Tvar elipsy a stupeň jej podobnosti s kružnicou charakterizuje vzťah , kde c- vzdialenosť od stredu elipsy k jej ohnisku (polovica medziohniskovej vzdialenosti), a- hlavná poloos. Rozsah e sa nazýva excentricita elipsy. O c= 0 a e= 0 sa elipsa zmení na kruh.

Dôkaz prvého Keplerovho zákona

zákon univerzálna gravitácia Newton uvádza, že „každý objekt vo vesmíre priťahuje každý iný objekt pozdĺž čiary spájajúcej ťažiská objektov, úmerne k hmotnosti každého objektu a nepriamo úmerné druhej mocnine vzdialenosti medzi objektmi“. To predpokladá, že zrýchlenie a má tvar

V súradnicovom tvare píšeme

Dosadením a do druhej rovnice dostaneme

čo je zjednodušené

Po integrácii napíšeme výraz

pre nejakú konštantu, ktorou je špecifický moment hybnosti ().

Pohybová rovnica v smere sa vyrovná

Newtonov zákon univerzálnej gravitácie spája silu na jednotku hmotnosti so vzdialenosťou ako

Kde G- univerzálna gravitačná konštanta a M- hmotnosť hviezdy.

Ako výsledok

Toto Diferenciálnej rovnice má všeobecné riešenie:

pre ľubovoľné integračné konštanty e a 00.

Výmena u od 1/ r a položením θ 0 = 0 dostaneme:

Získali sme rovnicu kužeľosečky s excentricitou e a počiatok súradnicového systému v jednom z ohniskov. Prvý Keplerov zákon teda vyplýva priamo z Newtonovho zákona univerzálnej gravitácie a druhého Newtonovho zákona.

Druhý Keplerov zákon (Zákon oblastí)

Druhý Keplerov zákon.

Každá planéta sa pohybuje v rovine prechádzajúcej stredom Slnka a v rovnakých časoch polomerový vektor spájajúci Slnko a planétu vymetá sektory rovnakej plochy.

Vo vzťahu k našej slnečnej sústave sú s týmto zákonom spojené dva pojmy: perihélium- bod obežnej dráhy najbližšie k Slnku, a aphelion- najvzdialenejší bod obežnej dráhy. Z druhého Kepplerovho zákona teda vyplýva, že planéta sa pohybuje okolo Slnka nerovnomerne a má väčšiu lineárnu rýchlosť v perihéliu ako v aféliu.

Každý rok na začiatku januára sa Zem pri prechode perihéliom pohybuje rýchlejšie, takže aj zdanlivý pohyb Slnka po ekliptike na východ nastáva rýchlejšie ako je priemer za rok. Začiatkom júla sa Zem prechádzajúca aféliom pohybuje pomalšie, a preto sa pohyb Slnka po ekliptike spomaľuje. Zákon plôch naznačuje, že sila, ktorá riadi orbitálny pohyb planét, smeruje k Slnku.

Dôkaz druhého Keplerovho zákona

Podľa definície moment hybnosti bodovej častice s hmotnosťou m a rýchlosť je napísaná takto:

.

kde je vektor polomeru častice a je hybnosť častice.

A-priorstvo

.

V dôsledku toho máme

.

Rozlišujme obe strany rovnice vzhľadom na čas

pretože vektorový produkt paralelných vektorov sa rovná nule. Všimni si F vždy paralelne r, keďže sila je radiálna a p vždy paralelne v a-priorstvo. Môžeme teda povedať, že ide o konštantu.

Tretí Keplerov zákon (harmonický zákon)

Druhé mocniny periód rotácie planét okolo Slnka súvisia ako kocky hlavných polosí obežných dráh planét.

Kde T 1 a T 2 sú obdobia revolúcie dvoch planét okolo Slnka a a 1 a a 2 - dĺžky hlavných polosí ich dráh.

Newton zistil, že gravitačná príťažlivosť planéty určitej hmotnosti závisí iba od jej vzdialenosti a nie od iných vlastností, ako je zloženie alebo teplota. Ukázal tiež, že tretí Keplerov zákon nie je úplne presný – v skutočnosti zahŕňa aj hmotnosť planéty: , kde M je hmotnosť Slnka a m 1 a m 2 – hmotnosti planét.

Keďže sa zistilo, že pohyb a hmotnosť spolu súvisia, táto kombinácia Keplerovho harmonického zákona a Newtonovho gravitačného zákona sa používa na určenie hmotnosti planét a satelitov, ak sú známe ich dráhy a obežné doby.

Dôkaz tretieho Keplerovho zákona

Druhý Keplerov zákon hovorí, že vektor polomeru otáčajúceho sa telesa zametá rovnaké plochy v rovnakých časových úsekoch. Ak teraz vezmeme veľmi malé časové úseky v okamihu, keď je planéta v bodoch A A B(perihélium a afélium), potom môžeme plochu aproximovať trojuholníkmi s výškami rovnajúcimi sa vzdialenosti od planéty k Slnku a základňou rovnajúcou sa súčinu rýchlosti a času planéty.

Použitie zákona zachovania energie pre celkovú energiu planéty v bodoch A A B, píšme

Teraz, keď sme našli V B, môžeme nájsť sektorovú rýchlosť. Keďže je konštantná, môžeme si vybrať ľubovoľný bod elipsy: napríklad za bod B dostaneme

Celková plocha elipsy je však (čo sa rovná π ab, pretože ). Čas na úplnú revolúciu sa teda rovná

Všimnite si, že ak je hmota m nezanedbateľné v porovnaní s M, potom sa planéta bude otáčať okolo Slnka rovnakou rýchlosťou a na rovnakej obežnej dráhe ako hmotný bod obiehajúci okolo hmoty M + m(cm.

