Po určení sily čísla je logické o tom hovoriť stupňa vlastnosti. V tomto článku uvedieme základné vlastnosti mocniny čísla, pričom sa dotkneme všetkých možných exponentov. Tu poskytneme dôkazy o všetkých vlastnostiach stupňov a tiež ukážeme, ako sa tieto vlastnosti používajú pri riešení príkladov.

Navigácia na stránke.

Vlastnosti stupňov s prirodzenými exponentmi

Podľa definície mocniny s prirodzeným exponentom je mocnina a n súčinom n faktorov, z ktorých každý sa rovná a. Na základe tejto definície a tiež pomocou vlastnosti násobenia reálnych čísel, môžeme získať a zdôvodniť nasledovné vlastnosti stupňa s prirodzeným exponentom:

  1. hlavná vlastnosť stupňa a m ·a n =a m+n, jej zovšeobecnenie;
  2. vlastnosť kvocientových mocnín so zhodnými základmi a m:a n =a m−n ;
  3. výkonová vlastnosť produktu (a·b) n =a n ·b n , jeho rozšírenie;
  4. vlastnosť kvocientu k prirodzenému stupňu (a:b) n =a n:b n ;
  5. zvýšenie stupňa na mocninu (a m) n =a m·n, jeho zovšeobecnenie (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 · n 2 ·…·n k;
  6. porovnanie stupňa s nulou:
    • ak a>0, potom a n>0 pre ľubovoľné prirodzené číslo n;
    • ak a=0, potom an=0;
    • Ak<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ak a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
  7. ak a a b sú kladné čísla a a
  8. ak m a n sú prirodzené čísla také, že m>n , potom pri 0 0 nerovnosť a m >a n je pravdivá.

Hneď si všimnime, že všetky písané rovnosti sú identické za stanovených podmienok je možné zameniť ich pravú a ľavú časť. Napríklad hlavná vlastnosť zlomku a m ·a n =a m+n s zjednodušujúce výrazyčasto používané v tvare a m+n =a m ·a n .

Teraz sa pozrime na každý z nich podrobne.

    Začnime vlastnosťou súčinu dvoch mocnín s rovnakými základmi, ktorá je tzv hlavná vlastnosť stupňa: pre ľubovoľné reálne číslo a a akékoľvek prirodzené čísla m a n platí rovnosť a m ·a n =a m+n.

    Dokážme hlavnú vlastnosť stupňa. Definíciou mocniny s prirodzeným exponentom možno súčin mocniny s rovnakými základmi tvaru a m ·a n zapísať ako súčin. Vďaka vlastnostiam násobenia možno výsledný výraz zapísať ako a tento súčin je mocninou čísla a s prirodzeným exponentom m+n, teda a m+n. Tým je dôkaz hotový.

    Uveďme príklad potvrdzujúci hlavnú vlastnosť stupňa. Zoberme stupne s rovnakými základmi 2 a prirodzenými mocnosťami 2 a 3, pomocou základnej vlastnosti stupňov môžeme zapísať rovnosť 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Overme si jeho platnosť výpočtom hodnôt výrazov 2 2 · 2 3 a 2 5 . Vykonávame umocňovanie, máme 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 a 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 = 32, pretože sa získajú rovnaké hodnoty, potom je rovnosť 2 2 · 2 3 = 2 5 správna a potvrdzuje hlavnú vlastnosť stupňa.

    Základnú vlastnosť stupňa, založenú na vlastnostiach násobenia, možno zovšeobecniť na súčin troch alebo viacerých mocnín s rovnakými bázami a prirodzenými exponentmi. Takže pre ľubovoľný počet k prirodzených čísel n 1, n 2, …, n k platí nasledujúca rovnosť: a n 1 ·a n 2 ·...·a n k =a n 1 + n 2 +…+n k.

    Napríklad, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    Môžeme prejsť na ďalšiu vlastnosť mocniny s prirodzeným exponentom – vlastnosť kvocientových mocnín s rovnakými základmi: pre ľubovoľné nenulové reálne číslo a a ľubovoľné prirodzené čísla m a n spĺňajúce podmienku m>n platí rovnosť a m:a n =a m−n.

    Pred predložením dôkazu tejto vlastnosti diskutujme o význame dodatočných podmienok vo formulácii. Podmienka a≠0 je nevyhnutná, aby sme sa vyhli deleniu nulou, keďže 0 n = 0, a keď sme sa s delením oboznámili, zhodli sme sa, že nulou deliť nemôžeme. Podmienka m>n je zavedená preto, aby sme neprekročili prirodzené exponenty. V skutočnosti pre m>n je exponent a m−n prirodzené číslo, inak bude buď nula (čo platí pre m−n ) alebo záporné číslo (čo platí pre m

    Dôkaz. Hlavná vlastnosť zlomku nám umožňuje zapísať rovnosť a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Z výslednej rovnosti a m−n ·a n =a m a vyplýva, že a m−n je podiel mocnín a m a a n . To dokazuje vlastnosť kvocientových mocnín s identickými základmi.

    Uveďme si príklad. Zoberme si dva stupne s rovnakými základňami π a prirodzenými exponentmi 5 a 2, rovnosť π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 zodpovedá uvažovanej vlastnosti stupňa.

    Teraz uvažujme výkonová vlastnosť produktu: prirodzená mocnina n súčinu ľubovoľných dvoch reálnych čísel a a b sa rovná súčinu mocnín a n a b n , teda (a·b) n =a n ·b n .

    Podľa definície stupňa s prirodzeným exponentom máme . Na základe vlastností násobenia možno posledný súčin prepísať ako , čo sa rovná a n · b n .

    Tu je príklad: .

