Späť dopredu

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Kľúčové slová: integrálny, krivočiary lichobežník, plocha figúr ohraničená ľaliami

Vybavenie: popisovač, počítač, multimediálny projektor

Typ lekcie: lekcia-prednáška

Ciele lekcie:

  • vzdelávacie: vytvoriť kultúru duševnej práce, vytvoriť situáciu úspechu pre každého študenta a vytvoriť pozitívnu motiváciu k učeniu; rozvíjať schopnosť hovoriť a počúvať druhých.
  • vyvíja: formovanie samostatného myslenia študenta pri uplatňovaní vedomostí v rôznych situáciách, schopnosť analyzovať a vyvodzovať závery, rozvoj logiky, rozvoj schopnosti správne klásť otázky a hľadať na ne odpovede. Zlepšenie formovania výpočtových zručností, rozvoj myslenia študentov pri plnení navrhovaných úloh, rozvoj algoritmickej kultúry.
  • vzdelávacie: formovať predstavy o krivočiarom lichobežníku, o integráli, osvojiť si zručnosti výpočtu plôch rovinných útvarov

Vyučovacia metóda: vysvetľujúce a názorné.

Počas vyučovania

V predchádzajúcich triedach sme sa naučili vypočítať plochy útvarov, ktorých hranice sú prerušované čiary. V matematike existujú metódy, ktoré umožňujú vypočítať plochy útvarov ohraničené krivkami. Takéto obrazce sa nazývajú krivočiare lichobežníky a ich plocha sa vypočítava pomocou primitívnych prvkov.

Krivočiary lichobežník ( snímka 1)

Zakrivený lichobežník je útvar ohraničený grafom funkcie, ( sh.m.), rovný x = a A x = b a os x

Rôzne typy zakrivených lichobežníkov ( snímka 2)

Zvažujeme rôzne typy krivočiarych lichobežníkov a všimneme si: jedna z priamych línií je degenerovaná do bodu, úlohu obmedzujúcej funkcie zohráva priamka

Oblasť zakriveného lichobežníka (snímka 3)

Opravte ľavý koniec intervalu A, a ten pravý X zmeníme, t.j. posunieme pravú stenu krivočiareho lichobežníka a získame meniacu sa postavu. Plocha premenného krivočiareho lichobežníka ohraničeného grafom funkcie je primitívna F pre funkciu f

A v segmente [ a; b] oblasť krivočiareho lichobežníka tvoreného funkciou f, sa rovná prírastku primitívnej funkcie tejto funkcie:

Cvičenie 1:

Nájdite oblasť krivočiareho lichobežníka ohraničeného grafom funkcie: f(x) = x 2 a rovno y = 0, x = 1, x = 2.

Riešenie: ( podľa algoritmu snímka 3)

Nakreslíme graf funkcie a čiar

Poďme nájsť jeden z primitívnych derivátov funkcie f(x) = x 2 :

Autotest na sklíčku

Integrálne

Uvažujme krivočiary lichobežník definovaný funkciou f na segmente [ a; b]. Rozdeľme tento segment na niekoľko častí. Plocha celého lichobežníka bude rozdelená na súčet plôch menších zakrivených lichobežníkov. ( snímka 5). Každý takýto lichobežník možno považovať približne za obdĺžnik. Súčet plôch týchto obdĺžnikov dáva približnú predstavu o celej ploche zakriveného lichobežníka. Čím menší segment rozdelíme [ a; b], tým presnejšie vypočítame plochu.

Zapíšme si tieto argumenty vo forme vzorcov.

Rozdeľte segment [ a; b] na n častí po bodkách x 0 = a, x1,...,xn = b. Dĺžka k- th označovať podľa xk = xk – xk-1. Urobme súčet

Geometricky tento súčet predstavuje plochu postavy vytieňovanú na obrázku ( sh.m.)

Súčty tvaru sa nazývajú integrálne súčty funkcie f. (sh.m.)

