V tomto videonávode sa pozrieme na riešenie pomerne vážnej logaritmickej rovnice, v ktorej musíte nielen nájsť korene, ale aj vybrať tie, ktoré ležia na danom segmente.

Problém C1. Vyriešte rovnicu. Nájdite všetky korene tejto rovnice, ktoré patria do intervalu.

Poznámka o logaritmických rovniciach

Z roka na rok však ku mne chodia študenti, ktorí sa snažia takéto, úprimne, ťažké rovnice, no zároveň nevedia pochopiť: kde majú vôbec začať a ako pristupovať k logaritmom? Tento problém môže vzniknúť aj medzi silnými, dobre pripravenými študentmi.

V dôsledku toho sa mnohí začnú tejto témy báť, alebo sa dokonca považujú za hlúpych. Takže si pamätajte: ak nemôžete vyriešiť takúto rovnicu, vôbec to neznamená, že ste hlúpi. Pretože napríklad túto rovnicu môžete zvládnuť takmer verbálne:

log 2 x = 4

A ak to tak nie je, tento text by ste teraz nečítali, pretože ste boli zaneprázdnení jednoduchšími a všednejšími úlohami. Samozrejme, teraz niekto namietne: „Čo má táto najjednoduchšia rovnica spoločné s našou zdravou štruktúrou? Odpovedám: Akákoľvek logaritmická rovnica, bez ohľadu na to, aká zložitá môže byť, nakoniec prichádza k týmto najjednoduchším štruktúram, ktoré možno vyriešiť ústne.

Samozrejme, treba prejsť od zložitých logaritmických rovníc k jednoduchším nie výberom alebo tancom s tamburínou, ale podľa jasných, dlho definovaných pravidiel, ktoré sa nazývajú - pravidlá pre prevod logaritmických výrazov. S ich znalosťou si ľahko poradíte aj s tými najsofistikovanejšími rovnicami na Jednotnej štátnej skúške z matematiky.

A práve o týchto pravidlách budeme hovoriť v dnešnej lekcii. Choď!

Riešenie logaritmickej rovnice v úlohe C1

Riešime teda rovnicu:

V prvom rade si pri logaritmických rovniciach pamätáme základnú taktiku – takpovediac základné pravidlo riešenia logaritmických rovníc. Pozostáva z nasledovného:

Veta o kanonickom tvare. Akákoľvek logaritmická rovnica, bez ohľadu na to, čo obsahuje, bez ohľadu na to, aké logaritmy, bez ohľadu na základ a bez ohľadu na to, čo obsahuje, musí byť nevyhnutne redukovaná na rovnicu v tvare:

log a f (x) = log a g (x)

Ak sa pozrieme na našu rovnicu, okamžite si všimneme dva problémy:

  1. Na ľavej strane máme súčet dvoch čísel, z ktorých jeden vôbec nie je logaritmus.
  2. Na pravej strane je celkom logaritmus, ale na jeho základni je koreň. A logaritmus vľavo je jednoducho 2, t.j. Základy logaritmov vľavo a vpravo sú odlišné.

Takže sme zostavili tento zoznam problémov, ktoré oddeľujú našu rovnicu od nej kanonická rovnica , na ktorý sa musí pri riešení zredukovať akákoľvek logaritmická rovnica. Riešenie našej rovnice v tejto fáze teda spočíva v odstránení dvoch vyššie opísaných problémov.

Akákoľvek logaritmická rovnica sa dá vyriešiť rýchlo a jednoducho, ak ju zredukujete na jej kanonickú formu.

