Predmet matematickej štatistiky. Čo je to „matematická štatistika“? Základné pojmy matematickej štatistiky

Teória pravdepodobnosti a matematická štatistika sú základom pravdepodobnostných a štatistických metód spracovania údajov. A údaje spracovávame a analyzujeme predovšetkým na prijímanie rozhodnutí. Pre využitie moderného matematického aparátu je potrebné vyjadrovať uvažované problémy v pravdepodobnostno-štatistických modeloch.

Aplikácia špecifickej pravdepodobnostno-štatistickej metódy pozostáva z troch etáp:

Prechod od ekonomickej, manažérskej, technologickej reality k abstraktnej matematickej a štatistickej schéme, t.j. konštrukcia pravdepodobnostného modelu riadiaceho systému, technologického postupu, rozhodovacieho postupu najmä na základe výsledkov štatistickej kontroly a pod.

Vykonávanie výpočtov a vyvodzovanie záverov čisto matematickými prostriedkami v rámci pravdepodobnostného modelu;

Interpretácia matematických a štatistických záverov vo vzťahu k reálnej situácii a prijatie vhodného rozhodnutia (napríklad o súlade alebo nesúlade kvality výrobku so stanovenými požiadavkami, potrebe úpravy technologického postupu a pod.), najmä, závery (o podiele chybných jednotiek výrobku v dávke, o konkrétnej forme zákonov rozdelenia riadených parametrov technologického procesu a pod.).

Matematická štatistika využíva pojmy, metódy a výsledky teórie pravdepodobnosti. Ďalej uvažujeme o hlavných otázkach konštrukcie pravdepodobnostných modelov v ekonomických, manažérskych, technologických a iných situáciách. Zdôrazňujeme, že na aktívne a správne používanie regulačných, technických a inštruktážnych dokumentov o pravdepodobnostných štatistických metódach sú potrebné predbežné znalosti. Je teda potrebné vedieť, za akých podmienok má byť konkrétny dokument použitý, aké prvotné informácie je potrebné mať pre jeho výber a aplikáciu, aké rozhodnutia by sa mali robiť na základe výsledkov spracovania údajov atď.

Príklady aplikácií teória pravdepodobnosti a matematická štatistika. Uvažujme niekoľko príkladov, kde sú pravdepodobnostno-štatistické modely dobrým nástrojom na riešenie manažérskych, výrobných, ekonomických a národohospodárskych problémov. Takže napríklad v románe A. N. Tolstého „Prechádzka mukami“ (1. diel) sa hovorí: „dielňa produkuje dvadsaťtri percent nepodarkov, vy sa držte tohto čísla,“ povedal Strukov Ivanovi Iľjičovi.

Ako chápať tieto slová v rozhovore manažérov tovární? Jedna výrobná jednotka nemôže byť chybná z 23 %. Môže byť dobrý alebo chybný. Strukov mal pravdepodobne na mysli, že veľkoobjemová šarža obsahuje približne 23 % chybných jednotiek výroby. Potom vyvstáva otázka, čo znamená „približne“? Nech sa ukáže 30 zo 100 testovaných kusov výroby vadných, alebo z 1000 - 300, alebo zo 100 000 - 30 000 atď., treba obviniť Strukova z klamstva?

Alebo iný príklad. Minca použitá ako žreb musí byť „symetrická“. Pri hádzaní by sa v priemere v polovici prípadov mal objaviť erb (hlavy) av polovici prípadov - značka hash (chvosty, číslo). Čo však znamená „v priemere“? Ak vykonáte veľa sérií po 10 hodov v každej sérii, potom sa často stretnete so sériami, v ktorých minca pristane ako erb 4-krát. Pri symetrickej minci sa to stane v 20,5 % behov. A ak je po 100 000 hodoch 40 000 erbov, možno mincu považovať za symetrickú? Postup rozhodovania je založený na teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike.

Príklad sa nemusí zdať dosť vážny. Avšak nie je. Žrebovanie sa široko používa pri organizovaní experimentov priemyselnej realizovateľnosti. Napríklad pri spracovaní výsledkov merania ukazovateľa kvality (trecieho momentu) ložísk v závislosti od rôznych technologických faktorov (vplyv konzervačného prostredia, spôsoby prípravy ložísk pred meraním, vplyv zaťaženia ložísk počas procesu merania a pod.). ). Povedzme, že je potrebné porovnávať kvalitu ložísk v závislosti od výsledkov ich skladovania v rôznych konzervačných olejoch, t.j. v zložených olejoch A A IN. Pri plánovaní takéhoto experimentu vzniká otázka, ktoré ložiská by sa mali umiestniť do oleja kompozície A, a ktoré z nich - v zložení oleja IN, ale tak, aby sa predišlo subjektivite a zabezpečila objektivita prijatého rozhodnutia. Odpoveď na túto otázku možno získať žrebovaním.

Podobný príklad možno uviesť s kontrolou kvality akéhokoľvek produktu. Na rozhodnutie, či kontrolovaná šarža výrobkov spĺňa alebo nespĺňa stanovené požiadavky, sa z nej vyberie vzorka. Na základe výsledkov kontroly vzorky sa urobí záver o celej šarži. V tomto prípade je veľmi dôležité vyhnúť sa subjektivite pri tvorbe vzorky, t.j. je potrebné, aby každá jednotka výrobku v kontrolovanej sérii mala rovnakú pravdepodobnosť, že bude vybraná do vzorky. Vo výrobných podmienkach sa výber jednotiek produktu pre vzorku zvyčajne nevykonáva šaržou, ale pomocou špeciálnych tabuliek náhodných čísel alebo pomocou počítačových snímačov náhodných čísel.

Podobné problémy zabezpečenia objektivity porovnávania vznikajú pri porovnávaní rôznych schém organizácie výroby, odmeňovania, pri výberových konaniach a súťažiach, výbere kandidátov na voľné pozície a pod. Všade potrebujeme žreb alebo podobné postupy.

Nech je potrebné identifikovať najsilnejší a druhý najsilnejší tím pri organizovaní turnaja podľa olympijského systému (porazený je vyradený). Povedzme, že silnejší tím vždy porazí slabší. Je jasné, že majstrom sa určite stane najsilnejší tím. Druhý najsilnejší tím sa dostane do finále vtedy a len vtedy, ak pred finále neodohrá žiadne zápasy s budúcim šampiónom. Ak sa takáto hra plánuje, potom sa do finále nedostane druhý najsilnejší tím. Ten, kto turnaj plánuje, môže buď „vyradiť“ druhý najsilnejší tím z turnaja v predstihu, postaviť ho proti lídrovi v prvom stretnutí, alebo mu zabezpečiť druhé miesto zabezpečením stretnutí so slabšími tímami až po Konečný. Aby sa predišlo subjektivite, uskutoční sa žrebovanie. Pri turnaji s 8 tímami je pravdepodobnosť, že sa dva najlepšie tímy stretnú vo finále, 4/7. V súlade s tým s pravdepodobnosťou 3/7 druhý najsilnejší tím opustí turnaj predčasne.