    Táto vlastnosť sa rozširuje na silu súčinu troch alebo viacerých faktorov. To znamená, že vlastnosť prirodzeného stupňa n súčinu k faktorov sa zapíše ako (a 1 ·a 2 ·...·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·...·a k n.

    Pre názornosť si túto vlastnosť ukážeme na príklade. Pre súčin troch faktorov na mocninu 7 máme .

    Nasledujúca vlastnosť je vlastnosť naturálneho kvocientu: podiel reálnych čísel a a b, b≠0 k prirodzenému mocninu n sa rovná podielu mocnín a n a b n, teda (a:b) n =a n:b n.

    Dôkaz je možné vykonať pomocou predchádzajúcej vlastnosti. Takže (a:b) nb n = ((a:b) b) n = a n a z rovnosti (a:b) n ·b n =a n vyplýva, že (a:b) n je podiel a n delený b n .

    Napíšme túto vlastnosť pomocou konkrétnych čísel ako príklad: .

    Teraz to vyjadrime vlastnosť povýšiť moc na moc: pre ľubovoľné reálne číslo a a akékoľvek prirodzené čísla m a n sa mocnina a m na n rovná mocnine čísla a s exponentom m·n, teda (a m) n =a m·n.

    Napríklad (5 2) 3 = 5 2·3 = 5 6.

    Dôkazom vlastnosti power-to-degree je nasledujúci reťazec rovnosti: .

    Uvažovaná vlastnosť môže byť rozšírená zo stupňa na stupeň atď. Napríklad pre akékoľvek prirodzené čísla p, q, r a s je rovnosť . Pre lepšiu prehľadnosť uvádzame príklad s konkrétnymi číslami: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    Zostáva sa pozastaviť nad vlastnosťami porovnávania stupňov s prirodzeným exponentom.

    Začnime dôkazom vlastnosti porovnávania nuly a mocniny s prirodzeným exponentom.

    Najprv dokážme, že a n >0 pre ľubovoľné a>0.

    Súčin dvoch kladných čísel je kladné číslo, ako vyplýva z definície násobenia. Táto skutočnosť a vlastnosti násobenia naznačujú, že výsledkom násobenia ľubovoľného počtu kladných čísel bude aj kladné číslo. A mocnina čísla a s prirodzeným exponentom n je podľa definície súčinom n faktorov, z ktorých každý sa rovná a. Tieto argumenty nám umožňujú tvrdiť, že pre akúkoľvek kladnú bázu a je stupeň a n kladné číslo. Vzhľadom na preukázanú vlastnosť 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 a .

    Je celkom zrejmé, že pre akékoľvek prirodzené číslo n s a=0 je stupeň a n nulový. Skutočne, 0 n = 0 · 0 · ... · 0 = 0. Napríklad 0 3 = 0 a 0 762 = 0.

    Prejdime k záporným základom stupňa.

    Začnime prípadom, keď je exponent párne číslo, označme ho ako 2·m, kde m je prirodzené číslo. Potom . Pre každý zo súčinov tvaru a·a sa rovná súčinu modulov čísel a a a, čo znamená, že ide o kladné číslo. Preto bude produkt tiež pozitívny a stupeň a 2·m. Uveďme príklady: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 a .

    Nakoniec, keď základ a je záporné číslo a exponent je nepárne číslo 2 m−1, potom . Všetky súčiny a·a sú kladné čísla, súčin týchto kladných čísel je tiež kladný a jeho vynásobením zvyšným záporným číslom a vznikne záporné číslo. Vďaka tejto vlastnosti (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    Prejdime k vlastnosti porovnávania mocnín s rovnakými prirodzenými exponentmi, ktorá má nasledujúcu formuláciu: z dvoch mocnín s rovnakými prirodzenými exponentmi je n menšie ako tá, ktorej základ je menší a väčší je ten, ktorého základ je väčší. . Poďme to dokázať.

    Nerovnosť a n vlastnosti nerovností pravdivá je aj dokázateľná nerovnosť tvaru a n (2.2) 7 a .

    Zostáva dokázať poslednú z uvedených vlastností mocnín s prirodzenými exponentmi. Poďme to sformulovať. Z dvoch mocnín s prirodzenými exponentmi a rovnakými kladnými základmi menšími ako jedna je tá, ktorej exponent je menší, väčšia; a z dvoch mocnín s prirodzenými exponentmi a rovnakými základňami väčšími ako jedna je tá, ktorej exponent je väčší, väčšia. Prejdime k dôkazu tejto vlastnosti.

    Dokážme, že pre m>n a 0 0 kvôli počiatočnej podmienke m>n, čo znamená, že pri 0

    Zostáva preukázať druhú časť majetku. Dokážme, že pre m>n a a>1 platí a m >a n. Rozdiel a m −a n po vybratí a n zo zátvoriek nadobúda tvar a n ·(a m−n −1) . Tento súčin je kladný, pretože pre a>1 je stupeň a n kladné číslo a rozdiel a m−n −1 je kladné číslo, keďže m−n>0 je výsledkom počiatočnej podmienky a pre a>1 je stupeň a m−n je väčšie ako jedna . V dôsledku toho a m −a n > 0 a a m > a n , čo bolo potrebné dokázať. Táto vlastnosť je znázornená nerovnosťou 3 7 > 3 2.

Vlastnosti mocnin s celočíselnými exponentmi

Keďže kladné celé čísla sú prirodzené čísla, potom sa všetky vlastnosti mocnín s kladnými celočíselnými exponentmi presne zhodujú s vlastnosťami mocnín s prirodzenými exponentmi uvedenými a dokázanými v predchádzajúcom odseku.

