Diferenciálne rovnice- odvetvie matematiky, ktoré študuje teóriu a metódy riešenia rovníc obsahujúcich požadovanú funkciu a jej derivácie rôznych rádov jedného argumentu (obyčajný diferenciál) alebo viacerých argumentov (parciálne diferenciálne rovnice). Diferenciálne rovnice sú v praxi široko používané, najmä na opis prechodných procesov.

Teória diferenciálnych rovníc- odbor matematiky, ktorý sa zaoberá štúdiom diferenciálnych rovníc a príbuzných problémov. Ich výsledky sa využívajú v mnohých prírodných vedách, najmä vo fyzike.

Jednoducho povedané, Diferenciálnej rovnice je rovnica, v ktorej je neznáma veličina určitou funkciou, pričom samotná rovnica zahŕňa nielen neznámu funkciu, ale aj jej rôzne derivácie. Diferenciálna rovnica popisuje vzťah medzi neznámou funkciou a jej deriváciami. Takéto spojenia sa hľadajú v rôznych oblastiach poznania: mechanika, fyzika, chémia, biológia, ekonómia atď.

Existujú obyčajné diferenciálne rovnice a parciálne diferenciálne rovnice. Integro-diferenciálne rovnice sú zložitejšie.

Najprv vznikli diferenciálne rovnice z problémov v mechanike, ktoré zahŕňali súradnice telies, ich rýchlosti a zrýchlenia, považované za funkcie času.

Diferenciálna rovnica sa nazýva integrovateľné v kvadratúrach, ak sa úloha nájsť všetky súvislosti dá zredukovať na výpočet konečného počtu integrálov známych funkcií a jednoduchých algebraických operácií.

Príbeh

Leonard Euler

Joseph-Louis Lagrange

Pierre-Simon Laplace

Jozef Liouville

Henri Poincaré

Diferenciálne rovnice vynašiel Newton (1642-1727). Newton považoval tento vynález za taký dôležitý, že ho zašifroval do podoby anagramu, ktorého význam v moderných podmienkach možno voľne vyjadriť takto: „zákony prírody sú vyjadrené diferenciálnymi rovnicami“.

Newtonovým hlavným analytickým úspechom bolo rozšírenie všetkých druhov funkcií do mocninných radov (význam Newtonovho druhého dlhého anagramu je ten, že na vyriešenie akejkoľvek rovnice je potrebné do rovnice nahradiť rad a prirovnať členy rovnakého stupňa). Mimoriadny význam tu mal Newtonov binomický vzorec, ktorý objavil (samozrejme, nielen s celočíselnými exponentmi, pre ktorý vzorec poznal napríklad Viète (1540-1603), ale predovšetkým aj so zlomkovými a zápornými exponentmi. ). Newton rozšíril všetky základné elementárne funkcie do „Taylorových radov.“ To mu spolu s primitívnou tabuľkou, ktorú zostavil (ktorá prešla takmer bez zmeny do moderných analytických učebníc), umožnilo, podľa jeho slov, porovnať plochy ľubovoľných útvarov „na polovicu“. štvrťhodinu."

Newton poukázal na to, že koeficienty jeho radu sú úmerné postupným deriváciám funkcie, ale nezaoberal sa tým podrobne, pretože správne veril, že je pohodlnejšie vykonávať všetky výpočty v analýze bez použitia viacnásobnej diferenciácie, ale výpočtom prvých členov série. Pre Newtona bolo spojenie medzi koeficientmi radu a deriváciami skôr prostriedkom na výpočet derivácií ako prostriedkom na skladanie radu. Jedným z najdôležitejších Newtonových úspechov je jeho teória slnečnej sústavy, uvedená v "Matematických princípoch prírodnej filozofie" ("Principia") bez pomoci matematickej analýzy. Všeobecne sa verí, že Newton prostredníctvom svojej analýzy objavil zákon univerzálnej gravitácie. V skutočnosti Newton (1680) iba dokázal elipticitu obežných dráh v atraktívnom poli podľa zákona o inverznom štvorci: samotný tento zákon naznačil Newtonovi Hooke (1635-1703) a možno ho uhádli niekoľkí ďalší vedci.

Z obrovského množstva prác 18. storočia o diferenciálnych rovniciach vynikajú práce Eulera (1707-1783) a Lagrangea (1736-1813). V týchto prácach sa najskôr rozvinula teória malých kmitov, a teda teória lineárnych systémov diferenciálnych rovníc; Popri tom vznikli základné pojmy lineárnej algebry (vlastné hodnoty a vektory v n-rozmernom prípade). Charakteristická rovnica lineárneho operátora sa už dlho nazýva sekulárna, pretože z takej rovnice sa sekulárne (vekové, t. j. pomalé v porovnaní s ročným pohybom) poruchy planétových dráh určujú podľa Lagrangeovej teórie malých kmitov. Po Newtonovi, Laplaceovi a Lagrangeovi a neskôr Gaussovi (1777-1855) vyvinuli aj metódy perturbačnej teórie.

