Zmena funkcie v určitom bode je definovaná ako limit prírastku funkcie k prírastku argumentu, ktorý má tendenciu k nule. Ak ho chcete nájsť, použite tabuľku derivátov. Napríklad derivácia funkcie y = x3 sa bude rovnať y '= x2.

Nastavte túto deriváciu na nulu (v tomto prípade x2 = 0).

Nájdite hodnotu danej premennej. Toto budú hodnoty, keď sa daná derivácia rovná 0. Ak to chcete urobiť, nahraďte vo výraze namiesto x ľubovoľné číslice, pri ktorých sa celý výraz stane nulou. Napríklad:

2-2x2 = 0
(1-x) (1 + x) = 0
x1 = 1, x2 = -1

Vyneste získané hodnoty na súradnicovú čiaru a vypočítajte znamienko derivácie pre každú zo získaných hodnôt. Na súradnicovej čiare sú označené body, ktoré sa berú ako počiatok. Ak chcete vypočítať hodnotu v intervaloch, nahraďte ľubovoľné hodnoty, ktoré zodpovedajú kritériám. Napríklad pre predchádzajúcu funkciu, až do -1, môžete zvoliť hodnotu -2. Od -1 do 1 si môžete vybrať 0 a pre hodnoty väčšie ako 1 zvoľte 2. Dosaďte tieto čísla do derivácie a zistite znamienko derivácie. V tomto prípade bude derivácia s x = -2 -0,24, t.j. záporné a na tomto intervale bude znamienko mínus. Ak x = 0, potom sa hodnota bude rovnať 2 a na tento interval sa umiestni znamienko. Ak x = 1, potom derivácia bude tiež -0,24 a dá sa mínus.

Ak pri prechode bodom na súradnicovej čiare derivácia zmení svoje znamienko z mínus na plus, potom je to minimálny bod a ak z plus na mínus, potom je to maximálny bod.

Podobné videá

Užitočné rady

Na nájdenie derivátu existujú online služby, ktoré vypočítajú požadované hodnoty a zobrazia výsledok. Na takýchto stránkach môžete nájsť derivát až do 5. rádu.

Zdroje:

  • Jedna zo služieb na výpočet derivátov
  • maximálny bod funkcie

Maximálne body funkcie spolu s minimálnymi bodmi sa nazývajú extrémne body. V týchto bodoch funkcia mení svoje správanie. Extrémy sa určujú v obmedzených číselných intervaloch a sú vždy lokálne.

Inštrukcie

Proces hľadania lokálnych extrémov sa nazýva funkcia a vykonáva sa analýzou prvej a druhej derivácie funkcie. Pred preskúmaním sa uistite, že zadaný rozsah hodnôt argumentov sú platné hodnoty. Napríklad pre funkciu F = 1 / x je hodnota argumentu x = 0 neplatná. Alebo pre funkciu Y = tg (x) nemôže mať argument hodnotu x = 90 °.

Uistite sa, že funkcia Y je diferencovateľná v celom danom segmente. Nájdite prvú deriváciu Y ". Je zrejmé, že pred dosiahnutím bodu lokálneho maxima funkcia rastie a pri prechode cez maximum sa funkcia stáva klesajúcou. Prvá derivácia vlastným spôsobom fyzický zmysel charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie. Zatiaľ čo sa funkcia zvyšuje, rýchlosť tohto procesu je pozitívna. Pri prechode cez lokálne maximum funkcia začne klesať a rýchlosť procesu zmeny funkcie bude negatívna. Prechod rýchlosti zmeny funkcie cez nulu nastáva v bode lokálneho maxima.

$ E \ podmnožina \ mathbb (R) ^ (n) $. $ F $ sa hovorí, že má miestne maximum v bode $ x_ (0) \ v E $, ak existuje okolie $ U $ bodu $ x_ (0) $ také, že pre všetky $ x \ v U $ je nerovnosť $ f \ vľavo (x \ vpravo ) \ leqslant f \ vľavo (x_ (0) \ vpravo) $.

Lokálne maximum je tzv prísny ak je možné vybrať okolie $ U $ tak, že pre všetky $ x \ v U $ okrem $ x_ (0) $ je $ f \ vľavo (x \ vpravo)< f\left(x_{0}\right)$.

Definícia
Nech $ f $ je reálna funkcia na otvorenej množine $ E \ podmnožina \ mathbb (R) ^ (n) $. $ F $ sa hovorí, že má miestne minimum v bode $ x_ (0) \ v E $, ak existuje okolie $ U $ bodu $ x_ (0) $ také, že pre všetky $ x \ v U $ je nerovnosť $ f \ vľavo (x \ vpravo ) \ geqslant f \ vľavo (x_ (0) \ vpravo) $.

Miestne minimum sa nazýva prísne, ak je možné vybrať okolie $ U $ tak, že pre všetky $ x \ v U $ iné ako $ x_ (0) $, $ f \ vľavo (x \ vpravo)> f \ vľavo (x_ ( 0) \ vpravo) $.

Lokálny extrém spája pojmy lokálne minimum a lokálne maximum.

Veta ( nevyhnutná podmienka extrém diferencovateľnej funkcie)
Nech $ f $ je reálna funkcia na otvorenej množine $ E \ podmnožina \ mathbb (R) ^ (n) $. Ak má v bode $ x_ (0) \ v E $ funkcia $ f $ v tomto bode lokálny extrém, potom $$ \ text (d) f \ vľavo (x_ (0) \ vpravo) = 0. $$ Rovnosť k nule diferenciál je ekvivalentný tomu, že všetky sú rovné nule, t.j. $$ \ štýl zobrazenia \ frac (\ čiastočné f) (\ čiastočné x_ (i)) \ vľavo (x_ (0) \ vpravo) = 0. $$

V jednorozmernom prípade áno. Označujeme $ \ phi \ vľavo (t \ vpravo) = f \ vľavo (x_ (0) + th \ vpravo) $, kde $ h $ je ľubovoľný vektor. Funkcia $ \ phi $ je definovaná pre dostatočne malé hodnoty $ t $ v absolútnej hodnote. Okrem toho je to diferencovateľné a $ (\ phi) ’\ vľavo (t \ vpravo) = \ text (d) f \ vľavo (x_ (0) + th \ vpravo) h $.
Nech $ f $ má lokálne maximum v bode x $ 0 $. Preto funkcia $ \ phi $ pre $ t = 0 $ má lokálne maximum a podľa Fermatovej vety $ (\ phi) ’\ vľavo (0 \ vpravo) = 0 $.
Takže sme dostali, že $ df \ vľavo (x_ (0) \ vpravo) = 0 $, t.j. funkcie $ f $ v bode $ x_ (0) $ sa rovná nule na ľubovoľnom vektore $ h $.