Súčet logaritmov a logaritmus súčinu

Poďme po poriadku. Najprv sa pozrime na štruktúru vľavo. Čo môžeme povedať o súčte dvoch logaritmov? Pripomeňme si úžasný vzorec:

log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)

Ale stojí za to zvážiť, že v našom prípade prvý člen nie je vôbec logaritmus. To znamená, že musíme jednotku reprezentovať ako logaritmus so základom 2 (presne 2, pretože logaritmus so základom 2 je vľavo). Ako to spraviť? Pripomeňme si opäť ten úžasný vzorec:

a = log b b a

Tu musíte pochopiť: keď hovoríme „akýkoľvek základ b“, myslíme tým, že b stále nemôže byť ľubovoľné číslo. Ak vložíme číslo do logaritmu, isté obmedzenia, totiž: základ logaritmu musí byť väčší ako 0 a nesmie sa rovnať 1. Inak logaritmus jednoducho nedáva zmysel. Zapíšme si toto:

0 < b ≠ 1

Pozrime sa, čo sa stane v našom prípade:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Teraz prepíšme celú našu rovnicu s ohľadom na túto skutočnosť. A hneď použijeme ďalšie pravidlo: súčet logaritmov sa rovná logaritmu súčinu argumentov. V dôsledku toho dostaneme:

Máme novú rovnicu. Ako vidíme, je to už oveľa bližšie ku kanonickej rovnici, o ktorú sa snažíme. Ale je tu jeden problém, zapísali sme si ho ako druhý bod: naše logaritmy, ktoré sú vľavo a vpravo, rôzne dôvody. Prejdime k ďalšiemu kroku.

Pravidlá pre odčítanie mocniny od logaritmu

Takže logaritmus vľavo má základ len 2 a logaritmus vpravo má základ na základni. Ale to nie je problém, ak si uvedomíme, že základy logaritmu možno povýšiť na mocniny. Napíšme si jedno z týchto pravidiel:

log a b n = n log a b

Preložené do ľudskej reči: môžete odobrať silu zo základne logaritmu a dať ju dopredu ako násobiteľ. Číslo n "migrovalo" z logaritmu smerom von a stalo sa koeficientom vpredu.

Rovnako ľahko môžeme odvodiť silu zo základne logaritmu. Bude to vyzerať takto:

Inými slovami, ak odstránite stupeň z argumentu logaritmu, tento stupeň sa tiež zapíše ako faktor pred logaritmom, ale nie ako číslo, ale ako prevrátené číslo 1/k.

To však nie je všetko! Tieto dva vzorce môžeme skombinovať a prísť s nasledujúcim vzorcom:

Keď sa mocnina objaví v základe aj v argumente logaritmu, môžeme ušetriť čas a zjednodušiť výpočty okamžitým odstránením mocniny zo základu aj argumentu. V tomto prípade sa v čitateli objaví to, čo bolo v argumente (v našom prípade je to koeficient n). A aký bol stupeň na základni, a k, pôjde do menovateľa.

A práve tieto vzorce teraz použijeme, aby sme zredukovali naše logaritmy na rovnaký základ.

V prvom rade si vyberme viac či menej krásny základ. Je zrejmé, že je oveľa príjemnejšie pracovať s dvojkou pri základni ako s koreňom. Skúsme teda zmenšiť druhý logaritmus na základ 2. Napíšme tento logaritmus samostatne:

Čo tu môžeme robiť? Pripomeňme si mocninný vzorec s racionálnym exponentom. Inými slovami, korene môžeme zapísať ako mocninu s racionálnym exponentom. A potom odoberieme mocninu 1/2 z argumentu aj zo základu logaritmu. Znížime dvojky v koeficientoch v čitateli a menovateli oproti logaritmu:

Nakoniec prepíšme pôvodnú rovnicu s prihliadnutím na nové koeficienty:

log 2 2 (9x 2 + 5) = log 2 (8x 4 + 14)

Získali sme kanonickú logaritmickú rovnicu. Naľavo aj napravo máme logaritmus k rovnakému základu 2. Okrem týchto logaritmov neexistujú žiadne koeficienty, žiadne členy ani naľavo, ani napravo.

V dôsledku toho sa môžeme zbaviť znamienka logaritmu. Samozrejme, s prihliadnutím na doménu definície. Ale predtým, ako to urobíme, vráťme sa a trochu si ujasnime zlomky.

Delenie zlomku zlomkom: Ďalšie úvahy

Nie všetci študenti chápu, odkiaľ pochádzajú a kam smerujú faktory pred správnym logaritmom. Napíšeme si to ešte raz:

Poďme zistiť, čo je zlomok. Zapíšme si:

Teraz si spomeňme na pravidlo delenia zlomkov: na delenie 1/2 je potrebné vynásobiť prevráteným zlomkom:

Samozrejme, pre pohodlie pri ďalších výpočtoch môžeme dva zapísať ako 2/1 – a práve to pozorujeme ako druhý koeficient v procese riešenia.

