Definícia

Parabola sa nazýva graf kvadratickej funkcie $y = ax^(2) + bx + c$, kde $a \neq 0$.

Graf funkcie $y = x^2$.

Na schematické znázornenie grafu funkcie $y = x^2$ nájdeme niekoľko bodov, ktoré vyhovujú tejto rovnosti. Pre pohodlie si zapíšeme súradnice týchto bodov vo forme tabuľky:

Graf funkcie $y = ax^2$.

Ak je koeficient $a > 0$, potom graf $y = ax^2$ získame z grafu $y = x^2$ buď vertikálnym natiahnutím (pre $a > 1$) alebo kompresiou na $x$ os (za 0 USD< a < 1$). Изобразим для примера графики $y = 2x^2$ и $y = \dfrac{x^2}{2}$:

$y = 2x^2$ $y = \dfrac(x^2)(2)$


Ak $a< 0$, то график функции $y = ax^2$ можно получить из графика $y = |a|x^2$, отразив его симметрично относительно оси $x$. Построим графики функций $y = - x^2$, $y = -2x^2$ и $y = - \dfrac{x^2}{2}$:

$y = - x^2$ $y = -2x^2$ $y = - \dfrac(x^2)(2)$



Graf kvadratickej funkcie.

Ak chcete nakresliť funkciu $y = ax^2 + bx + c$, musíte izolovať úplný štvorec z kvadratického trinomu $ax^2 + bx + c$, to znamená, že ho znázornite v tvare $a(x - x_0)^2 + y_0$ . Graf funkcie $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ získame zo zodpovedajúceho grafu $y = ax^2$ posunutím o $x_0$ pozdĺž osi $x$ a o $y_0$ pozdĺž osi $y$. V dôsledku toho sa bod $(0;0)$ presunie do bodu $(x_0;y_0)$.

Definícia

Vrch parabola $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ je bod so súradnicami $(x_0;y_0)$.

Zostrojme parabolu $y = 2x^2 - 4x - 6$. Výberom celého štvorca dostaneme $y = 2(x - 1)^2 - 8$.

Nakreslíme $y = 2x^2$ Posuňme ho doprava o 1 A dole o 8



Výsledkom je parabola s vrcholom v bode $(1;-8)$.

Graf kvadratickej funkcie $y = ax^2 + bx + c$ pretína os $y$ v bode $(0; c)$ a os $x$ v bodoch $(x_(1,2) ;0)$, kde $ x_(1,2)$ sú korene kvadratickej rovnice $ax^2 + bx + c = 0$ (a ak rovnica nemá korene, potom zodpovedajúca parabola nepretína $ os x$).

Napríklad parabola $y = 2x^2 - 4x - 6$ pretína osi v bodoch $(0; -6)$, $(-1; 0)$ a $(3; 0)$.

Úvodné poznámky a jednoduché príklady

Príklad 1. Pre aké hodnoty a má rovnica ax 2 + 2x + 1 = 0 dva rôzne korene?

Riešenie.

Táto rovnica je kvadratická vzhľadom na premennú x pre a№ 0 a má rôzne korene, keď je diskriminant

t.j. pre a< 1.

Navyše, keď a = 0, dostaneme rovnicu 2x + 1 = 0, ktorá má jeden koreň.

Teda a O (– Ґ ; 0) A (0; 1).

Pravidlo 1. Ak koeficient x 2 polynómu druhého stupňa obsahuje parameter, je potrebné analyzovať prípad, kedy zaniká.

Príklad 2. Rovnica ax 2 + 8x + c = 0 má jeden koreň rovný 1. Čomu sa rovnajú a a c?

Riešenie. Začnime riešiť úlohu špeciálnym prípadom a = 0, rovnica má tvar 8x + c = 0. Táto lineárna rovnica má pre c = – 8 riešenie x 0 = 1.

Keď nie. 0 kvadratická rovnica má jeden koreň ak

Navyše, dosadením koreňa x 0 = 1 do rovnice dostaneme a + 8 + c = 0.

Pri riešení sústavy dvoch lineárnych rovníc zistíme a = c = – 4.

Veta 1.

Pre redukovaný kvadratický trinom y = x 2 + px + q (za predpokladu, že p 2і 4q)
súčet koreňov x 1 + x 2 = – p, súčin koreňov x 1 x 2 = q, rozdiel koreňov je
a súčet druhých mocnín koreňov x 1 2 + x 2 2 = p 2 – 2q.