Definícia
Body, v ktorých je diferenciál nulový, t.j. tie, v ktorých sú všetky parciálne derivácie rovné nule, sa nazývajú stacionárne. Kritické body funkcia $ f $ sa nazýva také body, v ktorých $ f $ nie je diferencovateľné, alebo sa rovná nule. Ak je bod stacionárny, potom to ešte neznamená, že funkcia má v tomto bode extrém.

Príklad 1
Nech $ f \ vľavo (x, y \ vpravo) = x ^ (3) + y ^ (3) $. Potom $ \ displaystyle \ frac (\ čiastočné f) (\ čiastočné x) = 3 \ cdot x ^ (2) $, $ \ displaystyle \ frac (\ čiastočné f) (\ čiastočné y) = 3 \ cdot y ^ (2 ) $, takže $ \ vľavo (0,0 \ vpravo) $ je stacionárny bod, ale v tomto bode funkcia nemá extrém. Skutočne, $ f \ vľavo (0,0 \ vpravo) = 0 $, ale je ľahké vidieť, že v akomkoľvek okolí bodu $ \ vľavo (0,0 \ vpravo) $ má funkcia kladné aj záporné hodnoty.

Príklad 2
Funkcia $ f \ vľavo (x, y \ vpravo) = x ^ (2) - y ^ (2) $ má svoj pôvod ako stacionárny bod, ale je jasné, že v tomto bode neexistuje extrém.

Veta (dostatočná podmienka pre extrém).
Nech je funkcia $ f $ dvakrát spojito diferencovateľná na otvorenej množine $ E \ podmnožina \ mathbb (R) ^ (n) $. Nech $ x_ (0) \ v E $ je stacionárny bod a $$ \ štýl zobrazenia Q_ (x_ (0)) \ vľavo (h \ vpravo) \ ekviv \ suma_ (i = 1) ^ n \ suma_ (j = 1 ) ^ n \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný x_ (i) \ čiastočný x_ (j)) \ ľavý (x_ (0) \ pravý) h ^ (i) h ^ (j). $ $ Potom

  1. ak $ Q_ (x_ (0)) $ -, potom funkcia $ f $ v bode $ x_ (0) $ má lokálny extrém, konkrétne minimum, ak je tvar kladne určitý, a maximum, ak je tvar negatívny definitívny;
  2. ak kvadratická forma $ Q_ (x_ (0)) $ nie je definovaná, potom funkcia $ f $ v bode $ x_ (0) $ nemá extrém.

Využime rozšírenie podľa Taylorovho vzorca (12.7 s. 292). Ak vezmeme do úvahy, že parciálne derivácie prvého rádu v bode $ x_ (0) $ sú rovné nule, dostaneme $$ \ displaystyle f \ left (x_ (0) + h \ right) −f \ left (x_ (0) \ vpravo) = \ frac (1) (2) \ súčet_ (i = 1) ^ n \ súčet_ (j = 1) ^ n \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný x_ (i ) \ čiastočné x_ (j)) \ vľavo (x_ (0) + \ theta h \ vpravo) h ^ (i) h ^ (j), $$ kde $ 0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0 $ a $ \ epsilon \ doľava (h \ doprava) \ šípka doprava 0 $ pre $ h \ šípka doprava 0 $, potom bude pravá strana kladná pre akýkoľvek vektor $ h $ dostatočne malej dĺžky.
Dospeli sme teda k záveru, že v určitom okolí bodu $ x_ (0) $ platí nerovnosť $ f \ vľavo (x \ vpravo)> f \ vľavo (x_ (0) \ vpravo) $, ak len $ x \ neq x_ (0) $ (vložíme $ x = x_ (0) + h $ \ vpravo). To znamená, že v bode $ x_ (0) $ má funkcia prísne lokálne minimum a tým je dokázaná prvá časť našej vety.
Predpokladajme teraz, že $ Q_ (x_ (0)) $ je nedefinovaný tvar. Potom existujú vektory $ h_ (1) $, $ h_ (2) $ také, že $ Q_ (x_ (0)) \ vľavo (h_ (1) \ vpravo) = \ lambda_ (1)> 0 $, $ Q_ ( x_ (0)) \ vľavo (h_ (2) \ vpravo) = \ lambda_ (2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Potom dostaneme $$ f \ vľavo (x_ (0) + th_ (1) \ vpravo) −f \ vľavo (x_ (0) \ vpravo) = \ frac (1) (2) \ vľavo [t ^ (2) \ lambda_ (1) + t ^ (2) | h_ (1) | ^ (2) \ epsilon \ vľavo (th_ (1) \ vpravo) \ vpravo] = \ frac (1) (2) t ^ (2) \ vľavo [\ lambda_ (1) + | h_ (1) | ^ (2) \ epsilon \ vľavo (th_ (1) \ vpravo) \ vpravo]. $$ Pre dostatočne malé $ t> 0 $ pravá strana je pozitívny. To znamená, že v akomkoľvek okolí bodu $ x_ (0) $ funkcia $ f $ nadobúda hodnoty $ f \ vľavo (x \ vpravo) $, ktoré sú väčšie ako $ f \ vľavo (x_ (0) \ vpravo) $.
Podobne získame, že v akomkoľvek okolí bodu $ x_ (0) $ funkcia $ f $ nadobúda hodnoty menšie ako $ f \ vľavo (x_ (0) \ vpravo) $. To spolu s predchádzajúcim znamená, že v bode $ x_ (0) $ funkcia $ f $ nemá extrém.

Zvážte špeciálny prípad tejto vety pre funkciu $ f \ vľavo (x, y \ vpravo) $ dvoch premenných, definovaných v niektorom okolí bodu $ \ vľavo (x_ (0), y_ (0) \ vpravo) $ a majúcich spojité parciálne deriváty prvého a druhého rádu. Predpokladajme, že $ \ vľavo (x_ (0), y_ (0) \ vpravo) $ je stacionárny bod a označte $$ \ štýl zobrazenia a_ (11) = \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný x ^ (2)) \ vľavo (x_ (0), y_ (0) \ vpravo), a_ (12) = \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný x \ čiastočný y) \ vľavo (x_ ( 0 ), y_ (0) \ vpravo), a_ (22) = \ frac (\ čiastočné ^ (2) f) (\ čiastočné y ^ (2)) \ vľavo (x_ (0), y_ (0) \ vpravo ) $$ Potom predchádzajúca veta nadobúda nasledujúci tvar.