Dúfam, že teraz každý chápe, odkiaľ pochádza druhý koeficient, takže prejdime priamo k riešeniu našej kanonickej logaritmickej rovnice.

Zbavte sa logaritmického znaku

Dovoľte mi pripomenúť, že teraz sa môžeme zbaviť logaritmov a ponechať nasledujúci výraz:

2(9x 2 + 5) = 8x 4 + 14

Otvoríme zátvorky vľavo. Dostaneme:

18x 2 + 10 = 8x 4 + 14

Presuňme všetko z ľavej strany na pravú:

8x 4 + 14 − 18 x 2 − 10 = 0

Vezmime si podobné a získame:

8x 4 − 18x 2 + 4 = 0

Obidve strany tejto rovnice môžeme vydeliť 2, aby sme koeficienty zjednodušili, a dostaneme:

4x 4 − 9x 2 + 2 = 0

Pred nami je obvyklé bikvadratická rovnica a jeho korene sa dajú ľahko vypočítať pomocou diskriminantu. Zapíšme si teda diskriminant:

D = 81 − 4 4 2 = 81 − 32 = 49

Skvelé, rozlišovací znak je „krásny“, jeho koreň je 7. To je všetko, spočítajme si sami X. Ale v tomto prípade korene nebudú x, ale x 2, pretože máme bikvadratickú rovnicu. Takže naše možnosti:

Poznámka: extrahovali sme korene, takže budú dve odpovede, pretože... námestie - dokonca funkciu. A ak napíšeme iba koreň z dvoch, potom jednoducho stratíme druhý koreň.

Teraz napíšeme druhý koreň našej bikvadratickej rovnice:

Opäť extrahujeme aritmetiku Odmocnina z oboch strán našej rovnice dostaneme dva korene. Pamätajte však:

Nestačí jednoducho porovnávať argumenty logaritmov v kanonickej forme. Pamätajte na doménu definície!

Celkovo sme dostali štyri korene. Všetky z nich sú skutočne riešeniami našej pôvodnej rovnice. Pozrite sa: v našej pôvodnej logaritmickej rovnici sú vnútorné logaritmy buď 9x 2 + 5 (táto funkcia je vždy kladná) alebo 8x 4 + 14 - čo je tiež vždy kladné. Preto je doména definície logaritmov v každom prípade splnená, bez ohľadu na to, aký koreň dostaneme, čo znamená, že všetky štyri korene sú riešeniami našej rovnice.

Skvelé, teraz prejdime k druhej časti problému.

Výber koreňov logaritmickej rovnice na segmente

Z našich štyroch koreňov vyberieme tie, ktoré ležia na segmente [−1; 8/9]. Vraciame sa k našim koreňom a teraz vykonáme ich výber. Na začiatok navrhujem nakresliť súradnicovú os a označiť na nej konce segmentu:

Oba body budú zatienené. Tie. Podľa podmienok problému nás zaujíma tieňovaný segment. Teraz sa pozrime na korene.

Iracionálne korene

Začnime s iracionálnymi koreňmi. Všimnite si, že 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:

Z toho vyplýva, že koreň dvojky nespadá do segmentu, ktorý nás zaujíma. Podobne dostaneme so zápornou odmocninou: je menšia ako -1, to znamená, že leží naľavo od segmentu, ktorý nás zaujíma.

Racionálne korene

Zostali dva korene: x = 1/2 a x = −1/2. Všimnime si, že ľavý koniec segmentu (−1) je záporný a pravý koniec (8/9) je kladný. Preto niekde medzi týmito koncami leží číslo 0. Koreň x = −1/2 bude medzi −1 a 0, t.j. skončí v konečnej odpovedi. To isté urobíme s odmocninou x = 1/2. Tento koreň tiež leží na uvažovanom segmente.

