Andriyannikov Nikita

Andriyannikov Nikita podrobne študoval a vytvoril prezentáciu o histórii vzniku desatinných zlomkov od staroveku až po súčasnosť. Jeho práca obsahuje zaujímavý materiál, ktorý môžu učitelia a žiaci využiť pri príprave na hodiny matematiky v 5. aj 6. ročníku ako elektronickú príručku a tento materiál môžu využiť aj pri mimoškolskej práci na predmete.

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

NEKOMERČNÉ PARTNERSTVO
SPOLOČNÁ ŠKOLA "SPOLOČENSTVO"

|| CELOŠKOLY

VEDECKÁ PRAKTICKÁ KONFERENCIA

Dizajnérske a výskumné práce

Vyplnil: žiak 5. ročníka

Andriyannikov Nikita

Vedúci: Stolyarova T.E.

Dolgoprudny, 2012

1. Úvod___________________________________________________________2

2. Abstrakt „História desatinných miest“________________3-7

3. Záver___________________________________________________________8

4. Zdroje informácií__________________________________9

Číslo vyjadrené ako desatinné znamienko
Bude to čítať nemčina aj ruština,
A Yankees sú na tom rovnako.
DI. Mendelejev

Úvod.

História zlomkov, prebieha už od raných štádií ľudského vývoja.Potreba zlomkových čísel vznikla ako výsledok praktickej ľudskej činnosti. Preto je história vývoja zlomkových čísel úzko spojená s históriou ľudského vývoja. Zaujímala ma otázka, kedy a kde vznikli desatinné zlomky, kto ako prvý použil novú formu zápisu obyčajných zlomkov s menovateľmi 10, 100, 1000 atď.

Na základe toho sme s manažérom nastavili nasledovné ciele a ciele.

Ciele:

Zistite, kedy a v ktorých starovekých zdrojoch boli prvýkrát spomenuté desatinné zlomky.
Sledujte, ako sa menil zápis desatinných zlomkov v priebehu niekoľkých storočí.
Zistite, kto ako prvý zadal čiarku do desatinného zlomku.

Úlohy:

Študujte a analyzujte históriu desatinných zlomkov v rôznych zdrojoch.
Zbierajte informácie pomocou internetových zdrojov a systematizujte prijaté informácie.
Prezentujte výsledky výskumu formou prezentácie „História desatinných miest“ pomocou programu Power Point.

4. Nadobudnúť zručnosti samostatnej práce s informáciami, vedieť vidieť úlohu

A načrtnite spôsoby, ako to vyriešiť...

NPOSH "Spoločenstvo"

Esej

"História desatinných zlomkov"

Andriyannikov Nikita, ročník 5B

2012

Matematika je jednou z najstarších vied a jej prvé kroky sú spojené s úplne prvými krokmi ľudskej mysle. Vznikol v pracovnej činnosti ľudí. Rozvíjanie

Matematika riešila čoraz presnejšie zložité problémy, ktoré človeku kládol sám život. Obchod, všetka výroba a ekonomiky krajín sa v 17. storočí ocitli v zložitej situácii. Pre námorníkov boli potrebné presné mapy, pre obchodníkov rýchle a správne výpočty bez klamania, pre stavbu strojov, lodí, chrámov a obydlí - výkresy overené na 1mm. Rozvíjala sa výroba a neschopnosť rýchlo a presne počítať doslova brzdila rozvoj vedy a techniky. Život postavil vedcov za úlohu zjednodušiť výpočty, zvýšiť ich presnosť a rýchlosť. Tieto požiadavky spĺňali desatinné zlomky.

Matematici prišli k desatinným zlomkom v rôznych časoch v Ázii a Európe. Vznik a vývoj desatinných zlomkov v niektorých ázijských krajinách úzko súvisel s metrológiou (štúdium mier). Už v 2. stor. BC. existoval desiatkový systém dĺžkových mier.

(snímka č. 2) Už staroveká Čína používala desatinný systém mier,
označovali zlomky v slovách pomocou dĺžkových mierchi, tsuni, laloky, radové, chĺpky, najjemnejšie, pavučiny.

(snímka č. 3)

Zlomok formulára 2.135436 vyzeral takto: 2 chi, 1 cun, 3 laloky, 5 radových, 4 vlasy, 3 najjemnejšie, 6 pavučín. Zlomky sa takto písali dve storočia a v 5. storočí čínsky vedec Tszyu-Chun-Zhi akceptoval nie chi ako jednotku. Ah Zhang = 10 chi, potom tento zlomok vyzeral takto: 2 zhang, 1 chi, 3 cun, 5 lalokov, 4 radové číslo, 3 vlasy, 6 najjemnejších, 0 pavučín.

(snímka 4)

Desatinné zlomky dostali úplnejší a systematickejší výklad v prácach stredoázijského vedca al-Kashiho v 20. rokoch 15. storočia.

Stredoázijské mesto Samarkand bolo v 15. stor. veľké kultúrne centrum. V 20. rokoch 15. storočia tam fungovalo známe observatórium, ktoré vytvoril významný astronóm Ulugbek, vnuk Tamerlána. významný vedec tej doby -Jamshid Ghiyaseddin al-Kashi. Bol to on, kto prvý vysvetlil doktrínu desatinných zlomkov.

Vo svojej knihe „Kľúč aritmetiky“ napísanej v roku 1427 al-Kashi píše:

„Astronómovia používajú zlomky, ktorých po sebe idúce menovatele sú 60 a ich postupné mocniny. Analogicky sme zaviedli zlomky, v ktorých sú postupnými menovateľmi 10, a ich postupné mocniny.“

Zavádza zápis špecifický pre desatinné miesta:celá a zlomková časť sa píšu na ten istý riadok. Na oddelenie prvej časti od zlomkovej časti nepoužíva

čiarkou, ale celú časť napíše čiernou farbouatramentom a zlomkovú časť červenou farbou alebo oddeľuje celú časť od zlomkovej častivertikálna čiara.

V roku 1579 boli v „Matematickom kánone“ francúzskeho matematika použité desatinné zlomky Francois Vieta (1540-1603), vydaný v Paríži. V tejto práci, ktorá je zbierkou trigonometrických tabuliek, Viet rozhodne obhajoval používanie, ako sa vyjadril, tisíciny a tisícky, stotiny a stovky, desatiny a desiatky atď. namiesto šesťdesiatkovej sústavy celých čísel a zlomkov. Vieth sa pri písaní desatinných zlomkov nedržal žiadneho jedného označenia. Často píše aj čitateľa aj menovateľa, niekedy oddeľuje číslice celej časti od zlomkovej časti zvislou čiarou, alebo číslice celej časti zobrazuje tučným písmom, prípadne uvádza číslice celej časti. zlomková časť menším písmom a podčiarkne ju. Označenie frakcie 2,135436 2 1579 F. Viet Francúzsko

(snímka č. 6) Al-Kashiho objav desatinných zlomkov sa stal známym v Európe iba 300 rokov po tom, čo sa tieto zlomky objavili na konci 16. storočia. znovuobjavený S. Stevinom.

(snímka č. 7) Flámsky inžinier a vedec Simon Stevin (1548-1620), asi 150 rokov po al-Kashi, zaviedol doktrínu desatinných zlomkov v Európe.

Je považovaný za vynálezcu desatinných zlomkov.Stevin, rodák z Brugg, bol najprv obchodníkom, potom počas holandskej revolúcie inžinierom v jednotkách Moritza Oranžského, ktorý viedol republiku. „Astrológom, farmárom, meračom objemu, kontrolórom objemu sudov, stereometrom všeobecne, majstrom mincí a všetkým obchodníkom – ahoj Simon Stevin,“ – takto oslovuje svojich čitateľov vynálezca desatinných zlomkov vo svojej knihe „Tenth“ (1585) . Toto malé dielo (iba 7 strán) obsahovalo výklad notácie a pravidlá práce s desatinnými číslami. V knihe sa snaží presvedčiť ľudí, aby používali desatinné miesta, pričom hovorí, že ich používanie „odstrániťažkosti, spory, chyby, straty a iné nehody, zvyčajní spoločníci výpočtov." Číslice zlomkového čísla písal na ten istý riadok s číslicami celého čísla, pričom ich očísloval.

Stevinovo zaznamenávanie desatinných zlomkov bolo iné ako naše. Tu je napríklad to, ako si zapísal číslo 35.912:

35 0 9 1 1 2 2 3

Takže namiesto čiarky je v kruhu nula. V iných krúžkoch alebo nad číslami sa uvádza desatinné miesto: 1 – desatiny, 2 – stotiny atď. Stevin poukázal na veľký praktický význam desatinných zlomkov a vytrvalo ich presadzoval. Bol prvým vedcom, ktorý požadoval zavedenie desiatkovej sústavy mier a váh.(snímka č. 8)

Čiarka v zápise zlomkov bola prvýkrát použitá v roku 1592 a v roku 1617. Škótsky matematik John Napier navrhol oddeľovať desatinné miesta od celého čísla buď čiarkou alebo bodkou.