Akékoľvek meranie jednotiek produktu (pomocou posuvného meradla, mikrometra, ampérmetra atď.) obsahuje chyby. Na zistenie, či existujú systematické chyby, je potrebné vykonať opakované merania jednotky produktu, ktorej vlastnosti sú známe (napríklad štandardná vzorka). Malo by sa pamätať na to, že okrem systematickej chyby existuje aj náhodná chyba.

Preto vzniká otázka, ako z výsledkov merania zistiť, či nejde o systematickú chybu. Ak si všimneme len to, či je chyba získaná pri ďalšom meraní kladná alebo záporná, potom sa tento problém môže zredukovať na ten, ktorý už bol uvažovaný. Porovnajme meranie k hodu mincou, kladnú chybu k strate erbu, zápornú chybu k mriežke (nulová chyba s dostatočným počtom dielikov stupnice sa takmer nikdy nevyskytuje). Potom kontrola absencie systematickej chyby je ekvivalentná kontrole symetrie mince.

Úloha kontroly absencie systematickej chyby sa teda redukuje na úlohu kontroly symetrie mince. Vyššie uvedená úvaha vedie k takzvanému „kritériu znamienka“ v matematickej štatistike.

V štatistickej regulácii technologických procesov sa na základe metód matematickej štatistiky vypracúvajú pravidlá a plány štatistického riadenia procesov zamerané na včasné zisťovanie problémov v technologických procesoch a prijímanie opatrení na ich úpravu a zamedzenie uvoľňovania produktov, ktoré nespôsobujú spĺňať stanovené požiadavky. Tieto opatrenia sú zamerané na zníženie výrobných nákladov a strát z dodávok nekvalitných jednotiek. Počas štatistickej akceptačnej kontroly, založenej na metódach matematickej štatistiky, sa vypracúvajú plány kontroly kvality analýzou vzoriek z produktových šarží. Problém spočíva v schopnosti správne zostaviť pravdepodobnostno-štatistické modely rozhodovania. V matematickej štatistike boli na tento účel vyvinuté pravdepodobnostné modely a metódy na testovanie hypotéz, najmä hypotézy, že podiel chybných jednotiek výroby sa rovná určitému počtu R 0 , Napríklad, R 0 = 0,23 (pamätajte na Strukovove slová z románu A. N. Tolstého).

Hodnotiace úlohy. V mnohých manažérskych, výrobných, ekonomických a národohospodárskych situáciách vznikajú problémy iného typu - problémy posudzovania charakteristík a parametrov rozdelenia pravdepodobnosti.

Pozrime sa na príklad. Nechajte dávku N elektrické lampy Z tejto šarže, vzorka n elektrické lampy Vzniká množstvo prirodzených otázok. Ako určiť priemernú životnosť elektrických lámp na základe výsledkov skúšok prvkov vzorky as akou presnosťou možno túto charakteristiku posúdiť? Ako sa zmení presnosť, ak odoberieme väčšiu vzorku? V akom počte hodín T dá sa zaručiť, že minimálne 90 % elektrických lámp vydrží T a viac hodín?

Predpokladajme, že pri testovaní veľkosti vzorky n elektrické lampy sa ukázali ako chybné X elektrické lampy Aké hranice možno určiť pre číslo? D chybné žiarovky v dávke, pre úroveň defektnosti D/ N a tak ďalej.?

Alebo pri štatistickej analýze presnosti a stability technologických procesov je potrebné vyhodnotiť také ukazovatele kvality, ako je priemerná hodnota kontrolovaného parametra a miera jeho rozptylu v posudzovanom procese. Podľa teórie pravdepodobnosti je vhodné použiť jej matematické očakávanie ako priemernú hodnotu náhodnej premennej a rozptyl, smerodajnú odchýlku alebo variačný koeficient ako štatistickú charakteristiku spreadu. Vznikajú otázky: ako odhadnúť tieto štatistické charakteristiky zo vzorových údajov as akou presnosťou sa to dá urobiť?

Podobných príkladov je možné uviesť veľa. Tu bolo dôležité ukázať, ako sa dá využiť teória pravdepodobnosti a matematická štatistika v inžinierskych a manažérskych problémoch.

Moderná myšlienka matematickej štatistiky. Matematická štatistika sa chápe ako „odvetvie matematiky venované matematickým metódam zberu, systematizácie, spracovania a interpretácie štatistických údajov, ako aj ich využívania na vedecké alebo praktické závery. Pravidlá a postupy matematickej štatistiky sú založené na teórii pravdepodobnosti, ktorá nám umožňuje vyhodnotiť presnosť a spoľahlivosť záverov získaných v každom probléme na základe dostupného štatistického materiálu.“ Štatistické údaje sa v tomto prípade týkajú informácií o počte objektov v akejkoľvek viac či menej rozsiahlej kolekcii, ktoré majú určité charakteristiky.

Na základe typu riešených problémov sa matematická štatistika zvyčajne delí na tri časti: popis údajov, odhad a testovanie hypotéz.

Na základe typu spracovávaných štatistických údajov sa matematická štatistika delí do štyroch oblastí:

Univariačná štatistika (štatistika náhodných premenných), v ktorej je výsledok pozorovania opísaný reálnym číslom;

Viacrozmerná štatistická analýza, kde výsledok pozorovania objektu je opísaný niekoľkými číslami (vektorom);

Štatistika náhodných procesov a časových radov, kde výsledkom pozorovania je funkcia;

Štatistika objektov nenumerického charakteru, v ktorých je výsledok pozorovania nenumerického charakteru, napríklad ide o množinu (geometrický útvar), usporiadanie alebo získané ako výsledok merania na základe na kvalitatívnom kritériu.

Historicky sa ako prvé objavili niektoré oblasti štatistiky objektov nenumerického charakteru (najmä problémy s odhadovaním podielu defektov a testovanie hypotéz o ňom) a jednorozmerné štatistiky. Matematický aparát je pre nich jednoduchší, preto sa na ich príklade zvyčajne demonštrujú základné myšlienky matematickej štatistiky.

