Sheria za Kepler na maana yao. Sheria za Kepler.pptx - Sheria za Kepler. I. Ugunduzi wa Kepler wa sheria za mwendo wa sayari. Ugunduzi wa sheria ya uvutano wa ulimwengu wote na sheria za jumla za Kepler. Uamuzi wa wingi wa miili ya mbinguni

Sura ya duaradufu na kiwango cha kufanana kwake na duara ni sifa ya uhusiano, wapi c- umbali kutoka katikati ya duaradufu hadi lengo lake (nusu ya umbali wa kuingiliana); a- mhimili mkubwa wa nusu. Ukubwa e inaitwa eccentricity ya duaradufu. Saa c= 0 na e= 0 duaradufu hugeuka kuwa duara.

Uthibitisho wa sheria ya kwanza ya Kepler

Sheria mvuto wa ulimwengu wote Newton anasema kwamba "kila kitu katika ulimwengu huvutia kila kitu kingine kwenye mstari unaounganisha vituo vya wingi wa vitu, kwa uwiano wa wingi wa kila kitu, na kinyume chake uwiano wa mraba wa umbali kati ya vitu." Hii inadhania kwamba kuongeza kasi a ina sura

Katika fomu ya kuratibu tunaandika

Kubadilisha na katika equation ya pili, tunapata

ambayo ni rahisi

Baada ya kuunganishwa, tunaandika usemi

kwa baadhi ya mara kwa mara, ambayo ni kasi maalum ya angular ().

Equation ya mwendo katika mwelekeo inakuwa sawa

Sheria ya Newton ya uvutano wa ulimwengu wote inahusisha nguvu kwa kila kitengo na umbali kama

Wapi G- mara kwa mara mvuto wa ulimwengu wote na M- wingi wa nyota.

Matokeo yake

Hii equation tofauti ina suluhisho la jumla:

kwa viunga vya ujumuishaji wa kiholela e na θ0.

Kubadilisha u kwa 1/ r na kuweka θ 0 = 0, tunapata:

Tumepata mlinganyo wa sehemu ya koni na usawaziko e na asili ya mfumo wa kuratibu katika moja ya foci. Kwa hivyo, sheria ya kwanza ya Kepler inafuata moja kwa moja kutoka kwa sheria ya Newton ya uvutano wa ulimwengu wote na sheria ya pili ya Newton.

Sheria ya Pili ya Kepler (Sheria ya Maeneo)

Sheria ya pili ya Kepler.

Kila sayari husogea katika ndege inayopita katikati ya Jua, na kwa nyakati sawa vekta ya radius inayounganisha Jua na sayari hufagia sekta za eneo sawa.

Kuhusiana na mfumo wetu wa Jua, dhana mbili zinahusishwa na sheria hii: perihelion- hatua ya obiti karibu na Jua, na aphelion- hatua ya mbali zaidi ya obiti. Kwa hivyo, kutoka kwa sheria ya pili ya Keppler inafuata kwamba sayari huzunguka Jua bila usawa, ikiwa na kasi kubwa ya mstari kwenye perihelion kuliko aphelion.

Kila mwaka mwanzoni mwa Januari, Dunia husogea kwa kasi zaidi inapopita kwenye pembezoni, kwa hivyo harakati inayoonekana ya Jua kando ya jua la jua kuelekea mashariki pia hufanyika haraka kuliko wastani wa mwaka. Mwanzoni mwa Julai, Dunia, inayopita aphelion, inakwenda polepole zaidi, na kwa hiyo harakati ya Jua pamoja na ecliptic hupungua. Sheria ya maeneo inaonyesha kwamba nguvu inayoongoza mwendo wa mzunguko wa sayari inaelekezwa kuelekea Jua.

Uthibitisho wa sheria ya pili ya Kepler

Kwa ufafanuzi, kasi ya angular ya chembe ya uhakika yenye wingi m na kasi imeandikwa kama:

iko wapi vekta ya radius ya chembe na ni kasi ya chembe.

Kwa ufafanuzi

Matokeo yake tunayo

Wacha tutofautishe pande zote mbili za mlinganyo kwa heshima na wakati

kwa sababu bidhaa ya vector vekta sambamba ni sawa na sifuri. Kumbuka hilo F daima sambamba r, kwa kuwa nguvu ni radial, na uk daima sambamba v kwa ufafanuzi. Kwa hivyo tunaweza kusema kwamba ni mara kwa mara.

Sheria ya Tatu ya Kepler (Sheria ya Harmonic)

Miraba ya vipindi vya mapinduzi ya sayari zinazozunguka Jua yanahusiana kama vijiti vya mihimili mikubwa ya mizunguko ya sayari.

Wapi T 1 na T 2 ni vipindi vya mapinduzi ya sayari mbili kuzunguka Jua, na a 1 na a 2 - urefu wa axes semimajor ya obiti zao.

Newton aligundua kuwa kivutio cha mvuto cha sayari ya misa fulani inategemea tu umbali wake, na sio kwa mali zingine kama vile muundo au joto. Pia alionyesha kuwa sheria ya tatu ya Kepler sio sahihi kabisa - kwa kweli, pia inajumuisha wingi wa sayari: M ni wingi wa Jua, na m 1 na m 2 - misa ya sayari.

Kwa kuwa mwendo na wingi hupatikana kuwa na uhusiano, mchanganyiko huu wa sheria ya uelewano ya Kepler na sheria ya uvutano ya Newton hutumiwa kubainisha wingi wa sayari na satelaiti ikiwa mizunguko yao na vipindi vya obiti vinajulikana.

Uthibitisho wa sheria ya tatu ya Kepler

Sheria ya pili ya Kepler inasema kwamba vekta ya radius ya mwili unaozunguka hufagia maeneo sawa katika muda sawa. Ikiwa sasa tunachukua vipindi vidogo sana wakati ambapo sayari iko kwenye pointi A Na B(perihelion na aphelion), basi tunaweza kukadiria eneo hilo kwa pembetatu na urefu sawa na umbali kutoka sayari hadi Jua, na msingi sawa na bidhaa ya kasi na wakati wa sayari.

