Problém č. 5922.

Majiteľ sa dohodol s robotníkmi, že vykopú studňu za nasledujúcich podmienok: za prvý meter im zaplatí 3 500 rubľov a za každý ďalší meter - o 1 600 rubľov viac ako za predchádzajúci. Koľko peňazí bude musieť majiteľ zaplatiť robotníkom, ak vykopú studňu hlbokú 9 metrov?

Keďže sa platba za každý ďalší meter líši od platby za predchádzajúci o rovnaké číslo, máme to pred sebou.

V tomto postupe - platba za prvé meradlo, - rozdiel v platbe za každé ďalšie meradlo, - počet pracovných dní.

Súčet členov aritmetickej progresie sa nachádza podľa vzorca:

Dosaďte tieto problémy do tohto vzorca.

Odpoveď: 89100.

Problém č. 5943.

V zmenárni môžete vykonať jednu z dvoch operácií:

· za 2 zlaté mince získate 3 strieborné a jednu medenú;

· za 5 strieborných mincí získate 3 zlaté a jednu medenú.

Mikuláš mal len strieborné mince. Po niekoľkých návštevách zmenárne sa jeho strieborné mince zmenšili, neobjavili sa žiadne zlaté, ale objavilo sa 100 medených. O koľko sa znížil Mikulášov počet strieborných mincí??

Problém č. 5960.

Kobylka skáče pozdĺž súradnicovej čiary v ľubovoľnom smere pre jednotkový segment na skok. Koľko rôznych bodov je na súradnicovej čiare, v ktorých môže kobylka skončiť po presne 5 skokoch, počnúc od začiatku?

Ak kobylka urobí päť skokov jedným smerom (doprava alebo doľava), skončí v bodoch so súradnicami 5 alebo -5:

Všimnite si, že kobylka môže skákať doprava aj doľava. Ak urobí 1 skok doprava a 4 skoky doľava (spolu 5 skokov), skončí v bode so súradnicou -3. Podobne, ak kobylka urobí 1 skok doľava a 4 skoky doprava (celkovo 5 skokov), skončí v bode so súradnicou 3:

Ak kobylka urobí 2 skoky doprava a 3 skoky doľava (celkovo 5 skokov), skončí v bode so súradnicou -1. Podobne, ak kobylka urobí 2 skoky doľava a 3 skoky doprava (celkovo 5 skokov), skončí v bode so súradnicou 1:

Všimnite si, že ak je celkový počet skokov nepárny, kobylka sa nevráti na začiatok súradníc, to znamená, že sa môže dostať iba k bodom s nepárnymi súradnicami:

Týchto bodov je len 6.

Ak by bol počet skokov párny, kobylka by sa dokázala vrátiť na začiatok súradníc a všetky body na súradnicovej čiare, ktoré by mohol zasiahnuť, by mali párne súradnice.

odpoveď: 6

Problém č. 5990

Slimák vylezie na strom za deň 2 m a za noc skĺzne 1 m. Výška stromu je 9 m. Koľko dní bude slimákovi trvať, kým sa vyšplhá na vrchol stromu?

Všimnite si, že v tomto probléme by sme mali rozlišovať medzi pojmom „deň“ a pojmom „deň“.

Problém sa pýta, ako dlho presne dni slimák vylezie na vrchol stromu.

Za jeden deň sa slimák zdvihne do 2 m, a za jeden deň sa slimák zdvihne 1 m (cez deň stúpa o 2 m a v noci klesá o 1 m).

Za 7 dní sa slimák zdvihne o 7 metrov. To znamená, že 8. deň ráno sa bude musieť vyšplhať na vrchol 2 m. A na ôsmy deň túto vzdialenosť prekoná.

Odpoveď: 8 dní.

Problém č. 6010.

Všetky vchody domu majú rovnaký počet poschodí a každé poschodie má rovnaký počet bytov. V tomto prípade je počet poschodí v dome väčší ako počet bytov na poschodí, počet bytov na poschodí je väčší ako počet vchodov a počet vchodov je viac ako jeden. Koľko poschodí má budova, ak je v nej spolu 105 bytov?

Ak chcete zistiť počet bytov v dome, musíte vynásobiť počet bytov na poschodí ( ) počtom poschodí ( ) a vynásobiť počtom vchodov ( ).

To znamená, že musíme nájsť ( ) na základe nasledujúcich podmienok:

(1)

Posledná nerovnosť odráža stav "počet poschodí v budove je väčší ako počet bytov na poschodí, počet bytov na poschodí je väčší ako počet vchodov a počet vchodov je viac ako jeden."

To znamená, že ( ) je najväčšie číslo.

Zoberme 105 do hlavných faktorov:

Berúc do úvahy podmienku (1), .

odpoveď: 7.

Problém č. 6036.

V košíku je 30 húb: šafranové klobúčiky a mliečne huby. Je známe, že medzi akýmikoľvek 12 hubami je aspoň jeden šafránový klobúčik a medzi akýmikoľvek 20 hubami je aspoň jeden mliečny hríb. Koľko uzáverov zo šafranového mlieka je v košíku?

Pretože medzi ľubovoľnými 12 hubami je aspoň jedna kamínka(alebo viac) počet mliečnych húb musí byť menší alebo rovný.

Z toho vyplýva, že počet uzáverov šafranového mlieka je väčší alebo rovný .

Pretože spomedzi akýchkoľvek 20 húb aspoň jedna huba(alebo viac), počet uzáverov šafranového mlieka musí byť menší alebo rovný

Potom sme zistili, že na jednej strane je počet uzáverov šafranového mlieka väčší alebo rovný 19 , a na druhej strane - menšie alebo rovné 19 .

Preto počet uzáverov šafranového mlieka rovná sa 19.

odpoveď: 19.

Problém č. 6047.

Saša pozval Peťa na návštevu s tým, že býva v siedmom vchode v byte č. 333, no zabudol povedať poschodie. Keď sa Peťa priblížila k domu, zistila, že dom má deväť poschodí. Na akom poschodí býva Sasha? (Na každom poschodí je počet bytov rovnaký, čísla bytov v budove začínajú jedným.)

Nech sú byty na každom poschodí.

Potom sa počet bytov v prvých šiestich vchodoch rovná

Nájdite maximálnu prirodzenú hodnotu, ktorá vyhovuje nerovnosti ( - číslo posledného bytu v šiestom vchode a je menšie ako 333.)

Odtiaľ

Číslo posledného bytu v šiestom vchode je

Siedmy vchod začína od bytu 325.

Preto je byt 333 na druhom poschodí.

odpoveď: 2

Problém č. 6060.

Na povrch zemegule bolo fixkou nakreslených 17 rovnobežiek a 24 poludníkov. Na koľko častí rozdeľujú nakreslené čiary povrch zemegule? Poledník je oblúk kruhu spájajúci severný a južný pól. rovnobežka je kružnica ležiaca v rovine rovnobežnej s rovinou rovníka.

Predstavme si vodný melón, ktorý sme nakrájali na kúsky.

Urobením dvoch rezov zhora nadol (nakreslením dvoch meridiánov) rozrežeme melón na dva plátky. Preto urobením 24 rezov (24 meridiánov) nakrájame melón na 24 rezov.

Teraz odrežeme každý plátok.

Ak robíme 1 priečny rez (paralelný), tak jeden plátok rozrežeme na 2 časti.

Ak robíme 2 priečne rezy (rovnobežky), jeden plátok rozrežeme na 3 časti.

To znamená, že 17 zárezmi rozrežeme jeden plátok na 18 častí.

Takže sme nakrájali 24 plátkov na 18 kusov a dostali sme kúsok.

V dôsledku toho 17 rovnobežiek a 24 poludníkov rozdeľuje povrch zemegule na 432 častí.

Odpoveď: 432.

Problém č. 6069

Palica je označená priečnymi čiarami červenej, žltej a Zelená farba. Ak odrežete palicu pozdĺž červených čiar, dostanete 5 kusov, ak pozdĺž žltých čiar, 7 kusov a ak pozdĺž zelených čiar, 11 kusov. Koľko kusov získate, ak vyrežete palicu pozdĺž línií všetkých troch farieb?

Ak urobíte 1 rez, dostanete 2 kusy.

Ak urobíte 2 rezy, dostanete 3 kusy.

IN všeobecný prípad: Ak urobíte rezy, dostanete kúsok.

Späť: ak chcete získať kúsky, musíte urobiť rez.

Poďme zistiť celkový počet čiar, pozdĺž ktorých bola palica rezaná.

Ak odrežete palicu pozdĺž červených čiar, získate 5 kusov - preto tam boli 4 červené čiary;

ak je žltá - 7 kusov - preto tam bolo 6 žltých čiar;

a ak na zelených - 11 kusov - teda tam bolo 10 zelených čiar.

Celkový počet riadkov sa teda rovná . Ak narežete palicu pozdĺž všetkých línií, dostanete 21 kusov.

odpoveď: 21.

Problém č. 9626.

Na obchvate sú štyri čerpacie stanice: A, B, B a D. Vzdialenosť medzi A a B je 50 km, medzi A a B je 40 km, medzi C a D je 25 km, medzi G a A je 35 km (všetky vzdialenosti sú merané po obchvate v najkratšom smere). Nájdite vzdialenosť medzi B a C.

Pozrime sa, ako sa dajú umiestniť čerpacie stanice. Skúsme ich usporiadať takto:

Pri tomto usporiadaní sa vzdialenosť medzi G a A nemôže rovnať 35 km.

Skúsme toto:

Pri tomto usporiadaní nemôže byť vzdialenosť medzi A a B 40 km.

Zvážme túto možnosť:

Táto možnosť spĺňa podmienky problému.

odpoveď: 10.

Problém č. 10041.

Zoznam kvízových úloh pozostával z 25 otázok. Za každú správnu odpoveď získal žiak 7 bodov, za nesprávnu odpoveď mu bolo odrátaných 9 bodov a za žiadnu odpoveď 0 bodov. Koľko správnych odpovedí dal žiak, ktorý dosiahol 56 bodov, ak je známe, že sa aspoň raz pomýlil?

Nechajte študenta dať správne a nesprávne odpovede ( ). Keďže pravdepodobne existovali ďalšie otázky, na ktoré odpovedal, dostaneme nerovnosť:

Navyše, podľa stavu,

Keďže správna odpoveď pridá 7 bodov a nesprávna odpoveď odpočíta 9 a študent skončí s 56 bodmi, rovnica je:

Túto rovnicu je potrebné riešiť v celých číslach.

Keďže 9 nie je deliteľné 7, musí byť deliteľné 7.

Nech je to potom.

V tomto prípade sú splnené všetky podmienky.

Problém č. 10056.

Obdĺžnik je rozdelený na štyri malé obdĺžniky dvoma rovnými rezmi. Plochy troch z nich, začínajúc vľavo hore a potom v smere hodinových ručičiek, sú 15, 18, 24. Nájdite oblasť štvrtého obdĺžnika.

Plocha obdĺžnika sa rovná súčinu jeho strán.

Žltý a modrý obdĺžnik majú spoločnú stranu, takže pomer plôch týchto obdĺžnikov sa rovná pomeru dĺžok ostatných strán (nerovnajú sa navzájom).

Biely a zelený obdĺžnik majú tiež spoločnú stranu, takže pomer ich plôch sa rovná pomeru ostatných strán (nerovnajú sa navzájom), to znamená rovnaký pomer:

Vlastnosťou proporcie dostaneme

Odtiaľ.

Problém č. 10071.

Obdĺžnik je rozdelený na štyri malé obdĺžniky dvoma rovnými rezmi. Obvody troch z nich, začínajúc zľava hore a potom v smere hodinových ručičiek, sú 17, 12, 13. Nájdite obvod štvrtého obdĺžnika.