Keď sa dokázala neriešiteľnosť algebraických rovníc v radikáloch, Joseph Liouville (1809-1882) skonštruoval podobnú teóriu pre diferenciálne rovnice, čím stanovil nemožnosť riešiť množstvo rovníc (najmä tých klasických, ako sú lineárne rovnice druhého rádu) v elementárnych funkcie a kvadratúry. Neskôr Sophus Lie (1842-1899), ktorý analyzoval otázku integrácie rovníc v kvadratúrach, dospel k potrebe podrobne študovať skupiny difeomorfizmov (ktoré neskôr dostali názov Lieove grupy) - teda v teórii diferenciálnych rovníc jeden vznikla z najplodnejších oblastí modernej matematiky, ktorej ďalší rozvoj úzko súvisí s úplne inými otázkami (Lie algebrami sa zaoberali ešte skôr Simeon-Denis Poisson (1781-1840) a najmä Carl Gustav Jacobi (1804). -1851)).

Nová etapa vo vývoji teórie diferenciálnych rovníc sa začína prácou Henriho Poincarého (1854-1912), „kvalitatívnou teóriou diferenciálnych rovníc“, ktorú vytvoril, spolu s teóriou funkcií komplexných premenných viedla k založeniu tzv. modernej topológie. Najaktívnejšie sa v súčasnosti rozvíja kvalitatívna teória diferenciálnych rovníc alebo, ako sa teraz častejšie nazýva, teória dynamických systémov a má najdôležitejšie aplikácie teórie diferenciálnych rovníc v prírodných vedách.

Obyčajné diferenciálne rovnice

Obyčajné diferenciálne rovnice- to sú rovnice tvaru F (t, X, X ", X "",..., X(n)) = 0 , Kde X = X (t) - neznáma funkcia (prípadne vektorová funkcia; v tomto prípade sa často hovorí o systéme diferenciálnych rovníc), v závislosti od časovej premennej t, prvočíslo znamená diferenciáciu vzhľadom na t. číslo n sa nazýva rád diferenciálnej rovnice.

Riešenie (alebo riešenie) diferenciálnej rovnice je funkcia, ktorá je n-krát diferencovaná a spĺňa rovnicu vo všetkých bodoch svojej definičnej oblasti. Zvyčajne existuje celý rad takýchto funkcií a na výber jedného z výsledkov musíte naň uložiť ďalšie podmienky: napríklad vyžadovať, aby rozhodnutie nadobudlo určitú hodnotu v určitom bode.

Hlavné problémy a výsledky teórie diferenciálnych rovníc: existencia a jednoznačnosť riešení rôznych problémov pre ODR, metódy riešenia jednoduchých ODR, kvalitatívne štúdium riešení ODR bez nájdenia ich explicitnej formy.

Parciálne diferenciálne rovnice

Parciálne diferenciálne rovnice sú rovnice obsahujúce neznáme funkcie viacerých premenných a ich parciálne derivácie.

Všeobecná forma takýchto rovníc môže byť reprezentovaná ako:

,

kde sú nezávislé premenné a je funkciou týchto premenných.

Nelineárne diferenciálne rovnice

Nelineárne diferenciálne rovnice sú oblasťou matematiky, ktorá študuje teóriu a metódy riešenia nelineárnych rovníc obsahujúcich požadovanú funkciu a jej derivácie rôznych rádov jedného argumentu (obyčajné nelineárne diferenciálne rovnice) alebo viacerých argumentov (nelineárne parciálne diferenciálne rovnice). Diferenciálne rovnice sú v praxi široko používané, najmä na opis prechodných procesov.

Teória nelineárnych diferenciálnych rovníc je odvetvie matematiky, ktoré sa zaoberá štúdiom diferenciálnych rovníc a súvisiacimi problémami. Ich výsledky sa využívajú v mnohých prírodných vedách: mechanika, fyzika, termoelasticita, optika.

Nelineárna diferenciálna rovnica je rovnica, v ktorej je neznáma veličina funkciou. Samotná diferenciálna rovnica zahŕňa nielen neznámu funkciu, ale aj jej rôzne derivácie v nelineárnej forme. Nelineárna diferenciálna rovnica popisuje vzťah medzi neznámou funkciou a jej deriváciami. Takéto spojenia sa hľadajú v rôznych oblastiach poznania: mechanika, fyzika, chémia, biológia, ekonómia atď.

Existujú obyčajné nelineárne diferenciálne rovnice a nelineárne parciálne diferenciálne rovnice.

Nelineárne diferenciálne rovnice vznikli z problémov nelineárnej mechaniky, ktoré zahŕňali súradnice telies, ich rýchlosti a zrýchlenia, považované za funkcie času.

Príklady

  • Druhý Newtonov zákon možno zapísať vo forme diferenciálnej rovnice
,

Kde m- telesná hmotnosť, X- jeho súradnice, F (X, t) - sila pôsobiaca na teleso so súradnicou X v určitom časovom bode t. Jeho riešením je dráha telesa pri pôsobení zadanej sily.

  • Vibrácia struny je daná rovnicou
,

Kde u = u (X, t) - vychýlenie struny v bode so súradnicou X v určitom časovom bode t, parameter a určuje vlastnosti reťazca.


V niektorých problémoch fyziky nie je možné stanoviť priamu súvislosť medzi veličinami popisujúcimi proces. Je však možné získať rovnosť obsahujúcu deriváty skúmaných funkcií. Takto vznikajú diferenciálne rovnice a potreba ich riešenia nájsť neznámu funkciu.