Stupeň s celočíselným záporným exponentom, ako aj stupeň s nulovým exponentom sme definovali tak, že všetky vlastnosti stupňov s prirodzenými exponentmi, vyjadrené rovnosťami, zostali v platnosti. Preto všetky tieto vlastnosti platia pre nulové aj záporné exponenty, pričom základ mocnin sa samozrejme líši od nuly.

Takže pre všetky reálne a nenulové čísla a a b, ako aj pre všetky celé čísla m a n, platí nasledovné: vlastnosti mocnin s celočíselnými exponentmi:

  1. a m · a n = a m+n;
  2. a m:a n =a m−n ;
  3. (a·b)n=an·bn;
  4. (a:b)n=an:bn;
  5. (a m) n = a m. n;
  6. ak n je kladné celé číslo, aab sú kladné čísla a a b-n;
  7. ak m a n sú celé čísla a m>n , potom pri 0 1 platí nerovnosť a m >a n.

Keď a=0, mocniny a m a a n dávajú zmysel iba vtedy, keď m aj n sú kladné celé čísla, teda prirodzené čísla. Práve napísané vlastnosti teda platia aj pre prípady, keď a=0 a čísla m a n sú kladné celé čísla.

Dokázanie každej z týchto vlastností nie je ťažké, na to stačí použiť definície stupňov s prirodzenými a celočíselnými exponentmi, ako aj vlastnosti operácií s reálnymi číslami. Ako príklad ukážme, že vlastnosť mocnina platí pre kladné aj záporné celé čísla. Aby ste to dosiahli, musíte ukázať, že ak p je nula alebo prirodzené číslo a q je nula alebo prirodzené číslo, potom rovnosti (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) a (a −p) −q =a (−p)·(−q). Poďme na to.

Pre kladné p a q bola v predchádzajúcom odseku dokázaná rovnosť (a p) q =a p·q. Ak p=0, potom máme (a 0) q =1 q =1 a a 0·q =a 0 =1, odkiaľ (a 0) q =a 0·q. Podobne, ak q=0, potom (a p) 0 = 1 a a p·0 = a 0 = 1, odkiaľ (a p) 0 = a p·0. Ak p=0 aj q=0, potom (a 0) 0 = 1 0 = 1 a a 0,0 = a 0 = 1, odkiaľ (a 0) 0 = a 0,0.

Teraz dokážeme, že (a −p) q =a (−p)·q . Podľa definície mocniny so záporným exponentom celého čísla . Vlastnosťou podielov k mocninám, ktoré máme . Pretože 1 p =1·1·…·1=1 a , potom . Posledným výrazom je podľa definície mocnina tvaru a −(p·q), ktorú možno vzhľadom na pravidlá násobenia zapísať ako (−p)·q.

Podobne .

A .

Pomocou rovnakého princípu môžete dokázať všetky ostatné vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom, zapísaným vo forme rovnosti.

V predposlednej zo zaznamenaných vlastností sa oplatí pozastaviť sa nad dôkazom nerovnosti a −n >b −n, ktorý platí pre akékoľvek záporné celé číslo −n a každé kladné číslo a a b, pre ktoré je splnená podmienka a . Keďže podľa podmienky a 0 Súčin a n · b n je tiež kladný ako súčin kladných čísel a n a b n . Potom je výsledný zlomok kladný ako podiel kladných čísel b n −a n a a n ·b n . Preto a −n >b −n , čo bolo potrebné dokázať.

Posledná vlastnosť mocnín s celočíselnými exponentmi sa dokazuje rovnako ako podobná vlastnosť mocnín s prirodzenými exponentmi.

Vlastnosti mocnin s racionálnymi exponentmi

Stupeň s zlomkovým exponentom sme definovali rozšírením vlastností stupňa o celočíselný exponent. Inými slovami, mocniny so zlomkovými exponentmi majú rovnaké vlastnosti ako mocniny s celočíselnými exponentmi. menovite:

Dôkaz vlastností stupňov so zlomkovými exponentmi je založený na definícii stupňa so zlomkovým exponentom a na vlastnostiach stupňa s celočíselným exponentom. Poskytnime dôkazy.

Podľa definície mocniny so zlomkovým exponentom a , potom . Vlastnosti aritmetického koreňa nám umožňujú zapísať nasledujúce rovnosti. Ďalej pomocou vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom dostaneme , z čoho podľa definície stupňa s zlomkovým exponentom máme , a ukazovateľ získaného stupňa možno transformovať takto: . Tým je dôkaz hotový.

Druhá vlastnosť mocnín so zlomkovými exponentmi sa dokazuje úplne podobným spôsobom:

Zostávajúce rovnosti sú dokázané pomocou podobných princípov:

Prejdime k dokazovaniu ďalšej vlastnosti. Dokážme, že pre každé kladné a a b, a b p . Napíšme racionálne číslo p ako m/n, kde m je celé číslo a n je prirodzené číslo. Podmienky p<0 и p>0 v tomto prípade podmienky m<0 и m>0 podľa toho. Pre m>0 a a

Podobne pre m<0 имеем a m >b m , odkiaľ, teda a p >b p.

Zostáva preukázať poslednú z uvedených vlastností. Dokážme, že pre racionálne čísla p a q je p>q v 0 0 – nerovnosť a p >a q . Racionálne čísla p a q môžeme vždy zredukovať na spoločného menovateľa, aj keď dostaneme obyčajné zlomky a , kde m 1 a m 2 sú celé čísla a n je prirodzené číslo. V tomto prípade bude podmienka p>q zodpovedať podmienke m 1 >m 2, ktorá vyplýva z. Potom pomocou vlastnosti porovnávania mocnín s rovnakými bázami a prirodzenými exponentmi pri 0 1 – nerovnosť a m 1 >a m 2 . Tieto nerovnosti vo vlastnostiach koreňov možno podľa toho prepísať ako A . A definícia stupňa s racionálnym exponentom nám umožňuje prejsť k nerovnostiam a podľa toho. Odtiaľto vyvodíme konečný záver: pre p>q a 0 0 – nerovnosť a p >a q .