Môžete sa uistiť, že 8/9 je väčšie ako 1/2. Odčítajme tieto čísla od seba:

Dostali sme zlomok 7/18 > 0, čo podľa definície znamená, že 8/9 > 1/2.

Označme príslušné korene na súradnicovej osi:

Konečná odpoveď budú dva korene: 1/2 a -1/2.

Porovnanie iracionálnych čísel: univerzálny algoritmus

Na záver by som sa chcel ešte raz vrátiť k iracionálnym číslam. Na ich príklade sa teraz pozrieme na to, ako porovnávať racionálne a iracionálne veličiny v matematike. Na začiatok je medzi nimi taký kliešť V - znak „viac“ alebo „menej“, ale ešte nevieme, ktorým smerom je nasmerovaný. Zapíšme si:

Prečo vôbec potrebujeme nejaké porovnávacie algoritmy? Faktom je, že v tomto probléme sme mali veľké šťastie: v procese riešenia deliaceho čísla 1 vzniklo, o čom môžeme určite povedať:

Nie vždy však takéto číslo uvidíte hneď. Skúsme si teda porovnať naše čísla priamo, priamo.

Ako sa to robí? Robíme to isté ako s bežnými nerovnosťami:

  1. Po prvé, ak by sme niekde mali záporné koeficienty, vynásobili by sme obe strany nerovnosti −1. Samozrejme zmena znamenia. Toto začiarknutie V by sa zmenilo na toto - Λ.
  2. Ale v našom prípade sú už obe strany pozitívne, takže netreba nič meniť. Čo je skutočne potrebné, je zarovnajte obe strany zbaviť sa radikála.

Ak pri porovnávaní iracionálnych čísel nie je možné okamžite vybrať oddeľovací prvok, odporúčam vykonať takéto porovnanie „hlavou“ - opísať ho ako obyčajnú nerovnosť.

Pri jeho riešení sa formalizuje takto:

Teraz je to všetko ľahké porovnať. Ide o to, že 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.

To je všetko, dostali sme prísny dôkaz, že všetky čísla sú na číselnej osi x označené správne a presne v poradí, v akom majú byť v skutočnosti. Tomuto riešeniu nebude nikto nič vytknúť, preto si pamätajte: ak hneď nevidíte deliace číslo (v našom prípade je to 1), pokojne si vyššie uvedenú konštrukciu vypíšte, vynásobte, odmocnite - a nakoniec získať krásnu nerovnosť. Z tejto nerovnosti bude jasné, ktoré číslo je väčšie a ktoré menšie.

Keď sa vrátim k nášmu problému, ešte raz by som vás chcel upozorniť na to, čo sme robili úplne na začiatku pri riešení našej rovnice. Konkrétne: dôkladne sme sa pozreli na našu pôvodnú logaritmickú rovnicu a pokúsili sme sa ju zredukovať na kanonický logaritmická rovnica. Kde sú len logaritmy vľavo a vpravo - bez akýchkoľvek ďalších členov, koeficientov vpredu atď. Nepotrebujeme dva logaritmy založené na a alebo b, ale logaritmus rovný inému logaritmu.

Okrem toho sa musia rovnať aj základy logaritmov. Navyše, ak je rovnica zložená správne, potom pomocou elementárnych logaritmických transformácií (súčet logaritmov, transformácia čísla na logaritmus atď.) túto rovnicu zredukujeme na kanonickú.

Preto odteraz, keď uvidíte logaritmickú rovnicu, ktorú nemožno vyriešiť okamžite, nemali by ste sa stratiť ani sa snažiť nájsť odpoveď. Všetko, čo musíte urobiť, je postupovať podľa týchto krokov:

  1. Previesť všetky voľné prvky na logaritmus;
  2. Potom pridajte tieto logaritmy;
  3. Vo výslednej konštrukcii zredukujte všetky logaritmy na rovnaký základ.

Výsledkom je jednoduchá rovnica, ktorú je možné vyriešiť pomocou nástrojov elementárnej algebry z materiálov triedy 8-9. Vo všeobecnosti navštívte moju webovú stránku, precvičte si riešenie logaritmov, riešte logaritmické rovnice ako ja, riešte ich lepšie ako ja. A to je z mojej strany všetko. Bol s vami Pavel Berdov. Uvídime sa znovu!