Tento článok je určený pre tých, ktorí stoja pred problémom riešenia diferenciálnej rovnice, v ktorej je neznáma funkcia funkciou jednej premennej. Teória je štruktúrovaná tak, že s nulovými znalosťami diferenciálnych rovníc si dokážete poradiť so svojou úlohou.

Každý typ diferenciálnej rovnice je spojený s metódou riešenia s podrobným vysvetlením a riešením typických príkladov a problémov. Jediné, čo musíte urobiť, je určiť typ diferenciálnej rovnice vášho problému, nájsť podobný analyzovaný príklad a vykonať podobné akcie.

Na úspešné riešenie diferenciálnych rovníc budete potrebovať aj schopnosť nájsť množiny primitívnych integrálov (neurčité integrály) rôznych funkcií. V prípade potreby vám odporúčame pozrieť si časť.

Najprv zvážime typy obyčajných diferenciálnych rovníc prvého rádu, ktoré je možné vyriešiť vzhľadom na deriváciu, potom prejdeme k ODR druhého rádu, potom sa budeme venovať rovniciam vyššieho rádu a skončíme systémami diferenciálne rovnice.

Pripomeňme si, že ak y je funkciou argumentu x.

Diferenciálne rovnice prvého rádu.

    Najjednoduchšie diferenciálne rovnice prvého poriadku tvaru.

    Poďme si napísať pár príkladov takéhoto diaľkového ovládania .

    Diferenciálne rovnice možno vyriešiť vzhľadom na deriváciu vydelením oboch strán rovnosti f(x) . V tomto prípade dospejeme k rovnici, ktorá bude ekvivalentná tej pôvodnej pre f(x) ≠ 0. Príklady takýchto ODR sú .

    Ak existujú hodnoty argumentu x, pri ktorých funkcie f(x) a g(x) súčasne zanikajú, objavia sa ďalšie riešenia. Dodatočné riešenia rovnice dané x sú ľubovoľné funkcie definované pre tieto hodnoty argumentov. Príklady takýchto diferenciálnych rovníc zahŕňajú:

Diferenciálne rovnice druhého rádu.

    Lineárne homogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi.

    LDE s konštantnými koeficientmi je veľmi bežným typom diferenciálnej rovnice. Ich riešenie nie je nijak zvlášť náročné. Najprv sa nájdu korene charakteristickej rovnice . Pre rôzne p a q sú možné tri prípady: korene charakteristickej rovnice môžu byť skutočné a rôzne, skutočné a zhodné alebo komplexné konjugáty. V závislosti od hodnôt koreňov charakteristickej rovnice je všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice napísané ako , alebo , resp.

    Uvažujme napríklad lineárnu homogénnu diferenciálnu rovnicu druhého rádu s konštantnými koeficientmi. Korene jeho charakteristickej rovnice sú k 1 = -3 a k 2 = 0. Korene sú skutočné a rôzne, preto všeobecné riešenie LODE s konštantnými koeficientmi má tvar

    Lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi.

    Všeobecné riešenie LDDE druhého rádu s konštantnými koeficientmi y sa hľadá v tvare súčtu všeobecného riešenia zodpovedajúcej LDDE. a konkrétne riešenie pôvodnej nehomogénnej rovnice, teda . Predchádzajúci odsek je venovaný hľadaniu všeobecného riešenia homogénnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientmi. A konkrétne riešenie je určené buď metódou neurčitých koeficientov pre určitý tvar funkcie f(x) na pravej strane pôvodnej rovnice, alebo metódou variácie ľubovoľných konštánt.

    Ako príklady LDDE druhého rádu s konštantnými koeficientmi uvádzame

    Pre pochopenie teórie a zoznámenie sa s podrobnými riešeniami príkladov vám na stránke ponúkame lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi.

    Lineárne homogénne diferenciálne rovnice (LODE) a lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice (LNDE) druhého rádu.

    Špeciálnym prípadom diferenciálnych rovníc tohto typu sú LODE a LDDE s konštantnými koeficientmi.

    Všeobecné riešenie LODE na určitom segmente je reprezentované lineárnou kombináciou dvoch lineárne nezávislých čiastočných riešení y 1 a y 2 tejto rovnice, tj. .

    Hlavný problém spočíva práve v hľadaní lineárne nezávislých čiastkových riešení diferenciálnej rovnice tohto typu. Typicky sa konkrétne riešenia vyberajú z nasledujúcich systémov lineárne nezávislých funkcií:

    Konkrétne riešenia však nie sú vždy prezentované v tejto forme.

    Príkladom LOD je .

    Všeobecné riešenie LDDE sa hľadá v tvare , kde je všeobecné riešenie zodpovedajúcej LDDE a je partikulárnym riešením pôvodnej diferenciálnej rovnice. Práve sme hovorili o jej nájdení, ale dá sa určiť pomocou metódy variácie ľubovoľných konštánt.

    Môže byť uvedený príklad LNDU .

Diferenciálne rovnice vyšších rádov.

    Diferenciálne rovnice, ktoré umožňujú redukciu poriadku.

    Poradie diferenciálnej rovnice , ktorá neobsahuje požadovanú funkciu a jej derivácie do k-1 rádu, možno redukovať na n-k nahradením .

    V tomto prípade sa pôvodná diferenciálna rovnica zredukuje na . Po nájdení jeho riešenia p(x) zostáva vrátiť sa k náhrade a určiť neznámu funkciu y.