Celočíselné súčty udávajú približnú hodnotu plochy. Presná hodnota sa získa prechodom na limit. Predstavme si, že dolaďujeme rozdelenie segmentu [ a; b], takže dĺžky všetkých malých segmentov majú tendenciu k nule. Potom sa plocha zloženej figúry priblíži k oblasti zakriveného lichobežníka. Môžeme povedať, že plocha zakriveného lichobežníka sa rovná limitu integrálnych súčtov, Sc.t. (sh.m.) alebo integrálne, t.j.

Definícia:

Integrál funkcie f(x) od a predtým b nazývaná limita integrálnych súčtov

= (sh.m.)

Newtonov-Leibnizov vzorec.

Pamätáme si, že limit integrálnych súčtov sa rovná ploche krivočiareho lichobežníka, čo znamená, že môžeme písať:

Sc.t. = (sh.m.)

Na druhej strane sa plocha zakriveného lichobežníka vypočíta pomocou vzorca

S k.t. (sh.m.)

Porovnaním týchto vzorcov dostaneme:

= (sh.m.)

Táto rovnosť sa nazýva Newton-Leibnizov vzorec.

Pre zjednodušenie výpočtu je vzorec napísaný takto:

= = (sh.m.)

Úlohy: (sh.m.)

1. Vypočítajte integrál pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca: ( skontrolujte na snímke 5)

2. Skladať integrály podľa nákresu ( skontrolujte na snímke 6)

3. Nájdite plochu obrazca ohraničenú priamkami: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Snímka 7)

Nájdenie oblastí rovinných figúrok ( snímka 8)

Ako nájsť oblasť figúr, ktoré nie sú zakrivené lichobežníky?

Nech sú uvedené dve funkcie, ktorých grafy vidíte na snímke . (sh.m.) Nájdite oblasť tieňovanej postavy . (sh.m.). Je predmetná postava zakrivený lichobežník? Ako zistíte jeho plochu pomocou vlastnosti aditivity plochy? Zvážte dva zakrivené lichobežníky a odpočítajte plochu druhého od plochy jedného z nich ( sh.m.)

Vytvorme algoritmus na nájdenie oblasti pomocou animácie na snímke:

  1. Funkcie grafu
  2. Premietnite priesečníky grafov na os x
  3. Vytieň obrázok získaný pri pretínaní grafov
  4. Nájdite krivočiare lichobežníky, ktorých priesečník alebo spojenie je daný obrazec.
  5. Vypočítajte plochu každého z nich
  6. Nájdite rozdiel alebo súčet oblastí

Ústna úloha: Ako získať oblasť tieňovanej postavy (povedzte pomocou animácie, snímka 8 a 9)

Domáca úloha: Prepracujte poznámky, č. 353 (a), č. 364 (a).

Bibliografia

  1. Algebra a začiatky analýzy: učebnica pre 9.-11. ročník večernej (zmennej) školy / ed. G.D. Glaser. - M: Osvietenie, 1983.
  2. Bašmakov M.I. Algebra a začiatky analýzy: učebnica pre 10-11 ročníkov strednej školy / Bashmakov M.I. - M: Osvietenie, 1991.
  3. Bašmakov M.I. Matematika: učebnica pre inštitúcie zač. a streda Prednášal prof. vzdelanie / M.I. Bašmakov. - M: Akadémia, 2010.
  4. Kolmogorov A.N. Algebra a začiatky analýzy: učebnica pre ročníky 10-11. vzdelávacie inštitúcie / A.N. Kolmogorov. - M: Vzdelávanie, 2010.
  5. Ostrovsky S.L. Ako urobiť prezentáciu na lekciu?/ S.L. Ostrovského. – M.: 1. septembra 2010.