„Žil v dobe, keď ešte neexistovala dôvera v existenciu niektorých všeobecný vzor pre všetky prírodné javy...

Aká hlboká bola jeho viera v takýto vzor, ​​ak z neho osamote, nikým nepodporovaný a nikým nepochopený, čerpal silu pre ťažkú ​​a namáhavú prácu? empirický výskum pohyby planét a matematické zákony tohto pohybu!

Dnes, keď už bol tento vedecký čin vykonaný, nikto nedokáže plne oceniť, koľko vynaliezavosti, koľko tvrdej práce a trpezlivosti bolo potrebné objaviť a tak presne vyjadriť“ (Albert Einstein o Keplerovi).

Johannes Kepler prvýkrát objavil zákon pohybu planét slnečná sústava. Urobil to však na základe analýzy astronomických pozorovaní Tycha Braheho. Poďme si teda najprv povedať o ňom.

Tycho Brahe (1546-1601)

Tycho Brahe - Dánsky astronóm, astrológ a alchymista renesancie. Kepler ako prvý v Európe začal vykonávať systematické a vysoko presné astronomické pozorovania, na základe ktorých Kepler odvodil zákony pohybu planét.

Už ako dieťa sa začal zaujímať o astronómiu, viedol nezávislé pozorovania a vytvoril niekoľko astronomických prístrojov. Jedného dňa (11. novembra 1572), keď sa vracal domov z chemického laboratória, všimol si nezvyčajný jasná hviezda, ktorý predtým neexistoval. Okamžite si uvedomil, že to nie je planéta a ponáhľal sa zmerať jej súradnice. Hviezda svietila na oblohe ďalších 17 mesiacov; Najprv ho bolo vidno aj cez deň, no postupne sa jeho lesk stlmil. Išlo o prvý výbuch supernovy v našej Galaxii za posledných 500 rokov. Táto udalosť vzrušila celú Európu, bolo veľa interpretácií tohto „nebeského znamenia“ - predpovedali sa katastrofy, vojny, epidémie a dokonca aj koniec sveta. Objavili sa aj vedecké traktáty obsahujúce mylné tvrdenia, že išlo o kométu resp atmosférický jav. V roku 1573 vyšla jeho prvá kniha „O novej hviezde“. Brahe v ňom uviedol, že v tomto objekte nebola zistená žiadna paralaxa (zmeny zdanlivej polohy objektu voči vzdialenému pozadiu v závislosti od polohy pozorovateľa), čo presvedčivo dokazuje, že nové svietidlo je hviezda. sa nenachádza v blízkosti Zeme, ale aspoň v planetárnej vzdialenosti. Vďaka tejto knihe bol Tycho Brahe uznaný ako prvý dánsky astronóm. V roku 1576, dekrétom dánsko-nórskeho kráľa Fridricha II., získal Tycho Brahe ostrov Ven na doživotné užívanie ( Hven), ktorá sa nachádza 20 km od Kodane, a na výstavbu observatória a jeho údržbu boli vyčlenené značné sumy. Bola to prvá budova v Európe špeciálne postavená na astronomické pozorovania. Tycho Brahe pomenoval svoje observatórium „Uraniborg“ na počesť múzy astronómie Urania (názov sa niekedy prekladá ako „Hrad na oblohe“). Návrh budovy vypracoval sám Tycho Brahe. V roku 1584 bol vedľa Uraniborgu postavený ďalší hrad observatória: Stjerneborg (v preklade z dánčiny „Hviezdny hrad“). Uraniborg sa čoskoro stal najlepším svetovým astronomickým centrom, ktoré spájalo pozorovania, vyučovalo študentov a publikovalo vedecké práce. Ale neskôr, v súvislosti so zmenou kráľa. Tycho Brahe prišiel o finančnú podporu a potom bol na ostrove zákaz praktizovať astronómiu a alchýmiu. Astronóm opustil Dánsko a zastavil sa v Prahe.

Čoskoro bol Uraniborg a všetky budovy s ním spojené úplne zničené (v našej dobe boli čiastočne obnovené).

Počas tohto napätého obdobia Brahe dospel k záveru, že potrebuje mladého, talentovaného asistenta matematika, ktorý by spracoval údaje nahromadené za 20 rokov. Keď sa Tycho dozvedel o prenasledovaní Johannesa Keplera, ktorého mimoriadne matematické schopnosti ocenil už z ich korešpondencie, pozval ho k sebe. Vedci stáli pred úlohou dedukovať z pozorovaní nový systém sveta, ktorý by mal nahradiť ten ptolemaiovský aj kopernikovský. Keplerovi zveril kľúčovú planétu: Mars, ktorého pohyb silne nezapadal nielen do Ptolemaiovej schémy, ale ani do Braheho vlastných modelov (podľa jeho výpočtov sa dráhy Marsu a Slnka pretínali).

V roku 1601 začali Tycho Brahe a Kepler pracovať na nových, rafinovaných astronomických tabuľkách, ktoré sa na počesť cisára nazývali „Rudolph“; boli dokončené v roku 1627 a astronómom a námorníkom slúžili až do r začiatkom XIX storočí. Ale Tycho Brahe dokázal dať stolom iba meno. V októbri nečakane ochorel a zomrel na neznámu chorobu.

Po starostlivom preštudovaní údajov Tycha Braheho objavil Kepler zákony pohybu planét.