    Napríklad diferenciálna rovnica po nahradení sa stane rovnicou s oddeliteľnými premennými a jej poradie sa zníži z tretieho na prvé.

Často už len zmienka o diferenciálnych rovniciach vyvoláva u žiakov nepríjemný pocit. Prečo sa to deje? Najčastejšie preto, že pri štúdiu základov materiálu vzniká medzera vo vedomostiach, vďaka ktorej sa ďalšie štúdium difurov stáva jednoducho mučením. Nie je jasné, čo robiť, ako sa rozhodnúť, kde začať?

Pokúsime sa vám však ukázať, že difury nie sú také ťažké, ako sa zdá.

Základné pojmy z teórie diferenciálnych rovníc

Zo školy poznáme najjednoduchšie rovnice, v ktorých potrebujeme nájsť neznáme x. v skutočnosti diferenciálne rovnice len mierne odlišné od nich - namiesto premennej X musíte v nich nájsť funkciu y(x) , čo zmení rovnicu na identitu.

Diferenciálne rovnice majú veľký praktický význam. Toto nie je abstraktná matematika, ktorá nemá žiadny vzťah k svetu okolo nás. Mnoho skutočných prírodných procesov je popísaných pomocou diferenciálnych rovníc. Napríklad vibrácie struny, pohyb harmonického oscilátora pomocou diferenciálnych rovníc v úlohách mechaniky zistia rýchlosť a zrýchlenie telesa. Tiež DU sú široko používané v biológii, chémii, ekonómii a mnohých ďalších vedách.

Diferenciálnej rovnice (DU) je rovnica obsahujúca derivácie funkcie y(x), samotnej funkcie, nezávisle premenné a ďalšie parametre v rôznych kombináciách.

Existuje mnoho typov diferenciálnych rovníc: obyčajné diferenciálne rovnice, lineárne a nelineárne, homogénne a nehomogénne, diferenciálne rovnice prvého a vyššieho rádu, parciálne diferenciálne rovnice atď.

Riešením diferenciálnej rovnice je funkcia, ktorá ju mení na identitu. Existujú všeobecné a špeciálne riešenia diaľkového ovládania.

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice je všeobecný súbor riešení, ktoré transformujú rovnicu na identitu. Čiastočné riešenie diferenciálnej rovnice je riešenie, ktoré spĺňa dodatočné podmienky špecifikované na začiatku.

Poradie diferenciálnej rovnice je určené najvyšším rádom jej derivácií.


Obyčajné diferenciálne rovnice

Obyčajné diferenciálne rovnice sú rovnice obsahujúce jednu nezávislú premennú.

Zoberme si najjednoduchšiu obyčajnú diferenciálnu rovnicu prvého rádu. Vyzerá to ako:

Takáto rovnica sa dá vyriešiť jednoducho integráciou jej pravej strany.

Príklady takýchto rovníc:

Oddeliteľné rovnice

Vo všeobecnosti tento typ rovnice vyzerá takto:

Tu je príklad:

Pri riešení takejto rovnice musíte oddeliť premenné a uviesť ich do tvaru:

Potom zostáva integrovať obe časti a získať riešenie.


Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu

Takéto rovnice vyzerajú takto:

Tu p(x) a q(x) sú niektoré funkcie nezávislej premennej a y=y(x) je požadovaná funkcia. Tu je príklad takejto rovnice:

Pri riešení takejto rovnice najčastejšie využívajú metódu variácie ľubovoľnej konštanty alebo reprezentujú požadovanú funkciu ako súčin dvoch ďalších funkcií y(x)=u(x)v(x).

Na vyriešenie takýchto rovníc je potrebná určitá príprava a bude dosť ťažké vziať ich „na prvý pohľad“.

Príklad riešenia diferenciálnej rovnice so separovateľnými premennými

Pozreli sme sa teda na najjednoduchšie typy diaľkového ovládania. Teraz sa pozrime na riešenie jedného z nich. Nech je to rovnica s oddeliteľnými premennými.

Najprv prepíšme derivát do známejšieho tvaru:

Potom rozdelíme premenné, to znamená, že v jednej časti rovnice zhromažďujeme všetky „ja“ a v druhej – „X“:

Teraz zostáva integrovať obe časti:

Integrujeme a získame všeobecné riešenie tejto rovnice:

Samozrejme, riešenie diferenciálnych rovníc je istý druh umenia. Musíte byť schopní pochopiť, o aký typ rovnice ide, a tiež sa naučiť vidieť, aké transformácie s ňou treba urobiť, aby viedli k tej či onej forme, nehovoriac len o schopnosti rozlišovať a integrovať. A aby ste uspeli pri riešení DE, potrebujete prax (ako vo všetkom). A ak momentálne nemáte čas pochopiť, ako sa riešia diferenciálne rovnice, alebo vám Cauchyho problém uviazol ako kosť v krku, alebo neviete, ako správne pripraviť prezentáciu, kontaktujte našich autorov. V krátkom čase vám poskytneme hotové a podrobné riešenie, ktorého detailom môžete kedykoľvek porozumieť. Medzitým vám odporúčame pozrieť si video na tému „Ako riešiť diferenciálne rovnice“:

Obsah článku

DIFERENCIÁLNE ROVNICE. Mnohé fyzikálne zákony, ktorými sa riadia určité javy, sú zapísané vo forme matematickej rovnice, ktorá vyjadruje určitý vzťah medzi určitými veličinami. Často hovoríme o vzťahu medzi veličinami, ktoré sa menia v čase, napríklad účinnosť motora, meraná vzdialenosťou, ktorú môže auto prejsť na jeden liter paliva, závisí od rýchlosti auta. Zodpovedajúca rovnica obsahuje jednu alebo viac funkcií a ich derivácií a nazýva sa diferenciálna rovnica. (Rýchlosť zmeny vzdialenosti v priebehu času je určená rýchlosťou; preto je rýchlosť deriváciou vzdialenosti; podobne aj zrýchlenie je deriváciou rýchlosti, pretože zrýchlenie určuje rýchlosť zmeny rýchlosti v čase.) Veľký význam tohto rozdielu rovnice pre matematiku a najmä pre jej aplikácie sa vysvetľujú skutočnosťou, že štúdium mnohých fyzikálnych a technických problémov vedie k riešeniu takýchto rovníc. Diferenciálne rovnice zohrávajú významnú úlohu aj v iných vedách, ako je biológia, ekonómia a elektrotechnika; v skutočnosti vznikajú všade tam, kde je potrebný kvantitatívny (číselný) popis javov (pokiaľ sa okolitý svet v čase mení a podmienky sa menia z jedného miesta na druhé).

Príklady.

Nasledujúce príklady poskytujú lepšie pochopenie toho, ako sú rôzne problémy formulované v jazyku diferenciálnych rovníc.

1) Zákonom rozpadu niektorých rádioaktívnych látok je, že rýchlosť rozpadu je úmerná dostupnému množstvu tejto látky. Ak X– množstvo látky v určitom časovom bode t, potom tento zákon môže byť napísaný takto:

Kde dx/dt je miera rozpadu a k– nejaká pozitívna konštanta charakterizujúca danú látku. (Znamienko mínus na pravej strane to naznačuje Xčasom klesá; znamienko plus, vždy implicitné, keď znamienko nie je výslovne uvedené, by to znamenalo X sa časom zvyšuje.)

2) Nádoba obsahuje na začiatku 10 kg soli rozpustenej v 100 m 3 vody. Ak sa čistá voda naleje do nádoby rýchlosťou 1 m 3 za minútu a rovnomerne sa zmieša s roztokom a výsledný roztok vyteká z nádoby rovnakou rýchlosťou, koľko soli bude v nádobe v každom nasledujúcom čas? Ak X– množstvo soli (v kg) v nádobe naraz t, potom kedykoľvek t 1 m 3 roztoku v nádobe obsahuje X/100 kg soli; preto množstvo soli klesá rýchlosťou X/100 kg/min, príp

3) Nech sú na tele hmoty m zavesené na konci pružiny pôsobí vratná sila úmerná veľkosti napätia v pružine. Nechaj X– veľkosť vychýlenia telesa z rovnovážnej polohy. Potom, podľa druhého Newtonovho zákona, ktorý uvádza, že zrýchlenie (druhá derivácia X podľa času, určeného d 2 X/dt 2) úmerné sile:

Pravá strana má znamienko mínus, pretože vratná sila znižuje natiahnutie pružiny.

4) Zákon o ochladzovaní telies hovorí, že množstvo tepla v telese klesá úmerne s rozdielom teplôt medzi telesom a prostredím. Ak je šálka kávy zohriata na teplotu 90 °C v miestnosti, kde je teplota 20 °C, potom

Kde T– teplota kávy v čase t.

5) Minister zahraničných vecí štátu Blefuscu tvrdí, že zbrojný program prijatý Lilliputom núti jeho krajinu čo najviac zvýšiť vojenské výdavky. Podobne sa vyjadruje aj minister zahraničných vecí Lilliputu. Výslednú situáciu (v jej najjednoduchšej interpretácii) možno presne opísať dvoma diferenciálnymi rovnicami. Nechaj X A r- výdavky na zbrojenie Lilliputa a Blefusca. Za predpokladu, že Lilliput zvyšuje svoje výdavky na zbrojenie v pomere úmernom miere rastu výdavkov na zbrojenie Blefuscu a naopak, dostaneme:

kde sú členovia sekera a - podľa opísať vojenské výdavky každej krajiny, k A l sú kladné konštanty. (Tento problém prvýkrát takto formuloval v roku 1939 L. Richardson.)

Po napísaní úlohy v jazyku diferenciálnych rovníc by ste sa ich mali pokúsiť vyriešiť, t.j. nájdite veličiny, ktorých rýchlosti zmeny sú zahrnuté v rovniciach. Niekedy sa riešenia nachádzajú vo forme explicitných vzorcov, ale častejšie môžu byť prezentované iba v približnej forme alebo o nich možno získať kvalitatívne informácie. Často môže byť ťažké určiť, či riešenie vôbec existuje, nieto ho nájsť. Dôležitú časť teórie diferenciálnych rovníc tvoria takzvané „existenčné teorémy“, v ktorých sa dokazuje existencia riešenia pre ten či onen typ diferenciálnej rovnice.

Pôvodná matematická formulácia fyzikálneho problému zvyčajne obsahuje zjednodušujúce predpoklady; kritériom ich primeranosti môže byť stupeň konzistentnosti matematického riešenia s dostupnými pozorovaniami.