    Tento výraz má iné významy, pozri Trapezium (významy). Lichobežník (z iného gréckeho τραπέζιον „stôl“; ... Wikipedia

    I Plocha je jednou z hlavných veličín spojených s geometrickými tvarmi. V najjednoduchších prípadoch sa meria počtom jednotkových štvorcov vypĺňajúcich plochý obrazec, to znamená štvorcov so stranou rovnajúcou sa jednej jednotke dĺžky. Výpočet P.......

    Metódy na získanie numerických riešení rôznych problémov pomocou grafických konštrukcií. G.v. (grafické násobenie, grafické riešenie rovníc, grafická integrácia a pod.) predstavujú systém konštrukcií, ktoré sa opakujú alebo nahrádzajú... ... Veľká sovietska encyklopédia

    Plocha, jedna z hlavných veličín spojených s geometrickými tvarmi. V najjednoduchších prípadoch sa meria počtom jednotkových štvorcov vypĺňajúcich plochý obrazec, to znamená štvorcov so stranou rovnajúcou sa jednej jednotke dĺžky. Výpočet P. bol už v staroveku... ... Veľká sovietska encyklopédia

    Greenova veta vytvára spojenie medzi krivočiarym integrálom nad uzavretým obrysom C a dvojitým integrálom nad oblasťou D ohraničenou týmto obrysom. V skutočnosti je táto veta špeciálnym prípadom všeobecnejšej Stokesovej vety. Veta je pomenovaná v ... Wikipedia

Problém 1(o výpočte plochy zakriveného lichobežníka).

V karteziánskom pravouhlom súradnicovom systéme xOy je daný údaj (pozri obrázok) ohraničený osou x, priamkami x = a, x = b (a krivočiarym lichobežníkom. Je potrebné vypočítať plochu krivočiary lichobežník.
Riešenie. Geometria nám dáva recepty na výpočet plôch mnohouholníkov a niektorých častí kruhu (sektor, segment). Pomocou geometrických úvah môžeme nájsť len približnú hodnotu požadovanej plochy, pričom uvažujme takto.

Rozdeľme segment [a; b] (základňa zakriveného lichobežníka) na n rovnakých častí; toto rozdelenie sa vykonáva pomocou bodov x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Nakreslite priame čiary cez tieto body rovnobežné s osou y. Potom sa daný krivočiary lichobežník rozdelí na n častí, na n úzkych stĺpikov. Plocha celého lichobežníka sa rovná súčtu plôch stĺpcov.

Uvažujme samostatne k-tý stĺpec, t.j. zakrivený lichobežník, ktorého základňou je segment. Nahradíme ho obdĺžnikom s rovnakou základňou a výškou rovnou f(x k) (pozri obrázok). Plocha obdĺžnika sa rovná \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), kde \(\Delta x_k \) je dĺžka segmentu; Je prirodzené považovať výsledný produkt za približnú hodnotu plochy k-tého stĺpca.

Ak teraz urobíme to isté so všetkými ostatnými stĺpcami, dospejeme k nasledujúcemu výsledku: plocha S daného krivočiareho lichobežníka sa približne rovná ploche S n stupňovitého útvaru zloženého z n obdĺžnikov (pozri obrázok):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \bodky + f(x_k)\Delta x_k + \bodky + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Tu z dôvodu jednotnosti zápisu predpokladáme, že a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - dĺžka segmentu, \(\Delta x_1 \) - dĺžka segmentu atď.; v tomto prípade, ako sme sa dohodli vyššie, \(\Delta x_0 = \bodky = \Delta x_(n-1) \)