Vlastnosti mocnin s iracionálnymi exponentmi

Zo spôsobu, akým je definovaný stupeň s iracionálnym exponentom, môžeme usúdiť, že má všetky vlastnosti stupňov s racionálnym exponentom. Takže pre akékoľvek a>0, b>0 a iracionálne čísla p a q platí nasledovné vlastnosti mocnin s iracionálnymi exponentmi:

  1. ap·aq=ap+q;
  2. a p:a q =a p-q;
  3. (a.b)p=ap.bp;
  4. (a:b)p=ap:bp;
  5. (ap)q=ap-q;
  6. pre všetky kladné čísla a a b, a 0 nerovnosť a p bp;
  7. pre iracionálne čísla p a q platí p>q pri 0 0 – nerovnosť a p >a q .

Z toho môžeme usúdiť, že mocniny s ľubovoľnými reálnymi exponentmi p a q pre a>0 majú rovnaké vlastnosti.

Bibliografia.

  • Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Učebnica matematiky pre 5. ročník. vzdelávacie inštitúcie.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 7. ročník. vzdelávacie inštitúcie.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 8. ročník. vzdelávacie inštitúcie.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 9. ročník. vzdelávacie inštitúcie.
  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre 10. - 11. ročník inštitúcií všeobecného vzdelávania.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl).
Téma lekcie: Stupeň s prirodzeným indikátorom

Typ lekcie: lekcia zovšeobecňovania a systematizácie vedomostí

Typ lekcie: kombinované

Formy práce: individuálne, frontálne, práca vo dvojiciach

Vybavenie: počítač, mediálny produkt (prezentácia v programeMicrosoftKanceláriaPower Point 2007); kartičky s úlohami na samostatnú prácu

Ciele lekcie:

Vzdelávacie : rozvíjanie schopnosti systematizovať a zovšeobecňovať poznatky o stupňoch s prirodzeným exponentom, upevňovať a zdokonaľovať zručnosti jednoduchých transformácií výrazov obsahujúcich stupne s prirodzeným exponentom.

- vývoj: prispieť k formovaniu zručností aplikovať techniky zovšeobecňovania, porovnávania, zvýraznenia hlavnej veci, rozvoja matematických obzorov, myslenia, reči, pozornosti a pamäti.

- vzdelávacie: podporovať záujem o matematiku, aktivitu, organizáciu, formovať pozitívny motív k učeniu, rozvíjať zručnosti vo vzdelávacích a kognitívnych aktivitách

Vysvetľujúca poznámka.

Táto hodina sa vyučuje v triede všeobecného vzdelávania s priemernou úrovňou matematickej prípravy. Hlavným cieľom lekcie je rozvíjať schopnosť systematizovať a zovšeobecňovať vedomosti o stupni s prirodzeným ukazovateľom, ktorý sa realizuje v procese vykonávania rôznych cvičení.

Vývojový charakter sa prejavuje vo výbere cvikov. Používanie multimediálneho produktu vám umožňuje ušetriť čas, urobiť materiál vizuálnejším a ukázať príklady riešení.V lekcii sa používajú rôzne druhy práce, čo znižuje únavu detí.

Štruktúra lekcie:

  1. Organizovanie času.

  2. Nahlásenie témy, stanovenie cieľov lekcie.

  4. Ústna práca.

  5. Systematizácia podporných vedomostí.

  6. Prvky technológií šetriacich zdravie.

  7. Vykonanie testovacej úlohy

  9. Zhrnutie lekcie.

  10. Domáca úloha.

Počas tried:

ja.Organizovanie času

Učiteľ: Dobrý deň, chlapci! Som rád, že vás môžem dnes privítať na našej lekcii. Posaď sa. Dúfam, že v dnešnej lekcii nás čaká úspech aj radosť. A my ako tím ukážeme svoj talent.

Venujte pozornosť počas lekcie. Premýšľajte, pýtajte sa, navrhujte – pretože po ceste k pravde pôjdeme spolu.

Otvorte si zošity a zapíšte si číslo, skvelá práca

II. Komunikácia témy, stanovenie cieľov hodiny

1) Téma lekcie. Epigraf lekcie.(Snímka 2, 3)

„Nech sa niekto pokúsi vymazať z matematiky

stupňa a uvidí, že bez nich sa ďaleko nedostanete“ M.V. Lomonosov

2) Stanovenie cieľov lekcie.

Učiteľ: Takže počas hodiny budeme opakovať, zovšeobecňovať a systematizovať látku, ktorú sme študovali. Vašou úlohou je ukázať svoje znalosti o vlastnostiach stupňov s prirodzeným exponentom a schopnosť ich aplikovať pri plnení rôznych úloh.

