Pravý trojuholník je jednoduchý, ale pre matematiku mimoriadne dôležitý údaj. Znalosť jeho vlastností a schopnosť operovať so základnými parametrami pravouhlého trojuholníka vám umožní vyrovnať sa so školskými aj reálnymi problémami.

Geometria pravouhlého trojuholníka

Geometricky sú trojuholník tri body, ktoré neležia na tej istej priamke, ktoré sú spojené úsečkami. Pravouhlý trojuholník je útvar, ktorého dve strany zvierajú pravý uhol. Tieto strany sa nazývajú nohy trojuholníka a tretia, najdlhšia strana sa nazýva prepona. Vzťah medzi štvorcami nôh a preponou je stanovený Pytagorovou vetou - jednou zo základných teorém euklidovskej geometrie.

Vzťahy medzi preponou a nohami tiež položili základ pre celé odvetvie matematiky - trigonometriu. Pôvodne boli sínusy a kosínusy definované ako funkcie uhlov pravouhlého trojuholníka, no v ich modernom význame sa goniometrické funkcie rozšírili na celú číselnú os. Dnes sa trigonometria používa v mnohých oblastiach ľudskej činnosti: od astronómie a oceánografie po analýzu finančného trhu a vývoj počítačových hier.

Pravý trojuholník v realite

Samotný pravouhlý trojuholník sa v skutočnosti nachádza na každom rohu, doslova aj obrazne. Plochy štvorstenov a hranolov majú tvar pravouhlého trojuholníka, ktorý sa v skutočnosti mení na strojové súčiastky, keramické škridly alebo šikminy striech. Štvorec je nástroj na kreslenie, s ktorým sa človek prvýkrát stretne na hodine geometrie, má tvar pravouhlého trojuholníka a používa sa v dizajne, konštrukcii a stolárstve.

Obvod trojuholníka

Obvod je číselný odhad dĺžok všetkých strán plochého geometrického útvaru. Obvod n-uholníka sa zistí ako súčet dĺžok n strán. Na určenie obvodu pravouhlého trojuholníka použite jednoduchý vzorec:

a a b – nohy, c – prepona.

Ak chcete vypočítať obvod trojuholníka ručne, museli by ste zmerať všetky tri strany, vykonať ďalšie trigonometrické operácie alebo vykonať výpočty pomocou Pytagorovej vety. Pomocou online kalkulačky stačí zistiť nasledujúce dvojice premenných:

  • dve nohy;
  • noha a uhol;
  • prepona a uhol.

V školských úlohách alebo v praxi dostanete počiatočné údaje, takže kalkulačka vám umožní nájsť obvod so znalosťou rôznych párov parametrov. Okrem toho nástroj automaticky vypočíta všetky ostatné atribúty pravouhlého trojuholníka, teda dĺžky všetkých strán a veľkosti všetkých uhlov. Pozrime sa na pár príkladov.

Príklady zo života

Školská úloha

Povedzme, že v školskej úlohe dostanete pravouhlý trojuholník s dĺžkou strany 5 cm a priľahlým uhlom 60 stupňov. Musíte nájsť obvod geometrického útvaru. Online kalkulačku dopĺňa nákres zobrazujúci strany a uhly pravouhlého trojuholníka. Vidíme, že ak je rameno a = 5 cm, potom jeho susedný uhol je uhol beta. Toto je dôležitý bod, pretože ak použijete na výpočty uhol alfa, výsledok bude nesprávny. Tieto údaje zadáme do formulára a dostaneme odpoveď vo formulári:

Náš program nám okrem samotného obvodu určil aj hodnotu opačného uhla, ako aj dĺžku druhého ramena a prepony.

Aranžmán záhonov

Povedzme, že chcete urobiť plot pre záhon, ktorý má tvar pravouhlého trojuholníka. Aby ste to dosiahli, musíte poznať obvod postavy. Samozrejme, v skutočnosti môžete jednoducho merať všetky tri strany, ale je ľahké zjednodušiť svoju úlohu a zmerať iba dve nohy. Nech sú dlhé 8 a 15 metrov. Tieto údaje zadáme do formulára kalkulačky a dostaneme odpoveď:

Takže budete musieť kúpiť materiál na stavbu 40 metrov oplotenia. Naša kalkulačka vypočítala aj dĺžku prepony – 17 metrov. Čísla 8, 15 a 17 tvoria Pytagorovu trojicu - prirodzené čísla, ktoré spĺňajú podmienky Pytagorovej vety.

