Wastani wa pembetatu inayotolewa kutoka kwenye kipeo cha pembe ya kulia. Sifa za wastani wa pembetatu ya kulia
1. Wastani hugawanya pembetatu katika pembetatu mbili za eneo sawa.
2. Wastani wa pembetatu huingiliana kwa hatua moja, ambayo hugawanya kila mmoja wao kwa uwiano wa 2: 1, kuhesabu kutoka kwa vertex. Hatua hii inaitwa kituo cha mvuto pembetatu.
3. Pembetatu nzima imegawanywa na wa kati wake katika pembetatu sita sawa.
Tabia za sehemu za pembetatu
1. Sehemu mbili za pembe ni eneo la pointi zinazolingana kutoka pande za pembe hii.
2. Sehemu mbili za pembe ya ndani ya pembetatu hugawanya upande wa kinyume katika sehemu sawia na pande zilizo karibu:.
3. Hatua ya makutano ya bisectors ya pembetatu ni katikati ya mduara iliyoandikwa katika pembetatu hii.
Tabia za urefu wa pembetatu
1. Katika pembetatu ya kulia, urefu unaotolewa kutoka kwenye vertex pembe ya kulia, huigawanya katika pembetatu mbili sawa na ile ya awali.
2. Katika pembetatu ya papo hapo, mbili za urefu wake hukata sawa kutoka kwake pembetatu.
Sifa za bisectors perpendicular ya pembetatu
1. Kila sehemu ya kipenyo cha pembetatu kwa sehemu ni sawa kutoka ncha za sehemu hii. Mazungumzo pia ni ya kweli: kila nukta inayolingana kutoka ncha za sehemu iko kwenye sehemu ya pembetatu inayoizunguka.
2. Hatua ya makutano ya bisectors perpendicular inayotolewa kwa pande za pembetatu ni katikati ya mduara unaozunguka juu ya pembetatu hii.
Mali ya mstari wa kati wa pembetatu
Mstari wa kati wa pembetatu ni sambamba na moja ya pande zake na ni sawa na nusu ya upande huo.
Kufanana kwa pembetatu
Pembetatu mbili sawa ikiwa moja ya masharti yafuatayo, inaitwa ishara za kufanana:
· pembe mbili za pembetatu moja ni sawa na pembe mbili za pembetatu nyingine;
· pande mbili za pembetatu moja ni sawia na pande mbili za pembetatu nyingine, na pembe zinazoundwa na pande hizi ni sawa;
· pande tatu za pembetatu moja kwa mtiririko huo ni sawia na pande tatu za pembetatu nyingine.
Katika pembetatu sawa, mistari inayofanana (urefu, wastani, bisectors, nk) ni sawia.
Nadharia ya sines
Nadharia ya Cosine
a 2= b 2+ c 2- 2bc cos
Njia za eneo la pembetatu
1. Pembetatu ya bure
a, b, c - pande; - pembe kati ya pande a Na b; - nusu ya mzunguko; R- radius ya mduara iliyozunguka; r- radius ya mduara ulioandikwa; S- mraba; h a - urefu inayotolewa kwa 
upande a.
S = ah
S = ab dhambi
S = pr
2. Pembetatu ya kulia
a, b - miguu; c- hypotenuse; h c - urefu inayotolewa kwa upande c.
S = ch c S = ab
3. Pembetatu ya usawa
Mipaka ya pembe nne
Tabia za parallelogram 
· pande tofauti ni sawa;
· pembe kinyume ni sawa;
· diagonals imegawanywa katika nusu na hatua ya makutano;
· jumla ya pembe zilizo karibu na upande mmoja ni 180 °;
Jumla ya miraba ya diagonal ni sawa na jumla ya miraba ya pande zote:
d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2).