III. Zopakovanie základných pojmov z témy, vlastnosti stupňov s prirodzenými exponentmi

1) vyriešiť anagram: (snímka 4)

Nspete (stupeň)

Whoreosis (segment)

Hovhaniosne (základňa)

Casapotel (ukazovateľ)

Násobenie (násobenie)

2) Čo je to titul s prirodzeným exponentom?(Snímka 5)

(Sila čísla a s prirodzeným indikátorom n , väčší ako 1, sa nazýva výraz a n , rovná produktu n faktory, z ktorých každý je rovnaký a základňa, n -index)

3) Prečítajte si výraz, pomenujte základ a exponent: (Snímka 6)

4) Základné vlastnosti stupňa (pripočítajte pravú stranu rovnosti)(Snímka 7)

  • a n a m =

  • a n :a m =

  • (a n ) m =

  • (ab) n =

  • ( a / b ) n =

  • a 0 =

  • a 1 =

IV U pekný Job

1) ústne počítanie (snímka 8)

Učiteľ: Teraz sa pozrime, ako môžete použiť tieto vzorce pri riešení.

1)x 5 X 7 ; 2) a 4 A 0 ;

3) do 9 : Komu 7 ; 4) r n : r ;

5)5 5 2 ; 6) (- b )(- b ) 3 (- b );

7) s 4 : S; 8) 7 3 : 49;

9) r 4 pri 6 y 10) 7 4 49 7 3 ;

11) 16: 4 2 ; 12) 64: 8 2 ;

13) sss 3 ; 14) a 2 n a n ;

15) x 9 : X m ; 16) r n : y

2) hra „Odstráň nepotrebné“ ((-1) 2 ) (snímka 9)

-1

Výborne. Odviedol dobrú prácu. Ďalej riešime nasledujúce príklady.

VSystematizácia referenčných znalostí

1. Spojte výrazy, ktoré si navzájom zodpovedajú, čiarami:(snímka 10)

4 ⁶ 4 2 3 6 4 6

4 6 : 4 2 4 6 /5 6

(3 4) 6 4 ⁶ +2

(4 2 ) 6 4 6-2

(4/5) 6 4 12

2. Usporiadajte čísla vo vzostupnom poradí:(snímka 11)

3 2 (-0,5) 3 (½) 3 35 0 (-10) 3

3. Po dokončení úlohy nasleduje autotest(snímka 12)

  • A1, prezentujte produkt ako výkon:

a) a) x 5 X 4 ; b) 3 7 3 9 ; o 4) 3 (-4) 8 .

  • A 2 zjednodušiť výraz:

a) x 3 X 7 X 8 ; b) 2 21 :2 19 2 3

  • A 3 urobte umocnenie:

a) (a 5 ) 3 ; b) (-c 7 ) 2

VIPrvky technológií šetriacich zdravie (snímka 13)

Hodina telesnej výchovy: opakovanie mocničiek 2 a 3

VIITestovacia úloha (snímka 14)

Odpovede na test sú napísané na tabuli: 1 d 2 o 3b 4r 5 h 6a (korisť)

VIII Samostatná práca s použitím kariet

Na každom stole sú kartičky s úlohou podľa možností, po dokončení práce sa odovzdajú na overenie

možnosť 1

1) Zjednodušte výrazy:

A) b)

V) G)

A) b)

V) G)


Možnosť 2

1) Zjednodušte výrazy:

A) b)

V) G)

2) Nájdite význam výrazu:

A)b)

V) G)

3) Pomocou šípky znázornite, či je hodnota výrazu nula, kladné alebo záporné číslo:

Výsledky lekcie IX

Nie

Typ práce

sebavedomie

Hodnotenie učiteľa

1

Anagram

2

Prečítajte si výraz

3

pravidlá

4

Slovné počítanie

5

Spojte sa s čiarami

6

Usporiadajte vo vzostupnom poradí

7

Samotestovacie úlohy

8

Test

9

Samostatná práca pomocou kariet

X domáca úloha

Testovacie karty

A1. Nájdite význam výrazu: .

algebra 7. trieda

učiteľ matematiky

pobočka MBOUTSOSH č.1

v obci Poletaevo Zueva I.P.

Poletaevo 2016

Predmet: « Vlastnosti stupňa s prirodzeným exponentom»

CIEĽ

  1. Zopakovanie, zovšeobecnenie a systematizácia preberanej látky na tému „Vlastnosti titulu s prirodzeným exponentom“.
  2. Testovanie vedomostí žiakov na túto tému.
  3. Aplikácia získaných vedomostí pri plnení rôznych úloh.

ÚLOHY

predmet :

zopakovať, zhrnúť a systematizovať poznatky k danej téme; vytvárať podmienky na kontrolu (vzájomnú kontrolu) asimilácie vedomostí a zručností;pokračovať v budovaní motivácie študentov k štúdiu predmetu;

meta-predmet:

rozvíjať operačný štýl myslenia; podporovať získavanie komunikačných zručností študentov pri spoločnej práci; aktivovať ich tvorivé myslenie; Ppokračovať v rozvíjaní určitých kompetencií žiakov, ktoré prispejú k ich efektívnej socializácii;sebavzdelávanie a sebavzdelávacie zručnosti.

osobné:

kultivovať kultúru, podporovať formovanie osobných vlastností zameraných na priateľský, tolerantný postoj k sebe, ľuďom, životu; pestovať iniciatívu a samostatnosť v činnostiach; viesť k pochopeniu potreby študovanej témy pre úspešnú prípravu na štátnu záverečnú certifikáciu.

TYP LEKCIE

lekcia zovšeobecňovania a systematizácie ZUN.

Vybavenie: počítač, projektor,premietacie plátno,tabuľka, písomky.

softvér: OS Windows 7: MS Office 2007 (povinná žiadosť - Power Point).

Prípravná fáza:

prezentácia „Vlastnosti titulu s prirodzeným exponentom“;

Pracovný list;

výsledkový list.

Štruktúra

Organizovanie času. Stanovenie cieľov a cieľov lekcie - 3 minúty.

Aktualizácia, systematizácia základných vedomostí - 8 minút.

Praktická časť – 28 minút.