Veta
Nech $ \ Delta = a_ (11) \ cdot a_ (22) - a_ (12) ^ 2 $. potom:

  1. ak $ \ Delta> 0 $, potom funkcia $ f $ má lokálny extrém v bode $ \ vľavo (x_ (0), y_ (0) \ vpravo) $, teda minimum, ak $ a_ (11)> 0 $ a maximálne, ak $ a_ (11)<0$;
  2. ak $ \ Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Príklady riešenia problémov

Algoritmus na nájdenie extrému funkcie mnohých premenných:

  1. Nájdite stacionárne body;
  2. Nájdite diferenciál 2. rádu vo všetkých stacionárnych bodoch
  3. Pomocou postačujúcej podmienky pre extrém funkcie viacerých premenných uvažujeme diferenciál druhého rádu v každom stacionárnom bode
  1. Preskúmajte funkciu pre extrém $ f \ vľavo (x, y \ vpravo) = x ^ (3) + 8 \ cdot y ^ (3) + 18 \ cdot x - 30 \ cdot y $.
    Riešenie

    Nájdite parciálne derivácie 1. rádu: $$ \ displaystyle \ frac (\ čiastočný f) (\ čiastočný x) = 3 \ cdot x ^ (2) - 6 \ cdot y; $$ $$ \ displaystyle \ frac (\ čiastočný f ) (\ čiastočné y) = 24 \ cdot y ^ (2) - 6 \ cdot x. $$ Zložme a vyriešime systém: $$ \ displaystyle \ begin (cases) \ frac (\ čiastočný f) (\ čiastočný x ) = 0 \\\ frac (\ čiastočné f) (\ čiastočné y) = 0 \ koniec (prípady) \ Šípka doprava \ začiatok (prípady) 3 \ cdot x ^ (2) - 6 \ cdot y = 0 \\ 24 \ cdot y ^ (2) - 6 \ cdot x = 0 \ koniec (prípady) \ šípka doprava \ začiatok (prípady) x ^ (2) - 2 \ cdot y = 0 \\ 4 \ cdot y ^ (2) - x = 0 \ koniec (prípady) $$ Z 2. rovnice vyjadrite $ x = 4 \ cdot y ^ (2) $ - náhrada v 1. rovnici: $$ \ displaystyle \ left (4 \ cdot y ^ (2) \ right ) ^ (2) -2 \ cdot y = 0 $$ $$ 16 \ cdot y ^ (4) - 2 \ cdot y = 0 $$ $$ 8 \ cdot y ^ (4) - y = 0 $$ $ $ y \ vľavo (8 \ cdot y ^ (3) -1 \ vpravo) = 0 $$ Výsledkom sú 2 stacionárne body:
    1) $ y = 0 \ Šípka doprava x = 0, M_ (1) = \ doľava (0, 0 \ doprava) $;
    2) $ \ displaystyle 8 \ cdot y ^ (3) -1 = 0 \ šípka doprava y ^ (3) = \ frac (1) (8) \ šípka doprava y = \ frac (1) (2) \ šípka doprava x = 1 , M_ (2) = \ vľavo (\ frac (1) (2), 1 \ vpravo) $
    Skontrolujme splnenie postačujúcej podmienky pre extrém:
    $$ \ štýl zobrazenia \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný x ^ (2)) = 6 \ cdot x; \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný x \ čiastočný y) = - 6; \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný y ^ (2)) = 48 \ cdot y $$
    1) Pre bod $ M_ (1) = \ vľavo (0,0 \ vpravo) $:
    $$ \ štýl zobrazenia A_ (1) = \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný x ^ (2)) \ vľavo (0,0 \ vpravo) = 0; B_ (1) = \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný x \ čiastočný y) \ vľavo (0,0 \ vpravo) = - 6; C_ (1) = \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný y ^ (2)) \ vľavo (0,0 \ vpravo) = 0; $$
    $ A_ (1) \ cdot B_ (1) - C_ (1) ^ (2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
    2) Pre bod $ M_ (2) $:
    $$ \ štýl zobrazenia A_ (2) = \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný x ^ (2)) \ ľavý (1, \ frac (1) (2) \ pravý) = 6; B_ (2) = \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný x \ čiastočný y) \ vľavo (1, \ frac (1) (2) \ vpravo) = - 6; C_ (2) = \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný y ^ (2)) \ vľavo (1, \ frac (1) (2) \ vpravo) = 24; $$
    $ A_ (2) \ cdot B_ (2) - C_ (2) ^ (2) = 108> 0 $, takže v bode $ M_ (2) $ je extrém a keďže $ A_ (2)> 0 $, potom je to minimum.
    Odpoveď: Bod $ \ štýl zobrazenia M_ (2) \ vľavo (1, \ frac (1) (2) \ vpravo) $ je minimálny bod funkcie $ f $.

  2. Preskúmajte funkciu pre extrém $ f = y ^ (2) + 2 \ cdot x \ cdot y - 4 \ cdot x - 2 \ cdot y - 3 $.
    Riešenie

    Nájdite stacionárne body: $$ \ štýl zobrazenia \ frac (\ čiastočný f) (\ čiastočný x) = 2 \ cdot y - 4; $$ $$ \ štýl zobrazenia \ frac (\ čiastočný f) (\ čiastočný y) = 2 \ cdot y + 2 \ cdot x - 2. $$
    Zostavme a vyriešme systém: $$ \ displaystyle \ begin (cases) \ frac (\ čiastočné f) (\ čiastočné x) = 0 \\\ frac (\ čiastočné f) (\ čiastočné y) = 0 \ end (cases ) \ Šípka vpravo \ začiatok (veľké písmená) 2 \ cbodka y - 4 = 0 \\ 2 \ cbodka y + 2 \ cbodka x - 2 = 0 \ koniec (prípady) \ Šípka vpravo \ začiatok (prípady) y = 2 \\ y + x = 1 \ koniec (prípady) \ Šípka doprava x = -1 $$
    $ M_ (0) \ vľavo (-1, 2 \ vpravo) $ je stacionárny bod.
    Skontrolujme, či je splnená dostatočná extrémna podmienka: $$ \ štýl zobrazenia A = \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný x ^ (2)) \ ľavý (-1,2 \ pravý) = 0; B = \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný x \ čiastočný y) \ ľavý (-1,2 \ pravý) = 2; C = \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný y ^ (2)) \ ľavý (-1,2 \ pravý) = 2; $$
    $ A \ cdot B - C ^ (2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
    Odpoveď: neexistujú žiadne extrémy.

Časový limit: 0

Navigácia (iba čísla úloh)

0 zo 4 dokončených otázok

Informácie

Urobte si tento kvíz a otestujte si svoje znalosti o téme, ktorú ste práve čítali, „Miestne extrémy funkcií mnohých premenných“.

Test ste už absolvovali. Nemôžete to znova spustiť.

Test sa načítava...

Pre spustenie testu sa musíte prihlásiť alebo zaregistrovať.