Moderný zápis desatinných zlomkov t.j. oddelenie celej časti čiarky, ktoré navrhol Johannes Kepler (1571 - 1630). V krajinách, kde sa hovorí po anglicky (Anglicko, USA, Kanada atď.), sa namiesto čiarky píše bodka. Označenie zlomku 2.135436 2.135436 2.135436 1571 - 1630 Kepler Nemecko V Rusku sa prvé systematické informácie o desatinných zlomkoch nachádzajú v Magnitského „Aritmetike“ (1703). Od začiatku 17. storočia začalo intenzívne prenikanie desatinných zlomkov do vedy a praxe. Rozvoj techniky, priemyslu a obchodu si vyžadoval čoraz ťažkopádnejšie výpočty, ktoré bolo jednoduchšie vykonávať pomocou desatinných zlomkov. Desatinné zlomky sa začali široko používať v 19. storočí po zavedení úzko súvisiaceho metrického systému mier a váh. Napríklad v poľnohospodárstve a priemysle sa oveľa častejšie ako bežné zlomky používajú desatinné zlomky a ich špeciálna forma – percentá.

V krajinách, kde hovoriaangličtina (Anglicko, USA, Kanada atď.), a teraz namiesto čiarky píšu bodku, napr.: 2,3 a čítajú: dve bodka tri.(snímka č. 9)

Prvý ruský učiteľ-matematik Leonty Filippovič Magnitsky (1669-1739) v knihe „Aritmetika, teda veda o číslach“ (1703) venoval samostatnú kapitolu desatinným zlomkom. « M.V. Lomonosov nazval túto knihu bránou k svojmu vzdelaniu. Vydanie Magnitského knihy v roku 1703 bolo dôležitou skutočnosťou v histórii matematického vzdelávania v Rusku. Pol storočia bola kniha „vstupnou bránou učenia“ pre ruskú mládež usilujúcu sa o vzdelanie. Magnitsky pochádzal z ľudu, narodil sa v roku 1669, zomrel v roku 1739. Jeho skutočné meno nie je známe. Peter I. sa s ním veľakrát rozprával o matematických vedách a bol tak potešený jeho hlbokými znalosťami, ktoré k nemu priťahovali ľudí, že ho nazval magnetom a prikázal mu, aby napísal Magnitského.

Informačné zdroje:.

1. http://www.referat-web.ru/content/referat/mathematics/mathematics49.php

2. http://otherreferats.allbest.ru/mathematics/00007546_0.html

5. http://tolian1999.narod.ru/mywork.html

Záver.

Počas projektovej a výskumnej činnosti som našiel množstvo zaujímavých a poučných informácií o dejinách matematiky. Práca pri hľadaní správneho materiálu bola užitočná a vzrušujúca. V procese výskumu som našiel odpovede na všetky otázky, ktoré sme si s manažérom položili pred nástupom do práce: kde a kedy boli vynájdené desatinné zlomky, kto prišiel s moderným zápisom týchto čísel. Urobil som prieskum o tom, ako sa menil desatinný zápis v priebehu storočí, a výsledky som uviedol v tabuľke.

Práca na projekte ma naučila systematizovať nájdený materiál, analyzovať údaje a identifikovať potrebné fakty z veľkého množstva informácií.

Najdôležitejšie pri práci na projekte je však to, že som sa naučil pracovať s programom Power Point, ktorý mi v budúcnosti dáva možnosť prezentovať svoje projekty formou prezentácií.

Informačné zdroje:.

1. http://www.referat-web.ru/content/referat/mathematics/mathematics49.php

2. http://otherreferats.allbest.ru/mathematics/00007546_0.html

3. Cesta do histórie matematiky alebo Ako sa ľudia naučili počítať: Kniha pre tých, ktorí učia a učia sa. M.: Pedagogika-Press, 1995. 168 s.

4. Depman I.Ya. História aritmetiky. M.: Školstvo, 1965

Prvý zlomok, ktorý bol ľuďom predstavený, bola polovica. Ďalší zlomok bola tretina. Egypťania aj Babylončania mali špeciálne označenia zlomkov 1/3 a 2/3, ktoré neboli rovnaké ako označenia ostatných zlomkov.

Egypťania sa snažili zapísať všetky zlomky ako súčty častí, teda zlomky tvaru 1/n. Napríklad namiesto 8/15 napísali 1/3 + 1/5. Jedinou výnimkou bol, ako sme povedali, zlomok 2/3. Niekedy to bolo pohodlné. V Ahmesovom papyruse je úloha:
"Rozdeľte 7 chlebov medzi 8 ľudí."
Ak každý bochník nakrájate na 8 kusov, budete musieť urobiť 49 rezov.

A v Egypte bol tento problém vyriešený takto. Zlomok 7/8 bol napísaný ako zlomky: 1/2 + 1/4 + 1/8. To znamená, že každá osoba by mala dostať polovicu bochníka, štvrtinu bochníka a osminu bochníka; Preto štyri bochníky rozrežeme na polovicu, dva na 4 časti a jeden na 8 dielov, potom každému dáme časť.

Ale pridávanie takýchto zlomkov bolo nepohodlné. Koniec koncov, oba výrazy môžu obsahovať rovnaké časti a po pridaní sa objaví zlomok tvaru 2/n. Ale Egypťania takéto zlomky nepripúšťali. Preto Ahmesov papyrus začína tabuľkou, v ktorej sú všetky zlomky tohto typu od 2/5 do 2/99 zapísané ako súčty podielov. Táto tabuľka slúžila aj na delenie čísel. Tu je napríklad to, ako sa 5 delilo 21:

Egypťania vedeli aj násobiť a deliť zlomky. Ale na násobenie ste museli násobiť zlomky zlomkami a potom možno znova použiť tabuľku. Situácia s delením bola ešte komplikovanejšia. Babylončania sa vydali úplne inou cestou. Pracovali len so šesťdesiatkovými zlomkami. Keďže menovateľmi takýchto zlomkov sú čísla 60, 60 2, 60 3 atď., potom zlomky ako 1/7 nebolo možné presne vyjadriť pomocou šesťdesiatkových čísel: boli vyjadrené približne prostredníctvom nich. Keďže Babylončania mali pozičný číselný systém, pracovali so šesťdesiatkovými zlomkami pomocou rovnakých tabuliek ako pre prirodzené čísla.

Sexagesimálne zlomky, zdedené z Babylonu, používali grécki a arabskí matematici a astronómovia. Ale bolo nepohodlné pracovať s prirodzenými číslami zapísanými v desiatkovej sústave a zlomkami zapísanými v šesťdesiatkovej sústave. Ale práca s obyčajnými zlomkami bola veľmi náročná. Preto holandský matematik Simon Stevin navrhol prechod na desatinné zlomky. Spočiatku sa písali veľmi ťažko, no postupne prešli k modernému nahrávaniu. Teraz počítače používajú binárne zlomky, ktoré sa kedysi používali v Rusku: polovica, párne, polovica, polovica, polovica, atď.

Zaujímavý systém zlomkov bol v starom Ríme. Bol založený na rozdelení jednotky hmotnosti na 12 častí, ktoré sa nazývali zadok. Dvanásta časť esa sa nazývala unca. A cesta, čas a ďalšie veličiny sa porovnávali s vizuálnou vecou – hmotnosťou. Napríklad Riman môže povedať, že prešiel sedem uncí cesty alebo prečítal päť uncí knihy. V tomto prípade samozrejme nešlo o zváženie cesty alebo knihy. To znamenalo, že 7/12 cesty bolo dokončených alebo 5/12 knihy bolo prečítaných.

A pre zlomky získané zmenšovaním zlomkov s menovateľom 12 alebo delením dvanástin na menšie boli špeciálne názvy. Dokonca aj teraz niekedy hovoria: "Dôkladne študoval túto tému." To znamená, že problém bol preštudovaný až do konca, že nezostáva ani najmenšia nejednoznačnosť. A zvláštne slovo „skrupulózny“ pochádza z rímskeho názvu pre 1/288 assa – „scrupulus“. Používali sa aj tieto názvy: „semis“ – polovica esa, „sextanes“ – jeho šestina, „semiounce“ – pol unca, teda 1/24 esa atď. Celkovo 18 rôznych boli použité názvy zlomkov. Pre prácu so zlomkami bolo potrebné zapamätať si sčítaciu tabuľku aj násobilku pre tieto zlomky. Preto rímski obchodníci s istotou vedeli, že pri sčítaní triénov (1/3 assa) a sextanov je výsledkom semis a pri vynásobení imp (2/3 assa) sescunce (3/2 unce, teda 1/8). assa), získa sa unca. Na uľahčenie práce boli zostavené špeciálne tabuľky, z ktorých niektoré k nám prišli.

Vzhľadom na to, že v duodecimálnej sústave neexistujú zlomky s menovateľmi 10 alebo 100, Rimania ťažko delili 10, 100 atď. Pri delení 1001 somárov 100 dostal jeden rímsky matematik najskôr 10 es, potom rozdelil eso na unce atď. d. Zvyšku sa však nezbavil. Aby sa Rimania nemuseli zaoberať takýmito výpočtami, začali používať percentá. Od dlžníka zobrali prebytok (teda peniaze nad rámec toho, čo bolo požičané). Zároveň povedali: nie „úrok bude 16 stotín z výšky dlhu“, ale „za každých 100 sesterciov dlhu zaplatíte 16 sesterciov úroku“. A hovorilo to isté a nebolo potrebné používať zlomky! Keďže slová „na sto“ zneli v latinčine ako „asi centum“, stotina sa začala nazývať percento. A hoci dnes zlomky, a najmä desatinné zlomky, pozná každý, percentá sa stále používajú vo finančných výpočtoch a pri plánovaní, to znamená v rôznych oblastiach ľudskej činnosti. A skôr používali aj ppm - tak sa nazývali tisíciny (v latinčine „pro mille“ - promile). Na rozdiel od percent, ktoré sú označené znakom %, ppm sú označené % o.

