Trojuholník je mnohouholník s tromi stranami alebo uzavretá prerušovaná čiara s tromi článkami alebo obrazec tvorený tromi segmentmi spájajúcimi tri body, ktoré neležia na rovnakej priamke (pozri obr. 1).

Základné prvky trojuholníka abc

Vrcholy – body A, B a C;

strany – segmenty a = BC, b = AC a c = AB spájajúce vrcholy;

Uhly – α, β, γ tvorené tromi pármi strán. Uhly sú často označené rovnakým spôsobom ako vrcholy s písmenami A, B a C.

Uhol, ktorý zvierajú strany trojuholníka a leží v jeho vnútornej oblasti, sa nazýva vnútorný uhol a ten, ktorý k nemu susedí, je priľahlý uhol trojuholníka (2, s. 534).

Výšky, stredy, osy a stredy trojuholníka

Okrem hlavných prvkov v trojuholníku sa berú do úvahy aj ďalšie segmenty so zaujímavými vlastnosťami: výšky, mediány, osy a stredové čiary.

Výška

Výšky trojuholníka- sú to kolmice spadnuté z vrcholov trojuholníka na opačné strany.

Ak chcete vykresliť výšku, musíte vykonať nasledujúce kroky:

1) nakreslite priamku obsahujúcu jednu zo strán trojuholníka (ak je výška nakreslená z vrcholu ostrý uhol v tupom trojuholníku);

2) z vrcholu ležiaceho oproti nakreslenej čiare nakreslite úsečku od bodu k tejto čiare a zvierajte s ňou uhol 90 stupňov.

Bod, kde nadmorská výška pretína stranu trojuholníka, sa nazýva výškový základ (pozri obr. 2).

Vlastnosti výšok trojuholníkov

V pravouhlom trojuholníku nadmorská výška nakreslená z vrcholu pravý uhol, rozdelí ho na dva trojuholníky podobné pôvodnému trojuholníku.

V ostrom trojuholníku jeho dve nadmorské výšky z neho odrežú podobné trojuholníky.

Ak je trojuholník ostrý, potom všetky základne výšok patria stranám trojuholníka a v tupom trojuholníku pripadajú dve výšky na pokračovanie strán.

Tri výšky v ostrom trojuholníku sa pretínajú v jednom bode a tento bod sa nazýva ortocentrum trojuholník.

Medián

Mediány(z lat. mediana – „stred“) – sú to segmenty spájajúce vrcholy trojuholníka so stredmi protiľahlých strán (pozri obr. 3).

Ak chcete vytvoriť medián, musíte vykonať nasledujúce kroky:

1) nájdite stred strany;

2) bod, ktorý je stredom strany trojuholníka s opačným vrcholom, spojte úsečkou.

Vlastnosti stredov trojuholníka

Medián rozdeľuje trojuholník na dva trojuholníky rovnakej plochy.

Strednice trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý rozdeľuje každý z nich v pomere 2:1, počítajúc od vrcholu. Tento bod sa nazýva ťažisko trojuholník.

Celý trojuholník je rozdelený stredom na šesť rovnakých trojuholníkov.

Bisector

Bisectors(z latinského bis - dvakrát a seko - rez) sú úsečky priamej čiary uzavreté vo vnútri trojuholníka, ktoré rozdeľujú jeho uhly (pozri obr. 4).

Ak chcete vytvoriť os, musíte vykonať nasledujúce kroky:

1) zostrojte lúč vychádzajúci z vrcholu uhla a rozdeľujúci ho na dve rovnaké časti (sektor uhla);

2) nájdite priesečník osi uhla trojuholníka s opačnou stranou;

3) vyberte segment spájajúci vrchol trojuholníka s priesečníkom na opačnej strane.

Vlastnosti osi trojuholníka

Osa uhla trojuholníka rozdeľuje opačnú stranu v pomere, ktorý sa rovná pomeru dvoch susedných strán.

Osy vnútorných uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Tento bod sa nazýva stred vpísanej kružnice.

Osy vnútorného a vonkajšieho uhla sú kolmé.

Ak os vonkajšieho uhla trojuholníka pretína rozšírenie opačnej strany, potom ADBD=ACBC.

Osy jedného vnútorného a dvoch vonkajších uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Tento bod je stredom jednej z troch kružníc tohto trojuholníka.

Základny osi dvoch vnútorných a jedného vonkajšieho uhla trojuholníka ležia na tej istej priamke, ak osi vonkajšieho uhla nie je rovnobežná s opačnou stranou trojuholníka.

Ak osy vonkajších uhlov trojuholníka nie sú rovnobežné s opačnými stranami, potom ich základne ležia na rovnakej priamke.