Záver

Pravouhlé trojuholníky sú široko používané v každodennom živote, takže určenie plochy alebo obvodu geometrického útvaru sa vám určite bude hodiť pri riešení školských úloh alebo každodenných záležitostí.

Jedným zo základných geometrických tvarov je trojuholník. Vzniká na priesečníku troch priamych segmentov. Tieto úsečky tvoria strany obrázku a ich priesečníky sa nazývajú vrcholy. Každý študent, ktorý študuje kurz geometrie, musí byť schopný nájsť obvod tohto útvaru. Získaná zručnosť bude užitočná pre mnohých v dospelom živote, napríklad bude užitočná pre študenta, inžiniera, staviteľa,

Existujú rôzne spôsoby, ako zistiť obvod trojuholníka. Výber vzorca, ktorý potrebujete, závisí od dostupných zdrojových údajov. Na zapísanie tejto hodnoty v matematickej terminológii sa používa špeciálna notácia - P. Uvažujme, čo je obvod, hlavné metódy jeho výpočtu pre trojuholníkové postavy rôznych typov.

Najjednoduchší spôsob, ako zistiť obvod postavy, je, ak máte údaje na všetkých stranách. V tomto prípade sa používa nasledujúci vzorec:

Písmeno „P“ označuje samotný obvod. Na druhej strane „a“, „b“ a „c“ sú dĺžky strán.

Keď poznáme veľkosť troch veličín, bude stačiť získať ich súčet, čo je obvod.

Alternatívna možnosť

V matematických úlohách sú všetky dané dĺžky málokedy známe. V takýchto prípadoch sa odporúča použiť alternatívny spôsob hľadania požadovanej hodnoty. Keď podmienky označujú dĺžku dvoch priamych čiar, ako aj uhol medzi nimi, výpočet sa vykoná hľadaním tretej. Ak chcete nájsť toto číslo, musíte nájsť druhú odmocninu pomocou vzorca:

.

Obvod na oboch stranách

Na výpočet obvodu nie je potrebné poznať všetky údaje geometrického útvaru. Zvážme metódy výpočtu na oboch stranách.

Rovnoramenný trojuholník

Rovnoramenný trojuholník je taký, v ktorom majú aspoň dve strany rovnakú dĺžku. Nazývajú sa bočné a tretia strana sa nazýva základňa. Rovnaké priame čiary tvoria vrcholový uhol. Zvláštnosťou rovnoramenného trojuholníka je prítomnosť jednej osi symetrie. Os je vertikálna čiara siahajúca od apikálneho uhla a končiaca v strede základne. Vo svojom jadre obsahuje os symetrie tieto pojmy:

  • os vrcholového uhla;
  • medián k základni;
  • výška trojuholníka;
  • stredová kolmica.

Na určenie obvodu rovnoramenného trojuholníkového útvaru použite vzorec.

V tomto prípade potrebujete poznať iba dve veličiny: základňu a dĺžku jednej strany. Označenie „2a“ znamená vynásobenie dĺžky strany 2. K výslednému číslu je potrebné pridať hodnotu základne - „b“.

Vo výnimočnom prípade, keď sa dĺžka základne rovnoramenného trojuholníka rovná jeho bočnej čiare, môžete použiť jednoduchšiu metódu. Vyjadruje sa v nasledujúcom vzorci:

Ak chcete získať výsledok, jednoducho vynásobte toto číslo tromi. Tento vzorec sa používa na nájdenie obvodu rovnostranného trojuholníka.

Užitočné video: problémy na obvode trojuholníka

Obdĺžnikový trojuholník

Hlavným rozdielom medzi pravouhlým trojuholníkom a inými geometrickými tvarmi v tejto kategórii je prítomnosť uhla 90°. Na základe tejto vlastnosti sa určuje typ postavy. Pred určením, ako nájsť obvod pravouhlého trojuholníka, stojí za zmienku, že táto hodnota pre akýkoľvek plochý geometrický útvar je súčtom všetkých strán. Takže v tomto prípade najjednoduchší spôsob, ako zistiť výsledok, je sčítať tri množstvá.