Keplerove zákony pohybu planét

Pôvodne Kepler plánoval stať sa protestantským kňazom, no vďaka svojim mimoriadnym matematickým schopnostiam bol v roku 1594 pozvaný prednášať matematiku na univerzitu v Grazi (dnes Rakúsko). Kepler strávil v Grazi 6 rokov. Tu v roku 1596 vyšla jeho prvá kniha „Tajomstvo sveta“. Kepler sa v nej pokúsil nájsť tajnú harmóniu vesmíru, pre ktorú prirovnal rôzne „platónske pevné látky“ (pravidelné mnohosteny) k obežným dráham piatich vtedy známych planét (vyzdvihol najmä sféru Zeme). Obežnú dráhu Saturna prezentoval ako kruh (ešte nie elipsu) na povrchu gule opísanej okolo kocky. Na kocke bola zasa vpísaná guľa, ktorá mala predstavovať obežnú dráhu Jupitera. Do tejto gule bol vpísaný štvorsten, opísaný okolo gule predstavujúcej dráhu Marsu atď. Toto dielo po ďalších objavoch Keplera stratilo svoj pôvodný význam (už len preto, že dráhy planét sa ukázali ako nekruhové) ; Napriek tomu Kepler až do konca svojho života veril v existenciu skrytej matematickej harmónie vesmíru av roku 1621 znovu vydal „Tajomstvo sveta“, v ktorom urobil množstvo zmien a doplnkov.

Ako vynikajúci pozorovateľ zostavil Tycho Brahe počas mnohých rokov rozsiahle dielo o pozorovaní planét a stoviek hviezd a presnosť jeho meraní bola výrazne vyššia ako u všetkých jeho predchodcov. Na zvýšenie presnosti použil Brahe ako technické vylepšenia, tak aj špeciálnu techniku ​​na neutralizáciu chýb pozorovania. Cenná bola najmä systematickosť meraní.

V priebehu niekoľkých rokov Kepler pozorne študoval Braheho údaje a ako výsledok starostlivej analýzy dospel k záveru, že Trajektória Marsu nie je kružnica, ale elipsa, pričom Slnko je v jednom z jeho ohniskov - v polohe známej dnes ako Keplerov prvý zákon.

Prvý Keplerov zákon (zákon elipsy)

Každá planéta v slnečnej sústave sa točí po elipse, pričom Slnko je v jednom z ohniskov.

Tvar elipsy a stupeň jej podobnosti s kružnicou je charakterizovaný pomerom , kde je vzdialenosť od stredu elipsy k jej ohnisku (polovica medziohniskovej vzdialenosti) a je hlavnou poloosou. Veličina sa nazýva excentricita elipsy. Keď , a teda sa elipsa zmení na kruh.

Ďalšia analýza vedie k druhému zákonu. Vektor polomeru spájajúci planétu a Slnko, v rovnaký čas opisuje rovnaké oblasti. To znamenalo, že čím ďalej je planéta od Slnka, tým pomalšie sa pohybuje.

Druhý Keplerov zákon (zákon oblastí)

Každá planéta sa pohybuje v rovine prechádzajúcej stredom Slnka a v rovnakých časových úsekoch vektor polomeru spájajúceho Slnko a planétu opisuje rovnaké oblasti.

S týmto zákonom sú spojené dva pojmy: perihélium- bod obežnej dráhy najbližšie k Slnku, a aphelion- najvzdialenejší bod obežnej dráhy. Z druhého Keplerovho zákona teda vyplýva, že planéta sa pohybuje okolo Slnka nerovnomerne a má väčšiu lineárnu rýchlosť v perihéliu ako v aféliu.

Každý rok na začiatku januára sa Zem pri prechode perihéliom pohybuje rýchlejšie, takže aj zdanlivý pohyb Slnka po ekliptike na východ nastáva rýchlejšie ako je priemer za rok. Začiatkom júla sa Zem prechádzajúca aféliom pohybuje pomalšie, a preto sa pohyb Slnka po ekliptike spomaľuje. Zákon plôch naznačuje, že sila, ktorá riadi orbitálny pohyb planét, smeruje k Slnku.

Tretí Keplerov zákon (harmonický zákon)

Druhé mocniny periód rotácie planét okolo Slnka súvisia ako kocky hlavných polosí obežných dráh planét. To platí nielen pre planéty, ale aj pre ich satelity.

Kde a sú periódy revolúcie dvoch planét okolo Slnka a a sú dĺžky hlavných polosí ich obežných dráh.

Newton neskôr zistil, že tretí Keplerov zákon nie je úplne presný – zahŕňa aj hmotnosť planéty: , kde je hmotnosť Slnka a a sú hmotnosti planét.

Keďže sa zistilo, že pohyb a hmotnosť spolu súvisia, táto kombinácia Keplerovho harmonického zákona a Newtonovho gravitačného zákona sa používa na určenie hmotnosti planét a satelitov, ak sú známe ich dráhy a obežné doby.

Význam Keplerovych objavov v astronómii

Objavil ho Kepler tri zákony pohybu planétúplne a presne vysvetlil zjavnú nerovnomernosť týchto pohybov. Namiesto početných vymyslených epicyklov obsahuje Keplerov model iba jednu krivku – elipsu. Druhý zákon stanovil, ako sa mení rýchlosť planéty, keď sa vzďaľuje alebo približuje k Slnku, a tretí nám umožňuje vypočítať túto rýchlosť a dobu otáčania okolo Slnka.

Hoci historicky je svetový systém Keplerian založený na kopernikovskom modeli, v skutočnosti majú veľmi málo spoločného (iba dennú rotáciu Zeme). Kruhové pohyby gúľ nesúcich planéty zmizli a objavil sa koncept planétovej dráhy. V kopernikovskej sústave mala Zem ešte trochu zvláštne postavenie, keďže ako jediná nemala epicykly. Podľa Keplera je Zem obyčajná planéta, ktorej pohyb podlieha trom všeobecným zákonom. Všetky obežné dráhy nebeských telies- elipsy, spoločným ohniskom dráh je Slnko.