Veta 2.

Pre kvadratický trinom y = ax 2 + bx + c s dvoma koreňmi x 1 a x 2 máme
rozšírenie ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2), pre trojčlen s jedným odmocninou x 0 – rozšírenie
ax 2 + bx + c = a(x – x 0) 2 .

Komentujte. Často sa o kvadratických rovniciach s diskriminantom rovným nule a podľa toho s jedným koreňom hovorí, že má dva zhodné korene (?). Súvisí to s rozkladom polynómu uvedeným vo vete 2.(Správny spôsob, ako povedať a pochopiť v tomto prípade je „jeden koreň z viacerých dvoch.“ – Ed.)

Budeme venovať pozornosť tejto jemnosti a upozorníme na prípad jediného koreňa násobnosti 2.

Príklad 3. V rovnici x 2 + ax + 12 = 0 určte a tak, aby rozdiel medzi koreňmi rovnice bol rovný jednej.

Riešenie. Koreňový rozdiel
odkiaľ a = ± 7.

Príklad 4. Pre aké a sa rovná súčet druhých mocnín koreňov rovnice 2x 2 + 4x + a = 0 6?

Riešenie. Napíšeme rovnicu do tvaru
odkiaľ x 1 2 + x 2 2 = 4 – a = 6 a a = – 2.

Príklad 5. Pre všetky a vyriešte rovnicu ax 2 – 2x + 4 = 0.

Riešenie. Ak a = 0, potom x = 2. Ak a№ 0, potom sa rovnica stane kvadratickou. Je to diskriminačné
rovná D = 4 – 16a. Ak D< 0, т. е. a > ,
rovnica nemá riešenia. Ak D = 0, t.j. a = ,
x = 4. Ak D > 0, t.j< ,
rovnica má dva korene

Umiestnenie koreňov kvadratického trinomu

Grafom kvadratickej rovnice je parabola a riešenia kvadratickej rovnice sú úsečkami priesečníkov tejto paraboly s osou Ox. Základom riešenia všetkých problémov v tejto časti je štúdium vlastností umiestnenia parabol s danými vlastnosťami na súradnicovej rovine.

Príklad 6. Pre čo a majú korene rovnice x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 rôzne znamienka?

Riešenie (obr. 1).

Kvadratická rovnica buď nemá žiadne riešenia (graf je parabola typu D), alebo má jeden alebo dva kladné korene (parabola C), alebo má jeden alebo dva záporné korene (parabola A), alebo má korene rôznych znamien (parabola B).

Je ľahké pochopiť, že posledný typ parabol sa na rozdiel od iných vyznačuje tým, že f(0)< 0. Таким образом, f(0) = a 2 – a – 6 < 0, откуда 0 < a < .

Toto riešenie umožňuje zovšeobecnenie, ktoré sformulujeme ako nasledujúce pravidlo.

Pravidlo 2. Aby rovnica ax 2 + bx + c = 0

mal dva rôzne korene x 1 a x 2 tak, že x 1< M < x 2 , необходимо и достаточно, чтобы a f(M) < 0.

Príklad 7. Pre aké a má rovnica x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 dva rôzne korene toho istého znamienka?

Riešenie. Nás zaujímajú paraboly typu A a C (pozri obr. 1). Vyznačujú sa tým, že

odkiaľ a O (– 6; – 2) AND (3; + Ґ ).

Príklad 8. Pre aké a má rovnica x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 dva rôzne kladné korene?

Riešenie. Nás zaujímajú paraboly typu C na obr. 1.

Aby rovnica mala korene, vyžadujeme

Keďže oba korene rovnice musia byť podľa podmienky kladné, súosová osa vrcholu paraboly ležiacej medzi koreňmi je kladná: x 0 = a > 0.

Vrcholová súradnica f(x 0)< 0 в силу того, что мы потребовали существование корней, поэтому если, кроме того, потребовать выполнение условия f(x 0) >0, potom z dôvodu kontinuity skúmanej funkcie existuje bod x 1 O (0; x 0) tak, že f(x 1) = 0. Toto je samozrejme menší koreň rovnice.