Vo vedeckej terminológii sa strany, ktoré susedia s pravým uhlom, nazývajú „nohy“ a strany protiľahlé k uhlu 90 ° sa nazývajú prepona. Rysy tejto postavy študoval starogrécky vedec Pythagoras. Podľa Pytagorovej vety sa druhá mocnina prepony rovná súčtu štvorcov nôh.

.

Na základe tejto vety je odvodený ďalší vzorec, ktorý vysvetľuje, ako nájsť obvod trojuholníka na základe dvoch známych strán. Obvod pre zadanú dĺžku nôh môžete vypočítať pomocou nasledujúcej metódy.

.

Ak chcete zistiť obvod, ak máte informácie o veľkosti jednej nohy a prepony, musíte určiť dĺžku druhej prepony. Na tento účel sa používajú nasledujúce vzorce:

.

Taktiež obvod opísaného typu postavy je určený bez údajov o rozmeroch nôh.

Budete potrebovať poznať dĺžku prepony, ako aj uhol, ktorý k nej prilieha. Pri znalosti dĺžky jednej z nôh, ak je k nej uhol, sa obvod obrázku vypočíta podľa vzorca:

.

Výpočet cez výšku

Obvod kategórií, ako sú rovnoramenné a pravouhlé trojuholníky, môžete vypočítať pomocou ich stredového indikátora. Ako viete, výška trojuholníka rozdeľuje jeho základňu na polovicu. Vytvára teda dva obdĺžnikové tvary. Ďalej sa požadovaný ukazovateľ vypočíta pomocou Pytagorovej vety. Vzorec bude vyzerať takto:

.

Ak poznáte výšku a polovicu základne, pomocou tejto metódy získate potrebné číslo bez hľadania zvyšku údajov o postave.

Užitočné video: nájdenie obvodu trojuholníka

Pravý trojuholník je špeciálny typ ľubovoľného trojuholníka. Ako každý iný trojuholník má tri strany, ale jeden z jeho uhlov musí mať 90 stupňov. Keď zistíte, že daný trojuholník je pravouhlý, môžete začať zisťovať jeho základné rozmery. Jednou z charakteristík pravouhlého trojuholníka je jeho obvod. Mnoho geometrických problémov sa venuje hľadaniu obvodu pravouhlého trojuholníka. Predtým, ako sa pozrieme na hlavné spôsoby, ako nájsť obvod pravouhlého trojuholníka, rád by som vám pripomenul, že obvod akéhokoľvek geometrického útvaru v rovine sa rovná súčtu dĺžok všetkých jeho strán. Pre všetky typy trojuholníkov možno toto tvrdenie zapísať ako nasledujúci výraz:


kde P je obvod trojuholníka;
a, b, c - strany trojuholníka.

V pravouhlom trojuholníku, ako je uvedené vyššie, je charakteristický znak vo forme jedného z uhlov 90 stupňov. Dve strany trojuholníka susediace s daným uhlom sa nazývajú nohy. Strana oproti pravému uhlu sa nazýva prepona.

Nezvyčajné vlastnosti pravouhlého trojuholníka objavil Pytagoras, ktorý zistil, že štvorec prepony pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov jeho nôh, čo možno zapísať ako výraz:

Pravý trojuholník je špeciálny typ ľubovoľného trojuholníka. Ako každý iný trojuholník má tri strany, ale jeden z jeho uhlov musí byť 90 stupňov. Keď zistíte, že daný trojuholník je pravouhlý, môžete začať zisťovať jeho základné rozmery. Jednou z charakteristík pravouhlého trojuholníka je jeho obvod. Mnoho geometrických problémov sa venuje hľadaniu obvodu pravouhlého trojuholníka.

kde P je obvod trojuholníka;

A, b, c - strany trojuholníka.