Kepler tiež odvodil „Keplerovu rovnicu“, ktorá sa používa v astronómii na určenie polohy nebeských telies.

Zákony objavené Keplerom neskôr slúžili Newtonovi základ pre vytvorenie teórie gravitácie. Newton matematicky dokázal, že všetky Keplerove zákony sú dôsledkom gravitačného zákona.

Kepler však neveril v nekonečnosť vesmíru a ako argument navrhol fotometrický paradox(tento názov vznikol neskôr): ak je počet hviezd nekonečný, potom v akomkoľvek smere by sa pohľad stretol s hviezdou a na oblohe by neboli žiadne tmavé oblasti. Kepler, podobne ako pytagorejci, považoval svet za realizáciu určitej číselnej harmónie, geometrickej aj hudobnej; odhalenie štruktúry tejto harmónie by poskytlo odpovede na najhlbšie otázky.

Ďalšie Keplerove úspechy

V matematike našiel spôsob, ako určiť objemy rôznych rotačných telies, navrhol prvé prvky integrálneho počtu, podrobne analyzoval symetriu snehových vločiek, Keplerove práce v oblasti symetrie neskôr našli uplatnenie v kryštalografii a teórii kódovania. Zostavil jednu z prvých tabuliek logaritmov a po prvýkrát predstavil najdôležitejší koncept nekonečne vzdialený bodpredstavil koncept ohnisko kužeľosečky a preskúmané projektívne transformácie kužeľosečiek vrátane tých, ktoré menia ich typ.

Vo fyzikezaviedol pojem zotrvačnosť ako vrodená vlastnosť telies klásť odpor vonkajšia sila, sa priblížil objavu gravitačného zákona, hoci sa ho nesnažil vyjadriť matematicky, prvý, takmer sto rokov pred Newtonom, vyslovil hypotézu, že príčinou prílivu a odlivu je vplyv Mesiaca na hornú vrstvy oceánov.

V optike: optika ako veda začína jeho dielami. Popisuje lom svetla, lom svetla a pojem optický obraz, všeobecná teória šošoviek a ich systémov. Kepler prišiel na úlohu šošovky a správne opísal príčiny krátkozrakosti a ďalekozrakosti.

TO astrológia Kepler mal ambivalentný postoj. V tejto veci sa citujú dve jeho vyjadrenia. Najprv: " Samozrejme, táto astrológia je hlúpa dcéra, ale môj bože, kam by sa podela jej matka, veľmi múdra astronómia, keby nemala hlúpu dcéru! Svet je ešte oveľa hlúpejší a taký hlúpy, že v prospech tejto starej rozumnej matky musí hlúpa dcéra klebetiť a klamať. A plat matematikárov je taký mizivý, že matka by asi hladovala, keby jej dcéra nič nezarábala" A po druhé: „ Ľudia robia chybu, keď si to myslia nebeských telies pozemské záležitosti závisia" Kepler však zostavil horoskopy pre seba a svojich blízkych.

Tri zákony pohybu planét vo vzťahu k Slnku empiricky odvodil nemecký astronóm Johannes Kepler na začiatku 17. storočia. To sa podarilo vďaka dlhoročným pozorovaniam dánskeho astronóma Tycha Braheho.

Keplerov prvý zákon. Každá planéta sa pohybuje po elipse so Slnkom v jednom ohnisku.

Druhý Keplerov zákon (zákon o rovnakých plochách). Vektor polomeru planéty opisuje rovnaké oblasti v rovnakých časových úsekoch. Ďalšia formulácia tohto zákona: sektorová rýchlosť planéty je konštantná.

Tretí Keplerov zákon. Druhé mocniny obežných dôb planét okolo Slnka sú úmerné tretím mocničkám hlavných polosí ich eliptických dráh.

Moderná formulácia prvého zákona bola doplnená takto: pri nerušenom pohybe je dráha pohybujúceho sa telesa krivkou druhého rádu – elipsou, parabolou alebo hyperbolou. Na rozdiel od prvých dvoch sa tretí Keplerov zákon vzťahuje len na eliptické dráhy. Rýchlosť planéty v perihéliu:

kde vc je priemerná alebo kruhová rýchlosť planéty pri r = a. Rýchlosť v aféliu: Kepler objavil svoje zákony empiricky. Newton odvodil Keplerove zákony zo zákona univerzálnej gravitácie. Určiť hmotnosti nebeských telies dôležité má Newtonovo zovšeobecnenie tretieho Keplerovho zákona na akúkoľvek sústavu otáčajúcich sa telies.

Tretí Keplerov zákon. Rýchlosti planét blízko Slnka sú oveľa vyššie ako planét vzdialených. Vysvetlenie k obrázku vpravo - Rýchlosti planét blízko Slnka sú oveľa väčšie ako rýchlosti vzdialených. V zovšeobecnenej forme je tento zákon zvyčajne formulovaný takto: druhé mocniny periód T1 a T2 rotácie dvoch telies okolo Slnka, vynásobené súčtom hmotností každého telesa (M1 a M2, v tomto poradí) a Slnka (M), súvisia ako kocky hlavných polosí a1 a a2 ich dráh: Keď V tomto prípade sa interakcia medzi telesami M1 a M2 neberie do úvahy. Ak zanedbáme hmotnosti týchto telies v porovnaní s hmotnosťou Slnka (t.j. M1<< М, M2 << М), то получится формулировка третьего закона, данная самим Кеплером:

Tretí Keplerov zákon možno vyjadriť aj ako vzťah medzi obežnou dobou T telesa s hmotnosťou M a hlavnou polosou obežnej dráhy a (G je gravitačná konštanta):

Tu je potrebné uviesť nasledujúcu poznámku. Pre zjednodušenie sa často hovorí, že jedno teleso sa točí okolo druhého, ale to platí len pre prípad, keď je hmotnosť prvého telesa zanedbateľná v porovnaní s hmotnosťou druhého (priťahujúceho stredu). Ak sú hmotnosti porovnateľné, potom treba brať do úvahy vplyv menej masívneho tela na masívnejšie. V súradnicovom systéme s počiatkom v ťažisku budú obežné dráhy oboch telies kužeľové rezy ležiace v rovnakej rovine a s ohniskami v ťažisku, s rovnakou excentricitou. Rozdiel bude len v lineárnych rozmeroch dráh (ak sú telesá rôznej hmotnosti). V každom okamihu bude ťažisko ležať na priamke spájajúcej stredy telies a vzdialenosti r1 a r2 od ťažísk telies s hmotnosťou M1 a M2 súvisia podľa nasledujúceho vzťahu: : r1/r2 = M2/M1. Periapsis a apocentrá ich dráh (ak je pohyb konečný) telesa tiež prejdú súčasne. Tretí Keplerov zákon možno použiť na určenie hmotnosti dvojhviezd.

Elipsa je definovaná ako miesto bodov, pre ktoré je súčet vzdialeností od dvoch daných bodov (ohniská F1 a F2) konštantnou hodnotou a rovná sa dĺžke hlavnej osi: r1 + r2 = |AA´| = 2a. Stupeň predĺženia elipsy je charakterizovaný jej excentricitou e. Excentricita e = ОF/OA. Keď sa ohniská zhodujú so stredom, e = 0 a elipsa sa zmení na kruh. Hlavná poloos a je priemerná vzdialenosť od ohniska (planéty od Slnka): a = (AF1 + F1A")/2. Keďže pri pohybe pozdĺž elipsy je celková energia záporná, hlavná poloos je väčšia ako nula.Dĺžka vedľajšej poloosi b závisí od sektorovej rýchlosti telesa (t.j. rýchlosti zmeny plochy zmietanej vektorom polomeru).Kruhové dráhy sú degenerovaným prípadom eliptických.Písanie Newtonovej sekundy zákona, zistíme, že kinetická a potenciálna energia telesa na kruhovej dráhe súvisí vzťahom: 2K = –U. Aplikovaním zákona zachovania energie je ľahké získať, že K = –E. kruhový pohyb, súčet celkovej a kinetickej energie je vždy rovný nule Orbitálne prvky charakterizujú tvar, veľkosť a orientáciu v priestore dráhy nebeského telesa, ako aj polohu telesa na tejto dráhe. prvky sú široko používané na opis polohy planéty alebo satelitu.

Najdôležitejšie body a čiary elipsy.

Elipsa je definovaná ako miesto bodov, pre ktoré je súčet vzdialeností od dvoch daných bodov (ohniská F1 a F2) konštantnou hodnotou a rovná sa dĺžke hlavnej osi: r1 + r2 = |AA´| = 2a. Stupeň predĺženia elipsy je charakterizovaný jej excentricitou e. Excentricita e = ОF/OA. Keď sa ohniská zhodujú so stredom, e = 0 a elipsa sa zmení na kruh. Hlavná poloos a je priemerná vzdialenosť od ohniska (planéty od Slnka): a = (AF1 + F1A")/2. S mechanickou energiou telesa súvisí nasledujúcim vzťahom:

Keďže pri pohybe po elipse je celková energia záporná, hlavná poloos je väčšia ako nula. Dĺžka semi-vedľajšej osi b závisí od sektorovej rýchlosti telesa (t. j. od rýchlosti zmeny plochy prejdenej vektorom polomeru): Kruhové dráhy sú degenerovaným prípadom eliptických dráh. Zapísaním druhého Newtonovho zákona zistíme, že kinetická a potenciálna energia telesa na kruhovej dráhe súvisí vzťahom: 2K = –U. Aplikovaním zákona zachovania energie je ľahké zistiť, že K = –E. To. pri kruhovom pohybe je súčet celkovej a kinetickej energie vždy nulový. Orbitálne prvky charakterizujú tvar, veľkosť a orientáciu v priestore obežnej dráhy nebeského telesa, ako aj polohu telesa na tejto obežnej dráhe. V súčasnosti sa na opis polohy planéty alebo satelitu vo veľkej miere používajú oskulačné prvky. Bod obežnej dráhy telesa, ktorý je najbližšie k priťahovaciemu stredu (ohnisku), sa všeobecne nazýva periapsia a najvzdialenejší bod od nej (len pri elipse) sa nazýva apocentrum. Ak je priťahujúcim centrom Zem, potom sa tieto body nazývajú perigeum a apogeum. Najbližší bod k Slnku sa nazýva perihélium, najvzdialenejší sa nazýva afélium. Pre Mesiac budú tieto body perilunion (periselinizácia) a apolunium (aposelion), pre ľubovoľnú hviezdu - periastrón a apoaster. Priamka spájajúca periapsu s ohniskom (hlavná os elipsy, os paraboly alebo skutočná os hyperboly) sa nazýva apsidálna čiara. Vzdialenosť od stredu priťahovania k periapsi je AF1 = a (1 – e), k apocentru – F1A" = a (1 + e). Priemerná vzdialenosť od stredu priťahovania k telesu, ktoré sa okolo neho pohybuje po elipse je rovná dĺžke hlavnej poloosi.