Obvod obdĺžnika sa rovná súčtu dĺžok všetkých jeho strán.

Označme strany obdĺžnikov tak, ako je naznačené na obrázku, a vyjadrime obvody obdĺžnikov prostredníctvom naznačených premenných. Dostaneme:

Teraz musíme zistiť, akú hodnotu má výraz.

Od tretej rovnice odčítajme druhú a pripočítajme tretiu. Dostaneme:

Zjednodušením pravej a ľavej strany dostaneme:

Takže, .

odpoveď: 18.

Problém č. 10086.

Tabuľka má tri stĺpce a niekoľko riadkov. Do každej bunky tabuľky bolo umiestnené prirodzené číslo tak, aby súčet všetkých čísel v prvom stĺpci bol 72, v druhom 81, v treťom 91 a súčet čísel v každom riadku bol väčší ako 13. , ale menej ako 16. Koľko riadkov je v tabuľke?

Nájdite súčet všetkých čísel v tabuľke: .

Nech je počet riadkov v tabuľke .

Podľa úlohy súčet čísel v každom riadku viac ako 13, ale menej ako 16.

Keďže súčet čísel je prirodzené číslo, túto dvojitú nerovnosť spĺňajú iba dve prirodzené čísla: 14 a 15.

Ak predpokladáme, že súčet čísel v každom riadku je 14, potom sa súčet všetkých čísel v tabuľke rovná , a tento súčet spĺňa nerovnosť.

Ak predpokladáme, že súčet čísel v každom riadku je 15, potom sa súčet všetkých čísel v tabuľke rovná , a toto číslo spĺňa nerovnosť.

Prirodzené číslo teda musí spĺňať systém nerovností:

Jediný prirodzený, ktorý vyhovuje tomuto systému, je

odpoveď: 17.

O prirodzených číslach A, B a C je známe, že každé z nich je väčšie ako 4, ale menšie ako 8. Uhádli prirodzené číslo, potom ho vynásobili A, potom pridali k výslednému súčinu B a odčítali C. výsledok bol 165. Aké číslo bolo uhádnuté?

Celé čísla A, B a C sa môže rovnať číslam 5, 6 alebo 7.

Nech sa neznáme prirodzené číslo rovná .

Dostaneme: ;

Zvážme rôzne možnosti.

Nech A=5. Potom B=6 a C=7, alebo B=7 a C=6, alebo B=7 a C=7, alebo B=6 a C=6.

Skontrolujme to: ; (1)

165 je deliteľné 5.

Rozdiel medzi číslami B a C je buď rovný alebo rovný 0, ak sú tieto čísla rovnaké. Ak je rozdiel rovný , potom rovnosť (1) nie je možná. Preto je rozdiel 0 a

Nech A=6. Potom B=5 a C=7, alebo B=7 a C=5, alebo B=7 a C=7, alebo B=5 a C=5.

Skontrolujme to: ; (2)

Rozdiel medzi číslami B a C je buď rovný alebo rovný 0, ak sú tieto čísla rovnaké. Ak je rozdiel rovný alebo 0, potom rovnosť (2) nie je možná, pretože ide o párne číslo a súčet (165 + párne číslo) nemôže byť párne číslo.

Nech A=7. Potom B=5 a C=6, alebo B=6 a C=5, alebo B=6 a C=6, alebo B=5 a C=5.

Skontrolujme to: ; (3)

Rozdiel medzi číslami B a C je buď rovný alebo rovný 0, ak sú tieto čísla rovnaké. Číslo 165 pri delení 7 zostane zvyšok 4. V dôsledku toho tiež nie je deliteľné 7 a rovnosť (3) je nemožná.

odpoveď: 33

Z knihy vypadlo niekoľko po sebe idúcich listov. Číslo poslednej strany pred vypadnutými hárkami je 352, číslo prvej strany za odpadnutými hárkami sa píše rovnakými číslami, ale v inom poradí. Koľko listov vypadlo?

Je zrejmé, že číslo prvej strany po vypadnutých hárkoch je väčšie ako 352, čo znamená, že môže byť 532 alebo 523.

Každý vypadnutý list obsahuje 2 strany. Preto existuje párny počet strán. 352 je párne číslo. Ak k párnemu číslu pridáme párne číslo, dostaneme párne číslo. Preto je číslo poslednej vypustenej strany párne číslo a číslo prvej strany po vypadnutých hárkoch musí byť nepárne, teda 523. Preto je číslo poslednej vypustenej strany 522. Potom je výsledok listy.

odpoveď: 85

Máša a medveď zjedli 160 koláčikov a pohár džemu, pričom začali a skončili súčasne. Najprv Máša jedla džem a Medveď sušienky, no v určitom momente sa zmenili. Medveď zje oboje trikrát rýchlejšie ako Máša. Koľko koláčikov zjedol medveď, ak zjedol džem rovnako?

Ak Máša a Medveď jedli džem rovnako a medveď zjedol trikrát toľko džemu za jednotku času, potom zjedol džem za trikrát kratší čas ako Máša. Inými slovami, Máša jedla džem trikrát dlhšie ako Medveď. Ale kým Máša jedla džem, medveď jedol koláčiky. V dôsledku toho medveď jedol sušienky trikrát dlhšie ako Máša. Medveď však navyše zjedol trikrát viac koláčikov za jednotku času ako Máša, takže nakoniec zjedol 9 krát viac koláčikov ako Máša.

Teraz je ľahké vytvoriť rovnicu. Nechajte sušienky zjesť Mášu a sušienky zjedol medveď. Spolu jedli koláčiky. dostaneme rovnicu:

odpoveď: 144

Na pulte kvetinárstva sú 3 vázy s ružami: oranžová, biela a modrá. Naľavo od oranžovej vázy je 15 ruží a napravo od modrej vázy 12 ruží. Vo vázach je spolu 22 ruží. koľko ruží je v oranžovej váze?

Keďže 15+12=27 a 27>22 sa počet kvetov v jednej váze počítal dvakrát. A toto je biela váza, pretože by to mala byť váza, ktorá stojí napravo od modrej a naľavo od oranžovej. Takže vázy sú v tomto poradí:

Odtiaľ dostaneme systém:

Odčítaním prvej z tretej rovnice dostaneme O = 7.

odpoveď: 7

Desať stĺpov je navzájom spojených drôtmi tak, že z každého stĺpa vychádza presne 8 drôtov. Koľko drôtov je medzi týmito desiatimi pólmi?

Riešenie

Simulujme situáciu. Majme dva stĺpy a tie sú navzájom spojené drôtmi tak, že z každého stĺpa vychádza práve 1 drôt. Potom sa ukáže, že z pólov prichádzajú 2 drôty. Ale máme túto situáciu:

To znamená, že aj keď z pólov idú 2 drôty, medzi pólmi bude natiahnutý iba jeden drôt. To znamená, že počet predĺžených vodičov je dvakrát menší ako počet odchádzajúcich.

Získame: - počet odchádzajúcich vodičov.

Počet vytiahnutých drôtov.

odpoveď: 40

Z desiatich krajín sedem podpísalo zmluvu o priateľstve presne s tromi ďalšími krajinami a každá zo zvyšných troch podpísala zmluvu o priateľstve presne so siedmimi. Koľko zmlúv bolo podpísaných?

Táto úloha je podobná predchádzajúcej: dve krajiny podpíšu jednu všeobecná dohoda. Každá dohoda má dva podpisy. To znamená, že počet podpísaných dohôd je polovičný ako počet podpisov.

Poďme zistiť počet podpisov:

Poďme zistiť počet podpísaných zmlúv:

odpoveď: 21

Tri lúče vychádzajúce z jedného bodu rozdeľujú rovinu na tri rôzne uhly, merané v celočíselných stupňoch. Najväčší uhol je 3-krát najmenší. Koľko hodnôt môže nadobudnúť priemerný uhol?

Nech je najmenší uhol rovný , potom najväčší uhol sa rovná . Keďže súčet všetkých uhlov je rovnaký, hodnota priemerného uhla je rovnaká.

Priemerný uhol musí byť väčší ako najmenší a menší ako najväčší uhol.

Získame systém nerovností:

Preto nadobúda hodnoty v rozsahu od 52 do 71 stupňov, teda všetky možné hodnoty.

odpoveď: 20

Misha, Kolya a Lesha hrajú stolný tenis: hráč, ktorý prehral hru, ustupuje hráčovi, ktorý sa jej nezúčastnil. Nakoniec sa ukázalo, že Misha odohral 12 hier a Kolja - 25. Koľko hier odohral Lesha?

Riešenie

Malo by sa vysvetliť, ako je turnaj štruktúrovaný: turnaj pozostáva z pevného počtu hier; porazený v danej hre ustupuje hráčovi, ktorý sa tejto hry nezúčastnil. Na konci nasledujúcej hry nastupuje na miesto porazeného hráč, ktorý sa jej nezúčastnil. V dôsledku toho sa každý hráč zúčastní aspoň jednej z dvoch po sebe nasledujúcich hier.

Poďme zistiť, koľko hier bolo celkovo.

Keďže Kolja odohral 25 hier, tak sa v turnaji odohralo minimálne 25 hier.

Misha odohral 12 zápasov. Keďže sa určite zúčastnil každej druhej hry, nehralo sa teda viac ako hier. To znamená, že turnaj pozostával z 25 hier.

Ak Misha odohral 12 hier, Lesha odohral zvyšných 13.

odpoveď: 13

Peťo si na konci štvrťroka zapísal všetky svoje známky za jeden z predmetov, bolo ich 5 a medzi niektoré dal násobilku. Súčin výsledných čísel sa ukázal byť rovný 3495. Akú známku dostane Peťa za štvrťrok z tohto predmetu, ak učiteľ dá len známky 2, 3, 4 alebo 5 a výsledná známka za štvrťrok je aritmetický priemer všetkých aktuálnych známok, zaokrúhlený podľa pravidiel zaokrúhľovania? (Napríklad 3,2 sa zaokrúhli na 3; 4,5 – na 5; 2,8 – na 3)

Zoberme 3495 do hlavných faktorov. Posledná číslica čísla je 5, preto je číslo deliteľné 5; Súčet číslic je deliteľný 3, preto je číslo deliteľné 3.

Mám to

Preto sú Petitove odhady 3, 5, 2, 3, 3. Nájdite aritmetický priemer:

odpoveď: 3

Aritmetický priemer 6 rôznych prirodzených čísel je 8. O koľko by sa malo zväčšiť najväčšie z týchto čísel, aby sa ich aritmetický priemer zväčšil o 1?

Aritmetický priemer sa rovná súčtu všetkých čísel vydelenému ich počtom. Nech je súčet všetkých čísel rovnaký. Podľa podmienok problému teda.

Aritmetický priemer sa zvýšil o 1, to znamená, že sa rovnal 9. Ak sa jedno z čísel zvýšilo o , potom sa súčet zvýšil o a rovnal sa .

Počet čísel sa nezmenil a rovná sa 6.

Dostaneme rovnosť:

Myšíková Júlia

Jednotná štátna skúška z matematiky Základná úroveň pozostáva z 20 úloh. Úloha 20 testuje logické schopnosti riešenia problémov. Študent musí vedieť aplikovať svoje vedomosti pri riešení úloh v praxi, vrátane aritmetických a geometrická progresia. Táto práca podrobne skúma, ako riešiť úlohu 20 Jednotnej štátnej skúšky z matematiky základnej úrovne, ako aj príklady a spôsoby riešenia na základe podrobných úloh.