Takže f(0) = a 2 – a – 6 > 0 a po zložení všetkých podmienok dostaneme systém

s roztokom a O (3; + Ґ ).

Príklad 9. Pre aké a má rovnica x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 dva rôzne záporné korene?

Riešenie. Po preštudovaní parabol typu A na obr. 1, dostaneme systém

odkiaľ O (– 6; – 2).

Zovšeobecnme riešenie predchádzajúcich problémov v podobe nasledujúceho pravidla.

Pravidlo 3. Aby rovnica ax 2 + bx + c = 0 mala dva rôzne korene x 1 a x 2, z ktorých každý je väčší (menší ako) M, je potrebné a postačujúce, aby

Príklad 10. Funkcia f(x) je daná vzorcom

Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre ktoré má rovnica f(x) = 0 aspoň jedno riešenie.

Riešenie. Všetky možné riešenia danej rovnice sa získajú ako riešenia kvadratickej rovnice

x 2 – (4a + 14) x + 4a 2 + 33a + 59 = 0

s dodatočnou podmienkou, že aspoň jeden (samozrejme väčší) koreň x 2 ja a.

Prirodzene, aby rovnica mala korene, musí byť = – 5 (a + 2) і 0,
odkiaľ Ј – 2.

Grafom ľavej strany vybranej rovnice je parabola, ktorej úsečka vrcholu je x 0 = 2a + 7. Riešenie úlohy je dané dvomi typmi parabol (obr. 2).

A: x 0 i a, odkiaľ a i – 7. V tomto prípade je väčší koreň polynómu x 2 i x 0 i a.

B: x 0< a, f(a) Ј 0, odkiaľ .
V tomto prípade je tiež väčší koreň polynómu x 2 ja a.

Konečne .

Tri riešenia jednej nerovnosti

Príklad 11. Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre ktoré platí nerovnosť x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 > 0

vykonané:

1) pre všetky hodnoty x;
2) pre všetky kladné hodnoty x;
3) pre všetky hodnoty x O [– 1; 1].

Riešenie.

Prvý spôsob.

1) Je zrejmé, že táto nerovnosť platí pre všetky x, keď je diskriminant záporný, t.j.

= a 2 – (a 2 + 2a – 3) = – 2a + 3< 0,

odkiaľ a >.

2) Aby sme lepšie porozumeli tomu, čo sa vyžaduje v zadaní problému, použijeme jednoduchú techniku: nakreslite paraboly na súradnicovú rovinu a potom zoberte a zatvorte ľavú polrovinu vzhľadom na os Oy. Časť paraboly, ktorá zostane viditeľná, musí byť nad osou Ox.

Podmienka problému je splnená v dvoch prípadoch (pozri obr. 3):

< 0, откуда a > ;

B: oba korene (možno jeden, ale dvojitý) rovnice x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 sú naľavo od začiatku. Podľa pravidla 3 je táto podmienka ekvivalentná systému nerovností Dі 0, x 0 Ј 0 a f(0) і 0.

Pri riešení tohto systému však možno prvú nerovnosť vynechať, pretože aj keď nejaká hodnota a nespĺňa podmienku Dі 0, potom automaticky spadne do riešenia bodu A. Teda riešime sústavu

odkiaľ Ј – 3.

Spojením riešení bodov A a B dostaneme

odpoveď:

3) Podmienka problému je splnená v troch prípadoch (pozri obr. 4):

A: graf funkcie y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 leží nad osou Ox, t.j. D< 0, откуда a > ;

B: oba korene (možno jeden z násobkov 2) rovnice x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 sú naľavo od – 1. Táto podmienka je ekvivalentná, ako vieme z pravidla 3, systému nerovností Dі 0, x 0< – 1, f(– 1) > 0;

C: oba korene rovnice x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 sú napravo od 1.
Táto podmienka je ekvivalentná D i 0, x 0 > 1, f(1) > 0.

V bodoch B a C, ako aj pri riešení predchádzajúcej úlohy však možno nerovnosť spojenú s diskriminantom vynechať.

Podľa toho získame dva systémy nerovností

Po zvážení všetkých prípadov dostaneme výsledok: a >
v bode
v C.
Odpoveďou na problém je spojenie týchto troch množín.

Druhý spôsob. Aby bola splnená podmienka každého z troch bodov úlohy, najmenšia hodnota funkcie
y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 na každom zo zodpovedajúcich intervalov musí byť kladné.

