кружок у знака интеграла в (3.14) обозначает, что интеграл берется по замкнутому контуру. Интеграл вида (3.14) по замкнутому контуру называют циркуляцией вектора . Следовательно, циркуляция вектора электростатического поля , вычисленная по любому замкнутому контуру, равнанулю. Это общее свойство всех полей консервативных сил (потенциальных полей).

(3.17)

Если ввести следующее обозначение:

(3.18)

то формула (3.17) запишется в компактном виде:

Введенный нами математический объект называется оператором градиента и формула (3.19) читается так: «вектор равен минус градиент j».

Эквипотенциальные поверхности, их связь с силовыми линиями.

Из самого названия следует, что эквипотенциальныеповерхности – это поверхностиравного потенциала . Следовательно, уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид:

Форма эквипотенциальных поверхностей связана с формой силовых линий: эквипотенциальные поверхности расположены так, что в каждой точке пространства силовая линия и эквипотенциальная поверхность взаимно перпендикулярны.

Если условиться проводить эквипотенциальные поверхности так, чтобы разность потенциалов между двумя соседними поверхностями была одинакова , то по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине напряженности поля.

Если рассечь эквипотенциальную поверхность плоскостью, то в сечении получаются линии равного потенциала, эквипотенциальные линии.

Проводники и диэлектрики. Заряженный проводник. Проводник во внешнем электрическом поле.

Проводники – это вещества, в которых есть свободные электрическиезаряды. Концентрация свободных зарядов в металлических проводниках того же порядка, что и концентрация атомов. Эти заряды могут перемещаться в пределах проводника, если в нем создано электрическое поле.

Диэлектрики – это вещества, в которых почти нет свободныхэлектрических зарядов.

В модели идеального диэлектрика свободные заряды отсутствуют.

Полупроводники по концентрации свободных зарядов занимаютпромежуточное положение между проводниками и диэлектриками . У них концентрация свободных зарядов очень сильно зависит от температуры.

Если проводник зарядить, то свободные заряды в нем придут в движение и двигаться они будут до тех пор, пока напряженность электрического поля в проводнике не станет равной нулю, так как сила, действующая на заряд, равна:

Если , то, согласно (3.16):

,

т.е. равны нулю все производные потенциала, следовательно, внутри заряженного проводника потенциал постоянен, т.е. объем проводника и егоповерхность – эквипотенциальны.

Если Е = 0 повсюду внутри проводника, значит равен нулю поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность внутри проводника. Согласно теореме Гаусса из этого следует, что объемная плотность заряда внутри проводника равна нулю. Весь заряд проводника распределен поего поверхности. Напряженность электрического поля вне проводника перпендикулярна его поверхности, так как она эквипотенциальна.

Возьмем на поверхности проводника небольшой участок площадью и построим на нем «гауссов ящик» как это делается при расчете поля вблизи равномерно заряженной плоскости. Внутри проводника Е = 0, следовательно.

Потенциальная энергия и потенциал электростатического поля.

Из раздела динамики известно, что любое тело (точка), находясь в потенци­аль­ном поле, обладает запасом потенциальной энергии W п, за счет которой силами поля совершается работа. Работа консервативных сил сопровождается убылью по­тенци­альной энергии A=W п1 -W п2 . Используя формулу работы силы электростатического поля по перемещению заря­да, получим мо­жет служить характеристикой поля и называется потенциалом электростатичес­кого поля j . Потенциал поля j - скалярная физическая величина, энергетическая характеристика поля, опре­деляемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, поме­щенного в эту точку .

Разность потенциалов двух точек поля определяется работой сил поляпри перемещении единичного

потенциал точки поля численно равен работе, совершае­мой электрическими силами при перемещении единичного положительного за­ряда из данной точки поля в бесконечность .

3) электр. Диполь - идеализированная система, служащая для приближённого описания статического поля или распространения электромагнитных волн вдали от источника (особенно - от источника с нулевым суммарно, но пространственно разделенным зарядом).

Полярные – это диэлектрики, в молекулах которых центры распределения положительных и отрицательных зарядов разделены даже в отсутсвие поле, т.е. молекула является диполем. Поляризация : во внешнемэлектр. Поле молекулы ориентируются вдоль векора напряженности внешнего поля Ео (при включении поля молекулы поворачиваются вдоль силовых линий поля)

Неполярные- диэлектрики, в молекулах которых центры распределения положительных и отрицательных зарядов в отсутствие поля совпадают. Поляризация : во внешнем электр.поле в результате деформации молекул возникают диполи, ориентированные вдоль вектора напряженности внешнего поля Ео . (при включении поля молекулы поляризуются)

В электрическом поле диполи подрешеток деформи­руются: удлиняются, если их оси направлены по полю и укорачиваются, если оси направлены против поля. Такого рода поляриза­ция называетсяионной . Степень ионной поляри­зации зависит от свойств диэлектри­ка и от напряженности поля .