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

Ak chcete použiť ukážky prezentácií, vytvorte si účet ( účtu) Google a prihláste sa: https://accounts.google.com

Popisy snímok:

Úlohy na vynaliezavosť Jednotnej štátnej skúšky z matematiky základnej úrovne. Úlohy č. 20 Julia Aleksandrovna Mysikova, študentka 11 „A“ sociálno-ekonomická trieda Obec vzdelávacia inštitúcia„Priemerný všeobecná školač. 45"

Slimák na strome Riešenie. Slimák cez deň vylezie na strom 3 m, v noci zostúpi 2 m. Celkovo sa za deň posunie 3 – 2 = 1 meter. Za 7 dní sa zdvihne o 7 metrov. Na ôsmy deň sa vyšplhá o ďalšie 3 metre a prvýkrát bude vo výške 7 + 3 = 10 (m), t.j. na vrchole stromu. Odpoveď: 8 Slimák sa cez deň plazí po strome 3 m a v noci klesá o 2 m. Výška stromu je 10 m. Koľko dní bude slimákovi trvať, kým sa plazí z úpätia na vrchol strom?

Riešenie čerpacích staníc. Nakreslíme kruh a usporiadame body (čerpacie stanice) tak, aby vzdialenosti zodpovedali podmienke. Všimnite si, že všetky vzdialenosti medzi bodmi A, C a D sú známe. AC = 20, AD = 30, CD = 20. Označme bod A. Z bodu A v smere hodinových ručičiek označme bod C, pamätajme, že AC = 20. Teraz označíme bod D, ktorý leží od A vo vzdialenosti 30, túto vzdialenosť nie je možné odložiť od A v smere hodinových ručičiek, pretože potom bude vzdialenosť medzi C a D rovná 10 a podľa podmienky CD = 2 0 . To znamená, že z A do D sa musíme pohybovať proti smeru hodinových ručičiek, označiť bod D. Keďže CD = 20, dĺžka celého kruhu je 20 + 30 + 20 = 70. Keďže AB = 35, potom bod B je diametrálne opačný k bodu A. Vzdialenosť od C k B sa bude rovnať 35-20 = 15. Odpoveď: 15. Na okruhu sú štyri čerpacie stanice: A, B, C a D. Vzdialenosť medzi A a B je 35 km, medzi A a C je 20 km, medzi C a D je 20 km, medzi D a A je 30 km (všetky vzdialenosti sú merané pozdĺž cestného okruhu v najkratšom smere). Nájdite vzdialenosť medzi B a C. Svoju odpoveď uveďte v kilometroch.

V kinosále Riešenie. 1 spôsob. Jednoducho spočítame, koľko sedadiel je v radoch do ôsmeho: 1 – 24 2 – 26 3 – 28 4 – 30 5 – 32 6 – 34 7 – 36 8 – 38. Odpoveď: 38. V rade je 24 sedadiel. v prvom rade kina av každom ďalšom rade je 24 miest na sedenie, o 2 viac ako v predchádzajúcom. Koľko sedadiel je v ôsmom rade? Metóda 2. Poznamenávame, že počet miest v riadkoch je aritmetická postupnosť, pričom prvý člen je 24 a rozdiel je 2. Pomocou vzorca pre n-tý člen postupnosti nájdeme ôsmy člen a 8 = 24 + (8 – 1)*2 = 38. Odpoveď: 38.

Huby v košíku Riešenie. Z podmienky, že medzi ľubovoľnými 27 hubami je aspoň jeden mliečny klobúčik, vyplýva, že počet húb nie je väčší ako 26. Z druhej podmienky, že medzi ľubovoľnými 25 hubami je aspoň jedna huba, vyplýva, že húb nie je viac ako 24. Keďže húb je spolu 50, tak šafránových klobúčikov je 24 a mliečnych 26. Odpoveď: 24. V košíku je 50 húb: šafranové klobúčiky a mliečne huby. Je známe, že medzi akýmikoľvek 27 hubami je aspoň jeden šafránový klobúčik a medzi akýmikoľvek 25 hubami je aspoň jeden mliečny hríb. Koľko uzáverov zo šafranového mlieka je v košíku?

Kocky v rade Riešenie. Ak očíslujeme všetky kocky od jednej do šiestich (neberieme do úvahy, že existujú kocky iná farba), potom dostaneme celkový počet permutácia kociek: P(6)=6*5*4*3*2*1=720 Teraz si pamätajte, že existujú 2 červené kocky a ich preusporiadanie (P(2)=2*1=2) neposkytne nové metóda , preto musí byť výsledný produkt znížený o 2 krát. Podobne si pamätáme, že máme 3 zelené kocky, takže výsledný produkt budeme musieť 6-krát zmenšiť (P(3)=3*2*1=6) Takže dostaneme celkový počet spôsobov, ako kocky usporiadať 60. Odpoveď: 60 Koľkými spôsobmi možno umiestniť dve rovnaké červené kocky, tri rovnaké zelené kocky a jednu modrú kocku do radu?

Na bežiacom páse Tréner odporučil Andrey, aby v prvý deň vyučovania strávila 15 minút na bežiacom páse a na každej nasledujúcej hodine zvýšila čas strávený na bežiacom páse o 7 minút. Koľko sedení strávi Andrey celkovo 2 hodiny a 25 minút na bežiacom páse, ak sa bude riadiť radami trénera? Riešenie. 1 spôsob. Upozorňujeme, že potrebujeme nájsť súčet aritmetickej postupnosti s prvým členom 15 a rozdielom rovným 7. Pomocou vzorca pre súčet prvých n členov postupnosti S n =(2a 1 +(n-1) )d)*n/2 máme 145=(2*15+ (n–1)*7)*n/2, 290=(30+(n–1)*7)*n, 290=(30+ 7n–7)*n, 290=(23+7n)*n, 290=23n+7n2, 7n2+23n-290=0, n=5. Odpoveď: 5. Metóda 2. Náročnejšia na prácu. 1-15-15 2-22-37 3-29-66 4-36-102 5-43-145. odpoveď: 5.

Výmena mincí Úloha 20. V zmenárni môžete vykonať jednu z dvoch operácií: za 2 zlaté dostanete 3 strieborné a jednu medenú; za 5 strieborných mincí získate 3 zlaté a jednu medenú. Mikuláš mal len strieborné mince. Po niekoľkých návštevách zmenárne sa jeho strieborné mince zmenšili, neobjavili sa žiadne zlaté, ale objavilo sa 50 medených. O koľko sa znížil Mikulášov počet strieborných mincí? Riešenie. Nechajte Nikolaja najskôr vykonať x operácií druhého typu a potom y operácií prvého typu. Potom máme: Potom bolo 3y -5x = 90 – 100 = -10 strieborných mincí, t.j. o 10 menej. odpoveď: 10

Majiteľ sa dohodol na riešení. Z podmienky je zrejmé, že postupnosť cien za každý vykopaný meter je aritmetickým postupom s prvým členom a 1 = 3700 a rozdielom d = 1700. Súčet prvých n členov aritmetickej progresie sa vypočíta pomocou vzorca S n = 0,5(2a 1 + (n – 1)d)n. Nahradením počiatočných údajov dostaneme: S 10 = 0,5 (2*3700 + (8 – 1)*1700)*8 = 77200. Majiteľ tak bude musieť zaplatiť pracovníkom 77 200 rubľov. Odpoveď: 77200. Majiteľ sa dohodol s robotníkmi, že mu vykopú studňu za týchto podmienok: za prvý meter im zaplatí 3 700 rubľov a za každý ďalší - o 1 700 rubľov viac ako za predchádzajúci. Koľko peňazí bude musieť majiteľ zaplatiť robotníkom, ak vykopú studňu hlbokú 8 metrov?

Voda v jame Následkom povodne sa jama naplnila vodou do výšky 2 metrov. Stavebné čerpadlo nepretržite odčerpáva vodu a znižuje jej hladinu o 20 cm za hodinu. Naopak, podzemná voda zvyšuje hladinu vody v jame o 5 cm za hodinu. Koľko hodín prevádzky čerpadla bude trvať, kým hladina vody v jame klesne na 80 cm? Riešenie. V dôsledku prevádzky čerpadla a zaplavenia pôdnou vodou hladina vody v jame klesá o 20-5 = 15 centimetrov za hodinu. Pokles hladiny o 200-80=120 centimetrov trvá 120:15=8 hodín. odpoveď: 8.

Nádrž so štrbinou Plné vedro vody s objemom 8 litrov sa naleje do nádrže s objemom 38 litrov každú hodinu od 12. hodiny. Ale na dne nádrže je malá medzera a za hodinu z nej vytečú 3 litre. V akom čase (v hodinách) bude nádrž úplne naplnená? Riešenie. Na konci každej hodiny sa objem vody v nádrži zvýši o 8 − 3 = 5 litrov. Po 6 hodinách, teda o 18. hodine, bude v nádrži 30 litrov vody. O 19:00 sa do nádrže doplní 8 litrov vody a objem vody v nádrži bude 38 litrov. odpoveď: 19.

Vrt Ropná spoločnosť vŕta vrt na ťažbu ropy, ktorý podľa údajov z geologického prieskumu leží v hĺbke 3 km. Počas pracovného dňa idú vrtáky do hĺbky 300 metrov, no cez noc sa studňa opäť „zaleje“, to znamená, že sa naplní zeminou do hĺbky 30 metrov. Koľko pracovných dní bude trvať olejkárom, kým vyvŕtajú vrt do hĺbky ropy? Riešenie. Ak vezmeme do úvahy zanášanie studne, počas dňa prejde 300-30 = 270 metrov. To znamená, že za celých 10 dní sa prejde 2700 metrov a v 11. pracovný deň sa prejde ďalších 300 metrov. odpoveď: 11.

Glóbus Na povrchu zemegule je fixkou nakreslených 17 rovnobežiek a 24 poludníkov. Na koľko častí rozdelili nakreslené čiary povrch zemegule? Riešenie. Jedna rovnobežka rozdeľuje povrch zemegule na 2 časti. Dve po troch častiach. Tri na štyri časti atď. 17 rovnobežiek rozdeľuje povrch na 18 častí. Nakreslíme si jeden poludník a získame jednu celú (neprerezanú) plochu. Nakreslíme si druhý poludník a už máme dve časti, tretí poludník rozdelí povrch na tri časti atď. 24 poludníkov nám rozdelilo povrch na 24 častí. Dostaneme 18*24=432. Všetky čiary rozdelia povrch zemegule na 432 častí. Odpoveď: 432.

Kobylka skáče Kobylka skáče pozdĺž súradnicovej čiary v ľubovoľnom smere pre jednotkový segment na skok. Koľko rôznych bodov je na súradnicovej čiare, v ktorých môže kobylka skončiť po presne 8 skokoch, počnúc od začiatku? Riešenie: Po krátkom zamyslení si môžeme všimnúť, že kobylka môže skončiť iba v bodoch s párnymi súradnicami, keďže počet skokov, ktoré vykoná, je párny. Napríklad, ak urobí päť skokov jedným smerom, potom opačná strana urobí tri skoky a skončí na bodoch 2 alebo -2. Maximálny kobylka môže byť v bodoch, ktorých modul nepresahuje osem. Kobylka teda môže skončiť v bodoch: −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6 a 8; iba 9 bodov. odpoveď: 9.

Nové baktérie Každú sekundu sa baktéria rozdelí na dve nové baktérie. Je známe, že baktérie naplnia celý objem jedného pohára za 1 hodinu. Koľko sekúnd trvá, kým baktérie naplnia polovicu pohára? Riešenie. Pamätajte, že 1 hodina = 3600 sekúnd. Každú sekundu je dvakrát toľko baktérií. To znamená, že premena polovice pohára baktérií na plný pohár trvá len 1 sekundu. Preto sa pohár naplnil do polovice za 3600-1=3599 sekúnd. Odpoveď: 3599.