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromaždiť rôzne informácie, vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečné ponuky, propagačné akcie a iné udalosti a nadchádzajúce udalosti.
Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

V prípade potreby v súlade so zákonom súdne konanie, V súdny proces a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Poznámka. IN túto lekciu stanovené teoretické materiály a riešenie geometrických problémov na tému „stredná v pravouhlom trojuholníku“. Ak potrebujete vyriešiť problém s geometriou, ktorý tu nie je, napíšte o ňom do fóra. Kurz bude takmer určite doplnený.

Vlastnosti mediánu pravouhlého trojuholníka

Určenie mediánu

Strednice trojuholníka sa pretínajú v jednom bode a delia sa týmto bodom na dve časti v pomere 2:1, počítané od vrcholu uhla. Ich priesečník sa nazýva ťažisko trojuholníka (pomerne zriedkavo sa v problémoch používa na označenie tohto bodu výraz „ťažisko“).
Medián rozdeľuje trojuholník na dva rovnako veľké trojuholníky.
Trojuholník je rozdelený tromi stredmi na šesť rovnakých trojuholníkov.
Väčšia strana trojuholníka zodpovedá menšiemu mediánu.

Geometrické problémy navrhnuté na riešenie využívajú hlavne nasledovné vlastnosti mediánu pravouhlého trojuholníka.

Súčet štvorcov mediánov spadnutých na nohy pravouhlého trojuholníka sa rovná piatim štvorcom mediánu spadnutého na preponu (vzorec 1)
Medián klesol na preponu pravouhlého trojuholníka rovná polovici prepony(Formula 2)
Medián prepony pravouhlého trojuholníka je rovný polomeru kružnice opísanej okolo daný pravouhlý trojuholník (vzorec 2)
Medián klesnutý na preponu je rovná polovici druhej odmocniny súčtu druhých mocnín nôh(Formula 3)
Stredná hodnota znížená k prepone sa rovná podielu dĺžky nohy delenej dvoma sínusmi ostrého uhla oproti nohe (vzorec 4)
Stredná hodnota znížená k prepone sa rovná podielu dĺžky nohy delenej dvoma kosínusmi ostrého uhla priľahlého k nohe (vzorec 4)
Súčet druhých mocnín strán pravouhlého trojuholníka sa rovná ôsmim štvorcom mediánu zníženého na jeho preponu (vzorec 5)

Zápis vo vzorcoch:

a, b- nohy pravouhlého trojuholníka

c- prepona pravouhlého trojuholníka

Ak trojuholník označíme ako ABC, tak

BC = A

(teda strany a,b,c- sú opačné ako zodpovedajúce uhly)

m a- medián pritiahnutý k nohe a

m b- medián pritiahnutý k nohe b

m c - medián pravouhlého trojuholníka, ťahaný do prepony s

α (alfa)- uhol CAB opačná strana a

Problém s mediánom v pravouhlom trojuholníku

Stredy pravouhlého trojuholníka nakresleného na nohy sa rovnajú 3 cm a 4 cm. Nájdite preponu trojuholníka

Riešenie

Skôr ako začneme riešiť úlohu, venujme pozornosť pomeru dĺžky prepony pravouhlého trojuholníka a mediánu, ktorý je na ňu znížený. Aby sme to dosiahli, obráťme sa na vzorce 2, 4, 5 vlastnosti mediánu v pravouhlom trojuholníku. Tieto vzorce jasne označujú pomer prepony a mediánu, ktorý sa na ňu znižuje ako 1 ku 2. Preto pre pohodlie budúcich výpočtov (ktoré nijako neovplyvnia správnosť riešenia, ale zvýšia pohodlné), dĺžky nôh AC a BC označujeme premennými x a y ako 2x a 2y (nie x a y).

Zvážte pravouhlý trojuholník ADC. Uhol C je správny podľa podmienok úlohy, úsek AC je spoločný s trojuholníkom ABC a úsek CD sa rovná polovici BC podľa vlastností mediánu. Potom podľa Pytagorovej vety

AC 2 + CD 2 = AD 2

Pretože AC = 2x, CD = y (keďže medián rozdeľuje nohu na dve rovnaké časti), potom
4x 2 + y2 = 9

Súčasne zvážte pravouhlý trojuholník EBC. Má tiež pravý uhol C podľa podmienok úlohy, rameno BC je spoločné s ramenom BC pôvodného trojuholníka ABC a rameno EC sa podľa vlastnosti mediánu rovná polovici ramena AC pôvodného trojuholníka. ABC.
Podľa Pytagorovej vety:
EC 2 + BC 2 = BE 2

Pretože EC = x (medián delí nohu na polovicu), BC = 2y, potom
x 2 + 4 roky 2 = 16

Keďže trojuholníky ABC, EBC a ADC sú spojené spoločnými stranami, obe výsledné rovnice spolu súvisia.
Vyriešme výslednú sústavu rovníc.
4x 2 + y2 = 9
x 2 + 4 roky 2 = 16

1. Medián rozdeľuje trojuholník na dva trojuholníky rovnakej plochy.

2. Strednice trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý rozdeľuje každý z nich v pomere 2:1, počítajúc od vrcholu. Tento bod sa nazýva ťažisko trojuholník.