Upande wa nne ni sambamba ikiwa:
1. Pande zake mbili kinyume ni sawa na sambamba.
2. Pande zinazopingana ni sawa katika jozi.
3. Pembe zinazopingana ni sawa katika jozi.
4. Ulalo umegawanywa katika nusu na hatua ya makutano.
Tabia za trapezoid
· mstari wake wa kati ni sambamba na besi na sawa na nusu-jumla yao;
· ikiwa trapezoid ni isosceles, basi diagonal zake ni sawa na pembe kwenye msingi ni sawa;
· ikiwa trapezoid ni isosceles, basi mduara unaweza kuelezewa karibu nayo;
· ikiwa jumla ya besi ni sawa na jumla ya pande, basi mduara unaweza kuandikwa ndani yake.
Sifa za Mstatili
Ulalo ni sawa.
Sambamba ni mstatili ikiwa:
1. Moja ya pembe zake ni sawa.
2. Ulalo wake ni sawa.
Tabia za rhombus
· sifa zote za parallelogram;
Diagonals ni perpendicular;
Ulalo ni sehemu mbili za pembe zake.
1. Sambamba ni rhombus ikiwa:
2. Pande zake mbili zinazokaribiana ni sawa.
3. Ulalo wake ni perpendicular.
4. Moja ya diagonals ni bisector ya angle yake.
Mali ya mraba
· pembe zote za mraba ziko sawa;
· diagonal za mraba ni sawa, kwa pande zote mbili perpendicular, hatua ya makutano hutenganisha na kugawanya pembe za mraba.
Mstatili ni mraba ikiwa ina sifa yoyote ya rhombus.
Kanuni za msingi
1. Upande wowote wa mbonyeo wa pembe nne 
d 1,d 2 - diagonals; - pembe kati yao; S- mraba.
S = d 1 d 2 dhambi
Kumbuka. KATIKA somo hili kuweka nje nyenzo za kinadharia na kutatua matatizo ya jiometri kwenye mada "wastani katika pembetatu ya kulia." Ikiwa unahitaji kutatua shida ya jiometri ambayo haipo hapa, andika juu yake kwenye jukwaa. Bila shaka hakika itaongezewa.
Sifa za wastani wa pembetatu ya kulia
Kuamua wastani
- Wastani wa pembetatu huingiliana kwa hatua moja na kugawanywa na hatua hii katika sehemu mbili kwa uwiano wa 2: 1, kuhesabu kutoka kwa vertex ya angle. Sehemu ya makutano yao inaitwa kitovu cha mvuto wa pembetatu (mara chache sana katika shida neno "centroid" hutumiwa kuashiria hatua hii),
- Wastani hugawanya pembetatu katika pembetatu mbili za ukubwa sawa.
- Pembetatu imegawanywa na wapatanishi watatu katika pembetatu sita sawa.
- Upande mkubwa wa pembetatu unalingana na wastani mdogo.
Shida za jiometri zinazopendekezwa kwa suluhisho hasa hutumia zifuatazo sifa za wastani wa pembetatu ya kulia.
- Jumla ya miraba ya mizani iliyodondoshwa kwenye miguu ya pembetatu ya kulia ni sawa na miraba mitano ya wastani iliyodondoshwa kwenye hypotenuse (Mfumo wa 1)
- Median imeshuka hadi hypotenuse ya pembetatu ya kulia sawa na nusu ya hypotenuse(Mfumo wa 2)
- Wastani wa hypotenuse ya pembetatu ya kulia ni sawa na kipenyo cha duara kilichozungushwa iliyopewa pembetatu ya kulia (Mfumo wa 2)
- wastani imeshuka kwa hypotenuse ni sawa na nusu ya mzizi wa mraba wa jumla ya miraba ya miguu(Mfumo wa 3)
- Wastani uliopunguzwa hadi hypotenuse ni sawa na mgawo wa urefu wa mguu uliogawanywa na sines mbili za mguu wa kinyume. angle ya papo hapo(Mfumo wa 4)