Delenie čísel Súčin desiatich po sebe idúcich čísel sa delí 7. Čomu sa môže rovnať zvyšok? Riešenie. Problém je jednoduchý, keďže z desiatich po sebe idúcich prirodzených čísel je aspoň jedno deliteľné 7. To znamená, že celý súčin bude bezo zvyšku deliteľný 7. To znamená, že zvyšok je 0. Odpoveď: 0.

Kde býva Petya? Úloha 1. Dom, v ktorom býva Peťa, má jeden vchod. Na každom poschodí je šesť bytov. Peťa býva v byte č. 50. Na akom poschodí býva Peťa? Riešenie: Vydelíme 50 6, dostaneme kvocient 8 a zvyšok je 2. To znamená, že Peťa býva na 9. poschodí. Odpoveď: 9. Úloha 2. Všetky vchody domu majú rovnaký počet poschodí a všetky poschodia majú rovnaký počet bytov. V tomto prípade je počet poschodí v dome väčší ako počet bytov na poschodí, počet bytov na poschodí je väčší ako počet vchodov a počet vchodov je viac ako jeden. Koľko poschodí má budova, ak je celkovo 455 bytov? Riešenie: Riešenie tohto problému vyplýva z rozkladu čísla 455 na prvočiniteľa. 455 = 13*7*5. To znamená, že dom má 13 poschodí, 7 bytov na každom poschodí vo vchode, 5 vchodov. odpoveď: 13.

Úloha 3. Saša pozval Peťa na návštevu s tým, že býva v ôsmom vchode v byte č. 468, ale zabudol povedať poschodie. Keď sa Peťa priblížila k domu, zistila, že dom má dvanásť poschodí. Na akom poschodí býva Sasha? (Na všetkých poschodiach je počet bytov rovnaký, čísla bytov v budove začínajú od jednej.) Riešenie: Peťa vie vypočítať, že v 12-poschodovej budove v prvých siedmich vchodoch je 12 * 7 = 84 miest. Ďalej pri pohľade na možný počet bytov na jednej lokalite môžete vidieť, že ich je menej ako šesť, pretože 84 * 6 = 504. To je viac ako 468. To znamená, že na každej lokalite je 5 bytov, potom v prvých siedmich vchodoch je 84 * 5 = 420 bytov. 468 – 420 = 48, teda Saša býva v byte 48 v 8. vchode (ak číslovanie začínalo od jednotky v každom vchode). Zostáva 48:5 = 9 a 3. Takže Sašov byt je na 10. poschodí. odpoveď: 10.

Menu reštaurácie Menu reštaurácie obsahuje 6 druhov šalátov, 3 druhy prvých chodov, 5 druhov druhých chodov a 4 druhy dezertov. Koľko možností obeda od šalátu, prvého chodu, druhého chodu a dezertu si môžu návštevníci tejto reštaurácie vybrať? Riešenie. Ak očíslujeme každý šalát, prvý, druhý, dezert, potom: s 1 šalátom, 1 prvým, 1 sekundou, môžete podávať jeden zo 4 dezertov. 4 možnosti. S druhou sekundou sú aj 4 možnosti atď. Celkovo dostaneme 6*3*5*4=360. Odpoveď: 360.

Máša a medveď Medveď zjedol svoju polovicu pohára džemu 3-krát rýchlejšie ako Máša, čo znamená, že na sušienky má ešte 3-krát viac času. Pretože Medveď zje sušienky 3-krát rýchlejšie ako Máša a stále mu zostáva 3-krát viac času (3-krát rýchlejšie zjedol svoju polovicu pohára džemu), potom zje 3⋅3=9-krát viac sušienok ako Máša (9 Medveď zje sušienky, kým Máša zje len 1 sušienku). Ukazuje sa, že v pomere 9:1 jedia sušienky medveď a Máša. Celkovo je 10 podielov, čo znamená, že 1 podiel sa rovná 160:10=16. Výsledkom bolo, že medveď zjedol 16⋅9=144 koláčikov. Odpoveď: 144 Máša a medveď zjedli 160 koláčikov a pohár džemu, pričom začali a skončili súčasne. Najprv Máša jedla džem a Medveď sušienky, no v určitom momente sa zmenili. Medveď zje oboje trikrát rýchlejšie ako Máša. Koľko koláčikov zjedol medveď, ak zjedol džem rovnako?

Palice a čiary Palica je označená priečnymi čiarami červenej, žltej a zelenej farby. Ak odrežete palicu pozdĺž červených čiar, dostanete 15 kusov, ak pozdĺž žltých čiar - 5 kusov, a ak pozdĺž zelených čiar - 7 kusov. Koľko kusov získate, ak vyrežete palicu pozdĺž línií všetkých troch farieb? Riešenie. Ak odrežete palicu pozdĺž červených čiar, získate 15 kusov, teda riadkov je 14. Ak palicu odrežete pozdĺž žltých čiar, dostanete 5 kusov, teda budú 4 čiary. pozdĺž zelených čiar dostanete 7 dielikov, teda riadkov bude 6. Celkový počet riadkov: 14+ 4+6=24 riadkov, teda bude 25 dielikov Odpoveď: 25

Lekár predpísal pacientovi, aby užíval liek podľa nasledujúceho režimu: v prvý deň by mal užiť 3 kvapky a každý nasledujúci deň - o 3 kvapky viac ako v predchádzajúci deň. Po užití 30 kvapiek pije 30 kvapiek lieku ďalšie 3 dni a potom zníži príjem o 3 kvapky denne. Koľko fľaštičiek lieku by si mal pacient kúpiť na celý priebeh liečby, ak každá fľaštička obsahuje 20 ml lieku (čo je 250 kvapiek)? Riešenie V prvej fáze užívania kvapiek sa počet kvapiek za deň zvyšuje aritmetickým postupom, pričom prvý člen sa rovná 3, rozdiel sa rovná 3 a posledný člen sa rovná 30. Preto: Potom 3 + 3(n -1) = 30; 3+ 3n-3=30; 3 n = 30; n = 10, t.j. 10 dní prešlo podľa schémy zvýšenia na 30 kvapiek. Poznáme vzorec pre súčet aritov. progresia: Vypočítajme S10:

Počas nasledujúcich 3 dní - 30 kvapiek: 30 · 3 = 90 (kvapiek) V poslednom štádiu podávania: t.j. 30-3 (n-1) = 0; 30-3n+3=0; -3n = -33; n=11 t.j. Počas 11 dní bol príjem liekov znížený. Poďme nájsť súčet aritmetiky. postupnosť 4) Takže 165 + 90 + 165 = 420 kvapiek celkom 5) Potom 420: 250 = 42/25 = 1 (17/25) fliaš Odpoveď: musíte si kúpiť 2 fľaše

Obchod domáce prístroje V predajni domácich spotrebičov je predaj chladničiek sezónny. V januári sa predalo 10 chladničiek a za ďalšie tri mesiace 10 chladničiek. Od mája sa predaj zvýšil o 15 kusov v porovnaní s predchádzajúcim mesiacom. Od septembra sa objem predaja začal každý mesiac znižovať o 15 chladničiek v porovnaní s predchádzajúcim mesiacom. Koľko chladničiek predal obchod za rok? Riešenie. Poďme si postupne spočítať, koľko chladničiek sa predalo za každý mesiac a zhrnúť výsledky: 10 4+(10+15)+(25+15)+(40+15)+(55+15)+(70-15)+ (55- 15)+(40-15)+ (25-15)= = 40+25+40+55+70+55+40+25+10=120+110+130=360 Odpoveď: 360.

Krabice Krabice dvoch typov s rovnakou šírkou a výškou sú naskladané v sklade v jednom rade 43 m dlhom vedľa seba na šírku. Jeden typ boxu má dĺžku 2 m a druhý 5 m. Aký najmenší počet políčok je potrebný na vyplnenie celého riadku bez vytvorenia prázdnych miest? Riešenie Pretože musíme nájsť najmenší počet políčok, potom => musíme vziať najväčší počet veľké krabice. Takže 5 · 7 = 35; 43 – 35 = 8 a 8:2 = 4; 4+7=11 Takže je tu len 11 políčok. odpoveď: 11.

Tabuľka Tabuľka má tri stĺpce a niekoľko riadkov. Do každej bunky tabuľky bolo umiestnené prirodzené číslo tak, aby súčet všetkých čísel v prvom stĺpci bol 119, v druhom - 125, v treťom - 133 a súčet čísel v každom riadku bol väčší ako 15. , ale menej ako 18. Koľko riadkov je v stĺpci? Riešenie. Celkový súčet vo všetkých stĺpcoch = 119 + 125 + 133 = 377 Čísla 18 a 15 nie sú zahrnuté do limitu, čo znamená: 1) ak súčet v riadku = 17, potom je počet riadkov 377: 17= =22,2 2) ak súčet v riadku = 16, potom je počet riadkov 377: 16= =23,5 Takže počet riadkov = 23 (keďže by mal byť medzi 22,2 a 23,5) Odpoveď: 23

Kvíz a úlohy Zoznam kvízových úloh pozostával z 36 otázok. Za každú správnu odpoveď získal žiak 5 bodov, za nesprávnu odpoveď mu bolo odrátaných 11 bodov a za žiadnu odpoveď 0 bodov. Koľko správnych odpovedí dal žiak, ktorý dosiahol 75 bodov, ak je známe, že sa aspoň raz pomýlil? Riešenie. Metóda 1: Nech X je počet správnych odpovedí a X je počet nesprávnych odpovedí. Potom vytvoríme rovnicu 5x -11y = 75, kde 0

Skupina turistov Skupina turistov prešla cez horský priesmyk. Prvý kilometer stúpania prekonali za 50 minút a každý ďalší kilometer trval o 15 minút dlhšie ako ten predchádzajúci. Posledný kilometer pred vrcholom zdolali za 95 minút. Po desaťminútovom oddychu na vrchole začali turisti zostup, ktorý bol miernejší. Prvý kilometer po vrchole prešiel za hodinu a každý ďalší kilometer bol o 10 minút rýchlejší ako predchádzajúci. Koľko hodín strávila skupina na celej trase, ak posledný kilometer klesania prekonali za 10 minút? Riešenie. Skupina strávila 290 minút výstupom na horu, 10 minút oddychom a 210 minút zjazdom z hory. Celkovo strávili turisti na celej trase 510 minút. Prepočítajme si 510 minút na hodiny a zistíme, že za 8,5 hodiny prešli turisti celú trasu. odpoveď: 8.5

Ďakujem za tvoju pozornosť!

Jakovleva Natalya Sergejevna
Názov práce: učiteľ matematiky
Vzdelávacia inštitúcia: MCOU "Stredná škola Buninskaya"
lokalita: Obec Bunino, okres Solntsevsky, región Kursk
Názov materiálu:článok
Predmet:"Metódy riešenia úloh č. 20 Jednotnej štátnej skúšky z matematiky, základná úroveň"
Dátum publikácie: 05.03.2018
kapitola:úplné vzdelanie

Jednotná štátna skúška je zapnutá tento moment jediný

záverečný atestačný formulár pre absolventov stredná škola. A prijímanie

doklad o stredoškolskom vzdelaní nie je možný bez úspešného zloženie jednotnej štátnej skúšky Autor:

matematiky. Matematika nie je len dôležitá akademický predmet, Ale

a dosť zložité. Matematické zručnosti vlastniť ďaleko

Nie všetky deti, ale ich budúci osud závisí od úspešného absolvovania skúšky.