Ako viete, pri násobení výrazov mocninami sa ich exponenty vždy sčítajú (a b *a c = a b+c). Tento matematický zákon odvodil Archimedes a neskôr, v 8. storočí, vytvoril matematik Virasen tabuľku celočíselných exponentov. Boli to oni, ktorí slúžili na ďalšie objavovanie logaritmov. Príklady využitia tejto funkcie nájdete takmer všade tam, kde si potrebujete zjednodušiť ťažkopádne násobenie jednoduchým sčítaním. Ak strávite 10 minút čítaním tohto článku, vysvetlíme vám, čo sú to logaritmy a ako s nimi pracovať. Jednoduchým a prístupným jazykom.

Definícia v matematike

Logaritmus je vyjadrením nasledujúceho tvaru: log a b=c, teda logaritmus ľubovoľného nezáporného čísla (teda akéhokoľvek kladného) „b“ k základu „a“ sa považuje za mocninu „c“. “, na ktorú musí byť základ „a“ zvýšený, aby sa nakoniec získala hodnota „b“. Analyzujme logaritmus na príkladoch, povedzme, že existuje výraz log 2 8. Ako nájsť odpoveď? Je to veľmi jednoduché, musíte nájsť výkon tak, aby od 2 po požadovaný výkon dostal 8. Po vykonaní niekoľkých výpočtov v hlave dostaneme číslo 3! A to je pravda, pretože 2 ku 3 dáva odpoveď ako 8.

Typy logaritmov

Pre mnohých žiakov a študentov sa táto téma zdá komplikovaná a nepochopiteľná, ale v skutočnosti logaritmy nie sú také strašidelné, hlavnou vecou je pochopiť ich všeobecný význam a zapamätať si ich vlastnosti a niektoré pravidlá. Sú tam tri jednotlivé druhy logaritmické výrazy:

  1. Prirodzený logaritmus ln a, kde základom je Eulerovo číslo (e = 2,7).
  2. Desatinné a, kde základ je 10.
  3. Logaritmus ľubovoľného čísla b na základ a>1.

Každá z nich je riešená štandardným spôsobom, vrátane zjednodušenia, redukcie a následnej redukcie na jeden logaritmus pomocou logaritmických viet. Aby ste získali správne hodnoty logaritmov, mali by ste si pamätať ich vlastnosti a postupnosť akcií pri ich riešení.

Pravidlá a určité obmedzenia

V matematike existuje niekoľko pravidiel-obmedzení, ktoré sú akceptované ako axióma, to znamená, že nie sú predmetom diskusie a sú pravdivé. Napríklad nie je možné deliť čísla nulou a je tiež nemožné extrahovať párnu odmocninu záporných čísel. Logaritmy majú tiež svoje pravidlá, podľa ktorých sa ľahko naučíte pracovať aj s dlhými a objemnými logaritmickými výrazmi:

  • Základ „a“ musí byť vždy väčší ako nula a nie rovný 1, inak výraz stratí svoj význam, pretože „1“ a „0“ sa v akomkoľvek stupni vždy rovnajú svojim hodnotám;
  • ak a > 0, potom a b > 0, ukáže sa, že „c“ musí byť tiež väčšie ako nula.

Ako vyriešiť logaritmy?

Úlohou je napríklad nájsť odpoveď na rovnicu 10 x = 100. Je to veľmi jednoduché, treba zvoliť mocninu zvýšením čísla desať, na ktoré sa dostaneme 100. To je samozrejme 10 2 = 100.

Teraz si predstavme tento výraz v logaritmickej forme. Dostaneme log 10 100 = 2. Pri riešení logaritmov sa všetky akcie prakticky zbiehajú, aby našli mocninu, do ktorej je potrebné zadať základ logaritmu, aby sme získali dané číslo.