Takže, \(S \približne S_n \), a táto približná rovnosť je presnejšia, čím väčšie n.
Podľa definície sa predpokladá, že požadovaná plocha krivočiareho lichobežníka sa rovná limitu sekvencie (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problém 2(o posunutí bodu)
Hmotný bod sa pohybuje po priamke. Závislosť rýchlosti od času vyjadruje vzorec v = v(t). Nájdite pohyb bodu za určité časové obdobie [a; b].
Riešenie. Ak by bol pohyb rovnomerný, potom by sa problém vyriešil veľmi jednoducho: s = vt, t.j. s = v(b-a). Pri nerovnomernom pohybe musíte použiť rovnaké nápady, na ktorých bolo založené riešenie predchádzajúceho problému.
1) Rozdeľte časový interval [a; b] na n rovnakých častí.
2) Uvažujme časový úsek a predpokladajme, že počas tohto časového úseku bola rýchlosť konštantná, rovnaká ako v čase t k. Takže predpokladáme, že v = v(t k).
3) Nájdite približnú hodnotu pohybu bodu za určité časové obdobie; túto približnú hodnotu označíme ako s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Nájdite približnú hodnotu posunutia s:
\(s \približne S_n \) kde
\(S_n = s_0 + \bodky + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \bodky + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Požadované posunutie sa rovná limitu postupnosti (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Poďme si to zhrnúť. Riešenia rôznych problémov boli zredukované na rovnaký matematický model. Mnohé problémy z rôznych oblastí vedy a techniky vedú v procese riešenia k rovnakému modelu. To znamená, že tento matematický model musí byť špeciálne študovaný.

Pojem určitého integrálu

Uveďme matematický popis modelu, ktorý bol zostavený v troch uvažovaných úlohách pre funkciu y = f(x), spojitý (ale nie nevyhnutne nezáporný, ako sa predpokladalo v uvažovaných úlohách) na intervale [a; b]:
1) rozdeliť segment [a; b] na n rovnakých častí;
2) vytvorte súčet $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) vypočítajte $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

V priebehu matematickej analýzy bolo dokázané, že táto limita existuje v prípade spojitej (alebo po častiach spojitej) funkcie. Volá sa určitý integrál funkcie y = f(x) cez segment [a; b] a označené takto:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Čísla a a b sa nazývajú hranice integrácie (dolné a horné).

Vráťme sa k vyššie uvedeným úlohám. Definícia oblasti uvedená v úlohe 1 môže byť teraz prepísaná takto:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
tu S je oblasť zakriveného lichobežníka znázorneného na obrázku vyššie. Toto je geometrický význam určitého integrálu.

Definíciu posunutia s bodu, ktorý sa pohybuje v priamom smere rýchlosťou v = v(t) za časový úsek od t = a do t = b, uvedenú v úlohe 2, možno prepísať takto:

Newtonov-Leibnizov vzorec

Najprv si odpovedzme na otázku: aká je súvislosť medzi určitým integrálom a primitívnou deriváciou?

Odpoveď možno nájsť v úlohe 2. Na jednej strane, posunutie s bodu pohybujúceho sa priamočiaro rýchlosťou v = v(t) za časové obdobie od t = a do t = b sa vypočíta podľa vzorec
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Na druhej strane súradnica pohybujúceho sa bodu je primitívom pre rýchlosť - označme ju s(t); to znamená, že posunutie s je vyjadrené vzorcom s = s(b) - s(a). V dôsledku toho dostaneme:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
kde s(t) je primitívna derivácia v(t).

Nasledujúca veta bola dokázaná v priebehu matematickej analýzy.
Veta. Ak je funkcia y = f(x) spojitá na intervale [a; b], potom platí vzorec
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
kde F(x) je primitívna derivácia f(x).

Daný vzorec sa zvyčajne nazýva Newtonov-Leibnizov vzorec na počesť anglického fyzika Isaaca Newtona (1643-1727) a nemeckého filozofa Gottfrieda Leibniza (1646-1716), ktorí ho dostali nezávisle od seba a takmer súčasne.

V praxi namiesto písania F(b) - F(a) používajú zápis \(\left. F(x)\right|_a^b \) (niekedy je tzv. dvojitá substitúcia) a podľa toho prepíšte Newtonov-Leibnizov vzorec do tohto tvaru:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \vľavo. F(x)\vpravo|_a^b \)

Pri výpočte určitého integrálu najprv nájdite primitívnu deriváciu a potom vykonajte dvojitú substitúciu.