Kutumia sheria ya uhifadhi wa nishati kwa jumla ya nishati ya sayari kwa pointi A Na B, tuandike

Sasa kwa kuwa tumepata V B, tunaweza kupata kasi ya kisekta. Kwa kuwa ni mara kwa mara, tunaweza kuchagua hatua yoyote ya duaradufu: kwa mfano, kwa uhakika B tunapata

Walakini, jumla ya eneo la duaradufu ni (ambayo ni sawa na π ab, kwa sababu). Kwa hiyo wakati wa mapinduzi kamili ni sawa na

Kumbuka kwamba kama wingi m si kidogo ukilinganisha na M, kisha sayari itazunguka Jua kwa kasi sawa na katika obiti sawa na sehemu ya nyenzo inayozunguka misa. M + m(cm.

"Aliishi katika zama ambazo bado hakuna imani katika kuwepo kwa baadhi muundo wa jumla kwa matukio yote ya asili ...

Imani yake ilikuwa ya kina kiasi gani katika muundo kama huo, ikiwa, akifanya kazi peke yake, hakuungwa mkono au kueleweka na mtu yeyote, kwa miongo mingi alipata nguvu kutoka kwake kwa kazi ngumu na yenye uchungu? utafiti wa majaribio mienendo ya sayari na sheria za hisabati za harakati hii!

Leo, wakati kitendo hiki cha kisayansi tayari kimetimizwa, hakuna anayeweza kufahamu kikamili jinsi werevu mwingi, kiasi gani cha bidii na subira ilihitajika ili kugundua sheria hizi na kuzieleza kwa usahihi sana” (Albert Einstein juu ya Kepler).

Johannes Kepler aligundua kwanza sheria ya mwendo wa sayari mfumo wa jua. Lakini alifanya hivyo kwa msingi wa uchanganuzi wa uchunguzi wa nyota wa Tycho Brahe. Kwa hivyo, tuzungumze juu yake kwanza.

Tycho Brahe (1546-1601)

Tycho Brahe - Mwanaastronomia wa Denmark, mnajimu na alkemia wa Renaissance. Kepler alikuwa wa kwanza barani Ulaya kuanza kufanya uchunguzi wa kinajimu kwa utaratibu na usahihi wa hali ya juu, kwa msingi ambao Kepler alipata sheria za mwendo wa sayari.

Alianza kupendezwa na unajimu akiwa mtoto, akafanya uchunguzi wa kujitegemea, na kuunda ala kadhaa za unajimu. Siku moja (Novemba 11, 1572), akirudi nyumbani kutoka kwa maabara ya kemikali, aliona jambo lisilo la kawaida. nyota angavu, ambayo haikuwepo hapo awali. Mara moja akagundua kuwa hii haikuwa sayari na akakimbilia kupima kuratibu zake. Nyota iling'aa angani kwa miezi 17 nyingine; mwanzoni ilionekana hata wakati wa mchana, lakini hatua kwa hatua mwanga wake ulipungua. Huu ulikuwa mlipuko wa kwanza wa supernova katika Galaxy yetu katika miaka 500. Tukio hili lilisisimua Uropa nzima; kulikuwa na tafsiri nyingi za "ishara ya mbinguni" - majanga, vita, magonjwa ya milipuko na hata mwisho wa ulimwengu ulitabiriwa. Nakala za kisayansi pia zilionekana zenye taarifa potofu kwamba ilikuwa comet au hali ya anga. Mnamo 1573, kitabu chake cha kwanza, "On the New Star," kilichapishwa. Ndani yake, Brahe aliripoti kwamba hakuna parallax (mabadiliko katika nafasi inayoonekana ya kitu kuhusiana na mandharinyuma ya mbali kulingana na nafasi ya mwangalizi) iligunduliwa kwenye kitu hiki, na hii inathibitisha kwa uthabiti kwamba mwangaza mpya ni nyota, na haipo karibu na Dunia, lakini angalau kwa umbali wa sayari. Kwa kuonekana kwa kitabu hiki, Tycho Brahe alitambuliwa kama mwanaastronomia wa kwanza wa Denmark. Mnamo 1576, kwa amri ya mfalme wa Denmark-Norwe Frederick II, Tycho Brahe alipewa kisiwa cha Ven kwa matumizi ya maisha. Hven), kilichoko kilomita 20 kutoka Copenhagen, na kiasi kikubwa kilitengwa kwa ajili ya ujenzi wa chumba cha uchunguzi na matengenezo yake. Lilikuwa jengo la kwanza barani Ulaya lililojengwa mahsusi kwa uchunguzi wa unajimu. Tycho Brahe alikiita kituo chake cha uchunguzi "Uraniborg" kwa heshima ya jumba la makumbusho la unajimu Urania (jina wakati mwingine hutafsiriwa kama "Castle in the Sky"). Muundo wa jengo hilo ulichorwa na Tycho Brahe mwenyewe. Mnamo 1584, ngome nyingine ya uchunguzi ilijengwa karibu na Uraniborg: Stjerneborg (iliyotafsiriwa kutoka Kideni kama "Star Castle"). Uraniborg hivi karibuni ikawa kituo bora zaidi cha unajimu ulimwenguni, kikichanganya uchunguzi, kufundisha wanafunzi na kuchapisha kazi za kisayansi. Lakini baadaye, kuhusiana na mabadiliko ya mfalme. Tycho Brahe alipoteza usaidizi wa kifedha, na kisha kukawa na marufuku ya kufanya mazoezi ya unajimu na alchemy kwenye kisiwa hicho. Mwanaastronomia huyo aliondoka Denmark na kusimama Prague.

Hivi karibuni Uraniborg na majengo yote yanayohusiana nayo yaliharibiwa kabisa (kwa wakati wetu yamerejeshwa kwa sehemu).

Wakati huu wa mvutano, Brahe alifikia hitimisho kwamba alihitaji msaidizi mchanga, mwanahisabati mwenye talanta kuchakata data iliyokusanywa kwa zaidi ya miaka 20. Baada ya kujua juu ya kuteswa kwa Johannes Kepler, ambaye uwezo wake wa ajabu wa hesabu alikuwa tayari amethamini kutoka kwa mawasiliano yao, Tycho alimkaribisha mahali pake. Wanasayansi hao walikuwa wanakabiliwa na kazi ya kutoa kutoka kwa uchunguzi mfumo mpya ulimwengu, ambao unapaswa kuchukua nafasi ya zile za Ptolemaic na Copernican. Alimkabidhi Kepler sayari muhimu: Mars, ambayo harakati zake hazikufaa sio tu kwenye mpango wa Ptolemy, lakini pia katika mifano ya Brahe mwenyewe (kulingana na mahesabu yake, njia za Mirihi na Jua ziliingiliana).