Len tie spôsoby spracovania údajov, t.j. matematické štatistiky sú založené na dôkazoch, ktoré sú založené na pravdepodobnostných modeloch relevantných reálnych javov a procesov. Hovoríme o modeloch spotrebiteľského správania, výskyte rizík, fungovaní technologických zariadení, získavaní experimentálnych výsledkov, priebehu choroby a pod. Pravdepodobný model reálneho javu by sa mal považovať za skonštruovaný, ak sú uvažované veličiny a súvislosti medzi nimi vyjadrené v teórii pravdepodobnosti. Korešpondencia s pravdepodobnostným modelom reality, t.j. jeho primeranosť sa zdôvodňuje najmä použitím štatistických metód na testovanie hypotéz.

Nepravdepodobnostné metódy spracovania údajov sú prieskumné, možno ich použiť len pri predbežnej analýze údajov, keďže neumožňujú posúdiť presnosť a spoľahlivosť záverov získaných na základe obmedzeného štatistického materiálu.

Pravdepodobnostné a štatistické metódy sú použiteľné všade tam, kde je možné zostrojiť a zdôvodniť pravdepodobnostný model javu alebo procesu. Ich použitie je povinné, keď sa závery vyvodené zo vzoriek údajov prenášajú na celú populáciu (napríklad zo vzorky na celú šaržu produktov).

V špecifických oblastiach použitia sa používajú pravdepodobnostné aj štatistické metódy všeobecnej aplikácie a špecifické. Napríklad v časti riadenia výroby venovanej štatistickým metódam riadenia kvality výrobkov sa využíva aplikovaná matematická štatistika (vrátane navrhovania experimentov). Pomocou jej metód sa vykonáva štatistická analýza presnosti a stability technologických procesov a štatistické hodnotenie kvality. Medzi špecifické metódy patria metódy štatistickej preberacej kontroly kvality výrobkov, štatistickej regulácie technologických procesov, hodnotenia a kontroly spoľahlivosti a pod.

Aplikované pravdepodobnostné a štatistické disciplíny ako teória spoľahlivosti a teória radenia sú široko používané. Obsah prvej z nich je zrejmý už z názvu, druhá sa zaoberá štúdiom systémov ako je telefónna ústredňa, ktorá prijíma hovory v náhodných časoch – požiadavkami účastníkov vytáčajúcich čísla na svojich telefónnych prístrojoch. Trvanie obsluhy týchto požiadaviek, t.j. trvanie rozhovorov je tiež modelované náhodnými premennými. Veľký príspevok k rozvoju týchto disciplín urobil člen korešpondenta Akadémie vied ZSSR A.Ya. Khinchin (1894-1959), akademik Akadémie vied Ukrajinskej SSR B.V. Gnedenko (1912-1995) a ďalší domáci vedci.

Stručne o histórii matematickej štatistiky. Matematická štatistika ako veda sa začína prácami slávneho nemeckého matematika Carla Friedricha Gaussa (1777-1855), ktorý na základe teórie pravdepodobnosti skúmal a zdôvodňoval metódu najmenších štvorcov, ktorú vytvoril v roku 1795 a používal ju na spracovanie astronomických údajov ( s cieľom objasniť obežnú dráhu malej planéty Ceres). Jedno z najpopulárnejších rozdelení pravdepodobnosti, normálne, je často pomenované po ňom a v teórii náhodných procesov sú hlavným predmetom štúdia Gaussove procesy.

Koncom 19. stor. - začiatok 20. storočia K matematickej štatistike zásadne prispeli anglickí výskumníci, predovšetkým K. Pearson (1857-1936) a R.A. Fisher (1890-1962). Najmä Pearson vyvinul chí-kvadrát test na testovanie štatistických hypotéz a Fisher vyvinul analýzu rozptylu, teóriu experimentálneho dizajnu a metódu maximálnej pravdepodobnosti na odhadovanie parametrov.

V 30. rokoch dvadsiateho storočia. Poliak Jerzy Neumann (1894-1977) a Angličan E. Pearson vypracovali všeobecnú teóriu testovania štatistických hypotéz a sovietski matematici akademik A.N. Kolmogorov (1903-1987) a člen korešpondenta Akadémie vied ZSSR N.V. Smirnov (1900-1966) položili základy neparametrickej štatistiky. V štyridsiatych rokoch dvadsiateho storočia. Rumun A. Wald (1902-1950) vybudoval teóriu sekvenčnej štatistickej analýzy.

Matematická štatistika sa v súčasnosti rýchlo rozvíja. Za posledných 40 rokov teda možno rozlíšiť štyri zásadne nové oblasti výskumu:

Vývoj a implementácia matematických metód na plánovanie experimentov;

Rozvoj štatistiky objektov nenumerického charakteru ako samostatného smeru v aplikovanej matematickej štatistike;

Vývoj štatistických metód, ktoré sú odolné voči malým odchýlkam od použitého pravdepodobnostného modelu;

Široký rozvoj prác na tvorbe počítačových softvérových balíkov určených na štatistickú analýzu údajov.

Pravdepodobnostno-štatistické metódy a optimalizácia. Myšlienka optimalizácie preniká do modernej aplikovanej matematickej štatistiky a iných štatistických metód. A to metódy plánovania experimentov, štatistická kontrola preberania, štatistická regulácia technologických procesov a pod. Na druhej strane optimalizačné formulácie v teórii rozhodovania, napríklad aplikovaná teória optimalizácie kvality výrobkov a štandardných požiadaviek, zabezpečujú rozšírené používanie pravdepodobnostných štatistických metód, predovšetkým aplikovanej matematickej štatistiky.

V riadení výroby, najmä pri optimalizácii kvality výrobkov a štandardných požiadaviek, je obzvlášť dôležité aplikovať štatistické metódy v počiatočnej fáze životného cyklu výrobku, t.j. v štádiu prípravy výskumu experimentálneho vývoja dizajnu (vývoj sľubných požiadaviek na produkt, predbežný návrh, technické špecifikácie pre vývoj experimentálneho dizajnu). Je to spôsobené obmedzenými informáciami dostupnými v počiatočnej fáze životného cyklu produktu a potrebou predpovedať technické možnosti a ekonomickú situáciu do budúcnosti. Štatistické metódy by sa mali používať vo všetkých fázach riešenia optimalizačného problému - pri škálovaní premenných, vývoji matematických modelov fungovania produktov a systémov, vykonávaní technických a ekonomických experimentov atď.

Pri optimalizačných problémoch, vrátane optimalizácie kvality produktov a štandardných požiadaviek, sa využívajú všetky oblasti štatistiky. Konkrétne ide o štatistiku náhodných veličín, viacrozmernú štatistickú analýzu, štatistiku náhodných procesov a časových radov, štatistiku objektov nenumerického charakteru. Boli vyvinuté odporúčania na výber štatistickej metódy na analýzu špecifických údajov.