Planéty sa pohybujú okolo Slnka po predĺžených eliptických dráhach, pričom Slnko sa nachádza v jednom z dvoch ohniskových bodov elipsy.

Priama čiara spájajúca Slnko a planétu oddeľuje rovnaké plochy v rovnakých časových úsekoch.

Druhé mocniny periód revolúcie planét okolo Slnka súvisia s kockami hlavných polosí ich obežných dráh.

Johannes Kepler mal zmysel pre krásu. Celý svoj dospelý život sa snažil dokázať, že slnečná sústava je akýmsi mystickým umeleckým dielom. Najprv sa pokúsil prepojiť jej zariadenie s piatimi pravidelné mnohosteny klasickej starogréckej geometrie. (Pravidelný mnohosten je trojrozmerná postava, ktorej všetky tváre sú rovnaké ako pravidelné mnohouholníky.) V čase Keplera bolo známych šesť planét, o ktorých sa verilo, že sú umiestnené na rotujúcich „kryštálových guľách“. Kepler tvrdil, že tieto gule sú usporiadané tak, že pravidelné mnohosteny presne zapadajú medzi susedné gule. Medzi dve vonkajšie sféry – Saturn a Jupiter – umiestnil kocku vpísanú do vonkajšej sféry, do ktorej je zasa vpísaná vnútorná sféra; medzi sférami Jupitera a Marsu - štvorsten (pravidelný štvorsten) atď. * Šesť sfér planét, päť pravidelných mnohostenov vpísaných medzi nimi - zdá sa, že dokonalosť samotná?

Bohužiaľ, po porovnaní svojho modelu s pozorovanými dráhami planét bol Kepler nútený priznať, že skutočné správanie nebeských telies nezapadá do harmonického rámca, ktorý načrtol. Ako výstižne poznamenal súčasný britský biológ J. B. S. Haldane, „myšlienka vesmíru ako geometricky dokonalého umeleckého diela sa ukázala ako ďalšia krásna hypotéza zničená škaredými faktami“. Jediným výsledkom Keplerovho mladíckeho impulzu, ktorý prežil stáročia, bol model slnečnej sústavy, ktorý vyrobil samotný vedec a daroval ho jeho patrónovi vojvodovi Fridrichovi von Württemburg. V tomto nádherne prevedenom kovovom artefakte sú všetky orbitálne sféry planét a v nich vpísané pravidelné mnohosteny duté nádoby, ktoré spolu nekomunikujú a ktoré sa počas sviatkov mali naplniť rôznymi nápojmi na ošetrenie vojvodových hostí.

Až potom, čo sa presťahoval do Prahy a stal sa asistentom slávneho dánskeho astronóma Tycha Braheho (1546 – ​​1601), narazil Kepler na myšlienky, ktoré jeho meno skutočne zvečnili v análoch vedy. Tycho Brahe počas svojho života zbieral údaje z astronomických pozorovaní a nahromadil obrovské množstvo informácií o pohyboch planét. Po jeho smrti sa dostali do vlastníctva Keplera. Mimochodom, tieto záznamy mali v tom čase veľkú komerčnú hodnotu, pretože sa dali použiť na zostavenie rafinovaných astrologických horoskopov (dnes vedci radšej mlčia o tejto časti ranej astronómie).

Pri spracovávaní výsledkov pozorovaní Tycha Braheho stál Kepler pred problémom, ktorý by sa niekomu aj pri moderných počítačoch mohol zdať neriešiteľný a Kepler nemal inú možnosť, ako vykonávať všetky výpočty ručne. Samozrejme, ako väčšina astronómov svojej doby, aj Kepler už poznal koperníkovú heliocentrickú sústavu (pozri Kopernikov princíp) a vedel, že Zem sa točí okolo Slnka, čoho dôkazom je aj vyššie opísaný model slnečnej sústavy. Ale ako presne rotuje Zem a ostatné planéty? Predstavme si problém takto: nachádzate sa na planéte, ktorá sa po prvé otáča okolo svojej osi a po druhé obieha okolo Slnka po pre vás neznámej dráhe. Pri pohľade na oblohu vidíme ďalšie planéty, ktoré sa tiež pohybujú po nám neznámych dráhach. Našou úlohou je určiť na základe pozorovacích údajov o našej zemeguli rotujúcej okolo svojej osi okolo Slnka geometriu obežných dráh a rýchlosti pohybu iných planét. Presne to sa napokon podarilo Keplerovi, na základe čoho na základe získaných výsledkov odvodil svoje tri zákony!

Prvý zákon** popisuje geometriu trajektórií obežných dráh planét. Možno si z kurzu geometrie v škole pamätáte, že elipsa je množina bodov na rovine, pričom súčet vzdialeností, od ktorých k dvom pevným bodom je triky- rovný konštante. Ak je to pre vás príliš komplikované, existuje ďalšia definícia: predstavte si rez bočným povrchom kužeľa rovinou pod uhlom k jeho základni, ktorá neprechádza základňou - to je tiež elipsa. Prvý Keplerov zákon hovorí, že obežné dráhy planét sú elipsy, pričom Slnko je v jednom z ohnísk. Výstrednosti(stupeň predĺženia) dráh a ich vzdialenosť od Slnka v perihélium(bod najbližšie k Slnku) a apohelia(najvzdialenejší bod) všetky planéty sú odlišné, no všetky eliptické dráhy majú jedno spoločné – Slnko sa nachádza v jednom z dvoch ohnísk elipsy. Po analýze pozorovacích údajov Tycha Braheho dospel Kepler k záveru, že obežné dráhy planét sú súborom vnorených elipsov. Pred ním to jednoducho žiadnemu astronómovi nenapadlo.