Riešenia diferenciálnych rovníc.

Napríklad diferenciálna rovnica D Y/dx = X/r, je splnená nie číslom, ale funkciou, v tomto konkrétnom prípade takou, že jej graf má v ktoromkoľvek bode, napríklad v bode so súradnicami (2,3), dotyčnicu s uhlovým koeficientom rovným pomeru súradnice (v našom príklade 2/3). Je ľahké to overiť, ak zostrojíte veľký počet bodov a z každého nakreslíte krátky segment so zodpovedajúcim sklonom. Riešením bude funkcia, ktorej graf sa dotýka každého jej bodu príslušného segmentu. Ak je dostatok bodov a segmentov, potom môžeme približne načrtnúť priebeh kriviek riešenia (na obr. 1 sú tri takéto krivky). Každým bodom prechádza práve jedna krivka riešenia rč. 0. Každé jednotlivé riešenie sa nazýva čiastočné riešenie diferenciálnej rovnice; ak je možné nájsť vzorec obsahujúci všetky konkrétne riešenia (možno s výnimkou niekoľkých špeciálnych), potom hovoria, že sa získalo všeobecné riešenie. Konkrétne riešenie predstavuje jednu funkciu, zatiaľ čo všeobecné riešenie predstavuje celú skupinu z nich. Riešenie diferenciálnej rovnice znamená nájsť buď jej konkrétne alebo všeobecné riešenie. V príklade, ktorý uvažujeme, má všeobecné riešenie tvar r 2 – X 2 = c, Kde c- ľubovoľné číslo; konkrétne riešenie prechádzajúce bodom (1,1) má tvar r = X a ukáže sa, kedy c= 0; konkrétne riešenie prechádzajúce bodom (2,1) má tvar r 2 – X 2 = 3. Podmienka vyžadujúca, aby krivka riešenia prešla napríklad bodom (2,1), sa nazýva počiatočná podmienka (keďže špecifikuje počiatočný bod krivky riešenia).

Dá sa ukázať, že v príklade (1) má všeobecné riešenie tvar X = ce –kt, Kde c– konštanta, ktorú možno určiť napríklad uvedením látkového množstva pri t= 0. Rovnica z príkladu (2) je špeciálnym prípadom rovnice z príkladu (1), zodpovedajúca k= 1/100. Počiatočný stav X= 10 at t= 0 dáva konkrétne riešenie X = 10e –t/100 . Rovnica z príkladu (4) má všeobecné riešenie T = 70 + ce –kt a súkromné ​​riešenie 70 + 130 – kt; na určenie hodnoty k, sú potrebné ďalšie údaje.

Diferenciálnej rovnice D Y/dx = X/r sa nazýva rovnica prvého rádu, pretože obsahuje prvú deriváciu (za rád diferenciálnej rovnice sa zvyčajne považuje rád najvyššej derivácie, ktorá je v nej zahrnutá). Pre väčšinu (aj keď nie všetky) diferenciálne rovnice prvého druhu, ktoré vznikajú v praxi, prechádza každým bodom iba jedna krivka riešenia.

Existuje niekoľko dôležitých typov diferenciálnych rovníc prvého rádu, ktoré je možné riešiť vo forme vzorcov obsahujúcich iba elementárne funkcie - mocniny, exponenty, logaritmy, sínusy a kosínusy atď. Takéto rovnice zahŕňajú nasledujúce.

Rovnice s oddeliteľnými premennými.

Rovnice formulára D Y/dx = f(X)/g(r) sa dá vyriešiť zápisom do diferenciálov g(r)D Y = f(X)dx a integráciou oboch častí. V najhoršom prípade môže byť riešenie reprezentované vo forme integrálov známych funkcií. Napríklad v prípade rovnice D Y/dx = X/r máme f(X) = X, g(r) = r. Zapísaním do formulára ydy = xdx a integráciou, dostaneme r 2 = X 2 + c. Rovnice s oddeliteľnými premennými zahŕňajú rovnice z príkladov (1), (2), (4) (možno ich vyriešiť vyššie opísaným spôsobom).

Rovnice v totálnych diferenciáloch.

Ak má diferenciálna rovnica tvar D Y/dx = M(X,r)/N(X,r), Kde M A N sú dve dané funkcie, potom to môže byť reprezentované ako M(X,r)dx – N(X,r)D Y= 0. Ak je ľavá strana diferenciálom nejakej funkcie F(X,r), potom diferenciálnu rovnicu možno zapísať ako dF(X,r) = 0, čo je ekvivalentné s rovnicou F(X,r) = konšt. Krivky riešenia rovnice sú teda „čiary konštantných úrovní“ funkcie alebo miesta bodov, ktoré spĺňajú rovnice. F(X,r) = c. Rovnica ydy = xdx(obr. 1) - s oddeliteľnými premennými, a to isté - v totálnych diferenciáloch: aby sme sa uistili, že to druhé, zapíšeme to v tvare ydy – xdx= 0, t.j. d(r 2 – X 2) = 0. Funkcia F(X,r) v tomto prípade sa rovná (1/2)( r 2 – X 2); Niektoré z jeho čiar konštantnej hladiny sú znázornené na obr. 1.

Lineárne rovnice.