V gréckych prácach o matematike sa zlomky nenašli. Grécki vedci verili, že matematika by sa mala zaoberať iba celými číslami. Hranie so zlomkami prenechali obchodníkom, remeselníkom, ako aj astronómom, zememeračom, mechanikom a iným „čiernym ľuďom“. Ale staré príslovie hovorí: „Drž prírodu pred dverami a vyletí von oknom. Preto zlomky prenikli do prísne vedeckých prác Grékov „od zadných dverí“. Okrem aritmetiky a geometrie zahŕňala grécka veda aj hudbu. Gréci nazývali štúdium harmónie hudbou. Toto učenie bolo založené na tej časti našej aritmetiky, ktorá sa zaoberá vzťahmi a proporciami. Gréci vedeli, že čím dlhšie je struna natiahnutá, tým nižší zvuk vydáva a krátka struna vydáva vysoký zvuk. Ale každý hudobný nástroj nemá jednu, ale niekoľko strún. Aby všetky struny zneli pri hre „dohodne“ lahodiace uchu, musia byť dĺžky ich znejúcich častí v určitom pomere. Preto sa v gréckej hudobnej teórii používala doktrína pomerov a zlomkov.

Moderný systém zápisu zlomkov s čitateľom a menovateľom vznikol v Indii. Len tam napísali menovateľa hore a čitateľa dole a nepísali zlomkovú čiaru. A Arabi začali zapisovať zlomky presne tak, ako to robia teraz.

Slovo čitateľ, ako ukazuje jeho prízvuk, sa v ruskom spisovnom jazyku mohlo objaviť najskôr v 17. storočí, keď ukrajinsko-poľský vplyv priniesol so sebou nové normy tvorby slov a prízvuku. Matematický termín čitateľ sa objavuje ako kalkové stvárnenie latinského čitateľa (numerare – „číslovať“, „počítať“), porov. Nemec Zähler (zählen). História slova čitateľ sa teda začína v 17. storočí.

Z histórie vzniku obyčajných zlomkov.

Potreba zlomkových čísel vznikla u ľudí vo veľmi ranom štádiu vývoja. Už rozdelenie koristi pozostávajúcej z niekoľkých zabitých zvierat medzi účastníkov poľovačky, keď sa ukázalo, že počet zvierat nie je násobkom počtu lovcov, mohlo primitívneho človeka priviesť k pojmu zlomkové číslo.

Spolu s potrebou počítať predmety mali ľudia už od staroveku potrebu merať dĺžku, plochu, objem, čas a ďalšie veličiny. Výsledok meraní nemožno vždy vyjadriť prirodzeným číslom, treba brať do úvahy aj časti použitej miery. Historicky frakcie pochádzajú z procesu merania.

Potreba presnejších meraní viedla k tomu, že počiatočné merné jednotky sa začali deliť na 2, 3 alebo viac častí. Menšia merná jednotka, ktorá sa získala v dôsledku fragmentácie, dostala individuálny názov a veličiny sa merali touto menšou jednotkou.

V súvislosti s touto potrebnou prácou ľudia začali používať výrazy: polovica, tretina, dva a pol kroku. Z čoho sa dalo usudzovať, že zlomkové čísla vznikli ako výsledok merania veličín. Národy prešli mnohými variantmi písania zlomkov, až kým neprišli k modernej notácii.

Zlomky v starovekom Egypte

V starovekom Egypte dosiahla architektúra vysoký stupeň rozvoja. Aby bolo možné postaviť grandiózne pyramídy a chrámy, aby bolo možné vypočítať dĺžky, plochy a objemy postáv, bolo potrebné poznať aritmetiku.

Z rozlúštených informácií na papyrusoch sa vedci dozvedeli, že Egypťania pred 4000 rokmi mali desiatkový (ale nie pozičný) číselný systém a dokázali vyriešiť mnohé problémy súvisiace s potrebami stavebníctva, obchodu a vojenských záležitostí.

V starovekom Egypte mali niektoré zlomky svoje špeciálne názvy – konkrétne 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/6 a 1/8, ktoré sa v praxi často objavujú. Okrem toho Egypťania vedeli pracovať s takzvanými alikvotnými zlomkami (z lat. alikvot - niekoľko) typu 1/n - preto sa niekedy nazývajú aj „egyptské“; tieto zlomky mali svoj pravopis: predĺžený vodorovný ovál a pod ním označenie menovateľa. Pokiaľ ide o zvyšné zlomky, mali byť rozšírené na súčet egyptských. Už starí Egypťania vedeli rozdeliť 2 predmety na tri osoby, pre toto číslo - 2/3 - mali špeciálny symbol. Toto bol jediný zlomok používaný egyptskými pisármi, ktorý nemal jednotku v čitateli – všetky ostatné zlomky určite mali jednotku v čitateli (tzv. základné zlomky). Ak Egypťan potreboval použiť iné zlomky, predstavoval ich ako súčet základných zlomkov. Napríklad namiesto 8/15 napísali 1/3+1/5. Niekedy to bolo pohodlné. Egypťania vedeli aj násobiť a deliť zlomky. Ale na násobenie ste museli násobiť zlomky zlomkami a potom možno znova použiť tabuľku. Ešte zložitejšia bola situácia s rozdelením. Dôležitú prácu na štúdiu egyptských zlomkov vykonal matematik Fibonacci z 13. storočia.

Zlomky v starovekom Grécku

Egyptské zlomky sa naďalej používali v starovekom Grécku a následne matematikmi na celom svete až do stredoveku, a to aj napriek komentárom starovekých matematikov o nich (napríklad Claudius Ptolemaios hovoril o nepohodlnosti používania egyptských zlomkov v porovnaní s babylonským systémom). Maximus Planud, grécky mních, vedec, matematik v 13. storočí zaviedol názov čitateľa a menovateľa

V Grécku sa spolu s jednotkovými, „egyptskými“ zlomkami používali aj bežné obyčajné zlomky.

zlomky Medzi rôznymi zápismi sa použilo toto: menovateľ je hore a čitateľ zlomku je pod ním. Znamenalo to napríklad tri pätiny. Už 2-3 storočia pred Euklidom a Archimedom ovládali Gréci aritmetické operácie so zlomkami.

Zlomky v Indii.

Moderný systém písania zlomkov vznikol v Indii. Len tam napísali menovateľa hore a čitateľa dole a nepísali zlomkovú čiaru. Ale celá frakcia bola umiestnená v obdĺžnikovom ráme. Niekedy sa používal aj „trojposchodový“ výraz s tromi číslami v jednom rámci; v závislosti od kontextu to môže znamenať nesprávny zlomok (a + b/c) alebo delenie celého čísla a zlomkom b/c. Pravidlá pre prácu so zlomkami sa takmer nelíšili od moderných.

Arabi používajú zlomky.

Arabi začali písať zlomky ako teraz. Stredovekí Arabi používali tri systémy na písanie zlomkov. Po prvé, indickým spôsobom, písanie menovateľa pod čitateľa; Zlomková čiara sa objavila koncom 12. - začiatkom 13. storočia. Po druhé, úradníci, zememerači a obchodníci používali počet alikvotných zlomkov, podobný egyptskému, pričom používali zlomky s menovateľom nepresahujúcim 10 (len pre takéto zlomky má arabčina špeciálne výrazy); často sa používali približné hodnoty; Arabskí vedci pracovali na zlepšení tohto počtu. Po tretie, arabskí vedci zdedili babylonsko-grécky šesťdesiatkový systém, v ktorom podobne ako Gréci používali abecedný zápis a rozšírili ho na celé časti.

Zlomky v Babylone

Babylončania používali iba dve čísla. Vertikálna čiara znamenala jednu jednotku a uhol dvoch ležiacich čiar znamenal desať. Tieto čiary robili vo forme klinov, pretože Babylončania písali ostrou palicou na vlhké hlinené tabuľky, ktoré sa potom vysušili a vypálili.

V starovekom Babylone uprednostňovali konštantný menovateľ 60. Sexagesimálne zlomky, zdedené z Babylonu, používali grécki a arabskí matematici a astronómovia. Výskumníci rôznymi spôsobmi vysvetľujú vzhľad šesťdesiatkového číselného systému u Babylončanov. S najväčšou pravdepodobnosťou sa tu bral do úvahy základ 60, čo je násobok 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 a 60, čo značne zjednodušuje všetky výpočty.

Ale bolo nepohodlné pracovať s prirodzenými číslami zapísanými v desiatkovej sústave a zlomkami zapísanými v šesťdesiatkovej sústave. Ale práca s obyčajnými zlomkami už bola dosť náročná. Preto holandský matematik Simon Stevin navrhol prechod na desatinné zlomky.

Zlomky v starovekej Číne

V starovekej Číne už používali desiatkový systém mier, označovali zlomky slovami pomocou dĺžkových mier chi: cuni, zlomky, radové číslo, vlasy, najjemnejšie, pavučiny. Zlomok formulára 2.135436 vyzeral takto: 2 chi, 1 cun, 3 laloky, 5 radových, 4 vlasy, 3 najjemnejšie, 6 pavučín. Zlomky sa takto písali dve storočia a v 5. storočí čínsky vedec Tzu-Chun-Zhi akceptoval nie chi ako jednotku, ale zhang = 10 chi, potom tento zlomok vyzeral takto: 2 zhang, 1 chi, 3 tsun , 5 podielov, 4 radové, 3 vlásky, 6 najjemnejších, 0 pavučín.