Mnamo 1601, Tycho Brahe na Kepler walianza kazi ya meza mpya, iliyosafishwa ya astronomia, ambayo iliitwa "Rudolph" kwa heshima ya mfalme; zilikamilishwa mnamo 1627 na kutumikia wanaastronomia na mabaharia hadi mapema XIX karne. Lakini Tycho Brahe aliweza tu kuzipa meza hizo jina. Mnamo Oktoba aliugua bila kutarajia na akafa kwa ugonjwa usiojulikana.

Baada ya kusoma kwa uangalifu data ya Tycho Brahe, Kepler aligundua sheria za mwendo wa sayari.

Sheria za Kepler za mwendo wa sayari

Hapo awali, Kepler alipanga kuwa kuhani wa Kiprotestanti, lakini shukrani kwa hiyo isiyo ya kawaida uwezo wa hisabati alialikwa mwaka wa 1594 kutoa hotuba kuhusu hisabati katika Chuo Kikuu cha Graz (sasa ni Austria). Kepler alikaa miaka 6 huko Graz. Hapa mnamo 1596 kitabu chake cha kwanza, "Siri ya Ulimwengu," kilichapishwa. Ndani yake, Kepler alijaribu kupata maelewano ya siri ya Ulimwengu, ambayo alilinganisha "nguvu za Plato" (polyhedra ya kawaida) na mizunguko ya sayari tano zinazojulikana wakati huo (alichagua sana nyanja ya Dunia). Aliwasilisha obiti ya Zohali kama duara (bado si duaradufu) kwenye uso wa tufe iliyozungukwa kuzunguka mchemraba. Mchemraba, kwa upande wake, uliandikwa na mpira, ambao ulipaswa kuwakilisha mzunguko wa Jupiter. Tetrahedron iliandikwa kwenye mpira huu, iliyozungushwa karibu na mpira unaowakilisha mzunguko wa Mars, nk. Kazi hii, baada ya uvumbuzi zaidi wa Kepler, ilipoteza maana yake ya awali (ikiwa tu kwa sababu mizunguko ya sayari iligeuka kuwa isiyo ya mviringo) ; Walakini, Kepler aliamini juu ya uwepo wa maelewano ya hesabu iliyofichwa ya Ulimwengu hadi mwisho wa maisha yake, na mnamo 1621 alichapisha tena "Siri ya Ulimwengu", akifanya mabadiliko mengi na nyongeza kwake.

Akiwa mtazamaji bora, Tycho Brahe alikusanya kazi kubwa kwa miaka mingi juu ya uchunguzi wa sayari na mamia ya nyota, na usahihi wa vipimo vyake ulikuwa wa juu zaidi kuliko ule wa watangulizi wake wote. Ili kuongeza usahihi, Brahe alitumia maboresho ya kiufundi na mbinu maalum ya kubadilisha makosa ya uchunguzi. Hali ya utaratibu wa vipimo ilikuwa muhimu sana.

Kwa muda wa miaka kadhaa, Kepler alisoma kwa uangalifu data ya Brahe na, kama matokeo ya uchambuzi wa uangalifu, akafikia hitimisho kwamba. Mwelekeo wa Mirihi sio duara, bali ni duaradufu, na Jua katika mwelekeo mmoja - nafasi inayojulikana leo kama. Sheria ya kwanza ya Kepler.

Sheria ya kwanza ya Kepler (sheria ya ellipses)

Kila sayari katika mfumo wa jua huzunguka katika duaradufu, na Jua katika mojawapo ya vielelezo.

Sura ya duaradufu na kiwango cha kufanana kwake na mduara ina sifa ya uwiano , ambapo ni umbali kutoka katikati ya duaradufu hadi lengo lake (nusu ya umbali wa interfocal), na ni mhimili wa semimajor. Kiasi kinaitwa eccentricity ya duaradufu. Wakati , na, kwa hivyo, duaradufu hugeuka kuwa duara.

Uchambuzi zaidi unaongoza kwa sheria ya pili. Vekta ya radius inayounganisha sayari na Jua, ndani wakati sawa inaelezea maeneo sawa. Hii ilimaanisha kwamba kadiri sayari inavyozidi kutoka kwa Jua, ndivyo inavyosonga polepole.

Sheria ya pili ya Kepler (sheria ya maeneo)

Kila sayari husogea kwenye ndege inayopita katikati ya Jua, na kwa muda sawa, vekta ya radius inayounganisha Jua na sayari inaelezea maeneo sawa.

Kuna dhana mbili zinazohusiana na sheria hii: perihelion- hatua ya obiti karibu na Jua, na aphelion- hatua ya mbali zaidi ya obiti. Kwa hivyo, kutoka kwa sheria ya pili ya Kepler inafuata kwamba sayari huzunguka Jua kwa usawa, ikiwa na kasi kubwa ya mstari kwenye perihelion kuliko aphelion.

Sheria ya tatu ya Kepler (sheria ya harmonic)

Miraba ya vipindi vya mapinduzi ya sayari zinazozunguka Jua yanahusiana kama vijiti vya mihimili mikubwa ya mizunguko ya sayari. Hii ni kweli si kwa sayari tu, bali pia kwa satelaiti zao.

Ambapo na ni vipindi vya mapinduzi ya sayari mbili kuzunguka Jua, na ni urefu wa mihimili mikubwa ya mizunguko yao.

Newton baadaye aligundua kuwa sheria ya tatu ya Kepler sio sahihi kabisa - pia inajumuisha wingi wa sayari: , ambapo ni wingi wa Jua, na na ni wingi wa sayari.

Umuhimu wa uvumbuzi wa Kepler katika unajimu

Iligunduliwa na Kepler sheria tatu za mwendo wa sayari kikamilifu na kwa usahihi alielezea kutofautiana dhahiri ya harakati hizi. Badala ya epicycles nyingi zilizotungwa, kielelezo cha Kepler kinajumuisha mkunjo mmoja tu - duaradufu. Sheria ya pili iliweka jinsi kasi ya sayari inavyobadilika inaposogea mbali au kulikaribia Jua, na ya tatu inaturuhusu kuhesabu kasi hii na kipindi cha mapinduzi kuzunguka Jua.