Lineárne rovnice sú rovnice „prvého stupňa“ - neznáma funkcia a jej deriváty sa v takýchto rovniciach vyskytujú iba v prvom stupni. Lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu má teda tvar D Y/dx + p(X) = q(X), Kde p(X) A q(X) – funkcie, ktoré závisia len od X. Jeho riešenie možno vždy zapísať pomocou integrálov známych funkcií. Mnoho ďalších typov diferenciálnych rovníc prvého rádu sa rieši pomocou špeciálnych techník.

Rovnice vyššieho rádu.

Mnohé diferenciálne rovnice, s ktorými sa fyzici stretávajú, sú rovnice druhého rádu (t. j. rovnice obsahujúce druhé derivácie). Takou je napríklad rovnica jednoduchého harmonického pohybu z príkladu (3), md 2 X/dt 2 = –kx. Vo všeobecnosti môžeme očakávať, že rovnica druhého rádu má čiastočné riešenia, ktoré spĺňajú dve podmienky; napríklad sa môže vyžadovať, aby krivka roztoku prechádzala daným bodom v danom smere. V prípadoch, keď diferenciálna rovnica obsahuje určitý parameter (číslo, ktorého hodnota závisí od okolností), riešenia požadovaného typu existujú iba pre určité hodnoty tohto parametra. Zvážte napríklad rovnicu md 2 X/dt 2 = –kx a budeme to požadovať r(0) = r(1) = 0. Funkcia rє 0 je samozrejme riešenie, ale ak je to celý násobok p, t.j. k = m 2 n 2 p 2, kde n je celé číslo, ale v skutočnosti iba v tomto prípade existujú iné riešenia, a to: r= hriech npx. Hodnoty parametrov, pre ktoré má rovnica špeciálne riešenia, sa nazývajú charakteristické alebo vlastné hodnoty; zohrávajú dôležitú úlohu pri mnohých úlohách.

Rovnica jednoduchého harmonického pohybu je príkladom dôležitej triedy rovníc, a to lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi. Všeobecnejším príkladom (tiež druhého rádu) je rovnica

Kde a A b- dané konštanty, f(X) je daná funkcia. Takéto rovnice je možné riešiť rôznymi spôsobmi, napríklad pomocou Laplaceovej integrálnej transformácie. To isté možno povedať o lineárnych rovniciach vyšších rádov s konštantnými koeficientmi. Dôležitú úlohu zohrávajú aj lineárne rovnice s premenlivými koeficientmi.

Nelineárne diferenciálne rovnice.

Rovnice obsahujúce neznáme funkcie a ich derivácie k mocninám vyšším ako prvá alebo nejakým zložitejším spôsobom sa nazývajú nelineárne. V posledných rokoch priťahujú čoraz väčšiu pozornosť. Faktom je, že fyzikálne rovnice sú zvyčajne lineárne len na prvú aproximáciu; Ďalší a presnejší výskum si spravidla vyžaduje použitie nelineárnych rovníc. Navyše mnohé problémy majú nelineárny charakter. Keďže riešenia nelineárnych rovníc sú často veľmi zložité a ťažko reprezentovateľné jednoduchými vzorcami, značná časť modernej teórie sa venuje kvalitatívnej analýze ich správania, t.j. vývoj metód, ktoré umožňujú bez riešenia rovnice povedať niečo dôležité o povahe riešení ako celku: napríklad, že všetky sú obmedzené, majú periodickú povahu alebo závisia určitým spôsobom od koeficienty.

Približné riešenia diferenciálnych rovníc možno nájsť numericky, ale to si vyžaduje veľa času. S nástupom vysokorýchlostných počítačov sa tento čas značne skrátil, čo otvorilo nové možnosti pre numerické riešenie mnohých problémov, ktoré boli predtým takýmto riešením neriešiteľné.

Existenčné teorémy.

Existenčná teoréma je teorém, ktorý hovorí, že za určitých podmienok má daná diferenciálna rovnica riešenie. Existujú diferenciálne rovnice, ktoré nemajú riešenia alebo ich majú viac, ako sa očakávalo. Účelom existencie vety je presvedčiť nás, že daná rovnica má skutočne riešenie a najčastejšie nás uistiť, že má práve jedno riešenie požadovaného typu. Napríklad rovnica, s ktorou sme sa už stretli D Y/dx = –2r má práve jedno riešenie prechádzajúce každým bodom roviny ( X,r), a keďže sme už jedno takéto riešenie našli, túto rovnicu sme úplne vyriešili. Na druhej strane rovnica ( D Y/dx) 2 = 1 – r 2 má veľa riešení. Medzi nimi sú rovné r = 1, r= –1 a krivky r= hriech( X + c). Riešenie môže pozostávať z niekoľkých segmentov týchto priamok a kriviek, prechádzajúcich do seba v bodoch dotyku (obr. 2).

Parciálne diferenciálne rovnice.

Obyčajná diferenciálna rovnica je výrok o derivácii neznámej funkcie jednej premennej. Parciálna diferenciálna rovnica obsahuje funkciu dvoch alebo viacerých premenných a derivácie tejto funkcie vzhľadom na aspoň dve rôzne premenné.

Vo fyzike sú príkladmi takýchto rovníc Laplaceova rovnica

X, r) vnútri kruhu, ak sú hodnoty ušpecifikované v každom bode ohraničujúceho kruhu. Keďže problémy s viac ako jednou premennou sú vo fyzike skôr pravidlom ako výnimkou, je ľahké si predstaviť, aký rozsiahly je predmet teórie parciálnych diferenciálnych rovníc.