Zlomky v starom Ríme

Zaujímavý systém zlomkov bol v starom Ríme. Bol založený na rozdelení jednotky hmotnosti na 12 častí, ktoré sa nazývali zadok. Dvanásta časť esa sa nazývala unca. A cesta, čas a ďalšie veličiny sa porovnávali s vizuálnou vecou – hmotnosťou. Napríklad Riman môže povedať, že prešiel sedem uncí cesty alebo prečítal päť uncí knihy. V tomto prípade samozrejme nešlo o váženie cesty alebo knihy. To znamenalo, že 7/12 cesty bolo dokončených alebo 5/12 knihy bolo prečítaných. A pre zlomky získané zmenšovaním zlomkov s menovateľom 12 alebo delením dvanástin na menšie boli špeciálne názvy.

Dokonca aj teraz niekedy hovoria: "Dôkladne študoval túto záležitosť." To znamená, že problém bol preštudovaný až do konca, že nezostala ani najmenšia nejednoznačnosť. A zvláštne slovo „skrupulózne“ pochádza z rímskeho názvu pre 1/288 assa – „scrupulus“. Používali sa aj tieto názvy: „semis“ – polovica zadku, „sextans“ – jeho šestina, „semiounce“ – pol unca, t.j. 1/24 zadku atď. Celkovo bolo použitých 18 rôznych názvov zlomkov. Aby ste mohli pracovať so zlomkami, museli ste si zapamätať tabuľku sčítania a tabuľku násobenia týchto zlomkov. Preto rímski obchodníci pevne vedeli, že pri sčítaní triénov (1/3 assa) a sextanov je výsledkom semis a pri vynásobení imp (2/3 assa) sescunce (2/3 unce, t. j. 1/8 assa), výsledkom je unca. Na uľahčenie práce boli zostavené špeciálne tabuľky, z ktorých niektoré k nám prišli.

zlomky v rusku

Slovo „zlomok“ sa v ruštine objavilo až v 8. storočí. Slovo „zlomok“ pochádza zo slova „rozdrviť, rozbiť, rozbiť na kúsky“. Medzi inými národmi je názov zlomku spojený aj so slovesami „zlomiť“, „rozbiť“, „rozdrviť“. V prvých učebniciach sa zlomky nazývali „lomené čísla“. V starých príručkách sme našli tieto názvy zlomkov v Rus:

- polovica, polovica, - tretina,

- štvrtina, - pol tretiny,

- pol tretiny, - pol tretiny,

– pol polovice, – pol pol tretiny (malá tretina),

– pol-pol-polovica (malý počet), – pyatina,

- siedmy, - desiatok.

Starovekí matematici nepovažovali 100/11 za zlomok. Zvyšnú časť 1 libry sa navrhuje vymeniť za vajcia, z ktorých by sa dalo kúpiť 91 kusov. Ak je pomer 91:11, dostanete 8 vajec a 3 zvyšné vajcia. Autor ich odporúča dať tomu, kto ich rozdelil, alebo ich vymeniť za soľ na solenie vajec.

Desatinné zlomky.

Už niekoľko tisícročí ľudstvo používalo zlomkové čísla, no na nápad zapisovať ich v pohodlných desatinných číslach prišli oveľa neskôr.

Prečo ľudia prešli z obyčajných zlomkov na desatinné? Áno, pretože operácie s nimi sú jednoduchšie, najmä sčítanie a odčítanie.

Desatinné zlomky sa objavili v dielach arabských matematikov v stredoveku a nezávisle od nich v starovekej Číne. Ale ešte skôr, v starovekom Babylone, sa používali zlomky rovnakého typu, len šesťdesiatkové.

Neskôr vedec Hartmann Beyer (1563-1625) publikoval prácu „Desatinná logistika“, kde napísal: „... Všimol som si, že technici a remeselníci, keď merajú akúkoľvek dĺžku, veľmi zriedkavo a len vo výnimočných prípadoch ju vyjadrujú v celé čísla s rovnakým názvom; Zvyčajne musia buď prijať malé opatrenia, alebo sa uchýliť k zlomkom. Tak isto astronómovia merajú veličiny nielen v stupňoch, ale aj v zlomkoch stupňa, t.j. minúty, sekundy atď. Deliť ich na 60 častí nie je také pohodlné ako ich deliť na 10, 100 častí atď., pretože v druhom prípade je oveľa jednoduchšie sčítať, odčítať a vo všeobecnosti vykonávať aritmetické operácie; Zdá sa mi, že keby sa namiesto šesťdesiatkových zlomkov zaviedli desatinné zlomky, boli by užitočné nielen pre astronómiu, ale aj pre všetky druhy výpočtov.“

Dnes používame desatinné čísla prirodzene a voľne. To, čo sa nám však zdá prirodzené, slúžilo vedcom stredoveku ako skutočný kameň úrazu. V západnej Európe 16. stor. Spolu s rozšíreným desiatkovým systémom na reprezentáciu celých čísel sa pri výpočtoch všade používali šesťdesiatkové zlomky, ktoré siahajú až do starodávnej tradície Babylončanov. Bolo potrebné bystrého rozumu holandského matematika Simona Stevina, aby priniesol záznam celých aj zlomkových čísel do jedného systému. Podnetom na tvorbu desatinných zlomkov boli zrejme ním zostavené tabuľky zloženého úročenia. V roku 1585 vydal knihu Desiatky, v ktorej vysvetlil desatinné zlomky.

Od začiatku 17. storočia začalo intenzívne prenikanie desatinných zlomkov do vedy a praxe. V Anglicku bola zavedená bodka ako znak oddeľujúci časť celého čísla od zlomkovej časti. Čiarka, podobne ako bodka, bola navrhnutá ako deliace znamienko v roku 1617 matematikom Napierom.

Rozvoj priemyslu a obchodu, vedy a techniky si vyžadoval čoraz ťažkopádnejšie výpočty, ktoré bolo jednoduchšie vykonávať pomocou desatinných zlomkov. Desatinné zlomky sa začali široko používať v 19. storočí po zavedení úzko súvisiaceho metrického systému mier a váh. Napríklad u nás v poľnohospodárstve a priemysle sa oveľa častejšie ako bežné zlomky používajú desatinné zlomky a ich špeciálna forma – percentá.

Zlomky v hudbe.

Pythagorejci, ktorí veľa študovali hudbu a zbožšťovali čísla, verili, že Zem je sférická a nachádza sa v strede vesmíru: koniec koncov, nebol dôvod, aby sa posúvala alebo predlžovala v jednom smere. Okolo Zeme sa pohybuje Slnko, Mesiac a 5 planét (Merkúr, Venuša, Mars, Jupiter a Saturn). Vzdialenosti od nich k našej planéte sú také, že akoby tvorili sedemstrunovú harfu a pri pohybe vzniká krásna hudba – hudba sfér. Obyčajne to ľudia nepočujú kvôli ruchu života a až po smrti si to niektorí z nich budú môcť užiť. A Pytagoras to počul ešte za svojho života.

Jeho žiaci, Pytagoriáni, ktorí veľa študovali hudbu a zbožšťovali čísla, skúmali, o koľko sa zvýši tón struny, ak je stlačená v strede, alebo o štvrtinu vzdialenosti jedného z koncov, alebo o tretinu. Zistilo sa, že súčasný zvuk dvoch strún je pre ucho príjemný, ak sú ich dĺžky v pomere 1:2, alebo 2:3, alebo 3:4, čo zodpovedá hudobným intervalom oktávy, kvinty a kvarty. Ukázalo sa, že harmónia úzko súvisí so zlomkami, čo potvrdilo hlavnú myšlienku Pytagorejcov: „číslo vládne svetu“...

V hudbe teda hrali rozhodujúcu úlohu zlomky. A teraz vo všeobecne akceptovanej notácii je dlhá nota - celok - rozdelená na polovice (polovičná dĺžka), štvrtiny, osminy, šestnástiny a tridsaťsekúnd.

Študujem na hudobnej škole a viem, že 6/8 sú tri štvrtiny a jedna polovica má osem šestnástok. Keď sa učím novú skladbu, počítam nahlas každú notu v takte („jedna a, dve a ...“) bez toho, aby som mal podozrenie, že počítam obyčajné zlomky. Rytmický vzorec akéhokoľvek hudobného diela vytvoreného európskou kultúrou, bez ohľadu na to, aký zložitý môže byť, je teda určený binárnymi zlomkami.

V procese chápania reality hrá matematika čoraz dôležitejšiu úlohu. Dnes neexistuje oblasť vedomostí, kde by sa matematické koncepty a metódy nepoužívali v tej či onej miere. Problémy, ktoré sa predtým považovali za nemožné vyriešiť, sa úspešne riešia pomocou matematiky, čím sa rozširujú možnosti vedeckého poznania. Matematika bola vždy neoddeliteľnou a nevyhnutnou súčasťou ľudskej kultúry, je kľúčom k pochopeniu sveta okolo nás, základom vedeckého a technologického pokroku a dôležitou súčasťou osobného rozvoja.

Prvý zlomok, ktorý bol ľuďom predstavený, bola polovica. Hoci názvy všetkých nasledujúcich zlomkov súvisia s menami ich menovateľov (tri je „tretia“, štyri je „štvrtina“ atď.), nie je to tak na polovicu – jeho názov vo všetkých jazykoch nemá nič spoločné. robiť so slovom „dva“. Ďalší zlomok bola tretina. Tieto a niektoré ďalšie zlomky sa nachádzajú v najstarších matematických textoch, ktoré sa k nám dostali, zostavených pred 5 000 rokmi – staroegyptských papyroch a babylonských klinových tabuľkách.
Egypťania aj Babylončania mali špeciálne označenia zlomkov 1/3 a 2/3, ktoré neboli rovnaké ako označenia ostatných zlomkov.