Ak chcete presne určiť hodnotu neznámeho stupňa, musíte sa naučiť pracovať s tabuľkou stupňov. Vyzerá to takto:

Ako vidíte, niektoré exponenty sa dajú uhádnuť intuitívne, ak máte technické myslenie a znalosti násobilky. Avšak pre veľké hodnoty budete potrebovať tabuľku stupňov. Môžu ho použiť aj tí, ktorí o komplexe nevedia vôbec nič matematické témy. Ľavý stĺpec obsahuje čísla (základ a), horný riadok čísel je hodnota mocniny c, na ktorú je číslo a umocnené. Na priesečníku bunky obsahujú číselné hodnoty, ktoré sú odpoveďou (a c = b). Zoberme si napríklad úplne prvú bunku s číslom 10 a odmocnime ju, dostaneme hodnotu 100, ktorá je naznačená na priesečníku našich dvoch buniek. Všetko je také jednoduché a ľahké, že to pochopí aj ten najpravdivejší humanista!

Rovnice a nerovnice

Ukazuje sa, že za určitých podmienok je exponentom logaritmus. Preto akékoľvek matematické numerické výrazy možno zapísať ako logaritmickú rovnosť. Napríklad 3 4 = 81 možno zapísať ako základný 3 logaritmus 81 rovný štyrom (log 3 81 = 4). Pre záporné mocniny sú pravidlá rovnaké: 2 -5 = 1/32 zapíšeme to ako logaritmus, dostaneme log 2 (1/32) = -5. Jednou z najfascinujúcejších častí matematiky je téma „logaritmov“. Na príklady a riešenia rovníc sa pozrieme nižšie, hneď po preštudovaní ich vlastností. Teraz sa pozrime, ako vyzerajú nerovnosti a ako ich odlíšiť od rovníc.

Je uvedený nasledujúci výraz: log 2 (x-1) > 3 - ide o logaritmickú nerovnosť, keďže neznáma hodnota „x“ je pod logaritmickým znamienkom. A tiež vo výraze sa porovnávajú dve veličiny: logaritmus požadovaného čísla so základom dva je väčší ako číslo tri.

Najdôležitejší rozdiel medzi logaritmickými rovnicami a nerovnosťami je v tom, že rovnice s logaritmami (napríklad logaritmus 2 x = √9) zahŕňajú jednu alebo viac konkrétnych číselných hodnôt v odpovedi, zatiaľ čo pri riešení nerovnosti je rozsah prijateľných hodnoty a body sú určené porušovaním tejto funkcie. V dôsledku toho odpoveď nie je jednoduchá množina jednotlivých čísel ako v odpovedi na rovnicu, ale súvislý rad alebo množina čísel.

Základné vety o logaritmoch

Pri riešení primitívnych úloh hľadania hodnôt logaritmu nemusia byť jeho vlastnosti známe. Pokiaľ však ide o logaritmické rovnice alebo nerovnice, v prvom rade je potrebné jasne pochopiť a prakticky aplikovať všetky základné vlastnosti logaritmov. Na príklady rovníc sa pozrieme neskôr, najprv sa pozrime na každú vlastnosť podrobnejšie.

  1. Hlavná identita vyzerá takto: a logaB =B. Platí len vtedy, keď a je väčšie ako 0, nerovná sa jednej a B je väčšie ako nula.
  2. Logaritmus súčinu môže byť vyjadrený v nasledujúci vzorec: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. V tomto prípade je povinná podmienka: d, s 1 a s 2 > 0; a≠1. Tento logaritmický vzorec môžete dokázať príkladmi a riešením. Nech log a s 1 = f 1 a log a s 2 = f 2, potom a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dostaneme, že s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vlastnosti stupne ), a potom podľa definície: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, čo bolo potrebné dokázať.
  3. Logaritmus kvocientu vyzerá takto: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
  4. Veta vo forme vzorca má tento tvar: log a q b n = n/q log a b.

Tento vzorec sa nazýva „vlastnosť stupňa logaritmu“. Pripomína vlastnosti bežných stupňov a nie je to prekvapujúce, pretože celá matematika je založená na prirodzených postulátoch. Pozrime sa na dôkaz.

Nech log a b = t, ukáže sa a t =b. Ak obe časti zdvihneme na mocninu m: a tn = b n ;

ale keďže a tn = (a q) nt/q = b n, preto log a q b n = (n*t)/t, potom log a q b n = n/q log a b. Veta bola dokázaná.