Na základe Pytagorovej vety bolo možné určiť obvod pravouhlého trojuholníka podľa jeho dvoch strán známej dĺžky. Ak sú známe dĺžky nôh, potom sa obvod trojuholníka určí nájdením hodnoty prepony pomocou vzorca:

Ak je známa iba jedna vetva a dĺžka prepony, potom sa obvod trojuholníka určí nájdením hodnoty chýbajúcej vetvy pomocou vzorca:

Ak je v pravouhlom trojuholníku známa iba dĺžka prepony c a jeden z ostrých uhlov α susediacich s ňou, potom možno obvod trojuholníka v tomto prípade určiť podľa vzorca:

V prípade, že podmienky problému špecifikujú dĺžku nohy a a hodnotu ostrého uhla α oproti nej, potom sa obvod pravouhlého trojuholníka v tomto prípade vypočíta podľa vzorca:

Ak je daná strana a so susedným uhlom β, potom možno obvod trojuholníka vypočítať na základe výrazu:

P = a + b + c, kde, povedzme,

P = v(a2 + b2) + a + b, alebo

P = v(c2 – b2) + b + c.

P = (1 + hriech? + cos?)*s.


P = a*(1/tg? + 1/sin? + 1)

P = a*(1/сtg? + 1/cos? + 1)

Ďalšie novinky k téme:


Ako zistiť obvod pravouhlého trojuholníka

Pravouhlý trojuholník je taký, v ktorom jeden z uhlov má 90 stupňov a ostatné dva sú ostré. Výpočet obvodu takéhoto trojuholníka bude závisieť od množstva údajov, ktoré sú o ňom známe.

V závislosti od prípadu znalosť dvoch z troch strán trojuholníka, ako aj jedného z jeho ostrých uhlov.

Odosielanie sponzorských článkov P&G na tému „Ako nájsť obvod pravouhlého trojuholníka“ Ako nájsť povrch pyramídy Ako nájsť obvod, ak je oblasť známa Ako nájsť obvod rovnostranného trojuholníka

Metóda 1. Ak sú známe všetky tri strany trojuholníka, potom bez ohľadu na to, či je trojuholník pravouhlý alebo nie, jeho obvod sa vypočíta takto:

P = a + b + c, kde, povedzme,

Metóda 2. Ak sú známe iba 2 strany v obdĺžniku, potom pomocou Pytagorovej vety možno obvod tohto trojuholníka vypočítať pomocou vzorca:

P = v(a2 + b2) + a + b, alebo

P = v(c2 – b2) + b + c.

Metóda 3. Nech je prepona c a ostrý uhol ?


P = (1 + hriech? + cos?)*s.

Metóda 4. Je dané, že v pravouhlom trojuholníku sa dĺžka jednej z nožičiek rovná a a oproti nej leží ostrý uhol?. Potom sa výpočet obvodu tohto trojuholníka vykoná podľa vzorca:

P = a*(1/tg? + 1/sin? + 1)

Metóda 5. Dajte nám vedieť stranu a a uhol, ktorý k nej prilieha?, potom sa obvod vypočíta takto:

P = a*(1/сtg? + 1/cos? + 1)

Ďalšie novinky k téme:

Plocha a obvod sú hlavné číselné charakteristiky akýchkoľvek geometrických tvarov. Zisťovanie týchto veličín je zjednodušené vďaka všeobecne uznávaným vzorcom, podľa ktorých je možné počítať aj jedno cez druhé s minimálnou alebo úplnou absenciou ďalších počiatočných údajov. Sponzor umiestnenia P&G

Rovnostranný trojuholník je spolu so štvorcom možno najjednoduchším a najsymetrickým útvarom v planimetrii. Samozrejme, všetky vzťahy, ktoré platia pre obyčajný trojuholník, platia aj pre rovnostranný trojuholník. Pre pravidelný trojuholník sú však všetky vzorce oveľa jednoduchšie. Vám

Obvod trojuholníka, ako každého iného plochého geometrického útvaru, je súčtom dĺžok segmentov, ktoré ho ohraničujú. Preto na výpočet dĺžky obvodu potrebujete poznať dĺžky jeho strán. Ale vzhľadom k tomu, že dĺžky strán v geometrických útvaroch sú spojené určitými vzťahmi s

Trojuholník sa považuje za pravouhlý, ak je jeden z jeho uhlov pravý. Strana trojuholníka oproti pravému uhlu sa nazýva prepona a ďalšie dve strany sa nazývajú nohy. Ak chcete zistiť dĺžky strán pravouhlého trojuholníka, môžete použiť niekoľko metód. Sponzor