Egypťania sa snažili zapísať všetky zlomky ako súčty podielov, t.j. zlomky tvaru 1/n.

Jedinou výnimkou bol zlomok 2/3. Napríklad namiesto 8/15 napísali 1/3 + 1/5. Niekedy to bolo pohodlné. V papyruse, ktorý napísal egyptský pisár Ahmes, je úloha: rozdeliť sedem chlebov medzi osem ľudí. Ak každý bochník nakrájate na 8 kusov, budete musieť urobiť 49 rezov. A v Egypte bol tento problém vyriešený takto. Zlomok 7/8 bol napísaný ako zlomky: 1/2 + 1/4 + 1/8. Teraz je jasné, že musíte rozrezať 4 bochníky na polovicu, 2 bochníky na 4 kusy a iba jeden bochník na 8 kusov (spolu 17 kusov).

Ale pridávanie zlomkov napísaných ako zlomky bolo nepohodlné. Koniec koncov, oba výrazy môžu obsahovať rovnaké časti a po pridaní sa objaví zlomok tvaru 2/n. Ale Egypťania takéto zlomky nepripúšťali. Preto Ahmesov papyrus začína tabuľkou, v ktorej sú všetky zlomky tvaru 2/n, od 2/5 do 2/99, zapísané ako súčty podielov. Táto tabuľka sa používala aj na delenie celých čísel. Tu je napríklad spôsob, akým sme vydelili 5 x 21:

Egypťania vedeli aj násobiť a deliť zlomky. Ale pri násobení ste museli násobiť zlomky zlomkami a potom možno znova použiť tabuľku. Situácia s delením bola ešte komplikovanejšia.

Babylončania sa vydali úplne inou cestou. Faktom je, že číselný systém v Babylone bol šesťdesiatkový - každá jednotka ďalšej číslice bola 60-krát väčšia ako predchádzajúca. Napríklad zápis 14" 42" 38 znamenal číslo 14 602 + 42 60 + 38, teda v našom zápise čísla 52? 958 (len Babylončania nepoužívali naše čísla, ale iné zápisy tvorené klinmi). Preto Babylončania mali zlomky nie ako desatinné, ale ako šesťdesiatkové. V skutočnosti stále používame takéto zlomky na označenie času a uhlov. Napríklad čas 3 hodiny 17 minút 28 s možno zapísať takto: 3,17 "28" hodín (číta sa 3 celé, 17 šesťdesiate roky 28 tritisícšesť stotín hodiny.) Namiesto slov „šesťdesiatiny“, „tritisícšesťstotín“ v skratke povedali: „prvé malé zlomky“, „druhé malé zlomky“. odkiaľ pochádzali naše slová minúta (podľa v latinčine - menšia) a druhá (v latinčine - druhá), tak si babylonský spôsob zapisovania zlomkov zachoval svoj význam dodnes.

Nie všetky zlomky možno zapísať ako konečné šesťdesiatkové číslo, rovnako ako nie všetky zlomky možno zapísať ako posledné desatinné čísla. Napríklad zlomky tvaru 1/7, 1/11, 1/13 nemožno písať v šesťdesiatkovom tvare. Môžu sa však nahradiť šesťdesiatkovými zlomkami s akoukoľvek presnosťou. Toto robili Babylončania.

Preto v roku 1585 holandský matematik a inžinier Simon Stevin navrhol prechod na desatinné zlomky. Spočiatku sa písali veľmi ťažko, no postupne prešli k modernému nahrávaniu. Storočie a pol pred Stevinom zaviedol desatinné zlomky astronóm al-Kashi, ktorý pracoval na Samarkandskom observatóriu v Ulugbeku, no jeho práca zostala európskym matematikom neznáma.

Teraz v počítačoch, ako samozrejme viete, používajú binárne zlomky. Vyzerajú ako 0,101101. Je zvláštne, že binárne zlomky sa v skutočnosti používali v starovekom Rusku, kde boli také zlomky ako polovica, štyri, polovica párne, polovica polovičná párna atď. .

Zaujímavý systém zlomkov bol v starom Ríme. Bol založený na rozdelení mernej jednotky hmotnosti assa na 12 akcií. Dvanásta časť esa sa nazývala unca. A cesta, čas atď. v porovnaní s vizuálnou vecou - hmotnosťou. Napríklad Riman môže povedať, že prešiel sedem uncí cesty alebo prečítal 5 uncí knihy.

V tomto prípade samozrejme nešlo o zváženie cesty alebo knihy. Jednoducho povedal, že 7/12 cesty bolo dokončených alebo 5/12 knihy bolo prečítaných. A pre zlomky získané zmenšovaním zlomkov s menovateľom 12 alebo delením dvanástin na menšie boli špeciálne názvy.

Dokonca aj teraz niekedy hovoria, že „tento problém dôkladne študoval“. To znamená, že problém bol preštudovaný až do konca, že nezostáva ani najmenšia nejednoznačnosť. A zvláštne slovo „skrupulózne“ pochádza z rímskeho názvu pre 1/288 assa - scripulus. Používali sa aj tieto názvy: sedmičky - pol zadku, sextany - jeho šestina, sevenoz - pol unca, t.j. 1/24 zadku atď. Celkovo bolo použitých 18 rôznych mien. Pre prácu so zlomkami bolo potrebné zapamätať si sčítaciu tabuľku aj násobilku pre tieto zlomky. Preto rímski obchodníci s istotou vedeli, že pri sčítaní triénov (1/3 assa) a sextanov je výsledkom semis a pri vynásobení imp (dve tretiny assa) sescunce (3/2 unce, t. j. 1/8 assa) , získa sa unca. Zároveň dobre pochopili, že nenásobia samotné hmotnosti (násobenie hmotnosti hmotnosťou nemá zmysel), ale zlomky vyjadrujúce tieto hmotnosti. Na uľahčenie práce boli zostavené špeciálne tabuľky, z ktorých niektoré k nám prišli.

Takže úlohu, ktorú zohralo číslo 60 v starovekom Babylone a číslo 2 v starovekom Rusku, zohralo číslo 12 v starom Ríme - rímsky systém zlomkov a mier bol duodecimálny (hoci písali čísla pomocou desiatkovej sústavy, len iným spôsobom ako my). Pretože čísla v tvare 1/10n nie sú vyjadrené vo forme konečných dvanástnikových zlomkov, Rimania nevedeli znázorniť výsledok delenia 10, 100 atď. zlomok. Napríklad jeden rímsky matematik, ktorý vydelil 1001 somárov 100, najprv dostal 10 somárov, potom rozdelil somárov na unce atď., ale zvyšku sa, prirodzene, nezbavil.

V gréckych prácach o matematike sa zlomky nenašli. Grécki vedci verili, že matematika by sa mala zaoberať iba celými číslami.
Zlomky nechali, aby sa s nimi popasovali obchodníci, remeselníci, ale aj zememerači, astronómovia a mechanici. Ale staré príslovie hovorí: „Prežeň prírodu dverami, vletí oknom.“ Preto zlomky prenikli do prísne vedeckých prác Grékov takpovediac „od zadných dverí“. Okrem aritmetiky a geometrie grécka matematika zahŕňala... hudbu. Gréci nazývali hudbu tou časťou našej aritmetiky, ktorá sa zaoberá vzťahmi a proporciami. Prečo také zvláštne meno? Faktom je, že Gréci vytvorili aj vedeckú teóriu hudby. Vedeli: čím dlhšia je natiahnutá struna, tým nižší, „hrubší“ zvuk vydáva. Vedeli, že krátka struna vydáva vysoký zvuk. Ale každý hudobný nástroj nemá jednu, ale niekoľko strún. Aby všetky struny zneli pri hre „dohodne“ lahodiace uchu, musí byť dĺžka ich znejúcich častí v určitom pomere. Napríklad, aby sa výšky zvukov produkovaných dvoma strunami líšili o oktávu, ich dĺžka musí byť v pomere 1:2. Rovnako pätina má pomer 2:3, štvrtá pomer 3:4 atď. Preto Gréci spájali učenie o pomeroch a zlomkoch s hudbou.

Literatúra

1. Vilenkin N.Ya. Z histórie zlomkov. / Quantum, č.5/1987.

2. Staroegyptský problém. / „Do sveta informatiky“ č. 66 („Informatika“ č. 1/2006).

3. Číselné sústavy. / „Do sveta informatiky“ č. 90, 93 („Informatika“ č. 9, 17/2007).

4. Abacus v Rusku. / „Do sveta informatiky“ č. 69, 71 („Informatika“ č. 4, 6/2006).

Koksunova Ilyana

Edukačná a výskumná práca žiaka 8. ročníka skúma históriu vzniku zlomkov. Práca skúma históriu moderného zápisu zlomkov a pôvod názvov niektorých zlomkov.

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

Ministerstvo školstva a vedy

KALMYKIA REPUBLIKA

OBVOD TSELINNY

MOKU "KHAR - BULUK STREDNÁ ŠKOLA"

Vzdelávacia a výskumná práca:

"HISTÓRIA ZLOMKOV"

Autor : Koksunova Ilyana

Žiak 8. ročníka.

vedúci: Muchkaeva Elena Chudeevna, učiteľ matematiky.

Úvod Ciele a ciele štúdie Miesto a trvanie štúdie Výskumné metódy Vznik zlomkov
Od betónových frakcií až po základné frakcie
Sexagesimálne zlomky
Systém frakcií starovekého Ríma
Písanie zlomkov u Grékov
Moderný zápis obyčajných zlomkov
Desatinné Záver Literatúra Aplikácia

Ale neexistuje žiadny aritmetický tón,

Už v celom obžalovanom,

A v zlomkoch to nie je nič

Je možné odpovedať.