1) Vrchol paraboly y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 je v bode (a; 2a – 3), preto najmenšia hodnota funkcie na celej číselnej osi je 2a – 3, a a > .

2) na poloosi x i 0 najmenšia hodnota funkcie je f(0) = a 2 + 2a – 3, ak a< 0, и f(a) = 2a – 3, если a і 0. Analýzou oboch prípadov dostaneme

3) Najmenší na segmente [– 1; 1] funkčná hodnota je

Keďže najmenšia hodnota musí byť kladná, získame sústavy nerovností

Riešením týchto troch systémov je súprava

Tretia cesta. 1) Vrchol paraboly y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3

sa nachádza v bode (a; 2a – 3). Nakreslíme množinu na súradnicovej rovine, ktorá je tvorená vrcholmi všetkých parabol pre rôzne a (obr. 5).

Ide o priamku y = 2x – 3. Pripomeňme, že každý bod na tejto priamke má svoju hodnotu parametra a z každého bodu na tejto priamke „vychádza parabola zodpovedajúca danej hodnote parametra“. Paraboly, ktoré sú úplne nad osou Ox, sú charakterizované stavom 2a – 3 > 0.

2) Riešenia tohto bodu sú všetky riešenia prvého bodu a navyše paraboly, pre ktoré je a záporné a f(0) = a 2 + 2a – 3і 0.

3) Z obr. 5 je zrejmé, že nás zaujímajú paraboly, pre ktoré je buď a záporné a f(– 1) = a 2 + 4a – 2 > 0,
alebo a je kladné a f(1) = a 2 – 2 > 0.

Rovnice a nerovnosti, ktoré sa redukujú na kvadratické

Príklad 12. Pre aké hodnoty a nemá rovnica 2x 4 – 2ax 2 + a 2 – 2 = 0 riešenia?

Riešenie. Substitúciou y = x 2 dostaneme kvadratickú rovnicu f(y) = 2y 2 – 2ay + a 2 – 2 = 0.

Výsledná rovnica nemá riešenie, keď D< 0. Кроме того, первоначальное уравнение не имеет решений, когда корни уравнения f(y) = 0 отрицательны.

Tieto podmienky je možné zapísať ako súbor

kde

Príklad 13. Pre každú hodnotu parametra a vyriešte rovnicu cos x sin 2x = asin 3x.

Riešenie. Keďže 2cos x sin 2x = hriech x + hriech 3x a hriech 3x = 3sin x – 4sin 3 x,

potom sa rovnica zapíše ako sin x (sin 2 x (4a – 2) – (3a – 2)) = 0.

Odtiaľ dostaneme riešenia x = p n, n O Z pre akékoľvek a. Rovnica

má riešenia

nezhoduje sa s riešeniami prvej rovnice, iba pod podmienkou

Posledné uvedené obmedzenia sú ekvivalentné

Odpoveď: x = p n, n O Z pre akékoľvek a; okrem toho

Príklad 14. Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre každú z nich je nerovnosť
a 2 + 2a – sin 2 x – 2acos x > 2 platí pre ľubovoľné číslo x.

Riešenie. Transformujme nerovnosť na tvar cos 2 x – 2acos x + a 2 + 2a – 3 > 0

a urobte náhradu t = cos x. Je dôležité poznamenať, že parameter t sa pohybuje od – 1 do 1, takže problém možno preformulovať takto: nájdite všetky také,

t2 – 2at + a 2 + 2a – 3 > 0

platí pre všetky t O [- 1; 1]. Tento problém sme už riešili skôr.

Príklad 15. Určte, pre aké hodnoty rovnice log 3 (9 x + 9a 3) = x má riešenia a nájdite ich.

Riešenie. Transformujme rovnicu do tvaru 9 x – 3 x + 9a 3 = 0

a ak nahradíme y = 3 x, dostaneme y 2 – y + 9a 3 = 0.

Ak je diskriminant záporný, rovnica nemá riešenia. Keď diskriminačný

D = 1 – 36a 3 = 0, rovnica má jeden koreň,
a x = – log 3 2. Nakoniec, keď je diskriminant kladný, t.j.
pôvodná rovnica má jeden koreň ,
a ak je navyše výraz 1 kladný,
potom má rovnica aj druhý koreň .

