left(\begin(pole) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\koniec (pole)\vpravo)$.

Inverzná matica:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(pole) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(pole) \right)= \left(\begin(pole) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \koniec (pole) \vpravo) $$

Kontrola, ak je to žiaduce, môže byť vykonaná rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcich príkladoch.

Odpoveď: $A^(-1)=\left(\begin(pole) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(pole) \vpravo) $.

V druhej časti zvážime ďalší spôsob hľadania inverznej matice, ktorý zahŕňa použitie transformácií Gaussovej metódy alebo Gaussovej-Jordanovej metódy.