Ingawa kihistoria mfumo wa ulimwengu wa Keplerian unategemea mfano wa Copernican, kwa kweli wana uhusiano mdogo sana (tu mzunguko wa kila siku wa Dunia). Mwendo wa duara wa duara zilizobeba sayari ulitoweka, na dhana ya mzunguko wa sayari ilionekana. Katika mfumo wa Copernican, Dunia bado ilichukua nafasi fulani maalum, kwani ndiyo pekee isiyo na epicycles. Kulingana na Kepler, Dunia ni sayari ya kawaida, harakati ambayo iko chini ya sheria tatu za jumla. Mizunguko yote miili ya mbinguni- ellipses, lengo la kawaida la obiti ni Jua.

Kepler pia alitokeza “Mlinganyo wa Kepler,” ambao hutumiwa katika elimu ya nyota ili kubainisha nafasi za miili ya anga.

Sheria zilizogunduliwa na Kepler baadaye zilimtumikia Newton msingi wa kuundwa kwa nadharia ya mvuto. Newton alithibitisha kihisabati kwamba sheria zote za Kepler ni matokeo ya sheria ya uvutano.

Lakini Kepler hakuamini katika kutokuwa na mwisho wa Ulimwengu na, kama hoja, alipendekeza kitendawili cha picha(jina hili liliibuka baadaye): ikiwa idadi ya nyota haina mwisho, basi kwa mwelekeo wowote macho yangekutana na nyota, na hakutakuwa na maeneo ya giza angani. Kepler, kama Pythagoreans, alizingatia ulimwengu kuwa utambuzi wa maelewano fulani ya nambari, kijiometri na muziki; kufichua muundo wa maelewano haya kungetoa majibu kwa maswali ya kina zaidi.

Mafanikio mengine ya Kepler

Katika hisabati alipata njia ya kuamua idadi ya miili mbalimbali ya mapinduzi, alipendekeza vipengele vya kwanza vya calculus muhimu, alichambua kwa undani ulinganifu wa theluji, kazi ya Kepler katika uwanja wa ulinganifu baadaye ilipata matumizi katika fuwele na nadharia ya coding. Alikusanya moja ya meza za kwanza za logarithms, na kwa mara ya kwanza alianzisha dhana muhimu zaidi hatua ya mbali sanailianzisha dhana kuzingatia sehemu ya conic na imepitiwa mabadiliko ya makadirio ya sehemu za conic, pamoja na zile zinazobadilisha aina zao.

Katika fizikiaaliunda neno hali kama mali ya asili ya miili ya kupinga kutumika nguvu ya nje, alikaribia ugunduzi wa sheria ya uvutano, ingawa hakujaribu kuielezea kihisabati, ya kwanza, karibu miaka mia moja kabla ya Newton, aliweka dhana kwamba sababu ya mawimbi ni ushawishi wa Mwezi juu ya sehemu ya juu. tabaka za bahari.

Katika optics: macho kama sayansi huanza na kazi zake. Anaelezea kinzani ya mwanga, kinzani na dhana picha ya macho, nadharia ya jumla ya lenses na mifumo yao. Kepler aligundua jukumu la lensi na alielezea kwa usahihi sababu za myopia na kuona mbali.

KWA unajimu Kepler alikuwa na mtazamo wa kutoelewana. Kauli zake mbili zimetajwa kuhusu suala hili. Kwanza: " Bila shaka, unajimu huu ni binti mjinga, lakini, Mungu wangu, mama yake, astronomy mwenye hekima sana, angeenda wapi ikiwa hakuwa na binti mjinga! Ulimwengu ni wa kijinga zaidi na wa kijinga sana hivi kwamba kwa faida ya mama huyu mzee mwenye busara, binti mjinga lazima azungumze na kusema uwongo. Na mshahara wa wanahisabati ni duni sana kwamba mama angekufa njaa ikiwa binti yake hakupata chochote." Na pili: " Watu hufanya makosa kufikiria hivyo miili ya mbinguni mambo ya duniani yanategemea" Lakini, hata hivyo, Kepler alikusanya nyota kwa ajili yake na wapendwa wake.

Sheria tatu za mwendo wa sayari zinazohusiana na Jua zilitolewa kwa nguvu na mwanaastronomia wa Ujerumani Johannes Kepler mwanzoni mwa karne ya 17. Hili liliwezekana kutokana na uchunguzi wa miaka mingi wa mwanaastronomia wa Denmark Tycho Brahe.

Sheria ya kwanza ya Kepler. Kila sayari husogea katika duaradufu, na Jua katika mwelekeo mmoja.

Sheria ya pili ya Kepler (sheria maeneo sawa) Vekta ya radius ya sayari inaelezea maeneo sawa katika vipindi sawa vya wakati. Uundaji mwingine wa sheria hii: kasi ya sekta ya sayari ni mara kwa mara.

Sheria ya tatu ya Kepler. Miraba ya vipindi vya obiti vya sayari kuzunguka Jua ni sawia na cubes za mihimili mikubwa ya mizunguko yao ya duaradufu.

Uundaji wa kisasa wa sheria ya kwanza umeongezewa kama ifuatavyo: katika mwendo usio na wasiwasi, mzunguko wa mwili unaosonga ni curve ya pili - duaradufu, parabola au hyperbola. Tofauti na zile mbili za kwanza, sheria ya tatu ya Kepler inatumika tu kwa obiti za duaradufu. Kasi ya sayari kwenye perihelion:

ambapo vc ni wastani au kasi ya duara ya sayari katika r = a. Kasi ya aphelion: Kepler aligundua sheria zake kwa nguvu. Newton alipata sheria za Kepler kutoka kwa sheria ya uvutano wa ulimwengu wote. Kuamua wingi wa miili ya mbinguni muhimu ina ujanibishaji wa Newton wa sheria ya tatu ya Kepler kwa mfumo wowote wa miili inayozunguka.