Maturitní učitelia si znova a znova kladú otázku: „Ako pomôcť

študent, ktorý sa pripravuje na jednotnú štátnu skúšku a úspešne ju zloží?“ Za účelom

Absolvent získal certifikát, stačí absolvovať základnú matematiku. A

Úspech v zložení skúšky priamo súvisí s tým, ako učiteľ ovláda

metóda riešenia rôzne úlohy. Ponúkam vám príklady

riešenia úlohy č.20 matematika základná úroveň FIPI 2018 pod

upravil M.V. Jaščenko.

1 .Na páske na opačných stranách v strede sú dva pruhy: modrý a

červená. Ak prestrihnete pásku pozdĺž červeného pruhu, potom bude jedna časť 5 cm

dlhšia ako druhá. Ak je páska prerezaná pozdĺž modrého pruhu, potom bude jedna časť

o 15 cm dlhší ako druhý. Nájdite vzdialenosť medzi červenou a modrou

pruhy.

Riešenie:

Nech je cm vzdialenosť od ľavého konca pásky k modrému pruhu v cm

vzdialenosť od pravého konca pásky k červenému pruhu, vzdialenosť cm

medzi pruhmi. Je známe, že ak je stuha prerezaná pozdĺž červeného pruhu, potom

jedna časť je o 5 cm dlhšia ako druhá, to znamená a + c – b = 5. Ak budete rezať

modrý pruh, potom bude jedna časť o 15 cm dlhšia ako druhá, čo znamená v +c –

a=15. Pridajme dve rovnosti po členoch: a+c-b+c+c-a=20, 2c=20, c=10.

2 . Aritmetický priemer 6 rôznych prirodzených čísel je 8. Zap

o koľko potrebujete zvýšiť najväčšie z týchto čísel tak, aby priemer

aritmetický sa zvýšil o 1.

Riešenie: Keďže aritmetický priemer 6 prirodzených čísel je 8,

To znamená, že súčet týchto čísel je 8*6=48. Aritmetický priemer čísel

zvýšil o 1 a stal sa rovným 9, ale počet čísel sa nezmenil, čo znamená

súčet čísel sa rovná 9*6=54. Ak chcete zistiť, koľko sa zvýšil

z čísel musíte nájsť rozdiel 54-48=6.

3. Bunky stola 6x5 sú natreté čiernou a bielou farbou. Páry susedných

Existuje 26 buniek rôznych farieb, párov susedných čiernych buniek 6. Koľko párov

susedné bunky sú biele.

Riešenie:

V každej horizontálnej línii sa vytvorí 5 párov susedných buniek, čo znamená

horizontálne bude spolu 5*5=25 párov susedných buniek. Vertikálne

Vzniknú 4 páry susedných buniek, teda len páry susedných buniek

vertikály budú 4*6=24. Celkovo sa vytvorí 24 + 25 = 49 párov susedných buniek. Od

je 26 párov rôznych farieb, 6 párov čiernej, preto bude 49 bielych párov

26-6 = 17 párov.

odpoveď: 17.

4. Na pulte kvetinárstva sú tri vázy s ružami: biela, modrá a

červená. Naľavo od červenej vázy je 15 ruží, napravo od modrej vázy je 12

ruže Vo vázach je spolu 22 ruží. Koľko ruží je v bielej váze?

Riešenie: Nech je x ruží v bielej váze, nech je y ruží v modrej váze, nech je z ruží v

červená. Podľa podmienok problému je vo vázach 22 ruží, to znamená x + y + z = 22. Je známe

že naľavo od červenej vázy je 15 ruží v modrej a bielej farbe, čo znamená x + y = 15. A

napravo od modrej vázy, to znamená, že v bielej a červenej váze je 12 ruží, čo znamená x+ z= 12.

Mám:

Pridajme 2. a 3. rovnosť po členoch: x+y+x+ z=27 alebo 22 +x=27, x=5.

5 .Masha a medveď zjedli 160 koláčikov a pohár džemu, počnúc a končiac

súčasne. Masha najprv jedla džem a medveď sušienky, ale nejakým spôsobom

moment sa zmenili. Medveď zje oboje 3-krát rýchlejšie ako Máša.

Koľko koláčikov zjedol medveď, ak zjedol rovnaké množstvo džemu?

Riešenie: Odkedy Máša a medveď začali jesť sušienky a džem

v rovnakom čase a skončil v rovnakom čase a zjedol jeden výrobok a potom

rôzne a podľa podmienok problému Medveď žerie oboje 3x rýchlejšie ako

Máša, to znamená, že medveď zhltol jedlo 9-krát rýchlejšie ako Máša. Potom nechajte x

Máša zjedla koláčiky a medveď 9 koláčikov. Je známe, že jedli všetko

160 koláčikov. Dostaneme: x+9x=160, 10x=160, x=16, čo znamená, že medveď zjedol

16*9=144 cookies.

6. Z knihy vypadlo niekoľko po sebe idúcich listov. Posledné číslo

strany pred vypadnutými listami 352. Číslo prvej strany po

vypadnuté hárky sú zapísané rovnakými číslami, ale v inom poradí.

Koľko listov vypadlo?

Riešenie: Necháme vypadnúť x listov, potom je počet vypustených strán 2x

existuje párne číslo. Číslo prvej vypadnutej strany je 353. Rozdiel medzi

číslo prvej vypadnutej strany a prvej strany po vypadnutých

musí byť párne číslo, čo znamená, že číslo za vypadnutými hárkami bude

523. Potom bude počet vypadnutých hárkov rovný (523-353): 2 = 85.

7. O prirodzenom čísla A, B, C je známe, že každý z nich je väčší ako 5, ale

menej ako 9. Uhádli prirodzené číslo, potom vynásobili A, pridali B a

odčítajte C. Dostaneme 164. Aké číslo bolo zamýšľané?

Riešenie: Nech x je skryté prirodzené číslo, potom Ax+B-C=164, Ax=

164 – (B-C), keďže čísla A, B, C viac 5, ale menej ako 9, potom -2≤В-С≤2,

to znamená Ax = 166; 165; 164; 163; 162. Z čísiel 6,7,8 je len 6

Úloha č. 20 Jednotnej štátnej skúšky z matematiky obsahuje spravodajskú úlohu. Úlohy v tejto časti sú intuitívnejšie ako v úlohe 19 Jednotnej štátnej skúšky, no napriek tomu sú pre bežného študenta pomerne zložité. Prejdime teda k zváženiu typických možností.

Analýza typických možností úloh č. 20 jednotnej štátnej skúšky z matematiky základného stupňa

Prvá verzia úlohy (demo verzia 2018)

• za 2 zlaté dostanete 3 strieborné a jednu medenú;
• za 5 strieborných mincí získate 3 zlaté a jednu medenú.

Mikuláš mal len strieborné mince. Po niekoľkých návštevách zmenárne sa jeho strieborné mince zmenšili, neobjavili sa žiadne zlaté, ale objavilo sa 50 medených. O koľko sa znížil Mikulášov počet strieborných mincí?

Algoritmus vykonávania:

1. Zadajte symboly.
2. Zaznamenajte údaje o úlohe pomocou symbolov.
3. Určte neznámu pomocou logického uvažovania.

Riešenie:

Podľa podmienky sa neobjavili žiadne zlaté mince, čo znamená, že Nikolaj vymenil všetky zlaté mince prijaté po druhej operácii pomocou prvej operácie. Zlaté mince je možné vymeniť len za 2 kusy, preto došlo k párnemu počtu druhých transakcií.

Zavedme notáciu, nech sú 2n sekundové operácie (číslo je vždy párne).

Ak použijeme druhú operáciu, dostaneme:

Všetky zlaté mince boli vymenené v prvej transakcii. V jednej operácii môžete naraz vymeniť 2 zlaté mince, čo znamená, že celkový počet operácií bude (3 · 2n)/2 = 3 n. Teda

3 · 2n zlata boli vymenené za 3 · 3n striebra + 3n medi.

Alebo po konverzii:

Porovnajme výsledky prvej a druhej operácie:

5 · 2n striebra sa vymenilo za 3 · 2n zlata + 2n medi.

3 · 2n zlata vymenené za 9n striebra + 3n medi

5 · 2n striebra vymenené za 9n striebra + 3n medi+2n medi

10n striebro vymenené za 9n striebro + 5n meď

Ak po výmene 10n strieborných mincí dostaneme 9n strieborných mincí, tak počet strieborných mincí Nicholas sa znížil o n. Z posledného výrazu je zrejmé, že Nikolaj dostal 5n medených mincí a podľa stavu sa objavilo 50 medených mincí, teda 5n = 50.

Druhá verzia úlohy

Máša a medveď zjedli 100 koláčikov a pohár džemu, pričom začali a skončili súčasne. Najprv Máša jedla džem a Medveď sušienky, no v určitom momente sa zmenili. Medveď zje oboje trikrát rýchlejšie ako Máša. Koľko koláčikov zjedol medveď, ak zjedol rovnaké množstvo džemu?

Algoritmus vykonávania:

1. Porovnajte výsledky.
2. Nájsť neznáme.

Riešenie:

1. Keďže Máša aj Medveď jedli lekvár rovnako a Medveď zjedol lekvár 3x rýchlejšie, tak Máša zjedla lekvár (svoju polovicu) 3x dlhšie ako Medveď (rovnaká polovica).
2. Potom sa ukázalo, že Medveď jedol koláčiky 3x dlhšie ako Máša a aj ich 3x rýchlejšie, to znamená, že na jeden koláčik zjedený Mášou pripadlo Medveďovi 3∙3=9 koláčikov.
3. Súčet týchto cookies je 1+9=10 a v 100 cookies je presne 100:10 = 10 takýchto množstiev.
4. To znamená, že Máša zjedla 10 koláčikov a medveď 9∙10=90.

Tretia verzia úlohy

Máša a medveď zjedli 51 koláčikov a pohár džemu, pričom začali a skončili súčasne. Najprv Máša jedla džem a Medveď sušienky, no v určitom momente sa zmenili. Medveď zje oboje štyrikrát rýchlejšie ako Máša. Koľko koláčikov zjedol medveď, ak zjedol rovnaké množstvo džemu?

Algoritmus vykonávania:

1. Zistite, kto jedol sušienky a koľkokrát dlhšie.
2. Určte, kto jedol džem a koľkokrát dlhšie.
3. Porovnajte výsledky.
4. Nájsť neznáme.

Riešenie:

1. Keďže Máša aj Medveď zjedli lekvár rovnako a zároveň Medveď zjedol lekvár 4x rýchlejšie, tak Máša zjedla lekvár (svoju polovicu) 4x dlhšie ako Medveď (rovnaká polovica).
2. Potom sa ukázalo, že Medveď jedol sušienky 4-krát dlhšie ako Máša a tiež ich zjedol 4-krát rýchlejšie, to znamená, že na jeden koláčik, ktorý zjedla Máša, Medveď zjedol 4∙4 = 16 koláčikov.
3. Súčet týchto cookies je 1+16=17 a v 51 cookies je presne 51:17 = 3 takéto sumy.
4. To znamená, že Máša zjedla 3 koláčiky a medveď 3∙16=48.

Štvrtá verzia úlohy

Ak by sa každý z týchto dvoch faktorov zvýšil o 1, ich súčin by sa zvýšil o 11. V skutočnosti sa každý z týchto dvoch faktorov zvýšil o 2. O koľko sa zvýšil súčin?

Algoritmus vykonávania:

1. Zadajte symboly.
2. Preveďte výsledný výraz.
3. Nájsť neznáme.

Riešenie:

Keď sa tieto faktory zvýšia o 1, ich súčin sa zvýši o 11, tj.