Na spustenie tohto testu musíte vykonať nasledujúce testy:

výsledky

Správne odpovede: 0 zo 4

Tvoj čas:

Čas vypršal

Získali ste 0 z 0 bodov (0)

Váš výsledok bol zaznamenaný vo výsledkovej tabuľke

  1. S odpoveďou
  2. Označené ako zobrazené

    Úloha 1 zo 4

    1 .
    Body: 1

    Preskúmajte extrémy vo funkcii $ f $: $ f = e ^ (x + y) (x ^ (2) -2 \ cdot y ^ (2)) $

    Správny

    Nesprávne

  1. Otázka 2 zo 4

    2 .
    Body: 1

    Má funkcia $ f = 4 + \ sqrt ((x ^ (2) + y ^ (2)) ^ (2)) $

Extrémny bod funkcie je bod v obore funkcie, v ktorom hodnota funkcie nadobúda minimálnu alebo maximálnu hodnotu. Hodnoty funkcie v týchto bodoch sa nazývajú extrémy (minimum a maximum) funkcie.

Definícia... Bod X1 funkčná doména f(X) sa nazýva maximálny bod funkcie , ak je hodnota funkcie v tomto bode väčšia ako hodnoty funkcie v dostatočne blízkych bodoch, ktoré sa nachádzajú napravo a naľavo od nej (to znamená nerovnosť f(X0 ) > f(X 0 + Δ X) X1 maximálne.

Definícia... Bod X2 funkčná doména f(X) sa nazýva minimálny bod funkcie, ak je hodnota funkcie v tomto bode menšia ako hodnoty funkcie v dostatočne blízkych bodoch, ktoré sa nachádzajú napravo a naľavo od nej (to znamená nerovnosť f(X0 ) < f(X 0 + Δ X) ). V tomto prípade sa hovorí, že funkcia má v bode X2 minimálne.

Povedzme bod X1 je maximálny bod funkcie f(X). Potom v intervale až X1 funkcia sa zvyšuje, takže derivácia funkcie je väčšia ako nula ( f "(X)> 0) a v intervale po X1 funkcia klesá, preto a derivácia funkcie menej ako nula ( f "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Predpokladajme tiež, že bod X2 je minimálny bod funkcie f(X). Potom v intervale až X2 funkcia klesá a derivácia funkcie je menšia ako nula ( f "(X) < 0 ), а в интервале после X2 funkcia sa zvyšuje a derivácia funkcie je väčšia ako nula ( f "(X)> 0). V tomto prípade aj v bode X2 derivácia funkcie je nulová alebo neexistuje.

Fermatova veta (nevyhnutné kritérium pre existenciu extrému funkcie)... Ak bod X0 je extrémnym bodom funkcie f(X), potom sa v tomto bode derivácia funkcie rovná nule ( f "(X) = 0) alebo neexistuje.

Definícia... Volajú sa body, v ktorých je derivácia funkcie nulová alebo neexistuje kritických bodov .

Príklad 1 Uvažujme o funkcii.

V bode X= 0, derivácia funkcie sa rovná nule, teda bod X= 0 je kritický bod. Ako však vidno na grafe funkcie, zvyšuje sa v celej oblasti definície, teda v bode X= 0 nie je extrémnym bodom tejto funkcie.

Teda podmienky, že derivácia funkcie v bode je rovná nule alebo neexistuje, sú pre extrém nevyhnutnými, ale nie postačujúcimi podmienkami, keďže iné príklady funkcií, pre ktoré sú tieto podmienky splnené, ale funkcia nemá môže byť daný extrém v príslušnom bode. Preto musíte mať dostatok znamení, čo umožňuje posúdiť, či v konkrétnom kritickom bode existuje extrém a ktorý z nich je maximum alebo minimum.

Veta (prvé postačujúce kritérium pre existenciu extrému funkcie). Kritický bod X0 f(X), ak derivácia funkcie pri prechode týmto bodom zmení znamienko a ak sa znamienko zmení z „plus“ na „mínus“, potom maximálny bod, a ak z „mínus“ na „plus“, potom minimálny bod .

Ak je blízko bodu X0 , naľavo a napravo od neho derivácia zachováva znamienko, potom to znamená, že funkcia buď iba klesá, alebo rastie len v niektorom okolí bodu X0 ... V tomto prípade v bode X0 neexistuje extrém.

takze na určenie extrémnych bodov funkcie musíte urobiť nasledovné :

  1. Nájdite deriváciu funkcie.
  2. Nastavte deriváciu na nulu a určte kritické body.
  3. Mentálne alebo na papieri označte kritické body na číselnej osi a určte znamienka derivácie funkcie v získaných intervaloch. Ak sa znamienko derivácie zmení z „plus“ na „mínus“, potom kritickým bodom je maximálny bod a ak z „mínus“ na „plus“, potom minimálny bod.
  4. Vypočítajte hodnotu funkcie v extrémnych bodoch.

Príklad 2 Nájdite extrémy funkcie .

Riešenie. Poďme nájsť deriváciu funkcie:

Nastavme deriváciu na nulu, aby sme našli kritické body:

.

Pretože pre žiadne hodnoty "x" menovateľ nie je nula, potom prirovnáme čitateľa k nule:

Mám jeden bod zlomu X= 3. Určme znamienko derivácie v intervaloch ohraničených týmto bodom:

v rozsahu od mínus nekonečna do 3 - znamienko mínus, to znamená, že funkcia klesá,

v rozsahu od 3 do plus nekonečno - znamienko plus, to znamená, že funkcia sa zvyšuje.

Teda bod X= 3 je minimálny bod.

Nájdite hodnotu funkcie v minimálnom bode:

Nájdeme teda extrémny bod funkcie: (3; 0) a je to minimálny bod.

Veta (druhé postačujúce kritérium pre existenciu extrému funkcie). Kritický bod X0 je extrémnym bodom funkcie f(X) ak druhá derivácia funkcie v tomto bode nie je nula ( f ""(X) ≠ 0), a ak je druhá derivácia väčšia ako nula ( f ""(X)> 0), potom maximálny bod a ak je druhá derivácia menšia ako nula ( f ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Poznámka 1. Ak v bode X0 prvý aj druhý derivát zaniknú, potom v tomto bode nie je možné posudzovať prítomnosť extrému na základe druhého dostatočného kritéria. V tomto prípade je potrebné použiť prvý dostatočný indikátor extrému funkcie.

Poznámka 2. Druhé postačujúce kritérium pre extrém funkcie je tiež nepoužiteľné, ak prvá derivácia neexistuje v stacionárnom bode (vtedy neexistuje ani druhá derivácia). V tomto prípade je potrebné použiť aj prvý dostatočný ukazovateľ extrému funkcie.

Lokálny charakter extrému funkcie

Z uvedených definícií vyplýva, že extrém funkcie má lokálny charakter – je to najväčší a najmenšia hodnota funkcie v porovnaní s blízkymi hodnotami.