Obsah.

1. Úvod:
- Ako sa používa teória pravdepodobnosti a matematická štatistika? - strana 2
- Čo je to „matematická štatistika“? - strana 3
2) Príklady aplikácie teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky:
- Vzorkovanie. - strana 4
- Hodnotiace úlohy. – strana 6
- Pravdepodobnostno-štatistické metódy a optimalizácia. – strana 7
3) Záver.

Úvod.

Ako sa používa teória pravdepodobnosti a matematická štatistika? Tieto disciplíny sú základom pravdepodobnostných a štatistických metód rozhodovania. Na využitie ich matematického aparátu je potrebné vyjadrovať rozhodovacie problémy z hľadiska pravdepodobnostno-štatistických modelov. Aplikácia konkrétnej pravdepodobnostno-štatistickej metódy rozhodovania pozostáva z troch etáp:
- prechod od ekonomickej, manažérskej, technologickej reality k abstraktnej matematickej a štatistickej schéme, t.j. konštrukcia pravdepodobnostného modelu riadiaceho systému, technologického postupu, rozhodovacieho postupu najmä na základe výsledkov štatistickej kontroly a pod.
- vykonávanie výpočtov a získavanie záverov čisto matematickými prostriedkami v rámci pravdepodobnostného modelu;
- interpretácia matematických a štatistických záverov vo vzťahu k reálnemu stavu a primerané rozhodnutie (napríklad o súlade alebo nesúlade kvality výrobku so stanovenými požiadavkami, potrebe úpravy technologického postupu a pod.), najmä , závery (o podiele chybných jednotiek výrobku v dávke, o konkrétnom druhu zákonitostí rozloženia riadených parametrov technologického procesu a pod.).

Matematická štatistika využíva pojmy, metódy a výsledky teórie pravdepodobnosti. Uvažujme o hlavných otázkach konštrukcie pravdepodobnostných modelov rozhodovania v ekonomických, manažérskych, technologických a iných situáciách. Pre aktívne a správne používanie regulačných, technických a inštruktážnych dokumentov o pravdepodobnostných a štatistických metódach rozhodovania sú potrebné predbežné znalosti. Je teda potrebné vedieť, za akých podmienok má byť konkrétny dokument použitý, aké prvotné informácie je potrebné mať pre jeho výber a aplikáciu, aké rozhodnutia by sa mali robiť na základe výsledkov spracovania údajov atď.

Čo je to „matematická štatistika“? Matematická štatistika sa chápe ako „odvetvie matematiky venované matematickým metódam zberu, systematizácie, spracovania a interpretácie štatistických údajov, ako aj ich využívania na vedecké alebo praktické závery. Pravidlá a postupy matematickej štatistiky sú založené na teórii pravdepodobnosti, ktorá nám umožňuje vyhodnotiť presnosť a spoľahlivosť záverov získaných v každom probléme na základe dostupného štatistického materiálu.“ Štatistické údaje sa v tomto prípade týkajú informácií o počte objektov v akejkoľvek viac či menej rozsiahlej kolekcii, ktoré majú určité charakteristiky.

Na základe typu riešených problémov sa matematická štatistika zvyčajne delí na tri časti: popis údajov, odhad a testovanie hypotéz.

Na základe typu spracovávaných štatistických údajov sa matematická štatistika delí do štyroch oblastí:

Univariačná štatistika (štatistika náhodných premenných), v ktorej je výsledok pozorovania opísaný reálnym číslom;

Viacrozmerná štatistická analýza, kde výsledok pozorovania objektu je opísaný niekoľkými číslami (vektorom);

Štatistika náhodných procesov a časových radov, kde výsledkom pozorovania je funkcia;

Príklady aplikácie teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky.
Uvažujme niekoľko príkladov, kde sú pravdepodobnostné štatistické modely dobrým nástrojom na riešenie manažérskych, výrobných, ekonomických a národohospodárskych problémov. Takže napríklad minca, ktorá sa použije ako žreb, musí byť „symetrická“, t.j. pri hádzaní by sa mal v priemere v polovici prípadov objaviť erb av polovici prípadov - hash (chvosty, číslo). Čo však znamená „v priemere“? Ak vykonáte veľa sérií po 10 hodov v každej sérii, potom sa často stretnete so sériami, v ktorých minca pristane ako erb 4-krát. Pri symetrickej minci sa to stane v 20,5 % behov. A ak je po 100 000 hodoch 40 000 erbov, možno mincu považovať za symetrickú? Postup rozhodovania je založený na teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike.

Daný príklad sa nemusí zdať dosť vážny. Avšak nie je. Žrebovanie má široké využitie pri organizovaní priemyselných technických a ekonomických experimentov, napríklad pri spracovaní výsledkov merania ukazovateľa kvality (trecieho momentu) ložísk v závislosti od rôznych technologických faktorov (vplyv konzervačného prostredia, spôsoby prípravy ložísk pred meraním). , vplyv zaťaženia ložísk počas procesu merania a pod.) P.). Povedzme, že je potrebné porovnávať kvalitu ložísk v závislosti od výsledkov ich skladovania v rôznych konzervačných olejoch, t.j. v olejoch zloženia A a B. Pri plánovaní takéhoto experimentu vyvstáva otázka, ktoré ložiská umiestniť do oleja zloženia A a ktoré do oleja zloženia B, avšak tak, aby sa predišlo subjektívnosti a zabezpečiť objektivitu prijatého rozhodnutia.