Teraz podobne vypočítajme, o koľko sa súčin zvýši, ak sa faktory zvýšia o 2 a dosadíme to, čo už vieme a + b = 10:

Piata verzia úlohy

Ak by sa každý z týchto dvoch faktorov zvýšil o 1, ich súčin by sa zvýšil o 3. V skutočnosti sa každý z týchto dvoch faktorov zvýšil o 5. O koľko sa zvýšil súčin?

Algoritmus vykonávania:

1. Zadajte symboly.
2. Napíšte prvú podmienku pomocou symbolov.
3. Preveďte výsledný výraz.
4. Druhú podmienku zapíšte pomocou symbolov.
5. Preveďte výsledný výraz.
6. Nájsť neznáme.

Riešenie:

Nech sa prvý faktor rovná a a druhý faktor sa rovná b, ich súčin sa rovná ab.

Keď sa tieto faktory zvýšia o 1, ich súčin sa zvýši o 3, tj.

Presuňme súčin ab na ľavú stranu s opačným znamienkom a otvorme zátvorky násobením.

Teraz podobne vypočítajme, o koľko sa súčin zvýši, ak sa faktory zvýšia o 5 a dosadíme to, čo už vieme a + b = 2:

Možnosť pre dvadsiatu úlohu 2017

Obdĺžnik je rozdelený na štyri menšie obdĺžniky dvoma rovnými segmentmi. Obvody troch z nich, začínajúc zľava hore a potom v smere hodinových ručičiek, sú 24, 28 a 16. Nájdite obvod štvrtého obdĺžnika.

Prekreslíme obdĺžnik do tvaru, ktorý nám vyhovuje:

Teraz vytvorte rovnice pomocou vzorca pre obvod obdĺžnika:

Možnosť pre dvadsiatu úlohu roku 2019 (1)

Zoznam kvízových úloh pozostával z 25 otázok. Za každú správnu odpoveď získal žiak 7 bodov, za nesprávnu odpoveď mu bolo odrátaných 10 bodov a za žiadnu odpoveď 0 bodov. Koľko správnych odpovedí dal žiak, ktorý dosiahol 42 bodov, ak je známe, že sa aspoň raz pomýlil?

Vykonávací algoritmus

1. Vytvárame kombinácie správnych a nesprávnych odpovedí a určujeme v nich počet bodov, napr.: 1) 1 správna + 1 nesprávna = 7–10 = –3 body; 2) 2 správne + 1 nesprávne = 2 7–10 = 4 body atď.
2. Z bodov za správne odpovede a bodov za ich kombinácie získame 42 bodov. Počítame počet položených otázok.
3. Zostávajúci rozdiel medzi prijatým počtom otázok a danými 25 otázkami je definovaný ako tie, ktoré neboli zodpovedané.
4. Skontrolujeme získaný výsledok.

Riešenie:

Uveďme si nasledovné zápisy: správna odpoveď – 1P, nesprávna odpoveď – 1H.

Nastavíme kombinácie a určíme počet bodov, ktoré budú udelené:

1P = 7 bodov

1P+1N=7–10=–3 b.

2P+1N=2·7–10=4 b.

3P+1N=3·7–10=11 b.

Zhrňme si body, ktoré môžete získať: 7+ (–3)+4+11=19. To zjavne nestačí. A zaručene pridáte ďalších 11: 19+11=30. Na „dosiahnutie“ 42 bodov je potrebné pridať ešte 12 bodov, ktoré sa získajú trojitým zadaním 4 bodov. Vo všeobecnosti dostávame:

7+(–3)+4+11+11+3·4=42.

Výslednú kombináciu pojmov napíšeme vo forme odpovedí:

1P+(1P+1N)+(2P+1N)+(3P+1N)+(3P+1N)+3 (2P+1N)=1P+1P+1N+2P+1N+3P+1N+3P+ 1N+6P +3N=16P+7N (odpovede).

16+7=23 odpovedí. 25–23=2 odpovede, za ktoré bolo získaných 0 bodov, t.j. toto sú nezodpovedané otázky.

Takže podľa našich výpočtov bolo daných 16 správnych odpovedí.

Skontrolujeme toto:

16 odpovedí, každá po 7 bodov. + 7 odpovedí pre (–10) b. + 2 odpovede každá 0 bodov. = 16·7–7·10+2·0=112–70+0=42 (body).

Možnosť pre dvadsiatu úlohu roku 2019 (2)

Tabuľka má tri stĺpce a niekoľko riadkov. Do každej bunky tabuľky bolo napísané prirodzené číslo tak, aby súčet všetkých čísel v prvom stĺpci bol 103, v druhom 97, v treťom 93 a súčet čísel v každom riadku bol väčší ako 21. , ale menej ako 24. Koľko riadkov je v tabuľke?

Vykonávací algoritmus

1. nachádzame celková suma pre všetky čísla v tabuľke (sčítaním súčtu pre každý z 3 stĺpcov).
2. Určujeme rozsah prijateľných hodnôt pre súčty čísel v každom riadku.
3. Vydelením celkovej sumy najprv najmenším súčtom čísel v každom riadku a potom najväčším, dostaneme požadovaný počet riadkov.

Riešenie:

Celkový súčet čísel v tabuľke je: 103+97+93=293.

Keďže podľa podmienky je súčet čísel v každom riadku >21, ale<24, то кол-во строк X может быть равным меньше, чем 293:21≈13,95, и больше, чем 293:24≈12,21. Т.е.: 12,21 < X < 13,95. Единственное целое число в полученном диапазоне – 13. Значит, искомое кол-во строк равно 13.

Možnosť pre dvadsiatu úlohu roku 2019 (3)

V dome je len osemnásť bytov s číslami od 1 do 18. Každý byt obýva najmenej jedna a najviac tri osoby. V bytoch 1 až 13 vrátane býva spolu 15 osôb a v bytoch 11 až 18 vrátane spolu 20 osôb. Koľko ľudí žije v tomto dome?

Vykonávací algoritmus

1. Maximálny počet osôb bývajúcich v bytoch 11–13 určujeme na základe údajov o tom, koľko ľudí býva v bytoch 1–13.
2. Zisťujeme minimálny počet obyvateľov bytov 11–13 s prihliadnutím na údaje o bývajúcich v bytoch 11–18.
3. Porovnaním údajov získaných v odsekoch 1–2 získame presný počet obyvateľov týchto bytov č. 11–13.
4. Zisťujeme počet ľudí žijúcich v bytoch 1–10 a 14–18.
5. Vypočítame celkový počet obyvateľov domu.

Riešenie:

Prvých 13 apartmánov (1. až 13.) je domovom pre 15 osôb. To znamená, že 1 osoba býva v 11 bytoch, plus 2 osoby bývajú v 2 bytoch (11·1+2·2=15). V bytoch 11–13 (t. j. 3) teda bývajú minimálne 3 a nie viac ako 5 (1+2+2) ľudí.

Druhých 8 apartmánov (11. až 18.) má kapacitu 20 osôb. Zároveň od 14. do 18. bytu (t.j. 5 bytov) nemôže bývať viac ako 5·3=15 ľudí. A preto v bytoch 11-13 žije najmenej 20–15 = 5 ľudí.

Tie. na jednej strane by v bytoch 11-13 nemalo bývať viac ako 5 ľudí a na druhej strane nie menej ako 5. Záver: v týchto bytoch býva presne 5 ľudí, pretože Pre oba prípady neexistujú žiadne iné platné hodnoty.

Potom dostaneme: 15–5=10 ľudí býva v bytoch 1–10, 20–5=15 ľudí býva v bytoch 14–18. Celkový počet osôb bývajúcich v dome: 10+5+15=30 osôb.

Možnosť pre dvadsiatu úlohu roku 2019 (4)

V zmenárni môžete vykonať jednu z dvoch operácií:

• za 4 zlaté dostanete 5 strieborných a jednu medenú;
• za 7 strieborných mincí získate 5 zlatých a jednu medenú.

Mikuláš mal len strieborné mince. Po niekoľkých návštevách zmenárne sa jeho strieborné mince zmenšili, neobjavili sa žiadne zlaté, ale objavilo sa 45 medených. O koľko sa znížil Mikulášov počet strieborných mincí?

Vykonávací algoritmus

1. Určíme počet strieborných mincí, ktoré Nikolaj potrebuje na dvojitú výmenu, aby nemal zlaté mince. Dvojitá výmena je výmena najskôr strieborných mincí za zlato a meď a potom zlata za striebro a meď.
2. Určujeme počet rôznych mincí, ktoré bude mať Nikolaj v dôsledku 1 dvojitej výmeny.
3. Vypočítame počet dvojitých výmen, ktoré je potrebné vykonať, aby sa objavilo 45 medených mincí.
4. Nájdeme počet strieborných mincí, ktoré mal mať Nikolaj pôvodne, aby mohol uskutočniť požadovaný počet výmen, a ktoré dostal ako výsledok všetkých výmen.
5. Určíme požadovaný rozdiel.

Riešenie:

Nikolay musí vykonať 1. výmenu podľa 2. schémy, pretože má len strieborné mince. Aby skončil bez zlaťákov, potrebuje nájsť minimálny násobok 5 zlaťákov, ktoré dostane, a 4 zlaťákov, ktoré môže prijať v plnej výške (bezo zvyšku) naraz. Toto je číslo 20.

Preto, aby dostal Mikuláš 20 zlatých mincí, musí mať 20:5 = 4 sady strieborných mincí po 7 kusov. To znamená, že na začiatku by mal mať 4·7=28. A súčasne dostáva Nikolaj aj 1·4=4 medené mince.

Pri výmene dáva Nikolai 20:4 = 5 sád zlatých medailí. Na oplátku dostane 5,5=25 strieborných a 1,5=5 medených.

Tak ako výsledok jednej výmeny bude mať Nikolaj 25 strieborných a 4+5=9 medených. Keďže Mikuláš skončil so 45 medenými mincami, znamená to, že 45:9 = 5 dvojitých výmen.

Ak v dôsledku 1 dvojitej výmeny skončil Nikolaj s 25 striebornými mincami, tak po 5 takýchto výmenách bude mať 25·5=125 kusov. A spočiatku na to musel mať 28·5=140 strieborných mincí. V dôsledku toho sa ich počet v Nikolai znížil o 140–125 = 15 kusov.

Možnosť pre dvadsiatu úlohu roku 2019 (5)

Všetky vchody domu majú rovnaký počet podlaží a všetky podlažia majú rovnaký počet bytov. V tomto prípade je počet poschodí v dome väčší ako počet bytov na poschodí, počet bytov na poschodí je väčší ako počet vchodov a počet vchodov je viac ako jeden. Koľko poschodí má budova, ak je v nej spolu 357 bytov?

Vykonávací algoritmus

1. Definujeme rovnicu na určenie počtu bytov v dome pomocou parametrov uvedených v podmienke (t.j. cez počet bytov na poschodí a pod.).
2. Vypočítajme 357.
3. Zisťujeme zhodu výsledných multiplikátorov s konkrétnymi parametrami, na základe podmienky, ktorý z parametrov je väčší alebo menší ako ostatné.

Riešenie:

Pretože na všetkých podlažiach je rovnaký počet bytov (X), na všetkých vchodoch je rovnaký počet podlaží (Y), pričom počet vchodov označíme Z, môžeme napísať: 357 = X·Y·Z.

Zoberme 357 do hlavných faktorov. Dostaneme: 357=3·7·17·1. Navyše je to jediná možnosť rozloženia. Pretože Y>X>Z>1, potom neberieme do úvahy jednotku v rozložení a určíme, že Z=3, X=7, Y=17.