Sheria ya tatu ya Kepler. Kasi za sayari zilizo karibu na Jua ni kubwa zaidi kuliko zile za sayari za mbali. Maelezo ya takwimu upande wa kulia - Kasi ya sayari karibu na Jua ni kubwa zaidi kuliko kasi ya zile za mbali. Katika fomu ya jumla, sheria hii kawaida huundwa kama ifuatavyo: miraba ya vipindi T1 na T2 ya mapinduzi ya miili miwili kuzunguka Jua, ikizidishwa na jumla ya misa ya kila mwili (M1 na M2, mtawaliwa) na Jua. (M), zinahusiana kama cubes za shoka nusu kuu A1 na A2 ya mizunguko yao: Wakati Katika kesi hii, mwingiliano kati ya miili M1 na M2 hauzingatiwi. Ikiwa tutapuuza wingi wa miili hii kwa kulinganisha na wingi wa Jua (yaani M1).<< М, M2 << М), то получится формулировка третьего закона, данная самим Кеплером:

Sheria ya tatu ya Kepler pia inaweza kuonyeshwa kama uhusiano kati ya kipindi cha obiti T cha mwili wenye uzito wa M na mhimili wa nusu kuu wa obiti a (G ni mvuto usiobadilika):

Maoni yafuatayo lazima yafanywe hapa. Kwa unyenyekevu, mara nyingi husema kwamba mwili mmoja huzunguka mwingine, lakini hii ni kweli tu kwa kesi wakati wingi wa mwili wa kwanza haukubaliki ikilinganishwa na wingi wa pili (kituo cha kuvutia). Ikiwa umati unalinganishwa, basi ushawishi wa mwili mdogo kwa mkubwa zaidi unapaswa kuzingatiwa. Katika mfumo wa kuratibu na asili katikati ya wingi, obiti za miili yote miwili zitakuwa sehemu za conical zilizolala kwenye ndege moja na kwa foci katikati ya wingi, kwa usawa sawa. Tofauti itakuwa tu katika vipimo vya mstari wa obiti (ikiwa miili ni ya raia tofauti). Wakati wowote wa wakati, katikati ya misa italala kwenye mstari wa moja kwa moja unaounganisha vituo vya miili, na umbali wa katikati ya misa r1 na r2 ya miili ya molekuli M1 na M2, mtawaliwa, inahusiana na uhusiano ufuatao. : r1/r2 = M2/M1. Periapsis na apocenters ya obiti zao (ikiwa mwendo ni wa mwisho) wa mwili pia utapita wakati huo huo. Sheria ya tatu ya Kepler inaweza kutumika kuamua wingi wa nyota za binary.

Mviringo wa duaradufu hufafanuliwa kama eneo la pointi ambapo jumla ya umbali kutoka pointi mbili zilizotolewa (foci F1 na F2) ni thamani isiyobadilika na sawa na urefu wa mhimili mkuu: r1 + r2 = |AA´| = 2a. Kiwango cha urefu wa duaradufu hubainishwa na usawaziko wake e = ОF/OA. Wakati foci inafanana na katikati, e = 0, na duaradufu hugeuka kuwa mduara. Mhimili wa nusu kuu a ni umbali wa wastani kutoka kwa lengo (sayari kutoka kwa Jua): a = (AF1 + F1A") / 2. Tangu wakati wa kusonga kando ya duaradufu jumla ya nishati ni hasi, mhimili wa nusu kuu ni kubwa kuliko sifuri Urefu wa mhimili wa nusu-ndogo unategemea kasi ya kisekta ya mwili (yaani, kiwango cha mabadiliko ya eneo lililopigwa na vector ya mviringo ni kesi iliyoharibika ya elliptical Sheria ya pili ya Newton, tunapata kwamba nishati ya kinetic na inayoweza kutokea ya mwili katika mzunguko wa mviringo inahusiana na uhusiano: 2K = -U Ni rahisi kupata kwamba K = -E nishati ya jumla na ya kinetic daima ni sawa na sifuri Vipengele vya obiti vinaashiria sura, vipimo na mwelekeo katika nafasi ya obiti ya mwili wa mbinguni, pamoja na nafasi ya mwili katika obiti hii nafasi ya sayari au satelaiti.

Pointi muhimu zaidi na mistari ya duaradufu.

Kwa kuwa wakati wa kusonga kando ya duaradufu jumla ya nishati ni hasi, mhimili wa semimajor ni mkubwa kuliko sifuri. Urefu wa mhimili wa nusu-ndogo wa b unategemea kasi ya kisekta ya mwili (yaani, kasi ya mabadiliko ya eneo lililopigwa na vector ya radius): Mizunguko ya mviringo ni kesi iliyoharibika ya zile za mviringo. Kuandika sheria ya pili ya Newton, tunapata kwamba nishati ya kinetic na inayoweza kuwa ya mwili katika mzunguko wa mviringo inahusiana na uhusiano: 2K = -U. Kwa kutumia sheria ya uhifadhi wa nishati, ni rahisi kupata hiyo K = -E. Hiyo. katika mwendo wa mviringo, jumla ya nishati ya jumla na kinetic daima ni sifuri. Vipengele vya Orbital vina sifa ya sura, ukubwa na mwelekeo katika nafasi ya mzunguko wa mwili wa mbinguni, pamoja na nafasi ya mwili katika obiti hii. Hivi sasa, vipengele vya osculating hutumiwa sana kuelezea nafasi ya sayari au satelaiti. Sehemu ya obiti ya mwili iliyo karibu na kituo cha kuvutia (lengo) kwa ujumla huitwa periapsis, na sehemu ya mbali zaidi kutoka kwayo (tu kwa duaradufu) inaitwa apocenter. Ikiwa kituo cha kuvutia ni Dunia, basi pointi hizi zinaitwa perigee na apogee, kwa mtiririko huo. Sehemu ya karibu zaidi ya Jua inaitwa perihelion, ya mbali zaidi inaitwa aphelion. Kwa Mwezi, pointi hizi zitakuwa perilunion (periselination) na apolunium (aposelion), kwa nyota ya kiholela - periastron na apoaster. Mstari wa moja kwa moja unaounganisha periapsis na mwelekeo (mhimili mkuu wa duaradufu, mhimili wa parabola, au mhimili halisi wa hyperbola) inaitwa mstari wa apsidal. Umbali kutoka kituo cha kuvutia hadi periapsis ni AF1 = a (1 – e), hadi apocenter - F1A" = a (1 + e). Umbali wa wastani kutoka kituo cha kuvutia hadi kwenye mwili unaozunguka kwenye duaradufu ni sawa na urefu wa mhimili wa nusu kuu.

Sayari huzunguka Jua katika mizunguko mirefu ya duaradufu, na Jua likiwa kwenye mojawapo ya sehemu kuu mbili za duaradufu.

Mstari wa moja kwa moja unaounganisha Jua na sayari hukata maeneo sawa katika vipindi sawa vya wakati.