Ukážka
Odpoveď na túto otázku možno získať žrebovaním. Podobný príklad možno uviesť s kontrolou kvality akéhokoľvek produktu. Na rozhodnutie, či kontrolovaná šarža výrobkov spĺňa alebo nespĺňa stanovené požiadavky, sa z nej vyberie vzorka. Na základe výsledkov kontroly vzorky sa urobí záver o celej šarži. V tomto prípade je veľmi dôležité vyhnúť sa subjektivite pri vytváraní vzorky, to znamená, že je potrebné, aby každá jednotka produktu v kontrolovanej šarži mala rovnakú pravdepodobnosť, že bude vybraná do vzorky. Vo výrobných podmienkach sa výber jednotiek produktu pre vzorku zvyčajne nevykonáva šaržou, ale pomocou špeciálnych tabuliek náhodných čísel alebo pomocou počítačových snímačov náhodných čísel.
Podobné problémy zabezpečenia objektivity porovnávania vznikajú pri porovnávaní rôznych schém organizácie výroby, odmeňovania, pri výberových konaniach a súťažiach, výbere kandidátov na voľné pozície a pod. Všade potrebujeme žreb alebo podobné postupy. Vysvetlime si to na príklade identifikácie najsilnejšieho a druhého najsilnejšieho tímu pri organizovaní turnaja podľa olympijského systému (porazený je vyradený). Nech silnejší tím vždy porazí slabšieho. Je jasné, že majstrom sa určite stane najsilnejší tím. Druhý najsilnejší tím sa dostane do finále vtedy a len vtedy, ak pred finále neodohrá žiadne zápasy s budúcim šampiónom. Ak sa takáto hra plánuje, druhý najsilnejší tím sa do finále nedostane. Ten, kto turnaj plánuje, môže buď „vyradiť“ druhý najsilnejší tím z turnaja v predstihu, postaviť ho proti lídrovi v prvom stretnutí, alebo mu zabezpečiť druhé miesto zabezpečením stretnutí so slabšími tímami až po Konečný. Aby sa predišlo subjektivite, uskutoční sa žrebovanie. Pri turnaji s 8 tímami je pravdepodobnosť, že sa dva najlepšie tímy stretnú vo finále, 4/7. V súlade s tým s pravdepodobnosťou 3/7 druhý najsilnejší tím opustí turnaj predčasne.
Akékoľvek meranie jednotiek produktu (pomocou posuvného meradla, mikrometra, ampérmetra atď.) obsahuje chyby. Na zistenie, či existujú systematické chyby, je potrebné vykonať opakované merania jednotky produktu, ktorej vlastnosti sú známe (napríklad štandardná vzorka). Malo by sa pamätať na to, že okrem systematickej chyby existuje aj náhodná chyba.

Preto vzniká otázka, ako z výsledkov merania zistiť, či nejde o systematickú chybu. Ak si všimneme len to, či chyba získaná pri nasledujúcom meraní je kladná alebo záporná, potom sa táto úloha môže zredukovať na predchádzajúcu. Porovnajme meranie k hodu mincou, kladnú chybu k strate erbu, zápornú chybu k mriežke (nulová chyba s dostatočným počtom dielikov stupnice sa takmer nikdy nevyskytuje). Potom kontrola absencie systematickej chyby je ekvivalentná kontrole symetrie mince.

Účelom týchto úvah je zredukovať problém kontroly absencie systematickej chyby na problém kontroly symetrie mince. Vyššie uvedená úvaha vedie k takzvanému „kritériu znamienka“ v matematickej štatistike.
„Test znamienka“ je štatistické kritérium, ktoré vám umožňuje testovať nulovú hypotézu, že vzorka sa riadi binomickým rozdelením s parametrom p=1/2. Znakový test možno použiť ako neparametrický štatistický test na testovanie hypotézy, že medián sa rovná danej hodnote (konkrétne nule) a že v dvoch súvisiacich vzorkách neexistuje žiadna odchýlka (neprítomnosť účinku liečby). Umožňuje tiež testovať hypotézu distribučnej symetrie, existujú však na to silnejšie kritériá - jednovzorkový Wilcoxonov test a jeho modifikácie.

V štatistickej regulácii technologických procesov sa na základe metód matematickej štatistiky vypracúvajú pravidlá a plány štatistického riadenia procesov zamerané na včasné zisťovanie problémov v technologických procesoch a prijímanie opatrení na ich úpravu a zamedzenie uvoľňovania produktov, ktoré nespôsobujú spĺňať stanovené požiadavky. Tieto opatrenia sú zamerané na zníženie výrobných nákladov a strát z dodávok nekvalitných jednotiek. Počas štatistickej akceptačnej kontroly, založenej na metódach matematickej štatistiky, sa vypracúvajú plány kontroly kvality analýzou vzoriek z produktových šarží. Náročnosť spočíva v schopnosti správne zostaviť pravdepodobnostno-štatistické modely rozhodovania, na základe ktorých možno zodpovedať vyššie položené otázky. V matematickej štatistike boli na tento účel vyvinuté pravdepodobnostné modely a metódy na testovanie hypotéz, najmä hypotézy, že podiel chybných jednotiek výroby sa rovná určitému číslu p0, napríklad p0 = 0,23.

Hodnotiace úlohy.
V mnohých manažérskych, výrobných, ekonomických a národohospodárskych situáciách vznikajú problémy iného typu - problémy posudzovania charakteristík a parametrov rozdelenia pravdepodobnosti.

Pozrime sa na príklad. Nechajte doraziť dávku N elektrických lámp na kontrolu. Z tejto šarže bola náhodne vybraná vzorka n elektrických lámp. Vzniká množstvo prirodzených otázok. Ako určiť priemernú životnosť elektrických svietidiel na základe výsledkov skúšok prvkov vzorky as akou presnosťou možno túto charakteristiku posúdiť? Ako sa zmení presnosť, ak odoberieme väčšiu vzorku? Pri akom počte hodín T je možné zaručiť, že aspoň 90 % elektrických lámp vydrží T alebo viac hodín?

Predpokladajme, že pri testovaní vzorky n elektrických lámp sa X elektrických lámp ukázalo ako chybných. Potom vyvstávajú nasledujúce otázky. Aké limity možno určiť pre počet D chybných elektrických žiaroviek v sérii, pre úroveň defektnosti D/N atď.?

Alebo pri štatistickej analýze presnosti a stability technologických procesov je potrebné vyhodnotiť také ukazovatele kvality, ako je priemerná hodnota kontrolovaného parametra a miera jeho rozptylu v posudzovanom procese. Podľa teórie pravdepodobnosti je vhodné použiť jej matematické očakávanie ako priemernú hodnotu náhodnej premennej a rozptyl, smerodajnú odchýlku alebo variačný koeficient ako štatistickú charakteristiku spreadu. To vyvoláva otázku: ako odhadnúť tieto štatistické charakteristiky zo vzorových údajov as akou presnosťou to možno urobiť? Podobných príkladov je možné uviesť veľa. Tu bolo dôležité ukázať, ako sa dá využiť teória pravdepodobnosti a matematická štatistika v riadení výroby pri rozhodovaní v oblasti štatistického riadenia kvality produktov.

Pravdepodobnostno-štatistické metódy a optimalizácia. Myšlienka optimalizácie preniká do modernej aplikovanej matematickej štatistiky a iných štatistických metód. A to metódy plánovania experimentov, štatistická kontrola preberania, štatistická regulácia technologických procesov a pod. Na druhej strane optimalizačné formulácie v teórii rozhodovania, napríklad aplikovaná teória optimalizácie kvality výrobkov a štandardných požiadaviek, zabezpečujú rozšírené používanie pravdepodobnostných štatistických metód, predovšetkým aplikovanej matematickej štatistiky.