Поляризация- явление возникновения зарядов на поверхности диэлектрика, поле которых частично компенсирует внешнее электр.поле

Величину компенсации описывают с помощью диэлектрической проницаемости среды, которая показывает, во сколько раз эта среда уменьшает электр.поле:

Правила Кирхгофа для разветвленных цепей

.

Первое правило Кирхгофа : алгебраическая сумма сил токов в узле равна нулю: .

Второе правило Кирхгофа относится к любому замкнутому контуру, выде­ленному в разветвленной цепи: алгебраическая сумма произведений токов на со­противления, включая и внутренние, на всех участках замкнутого контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил, встречающихся в этом контуре .

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля.

Интеграл …. называется циркуляцией вектора напряженности. Таким обра­зом, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль лю­бого замкнутого контура равна нулю . Это есть условие потенциаль­ности поля.

Возьмем произвольный контур (Г) и произвольную поверхность S в неоднородном электростатическом поле (рис.3.7,а,б).

Тогда циркуляцией вектора по произвольному контуру (Г) называют интеграл вида :

а потоком ФЕ вектора через произвольную поверхность S следующее выражение

Входящие в эти формулы вектора и определяются следующим образом. По модулю они равны элементарной длине dl контура (Г) и площади dS элементарной площадки поверхности S. Направление вектора совпадает с направлением обхода контура (Г), а вектор направлен по вектору нормали к площадке dS (рис.3.7).

В случае электростатического поля циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру (Г) равна отношению работы Акруг сил поля по перемещению точечного заряда q по этому контуру к величине заряда и в соответствии с формулой (3.20) будет равна нулю

Из теории известно, что, если для произвольного поля вектора циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру (Г) равна нулю, то это поле является потенциальным . Следовательно, электростатическое поле является потенциальным и электрические заряды в нем обладают потенциальной энергией .

Если учесть, что густота линий определяет модуль вектора в данной точке поля, то тогда поток вектора будет численно равен количеству N линий , пронизывающих поверхность S.

На рис.3.8 приведены примеры расчета потока через различные поверхности S (рис.3.8,а,б,в поверхность S - плоская; рис.3.8,г S - замкнутая поверхность). В последнем случае поток через замкнутую поверхность равен нулю, так как количество линий , входящих () и выходящих () из нее, одинаково, но они берутся с противоположными знаками ( +>0, - <0).

Для вектора можно сформулировать теорему Гаусса , определяющую поток вектора через произвольную замкнутую поверхность.

Теорема Гаусса в отсутствие диэлектрика (вакуум ) формулируется следующим образом: поток вектора через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов , охватываемых этой поверхностью, деленное на .



Эта теорема является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции электростатических полей.

Покажем справедливость теоремы для случая поля точечного заряда. Пусть замкнутая поверхность представляет собой сферу радиусом R, в центре которой находится точечный положительный заряд q (рис.3.9,а).

Полученный результат не изменится, если вместо сферы выбрать произвольную замкнутую поверхность (рис.3.9,б), так как поток вектора численно равен количеству линий , пронизывающих поверхность, а число таких линий в случаях а и б одинаково.

Такие же рассуждения с использованием принципа суперпозиции электростатических полей можно привести и в случае нескольких зарядов, попадающих внутрь замкнутой поверхности, что и подтверждает теорему Гаусса.

Терема Гаусса для вектора в присутствии диэлектрика. В этом случае помимо свободных зарядов необходимо учитывать и связанные заряды , появляющиеся на противоположных гранях диэлектрика при его поляризации во внешнем электрическом (подробнее см. раздел диэлектрики). Поэтому теорема Гаусса для вектора в присутствии диэлектрика запишется таким образом

где в правую часть формулы входит алгебраическая сумма свободных и связанных зарядов, охватываемых поверхностью S.

Из формулы (3.28) вытекает физический смысл теоремы Гаусса для вектора : источниками электростатического поля вектора являются свободные и связанные заряды.