Príklady problémov a nerovností

Najbežnejšími typmi problémov na logaritmoch sú príklady rovníc a nerovníc. Nachádzajú sa takmer vo všetkých problémových knihách a sú tiež povinnou súčasťou skúšok z matematiky. Na prijatie na univerzitu alebo absolvovanie prijímacie skúšky v matematike treba vedieť takéto úlohy správne riešiť.

Bohužiaľ neexistuje jednotný plán alebo schéma na riešenie a určenie neznámej hodnoty logaritmu, dá sa však použiť na každú matematickú nerovnosť alebo logaritmickú rovnicu. určité pravidlá. V prvom rade by ste si mali zistiť, či sa výraz dá zjednodušiť alebo naviesť celkový vzhľad. Dlhé logaritmické výrazy môžete zjednodušiť, ak správne použijete ich vlastnosti. Poďme sa s nimi rýchlo zoznámiť.

Pri riešení logaritmických rovníc musíme určiť, aký typ logaritmu máme: vzorový výraz môže obsahovať prirodzený logaritmus alebo desiatkový.

Tu sú príklady ln100, ln1026. Ich riešenie sa scvrkáva na skutočnosť, že potrebujú určiť výkon, s ktorým bude základňa 10 rovná 100 a 1026. Ak chcete vyriešiť prirodzené logaritmy, musíte použiť logaritmické identity alebo ich vlastnosti. Pozrime sa na príklady riešenia logaritmických problémov rôznych typov.

Ako používať logaritmické vzorce: s príkladmi a riešeniami

Pozrime sa teda na príklady použitia základných teorémov o logaritmoch.

  1. Vlastnosť logaritmu súčinu môže byť použitá v úlohách, kde je potrebné expandovať veľký významčísla b do jednoduchších faktorov. Napríklad log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpoveď je 9.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - ako vidíte, pomocou štvrtej vlastnosti logaritmickej mocniny sa nám podarilo vyriešiť zdanlivo zložitý a neriešiteľný výraz. Stačí vypočítať základ a potom odobrať hodnoty exponentov zo znamienka logaritmu.

Úlohy z jednotnej štátnej skúšky

Logaritmy sa často vyskytujú pri prijímacích skúškach, najmä veľa logaritmických problémov pri Jednotnej štátnej skúške (štátna skúška pre všetkých absolventov škôl). Tieto úlohy sa zvyčajne nachádzajú nielen v časti A (najjednoduchšia testovacia časť skúšky), ale aj v časti C (najzložitejšie a najobsiahlejšie úlohy). Skúška vyžaduje presnú a dokonalú znalosť témy „Prirodzené logaritmy“.

Príklady a riešenia problémov sú prevzaté z oficiálnych Možnosti jednotnej štátnej skúšky. Pozrime sa, ako sa takéto úlohy riešia.

Dané log 2 (2x-1) = 4. Riešenie:
prepíšme výraz, trochu ho zjednodušíme log 2 (2x-1) = 2 2, podľa definície logaritmu dostaneme, že 2x-1 = 2 4, teda 2x = 17; x = 8,5.

  • Najlepšie je zredukovať všetky logaritmy na rovnaký základ, aby riešenie nebolo ťažkopádne a mätúce.
  • Všetky výrazy pod logaritmickým znamienkom sú označené ako kladné, preto keď exponent výrazu, ktorý je pod logaritmickým znamienkom a jeho základ sa vyberie ako násobiteľ, výraz zostávajúci pod logaritmom musí byť kladný.

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

  • Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromaždiť rôzne informácie, vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

  • Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečné ponuky, propagačné akcie a iné udalosti a nadchádzajúce udalosti.
  • Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
  • Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
  • Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

  • V prípade potreby v súlade so zákonom súdne konanie, V súdny proces a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
  • V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Logaritmické rovnice. Pokračujeme v zvažovaní problémov z časti B Jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Riešenia niektorých rovníc sme už skúmali v článkoch „“, „“. V tomto článku sa pozrieme na logaritmické rovnice. Hneď poviem, že pri riešení takýchto rovníc na jednotnej štátnej skúške nedôjde k žiadnym zložitým transformáciám. Sú jednoduché.