Tak sa konečne dostávame

,

neexistujú žiadne riešenia pre zostávajúce a.

Príklad 16. Pre každú hodnotu parametra a vyriešte rovnicu sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x + a = 0.

Riešenie. Pretože
Prepíšme rovnicu v tvare sin 2 x – 2sin x – 2a – 2 = 0.
Nech y = hriech 2x, potom y 2 – 2y – 2a – 2 = 0 (| y | J 1).

Grafom funkcie na ľavej strane rovnice je parabola s vrcholom, ktorého os x je y 0 = 1; hodnota funkcie v bode y = – 1 je 1 – 2a; diskriminant rovnice je 8a + 12. To znamená, že väčší koreň y 2 rovnice y 2 – 2y – 2a – 2 = 0, aj keď existuje, je väčší ako 1 a zodpovedajúca rovnica sin 2x = y 2 nemá žiadne riešenia. 3. Pre aké hodnoty a má rovnica 2x 2 + (3a + 1)x + a 2 + a + 2 = 0 aspoň jeden koreň?
4. Rovnica ax 2 + bx + 5 = 0 má jeden koreň rovný 1. Čomu sa rovnajú a a b?
5. Pre aké hodnoty parametra a sú korene kvadratickej rovnice 5x 2 – 7x + a = 0 vztiahnuté ako 2 až 5?
6. V rovnici ax 2 + 8x + 3 = 0 určte a tak, aby rozdiel medzi koreňmi rovnice bol rovný jednej.
7. Pre aké a sa rovná súčet druhých mocnín koreňov rovnice x 2 – 2ax + 2(a + 1) = 0 20?
8. Pre aké b a c má rovnica c + bx – 2x 2 = 0 jeden kladný a jeden záporný koreň?
9. Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre ktoré je jeden koreň rovnice x 2 – (a + 1)x + 2 = 0 väčší ako a a druhý menší ako a.
10. Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre ktoré má rovnica x 2 + (a + 1)x + 2 = 0 dva rôzne korene rovnakého znamienka.
11. Pre aké hodnoty a sú všetky výsledné korene rovnice (a – 3)x 2 – 2ax + 6a = 0 kladné?
12. Pre aké a sú všetky výsledné korene rovnice (1 + a)x 2 – 3ax + 4a = 0 väčšie ako 1?
13. Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre ktoré sú oba rôzne korene rovnice x 2 + x + a = 0 väčšie ako a.
14. Pre aké hodnoty a sú obidva korene rovnice 4x 2 – 2x + a = 0 obsiahnuté medzi – 1 a 1?
15. Pre aké hodnoty a má rovnica x 2 + 2(a – 1)x + a + 5 = 0 aspoň jeden kladný koreň?
16. Funkcia f(x) je daná vzorcom

Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre ktoré má rovnica f(x) = 0 aspoň jedno riešenie.
17. Pretože aká je nerovnosť (a 2 – 1)x 2 + 2(a – 1)x + 2 > 0 pravdivá pre všetky x?
18. Pre aké hodnoty parametra a platí nerovnosť ax 2 + 2x > 1 – 3a pre všetky kladné x?
19. Pre aké hodnoty a nemá rovnica x 4 + (1 – 2a)x 2 + a 2 – 1 = 0 riešenia?
20. Pre aké hodnoty parametra a má rovnica 2x 4 – 2ax 2 + a2 – 2 = 0 jedno alebo dve riešenia?
21. Pre každú hodnotu a vyriešte rovnicu acos x cos 2x = cos 3x.
22. Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre každú z nich je nerovnosť cos 2 x + 2asin x – 2a< a 2 – 4 выполняется для любого числа x.
23. Pre všetky a vyriešte rovnicu log 2 (4 x + a) = x.
24. Pre každú hodnotu parametra a vyriešte rovnicu sin 2 x + asin 2 2x = sin.

Lekcia: Ako zostrojiť parabolu alebo kvadratickú funkciu?