Historický význam prvého Keplerovho zákona nemožno preceňovať. Pred ním astronómovia verili, že planéty sa pohybujú výlučne po kruhových dráhach, a ak to nezapadá do rámca pozorovaní, hlavný kruhový pohyb bol doplnený o malé kruhy, ktoré planéty opisovali okolo bodov hlavnej kruhovej dráhy. To bol, povedal by som, v prvom rade filozofický postoj, akýsi nemenný fakt, nepodliehajúci pochybnostiam a overovaniu. Filozofi tvrdili, že nebeská štruktúra je na rozdiel od tej pozemskej dokonalá vo svojej harmónii, a keďže najdokonalejšími geometrickými útvarmi sú kruh a guľa, znamená to, že planéty sa pohybujú po kruhu (a ešte dnes musím rozptýliť túto mylnú predstavu medzi mojimi študentmi znova a znova). Hlavná vec je, že keď Johannes Kepler získal prístup k rozsiahlym pozorovacím údajom Tycha Braheho, dokázal tento filozofický predsudok prekonať, pretože nezodpovedal skutočnosti – rovnako ako sa Kopernik odvážil odstrániť Zem zo stredu. vesmíru, konfrontovaní s argumentmi, ktoré boli v rozpore s pretrvávajúcimi geocentrickými myšlienkami, ktoré tiež pozostávali z „nesprávneho správania“ planét na obežných dráhach.

Keplerov skorý geometrický model vesmíru: šesť obiehajúcich planetárnych sfér a päť vpísaných pravidelných mnohostenov medzi nimi

Druhý zákon popisuje zmenu rýchlosti planét okolo Slnka. Jeho formuláciu som už uviedol v jeho formálnej podobe, ale aby ste lepšie pochopili jeho fyzický význam, spomeňte si na svoje detstvo. Pravdepodobne ste už mali možnosť otočiť sa okolo tyče na ihrisku a chytiť ju rukami. V skutočnosti planéty obiehajú okolo Slnka podobným spôsobom. Čím ďalej je eliptická dráha planéty od Slnka, tým je pohyb pomalší; čím je bližšie k Slnku, tým rýchlejšie sa planéta pohybuje. Teraz si predstavte dvojicu úsečiek spájajúcich dve polohy planéty na jej obežnej dráhe s ohniskom elipsy, v ktorej sa nachádza Slnko. Spolu so segmentom elipsy ležiacim medzi nimi tvoria sektor, ktorého oblasťou je práve „oblasť, ktorá je odrezaná segmentom priamej čiary“. Presne o tom hovorí druhý zákon. Čím bližšie je planéta k Slnku, tým sú segmenty kratšie. Ale v tomto prípade, aby sektor pokryl rovnakú oblasť v rovnakom čase, musí planéta prejsť na svojej obežnej dráhe väčšiu vzdialenosť, čo znamená, že sa jej rýchlosť pohybu zvýši.

Prvé dva zákony sa zaoberajú špecifikami obežných dráh jednej planéty. Tretí zákon Kepler umožňuje porovnávať obežné dráhy planét medzi sebou. Hovorí sa, že čím ďalej je planéta od Slnka, tým dlhšie trvá dokončenie úplnej revolúcie pri pohybe na obežnej dráhe a tým dlhšie teda na tejto planéte trvá „rok“. Dnes vieme, že je to spôsobené dvoma faktormi. Po prvé, čím ďalej je planéta od Slnka, tým dlhší je obvod jej obežnej dráhy. Po druhé, so zväčšujúcou sa vzdialenosťou od Slnka klesá aj lineárna rýchlosť pohybu planéty.

Kepler vo svojich zákonoch jednoducho uviedol fakty, po preštudovaní a zovšeobecnení výsledkov pozorovaní. Ak by ste sa ho spýtali, čo spôsobilo elipticitu dráh alebo rovnosť plôch sektorov, neodpovedal by vám. To jednoducho vyplývalo z jeho analýzy. Ak by ste sa ho opýtali na orbitálny pohyb planét v iných hviezdnych sústavách, tiež by vám nemal čo odpovedať. Musel by začať odznova – zhromaždiť pozorovacie údaje, potom ich analyzovať a pokúsiť sa identifikovať vzory. To znamená, že by jednoducho nemal dôvod veriť, že iný planetárny systém sa riadi rovnakými zákonmi ako slnečná sústava.

Jeden z najväčších triumfov Newtonovej klasickej mechaniky spočíva práve v tom, že poskytuje zásadné zdôvodnenie Keplerovych zákonov a potvrdzuje ich univerzálnosť. Ukazuje sa, že Keplerove zákony môžu byť odvodené z Newtonových zákonov mechaniky, Newtonovho zákona univerzálnej gravitácie a zákona zachovania momentu hybnosti pomocou prísnych matematických výpočtov. A ak áno, môžeme si byť istí, že Keplerove zákony platia rovnako pre akýkoľvek planetárny systém kdekoľvek vo vesmíre. Astronómovia, ktorí vo vesmíre hľadajú nové planetárne systémy (a veľa z nich už bolo objavených) čas od času, samozrejme, používajú Keplerove rovnice na výpočet parametrov obežných dráh vzdialených planét, hoci ich nemôžu priamo pozorovať. .