Pri optimalizačných problémoch, vrátane optimalizácie kvality produktov a štandardných požiadaviek, sa využívajú všetky oblasti štatistiky. Konkrétne ide o štatistiku náhodných veličín, viacrozmernú štatistickú analýzu, štatistiku náhodných procesov a časových radov, štatistiku objektov nenumerického charakteru. Na analýzu konkrétnych údajov je vhodné zvoliť štatistickú metódu podľa odporúčaní.

Záver.
IN
atď.................

Matematická štatistika sa chápe ako „odvetvie matematiky venované matematickým metódam zberu, systematizácie, spracovania a interpretácie štatistických údajov, ako aj ich využívania na vedecké alebo praktické závery. Pravidlá a postupy matematickej štatistiky sú založené na teórii pravdepodobnosti, ktorá nám umožňuje vyhodnotiť presnosť a spoľahlivosť záverov získaných v každom probléme na základe dostupného štatistického materiálu.“ Štatistické údaje sa v tomto prípade týkajú informácií o počte objektov v akejkoľvek viac či menej rozsiahlej kolekcii, ktoré majú určité charakteristiky.

Na základe typu riešených problémov sa matematická štatistika zvyčajne delí na tri časti: popis údajov, odhad a testovanie hypotéz.

Na základe typu spracovávaných štatistických údajov sa matematická štatistika delí do štyroch oblastí:

— jednorozmerná štatistika (štatistika náhodných premenných), v ktorej je výsledok pozorovania opísaný reálnym číslom;

— viacrozmerná štatistická analýza, kde je výsledok pozorovania objektu opísaný niekoľkými číslami (vektorom);

— štatistika náhodných procesov a časových radov, kde je výsledkom pozorovania funkcia;

- štatistika objektov nečíselnej povahy, v ktorej je výsledok pozorovania nečíselnej povahy, napríklad je to množina (geometrický útvar), usporiadanie alebo získaný ako výsledok merania na základe kvalitatívneho kritéria.

Korešpondencia s pravdepodobnostným modelom reality, t.j. jeho primeranosť sa zdôvodňuje najmä použitím štatistických metód na testovanie hypotéz.

Na základe typu riešených problémov sa matematická štatistika zvyčajne delí na tri časti: popis údajov, odhad a testovanie hypotéz.

Na základe typu spracovávaných štatistických údajov sa matematická štatistika delí do štyroch oblastí:
- jednorozmerná štatistika (štatistika náhodných premenných), v ktorej je výsledok pozorovania opísaný reálnym číslom;
- viacrozmerná štatistická analýza, kde výsledok pozorovania objektu je opísaný niekoľkými číslami (vektorom);
- štatistika náhodných procesov a časových radov, kde výsledkom pozorovania je funkcia;
- štatistika objektov nenumerického charakteru, v ktorej je výsledok pozorovania nenumerického charakteru, napríklad ide o súbor (geometrický útvar), usporiadanie alebo získaný ako výsledok merania na základe na kvalitatívnom kritériu.

Ako sa používa teória pravdepodobnosti a matematická štatistika? Tieto disciplíny sú základom pravdepodobnostných a štatistických metód rozhodovanie. Na používanie ich matematického aparátu potrebujete problémy rozhodovanie vyjadrovať z hľadiska pravdepodobnostno-štatistických modelov. Aplikácia špecifickej pravdepodobnostno-štatistickej metódy rozhodovanie pozostáva z troch etáp:

prechod od ekonomickej, manažérskej, technologickej reality k abstraktnej matematickej a štatistickej schéme, t.j. konštrukcia pravdepodobnostného modelu riadiaceho systému, technologického procesu, rozhodovacie postupy, najmä na základe výsledkov štatistickej kontroly a pod.;
vykonávanie výpočtov a získavanie záverov čisto matematickými prostriedkami v rámci pravdepodobnostného modelu;
interpretáciu matematických a štatistických záverov vo vzťahu k reálnej situácii a primerané rozhodnutie (napríklad o súlade alebo nesúlade kvality výrobku so stanovenými požiadavkami, potrebe úpravy technologického postupu a pod.), najmä, závery (o podiele chybných jednotiek produktu v dávke, o konkrétnej forme distribučných zákonov kontrolované parametre technologický postup a pod.).

Matematická štatistika využíva pojmy, metódy a výsledky teórie pravdepodobnosti. Pozrime sa na hlavné problémy konštrukcie pravdepodobnostných modelov rozhodovanie v ekonomických, manažérskych, technologických a iných situáciách. Za aktívne a správne používanie regulačných, technických a inštruktážnych dokumentov o pravdepodobnostných a štatistických metódach rozhodovanie sú potrebné predchádzajúce znalosti. Je teda potrebné vedieť, za akých podmienok má byť konkrétny dokument použitý, aké prvotné informácie je potrebné mať pre jeho výber a aplikáciu, aké rozhodnutia by sa mali robiť na základe výsledkov spracovania údajov atď.

Príklady aplikácie teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky. Uvažujme niekoľko príkladov, kde sú pravdepodobnostno-štatistické modely dobrým nástrojom na riešenie manažérskych, výrobných, ekonomických a národohospodárskych problémov. Tak napríklad v románe A.N. Tolstého „Walking Through Torment“ (1. diel) hovorí: „dielňa produkuje dvadsaťtri percent defektov, vy sa držte tohto čísla,“ povedal Strukov Ivanovi Iľjičovi.

Vynára sa otázka, ako chápať tieto slová v rozhovore manažérov tovární, keďže jedna jednotka výroby nemôže byť chybná na 23 %. Môže byť dobrý alebo chybný. Strukov mal pravdepodobne na mysli, že veľkoobjemová šarža obsahuje približne 23 % chybných jednotiek výroby. Potom vyvstáva otázka, čo znamená „približne“? Nech sa 30 zo 100 testovaných kusov výroby ukáže ako chybných, alebo z 1000-300, alebo z 100000-30000 atď., treba obviniť Strukova z klamstva?

Alebo iný príklad. Minca použitá ako žreb musí byť „symetrická“, t.j. pri hádzaní by mal v priemere v polovici prípadov vypadnúť erb av polovici prípadov - hash (chvosty, číslo). Čo však znamená „v priemere“? Ak vykonáte veľa sérií po 10 hodov v každej sérii, potom sa často stretnete so sériami, v ktorých minca pristane ako erb 4-krát. Pri symetrickej minci sa to stane v 20,5 % behov. A ak je po 100 000 hodoch 40 000 erbov, možno mincu považovať za symetrickú? Postup rozhodovanie vychádza z teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky.