Stačí poznať a pochopiť základné logaritmická identita poznať vlastnosti logaritmu. Pozor, po vyriešení MUSÍTE urobiť kontrolu - výslednú hodnotu dosadiť do pôvodnej rovnice a počítať, nakoniec by ste mali dostať správnu rovnosť.

Definícia:

Logaritmus čísla so základom b je exponent.na ktorý sa musí zvýšiť b, aby sa získalo a.


Napríklad:

Log 3 9 = 2, pretože 3 2 = 9

Vlastnosti logaritmov:

Špeciálne prípady logaritmov:

Poďme riešiť problémy. V prvom príklade vykonáme kontrolu. V budúcnosti si to overte sami.

Nájdite koreň rovnice: log 3 (4–x) = 4

Keďže log b a = x b x = a, potom

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

Vyšetrenie:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Správne.

Odpoveď: - 77

Rozhodnite sa sami:

Nájdite koreň rovnice: log 2 (4 – x) = 7

Nájdite koreň rovnice log 5(4 + x) = 2

Používame základnú logaritmickú identitu.

Pretože log a b = x b x = a, potom

5 2 = 4 + x

x = 5 2 – 4

x = 21

Vyšetrenie:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Správne.

odpoveď: 21

Nájdite koreň rovnice log 3 (14 – x) = log 3 5.

Prebieha nasledujúca vlastnosť, jej význam je nasledovný: ak máme na ľavej a pravej strane rovnice logaritmy s rovnakým základom, potom môžeme prirovnať výrazy pod znamienkami logaritmov.

14 – x = 5

x=9

Vykonajte kontrolu.

odpoveď: 9

Rozhodnite sa sami:

Nájdite koreň rovnice log 5 (5 – x) = log 5 3.

Nájdite koreň rovnice: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Ak log c a = log c b, potom a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x=6

Vykonajte kontrolu.

odpoveď: 6

Nájdite koreň rovnice log 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Vykonajte kontrolu.

Malý dodatok - nehnuteľnosť je tu využívaná

stupňa ().

odpoveď: - 51

Rozhodnite sa sami:

Nájdite koreň rovnice: log 1/7 (7 – x) = – 2

Nájdite koreň rovnice log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

Premeňme pravú stranu. Využime vlastnosť:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Ak log c a = log c b, potom a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Vykonajte kontrolu.

odpoveď: - 21

Rozhodnite sa sami:

Nájdite koreň rovnice: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Vyriešte rovnicu log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Ak log c a = log c b, potom a = b

x 2 + 4 x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Vykonajte kontrolu.

Odpoveď: 2,75

Rozhodnite sa sami:

Nájdite koreň rovnice log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Riešte rovnicu log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Je potrebné získať vyjadrenie tvaru na pravej strane rovnice:

denník 2 (......)

Predstavujeme 1 ako základný 2 logaritmus:

1 = log 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Dostaneme:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Ak log c a = log c b, potom a = b, potom

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Vykonajte kontrolu.

Odpoveď: 0,4

Rozhodnite sa sami: Ďalej musíte vyriešiť kvadratickú rovnicu. Mimochodom,

korene sú 6 a – 4.

Koreň "-4" nie je riešením, pretože základ logaritmu musí byť väčší ako nula a s "– 4" sa rovná " – 5". Riešením je root 6.Vykonajte kontrolu.

odpoveď: 6.

R jesť sám:

Riešte rovnicu log x –5 49 = 2. Ak má rovnica viac ako jeden koreň, odpovedzte menším.

Ako ste videli, žiadne zložité transformácie pomocou logaritmických rovnícNie Stačí poznať vlastnosti logaritmu a vedieť ich aplikovať. V časti Unified State Examination problémy súvisiace s transformáciou logaritmických výrazov, viac vážne zmeny a vyžaduje hlbšie zručnosti pri riešení. Pozrieme sa na takéto príklady, nenechajte si ich ujsť!Prajem ti úspech!!!

S pozdravom Alexander Krutitskikh.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste mi o stránke povedali na sociálnych sieťach.