Viwanja vya vipindi vya mapinduzi ya sayari karibu na Jua vinahusiana na cubes za shoka za nusu kuu za obiti zao.

Johannes Kepler alikuwa na hisia ya uzuri. Maisha yake yote ya watu wazima alijaribu kuthibitisha kwamba mfumo wa jua ni aina fulani ya kazi ya ajabu ya sanaa. Mwanzoni alijaribu kuunganisha kifaa chake na tano polihedra ya kawaida jiometri ya kale ya Kigiriki. (Polihedroni ya kawaida ni mchoro wa pande tatu, ambao nyuso zote ni poligoni za kawaida.) Wakati wa Kepler, sayari sita zilijulikana, ambazo ziliaminika kuwekwa kwenye “tufe za fuwele” zinazozunguka. Kepler alidai kuwa tufe hizi zimepangwa kwa njia ambayo polihedra ya kawaida inafaa kabisa kati ya tufe zilizo karibu. Kati ya nyanja mbili za nje - Saturn na Jupiter - aliweka mchemraba ulioandikwa katika nyanja ya nje, ambayo, kwa upande wake, nyanja ya ndani imeandikwa; kati ya nyanja za Jupiter na Mars - tetrahedron (tetrahedron ya kawaida), nk * Nyanja sita za sayari, polihedra tano za kawaida zimeandikwa kati yao - ingeonekana kuwa ukamilifu yenyewe?

Ole, baada ya kulinganisha kielelezo chake na mizunguko ya sayari zilizotazamwa, Kepler alilazimika kukubali kwamba tabia halisi ya miili ya mbinguni haiendani na mfumo wa usawa alioelezea. Kama vile mwanabiolojia wa wakati huo Mwingereza J. B. S. Haldane alivyosema kwa kufaa, “wazo la Ulimwengu kuwa kazi kamili ya sanaa ya kijiometri liligeuka kuwa nadharia nyingine nzuri iliyoharibiwa na mambo ya hakika yasiyofaa.” Matokeo pekee ya msukumo wa ujana wa Kepler ambao ulinusurika karne nyingi ulikuwa mfano wa mfumo wa jua, uliofanywa na mwanasayansi mwenyewe na kuwasilishwa kama zawadi kwa mlinzi wake, Duke Frederick von Württemburg. Katika bandia hii ya chuma iliyotekelezwa kwa uzuri, nyanja zote za mzunguko wa sayari na polihedra ya kawaida iliyoandikwa ndani yao ni vyombo vya mashimo ambavyo haviwasiliana na kila mmoja, ambavyo kwa likizo vilipaswa kujazwa na vinywaji mbalimbali ili kutibu wageni wa duke. .

Ni baada tu ya kuhamia Prague na kuwa msaidizi wa mwanaastronomia maarufu wa Denmark Tycho Brahe (1546–1601) ndipo Kepler alipata mawazo ambayo kwa kweli yalibadilisha jina lake katika historia ya sayansi. Tycho Brahe alitumia maisha yake yote kukusanya data ya uchunguzi wa anga na kukusanya kiasi kikubwa cha habari kuhusu mienendo ya sayari. Baada ya kifo chake walikuja kumilikiwa na Kepler. Rekodi hizi, kwa njia, zilikuwa na thamani kubwa ya kibiashara wakati huo, kwani zingeweza kutumiwa kukusanya nyota zilizosafishwa za unajimu (leo wanasayansi wanapendelea kukaa kimya juu ya sehemu hii ya unajimu wa mapema).

Wakati wa kuchakata matokeo ya uchunguzi wa Tycho Brahe, Kepler alikabiliwa na tatizo ambalo, hata akiwa na kompyuta za kisasa, linaweza kuonekana kuwa lisilowezekana kwa mtu, na Kepler hakuwa na chaguo ila kufanya mahesabu yote kwa mkono. Kwa kweli, kama wanaastronomia wengi wa wakati wake, Kepler alikuwa tayari anafahamu mfumo wa heliocentric wa Copernican (tazama kanuni ya Copernican) na alijua kwamba Dunia inazunguka Jua, kama inavyothibitishwa na mfano ulioelezwa hapo juu wa mfumo wa jua. Lakini ni kwa jinsi gani Dunia na sayari nyingine huzunguka? Wacha tufikirie shida kama ifuatavyo: uko kwenye sayari ambayo, kwanza, inazunguka mhimili wake, na pili, inazunguka Jua katika obiti isiyojulikana kwako. Tukitazama angani, tunaona sayari nyingine ambazo pia zinasonga katika njia zisizojulikana kwetu. Jukumu letu ni kuamua, kwa kuzingatia data ya uchunguzi iliyotengenezwa kwenye ulimwengu wetu unaozunguka mhimili wake kuzunguka Jua, jiometri ya mizunguko na kasi ya harakati ya sayari zingine. Hivi ndivyo Kepler hatimaye aliweza kufanya, baada ya hapo, kulingana na matokeo yaliyopatikana, alipata sheria zake tatu!

Sheria ya Kwanza** inaelezea jiometri ya trajectories ya obiti za sayari. Unaweza kukumbuka kutoka kwa kozi yako ya jiometri ya shule kwamba duaradufu ni seti ya alama kwenye ndege, jumla ya umbali ambao hadi alama mbili zilizowekwa ni - mbinu- sawa na mara kwa mara. Ikiwa hii ni ngumu sana kwako, kuna ufafanuzi mwingine: fikiria sehemu ya uso wa upande wa koni na ndege kwa pembe hadi msingi wake, bila kupita msingi - hii pia ni duaradufu. Sheria ya kwanza ya Kepler inasema kwamba obiti za sayari ni duaradufu, na Jua kwenye moja ya foci. Eccentricities(shahada ya urefu) ya obiti na umbali wao kutoka kwa Jua ndani perihelion(hatua iliyo karibu na Jua) na apohelia(hatua ya mbali zaidi) sayari zote ni tofauti, lakini obiti zote za mviringo zina jambo moja sawa - Jua liko katika moja ya foci mbili za duaradufu. Baada ya kuchanganua data ya uchunguzi wa Tycho Brahe, Kepler alihitimisha kuwa obiti za sayari ni seti ya duaradufu zilizowekwa. Kabla yake, hii haikutokea kwa mwanaastronomia yeyote.