Predpokladajme, že sa pozeráte na svoje zárobky za obdobie jedného roka. Ak ste zarobili 45 000 rubľov v máji a 42 000 rubľov v apríli a 39 000 rubľov v júni, potom sú májové zárobky maximom zárobkovej funkcie v porovnaní s najbližšími hodnotami. Ale v októbri ste zarobili 71 000 rubľov, v septembri 75 000 rubľov a v novembri 74 000 rubľov, takže októbrové zárobky sú minimom zárobkovej funkcie v porovnaní s blízkymi hodnotami. A môžete ľahko vidieť, že maximum medzi hodnotami apríl-máj-jún je menšie ako minimum september-október-november.

Všeobecne povedané, na intervale môže mať funkcia niekoľko extrémov a môže sa ukázať, že akékoľvek minimum funkcie je väčšie ako akékoľvek maximum. Takže pre funkciu znázornenú na obrázku vyššie.

To znamená, že by sme si nemali myslieť, že maximum a minimum funkcie sú jej najväčšie a najmenšie hodnoty v celom uvažovanom intervale. V maximálnom bode má funkcia najväčšiu hodnotu iba v porovnaní s hodnotami, ktoré má vo všetkých bodoch dostatočne blízko k maximálnemu bodu, a v minimálnom bode - najmenšiu hodnotu iba v porovnaní s hodnotami, ktoré má vo všetkých bodoch dostatočne blízko k minimálnemu bodu.

Preto je možné objasniť vyššie uvedený pojem extrémnych bodov funkcie a nazvať minimum bodov ako lokálne minimum bodov a maximum bodov - lokálne maximum bodov.

Spoločne hľadáme extrémy funkcie

Príklad 3

Riešenie: Funkcia je definovaná a spojitá na celej číselnej osi. Jeho derivát existuje aj na celom číselnom rade. Preto sú v tomto prípade kritické len tie, pri ktorých, t.j. , odkiaľ a. Kritické body a rozdeľte celý definičný obor funkcie na tri intervaly monotónnosti:. Vyberme si jeden kontrolný bod v každom z nich a nájdime v tomto bode znamienko derivácie.

Pre interval môže byť kontrolný bod: nájsť. Ak vezmeme bod v intervale, dostaneme, a vezmeme bod v intervale, dostaneme. Takže v intervaloch a, a v intervale. Podľa prvého dostatočného kritéria pre extrém neexistuje extrém v bode (keďže derivácia si zachováva znamienko v intervale) a v bode má funkcia minimum (keďže derivácia pri prechode mení znamienko z mínusu na plus cez tento bod). Nájdite zodpovedajúce hodnoty funkcie:, a. V intervale funkcia klesá, ako v tomto intervale, a v intervale sa zvyšuje, ako v tomto intervale.

Pre objasnenie konštrukcie grafu nájdeme body jeho priesečníka so súradnicovými osami. Získame rovnicu, ktorej korene a teda dva body (0; 0) a (4; 0) grafu funkcie nájdeme. Pomocou všetkých získaných informácií zostavíme graf (pozri na začiatku príkladu).

Príklad 4 Nájdite extrémy funkcie a vytvorte jej graf.

Definičný obor funkcie je celý číselný rad, okrem bodu, t.j. ...

Na skrátenie výskumu môžete využiť skutočnosť, že táto funkcia je párna, od r ... Preto je jeho graf symetrický okolo osi Oj a prieskum možno vykonávať len na určitý interval.

Nájdite derivát a kritické body funkcie:

1) ;

2) ,

ale funkcia sa v tomto bode zlomí, takže to nemôže byť extrémny bod.

Daná funkcia má teda dva kritické body: a. Berúc do úvahy paritu funkcie, skontrolujme iba bod druhým postačujúcim kritériom extrému. Aby sme to dosiahli, nájdeme druhú deriváciu a definujte jeho znamienko na: dostaneme. Od a, potom je minimálny bod funkcie, pričom .

Aby sme získali úplnejší obraz o grafe funkcie, zistime jej správanie na hraniciach oblasti definície:

(tu symbol označuje túžbu X na nulu vpravo a X zostáva pozitívny; rovnako znamená ašpiráciu X na nulu vľavo a X zostáva negatívny). Teda ak, tak. Ďalej zisťujeme

,

tie. Ak potom.

Graf funkcie nemá žiadne priesečníky s osami. Obrázok je na začiatku príkladu.

Pokračujeme spolu v hľadaní extrémov funkcie

Príklad 8. Nájdite extrémy funkcie.

Riešenie. Poďme nájsť doménu funkcie. Keďže nerovnosť musí platiť, získame z.

Poďme nájsť prvú deriváciu funkcie:

Poďme nájsť kritické body funkcie.

$ E \ podmnožina \ mathbb (R) ^ (n) $. $ F $ sa hovorí, že má miestne maximum v bode $ x_ (0) \ v E $, ak existuje okolie $ U $ bodu $ x_ (0) $ také, že pre všetky $ x \ v U $ je nerovnosť $ f \ vľavo (x \ vpravo ) \ leqslant f \ vľavo (x_ (0) \ vpravo) $.

Lokálne maximum je tzv prísny ak je možné vybrať okolie $ U $ tak, že pre všetky $ x \ v U $ okrem $ x_ (0) $ je $ f \ vľavo (x \ vpravo)< f\left(x_{0}\right)$.

Definícia
Nech $ f $ je reálna funkcia na otvorenej množine $ E \ podmnožina \ mathbb (R) ^ (n) $. $ F $ sa hovorí, že má miestne minimum v bode $ x_ (0) \ v E $, ak existuje okolie $ U $ bodu $ x_ (0) $ také, že pre všetky $ x \ v U $ je nerovnosť $ f \ vľavo (x \ vpravo ) \ geqslant f \ vľavo (x_ (0) \ vpravo) $.

Miestne minimum sa nazýva prísne, ak je možné vybrať okolie $ U $ tak, že pre všetky $ x \ v U $ iné ako $ x_ (0) $, $ f \ vľavo (x \ vpravo)> f \ vľavo (x_ ( 0) \ vpravo) $.

Lokálny extrém spája pojmy lokálne minimum a lokálne maximum.

Veta (nevyhnutná podmienka pre extrém diferencovateľnej funkcie)
Nech $ f $ je reálna funkcia na otvorenej množine $ E \ podmnožina \ mathbb (R) ^ (n) $. Ak má v bode $ x_ (0) \ v E $ funkcia $ f $ v tomto bode lokálny extrém, potom $$ \ text (d) f \ vľavo (x_ (0) \ vpravo) = 0. $$ Rovnosť k nule diferenciál je ekvivalentný tomu, že všetky sú rovné nule, t.j. $$ \ štýl zobrazenia \ frac (\ čiastočné f) (\ čiastočné x_ (i)) \ vľavo (x_ (0) \ vpravo) = 0. $$

V jednorozmernom prípade áno. Označujeme $ \ phi \ vľavo (t \ vpravo) = f \ vľavo (x_ (0) + th \ vpravo) $, kde $ h $ je ľubovoľný vektor. Funkcia $ \ phi $ je definovaná pre dostatočne malé hodnoty $ t $ v absolútnej hodnote. Okrem toho je to diferencovateľné a $ (\ phi) ’\ vľavo (t \ vpravo) = \ text (d) f \ vľavo (x_ (0) + th \ vpravo) h $.
Nech $ f $ má lokálne maximum v bode x $ 0 $. Preto funkcia $ \ phi $ pre $ t = 0 $ má lokálne maximum a podľa Fermatovej vety $ (\ phi) ’\ vľavo (0 \ vpravo) = 0 $.
Takže sme dostali, že $ df \ vľavo (x_ (0) \ vpravo) = 0 $, t.j. funkcie $ f $ v bode $ x_ (0) $ sa rovná nule na ľubovoľnom vektore $ h $.