Diferenciálna rovnica je rovnica, ktorá zahŕňa funkciu a jednu alebo viac jej derivácií. Vo väčšine praktických problémov funkcie predstavujú fyzikálne veličiny, derivácie zodpovedajú rýchlostiam zmien týchto veličín a vzťah medzi nimi určuje rovnica.


Tento článok pojednáva o metódach riešenia určitých typov obyčajných diferenciálnych rovníc, ktorých riešenia možno zapísať vo forme elementárne funkcie, teda polynomické, exponenciálne, logaritmické a trigonometrické, ako aj ich inverzné funkcie. Mnohé z týchto rovníc sa vyskytujú v reálnom živote, aj keď väčšinu ostatných diferenciálnych rovníc nemožno týmito metódami vyriešiť a odpoveď na ne je napísaná vo forme špeciálnych funkcií alebo mocninných radov alebo sa nájde numerickými metódami.


Aby ste porozumeli tomuto článku, musíte byť zdatní v diferenciálnom a integrálnom počte, ako aj porozumieť parciálnym deriváciám. Odporúča sa tiež poznať základy lineárnej algebry aplikované na diferenciálne rovnice, najmä diferenciálne rovnice druhého rádu, hoci na ich riešenie postačujú znalosti diferenciálneho a integrálneho počtu.

Predbežná informácia

  • Diferenciálne rovnice majú rozsiahlu klasifikáciu. Tento článok hovorí o obyčajné diferenciálne rovnice, teda o rovnice, ktoré obsahujú funkciu jednej premennej a jej derivácie. Obyčajné diferenciálne rovnice sú oveľa jednoduchšie na pochopenie a riešenie ako parciálne diferenciálne rovnice, ktoré zahŕňajú funkcie viacerých premenných. Tento článok sa nezaoberá parciálnymi diferenciálnymi rovnicami, pretože metódy riešenia týchto rovníc sú zvyčajne určené ich konkrétnou formou.
    • Nižšie sú uvedené niektoré príklady bežných diferenciálnych rovníc.
      • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
      • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
    • Nižšie sú uvedené niektoré príklady parciálnych diferenciálnych rovníc.
      • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\čiastočné y^(2)))=0)
      • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\čiastočné u)(\čiastočné t))-\alpha (\frac (\čiastočné ^(2)u)(\čiastočné x ^(2)))=0)
  • objednať diferenciálnej rovnice je určená poradím najvyššej derivácie obsiahnutej v tejto rovnici. Prvá z vyššie uvedených bežných diferenciálnych rovníc je prvého rádu, zatiaľ čo druhá je rovnica druhého rádu. stupňa diferenciálnej rovnice je najvyššia mocnina, na ktorú je umocnený jeden z členov tejto rovnice.
    • Napríklad nižšie uvedená rovnica je tretieho rádu a druhého stupňa.
      • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ vpravo)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
  • Diferenciálna rovnica je lineárna diferenciálna rovnica v prípade, že funkcia a všetky jej derivácie sú v prvom stupni. Inak platí rovnica nelineárna diferenciálna rovnica. Lineárne diferenciálne rovnice sú pozoruhodné tým, že ich riešenia možno použiť na vytvorenie lineárnych kombinácií, ktoré budú zároveň riešením danej rovnice.
    • Nižšie sú uvedené niektoré príklady lineárnych diferenciálnych rovníc.
      • d y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) )
      • x 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
    • Nižšie sú uvedené niektoré príklady nelineárnych diferenciálnych rovníc. Prvá rovnica je nelineárna kvôli sínusovému členu.
      • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
      • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
  • Spoločné rozhodnutie obyčajná diferenciálna rovnica nie je jedinečná, zahŕňa ľubovoľné integračné konštanty. Vo väčšine prípadov sa počet ľubovoľných konštánt rovná poradiu rovnice. V praxi sa hodnoty týchto konštánt určujú na základe daného počiatočné podmienky, teda podľa hodnôt funkcie a jej derivácií at x = 0. (\displaystyle x=0.) Počet počiatočných podmienok, ktoré je potrebné nájsť súkromné ​​riešenie diferenciálnej rovnice sa vo väčšine prípadov rovná aj poradiu danej rovnice.
    • Tento článok sa napríklad bude zaoberať riešením nižšie uvedenej rovnice. Toto je lineárna diferenciálna rovnica druhého rádu. Jeho všeobecné riešenie obsahuje dve ľubovoľné konštanty. Na nájdenie týchto konštánt je potrebné poznať počiatočné podmienky pri x (0) (\displaystyle x(0)) A x" (0) . (\displaystyle x"(0).) Zvyčajne sú počiatočné podmienky špecifikované v bode x = 0 , (\displaystyle x=0,), aj keď to nie je potrebné. Tento článok bude tiež diskutovať o tom, ako nájsť konkrétne riešenia pre dané počiatočné podmienky.
      • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
      • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Kroky

Časť 1

Rovnice prvého poriadku

Pri používaní tejto služby sa môžu niektoré informácie preniesť na YouTube.

Táto stránka bola zobrazená 69 354 krát.

Bol tento článok nápomocný?