В частном случае симметричного расположения зарядов и диэлектрика, при наличии осевой или сферической симметрии или в случае изотропного однородного диэлектрика, относительная диэлектрическая проницаемость среды остается постоянной величиной, не зависящей от рассматриваемой внутри диэлектрика точки, и поэтому можно учесть наличие диэлектрика в формуле (3.28) не только введением связанных зарядов , но и параметром , что является более удобным при практических расчетах. Так, можно записать (см. параграф 3.1.12.6, формула (3.68))

Тогда теорема Гаусса для вектора в этом случае запишется так

где - относительная диэлектрическая проницаемость среды, в которой находится поверхность S.

Отметим, что формула (3.29) применяется при решении задач на этот раздел, а также для большинства встречающихся на практике случаев.

Теорема о циркуляции

Ранее мы выяснили, что на заряд (q), который находится в электростатическом поле, действуют консервативные силы, работа ($A$) которых на любом замкнутом пути (L) равна нулю:

где $\overrightarrow{s}$- вектор перемещения (не путать с площадью), $\overrightarrow{E}$ -- вектор напряженности поля.

Для единичного положительного заряда можем записать:

Интеграл в левой части уравнения (2) есть циркуляция вектора напряженности по контуру L. Характерным свойством электростатического поля является то, что циркуляция его вектора напряжённости по любому замкнутому контуру равна нулю. Такое утверждение называется теоремой о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.

Докажем теорему о циркуляции на том основании, что работа поля по перемещению заряда не зависит от траектории перемещения заряда в электростатическом поле, что выражается равенством:

где $L_1\ и\ L_2$ различные пути между точками А и В. Учтем, что при замене местами пределов интегрирования получим:

Выражение (4) представим как:

где $L=L_1+L_2$. Так теорема доказана.

Следствием теоремы о циркуляции является то, что линии напряженности электростатического поля незамкнуты. Они начинаются на положительных зарядах, а заканчиваются на отрицательных или уходят в бесконечность. Теорема верна именно для статичных зарядов. Другое следствие теоремы: непрерывность тангенциальных составляющих напряженности (в отличие от нормальных составляющих). Это значит, что компоненты напряженности, которые являются касательными к выбранной любой поверхности во всякой ее точке, имеют по обе стороны поверхности равные значения.

Выделим произвольную поверхность S, которая опирается на контур L (рис.1).

В соответствии с формулой Стокса (теоремой Стокса) интеграл от ротора вектора напряженности ($rot\overrightarrow{E}$), взятый по поверхности S равен циркуляции вектора напряженности вдоль контура, на который опирается данная поверхность:

где $d\overrightarrow{S}=dS\cdot \overrightarrow{n}$, $\overrightarrow{n}$ -- единичный вектор перпендикулярный участку dS. Ротор ($rot\overrightarrow{E}$) характеризует интенсивность «завихрения» вектора. Наглядное представление о роторе вектора можно получить, если маленькую легкую крыльчатку (рис.2) поместить в поток жидкости. В тех местах, где ротор не равен нулю, крыльчатка будет вращаться, причем скорость ее вращения будет тем больше, чем больше проекция модуль проекции ротора на ось крыльчатки.

При практическом вычислении ротора чаще других используют формулы:

Так как в соответствии с уравнением (6) циркуляция вектора напряжённости равна нулю, то мы получаем:

Условие (8) должно выполняться для любой поверхности S, которая опирается на контур L. Это возможно только в том случае, если подынтегральное выражение:

причем для каждой точки поля.

По аналогии с крыльчаткой на рис. 2 представим себе электрическую «крыльчатку». На концах такой «крыльчатки» расположены одинаковые по величине заряды q. Система помещена в однородное поле с напряженностью E. В тех местах, где $rot\overrightarrow{E}\ne 0$ такое «устройство» будет вращаться с ускорением, которое зависит от проекции ротора на ось крыльчатки. В случае, электростатического поля такое «устройство» не стало бы вращаться ни при какой ориентации оси. Так как отличительной особенностью электростатического поля является то, что оно безвихревое. Уравнение (9) представляет теорему о циркуляции в дифференциальной форме.

Пример 1

Задание: На рис. 3 изображено электростатическое поле. Что можно сказать о характеристиках данного поля из рисунка?

О данном поле можно сказать, что существование такого электростатического поля невозможно. Если выделить контур (он изображен пунктиром). Для такого контура циркуляция вектора напряженности:

\[\oint\limits_L{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{s}\ne 0}\left(1.1\right),\]

что противоречит теореме о циркуляции для электростатического поля. Напряженность поля определяется густотой силовых линий, она в разных частях поля не одинакова, в результате работа по замкнутому контуру будет отличаться от нуля, следовательно, циркуляция вектора напряженности не равна нулю.