Tam, ó ty sa raduj,

Byť schopný byť po častiach.

L.F. Magnitského

I. úvod.

Zlomky vznikajú, keď je prirodzené číslo rozdelené na rovnaké časti: na dve, na tri časti, na desať častí atď. Nestačí však vedieť, čo je zlomok. Musíte ich vedieť porovnávať, vykonávať operácie so zlomkami a riešiť najrôznejšie problémy so zlomkami.

Od staroveku museli ľudia nielen počítať predmety (čo si vyžadovalo prirodzené čísla), ale aj merať dĺžku, čas, plochu a platiť za zakúpený alebo predaný tovar. Nie vždy bolo možné výsledok merania alebo cenu výrobku vyjadriť prirodzeným číslom. Bolo potrebné vziať do úvahy diely, zlomky mier . Takto sa objavili zlomky. V praktickom živote sú zlomky absolútne nevyhnutné. Ako sa objavovali predstavy o prirodzených číslach, vznikali predstavy o zlomkoch jednotiek, alebo skôr zlomkoch celého konkrétneho objektu. Vznik myšlienky čísla 2 teda znamenal myšlienku polovice, polovice atď. Vzhľad prirodzeného čísla n dal podnet na myšlienku zlomku tvaruktorý sa teraz volá alikvotný, všeobecný alebo hlavný.

II. Ciele a ciele štúdie.

Cieľ : 1. Preštudujte si históriu zlomkov.

2. Preštudujte si históriu notačného systému a názvy zlomkov v rôznych krajinách.

Na dosiahnutie tohto cieľa som si stanovil nasledovnéúlohy:

Zbierajte materiál o histórii zlomkov.
Preštudujte si históriu klasifikácie zlomkových čísel.
Identifikujte názvy zlomkov, ktoré sú použiteľné aj dnes.

III. Miesto a trvanie štúdia: 1 rok.

obec Khar - Buluk

Výskumné metódy:

Spôsob práce s populárno-náučnou literatúrou a dokumentmi.
Metóda porovnávania.

História vzhľadu obyčajných zlomkov.

Ľudia musia často rozdeliť celok na časti. Najznámejší podiel je, samozrejme, polovičný. Slová s predponou „pohlavie“ možno počuť každý deň: pol hodiny, pol kilogramu, pol bochníka.

Existujú však aj iné bežné rytmy. Napríklad štvrtina, desatina, stotina. Kedy sa tvoria laloky? Keď sa jeden predmet (bochník chleba, list papiera) alebo merná jednotka (hodina, kilogram) rozdelí na rovnaké časti. Zlomok je každá z rovnakých častí jednotky. Názov podielu závisí od toho, na koľko rovnakých častí je jednotka rozdelená. Názov podielu „polovica“ sme rozdelili na dve časti, na tri – „tretina“, na štyri – „štvrtina“. A ak je ich päť, šesť, sedem častí, potom používajú slová „piata, šiesta, siedma“ atď. Štvrtiny sa nazývajú štvrtiny, tretiny sa nazývajú tretiny a polovice sa nazývajú druhé časti.

Ak chcete zaznamenať akýkoľvek rytmus, použite vodorovnú čiaru. Nazýva sa to zlomková čiara. Nad ním je umiestnená jednotka a pod čiaru je napísaný počet rovnakých častí, na ktoré je jednotka rozdelená. Napríklad druhý, dvadsiaty prvý, sto piaty úder sa píše:, . Čítajú: „jedna sekunda“, „jeden dvadsiaty prvý“, „sto piaty“. Ak je počet rovnakých častí, na ktoré je jednotka rozdelená, označený písmenom n , potom sa toto písmeno zapíše pod zlomkovú čiaru:. Čítajú: „jedna n-ta“.

Prečo sú potrebné akcie? Odpoveď je veľmi jednoduchá: pri meraní veličín je často nemožné použiť len celé jednotky. Predstavte si napríklad, že by sme na meranie dĺžky smeli používať len celé metre. Ako by sme potom mohli zmerať výšku človeka? Alebo športový výkon v skokoch? V takýchto prípadoch sa používajú centimetre.

A v technike často potrebujeme menšie zlomky metra – tisíciny. Ako viete, nazývajú sa milimetre. A užitočné sú väčšie zlomky metra, napríklad desatiny. Ako sa tvoria zlomky zo zlomkov? Vezmite si napríklad číslo dva-deviaty. Nie je to prirodzené číslo, ale nie je to ani zlomok jednotky. Ide o súčet dvoch rovnakých podielov. Pre čísla, ktoré sú buď zlomkami alebo súčtom zlomkov, použite bežný názov - zlomkové čísla . Zlomkové čísla sa nazývajú jednoducho zlomky

ZLOMOK JE BUĎ PODIEL ALEBO SÚČET NIEKOĽKÝCH ROVNAKÝCH ČASTÍ. Takže číslo „dve-devätiny“ je zlomok. Je to napísané číslami:. Zlomok rovná sa súčtu dvoch rovnakých deviatin: = .

Ak chcete napísať zlomok, použite zlomkovú čiaru a dve prirodzené čísla. Pod zlomkovú čiaru píšu menovateľ zlomky Ukazuje, ktoré časti tvoria zlomok. Je to napísané nad čiaroučitateľ zlomky Ukazuje, koľko častí je súčet zlomku.

V najstarších písomných prameňoch, ktoré sa k nám dostali – babylonské hlinené tabuľky a egyptské papyrusy – sa nachádzajú nielen prirodzené čísla, ale aj zlomky.

Zlomky boli potrebné na vyjadrenie výsledku merania dĺžky, hmotnosti, plochy v prípadoch, keď sa merná jednotka nezmestila do nameranej hodnoty niekoľkonásobne celé číslo.

Potom bola zavedená nová, menšia jednotka merania. Názvy týchto nových jednotiek merania sa stali prvými názvami zlomkov. Napríklad zlomokstále nazývaný "polovica"; medzi Rimanmi bolo slovo „unca“ najprv názvom dvanástej časti jednotky hmotnosti, ale potom začala unca znamenať jednu dvanástinu akejkoľvek hodnoty (hovorili: „Sedem uncí cesty“, t. j. sedem dvanástiny cesty).

V ruštine slovo " zlomok sa objavil v 8. storočí, pochádza zo slovesa „rozdrviť“ - rozbiť, rozbiť na kusy. V prvých učebniciach matematiky (v 17. storočí) sa zlomky nazývali „lomené čísla“. Medzi inými národmi je názov zlomku spojený aj so slovesami „zlomiť“, „rozbiť“, „rozdrviť“.

Moderný zápis zlomkov má svoj pôvod v starovekej Indii; Začali ho používať aj Arabi a od nich si ho v 12. – 14. storočí požičali Európania. Na začiatku sa pri písaní zlomkov nepoužívali zlomkové lomky; napríklad čísla takto boli zaznamenané 2 . Zlomková čiara sa začala pravidelne používať asi pred 300 rokmi. Prvý európsky vedec, ktorýzačali používať a distribuovať moderné značenie zlomkov, bol taliansky obchodník a cestovateľ, syn mestského úradníka Fibonacci ( Leonardo z Pisy). V roku 1202 zaviedol slovo „zlomok“. tituly "čitateľ“ a „menovateľ“ zaviedol v 13. storočí Maxim Planud - grécky mních, vedec - matematik.

Vznik zlomkov.

Vzhľad alikvotných zlomkov je veľmi charakteristický pre počiatočný vývoj pojmu čísla v akejkoľvek starovekej civilizácii. Toto je prvý výskyt zlomkov v dôsledku procesu rozdelenia celku na časti; To môže vysvetliť vzhľad alikvotných frakcií formypre malé n (napríklad n= 2, 3, 4, 6, 8,10), pretože s delením jednotky väčším číslom sa vo vtedajšej praxi takmer nestretli.

Ďalším (hlavným) zdrojom vzniku zlomkov je proces merania, ktorý sa objavil spolu s počítaním. Akékoľvek meranie je vždy založené na nejakej veličine (dĺžka, objem, hmotnosť atď.). Výber jednej alebo druhej jednotky, ktorá slúži ako základ pre systém opatrení, je určený špecifickou historickou situáciou.

Opatrenia v ich vývoji prešli približne rovnakými štádiami ako čísla. V prvých fázach vývoja ľudskej spoločnosti sa merania robili „okom“. S ďalším rozvojom spoločnosti sa objavili niektoré prirodzené opatrenia: dĺžka chodidla, šírka dlane atď.

O existencii takýchto starodávnych mier svedčia názvy dĺžkových mier, ktoré sa zachovali dodnes. Takéto opatrenia sú ft (dĺžka nohy), palec (šírka palca pri jeho základni), dvor, lakť (vzdialenosť od konca prstov po lakte), dlaň (šírka dlane).

Zo všetkých dĺžkových mier vstúpila do života ruského ľudu najpevnejšie arshin . (Treba si uvedomiť, že dĺžka opatrení sa menila v závislosti od terénu a podmienok aplikácie). Dôkazom toho je veľké množstvo prísloví a prejavov ľudovej reči: „merajte vlastným arshinom“, „ako keby arshin prehltol“ atď. Potreba presnejšieho merania viedla k tomu, že pôvodné merné jednotky sa začali deliť na dve, tri atď. časti. V dôsledku roztrieštenosti dostali menšie merné jednotky jednotlivé názvy a v týchto menších jednotkách sa začali merať veličiny.