Na základe Newtonovho-Leibnizovho vzorca môžeme získať dve vlastnosti určitého integrálu.

Nehnuteľnosť 1. Integrál súčtu funkcií sa rovná súčtu integrálov:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Nehnuteľnosť 2. Konštantný faktor možno vyňať z integrálneho znamienka:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Výpočet plôch rovinných útvarov pomocou určitého integrálu

Pomocou integrálu môžete vypočítať plochy nielen zakrivených lichobežníkov, ale aj rovinných útvarov zložitejšieho typu, napríklad toho, ktorý je znázornený na obrázku. Obrazec P je ohraničený priamkami x = a, x = b a grafmi spojitých funkcií y = f(x), y = g(x) a na úsečke [a; b] platí nerovnosť \(g(x) \leq f(x) \). Na výpočet plochy S takéhoto obrázku budeme postupovať takto:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Plocha S obrazca ohraničená priamkami x = a, x = b a grafmi funkcií y = f(x), y = g(x), súvislá na segmente a taká, že pre ľubovoľné x zo segmentu [a; b] je splnená nerovnosť \(g(x) \leq f(x) \), vypočítaná podľa vzorca
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabuľka neurčitých integrálov (antiderivátov) niektorých funkcií

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x + C $$

Výpočet plochy postavy- Toto je možno jeden z najťažších problémov v teórii oblasti. V školskej geometrii sa učia nájsť oblasti základných geometrických tvarov, ako sú napríklad trojuholník, kosoštvorec, obdĺžnik, lichobežník, kruh atď. Často sa však musíte potýkať s výpočtom plôch zložitejších obrazcov. Práve pri riešení takýchto problémov je veľmi vhodné použiť integrálny počet.

Definícia.

Krivočiary lichobežník nazvime nejaký obrazec G ohraničený priamkami y = f(x), y = 0, x = a a x = b a funkcia f(x) je spojitá na segmente [a; b] a nemení na ňom svoje znamienko (obr. 1). Oblasť zakriveného lichobežníka môže byť označená S(G).

Určitý integrál ʃ a b f(x)dx pre funkciu f(x), ktorá je spojitá a nezáporná na intervale [a; b] a je oblasťou zodpovedajúceho zakriveného lichobežníka.

To znamená, že na nájdenie plochy útvaru G ohraničeného priamkami y = f(x), y = 0, x = a a x = b je potrebné vypočítať určitý integrál ʃ a b f(x) dx .

teda S(G) = ʃa b f(x)dx.

Ak funkcia y = f(x) nie je kladná na [a; b], potom pomocou vzorca možno nájsť oblasť zakriveného lichobežníka S(G) = -ʃa b f(x)dx.

Príklad 1

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú priamkami y = x 3; y = 1; x = 2.

Riešenie.

Dané čiary tvoria obrazec ABC, ktorý je znázornený šrafovaním ryža. 2.

Požadovaná plocha sa rovná rozdielu plôch zakriveného lichobežníka DACE a štvorca DABE.

Pomocou vzorca S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) nájdeme hranice integrácie. Aby sme to dosiahli, riešime systém dvoch rovníc:

(y = x 3,
(y = 1.

Máme teda x 1 = 1 – spodná hranica a x = 2 – horná hranica.

Takže, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (štvorcové jednotky).

Odpoveď: 11/4 m2. Jednotky

Príklad 2

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú priamkami y = √x; y = 2; x = 9.

Riešenie.

Dané čiary tvoria obrazec ABC, ktorý je hore ohraničený grafom funkcie

y = √x a nižšie je graf funkcie y = 2. Výsledný údaj je znázornený šrafovaním ryža. 3.

Požadovaná plocha je S = ʃ a b (√x – 2). Nájdite hranice integrácie: b = 9, aby sme našli a, riešime sústavu dvoch rovníc:

(y = √x,
(y = 2.