Definícia
Body, v ktorých je diferenciál nulový, t.j. tie, v ktorých sú všetky parciálne derivácie rovné nule, sa nazývajú stacionárne. Kritické body funkcia $ f $ sa nazýva také body, v ktorých $ f $ nie je diferencovateľné, alebo sa rovná nule. Ak je bod stacionárny, potom to ešte neznamená, že funkcia má v tomto bode extrém.

Príklad 1
Nech $ f \ vľavo (x, y \ vpravo) = x ^ (3) + y ^ (3) $. Potom $ \ displaystyle \ frac (\ čiastočné f) (\ čiastočné x) = 3 \ cdot x ^ (2) $, $ \ displaystyle \ frac (\ čiastočné f) (\ čiastočné y) = 3 \ cdot y ^ (2 ) $, takže $ \ vľavo (0,0 \ vpravo) $ je stacionárny bod, ale v tomto bode funkcia nemá extrém. Skutočne, $ f \ vľavo (0,0 \ vpravo) = 0 $, ale je ľahké vidieť, že v akomkoľvek okolí bodu $ \ vľavo (0,0 \ vpravo) $ má funkcia kladné aj záporné hodnoty.

Príklad 2
Funkcia $ f \ vľavo (x, y \ vpravo) = x ^ (2) - y ^ (2) $ má svoj pôvod ako stacionárny bod, ale je jasné, že v tomto bode neexistuje extrém.

Veta (dostatočná podmienka pre extrém).
Nech je funkcia $ f $ dvakrát spojito diferencovateľná na otvorenej množine $ E \ podmnožina \ mathbb (R) ^ (n) $. Nech $ x_ (0) \ v E $ je stacionárny bod a $$ \ štýl zobrazenia Q_ (x_ (0)) \ vľavo (h \ vpravo) \ ekviv \ suma_ (i = 1) ^ n \ suma_ (j = 1 ) ^ n \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný x_ (i) \ čiastočný x_ (j)) \ ľavý (x_ (0) \ pravý) h ^ (i) h ^ (j). $ $ Potom

  1. ak $ Q_ (x_ (0)) $ -, potom funkcia $ f $ v bode $ x_ (0) $ má lokálny extrém, konkrétne minimum, ak je tvar kladne určitý, a maximum, ak je tvar negatívny definitívny;
  2. ak kvadratická forma $ Q_ (x_ (0)) $ nie je definovaná, potom funkcia $ f $ v bode $ x_ (0) $ nemá extrém.

Využime rozšírenie podľa Taylorovho vzorca (12.7 s. 292). Ak vezmeme do úvahy, že parciálne derivácie prvého rádu v bode $ x_ (0) $ sú rovné nule, dostaneme $$ \ displaystyle f \ left (x_ (0) + h \ right) −f \ left (x_ (0) \ vpravo) = \ frac (1) (2) \ súčet_ (i = 1) ^ n \ súčet_ (j = 1) ^ n \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný x_ (i ) \ čiastočné x_ (j)) \ vľavo (x_ (0) + \ theta h \ vpravo) h ^ (i) h ^ (j), $$ kde $ 0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0 $ a $ \ epsilon \ doľava (h \ doprava) \ šípka doprava 0 $ pre $ h \ šípka doprava 0 $, potom bude pravá strana kladná pre akýkoľvek vektor $ h $ dostatočne malej dĺžky.
Dospeli sme teda k záveru, že v určitom okolí bodu $ x_ (0) $ platí nerovnosť $ f \ vľavo (x \ vpravo)> f \ vľavo (x_ (0) \ vpravo) $, ak len $ x \ neq x_ (0) $ (vložíme $ x = x_ (0) + h $ \ vpravo). To znamená, že v bode $ x_ (0) $ má funkcia prísne lokálne minimum a tým je dokázaná prvá časť našej vety.
Predpokladajme teraz, že $ Q_ (x_ (0)) $ je nedefinovaný tvar. Potom existujú vektory $ h_ (1) $, $ h_ (2) $ také, že $ Q_ (x_ (0)) \ vľavo (h_ (1) \ vpravo) = \ lambda_ (1)> 0 $, $ Q_ ( x_ (0)) \ vľavo (h_ (2) \ vpravo) = \ lambda_ (2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Potom dostaneme $$ f \ vľavo (x_ (0) + th_ (1) \ vpravo) −f \ vľavo (x_ (0) \ vpravo) = \ frac (1) (2) \ vľavo [t ^ (2) \ lambda_ (1) + t ^ (2) | h_ (1) | ^ (2) \ epsilon \ vľavo (th_ (1) \ vpravo) \ vpravo] = \ frac (1) (2) t ^ (2) \ vľavo [\ lambda_ (1) + | h_ (1) | ^ (2) \ epsilon \ vľavo (th_ (1) \ vpravo) \ vpravo]. $$ Pre dostatočne malé $ t> 0 $ pravá strana je pozitívny. To znamená, že v akomkoľvek okolí bodu $ x_ (0) $ funkcia $ f $ nadobúda hodnoty $ f \ vľavo (x \ vpravo) $, ktoré sú väčšie ako $ f \ vľavo (x_ (0) \ vpravo) $.
Podobne získame, že v akomkoľvek okolí bodu $ x_ (0) $ funkcia $ f $ nadobúda hodnoty menšie ako $ f \ vľavo (x_ (0) \ vpravo) $. To spolu s predchádzajúcim znamená, že v bode $ x_ (0) $ funkcia $ f $ nemá extrém.

Uvažujme konkrétny prípad tejto vety pre funkciu $ f \ vľavo (x, y \ vpravo) $ dvoch premenných, definovaných v niektorom okolí bodu $ \ vľavo (x_ (0), y_ (0) \ vpravo) $ a majúce spojité parciálne derivácie prvého a druhého rádu. Predpokladajme, že $ \ vľavo (x_ (0), y_ (0) \ vpravo) $ je stacionárny bod a označte $$ \ štýl zobrazenia a_ (11) = \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný x ^ (2)) \ vľavo (x_ (0), y_ (0) \ vpravo), a_ (12) = \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný x \ čiastočný y) \ vľavo (x_ ( 0 ), y_ (0) \ vpravo), a_ (22) = \ frac (\ čiastočné ^ (2) f) (\ čiastočné y ^ (2)) \ vľavo (x_ (0), y_ (0) \ vpravo ) $$ Potom predchádzajúca veta nadobúda nasledujúci tvar.