Takto vznikli prvé betónové frakcie ako súčasť určitých špecifických opatrení. Až oveľa neskôr sa názvy týchto konkrétnych zlomkov začali používať na označenie rovnakých častí veličín a potom na abstraktné zlomky.

Od špecifických zlomkov po základné zlomky.

Existujú všetky dôvody domnievať sa, že pôvodne existovali iba binárne zlomky. Neskôr sa spojilia jeho binárne pododdiely. Rozdelenie arshinu na 16 vershokov teda spĺňa požiadavku, že, , , podiely by boli vyjadrené v celých počtoch vershokov. Tento binárny systém delenia základnej jednotky je jasne vyjadrený v starom ruskom systéme merania polí a niektorých ďalších veličín. Takže v 15. storočí. pluh sa začal používať ako merná jednotka pre plochy polí (pluh = 800 štvrtín; štvrtok =desiatka), ako aj pol pluhu, pol pluhu (pol pluhu), pol pluhu atď.

V súvislosti s rozdelením rôznych merných jednotiek na časti boli v Rusku rozšírené zlomky tvaru: polovica =, polovica = , polovica = , podlaha – polovica = , poschodie – poschodie – polovičné alebo malé číslo =, tretina = , pol tretina = , pol tretina = , polovica-pol-pol-tretina, alebo malá tretina= atď.

Sexagesimálne zlomky.

V starovekom Babylone boli zlomky šesťdesiatkové, to znamená, že sa písali napríklad v tvare 4; 52; 03. To znamenalo: 4+ + .

Babylončania pracovali iba so šesťdesiatkovými zlomkami. Pretože Menovateľmi takýchto zlomkov sú čísla 60, 60 2 , 60 3 atď., potom také zlomky ako, nemohli byť presne vyjadrené prostredníctvom sexagesimál: boli vyjadrené približne prostredníctvom nich. Pretože Babylonský číselný systém bol pozičný, pracovali so šesťdesiatkovými zlomkami pomocou rovnakých tabuliek ako pre prirodzené čísla.

Zlomkový systém starovekého Ríma.

Zaujímavý systém zlomkov bol v starom Ríme – dvanástnikový. Bol založený na rozdelení jednotky hmotnosti na 12 častí, ktoré boli tzv zadok . Medená minca a následne jednotka hmotnosti - zadok Rimania ho rozdelili na dvanásť rovnakých častí - unca . Dvanásta časť esa sa nazývala unca. A cesta, čas a ďalšie veličiny sa porovnávali s vizuálnou vecou – hmotnosťou. Napríklad Riman môže povedať, že prešiel sedem uncí cesty alebo prečítal päť uncí knihy. Znamenalo to, že to prešlocestu alebo čítanieknihy. A pre zlomky získané zmenšovaním zlomkov s menovateľom 12 alebo delením dvanástin na menšie boli špeciálne názvy.

Dokonca aj teraz niekedy hovoria: "Dôkladne študoval túto tému." To znamená, že problém bol preštudovaný až do konca, že nezostáva ani najmenšia nejednoznačnosť. A zvláštne slovo „pečlivo“ pochádza z rímskeho mena assa - "scrupulus". Používali sa aj tieto názvy:"semis" - polovičný assa, "sextans" - jeho šiesty podiel,„sedem unca“ – pol unca, t.j. assa atď. Použilo sa celkom18 rôznych názvov zlomkov. Pre prácu so zlomkami bolo potrebné zapamätať si sčítaciu tabuľku aj násobilku pre tieto zlomky. Rímski kupci preto pri pridávaní s istotou vedeli Triens (assa) a sextans majú za následok semis a násobenie démona (assa) sescunce (unce, tj. zadok) ukáže sa, že je to unca. Na uľahčenie práce boli zostavené špeciálne tabuľky, z ktorých niektoré k nám prišli.

Vzhľadom na to, že v dvanástnikovej sústave neexistujú zlomky s menovateľmi 10 alebo 100, Rimania ťažko delili 10, 100 atď. Pri delení 1001 somárov číslom 100 dostal jeden rímsky matematik najskôr 10 somárov, potom rozdelil somárov na unce atď. atď. Ale zvyšku sa nezbavil. Aby sa Rimania nemuseli zaoberať takýmito výpočtami, začali používať percentá. Od dlžníka zobrali prebytok (teda peniaze nad rámec toho, čo bolo požičané). Zároveň povedali: nie „úrok bude 16 stotín z výšky dlhu“, ale „za každých 100 sesterciov dlhu zaplatíte 16 sesterciov úroku“. A hovorilo to isté a nebolo potrebné používať zlomky! Keďže slová „na sto“ zneli v latinčine „asi centum“, začala sa nazývať stotina percentá. A hoci dnes zlomky, a najmä desatinné zlomky, pozná každý, percentá sa stále používajú vo finančných výpočtoch a pri plánovaní, to znamená v rôznych oblastiach ľudskej činnosti. A predtým tiež používali ppm - takto sa nazývali tisíciny (v latinčine „pro mille“ - promile). Na rozdiel od percent, ktoré sú označené znakom %, ppm sú označené ‰.

Písanie zlomkov u Grékov.

V gréckych prácach o matematike sa zlomky nenašli. Grécki vedci verili, že matematika by sa mala zaoberať iba celými číslami. Pohrávanie so zlomkami prenechali obchodníkom, remeselníkom, ako aj astronómom, geodetom, mechanikom a iným „černochom“. Ale staré príslovie hovorí: „Drž prírodu pred dverami a vyletí von oknom. Preto zlomky prenikli do prísne vedeckých prác Grékov „zadnými dvierkami“. Okrem aritmetiky a geometrie zahŕňala grécka veda aj hudbu. Gréci nazývali štúdium harmónie hudbou. Toto učenie bolo založené na tej časti našej aritmetiky, ktorá sa zaoberá vzťahmi a proporciami. Gréci vedeli, že čím dlhšie je struna natiahnutá, tým nižší zvuk vydáva a krátka struna vydáva vysoký zvuk. Ale každý hudobný nástroj nemá jednu, ale niekoľko strún. Aby všetky struny zneli pri hre „dohodne“ lahodiace uchu, musia byť dĺžky ich znejúcich častí v určitom pomere. Preto sa v gréckej hudobnej teórii používala doktrína pomerov a zlomkov.

Keďže grécki vedci nerozoznávali zlomkové čísla, mali problémy s meraním veličín. Grécky matematik nemohol povedať, že dĺžka jedného segmentu je trikrát väčšia ako dĺžka druhého. Koniec koncov, tieto dĺžky sa mohli ukázať ako zlomkové čísla alebo dokonca vôbec neboli vyjadrené číslami známymi Grékom, a preto na ne nebolo možné použiť operáciu násobenia. Grécki vedci museli prísť na spôsob, ako sa zaobísť vo vede bez vyjadrenia dĺžok, plôch a objemov v číslach (obchodníci a remeselníci to pokojne robili a nevenovali pozornosť bludom vedcov). K tomu bolo potrebné vytvoriť doktrínu o vzťahoch veličín, o rovnosti takýchto vzťahov atď. Rovnosť dvoch pomerov bola neskôr nazvaná latinským slovom „proporcia“ (Gréci na to používali grécke slovo „analógia“).

Moderný zápis obyčajných zlomkov.

Treba poznamenať, že odvetvie aritmetiky o zlomkoch je už dlho jedným z najviac mätúcich. Preto tí, ktorí nepoznali zlomky, neboli uznaní za znalých v aritmetike. Bolo ťažké zvládnuť zlomky. Aj pre najvzdelanejších ľudí stredoveku bola práca so zlomkami veľmi náročná. Stalo sa to preto, lebo neexistovali žiadne všeobecné techniky na prácu so zlomkami a písanie zlomkov, tie sa sčítavali, násobili a delili podľa rôznych „receptov“.

Moderný systém zápisu zlomkov s čitateľom a menovateľom vznikol v Indii. Indovia široko používali „obyčajné“ zlomky. Naše označenie obyčajných zlomkov pomocou čitateľa a menovateľa bolo prijaté v Indii už v 8. storočí pred Kristom. avšak bez desatinnej čiarky. Len tam hore napísali menovateľa a dolu čitateľa. A Arabi začali zapisovať zlomky presne tak, ako to robia teraz.

Desatinné.

Začiatkom novej etapy v histórii zlomkov boli desatinné zlomky. Zavedenie desatinných zlomkov spolu so sústavou desatinných čísel je jedným z najdôležitejších momentov v histórii aritmetiky, a teda aj matematiky všeobecne. Už v 3. stor. medzi národmi Číny, ktoré používali desatinný systém mier, sa začali objavovať desatinné zlomky, ktoré sa objavovali vo forme pomenovaných čísel - jednotiek desatinného systému mier.

Niektoré narážky na desatinné zlomky sa našli medzi národmi Indie a potom medzi národmi Blízkeho východu. Al – Uklidisi (10. storočie) bol prvým matematikom v islamských krajinách, ktorý používal desatinné zlomky a pochopil ich dôležitosť. U al-Nasawi (d. c. 1030) pri extrakcii druhej odmocniny sú náznaky desatinných zlomkov (pri extrakcii druhej odmocniny, ak nebola extrahovaná celá, pridali k radikálnemu výrazu toľko núl, koľko bolo potrebné na získanie ďalších znamienok v odmocnine) . V Európe podobnú metódu extrakcie odmocnin prvýkrát použil španielsky mníchJána zo Sevilly(XII storočie). Bagdadský vedec použil vo svojom pojednaní desatinné zlomky al-Bagdádí (1002 - 1071).