- Wastani ulioshushwa hadi hypotenuse ni sawa na mgawo wa urefu wa mguu uliogawanywa na kosini mbili za pembe ya papo hapo karibu na mguu (Mfumo wa 4)
- Jumla ya miraba ya pande za pembetatu ya kulia ni sawa na miraba minane ya wastani iliyoshuka hadi hypotenuse yake (Mfumo wa 5)
Nukuu katika fomula:
a, b- miguu ya pembetatu ya kulia
c- hypotenuse ya pembetatu ya kulia
Ikiwa tunaashiria pembetatu kama ABC, basi
BC = A
(yaani pande a,b,c- ni kinyume na pembe zinazolingana)
m a- wastani unaotolewa kwa mguu a
m b- wastani unaotolewa kwa mguu b
m c - wastani wa pembetatu ya kulia, inayotolewa kwa hypotenuse na
alpha (alpha)- pembe CAB kinyume upande a
Tatizo kuhusu wastani katika pembetatu ya kulia
Wastani wa pembetatu ya kulia inayotolewa kwa miguu ni sawa na 3 cm na 4 cm, mtawaliwa. Pata hypotenuse ya pembetatu
Suluhisho
Kabla ya kuanza kutatua tatizo, hebu tuzingatie uwiano wa urefu wa hypotenuse ya pembetatu ya kulia na ya kati, ambayo hupunguzwa juu yake. Ili kufanya hivyo, wacha tugeuke kwenye fomula 2, 4, 5 sifa za wastani katika pembetatu ya kulia. Njia hizi zinaonyesha wazi uwiano wa hypotenuse na wastani, ambayo hupunguzwa ndani yake kama 1 hadi 2. Kwa hiyo, kwa urahisi wa mahesabu ya baadaye (ambayo hayataathiri usahihi wa suluhisho kwa njia yoyote, lakini itafanya kuwa zaidi. rahisi), tunaashiria urefu wa miguu AC na BC kwa vigezo x na y kama 2x na 2y (si x na y).
Fikiria pembetatu sahihi ya ADC. Angle C ni sawa kulingana na hali ya tatizo, mguu AC ni wa kawaida na pembetatu ABC, na CD ya mguu ni sawa na nusu BC kulingana na mali ya wastani. Kisha, kulingana na theorem ya Pythagorean
AC 2 + CD 2 = AD 2
Kwa kuwa AC = 2x, CD = y (kwa kuwa wastani hugawanya mguu katika sehemu mbili sawa), basi
4x 2 + y 2 = 9
Wakati huo huo, zingatia pembetatu sahihi EBC. Pia ina angle ya moja kwa moja C kulingana na hali ya tatizo, mguu BC ni kawaida na mguu BC wa awali. pembetatu ABC, na mguu EC, kwa mali ya wastani, ni sawa na nusu ya mguu AC ya pembetatu ya awali ABC.
Kulingana na nadharia ya Pythagorean:
EC 2 + BC 2 = BE 2
Kwa kuwa EC = x (wastani hugawanya mguu kwa nusu), BC = 2y, basi
x 2 + 4y 2 = 16
Kwa kuwa pembetatu ABC, EBC na ADC zimeunganishwa kwa pande zinazofanana, milinganyo inayotokana nayo pia imeunganishwa.
Wacha tusuluhishe mfumo unaotokana wa equations.
4x 2 + y 2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16
Pembetatu ni poligoni yenye pande tatu, au mstari uliofungwa uliovunjika na viungo vitatu, au takwimu inayoundwa na sehemu tatu zinazounganisha pointi tatu ambazo hazilala kwenye mstari sawa sawa (tazama Mchoro 1).
Vipengele vya msingi vya pembetatu abc
Vilele - pointi A, B na C;
Vyama - sehemu a = BC, b = AC na c = AB zinazounganisha wima;
Pembe - α, β, γ iliyoundwa na jozi tatu za pande. Pembe mara nyingi huteuliwa kwa njia sawa na wima, na herufi A, B, na C.
Pembe inayoundwa na pande za pembetatu na kulala katika eneo lake la ndani inaitwa angle ya mambo ya ndani, na moja iliyo karibu nayo ni pembe ya karibu ya pembetatu (2, p. 534).