Veta
Nech $ \ Delta = a_ (11) \ cdot a_ (22) - a_ (12) ^ 2 $. potom:

  1. ak $ \ Delta> 0 $, potom funkcia $ f $ má lokálny extrém v bode $ \ vľavo (x_ (0), y_ (0) \ vpravo) $, teda minimum, ak $ a_ (11)> 0 $ a maximálne, ak $ a_ (11)<0$;
  2. ak $ \ Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Príklady riešenia problémov

Algoritmus na nájdenie extrému funkcie mnohých premenných:

  1. Nájdite stacionárne body;
  2. Nájdite diferenciál 2. rádu vo všetkých stacionárnych bodoch
  3. Pomocou postačujúcej podmienky pre extrém funkcie viacerých premenných uvažujeme diferenciál druhého rádu v každom stacionárnom bode
  1. Preskúmajte funkciu pre extrém $ f \ vľavo (x, y \ vpravo) = x ^ (3) + 8 \ cdot y ^ (3) + 18 \ cdot x - 30 \ cdot y $.
    Riešenie

    Nájdite parciálne derivácie 1. rádu: $$ \ displaystyle \ frac (\ čiastočný f) (\ čiastočný x) = 3 \ cdot x ^ (2) - 6 \ cdot y; $$ $$ \ displaystyle \ frac (\ čiastočný f ) (\ čiastočné y) = 24 \ cdot y ^ (2) - 6 \ cdot x. $$ Zložme a vyriešime systém: $$ \ displaystyle \ begin (cases) \ frac (\ čiastočný f) (\ čiastočný x ) = 0 \\\ frac (\ čiastočné f) (\ čiastočné y) = 0 \ koniec (prípady) \ Šípka doprava \ začiatok (prípady) 3 \ cdot x ^ (2) - 6 \ cdot y = 0 \\ 24 \ cdot y ^ (2) - 6 \ cdot x = 0 \ koniec (prípady) \ šípka doprava \ začiatok (prípady) x ^ (2) - 2 \ cdot y = 0 \\ 4 \ cdot y ^ (2) - x = 0 \ koniec (prípady) $$ Z 2. rovnice vyjadrite $ x = 4 \ cdot y ^ (2) $ - náhrada v 1. rovnici: $$ \ displaystyle \ left (4 \ cdot y ^ (2) \ right ) ^ (2) -2 \ cdot y = 0 $$ $$ 16 \ cdot y ^ (4) - 2 \ cdot y = 0 $$ $$ 8 \ cdot y ^ (4) - y = 0 $$ $ $ y \ vľavo (8 \ cdot y ^ (3) -1 \ vpravo) = 0 $$ Výsledkom sú 2 stacionárne body:
    1) $ y = 0 \ Šípka doprava x = 0, M_ (1) = \ doľava (0, 0 \ doprava) $;
    2) $ \ displaystyle 8 \ cdot y ^ (3) -1 = 0 \ šípka doprava y ^ (3) = \ frac (1) (8) \ šípka doprava y = \ frac (1) (2) \ šípka doprava x = 1 , M_ (2) = \ vľavo (\ frac (1) (2), 1 \ vpravo) $
    Skontrolujme splnenie postačujúcej podmienky pre extrém:
    $$ \ štýl zobrazenia \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný x ^ (2)) = 6 \ cdot x; \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný x \ čiastočný y) = - 6; \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný y ^ (2)) = 48 \ cdot y $$
    1) Pre bod $ M_ (1) = \ vľavo (0,0 \ vpravo) $:
    $$ \ štýl zobrazenia A_ (1) = \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný x ^ (2)) \ vľavo (0,0 \ vpravo) = 0; B_ (1) = \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný x \ čiastočný y) \ vľavo (0,0 \ vpravo) = - 6; C_ (1) = \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný y ^ (2)) \ vľavo (0,0 \ vpravo) = 0; $$
    $ A_ (1) \ cdot B_ (1) - C_ (1) ^ (2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
    2) Pre bod $ M_ (2) $:
    $$ \ štýl zobrazenia A_ (2) = \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný x ^ (2)) \ ľavý (1, \ frac (1) (2) \ pravý) = 6; B_ (2) = \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný x \ čiastočný y) \ vľavo (1, \ frac (1) (2) \ vpravo) = - 6; C_ (2) = \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný y ^ (2)) \ vľavo (1, \ frac (1) (2) \ vpravo) = 24; $$
    $ A_ (2) \ cdot B_ (2) - C_ (2) ^ (2) = 108> 0 $, takže v bode $ M_ (2) $ je extrém a keďže $ A_ (2)> 0 $, potom je to minimum.
    Odpoveď: Bod $ \ štýl zobrazenia M_ (2) \ vľavo (1, \ frac (1) (2) \ vpravo) $ je minimálny bod funkcie $ f $.

  2. Preskúmajte funkciu pre extrém $ f = y ^ (2) + 2 \ cdot x \ cdot y - 4 \ cdot x - 2 \ cdot y - 3 $.
    Riešenie

    Nájdite stacionárne body: $$ \ štýl zobrazenia \ frac (\ čiastočný f) (\ čiastočný x) = 2 \ cdot y - 4; $$ $$ \ štýl zobrazenia \ frac (\ čiastočný f) (\ čiastočný y) = 2 \ cdot y + 2 \ cdot x - 2. $$
    Zostavme a vyriešme systém: $$ \ displaystyle \ begin (cases) \ frac (\ čiastočné f) (\ čiastočné x) = 0 \\\ frac (\ čiastočné f) (\ čiastočné y) = 0 \ end (cases ) \ Šípka vpravo \ začiatok (veľké písmená) 2 \ cbodka y - 4 = 0 \\ 2 \ cbodka y + 2 \ cbodka x - 2 = 0 \ koniec (prípady) \ Šípka vpravo \ začiatok (prípady) y = 2 \\ y + x = 1 \ koniec (prípady) \ Šípka doprava x = -1 $$
    $ M_ (0) \ vľavo (-1, 2 \ vpravo) $ je stacionárny bod.
    Skontrolujme, či je splnená dostatočná extrémna podmienka: $$ \ štýl zobrazenia A = \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný x ^ (2)) \ ľavý (-1,2 \ pravý) = 0; B = \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný x \ čiastočný y) \ ľavý (-1,2 \ pravý) = 2; C = \ frac (\ čiastočný ^ (2) f) (\ čiastočný y ^ (2)) \ ľavý (-1,2 \ pravý) = 2; $$
    $ A \ cdot B - C ^ (2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
    Odpoveď: neexistujú žiadne extrémy.