Umuhimu wa kihistoria wa sheria ya kwanza ya Kepler hauwezi kukadiriwa. Kabla yake, wanaastronomia waliamini kwamba sayari zilisogea pekee katika mizunguko ya duara, na ikiwa hii haiendani na mfumo wa uchunguzi, mwendo kuu wa mviringo uliongezewa na miduara midogo ambayo sayari zilielezea kuzunguka sehemu za obiti kuu ya duara. Hii ilikuwa, ningesema, kwanza kabisa msimamo wa kifalsafa, aina ya ukweli usiobadilika, sio chini ya shaka na uthibitisho. Wanafalsafa walidai kuwa muundo wa mbinguni, tofauti na ule wa kidunia, ni kamili kwa maelewano yake, na kwa kuwa takwimu kamili zaidi za kijiometri ni duara na nyanja, inamaanisha kwamba sayari zinasonga kwenye duara (na hata leo lazima niondoe. dhana hii potofu tena na tena miongoni mwa wanafunzi wangu). Jambo kuu ni kwamba, baada ya kupata data ya uchunguzi wa Tycho Brahe, Johannes Kepler aliweza kuvuka ubaguzi huu wa kifalsafa, kwa kuona kwamba haukuendana na ukweli - kama vile Copernicus alithubutu kuondoa Dunia kutoka katikati. ya ulimwengu, ilikabiliwa na hoja zinazopingana na mawazo yanayoendelea ya kijiografia, ambayo pia yalijumuisha "tabia isiyofaa" ya sayari katika obiti.

Mfano wa kijiometri wa Kepler wa Ulimwengu: tufe sita zinazozunguka za sayari na tano zilizoandikwa polihedra ya kawaida kati yao.

Sheria ya Pili inaelezea mabadiliko katika kasi ya sayari zinazozunguka Jua. Tayari nimetoa uundaji wake katika fomu yake rasmi, lakini ili kuelewa vizuri maana yake ya kimwili, kumbuka utoto wako. Pengine umepata fursa ya kuzunguka nguzo kwenye uwanja wa michezo, ukiinyakua kwa mikono yako. Kwa kweli, sayari huzunguka jua kwa njia sawa. Kadiri mzunguko wa sayari ya duaradufu unavyoichukua kutoka kwa Jua, ndivyo mwendo wake unavyopungua kwa kasi zaidi; Sasa fikiria jozi ya sehemu za mstari zinazounganisha nafasi mbili za sayari katika obiti yake kwa kuzingatia duaradufu ambayo Jua liko. Pamoja na sehemu ya duaradufu iliyo kati yao, huunda sekta, eneo ambalo ni "eneo ambalo limekatwa na sehemu ya mstari wa moja kwa moja." Hivi ndivyo sheria ya pili inazungumza. Kadiri sayari ilivyo karibu na Jua, ndivyo sehemu zinavyokuwa fupi. Lakini katika kesi hii, ili sekta hiyo ifikie eneo sawa kwa wakati sawa, sayari inapaswa kusafiri umbali mkubwa katika obiti yake, ambayo inamaanisha kasi yake ya harakati huongezeka.

Sheria mbili za kwanza zinahusika na maalum ya trajectories ya obiti ya sayari moja. Sheria ya Tatu Kepler hukuruhusu kulinganisha obiti za sayari na kila mmoja. Inasema kwamba kadiri sayari inavyokuwa mbali na Jua, ndivyo inavyochukua muda mrefu kukamilisha mapinduzi kamili wakati wa kusonga katika obiti na kwa muda mrefu, ipasavyo, "mwaka" hudumu kwenye sayari hii. Leo tunajua kwamba hii inatokana na mambo mawili. Kwanza, kadiri sayari inavyokuwa mbali na Jua, ndivyo mzunguko wa mzunguko wake ulivyo mrefu. Pili, umbali kutoka kwa Jua unapoongezeka, kasi ya mstari wa harakati ya sayari pia hupungua.

Katika sheria zake, Kepler alisema ukweli tu, baada ya kusoma na kujumlisha matokeo ya uchunguzi. Ikiwa ungemuuliza ni nini kilichosababisha ellipticity ya obiti au usawa wa maeneo ya sekta, asingekujibu. Hii ilifuatiwa tu na uchambuzi wake. Ikiwa ungemuuliza kuhusu mwendo wa obiti wa sayari katika mifumo mingine ya nyota, pia hangekuwa na chochote cha kukujibu. Angelazimika kuanza tena - kukusanya data za uchunguzi, kisha kuzichanganua na kujaribu kutambua mifumo. Hiyo ni, asingekuwa na sababu ya kuamini kwamba mfumo mwingine wa sayari unatii sheria sawa na mfumo wa Jua.

Mojawapo ya ushindi mkubwa zaidi wa mechanics ya zamani ya Newton iko katika ukweli kwamba inatoa uhalali wa kimsingi kwa sheria za Kepler na inasisitiza umoja wao. Inabadilika kuwa sheria za Kepler zinaweza kupatikana kutoka kwa sheria za Newton za mechanics, sheria ya Newton ya mvuto wa ulimwengu wote na sheria ya uhifadhi wa kasi ya angular kwa njia ya hesabu kali za hisabati. Na ikiwa ndivyo, tunaweza kuwa na uhakika kwamba sheria za Kepler zinatumika kwa usawa katika mfumo wowote wa sayari popote katika Ulimwengu. Wanaastronomia wanaotafuta mifumo mipya ya sayari angani (na michache kati yao tayari imegunduliwa) muda baada ya muda, kama jambo la hakika, hutumia milinganyo ya Kepler kukokotoa vigezo vya mizunguko ya sayari za mbali, ingawa hawawezi kuiona moja kwa moja. .

Sheria ya tatu ya Kepler ilicheza na inaendelea kuwa na jukumu muhimu katika cosmology ya kisasa. Kwa kutazama galaksi za mbali, wataalamu wa anga hugundua ishara hafifu zinazotolewa na atomi za hidrojeni zinazozunguka katika njia za mbali sana kutoka katikati ya galaksi - mbali zaidi kuliko nyota kawaida. Kwa kutumia athari ya Doppler katika wigo wa mionzi hii, wanasayansi huamua viwango vya mzunguko wa pembeni ya hidrojeni ya diski ya galactic, na kutoka kwao kasi ya angular ya galaxi kwa ujumla (angalia pia Jambo la Giza). Ninafurahi kwamba kazi za mwanasayansi ambaye alituweka kwa uthabiti kwenye njia ya ufahamu sahihi wa muundo wa mfumo wetu wa jua, na leo, karne baada ya kifo chake, zina jukumu muhimu katika kusoma muundo wa sayari kubwa. Ulimwengu.