Daný príklad sa nemusí zdať dosť vážny. Avšak nie je. Žrebovanie má široké využitie pri organizovaní priemyselných technických a ekonomických experimentov, napríklad pri spracovaní výsledkov merania ukazovateľa kvality (trecieho momentu) ložísk v závislosti od rôznych technologických faktorov (vplyv konzervačného prostredia, spôsoby prípravy ložísk pred meraním). , vplyv zaťaženia ložísk počas procesu merania a pod.) P.). Povedzme, že je potrebné porovnávať kvalitu ložísk v závislosti od výsledkov ich skladovania v rôznych konzervačných olejoch, t.j. v olejoch zloženia a. Pri plánovaní takéhoto experimentu vyvstáva otázka, ktoré ložiská by mali byť umiestnené v oleji kompozície a ktoré - v oleji kompozície, ale takým spôsobom, aby sa zabránilo subjektivite a zabezpečila objektivita prijatého rozhodnutia.

Odpoveď na túto otázku možno získať žrebovaním. Podobný príklad možno uviesť s kontrolou kvality akéhokoľvek produktu. Na posúdenie, či kontrolovaná šarža výrobkov spĺňa stanovené požiadavky, sa urobí vzorka. Na základe výsledkov kontroly vzorky sa urobí záver o celej šarži. V tomto prípade je veľmi dôležité vyhnúť sa subjektivite pri tvorbe vzorky, t.j. je potrebné, aby každá jednotka výrobku v kontrolovanej sérii mala rovnakú pravdepodobnosť, že bude vybraná do vzorky. Vo výrobných podmienkach sa výber jednotiek produktu pre vzorku zvyčajne nevykonáva šaržou, ale pomocou špeciálnych tabuliek náhodných čísel alebo pomocou počítačových snímačov náhodných čísel.

Podobné problémy so zabezpečením objektivity porovnávania vznikajú pri porovnávaní rôznych schém organizácie výroby, odmeňovanie, počas výberových konaní a výberových konaní, výber kandidátov na voľné pozície a pod. Všade potrebujeme žreb alebo podobné postupy. Vysvetlime si to na príklade identifikácie najsilnejšieho a druhého najsilnejšieho tímu pri organizovaní turnaja podľa olympijského systému (porazený je vyradený). Nech silnejší tím vždy porazí slabšieho. Je jasné, že majstrom sa určite stane najsilnejší tím. Druhý najsilnejší tím sa dostane do finále vtedy a len vtedy, ak pred finále neodohrá žiadne zápasy s budúcim šampiónom. Ak sa takáto hra plánuje, druhý najsilnejší tím sa do finále nedostane. Ten, kto turnaj plánuje, môže buď „vyradiť“ druhý najsilnejší tím z turnaja v predstihu, postaviť ho proti lídrovi v prvom stretnutí, alebo mu poskytnúť druhé miesto, čím zabezpečí stretnutia so slabšími tímami až do finále. . Aby sa predišlo subjektivite, uskutoční sa žrebovanie. Pri turnaji s 8 tímami je pravdepodobnosť, že sa dva najlepšie tímy stretnú vo finále, 4/7. V súlade s tým s pravdepodobnosťou 3/7 druhý najsilnejší tím opustí turnaj predčasne.

Preto vzniká otázka, ako z výsledkov merania zistiť, či nejde o systematickú chybu. Ak si všimneme len to, či chyba získaná pri nasledujúcom meraní je kladná alebo záporná, potom sa táto úloha môže zredukovať na predchádzajúcu. Vskutku, porovnajme meranie s hodením mince, kladnú chybu so stratou erbu a zápornú chybu s mriežkou (nulová chyba s dostatočným počtom dielikov stupnice sa takmer nikdy nevyskytuje). Potom kontrola absencie systematickej chyby je ekvivalentná kontrole symetrie mince.

V štatistickej regulácii technologických procesov sa na základe metód matematickej štatistiky vypracúvajú pravidlá a plány štatistického riadenia procesov zamerané na včasné odhaľovanie problémov technologických procesov, prijímanie opatrení na ich úpravu a zamedzenie uvoľňovania produktov, ktoré nespôsobujú spĺňať stanovené požiadavky. Tieto opatrenia sú zamerané na zníženie výrobných nákladov a strát z dodávok nekvalitných jednotiek. Počas štatistickej akceptačnej kontroly, založenej na metódach matematickej štatistiky, sa vypracúvajú plány kontroly kvality analýzou vzoriek z produktových šarží. Problém spočíva v schopnosti správne zostaviť pravdepodobnostné štatistické modely rozhodovanie, na základe čoho možno odpovedať na vyššie uvedené otázky. V matematickej štatistike boli na tento účel vyvinuté pravdepodobnostné modely a metódy na testovanie hypotéz, najmä hypotézy, že podiel chybných výrobných jednotiek sa rovná určitému číslu, napríklad (spomeňte si na slová Strukova z románu A.N. Tolstoj).

Ciele hodnotenia. V mnohých manažérskych, výrobných, ekonomických a národohospodárskych situáciách vznikajú problémy iného typu - problémy posudzovania charakteristík a parametrov rozdelenia pravdepodobnosti.

Pozrime sa na príklad. Nechajte doraziť dávku N elektrických lámp na kontrolu. Z tejto šarže bola náhodne vybraná vzorka n elektrických lámp. Vzniká množstvo prirodzených otázok. Ako určiť priemernú životnosť elektrických svietidiel na základe výsledkov skúšok prvkov vzorky as akou presnosťou možno túto charakteristiku posúdiť? Ako sa zmení presnosť, ak odoberieme väčšiu vzorku? Pri akom počte hodín je možné zaručiť, že aspoň 90 % elektrických lámp vydrží dlhšie ako hodiny?

Predpokladajme, že pri testovaní objemu vzorky elektrických lámp sa elektrické žiarovky ukázali ako chybné. Potom vyvstávajú nasledujúce otázky. Aké limity možno určiť pre počet chybných elektrických žiaroviek v sérii, pre úroveň defektov atď.?

Alebo pri štatistickom rozbore presnosti a stability technologických procesov je potrebné takéto vyhodnocovať ukazovatele kvality, ako priemerná hodnota kontrolovaný parameter a stupeň jeho rozptylu v posudzovanom procese. Podľa teórie pravdepodobnosti je vhodné použiť jej matematické očakávanie ako priemernú hodnotu náhodnej veličiny a rozptyl, smerodajnú odchýlku resp. variačný koeficient. To vyvoláva otázku: ako odhadnúť tieto štatistické charakteristiky zo vzorových údajov as akou presnosťou to možno urobiť? Podobných príkladov je možné uviesť veľa. Tu bolo dôležité ukázať, ako sa dá využiť teória pravdepodobnosti a matematická štatistika v riadení výroby pri rozhodovaní v oblasti štatistického riadenia kvality produktov.