Obvod akéhokoľvek geometrického útvaru vrátane trojuholníka sa rovná celkovej dĺžke hraníc tohto obrázku. Označuje sa veľkým latinským písmenom P a ľahko sa nájde pridaním dĺžok všetkých strán daného obrazca. Sponzorované spoločnosťou P&G Články na tému „Ako vypočítať obvod trojuholníka“

Trojuholník je mnohouholník, ktorý má tri strany a tri uhly. Ako vypočítať jeho obvod? Uverejnenie sponzora P&G Články na tému „Ako nájsť obvod trojuholníka“ Ako nájsť obvod trojuholníka daný súradnicami jeho vrcholov Ako nájsť obsah trojuholníka Ako zistiť dĺžku a šírku

Prepona je najdlhšia strana pravouhlého trojuholníka. Nachádza sa oproti pravému uhlu. Metóda na nájdenie prepony pravouhlého trojuholníka závisí od toho, aké počiatočné údaje máte. Sponzorované spoločnosťou P&G Články na tému „Ako nájsť preponu trojuholníka“ Ako

Pravý trojuholník je charakterizovaný určitými vzťahmi medzi uhlami a stranami. Keď poznáte hodnoty niektorých z nich, môžete vypočítať iné. Na tento účel sa používajú vzorce, ktoré sú založené na axiómach a teorémoch geometrie. Sponzor umiestnenia P&G Články na tému „Ako určiť


Zdalo by sa, že by to mohlo byť jednoduchšie ako výpočet plochy a obvodu trojuholníka – zmerajte strany, vložte čísla do vzorca – a je to. Ak si myslíte, že áno, potom ste zabudli, že na tieto účely neexistujú dva jednoduché vzorce, ale oveľa viac - pre každý typ trojuholníka existuje vlastný. Vám

Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho strán. Nájdenie obvodu trojuholníka sa často vyžaduje tak v úlohách elementárnej geometrie, ako aj v zložitejších úlohách. Pri ich riešení sa chýbajúce veličiny zisťujú z iných údajov. Odrážajú sa hlavné závislosti obvodu trojuholníka od jeho ostatných rozmerov

Obvod trojuholníka, ako pri každom obrázku, sa nazýva súčet dĺžok všetkých strán. Pomerne často táto hodnota pomáha nájsť oblasť alebo sa používa na výpočet iných parametrov obrázku.
Vzorec pre obvod trojuholníka vyzerá takto:

Príklad výpočtu obvodu trojuholníka. Nech je daný trojuholník so stranami a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm Dosaďte údaje do vzorca: cm

Vzorec na výpočet obvodu rovnoramenný trojuholník bude vyzerať takto:

Vzorec na výpočet obvodu rovnostranný trojuholník:

Príklad výpočtu obvodu rovnostranného trojuholníka. Keď sú všetky strany obrázku rovnaké, možno ich jednoducho vynásobiť tromi. Predpokladajme, že máme pravidelný trojuholník so stranou 5 cm v tomto prípade: cm

Vo všeobecnosti, keď sú uvedené všetky strany, nájdenie obvodu je celkom jednoduché. V iných situáciách musíte nájsť veľkosť chýbajúcej strany. V pravouhlom trojuholníku nájdete tretiu stranu vedľa Pytagorova veta. Napríklad, ak sú známe dĺžky nôh, potom môžete nájsť preponu pomocou vzorca:

Uvažujme o príklade výpočtu obvodu rovnoramenného trojuholníka za predpokladu, že poznáme dĺžku nôh v pravouhlom rovnoramennom trojuholníku.
Je daný trojuholník s nohami a =b = 5 cm. Najprv nájdime chýbajúcu stranu c. cm
Teraz vypočítajme obvod: cm
Obvod pravouhlého rovnoramenného trojuholníka bude 17 cm.

V prípade, že je známa prepona a dĺžka jednej nohy, chýbajúcu preponu nájdete pomocou vzorca:
Ak je prepona a jeden z ostrých uhlov známy v pravouhlom trojuholníku, potom sa chýbajúca strana nájde pomocou vzorca.