Zovšeobecnenie, výstup -3 minúty.

Domáca úloha - 1 minúta.

Odraz - 2 minúty.

Nápad na lekciu

Preverenie vedomostí žiakov na túto tému zaujímavou a efektívnou formou.

Organizácia lekcie Vyučovacia hodina sa vyučuje v 7. ročníku. Deti pracujú vo dvojiciach, samostatne, učiteľ pôsobí ako konzultant-pozorovateľ.

Počas vyučovania

Čas na organizáciu:

Ahojte chalani! Dnes tu máme nezvyčajnú lekciu hry. Každý z vás má skvelú príležitosť dokázať sa a ukázať svoje znalosti. Možno počas lekcie objavíte skryté schopnosti, ktoré sa vám budú v budúcnosti hodiť.

Každý z vás má na stole hárok so známkami a karty na plnenie úloh na nich. Vezmite si skúšobný hárok do rúk, potrebujete ho, aby ste si počas hodiny sami vyhodnotili svoje vedomosti. Podpíš to.

Takže vás pozývam na lekciu!

Chlapci, pozrite sa na obrazovku a počúvajte báseň.

Snímka č.1

Vynásobte a rozdeľte

Zvýšiť stupeň na stupeň...

Tieto vlastnosti sú nám známe

A už nie sú nové.

Päť jednoduchých pravidiel

Všetci v triede už odpovedali

Ale ak ste zabudli na vlastnosti,

Zvážte, že ste nevyriešili príklad!

A žiť bez problémov v škole

Dám vám pár praktických rád:

Nechcete zabudnúť na pravidlo?

Len si to skúste zapamätať!

Odpovedať na otázku:

1) Aké akcie sa spomínajú?

2) O čom si myslíš, že sa dnes budeme baviť v triede?

Takže téma našej lekcie:

"Vlastnosti stupňa s prirodzeným exponentom" (Snímka 3).

Stanovenie cieľov a cieľov lekcie

V lekcii zopakujeme, zovšeobecníme a systematizujeme materiál preštudovaný na tému „Vlastnosti titulu s prirodzeným exponentom“

Pozrime sa, ako ste sa naučili násobiť a deliť právomoci s rovnakými základmi, ako aj zvyšovať právomoci na mocniny

Aktualizácia základných vedomostí. Systematizácia teoretického materiálu.

1) Ústna práca

Pracujme ústne

1) Formulujte vlastnosti stupňa s prirodzeným exponentom.

2) Doplňte prázdne miesta: (Snímka 4)

1)5 12 : 5 5 =5 7 2) 5 7 ∙ 5 17 = 5 24 3) 5 24 : 125= 5 21 4)(5 0 ) 2 ∙5 24 =5 24

5)5 12 ∙ 5 12 = (5 8 ) 3 6)(3 12 ) 2 = 3 24 7) 13 0 ∙ 13 64 = 13 64

3) Akú hodnotu má výraz:(Snímka 5-9)

a m ∙ a n; (am+n) am: an(am-n); (a m) n; a 1; a 0.

2) Kontrola teoretickej časti (Karta č. 1)

Teraz vezmite do rúk kartu číslo 1 avyplň prázdne miesta

1) Ak je exponentom párne číslo, potom hodnota stupňa je vždy _______________

2) Ak je exponent nepárne číslo, potom sa hodnota stupňa zhoduje so znamienkom ____.

3) Súčin síl a n · a k = a n + k
Pri násobení mocnín s rovnakými základmi musí základ ____________ a exponenty ________.

4) Čiastočné stupne a n : a k = a n - k
Pri delení mocnín s rovnakými základmi musí byť základ _____ a od exponentu dividendy _____________________________.

5) Zvýšenie sily na moc ( a n ) k = a nk
Pri zvýšení mocniny na mocninu musí byť základ _______ a exponenty sú _____.

Kontrola odpovedí. (Snímky 10-13)

Hlavná časť

3) Teraz otvorte zošity, zapíšte si číslo 28.01.14, skvelá práca

Hra "klapka" » (Snímka 14)

Úlohy v zošitoch plňte sami

Postupujte podľa týchto krokov: a)X11 ∙x∙x2 b)X14 : X5 c) (a4 ) 3 d) (-Pre)2 .

Porovnajte hodnotu výrazu s nulou: a)(- 5)7 , b) (-6)18 ,

o 4)11 . ( -4) 8 G)(- 5) 18 ∙ (- 5) 6 , d)-(- 4)8 .

Vypočítajte hodnotu výrazu:

a)-1∙ 3 2, b)(-1 ∙ 3) 2 c)1∙(-3) 2, d) - (2 ∙ 3) 2, e)1 2 ∙ (-3) 2

Skontrolujeme, ak nie je odpoveď správna, raz zatlieskame.

Vypočítajte počet bodov a zapíšte ich do výsledkovej listiny.

4) Teraz urobme nejaké očné cvičenia, uvoľníme napätie a ideme ďalej. Pozorne sledujeme pohyb predmetov

Začať! (Snímka 15, 16, 17, 18).

5) Teraz prejdime k ďalšiemu typu práce. (Karta 2)

Odpoveď napíšte ako mocninu so základom S a spoznáte meno a priezvisko veľkého francúzskeho matematika, ktorý ako prvý zaviedol pojem mocniny čísla.

Uhádnite meno vedca matematika.

1.

S 5 ∙C 3

6.

S 7 : S 5

2.

S 8 : S 6

7.

(S 4 ) 3 ∙C

3,

(S 4 ) 3

8.

S 4 ∙ S 5 ∙ C 0

4.

S 5 ∙C 3 : S 6

9.

S 16 : S 8

5.