Пример 2

Задание: Исходя из теоремы о циркуляции, покажите, что тангенциальные составляющие вектора напряженности электростатического поля не изменяются при переходе через границу раздела диэлектриков.

Рассмотрим границу между двумя диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями ${\varepsilon }_2\ и\ {\varepsilon }_1$ (рис.4). Выберем на этой границе небольшой прямоугольный контур с параметрами a - длина, b - ширина. Ось Х проходит через середины сторон b.

Для электростатического поля выполняется теорема о циркуляции, которая выражается уравнением:

\[\oint\limits_L{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{s}=0\ \left(2.1\right).}\]

При небольших размерах контура циркуляция вектора напряженности и в соответствии с указанным направлением обхода контура интеграл в формуле (2.1) можно представить как:

\[\oint\limits_L{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{s}=E_{1x}a-E_{2x}a+\left\langle E_b\right\rangle 2b=0\ \left(2.2\right),}\]

где $\left\langle E_b\right\rangle $- среднее значение $\overrightarrow{E}$ на участках перпендикулярных к границе раздела.

Из (2.2) следует, что:

\[{(E}_{2x}-E_{1x})a=\left\langle E_b\right\rangle 2b\ (2.3).\]

Если $b\to 0$, то получаем, что:

Выражение (2.4) выполняется при произвольном выборе оси X, которая лежит на границе раздела диэлектриков. Если представить вектор напряженности в виде двух составляющих (тангенциальной $E_{\tau }\ $ и нормальной $E_n$):

\[\overrightarrow{E_1}=\overrightarrow{E_{1n}}+\overrightarrow{E_{1\tau }},\overrightarrow{E_2}=\overrightarrow{E_{2n}}+\overrightarrow{E_{2\tau }}\ \left(2.5\right).\]

В таком случае из (2.4) запишем:

где $E_{\tau i}$- проекция вектора напряженности на орт $\tau $, направленный вдоль границы раздела диэлектриков.

радиуса R с общим зарядом Q заряжен равномерно с объемной плотностью  (= dQ/dV- заряд, приходящийся на единицу объема). Учитывая соображения симметрии (см.п.3), можно показать, что для напряженности поля вне шара получится тот же результат, что и в предыдущем случае (см. (82.3)). Внутри же шара напряженность поля будет другая. Сфера радиуса r" < R охватывает заряд Q " = 4 / 3 r" 3 . Поэтому, согласно теореме Гаусса (81.2), 4r" 2 E =Q " / 0 = 4 / 3 r 3 / 0 . Учитывая, что =Q/(4 / 3 R 3), получим

Таким образом, напряженность ноля вне равномерно заряженного шара описывается формулой (82.3), а внутри его изменяется линейно с расстоянием r " согласно выражению (82.4). График зависимости E от r приведен на рис. 130.

5. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити). Бесконечный цилиндр

радиуса R (рис. 131) заряжен равномерно с линейной плотностью  (=dQ/dt - заряд, приходящийся на единицу длины). Из соображений симметрии следует, что линии напряженности будут направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим коаксиальный с заряженным цилиндр радиуса r и высотой l . Поток вектора Е сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю (торцы параллельны линиям напряженности), а сквозь боковую поверхность -2rl Е. По теореме Гаусса (81.2), при r>R 2 rlE = l / 0 , откуда

Если rто замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области E =0. Таким образом, напряженность поля вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра определяется выражением (82.5), внутри же его поле отсутствует.

§ 83. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

Если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории (рис. 132) перемещается другой точечный заряд Q 0 , то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы F на элементарном перемещении dl равна

Работа при перемещении заряда Q 0 из точки 1 в точку 2

не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы - консервативными (см. §12).

Из формулы (83.1) следует, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т. е.

Если в качестве заряда, переносимого в электростатическом поле, взять единичный точечный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на пути dl равна Е dl =E l dl, где E l =E cos - проекция вектора Е на направление элементарного перемещения. Тогда формулу (83.2) можно записать в виде

Интеграл

называется циркуляцией вектора напряженности. Следовательно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Силовое поле, обладающее свойством (83.3), называется потенциальным. Из обращения в нуль циркуляции вектора Е следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются и кончаются на зарядах (соответственно на положительных или отрицательных) или же уходят в бесконечность.

Формула (83.3) справедлива только для электростатического поля. В дальнейшем будет показано, что для поля движущихся зарядов условие (83.3) не выполняется (для него циркуляция вектора напряженности отлична от нуля).