Koncom 16. storočia sa objavili desatinné zlomky. Pri výpočte s desatinnými zlomkami sa získali veľmi čísla s veľmi veľkým počtom číslic. Tento počet znakov nebol potrebný na cvičenie. Preto bolo potrebné zaokrúhliť prijaté odpovede a vykonať približné výpočty. Pre rozvoj približných výpočtov urobil veľa ruský matematik a staviteľ lodí akademik Alexej Nikolajevič Krylov (1863 - 1945). V dnešnej dobe, aby boli výpočty jednoduchšie, boli zostrojené stroje, ktoré dokážu počítať úžasne rýchlo. Za jednu sekundu môžu tieto stroje vykonávať milióny aritmetických operácií (sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie) s viaccifernými číslami.

Vo vede a priemysle, v poľnohospodárstve sa desatinné zlomky používajú pri výpočtoch oveľa častejšie ako bežné zlomky.

Je to spôsobené jednoduchosťou pravidiel pre výpočty s desatinnými zlomkami a ich podobnosťou s pravidlami pre operácie s prirodzenými číslami. Pravidlá výpočtov s desatinnými zlomkami opísal slávny vedec stredovekual-Kashi Jamshd Ibn Masud, ktorý začiatkom 15. storočia žil v meste Samarkand na Ulugbekovom observatóriu.

Al-Kashi zapisoval desatinné zlomky rovnakým spôsobom ako teraz, ale nepoužíval čiarku: zlomkovú časť zapísal červeným atramentom alebo ju oddelil zvislou čiarou.

O tom však v Európe v tom čase nevedeli a až o 150 rokov neskôr flámsky inžinier a vedec opäť objavil desatinné zlomky.Simon Stevin. Stevinovo písanie desatinných miest bolo dosť ťažké.

Napríklad číslo 24,56 vyzeralo takto: 2405162 alebo 2456 - namiesto čiarky nula v krúžku (alebo 0 nad celou časťou), čísla 1, 2, 3, ... označovali polohu zvyšných postavy.

Čiarka alebo bodka na oddelenie celočíselnej časti od zlomkovej časti sa začala používať od XVII.

V Rusku bola vysvetlená doktrína desatinných zlomkovLeonty Filippovič Magnitskyv roku 1703 v prvej učebnici matematiky „Aritmetika, teda veda o číslach“.

Naše číslovanie je desatinné. Tento názov pochádza z pravidla: jednotka každej číslice je 10-krát väčšia ako jednotka predchádzajúcej vedľajšej číslice.

Jednotková číslica je najmenej významná v zápise prirodzených čísel. Jednotka predchádzajúcej najmenej významnej číslice musí byť 10-krát menšia ako jednotka každej číslice.

Ľudia teda súhlasili s umiestnením číslice napravo od číslice jednotky desatiny akcií A na označenie, kde končia jednotky a začínajú desiatky, pred desiatkami ječiarka

Napríklad písanie 34,2 označuje číslo. číslo 5 možno napísať: 5.9.

Číslice napravo od čiarky môžu pokračovať ďalej. Čo bude znamenať jednotka druhej takejto série? Aby pravidlo platilo, musí byť o 10 menej ako. Takže toto je: 10, t.j. .

1. desatinné miesto – desatiny,

2. desatinné miesto – stotiny,

3. desatinné miesto – tisíciny.

Zlomok zapísaný pomocou čísel a čiarky sa nazýva desatinný zlomok, zlomok zapísaný pomocou zlomkovej čiary sa nazýva obyčajný zlomok.

Rovnako ako prirodzené čísla, každý desatinný zlomok môže byť reprezentovaný ako súčet ciferných členov.

desiatky

Jednotky

desatiny

stotiny

tisíciny

desaťtisíciny

stotisíciny

milióntiny

desať milióntin

sto miliónov

miliardtiny

skúsme napísať obyčajný zlomokako desatinné číslo. Aby ste to dosiahli, musíte rozdeliť čitateľa menovateľom. Po vypočítaní niekoľkých čísel kvocientu uvidíme vzor, v ktorom sa tieto čísla zobrazujú. Je jasné, že výsledok bude len 6. Ale takto sa dá pokračovať donekonečna. Preto sa výsledný zlomok nazývanekonečné desatinné číslo. Nedá sa to úplne napísať. Niekde teda budete musieť prekonať rekord a pridať elipsu. Je len potrebné pochopiť vzor, s ktorým čísla nasledujú za sebou. Pre zlomkyTakýto vzor sme našli vyššie. Môžeš písať: =0,6666...

Nekonečné desatinné miesta sú tiež čísla. Možno ich sčítať a odčítať, násobiť a deliť a navzájom porovnávať. Porovnávajú sa podľa rovnakého pravidla ako Konečný (t. j. bežné) desatinné miesta. Napríklad 10,63186318... > 10,631846318...,keďže na mieste stotisícín má prvé číslo číslicu 6 a druhé má číslicu 4.

Zahoďme všetky číslice v nekonečnom desatinnom zlomku, počnúc od určitej číslice. Dostaneme konečný desatinný zlomok. Napríklad zo zlomku 0,666666... môžete získať konečné zlomky 0,6; 0,66; 0,666; 0,6666 Hovorí sa, že každý z nich jeprístup s nevýhodoudaný nekonečný desatinný zlomok. Z týchto aproximácií možno zostaviť nekonečný reťazec nerovností: 0,6

Teraz opäť vyraďme všetky číslice v nekonečnom desatinnom zlomku, počnúc od určitej číslice, ale poslednú číslicu zvýšte o jednu. Potom opäť dostaneme konečný desatinný zlomok. Bude väčší ako daný nekonečný desatinný zlomok. Volajú jublížiace sa s prebytkom. Napríklad pre číslo 0,666666,... je zlomok 0,7; 0,67; 0,667; ... - aproximácie v hojnosti. Každý z týchto zlomkov je väčší ako číslo 0,666666...; a čím viac číslic zlomok obsahuje, tým je bližšie k tomuto číslu.

Čím viac číslic je aproximovaných daným číslom, tým je výsledný konečný desatinný zlomok bližšie k danému číslu..

Spomínajúc na to = 0,6666... môžeme získať veľa približných rovnosti.

Je ľahké si všimnúť, že pri preklade niektorých obyčajných zlomkov sa získajú nekonečné desatinné zlomky, kde sa od určitého miesta začína opakovať jedna alebo skupina číslic. Táto opakujúca sa skupina čísel sa nazýva obdobie nekonečný desatinný zlomok a samotný zlomok sa nazýva periodické Konečný desatinný zlomok možno tiež považovať za periodický - jeho perióda pozostáva z nuly.

Každé racionálne číslo možno zapísať ako periodický desatinný zlomok. A naopak, ak je číslo zapísané ako periodický desatinný zlomok, potom je racionálne. Ale okrem racionálnych čísel existujú aj iné čísla. To je presne to, čo objavil Pytagoras. Dokázal úžasnú vec:Ukazuje sa, že dĺžku uhlopriečky jednotkového štvorca nemožno zapísať ako racionálne číslo!Môžete však použiť nekonečný desatinný zlomok. Rovnako tak nie je možné písať čísla ako periodické zlomkyπ, e.

Záver.

Vo vede a priemysle, v poľnohospodárstve sa desatinné zlomky používajú oveľa častejšie ako bežné zlomky. Je to spôsobené jednoduchosťou pravidiel pre výpočty s desatinnými zlomkami a ich podobnosťou s pravidlami pre operácie s prirodzenými číslami.

Pri práci som to zistil

1. História zlomkov má staroveký pôvod.

2. Pravidlá pre výpočet desatinných zlomkov opísal známy stredoveký vedec al-Kashi Jemshid Ibn Masud, ktorý začiatkom 15. storočia pôsobil v meste Samarkand na Ulugbekovom observatóriu.

3. V Európe boli desatinné zlomky znovu objavené flámskym vedcom a inžinierom Simonom Stevinom koncom 16. a začiatkom 17. storočia.

4. V Rusku náuku o desatinných zlomkoch predstavil Leonty Filippovič Magnitskij v roku 1703 v prvej učebnici matematiky „Aritmetika, teda náuka o číslach“.

Spoznal som aj históriu systému zaznamenávania a pomenovania zlomkov v rôznych krajinách a ich aplikáciu v modernej matematike.

Práca o histórii vzniku a zaznamenávaní čísel je veľmi zaujímavá a mnohostranná a dá sa v nej vyhľadať a nájsť množstvo zaujímavých informácií ako o pôvode čísel, tak aj o ich aplikácii v praxi.

Literatúra.

Vilenkin N.Ya. a ďalšie. Matematika 6. ročník. M.: Vzdelávanie, 1993.
Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stránkami učebnice matematiky. M.: Vzdelávanie, 1989.
Rybnikov K.A. História matematiky. M.: Nauka, 1994.
Stroik D.Ya.. Stručný prehľad dejín matematiky. M.: Nauka, Fizmatlit, 1990.
Shevrin L.N. a ďalšie. Matematika: Učebnica - príhovor pre 5 – 6 ročníkov. M.: Vzdelávanie, 1989.
Juškevič A.P.. Matematika vo svojej histórii. M.: Nauka, 1996.

Dvor je hlavnou mierou dĺžky v Anglicku, táto miera bola ustanovená dekrétom kráľa Henricha I. Dĺžka dvora je v súčasnosti približne 0,9144 m