S 14 ∙ C 8

10.

(S 3 ) 5

O odpoveď: RENEE XSTES

R

Sh

M

YU

TO

N

A

T

E

D

S 8

S 5

S 1

S 40

S 13

S 12

S 9

S 15

S 2

S 22

Teraz si vypočujme odkaz študenta o „René Descartes“

René Descartes sa narodil 21. marca 1596 v malom mestečku La Gaye v Touraine. Descartesovci patrili k nízkej byrokratickej šľachte. Rene prežil svoje detstvo v Touraine. V roku 1612 Descartes ukončil školu. Strávil tam osem a pol roka. Descartes nenašiel okamžite svoje miesto v živote. Rodený šľachtic, ktorý vyštudoval vysokú školu v La Flèche, sa bezhlavo vrhá do spoločenského života v Paríži, potom všetko zanechá, aby sa mohol venovať vede. Descartes dal matematike osobitné miesto vo svojom systéme, jej princípy ustanovovania pravdy považoval za vzor pre iné vedy. Značnou Descartovou zásluhou bolo zavedenie pohodlných zápisov, ktoré sa zachovali dodnes: latinské písmená x, y, z pre neznáme; a, b, c - pre koeficienty, pre stupne. Descartove záujmy sa neobmedzujú len na matematiku, ale zahŕňajú mechaniku, optiku a biológiu. V roku 1649 sa Descartes po dlhom váhaní presťahoval do Švédska. Toto rozhodnutie sa mu stalo zdravotne osudným. O šesť mesiacov neskôr Descartes zomrel na zápal pľúc.

6) Práca v rade:

1. Vyriešte rovnicu

A) x 4 ∙ (x 5) 2 / x 20: x 8 = 49

B) (t7∙t17): (t0∙t21)= -125

2.Vypočítajte hodnotu výrazu:

(5-x) 2 -2x 3 +3x 2 -4x+x-x 0

a) pri x=-1

b) pri x=2 nezávisle

7) Zoberte kartu č. 3 a urobte test

Možnosť 1

Možnosť 2.

1. Vykonajte 2 rozdelenie výkonu 17 : 2 5

2 12

2 45

2. Napíšte to ako mocninu (x+y)(x+y)=

x 2 + y 2

(x+y) 2

2(x+y)

3. Vymeňte * stupňa tak, že rovnosť a 5 · * = 15

10

a 3

(a 7) 5?

a) a 12

b) a 5

c) a 35

3 = 8 15

8 12

6. Nájdite hodnotu zlomku

1. Vykonajte rozdelenie právomocí 9 9 : 9 7

9 16

9 63

2. Napíšte to ako mocninu (x-y)(x-y)=…

x 2 - y 2

(x-y) 2

2 (x-y)

3. Vymeňte * stupňa tak, aby platila rovnosť b 9 · * = b 18

b 17

b 1 1

4. Akú hodnotu má výraz(so 6) 4?

a) od 10

b) od 6

c) od 24

5. Z navrhovaných možností vyberte tú, ktorá môže nahradiť * v rovnosti (*) 3 = 5 24

5 21

6. Nájdite hodnotu zlomku

Skontrolujte si navzájom svoju prácu a ohodnoťte svojich spolubojovníkov na známkovom hárku.

1 možnosť

A

b

b

s

b

3

Možnosť 2

A

b

s

s

A

4

Doplnkové úlohy pre silných študentov

Každá úloha sa hodnotí samostatne.

Nájdite význam výrazu:

8) Teraz sa pozrime na efektivitu našej lekcie ( Snímka 19)

Ak to chcete urobiť, pri plnení úlohy prečiarknite písmená zodpovedajúce odpovediam.

AOWSTLKRICHGNMO

Zjednodušte výraz:

1.

С 4 ∙С 3

5.

(S 2 ) 3 ∙ S 5

2.

(C5) 3

6.

S 6 ∙ S 5 : S 10

3.

Od 11: Od 6

7.

(S 4 ) 3 ∙C 2

4.

С 5 ∙С 5 : С

Šifra: A - C 7 IN- Od 15 G - S A - Od 30 TO - Od 9 M - Od 14 N - Od 13 O - Od 12 R - Od 11 S - C 5 T - Od 8 H - C 3

Aké slovo si vymyslel? ODPOVEĎ: VÝBORNE! (Snímka 20)

Zhrnutie, hodnotenie, známkovanie (Snímka 21)

Zhrňme si našu lekciu, ako úspešne sme zopakovali, zovšeobecnili a systematizovali poznatky na tému „Vlastnosti titulu s prirodzeným exponentom“

Zoberieme testovacie hárky a vypočítame celkový počet bodov a zapíšeme ich do záverečnej známky

Stand up, ktorý dosiahol 29-32 bodov: výborný

25-28 bodov: hodnotenie - dobré

20-24 bodov: hodnotenie - uspokojivé

Ešte raz skontrolujem správnosť plnenia úloh na kartičkách a porovnám vaše výsledky s bodmi uvedenými na výsledkovej listine. Známky dám do denníka

A pre aktívnu prácu v hodnotiacej lekcii:

Chlapci, poprosím vás, aby ste zhodnotili svoje aktivity na hodine. Označte na hárku nálady.

Záznamový hárok

Priezvisko meno

stupeň

1.Teoretická časť

2. Hra "Clapperboard"

3. Test

4. "Šifra"

Dodatočná časť

Konečná známka:

Emocionálne hodnotenie

O mne

O lekcii

Spokojný

Nespokojný

Domáca úloha (Snímka 22)

Vytvorte krížovku s kľúčovým slovom STUPEŇ. V ďalšej lekcii sa pozrieme na najzaujímavejšie diela.