Máme teda, že x = 4 = a - toto je spodná hranica.

Takže S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (štvorcové jednotky).

Odpoveď: S = 2 2/3 štvorcových. Jednotky

Príklad 3

Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú priamkami y = x 3 – 4x; y = 0; x ≥ 0.

Riešenie.

Nakreslite funkciu y = x 3 – 4x pre x ≥ 0. Na tento účel nájdite deriváciu y’:

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 pri x = ±2/√3 ≈ 1,1 – kritické body.

Ak vynesieme kritické body na číselnú os a usporiadame znamienka derivácie, zistíme, že funkcia klesá z nuly na 2/√3 a rastie z 2/√3 do plus nekonečna. Potom x = 2/√3 je minimálny bod, minimálna hodnota funkcie y min = -16/(3√3) ≈ -3.

Určme priesečníky grafu so súradnicovými osami:

ak x = 0, potom y = 0, čo znamená, že A(0; 0) je priesečník s osou Oy;

ak y = 0, potom x 3 – 4x = 0 alebo x(x 2 – 4) = 0, alebo x(x – 2)(x + 2) = 0, odkiaľ x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (nevhodné, pretože x ≥ 0).

Body A(0; 0) a B(2; 0) sú priesečníky grafu s osou Ox.

Dané čiary tvoria obrazec OAB, ktorý je znázornený šrafovaním ryža. 4.

Keďže funkcia y = x 3 – 4x nadobúda zápornú hodnotu na (0; 2), tak

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Máme: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, odkiaľ S = 4 sq. Jednotky

Odpoveď: S = 4 štvorcových. Jednotky

Príklad 4.

Nájdite plochu obrazca ohraničenú parabolou y = 2x 2 – 2x + 1, priamkami x = 0, y = 0 a dotyčnicou k tejto parabole v bode s os x 0 = 2.

Riešenie.

Najprv vytvorte rovnicu pre dotyčnicu k parabole y = 2x 2 – 2x + 1 v bode s os x₀ = 2.

Keďže derivácia y’ = 4x – 2, potom pre x 0 = 2 dostaneme k = y’(2) = 6.

Nájdite súradnicu dotykového bodu: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Dotyková rovnica má teda tvar: y – 5 = 6 (x ​​– 2) alebo y = 6x – 7.

Postavme postavu ohraničenú čiarami:

y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.

Г у = 2х 2 – 2х + 1 – parabola. Priesečníky so súradnicovými osami: A(0; 1) – s osou Oy; s osou Ox - neexistujú žiadne priesečníky, pretože rovnica 2x 2 – 2x + 1 = 0 nemá riešenia (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, to znamená, že vrchol bodu paraboly B má súradnice B(1/2; 1/2).

Takže číslo, ktorého plochu je potrebné určiť, je znázornené šrafovaním ryža. 5.

Máme: S O A B D = S OABC – S ADBC.

Nájdite súradnice bodu D z podmienky:

6x – 7 = 0, t.j. x = 7/6, čo znamená DC = 2 – 7/6 = 5/6.

Oblasť trojuholníka DBC nájdeme pomocou vzorca S ADBC ​​​​= 1/2 · DC · BC. teda

S ADBC ​​​​= 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 štvorcových. Jednotky

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (štvorcové jednotky).

Nakoniec dostaneme: S O A B D = S OABC – S ADBC ​​​​= 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (štvorcové jednotky).

Odpoveď: S = 1 1/4 štvorcových. Jednotky

Pozreli sme sa na príklady nájdenie plôch útvarov ohraničených danými čiarami. Na úspešné vyriešenie takýchto problémov musíte byť schopní kresliť čiary a grafy funkcií v rovine, nájsť priesečníky čiar, použiť vzorec na nájdenie oblasti, čo znamená schopnosť vypočítať určité integrály.

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.