* Kati ya nyanja za Mars na Dunia kuna dodecahedron (dodecahedron); kati ya nyanja za Dunia na Venus - icosahedron (ishirini-hedron); kati ya nyanja za Venus na Mercury kuna octahedron (octahedron). Muundo uliotolewa uliwasilishwa na Kepler katika sehemu ya msalaba katika mchoro wa kina wa pande tatu (tazama takwimu) katika monograph yake ya kwanza, "Siri ya Cosmographic" (Mysteria Cosmographica, 1596). - Ujumbe wa mtafsiri.

** Kihistoria, sheria za Kepler (kama kanuni za thermodynamics) zimehesabiwa sio kulingana na mpangilio wa ugunduzi wao, lakini kwa mpangilio wa uelewa wao katika duru za kisayansi. Kwa kweli, sheria ya kwanza iligunduliwa mnamo 1605 (iliyochapishwa mnamo 1609), ya pili mnamo 1602 (iliyochapishwa mnamo 1609), na ya tatu mnamo 1618 (iliyochapishwa mnamo 1619). - Ujumbe wa mtafsiri.

Muundo wa Kepler:

Sayari inasonga kando ya duaradufu, kwenye moja ya maeneo ambayo Jua liko.

Newton anaifanya jumla: kwanza, nyota ya mfumo - nyota (nyota mbili), sayari - satelaiti inaweza kuzingatiwa; pili, mwili mdogo unaweza kusonga pamoja na parabola au hyperbola (Mchoro 33).

Maneno ya kisasa:

Katika mfumo wa mvuto uliofungwa mwili B husogea kando ya duaradufu, kwenye moja ya sehemu ambayo kuna mwili A. Upeo wa ellipse imedhamiriwa na thamani ya nambari ya jumla ya nishati ya mfumo. Katika mfumo ambao haujafungwa kwa nguvu ya uvutano, mwili B husogea kwenye parabola ( E= 0) au kwa hyperbola ( E> 0), ambayo foci yake ni mwili A.

Ellipse

Ellipse (Mchoro 33) ni mduara ulioinuliwa na sifa ambayo kuna pointi mbili (foci ya duaradufu. F 1 Na F 2, ambayo hali imeridhika: jumla ya umbali wa foci kutoka kwa sehemu yoyote ya duaradufu ni mara kwa mara ( F 1C + F 2C = F 1E + F 2E= const), i.e. haitegemei hatua iliyochaguliwa kwenye duaradufu).

Sehemu AB inaitwa mhimili mkuu, kwa mtiririko huo sehemu A.O. = O.B.- mhimili wa nusu kuu (jina linalokubalika a), sehemu CD Na O.C.- mhimili mdogo na mhimili wa nusu b. Saizi ya duaradufu imedhamiriwa na mhimili wa nusu kubwa, umbo limedhamiriwa na excentricity e = √(1 - b 2 / a 2). Saa e= 0 duaradufu huharibika na kuwa duara, lini e= 1 - katika parabola, na e> 1 - katika hyperbola, ambayo inawakilishwa vyema kama grafu ya chaguo la kukokotoa y = 1 / x, kuzungushwa 45 °. duaradufu ina mhimili mkubwa wa nusu a> 0, karibu na parabola a= ∞, kwa hyperbola a < 0, что, конечно, только математиче-ская абстракция.

Vector ya radius ya sayari inaelezea maeneo sawa katika muda sawa (Mchoro 34).

Taarifa hii ni sawa na ukweli kwamba kasi ya mwendo hupungua kwa umbali kutoka kwa Jua, au tuseme, hii ni sheria ya uhifadhi wa kasi ya angular.

Ikiwa unahesabu idadi ya siku kutoka equinox ya vernal (Machi 21) hadi equinox ya vuli (Septemba 23) na kutoka Septemba 23 hadi Machi 21 ya mwaka ujao, zinageuka kuwa kipindi cha kwanza ni siku 7. ndefu kuliko ya pili. Kwa maneno mengine, Dunia huenda kwa kasi wakati wa baridi kuliko majira ya joto, kwa hiyo, iko karibu na Jua wakati wa baridi. Dunia hupitisha sehemu ya karibu zaidi ya mzunguko wake kwenye Jua—perihelion—tarehe 6 Januari.

Sheria ya uhifadhi wa kasi ya angular

Kasi ( K = mvr) ni kiasi cha kimwili kinachofaa kuelezea harakati ya uhakika kwenye mduara au duaradufu, parabola, hyperbola, na pia kwa kuelezea mzunguko wa mwili mgumu. Sheria ya uhifadhi wa kasi ya angular(kama sheria za uhifadhi wa kasi na nishati) ni mojawapo ya sheria tatu za msingi za asili. Kulingana na nadharia ya Noether, sheria hii ni tokeo la isotropi (usawa wa pande zote) wa Ulimwengu.

Uwiano wa mchemraba wa mhimili wa nusu kubwa ya mzunguko wa sayari na mchemraba wa kipindi cha mapinduzi ya sayari kuzunguka Jua ni sawa na jumla ya misa ya Jua na sayari (katika uundaji wa Newton):

a 3 / T 2 = (G/ 4π 2). ( M + m),Nyenzo kutoka kwa tovuti

Wapi M Na m- wingi wa miili ya mfumo; a Na T- mhimili wa nusu na kipindi cha mapinduzi ya mwili mdogo (sayari, satelaiti); G- mvuto mara kwa mara.

Ni muhimu kulipa kipaumbele kwa sababu ya mara kwa mara upande wa kulia. Katika formula hutolewa katika vitengo vya SI, lakini katika astronomy kitengo cha astronomia cha urefu (badala ya mita), mwaka (badala ya pili) na wingi wa Sun (badala ya kilo) hutumiwa. Halafu, kama inavyoonekana kwa urahisi, ikiwa tutapuuza misa ya sayari kuhusiana na misa ya Jua, sababu ya mara kwa mara katika fomula hii ni sawa na moja.

Sheria ya tatu ya Kepler inatoa fursa pekee ya kuamua moja kwa moja wingi wa mwili wa mbinguni (kwa mfano,