3. Celý trojuholník je rozdelený stredom na šesť rovnakých trojuholníkov.

Vlastnosti osi trojuholníka

1. Osa uhla je ťažisko bodov rovnako vzdialených od strán tohto uhla.

2. Sektor vnútorný roh trojuholníka rozdeľuje opačnú stranu na časti úmerné susedným stranám: .

3. Priesečník priesečníkov trojuholníka je stredom kružnice vpísanej do tohto trojuholníka.

Vlastnosti výšok trojuholníkov

1. V pravouhlom trojuholníku nadmorská výška nakreslená od vrcholu pravého uhla ho delí na dva trojuholníky podobné pôvodnému.

2. V ostrom trojuholníku z neho dve jeho nadmorské výšky odrežú podobné trojuholníky.

Vlastnosti odvesničiek trojuholníka

1. Každý bod kolmice na úsečku je rovnako vzdialený od koncov tejto úsečky. Platí to aj naopak: každý bod, ktorý je rovnako vzdialený od koncov úsečky, leží na kolmici k nej.

2. Priesečník odvesničiek nakreslených na strany trojuholníka je stredom kružnice opísanej tomuto trojuholníku.

Vlastnosť strednej čiary trojuholníka

Stredná čiara trojuholníka je rovnobežná s jednou z jeho strán a rovná sa polovici tejto strany.

Podobnosť trojuholníkov

Dva trojuholníky podobný ak jedna z nasledujúcich podmienok, tzv znaky podobnosti:

· dva uhly jedného trojuholníka sa rovnajú dvom uhlom iného trojuholníka;

· dve strany jedného trojuholníka sú úmerné dvom stranám iného trojuholníka a uhly, ktoré tieto strany zvierajú, sú rovnaké;

· tri strany jedného trojuholníka sú úmerné trom stranám iného trojuholníka.

V podobných trojuholníkoch sú príslušné čiary (výšky, stredy, osy atď.) úmerné.

Sínusová veta

Kosínusová veta

a 2= b 2+ c 2- 2bc cos

Vzorce oblasti trojuholníka

1. Voľný trojuholník

a, b, c - strany; - uhol medzi stranami a A b; - poloobvod; R- polomer opísanej kružnice; r- polomer vpísanej kružnice; S- námestie; h a - výška nakreslená do strane a.

S = ah a

S = ab sin

S = pr

2. Správny trojuholník

a, b - nohy; c- hypotenzia; h c - výška ťahaná do strany c.

S = ch c S = ab

3. Rovnostranný trojuholník

Štvoruholníky

Vlastnosti rovnobežníka

· protiľahlé strany sú rovnaké;

· opačné uhly sú rovnaké;

· uhlopriečky sú rozdelené na polovicu priesečníkom;

· súčet uhlov susediacich s jednou stranou je 180°;

Súčet štvorcov uhlopriečok sa rovná súčtu štvorcov všetkých strán:

d12 + d22 = 2 (a2 + b2).

Štvoruholník je rovnobežník, ak:

1. Jeho dve protiľahlé strany sú rovnaké a rovnobežné.

2. Opačné strany párovo rovnaké.

3. Opačné uhly sú v pároch rovnaké.

4. Uhlopriečky sú rozdelené na polovicu priesečníkom.

Vlastnosti lichobežníka

· jeho stredná čiara je rovnobežná so základňami a rovná sa ich polovičnému súčtu;

· ak je lichobežník rovnoramenný, potom sú jeho uhlopriečky rovnaké a uhly na základni sú rovnaké;

· ak je lichobežník rovnoramenný, potom okolo neho možno opísať kruh;

· ak sa súčet základov rovná súčtu strán, potom doň možno vpísať kružnicu.

Vlastnosti obdĺžnika

Uhlopriečky sú rovnaké.

Rovnobežník je obdĺžnik, ak:

1. Jeden z jeho uhlov je rovný.

2. Jeho uhlopriečky sú rovnaké.

Vlastnosti kosoštvorca

· všetky vlastnosti rovnobežníka;

Uhlopriečky sú kolmé;

Uhlopriečky sú osy jeho uhlov.

1. Rovnobežník je kosoštvorec, ak:

2. Jeho dve susedné strany sú rovnaké.

3. Jeho uhlopriečky sú kolmé.

4. Jedna z uhlopriečok je osou jej uhla.

Vlastnosti štvorca

· všetky rohy štvorca sú pravé;

· uhlopriečky štvorca sú rovnaké, vzájomne kolmé, priesečník pretína a pretína rohy štvorca.

Obdĺžnik je štvorec, ak má nejaké vlastnosti kosoštvorca.

Základné vzorce

1. Akýkoľvek konvexný štvoruholník
d 1,d 2 - uhlopriečky; - uhol medzi nimi; S- námestie.

S = d 1 d 2 hriech