Časový limit: 0

Navigácia (iba čísla úloh)

0 zo 4 dokončených otázok

Informácie

Urobte si tento kvíz a otestujte si svoje znalosti o téme, ktorú ste práve čítali, „Miestne extrémy funkcií mnohých premenných“.

Test ste už absolvovali. Nemôžete to znova spustiť.

Test sa načítava...

Pre spustenie testu sa musíte prihlásiť alebo zaregistrovať.

Na spustenie tohto testu musíte vykonať nasledujúce testy:

výsledky

Správne odpovede: 0 zo 4

Tvoj čas:

Čas vypršal

Získali ste 0 z 0 bodov (0)

Váš výsledok bol zaznamenaný vo výsledkovej tabuľke

  1. S odpoveďou
  2. Označené ako zobrazené

    Úloha 1 zo 4

    1 .
    Body: 1

    Preskúmajte extrémy vo funkcii $ f $: $ f = e ^ (x + y) (x ^ (2) -2 \ cdot y ^ (2)) $

    Správny

    Nesprávne

  1. Otázka 2 zo 4

    2 .
    Body: 1

    Má funkcia $ f = 4 + \ sqrt ((x ^ (2) + y ^ (2)) ^ (2)) $

Definícia: Bod x0 sa nazýva bod lokálneho maxima (alebo minima) funkcie, ak v niektorom okolí bodu x0 funkcia nadobudne najväčšiu (alebo najmenšiu) hodnotu, t.j. pre všetky х z nejakého okolia bodu х0 je splnená podmienka f (x) f (x0) (alebo f (x) f (x0)).

Body lokálneho maxima alebo minima spája spoločný názov - body lokálneho extrému funkcie.

Všimnite si, že v bodoch lokálneho extrému funkcia dosahuje svoju maximálnu alebo minimálnu hodnotu len v určitej lokálnej oblasti. Sú prípady, kedy je hodnota уmaxуmin.

Nevyhnutné kritérium pre existenciu lokálneho extrému funkcie

Veta ... Ak má spojitá funkcia y = f (x) lokálny extrém v bode x0, potom v tomto bode prvá derivácia buď zaniká, alebo neexistuje, t.j. lokálny extrém sa vyskytuje v kritických bodoch prvého druhu.

V bodoch lokálneho extrému je buď dotyčnica rovnobežná s osou 0x, alebo sú tam dve dotyčnice (pozri obrázok). Všimnite si, že kritické body sú nevyhnutnou, ale nedostatočnou podmienkou pre lokálny extrém. Lokálny extrém prebieha iba v kritických bodoch prvého druhu, ale nie všetky kritické body majú lokálny extrém.

Napríklad: kubická parabola y = x3, má kritický bod x0 = 0, v ktorom je deriváciaу / (0) = 0, ale kritický bod х0 = 0 nie je extrémnym bodom, ale existuje inflexný bod (pozri nižšie).

Dostatočné kritérium pre existenciu lokálneho extrému funkcie

Veta ... Ak, keď argument prechádza cez kritický bod prvého druhu zľava doprava, prvá derivácia y / (x)

zmení znamienko z „+“ na „-“, potom má spojitá funkcia y (x) v tomto kritickom bode lokálne maximum;

zmení znamienko z „-“ na „+“, potom spojitá funkcia y (x) má v tomto kritickom bode lokálne minimum

nezmení znamienko, potom v tomto kritickom bode neexistuje lokálny extrém, tu je inflexný bod.

Pre lokálne maximum je oblasť rastúcej funkcie (y / 0) nahradená oblasťou klesajúcej funkcie (y / 0). Pre lokálne minimum je oblasť klesajúcej funkcie (y / 0) nahradená oblasťou rastúcej funkcie (y / 0).

Príklad: Preskúmajte monotónnosť, extrém vo funkcii y = x3 + 9x2 + 15x - 9 a vytvorte graf funkcie.

Kritické body prvého druhu nájdeme tak, že určíme deriváciu (y /) a prirovnáme ju k nule: y / = 3x2 + 18x + 15 = 3 (x2 + 6x + 5) = 0

Vyriešme štvorcovú trojčlenku pomocou diskriminantu:

x2 + 6x + 5 = 0 (a = 1, b = 6, c = 5) D =, x1k = -5, x2k = -1.

2) Číselnou os kritickými bodmi rozdelíme na 3 oblasti a určíme v nich znamienka derivácie (y /). Pomocou týchto znakov nájdeme oblasti monotónnosti (zvýšenie a zníženie) funkcií a zo zmeny znakov určíme body lokálneho extrému (maximum a minimum).

Výsledky výskumu budú prezentované vo forme tabuľky, z ktorej možno vyvodiť tieto závery:

  • 1. Na intervale у / (- 10) 0 funkcia monotónne narastá (znamienko derivácie у bolo odhadnuté z kontrolného bodu x = -10, braného v tomto intervale);
  • 2. Na intervale (-5; -1) y / (- 2) 0 funkcia monotónne klesá (znamienko derivácie y bolo odhadnuté z kontrolného bodu x = -2 prijatého v tomto intervale);
  • 3. Na intervale у / (0) 0 funkcia monotónne narastá (znamienko derivácie у bolo odhadnuté z kontrolného bodu x = 0 prijatého v tomto intervale);
  • 4. Pri prechode cez kritický bod х1к = -5 derivácia zmení znamienko z "+" na "-", preto je tento bod bodom lokálneho maxima
  • (ymax (-5) = (-5) 3 + 9 (-5) 2 +15 (-5) -9 = -125 + 225 - 75 - 9 = 16);
  • 5. Pri prechode cez kritický bod х2к = -1 derivácia zmení znamienko z "-" na "+", preto je tento bod bodom lokálneho minima
  • (ymin (-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

x-5 (-5; -1)-1

3) Zostrojíme graf podľa výsledkov štúdie so zapojením dodatočných výpočtov hodnôt funkcie v kontrolných bodoch:

vybudovať pravouhlý súradnicový systém Oxy;

zobraziť súradnicami maximálneho (-5; 16) a minima (-1; -16) bodov;

na spresnenie grafu vypočítame hodnotu funkcie v kontrolných bodoch, pričom ich vyberieme vľavo a vpravo od maximálnych a minimálnych bodov a v rámci priemerného intervalu, napríklad: y (-6) = (- 6) 3 +9 (-6)2 + 15 (-6)-9 = 9; y (-3) = (- 3) 3 + 9 (-3) 2 + 15 (-3) -9 = 0;

y(0) = -9 (-6; 9); (-3; 0) a (0; -9) - vypočítané kontrolné body, ktoré sa vykreslia na vytvorenie grafu;

zobrazujeme graf vo forme krivky s vydutím nahor v maximálnom bode a vydutím nadol v minimálnom bode a prechádzajúc cez vypočítané kontrolné body.