№ 567

Zoznam použitých zdrojov

  1. Učebnica "Algebra 7. ročník."
  2. Báseň. http://yandex.ru/yandsearch
  3. NIE. Ščurková. Kultúra modernej lekcie. M.: Ruská pedagogická agentúra, 1997.
  4. A.V. Petrov. Metodické a metodické základy osobného rozvoja počítačového vzdelávania. Volgograd. "Zmena", 2001.
  5. A.S. Belkin. Situácia úspechu. Ako ho vytvoriť. M.: „Osvietenie“, 1991.
  6. Informatika a vzdelávanie č.3. Operačný štýl myslenia, 2003

Lekcia na tému: "Stupeň a jeho vlastnosti."

Účel lekcie:

    Zhrňte vedomosti študentov na tému: „Stupeň s prirodzeným ukazovateľom“.

    Dosiahnuť od študentov vedomé pochopenie definície stupňov, vlastností a schopnosti ich aplikovať.

    Naučiť, ako aplikovať vedomosti a zručnosti na úlohy rôznej zložitosti.

    Vytvárajte podmienky pre prejav samostatnosti, vytrvalosti, duševnej aktivity a vštepujte lásku k matematike.

Vybavenie: dierne štítky, karty, testy, tabuľky.

Hodina je navrhnutá tak, aby systematizovala a zovšeobecnila vedomosti študentov o vlastnostiach titulu s prirodzeným exponentom. Učebný materiál formuje matematické vedomosti detí a rozvíja záujem o predmet a rozhľad z historického hľadiska.


Pokrok.

    Komunikácia témy a účelu lekcie.

Dnes máme všeobecnú lekciu na tému „Exponent s prirodzeným exponentom a jeho vlastnosti“.

Cieľom našej lekcie je zopakovať si všetku preberanú látku a pripraviť sa na test.

    Kontrola domácich úloh.

(Účel: skontrolovať ovládanie umocňovania, súčinov a stupňov).

№ 238 (b) č. 220 (a; d) č. 216.

Pri tabuli sú 2 ľudia s jednotlivými kartami.

a 4 ∙ a 15 a 12 ∙ a 4 a 12: a 4 a 18: a 9 (a 2) 5 (a 4) 8 (a 2 b 3) 6 (a 6 bв 4) 3 od 0 do 0

    Ústna práca.

(Cieľ: zopakujte kľúčové body, ktoré posilňujú algoritmus na násobenie a delenie mocnín, zvýšenie na mocninu).

    Formulujte definíciu mocniny čísla s prirodzeným exponentom.

    Nasleduj kroky.

a∙a3; a 4: a 2; (a6)2; (2a3)3; a 0.

    Pri akej hodnote x platí rovnosť.

5 6 ∙5 x = 5 10 10 x: 10 2 = 10 (a 4) x = a 8 (a x b 2) = a 35 b 10

    Určite znamienko výrazu bez vykonania akýchkoľvek výpočtov.

(-3) 5 , -19 2 , -(-15) 2 , (-8) 6 , - (-17) 7

    Zjednodušiť.

A)
; b) (a 4) 6: (a 3) 3

    Brainstorming.

( Cieľ : preveriť základné vedomosti študentov, vlastnosti titulu).

Práca s diernymi štítkami pre rýchlosť.

a 6: a 4; a 10:a 3 (a2)2; (a3)3; (a4)5; (a 0) 2.
    (2a2)2; (-2a3)3; (3a4)2; (-2a2b)4.

    Cvičenie: Zjednodušte výraz (pracujeme vo dvojiciach, trieda rieši úlohu a, b, c, hromadne kontrolujeme).

(Cieľ: precvičovanie vlastností titulu s prirodzeným exponentom.)

A)
; b)
; V)


6. Vypočítať:

A)
( kolektívne )

b)
( sám za seba )

V)
( sám za seba )

G)
( kolektívne )

d)
( sám za seba ).


7 . Skontrolujte sa!

(Cieľ: rozvoj prvkov tvorivej činnosti žiakov a schopnosti kontrolovať svoje konanie).

Práca s testami, 2 žiaci pri tabuli, autotest.

I – c.



    Hodnotiť výrazy.



║ - V.

    Zjednodušte svoje výrazy.


    Vypočítajte.


    Hodnotiť výrazy.


    D/z home k/r (podľa kariet).

    Zhrnutie hodiny, klasifikácia.

(Cieľ: Aby žiaci jasne videli výsledok svojej práce a rozvíjali kognitívny záujem).

    Kto prvý začal študovať na titul?

    Ako postaviť n ?

Takže na n-tý stupeň smeA vzpriamený

Potrebujeme vynásobiť n raz

Ak n jeden – nikdy

Ak viac, tak vynásobte a na,

Opakujem, n-krát.

3) Môžeme zvýšiť číslo na n stupeň, veľmi rýchlo?

Ak si vezmete mikrokalkulačku

Číslo a vytočíte iba raz

A potom znak násobenia - tiež raz,

Znak „úspech“ môžete stlačiť toľkokrát

Koľko n bez jednotky nám ukáže

A odpoveď je pripravená, bez školského pera DOKONCA .

4) Uveďte vlastnosti stupňa s prirodzeným exponentom.

Hodinu budeme hodnotiť po kontrole práce s diernymi štítkami, s testami, pričom zohľadníme odpovede tých žiakov, ktorí odpovedali počas hodiny.

Dnes ste pracovali dobre, ďakujem.

Literatúra:

1. A.G.Mordkovich Algebra-7. ročník.

2.Didaktické materiály - 7. ročník.

3. Testy A.G.Mordkoviča - 7. ročník.