Urefu, wastani, sehemu mbili na mistari ya kati ya pembetatu
Mbali na mambo makuu katika pembetatu, makundi mengine yenye mali ya kuvutia yanazingatiwa pia: urefu, wapatanishi, bisectors na midlines.
Urefu
Urefu wa pembetatu- hizi ni perpendiculars imeshuka kutoka kwa wima ya pembetatu hadi pande tofauti.
Ili kupanga urefu, lazima ufanye hatua zifuatazo:
1) chora mstari wa moja kwa moja ulio na moja ya pande za pembetatu (ikiwa urefu hutolewa kutoka kwa vertex ya pembe ya papo hapo kwenye pembetatu ya obtuse);
2) kutoka kwa vertex iliyo kinyume na mstari uliopangwa, chora sehemu kutoka kwa uhakika hadi mstari huu, ukifanya pembe ya digrii 90 nayo.
Mahali ambapo urefu huingilia upande wa pembetatu inaitwa msingi wa urefu (tazama Mchoro 2).
Tabia za urefu wa pembetatu
Katika pembetatu ya kulia, urefu unaotolewa kutoka kwenye kipeo cha pembe ya kulia huigawanya katika pembetatu mbili sawa na pembetatu ya awali.
Katika pembetatu ya papo hapo, miinuko yake miwili hukata pembetatu zinazofanana kutoka kwake.
Ikiwa pembetatu ni ya papo hapo, basi besi zote za urefu ni za pande za pembetatu, na katika pembetatu ya obtuse, urefu mbili huanguka juu ya kuendelea kwa pande.
Miinuko mitatu katika pembetatu ya papo hapo huingiliana kwa hatua moja na hatua hii inaitwa kituo cha orthocenter pembetatu.
Wastani
Wapatanishi(kutoka Kilatini mediana - "katikati") - hizi ni sehemu zinazounganisha wima za pembetatu na sehemu za kati za pande tofauti (tazama Mchoro 3).
Ili kuunda wastani, lazima ufanye hatua zifuatazo:
1) pata katikati ya upande;
2) kuunganisha hatua ambayo ni katikati ya upande wa pembetatu na vertex kinyume na sehemu.
Sifa za wapatanishi wa pembetatu
Wastani hugawanya pembetatu katika pembetatu mbili za eneo sawa.
Wastani wa pembetatu huingiliana kwa hatua moja, ambayo hugawanya kila mmoja wao kwa uwiano wa 2: 1, kuhesabu kutoka kwa vertex. Hatua hii inaitwa kituo cha mvuto pembetatu.
Pembetatu nzima imegawanywa na wapatanishi wake katika pembetatu sita sawa.
Bisector
Sehemu mbili(kutoka Kilatini bis - mara mbili na seko - kata) ni sehemu za mstari wa moja kwa moja zilizofungwa ndani ya pembetatu ambayo hupunguza pembe zake (tazama Mchoro 4).
Ili kuunda bisector, lazima ufanye hatua zifuatazo:
1) jenga ray inayotoka kwenye vertex ya angle na kuigawanya katika sehemu mbili sawa (bisector ya angle);
2) pata hatua ya makutano ya bisector ya pembe ya pembetatu na upande wa pili;
3) chagua sehemu inayounganisha vertex ya pembetatu na hatua ya makutano upande wa pili.
Tabia za sehemu za pembetatu
Bisector ya pembe ya pembetatu hugawanya upande wa kinyume katika uwiano sawa na uwiano wa pande mbili zilizo karibu.
Sehemu mbili pembe za ndani pembetatu huingiliana kwa hatua moja. Hatua hii inaitwa katikati ya mduara ulioandikwa.
Bisectors ya pembe za ndani na nje ni perpendicular.
Ikiwa sehemu mbili ya pembe ya nje ya pembetatu inaingilia upanuzi wa upande wa kinyume, basi ADBD=ACBC.
Vipengee viwili vya pembe moja ya ndani na mbili za nje za pembetatu huingiliana kwa hatua moja. Hatua hii ni katikati ya moja ya miduara mitatu ya pembetatu hii.