TEORETICKÁ ČASŤ

Parabola je graf funkcie opísanej vzorcom ax 2 +bx+c=0.
Ak chcete vytvoriť parabolu, musíte postupovať podľa jednoduchého algoritmu:

1) Vzorec paraboly y=ax 2 +bx+c,
Ak a>0 potom smerujú vetvy paraboly hore,
inak smerujú vetvy paraboly dole.
Voľný člen c tento bod pretína parabolu s osou OY;

2), zistí sa pomocou vzorca x=(-b)/2a, nájdené x dosadíme do rovnice paraboly a nájdeme r;

3)Funkčné nuly alebo inými slovami, priesečníky paraboly s osou OX, nazývajú sa tiež korene rovnice. Aby sme našli korene, prirovnáme rovnicu k 0 ax 2 + bx + c = 0;

Typy rovníc:

a) Úplná kvadratická rovnica má tvar ax 2 + bx + c = 0 a rieši ho diskriminant;
b) Neúplná kvadratická rovnica tvaru ax 2 + bx = 0. Aby ste to vyriešili, musíte zo zátvoriek vyňať x a potom prirovnať každý faktor k 0:
ax 2 +bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 a ax+b=0;
c) Neúplná kvadratická rovnica tvaru ax 2 + c = 0. Aby ste to vyriešili, musíte presunúť neznáme na jednu stranu a známe na druhú. x =±√(c/a);

4) Nájdite niekoľko ďalších bodov na konštrukciu funkcie.

PRAKTICKÁ ČASŤ

A tak teraz na príklade analyzujeme všetko krok za krokom:
Príklad č. 1:
y = x 2 + 4 x + 3
c=3 znamená, že parabola pretína OY v bode x=0 y=3. Vetvy paraboly sa pozerajú nahor, pretože a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 vrchol je v bode (-2;-1)
Nájdite korene rovnice x 2 +4x+3=0
Pomocou diskriminantu nájdeme korene
a = 1 b = 4 c = 3
D=b2-4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 = (-4+2)/2 = -1
x 2 = (-4-2)/2 = -3

Zoberme si niekoľko ľubovoľných bodov, ktoré sa nachádzajú v blízkosti vrcholu x = -2

x-4-3-10
y 3 0 0 3

Namiesto x dosaďte do rovnice y=x 2 +4x+3 hodnoty
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3)2+4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1)2+4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0)2+4*(0)+3=0-0+3=3
Z funkčných hodnôt je zrejmé, že parabola je symetrická vzhľadom na priamku x = -2

Príklad č. 2:
y=-x2+4x
c=0 znamená, že parabola pretína OY v bode x=0 y=0. Vetvy paraboly sa pozerajú nadol, pretože a=-1 -1 Nájdime korene rovnice -x 2 +4x=0
Neúplná kvadratická rovnica tvaru ax 2 +bx=0. Aby ste to vyriešili, musíte zo zátvoriek vyňať x a potom prirovnať každý faktor k 0.
x(-x+4)=0, x=0 a x=4.

Zoberme si niekoľko ľubovoľných bodov, ktoré sa nachádzajú v blízkosti vrcholu x=2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Namiesto x dosaďte do rovnice y=-x 2 +4x hodnoty
y=02 +4*0=0
y=-(1)2+4*1=-1+4=3
y=-(3)2+4*3=-9+13=3
y=-(4)2+4*4=-16+16=0
Z funkčných hodnôt je zrejmé, že parabola je symetrická okolo priamky x = 2

Príklad č.3
y=x2-4
c=4 znamená, že parabola pretína OY v bode x=0 y=4. Vetvy paraboly sa pozerajú nahor, pretože a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 vrchol je v bode (0;- 4)
Nájdite korene rovnice x 2 -4=0
Neúplná kvadratická rovnica tvaru ax 2 +c=0. Aby ste to vyriešili, musíte presunúť neznáme na jednu stranu a známe na druhú. x =±√(c/a)
x 2 = 4
x 1 = 2
x 2 = -2

Zoberme si niekoľko ľubovoľných bodov, ktoré sa nachádzajú v blízkosti vrcholu x=0
x -2 -1 1 2
y 0-3-3 0
Namiesto x dosaďte do rovnice y= x 2 -4 hodnoty
y=(-2)2-4=4-4=0
y=(-1)2-4=1-4=-3
y=12-4=1-4=-3
y=22-4=4-4=0
Z funkčných hodnôt je zrejmé, že parabola je symetrická okolo priamky x = 0

Prihlásiť sa na odber na kanál na YOUTUBE držať krok so všetkými novými produktmi a pripravovať sa s nami na skúšky.