Tretí Keplerov zákon hral a stále hrá dôležitú úlohu v modernej kozmológii. Pozorovaním vzdialených galaxií astrofyzici detegujú slabé signály vyžarované atómami vodíka obiehajúcimi po veľmi vzdialených dráhach od galaktického stredu – oveľa ďalej, než sú zvyčajne hviezdy. Pomocou Dopplerovho javu v spektre tohto žiarenia vedci určujú rýchlosti rotácie vodíkovej periférie galaktického disku a z nich uhlové rýchlosti galaxií ako celku (pozri aj Temnú hmotu). Som rád, že diela vedca, ktorý nás pevne priviedol na cestu k správnemu pochopeniu štruktúry našej slnečnej sústavy, a dnes, stáročia po jeho smrti, hrajú takú dôležitú úlohu pri štúdiu štruktúry obrovskej Vesmír.

* Medzi sférami Marsu a Zeme je dvanásťsten (dvanásťsten); medzi sférami Zeme a Venuše - dvadsaťsten (dvadsaťsten); medzi sférami Venuše a Merkúra sa nachádza osemsten (oktaedr). Výsledný návrh predstavil Kepler v priereze v detailnom trojrozmernom nákrese (pozri obrázok) vo svojej prvej monografii „The Cosmographic Mystery“ (Mysteria Cosmographica, 1596). - Poznámka prekladateľa.

** Historicky sú Keplerove zákony (podobne ako princípy termodynamiky) očíslované nie podľa chronológie ich objavu, ale podľa poradia ich chápania vo vedeckých kruhoch. V skutočnosti bol prvý zákon objavený v roku 1605 (publikovaný v roku 1609), druhý v roku 1602 (publikovaný v roku 1609) a tretí v roku 1618 (publikovaný v roku 1619). - Poznámka prekladateľa.

Keplerova formulácia:

Planéta sa pohybuje pozdĺž elipsy, v jednom z ohniskov, v ktorom sa nachádza Slnko.

Newton to zovšeobecňuje: po prvé možno uvažovať o sústave hviezda – hviezda (dvojhviezda), planéta – satelit; po druhé, menšie teleso sa môže pohybovať po parabole alebo hyperbole (obr. 33).

Moderné znenie:

V gravitačne viazanom systéme telo B sa pohybuje po elipse, v jednom z ohniskov ktorej je teleso A. Excentricita elipsy je určená číselnou hodnotou celkovej energie sústavy. V gravitačne neviazanom systéme sa teleso B pohybuje pozdĺž paraboly ( E= 0) alebo hyperbolou ( E> 0), ktorých ohniskami sú telo A.

Elipsa

Elipsa (obr. 33) je pretiahnutý kruh s vlastnosťou, že existujú dva body (ohniská elipsy F 1 A F 2, pre ktorú je splnená podmienka: súčet vzdialeností ohnísk od ktoréhokoľvek bodu elipsy je konštantný ( F 1C + F 2C = F 1E + F 2E= const), t.j. nezávisí od zvoleného bodu na elipse).

Segment čiary AB sa nazýva hlavná os, respektíve segment A.O. = O.B.- hlavná os (akceptované označenie a), segmenty CD A O.C.- vedľajšia os a poloos b. Veľkosť elipsy je určená hlavnou poloosou, tvar je určený excentricitou e = √(1 - b 2 / a 2). O e= 0 sa elipsa zvrhne do kruhu, keď e= 1 - do paraboly, s e> 1 - do hyperboly, ktorá je lepšie znázornená ako graf funkcie r = 1 / X, otočené o 45°. Elipsa má hlavnú poloos a> 0, blízko paraboly a= ∞ pre hyperbolu a < 0, что, конечно, только математиче-ская абстракция.

Vektor polomeru planéty opisuje rovnaké oblasti v rovnakých časových úsekoch (obr. 34).

Toto tvrdenie je podobné tomu, že rýchlosť pohybu klesá so vzdialenosťou od Slnka, respektíve ide o zákon zachovania momentu hybnosti.

Ak spočítate počet dní od jarnej rovnodennosti (21. marca) do jesennej rovnodennosti (23. septembra) a od 23. septembra do 21. marca budúceho roka, vyjde vám, že prvé obdobie je 7 dní. dlhšia ako tá druhá. Inými slovami, Zem sa v zime pohybuje rýchlejšie ako v lete, preto je v zime bližšie k Slnku. Zem prejde najbližším bodom svojej obežnej dráhy k Slnku – perihéliom – 6. januára.

Zákon zachovania momentu hybnosti

Spád ( K = mvr) je fyzikálna veličina vhodná na opísanie pohybu bodu po kružnici alebo elipse, parabole, hyperbole, ako aj na opísanie rotácie tuhého telesa. Zákon zachovania momentu hybnosti(ako zákony zachovania hybnosti a energie) je jedným z troch základných prírodných zákonov. Podľa Noetherovej vety je tento zákon dôsledkom izotropie (rovnosti všetkých smerov) Vesmíru.

Pomer tretej polomery hlavnej osi planétovej dráhy k tretej mocnine periódy rotácie planéty okolo Slnka sa rovná súčtu hmotností Slnka a planéty (v Newtonovej formulácii):

a 3 / T 2 = (G/ 4π 2) . ( M + m),Materiál zo stránky

Kde M A m— hmotnosti telies systému; a A T— hlavná poloos a perióda otáčania menšieho telesa (planéta, satelit); G- gravitačná konštanta.

Je potrebné dávať pozor na konštantný faktor na pravej strane. Vo vzorci sa uvádza v jednotkách SI, ale v astronómii sa používa astronomická jednotka dĺžky (namiesto metra), rok (namiesto sekundy) a hmotnosť Slnka (namiesto kilogramu). Potom, ako je ľahké vidieť, ak zanedbáme hmotnosť planéty vo vzťahu k hmotnosti Slnka, konštantný faktor v tomto vzorci sa rovná jednej.

Tretí Keplerov zákon poskytuje jedinú možnosť priamo určiť hmotnosť nebeského telesa (napr.