Čo je to "matematická štatistika"? Matematická štatistika sa chápe ako "odvetvie matematiky venované matematickým metódam zberu, systematizácie, spracovania a interpretácie štatistických údajov, ako aj ich využívania na vedecké alebo praktické závery. Pravidlá a postupy matematickej štatistiky vychádzajú z teórie pravdepodobnosti, ktorá nám umožňuje vyhodnotiť presnosť a spoľahlivosť záverov získaných v každej úlohe na základe dostupného štatistického materiálu“ [[2.2], s. 326]. Štatistické údaje sa v tomto prípade týkajú informácií o počte objektov v akejkoľvek viac či menej rozsiahlej kolekcii, ktoré majú určité charakteristiky.

Na základe typu riešených problémov sa matematická štatistika zvyčajne delí na tri časti: popis údajov, odhad a testovanie hypotéz.

Na základe typu spracovávaných štatistických údajov sa matematická štatistika delí do štyroch oblastí:

jednorozmerná štatistika (štatistika náhodných premenných), v ktorej je výsledok pozorovania opísaný reálnym číslom;
viacrozmerná štatistická analýza, kde výsledok pozorovania objektu je opísaný niekoľkými číslami (vektorom);
štatistiky náhodných procesov a časových radov, kde výsledkom pozorovania je funkcia;
štatistika objektov nenumerického charakteru, v ktorej je výsledok pozorovania nenumerického charakteru, napríklad je to množina (geometrický útvar), poradie alebo získané ako výsledok merania na základe kvalitatívne kritérium.

Pravdepodobné a štatistické metódy použiteľné všade tam, kde je možné vybudovať a zdôvodniť pravdepodobnostný model javu alebo procesu. Ich použitie je povinné, keď sa závery vyvodené zo vzoriek údajov prenášajú na celú populáciu (napríklad zo vzorky na celú šaržu produktov).

V špecifických oblastiach použitia sa používajú ako pravdepodobnostné štatistické metódyširoké uplatnenie a špecifické. Napríklad v časti riadenia výroby venovanej štatistickým metódam riadenia kvality výrobkov sa využíva aplikovaná matematická štatistika (vrátane navrhovania experimentov). Pomocou jeho metód sa vykonáva Štatistická analýza presnosť a stabilita technologických procesov a štatistické hodnotenie kvality. Medzi špecifické metódy patrí štatistická akceptačná kontrola kvality výrobkov, štatistická regulácia technologických procesov, hodnotenie a kontrola spoľahlivosti a pod.

Stručne o histórii matematickej štatistiky. Matematická štatistika ako veda začína prácami slávneho nemeckého matematika Carla Friedricha Gaussa (1777-1855), ktorý na základe teórie pravdepodobnosti skúmal a zdôvodňoval metóda najmenších štvorcov, ktorú vytvoril v roku 1795 a používa sa na spracovanie astronomických údajov (s cieľom objasniť obežnú dráhu malej planéty Ceres). Jedno z najpopulárnejších rozdelení pravdepodobnosti, normálne, je často pomenované po ňom a v teórii náhodných procesov sú hlavným predmetom štúdia Gaussove procesy.

Koncom 19. stor. - začiatok 20. storočia K matematickej štatistike zásadne prispeli anglickí výskumníci, predovšetkým K. Pearson (1857-1936) a R.A. Fischer (1890-1962). Pearson vyvinul najmä test chí-kvadrát na testovanie štatistických hypotéz a Fisher - analýza rozptylu, teória experimentálneho dizajnu, metóda maximálnej pravdepodobnosti odhadu parametrov.

V 30. rokoch dvadsiateho storočia. Poliak Jerzy Neumann (1894-1977) a Angličan E. Pearson vypracovali všeobecnú teóriu testovania štatistických hypotéz a sovietski matematici akademik A.N. Kolmogorov (1903-1987) a člen korešpondenta Akadémie vied ZSSR N.V. Smirnov (1900-1966) položil základy neparametrickej štatistiky. V štyridsiatych rokoch dvadsiateho storočia. Rumun A. Wald (1902-1950) vybudoval teóriu sekvenčnej štatistickej analýzy.

Matematická štatistika sa v súčasnosti rýchlo rozvíja. Za posledných 40 rokov teda možno rozlíšiť štyri zásadne nové oblasti výskumu [[2.16]]:

vývoj a implementácia matematických metód na plánovanie experimentov;
rozvoj štatistiky objektov nenumerickej povahy ako samostatného smeru v aplikovanej matematickej štatistike;
vývoj štatistických metód, ktoré sú odolné voči malým odchýlkam od použitého pravdepodobnostného modelu;
rozsiahly rozvoj práce na tvorbe balíkov počítačových programov určených na štatistickú analýzu údajov.

Pravdepodobnostno-štatistické metódy a optimalizácia. Myšlienka optimalizácie preniká do modernej aplikovanej matematickej štatistiky a ďalších štatistické metódy. A to metódy plánovania experimentov, štatistická kontrola preberania, štatistická regulácia technologických procesov a pod. Na druhej strane optimalizačné formulácie v teórii rozhodovanie Napríklad aplikovaná teória optimalizácie kvality produktov a štandardné požiadavky umožňujú široké využitie pravdepodobnostných štatistických metód, predovšetkým aplikovanej matematickej štatistiky.

V riadení výroby, najmä pri optimalizácii kvality výrobkov a štandardných požiadaviek, je obzvlášť dôležité uplatňovať štatistické metódy v počiatočnom štádiu životného cyklu produktu, t.j. v štádiu prípravy výskumu experimentálneho vývoja dizajnu (vývoj sľubných požiadaviek na produkt, predbežný návrh, technické špecifikácie pre vývoj experimentálneho dizajnu). Je to spôsobené obmedzenými informáciami dostupnými v počiatočnej fáze životného cyklu produktu a potrebou predpovedať technické možnosti a ekonomickú situáciu do budúcnosti. Štatistické metódy by sa mal používať vo všetkých fázach riešenia optimalizačného problému - pri škálovaní premenných, vývoji matematických modelov fungovania produktov a systémov, vykonávaní technických a ekonomických experimentov atď.

Pri optimalizačných problémoch, vrátane optimalizácie kvality produktov a štandardných požiadaviek, sa využívajú všetky oblasti štatistiky. A to štatistika náhodných premenných, viacrozmerná Štatistická analýza, štatistika náhodných procesov a časových radov, štatistika objektov nenumerického charakteru. Na analýzu konkrétnych údajov je vhodné zvoliť štatistickú metódu podľa odporúčaní [