Misingi ya vipengee viwili vya pembe mbili za ndani na moja za nje za pembetatu ziko kwenye mstari sawa sawa ikiwa sehemu ya pembetatu ya nje hailingani na upande wa pili wa pembetatu.
Ikiwa sehemu mbili za pembe za nje za pembetatu hazifanani pande tofauti, basi misingi yao iko kwenye mstari sawa sawa.
Wakati wa kusoma mada yoyote kwenye kozi ya shule, unaweza kuchagua kiwango cha chini cha shida, na baada ya kujua njia za kuzitatua, wanafunzi wataweza kutatua shida yoyote katika kiwango cha mahitaji ya programu kwenye mada inayosomwa. Ninapendekeza kuzingatia shida ambazo zitakuruhusu kuona uhusiano wa mada ya mtu binafsi katika kozi ya hisabati ya shule. Kwa hiyo, mfumo uliokusanywa wa kazi ni njia za ufanisi kurudia, jumla na utaratibu nyenzo za elimu wakati wa kuandaa wanafunzi kwa mtihani.
Ili kupitisha mtihani haitakuwa superfluous maelezo ya ziada kuhusu baadhi ya vipengele vya pembetatu. Hebu fikiria mali ya wastani wa pembetatu na matatizo katika kutatua ambayo mali hizi zinaweza kutumika. Kazi zilizopendekezwa hutekeleza kanuni ya utofautishaji wa ngazi. Kazi zote zimegawanywa katika viwango (kiwango kinaonyeshwa kwenye mabano baada ya kila kazi).
Hebu tukumbuke baadhi ya sifa za wastani wa pembetatu
Mali 1. Thibitisha kuwa wastani wa pembetatu ABC, inayotolewa kutoka kwenye vertex A, chini ya nusu ya jumla ya pande AB Na A.C..
Ushahidi
https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}
Mali 2. Wastani hukata pembetatu katika maeneo mawili sawa.
Ushahidi
Hebu tuchore kutoka kwenye kipeo B cha pembetatu ABC BD ya wastani na urefu BE..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}
Kwa kuwa sehemu ya BD ndiyo ya wastani, basi
Q.E.D.
https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} Mali 4. Wastani wa pembetatu hugawanya pembetatu katika pembetatu 6 sawa.
Ushahidi
Wacha tuthibitishe kuwa eneo la kila pembetatu sita ambalo wapatanishi hugawanya pembetatu ABC ni sawa na eneo la pembetatu ABC. Ili kufanya hivyo, fikiria, kwa mfano, pembetatu AOF na kuacha AK perpendicular kutoka vertex A hadi mstari wa BF.
Kwa sababu ya mali 2,
https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}
Mali 6. Wastani katika pembetatu ya kulia inayotolewa kutoka kwenye kipeo cha pembe ya kulia ni sawa na nusu ya hypotenuse.
Ushahidi
https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}
Matokeo:1. Katikati ya duara iliyozungukwa kuhusu pembetatu ya kulia iko katikati ya hypotenuse.
2. Ikiwa katika pembetatu urefu wa wastani ni sawa na nusu ya urefu wa upande ambao hutolewa, basi pembetatu hii ni ya kulia.
KAZI
Wakati wa kutatua kila tatizo linalofuata, mali zilizothibitishwa hutumiwa.
№1 Mada: Kuongeza wastani maradufu. Ugumu: 2+
Ishara na mali ya parallelogram Madarasa: 8,9
Hali
Juu ya muendelezo wa wastani A.M. pembetatu ABC kwa pointi M sehemu imeahirishwa M.D., sawa A.M.. Kuthibitisha kwamba quadrilateral ABDC- parallelogram.
Suluhisho
Hebu tumia moja ya ishara za parallelogram. Ulalo wa pembe nne ABDC vuka kwa uhakika M na kuigawanya katika nusu, hivyo quadrilateral ABDC- parallelogram.
Tafuta
Tunaweza kukuarifu kuhusu makala mpya,