Keďže počet poschodí bol označený Y, požadovaný počet je 17.

Možnosť pre dvadsiatu úlohu roku 2019 (6)

Z desiatich krajín podpísalo zmluvu o priateľstve sedem presne s tromi krajinami a každá zo zvyšných troch podpísala zmluvu o priateľstve presne so siedmimi. Koľko zmlúv bolo podpísaných?

Vykonávací algoritmus

1. Počítame počet dohôd podpísaných 7 krajinami.
2. Určujeme počet dohôd podpísaných 3 zostávajúcimi krajinami.
3. Zisťujeme celkový počet podpísaných zmlúv. Delíme ho 2, pretože bilaterálne dohody.

Riešenie:

Prvých 7 krajín podpísalo dohody s 3 krajinami, t.j. Tieto zmluvy majú 7·3=21 podpisov. Podobne aj zvyšné 3 krajiny pri zostavovaní dohôd so 7 krajinami dali 3,7=21 podpisov. To znamená, že spolu je 21+21=42 podpisov.

Pretože Všetky zmluvy sú dvojstranné, čo znamená, že každá z nich má 2 podpisy. Následne je zmlúv o polovicu menej ako podpisov, t.j. 42:2=21 dohôd.

Možnosť pre dvadsiatu úlohu roku 2019 (7)

Na povrch zemegule bolo fixkou nakreslených 13 rovnobežiek a 25 poludníkov. Na koľko častí rozdelili nakreslené čiary povrch zemegule?

Poludník je oblúk kružnice spájajúci sever a Južné póly. Rovnobežka je kružnica ležiaca v rovine rovnobežnej s rovinou rovníka.

Vykonávací algoritmus

1. Dokazujeme, že rovnobežky rozdeľujú zemeguľu na 13+1 častí.
2. Dokazujeme, že poludníky rozdeľujú zemeguľu na 25 častí.
3. Počet častí, na ktoré je zemeguľa rozdelená ako celok, určíme ako súčin nájdených čísel.

Riešenie:

Ak je každá rovnobežka kružnica, potom je to uzavretá čiara. To znamená, že 1. rovnobežka rozdeľuje zemeguľu na 2 časti. Ďalej, druhá rovnobežka poskytuje rozdelenie na 3 časti, tretia - na 4 atď. Výsledkom je, že 13 rovnobežiek rozdelí zemeguľu na 13+1=14 častí.

Poledník je oblúk kružnice spájajúci póly, t.j. Nie je to uzavretá línia a nerozdeľuje zemeguľu na časti. Ale už sa delia 2 meridiány, t.j. 2 meridiány zabezpečujú rozdelenie na 2 časti, potom 3. meridián pridáva 3. časť, 4. – 5. časť atď. To v konečnom dôsledku znamená, že 25 meridiánov vytvára 25 častí na zemeguli.

Celkový počet častí na zemeguli je: 14·25=350 častí.

Možnosť pre dvadsiatu úlohu roku 2019 (8)

V košíku je 30 húb: šafranové klobúčiky a mliečne huby. Je známe, že medzi akýmikoľvek 12 hubami je aspoň jeden šafránový klobúčik a medzi akýmikoľvek 20 hubami je aspoň jeden mliečny hríb. Koľko uzáverov zo šafranového mlieka je v košíku?

Vykonávací algoritmus

1. Počet mliečnych húb určujeme medzi 12 hubami a šafránových klobúčikov medzi 20 hubami.
2. Dokazujeme, že existuje len jedno správne číslo predstavujúce počet uzáverov šafranového mlieka. Zaznamenávame to v odpovedi.

Riešenie:

Ak je medzi 12 hubami aspoň 1 mliečna huba, potom huby nie sú viac ako 11. Ak je medzi 20 hubami aspoň 1 huba mliečna, potom nie je viac ako 19 húb.

To znamená, že ak nemôže byť viac ako 11 mliečnych húb, potom nemôže byť menej ako 30 – 11 = 19 húb. Tie. na jednej strane nie je viac ako 19 uzáverov šafranového mlieka a na druhej strane najmenej 19. Preto môže byť len presne 19 uzáverov šafranového mlieka.

Možnosť pre dvadsiatu úlohu roku 2019 (9)

Ak by sa každý z týchto dvoch faktorov zvýšil o 1, ich súčin by sa zvýšil o 3. O koľko by sa zvýšil súčin týchto faktorov, ak by sa každý z nich zvýšil o 5?

Vykonávací algoritmus

1. Zavádzame značenie faktorov. To nám umožní vyjadriť pôvodný produkt (pred zvýšením faktorov).
2. Zostavíme rovnicu pre situáciu, keď sú faktory zvýšené o 1. Vykonáme transformácie. Získame nový výraz, ktorý zobrazuje vzťah medzi pôvodnými faktormi.
3. Vytvoríme rovnicu pre situáciu, keď sú faktory zvýšené o 5. Vykonáme transformácie. Do rovnice zadáme výraz získaný v kroku 2 a nájdeme požadovaný rozdiel.

Riešenie:

Nech sa 1. faktor rovná x, 2. – y. Potom je ich súčin xy.

Po zvýšení násobiteľov o 1 dostaneme:

(x+1)(y+1)=xy+3

xy +y+x+1= xy +3

Po zvýšení násobiteľov o 5 máme:

(x+5)(y+5)=xy+N, kde N je požadovaný rozdiel v produktoch.

Vykonávame transformácie:

xy+5y+5x+25=xy+N

N= xy +5y+5x+25– xy

Pretože Vyššie už bolo určené, že x + y = 2, potom dostaneme:

Možnosť pre dvadsiatu úlohu roku 2019 (10)

Saša pozval Peťa na návštevu s tým, že býva v siedmom vchode v byte č. 462, no zabudol povedať poschodie. Keď sa Peťa priblížil k domu, zistil, že dom má sedem poschodí. Na akom poschodí býva Sasha? (Na všetkých podlažiach je počet bytov rovnaký, číslovanie bytov v budove začína od jedného.)

Vykonávací algoritmus

1. Pomocou metódy výberu určíme počet bytov na stránke. Toto číslo by malo byť také, aby číslo bytu bolo väčšie ako počet bytov v 6 vchodoch, ale menšie ako počet bytov v 7.
2. Počet bytov určujeme v 6 vchodoch. Toto číslo odpočítame od 462 a vydelíme ho počtom bytov na stránke. Takto zistíme požadované číslo poschodia. Poznámka: 1) ak je prijaté celé číslo, potom je požadované číslo poschodia o 1 väčšie ako vypočítaná hodnota; 2) ak dostanete zlomkové číslo, potom číslo podlahy bude výsledkom zaokrúhleným nahor.

Riešenie:

Hľadáme počet bytov na stránke, kontrolujeme číslo po čísle.

Predpokladajme, že toto číslo je 3. Potom dostaneme, že v 7 vchodoch na 6 poschodiach je 7 6 3 = 126 bytov,

a v 7 vchodoch na 7 poschodiach je 7·7·3=147 bytov.

Byt č. 462 rozhodne nepatrí do okruhu bytov č. 126–147.

Podobne skontrolovaním čísel 4, 5 atď. dospejeme k číslu 10. Dokážme, že je to presne to pravé:

v 7 vchodoch na 6 poschodiach je 7 6 10 = 420 bytov,

v 7 vchodoch na 7 poschodiach: 7·7·10=490 bytov. Od roku 420<462<490, то условие задания выполнено.

Aby ste sa dostali do bytu č. 462, musíte prejsť okolo 462–420 = 42 bytov. Pretože Na každej lokalite je 10 bytov, potom treba prekonať 42:10 = 4,2 poschodia. 4.2 znamená, že musíte prejsť 4 poschodia úplne a vyjsť až na 5. Požadované poschodie je teda 5.

Úloha 20 Základná úroveň jednotnej štátnej skúšky

1) Slimák vylezie za deň po strome 4 m a v noci sa kĺže po strome o 1 m. Výška stromu je 13 m. Koľko dní bude trvať, kým sa slimák vyšplhá na vrchol strom po prvy krat? (4-1 = 3, ráno 4. dňa bude vo výške 9m a za deň sa plazí 4m.odpoveď: 4 )

2) Slimák vylezie za deň po strome 4 m a v noci sa zošmykne 3 m. Výška stromu je 10 m. Koľko dní bude trvať, kým sa slimák vyšplhá na vrchol strom po prvy krat? odpoveď: 7

3) Slimák cez deň vylezie na strom 3 m, v noci zostúpi 2 m. Výška stromu je 10 m. Koľko dní bude slimákovi trvať, kým vyšplhá na vrchol stromu? Odpoveď: 8

4) Palica je označená priečnymi čiarami červenej, žltej a zelenej farby. Ak odrežete palicu pozdĺž červených čiar, dostanete 15 kusov, ak pozdĺž žltých čiar - 5 kusov, a ak pozdĺž zelených čiar - 7 kusov. Koľko kusov získate, ak vyrežete palicu pozdĺž línií všetkých troch farieb? ? (Ak odrežete palicu pozdĺž červených čiar, získate 15 kusov, teda riadkov je 14. Ak palicu odrežete pozdĺž žltých čiar, dostanete 5 kusov, teda budú 4 čiary. pozdĺž zelených čiar dostanete 7 kusov, teda riadkov bude 6. Celkový počet riadkov: 14 + 4 + 6 = 24 riadkov. odpoveď:25 )

5) Palica je označená priečnymi čiarami červenej, žltej a zelenej farby. Ak odrežete palicu pozdĺž červených čiar, dostanete 5 kusov, ak pozdĺž žltých čiar - 7 kusov, a ak pozdĺž zelených čiar - 11 kusov. Koľko kusov získate, ak vyrežete palicu pozdĺž línií všetkých troch farieb? Odpoveď : 21

6) Palica je označená priečnymi čiarami červenej, žltej a zelenej farby. Ak odrežete palicu pozdĺž červených čiar, dostanete 10 kusov, ak pozdĺž žltých čiar - 8 kusov, ak pozdĺž zelenej - 8 kusov. Koľko kusov získate, ak vyrežete palicu pozdĺž línií všetkých troch farieb? Odpoveď : 24

7) V zmenárni môžete vykonať jednu z dvoch operácií:

Za 2 zlaté mince získate 3 strieborné a jednu medenú;

Za 5 strieborných mincí získate 3 zlaté a jednu medenú.

Mikuláš mal len strieborné mince. Po niekoľkých návštevách zmenárne sa jeho strieborné mince zmenšili, neobjavili sa žiadne zlaté, ale objavilo sa 50 medených. O koľko sa znížil Mikulášov počet strieborných mincí? odpoveď: 10

8) V zmenárni môžete vykonať jednu z dvoch operácií:

· za 2 zlaté mince získate 3 strieborné a jednu medenú;

· za 5 strieborných mincí získate 3 zlaté a jednu medenú.

Mikuláš mal len strieborné mince. Po niekoľkých návštevách zmenárne sa jeho strieborné mince zmenšili, neobjavili sa žiadne zlaté, ale objavilo sa 100 medených. O koľko sa znížil Mikulášov počet strieborných mincí?? odpoveď: 20

9) V zmenárni môžete vykonať jednu z dvoch operácií:

1) za 3 zlaté mince získate 4 strieborné a jednu medenú;

2) za 6 strieborných mincí získate 4 zlaté a jednu medenú.

Nikola mala len strieborné mince. Po návšteve zmenárne sa jeho strieborné mince zmenšili, neobjavili sa žiadne zlaté, ale objavilo sa 35 medených. O koľko sa Nikole znížil počet strieborných mincí? odpoveď: 10

10) V zmenárni môžete vykonať jednu z dvoch operácií:

1) za 3 zlaté mince získate 4 strieborné a jednu medenú;

2) za 7 strieborných mincí získate 4 zlaté a jednu medenú.

Nikola mala len strieborné mince. Po návšteve zmenárne sa jeho strieborné mince zmenšili, neobjavili sa žiadne zlaté, ale objavilo sa 42 medených. O koľko sa Nikole znížil počet strieborných mincí? odpoveď: 30

11) V zmenárni môžete vykonať jednu z dvoch operácií:

1) za 4 zlaté mince získate 5 strieborných a jednu medenú;

2) za 8 strieborných mincí získate 5 zlatých a jednu medenú.

Mikuláš mal len strieborné mince. Po niekoľkých návštevách zmenárne sa jeho strieborné mince zmenšili, neobjavili sa žiadne zlaté, ale objavilo sa 45 medených. O koľko sa znížil Mikulášov počet strieborných mincí? odpoveď: 35

12) V košíku je 50 húb: šafranové klobúčiky a mliečne huby. Je známe, že medzi akýmikoľvek 28 hubami je aspoň jeden šafránový klobúčik a medzi akýmikoľvek 24 hubami je aspoň jeden mliečny hríb. Koľko mliečnych húb je v košíku? ( (50-28)+1=23 - nesmú chýbať čiapky zo šafranového mlieka. (50-24)+1=27 - musia byť mliečne huby. Odpoveď: mliečne huby v košíku 27 .)

13) V košíku je 40 húb: šafranové klobúčiky a mliečne huby. Je známe, že medzi akýmikoľvek 17 hubami je aspoň jeden šafránový klobúčik a medzi akýmikoľvek 25 hubami je aspoň jeden mliečny hríb. Koľko uzáverov zo šafranového mlieka je v košíku? ( Podľa problémových podmienok: (40-17)+1=24 - nesmú chýbať čiapky zo šafranového mlieka. (40-25)+1=16 24 .)

14) v košíku je 30 húb: šafranové čiapky a mliečne huby. Je známe, že medzi akýmikoľvek 12 hubami je aspoň jeden šafránový klobúčik a medzi akýmikoľvek 20 hubami je aspoň jeden mliečny hríb. Koľko uzáverov zo šafranového mlieka je v košíku? (Podľa vyhlásenia o probléme: (30-12)+1=19 - nesmú chýbať čiapky zo šafranového mlieka. (30-20)+1=11 - musia byť mliečne huby. Odpoveď: šafranové mliečne čiapky v košíku 19 .)

15) V košíku je 45 húb: šafranové klobúčiky a mliečne huby. Je známe, že medzi akýmikoľvek 23 hubami je aspoň jeden šafránový klobúčik a medzi akýmikoľvek 24 hubami je aspoň jeden mliečny hríb. Koľko uzáverov zo šafranového mlieka je v košíku? ( Podľa problémových podmienok: (45-23)+1=23 - nesmú chýbať čiapky zo šafranového mlieka. (45-24)+1=22 - musia byť mliečne huby. Odpoveď: šafranové mliečne čiapky v košíku 23 .)

16) V košíku je 25 húb: šafranové klobúčiky a mliečne huby. Je známe, že medzi akýmikoľvek 11 hubami je aspoň jedna šafranová čiapočka a medzi 16 hubami je aspoň jedna mliečna huba. Koľko uzáverov zo šafranového mlieka je v košíku? ( Keďže medzi 11 hubami je aspoň jedna huba, potom nie je viac ako 10 mliečnych húb. Keďže medzi všetkými 16 hubami je aspoň jedna mliečna huba, potom nie je viac ako 15 húb. A keďže je 25 húb celkovo v košíku je potom presne 10 mliečnych húb a presne šafránové čiapkyodpoveď: 15.

17) Majiteľ sa dohodol s robotníkmi, že mu vykopú studňu za nasledujúcich podmienok: za prvý meter im zaplatí 4 200 rubľov a za každý ďalší o 1 300 rubľov viac ako za predchádzajúci. Koľko peňazí bude musieť majiteľ zaplatiť robotníkom, ak vykopú studňu hlbokú 11 metrov? ?(Odpoveď: 117700)

18) Majiteľ sa dohodol s robotníkmi, že mu vykopú studňu za nasledujúcich podmienok: za prvý meter im zaplatí 3 700 rubľov a za každý ďalší meter - o 1 700 rubľov viac ako za predchádzajúci. Koľko peňazí bude musieť majiteľ zaplatiť robotníkom, ak vykopú studňu hlbokú 8 metrov? ( 77200 )

19) Majiteľ sa dohodol s robotníkmi, že vykopú studňu za nasledujúcich podmienok: za prvý meter im zaplatí 3 500 rubľov a za každý ďalší meter - o 1 600 rubľov viac ako za predchádzajúci. Koľko peňazí bude musieť majiteľ zaplatiť robotníkom, ak vykopú studňu hlbokú 9 metrov? ( 89100 )

20) Majiteľ sa dohodol s robotníkmi, že mu vykopú studňu za týchto podmienok: za prvý meter im zaplatí 3900 rubľov a za každý ďalší o 1200 rubľov viac ako za predchádzajúci. Koľko rubľov bude musieť majiteľ zaplatiť robotníkom, ak vykopú studňu hlbokú 6 metrov? (41400)

21) Tréner odporučil Andrey, aby v prvý deň vyučovania strávila 15 minút na bežiacom páse a na každej nasledujúcej hodine zvýšila čas strávený na bežiacom páse o 7 minút. Koľko sedení strávi Andrey celkovo 2 hodiny a 25 minút na bežiacom páse, ak sa bude riadiť radami trénera? ( 5 )

22) Tréner odporučil Andrey, aby v prvý deň vyučovania strávila 22 minút na bežiacom páse a na každej nasledujúcej lekcii zvýšila čas strávený na bežiacom páse o 4 minúty, kým nedosiahne 60 minút, a potom pokračovala v tréningu 60 minút. každý deň. V koľkých reláciách, počnúc prvým, strávi Andrey na bežiacom páse celkovo 4 hodiny a 48 minút? ( 8 )

23) V prvom rade kina je 24 miest na sedenie a v každom ďalšom rade je o 2 viac ako v predchádzajúcom. Koľko sedadiel je v ôsmom rade? ( 38 )

24) Lekár predpísal pacientovi, aby užíval liek podľa nasledujúceho režimu: v prvý deň by mal užiť 3 kvapky a každý ďalší deň - o 3 kvapky viac ako v predchádzajúci deň. Po užití 30 kvapiek pije 30 kvapiek lieku ďalšie 3 dni a potom zníži príjem o 3 kvapky denne. Koľko fľaštičiek lieku by si mal pacient kúpiť na celý priebeh liečby, ak každá fľaštička obsahuje 20 ml lieku (čo je 250 kvapiek)? (2) súčet aritmetickej postupnosti, pričom prvý člen sa rovná 3, rozdiel sa rovná 3 a posledný člen sa rovná 30.; 165 + 90 + 135 = 390 kvapiek; 3+ 3(n-1)=30; n=10 a 27- 3(n-1)=3; n=9

25) Lekár predpísal pacientovi, aby užíval liek podľa nasledujúceho režimu: prvý deň by mal užiť 20 kvapiek a každý nasledujúci deň - o 3 kvapky viac ako predchádzajúci. Po 15 dňoch užívania si pacient urobí 3-dňovú prestávku a pokračuje v užívaní lieku podľa obrátenej schémy: na 19. deň užije rovnaký počet kvapiek ako na 15. deň a potom denne zníži dávku o 3 kvapky, kým dávka nebude nižšia ako 3 kvapky denne. Koľko fľaštičiek lieku by si mal pacient kúpiť na celý priebeh liečby, ak každá fľaša obsahuje 200 kvapiek? ( 7 ) vypije 615 + 615 + 55 = 1285 ;1285: 200 = 6,4

26) V predajni domácich spotrebičov je objem predaja chladničiek sezónny. V januári sa predalo 10 chladničiek a za ďalšie tri mesiace 10 chladničiek. Od mája sa predaj zvýšil o 15 kusov v porovnaní s predchádzajúcim mesiacom. Od septembra sa objem predaja začal každý mesiac znižovať o 15 chladničiek v porovnaní s predchádzajúcim mesiacom. Koľko chladničiek predal obchod za rok? (360) (5*10+2*25+2*40+2*55+70=360

27) Na povrchu zemegule je fixkou nakreslených 12 rovnobežiek a 22 poludníkov. Na koľko častí rozdelili nakreslené čiary povrch zemegule?

Poledník je oblúk kruhu spájajúci severný a južný pól. Rovnobežka je kružnica ležiaca v rovine rovnobežnej s rovinou rovníka. (13 22=286)

28) Na povrch zemegule bolo fixkou nakreslených 17 rovnobežiek a 24 poludníkov. Na koľko častí rozdelili nakreslené čiary povrch zemegule? Poledník je oblúk kruhu spájajúci severný a južný pól. Rovnobežka je kružnica ležiaca v rovine rovnobežnej s rovinou rovníka. (18 24 =432)

29) Aký najmenší počet po sebe idúcich čísel treba vziať, aby ich súčin bol deliteľný 7? (2) Ak by zadanie problému znelo takto: „Aký je najmenší počet po sebe idúcich čísel, ktoré treba vziať, aby ich súčin zaručené bolo deliteľné 7? Potom budete musieť vziať sedem po sebe idúcich čísel.

30) Aký najmenší počet po sebe idúcich čísel treba vziať, aby ich súčin bol deliteľný 9? (2)

31) Súčin desiatich po sebe idúcich čísel vydelíme 7. Čomu sa môže rovnať zvyšok? (0) Medzi 10 po sebe idúcimi číslami bude jedno z nich určite deliteľné 7, takže súčin týchto čísel je násobkom siedmich. Preto je zvyšok pri delení 7 nula.

32) Kobylka skáče pozdĺž súradnicovej čiary v ľubovoľnom smere pre jednotkový segment na skok. Koľko rôznych bodov je na súradnicovej čiare, v ktorých môže kobylka skončiť po presne 6 skokoch, počnúc od začiatku? ( kobylka môže skončiť v bodoch: -6, -4, -2, 0, 2, 4 a 6; len 7 bodov.)

33) Kobylka skáče pozdĺž súradnicovej čiary v ľubovoľnom smere pre jednotkový segment na skok. Koľko rôznych bodov je na súradnicovej čiare, v ktorých môže kobylka skončiť po presne 12 skokoch, počnúc od začiatku? ( kobylka môže byť v bodoch: −12, −10, −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, 10 a 12; len 13 bodov.)

34) Kobylka skáče pozdĺž súradnicovej čiary v ľubovoľnom smere pre jednotkový segment na skok. Koľko rôznych bodov je na súradnicovej čiare, v ktorých môže kobylka skončiť po presne 11 skokoch, počnúc od začiatku? (môže sa objaviť v bodoch: −11, −9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9 a 11; spolu 12 bodov.)

35) Kobylka skáče pozdĺž súradnicovej čiary v ľubovoľnom smere o jednotkový segment na skok. Koľko rôznych bodov je na súradnicovej čiare, v ktorých môže kobylka skončiť po presne 8 skokoch, počnúc od začiatku?

Všimnite si, že kobylka môže skončiť iba v bodoch s párnymi súradnicami, pretože počet skokov, ktoré urobí, je párny. Maximálny kobylka môže byť v bodoch, ktorých modul nepresahuje osem. Kobylka teda môže skončiť v bodoch: −8, −6,-2 ; −4, 0,2, 4, 6, 8, spolu teda 9 bodov.